de fi ning a geometric algebra is called&%('0)¦12'436587@9B AC50)ED¦FG9H3 and is denoted by ju x taposition, e.g.BIQP for two multivectors I. andRP .
!"#$ %&' ()*+%&,$ .-0/12 ! 3 42576598:5";=@(AB@(>DC$E@ FHGI;JGKAB>MLN(6TSU'&?.;!A@!A?#CB ¯¨O4µ @5/!$%('DE.;!A@!A# BË»,°b¼#µ\¶O±o©Ìà n x’ a
x
b e+
α
e−
e1 s
=żڳdÉ}¬®±dÉ=°©b¯¶,³Ì»\°bµ ³i«O¬®»g·B±i>¼»\¬eF¨H°b©b¼¬®_ªÅ¶?³v±o¯}¯}©b²e°b¬¬e³ ̼¯¨O¼©b$¬®¨M¼=À¨2¼}¯ °D¼}©b±dÀ"«\¼=©b³¨O«\³³ÆødßN¸ «\´$¼=±Ì½«\¯¬®_¼±o³=É=«Îóv¨\ðD¬eª³v²e¼=²B¯ ¶\(©b¨#³d½°b¶\³d²e¼#¼=²Í¹Iµ\ɱv³d°¼²O¯}¨O»OÀ³¼}«\°¬e¬®±¨ ©b»,³d©b°b°b«\¼³d³ ¹¹ ý2¬®¨OÞQ¼Ì´$_Þ#¬W_»?¯±d³=à ¯É°H¯}Ø »OGD«\!©¬e¯.B&C.¬®¨UÚOµ\¼¼³v¶\°É}°bµ,°b¬®³v³d³d³°° Às¬®»g¨H°b¼=³d©__³d°b³¹m¼#Àµ\¼»?¶O°b¯}½±o°©b¯}¬e½±v¼¼=¨³d¨H©b©b©b³d¼=¼ª°b¶,i©b°b«\¬®và ³¯Ø ½.²Í°b«O³Ì¯}¼¯¬e¶O¨Ëµ,É=Ç:«¯}²e±vÉ©b²e«O¼¯}°b³Æ°b¬Í¬ ©b?¨,«O³v¶\½ µ:½¬®³dÀ¨:°b¼¬®°.±Ì©b¯«\»g²g³{¼³d_²e¯³2©b¬e½.©³v_¯©b³v¬®©b½.±d¬®¼=©b¯¬®¨¼©b¨"¬e¼¼Ààßà¨Ñ©b©b«\«\¼}³³ À À»g¯¼»\¼=²®»\²e²ÍÇ,¼Ì°b´¨O¼=¼¯½©b±«O«¬e¬®¯NÀs²®¼v¯°Ã »O©b,»,«O¬®°b³D¨O¼Q±d»g¯}³$±o¼=«W©b_«\³Ã ¬®(³vU¬®©b(³{¬®½.¨\©b¼«O¯}© ©b³d¬®°b»g¼=³o¼¨À¼__¼°b¬®Àà³¾O»\²®¬®³¨#°b¼ÄQ¬®¨Å³v³v±dÉ=©b©b³d¬®É=³v¨Oµ¯}³d©b°±v³Ì¯}²®µ²m¼=ß#_¯'´(³vµ³Æµ,¬Í±v±ÌñB¶,¯}³d°b¨O°bÄQ¨\³v³v¨H¼v©© ß ©½.Ø ´(«O¯³v³o¬®³v¨9°b¨³dÀ»,·}¼}°b¸Î°b¼=³q¾\¬®¯ª²e½.³d½1 ¯Ä=É=³d³$°b¬®_À¬®³v¼=©b¯}¨ ¼|©b¶\¼}µ,°bÀi³d³d©b$¯}³d¨Ñ¯°b½¨?§µÛ ¬®¨O»gÊ7³R¼¹K¯¬e_¨H²®¶\É©b¬® ¼©b³v°b¼¬Íµ9©b¨«O±v©b½Â¼«O°_³!°b¬®{³vº}_¸Î»,»g°b¼½³v¨?_¼#µ,³vµ,³v¨H¨O³v©b²?³Ì±vµB³d±v2¶,à °b¾gÄQØ"³d³=¼ ¹ à $´ «O¬®±«2²®³Ì¯µ\$©b¼{¯Þ#¬®¨O³v½.¯©b¬®±iµ\³v_±o°b¬e»,©b¬®¼=¨'¼}À©b«O³!»g¼_³i»\°b¼¾O²®³v½'à µ\³v¯²O´$¬Í©b«.º¸[¼=¾#ųd±d©b ¯}¨?µ{»?¯°_©b¬e¯²g¼H±v±v²®¶Oµ\³Ìµ¯}_»g³v±d©b ¼}À"¼¾,ųv±d©b
=ɾHµ\¼}Ç2¶,°b°b¬Í¶\¬®©b¨O_«OÉ$¬®½'¨O©_É.°Ã ¯_Ø ±³dÞ,©b«O¬®³o¨\°b¼}É\³ÆÀß´ ´ ÚO³!¼=³(¶,¯}©b°b«\°b¬e³i³o³v°!¨¯}¾Oµ,»\²®³v°b³_³v±d_©b°b³d¼{¬®¨#»\µ,©©b³Ì¼}¯Æ¯°b½²?Æ´$©b¼#¼.¬Íµ,©b¬«½O³Ì¼H¼#µ!±vµ\±vÄQ³v²®²à³d¶O°b¯__¬®_¬®¼=¼»g¨2¨³v±o»\¼}©b°bÀ?¼=¼=¼¾\¶,À7²®°7³v©b½¯«\²Í³¹ ´$¼=±«?¾#¬Í©b¯Å«'³d¬®¨\±d©½$´$´$¼#µ\¬Í¬Í©b©b³d«O«\²e¬®¬®¬e¨\¨'¨É{µ,©b«O¼=¬®ñB¾#³i³oÅÚO°b³v³v±o¼¨H©!¶\©°bµ,¬®_³d³d±v°ÆÀ³v¼}¨Oµ\°b½.¯}³d_°b¯}±d¬®¼=©b°bv¬®¬®¼=»\è\©bØ ¼D°b«O¾H$³ÇÀ³¼}±v,°D¼»g¼=½³d¾#°b¾OŬ®¬®³v½¨\±d¬e³v©Æ¨\¨H½É©b(Þ#¼#±v¬®µ\¨O¼³d³v¨O²e½.¬®±v¨\²®É\¯¶?©bõ,¬®³± »g¼=_Às³¼°!³vÀ~°b©b³v¬®½.³d¹m¯}À¼}©b°b¬®¼=½ ¨q±v¼}¼À7¨#»g©b¼=¼¬®¶\¨H°b©_!¹I²e±d¬®¨\¼=³i¨O_±v¬®¼©b°_¹ °b¼³vÀ_ZƬ®»g©b³o¼_¬®°¨?¨O¯}µ\É©b³d¬®¨O¨O¼=É{¶,±v³v°Æ©bv«\¯ßB³»O©b»,«\À¼°b³{¼Q²e²®¯¯}¼Ì²®±o´$É«'¼¬®¨O°bÀsɬͼ©b°Æ«O½& ©b³v»O+
Iteration 1
Iteration 4
Iteration 6
Iteration 9
!"# " %$ '&( " " ! ) * " )
!*+ ,-
.$ / ( " *
*0 !! * "
1 .$ 21# 3'&4$
¯}²®±v²¼¨H¬e½.©b¼=¯}¶\É=°Ì³Ñà ±vØ ¼=¨H«O©b³¼=¶,¯}°²®É=»g¼°b¼¬Í¬e©b¨H«\©b½Ó :_¬®¬e©b½_³d¶O²®À{²Í©¯±v¨\¼³d°_¹¹ =°b¼ ³v¶\__Ø »g²ÍÇΫ\¼¨?³ »\µ\¶O¬eNµ\²®²³v©b¼q¯Z¼=¨Z©b¬®«Ovß©b³.«O©b´ ³«O³v¯}º}²®©²Í¸¿ ¬®½¨ ¼=÷ ©b²Í¶OÇ'_¬®¯¨O»OÞ#»\¬®³d²®¬e´$³vµ'¬®±+ .¼=¨q³d©N_³d¯©b¹I²(Þ,ƨ\·¼ó¼ÌÀ(´$ó,·}ø¨Ë¸0ù §þ ¼Û ¯°!ʨ\ºÉU¸0¯ø̲®É=õ»g¼}õ=¼=°bõ¬®¬Í¨HûI©bà «O©bƽ'(´(¶,ß ³©³=ï}´$É\»OëO»\³d²®µ\°bdz̬®_¯}¬Í±v©!¶O¼_¬®©N¨R_³v¬®µ¯ ©_°b°b³v¬®±vÉ=¼¼¨O¨O¼=©_½°b¶\³o±d©_©b°b³Ì¬eµ±.»,¬®¨H°b©b¼}³dÅ°b³v»g±d©b¼=¬®²e¼=¯¨{©b³Ì°µ:¯vÇ,Àv¶\à ¨OR±d©b¼}¬®¼©b³ ¨©b¯«?¨O¯µ:©ÿ©bÀs«O°b¼¬® ½ ¯²®¬®É=½.¼}°b¯}¬®É=©b«\³½0»g¼=¼=¬®¨O¨H²Í©bÇ ´ ¬®½.¼}¯°bÞ#ɳ »O¬®À"²e¯´ ¨\³³ ¯¯_°b_³ ¶O¨O½¼}³©ÿ¯©b¼H_¼!±v³dµ\¨?¬ÍñB¯}°b³d¬®°b¼N³d¨#´$©Ì«OódØ °b³«#¶O©bv«\ß³¬®©7¼¾O¬®ÿ_¶\³d°b_ijd¯}À¶\©b¬®²#¼=Às¨\¼°ÿ©_¬®¨°¯}©b±o«\ÞH³ ¹ ©b´ ¬®¨O¬®½³!ɯ³v©²®¯__¼²eÞ#³v¶Ov¯=ÃD_µ9³!ÚO©b²®¶,¼Ì¼°_´©b²®«O¹I¼H»?³d±Ì¯}°D¯_²i©bD«O½¬®³¨,¬®À½¨O¼¬®°b½.¼½.¨O¯#¼¯ÃT©b©b¼¬®¼=¨OØ਼¼|¶OÀs¼D¯Ì°DÄQ±v¼=±v¼=¬e¼¨#µÔ¨#ÄQ©b³d_¼°b¶O¶\ɱ°D³v«Ô¨O¯}±d»O²®³¼H»\±Ìµ,°b¯¼ ¼H²i,³v¬®½½._¬®¯}¨O¼©b½¬®½.¬®¼=³d¨ ¯ ¹ À»gµ\¼}¶,¼=°¬®°b¨H¬®¼=¨O©b¶,É° ¯}©bO«\¨?°b³!µË©!¬Í©bµ\³³d¬Í,ñB°¯}»g³d©b°b³d¬®³v°b¼=¨H¬®¨W½©.óv¯}ð ¨H»O©b»\Æ»,°b°b¬®¼ i¼},Å_¬®³v½.«O±d¼Ì©b¯}¬®´$¼=©b¬®¨q¨ª¼=¨|¼}¬®¨ Àÿ²®³v©bOÄQ«OÉ=³d³i¶,²e.°b¶\³ _¯³Ìy\°bµ2³'ÃN¼=_Ø ¾#«O«\ż̳d³{´$±d©¨Wµ,¬eà ½_±o¼#Ø °b³dµ,«\©b³v³³ ²
d³Ú°¬®¯É=©b¶,¬e°b¼³ ¨"à BÄ,¬®_¶O¯²®¬ ̯}©b¬®¼=¨U¼À ©b«\³§_Û Êÿ¹K¯²®É=¼}°b¬Í©b«O½Ùµ\¶,°b¬®¨OÉ.©b«O³¬Í©_¹ 85
80 70 60 50
(ms) 40 30 20 10 100
200
300
Frame
400
500
Ú=·}¬®É=ó¶,¬®°b½.³@¯É³vÛ(và ¼=½»\¶\©b¬®¨OÉ©b¬®½³vWÀ¼°ÿ¯¨N¬e½.¯}É=³ _³ÌÝH¶O³v¨\±v³ ±v¼=¨H©¯¬®¨\¬e¨\É 5
v±Ú¼¬®É=¨#¶,©b¼°b¶\³°Ìy à àØ «O³µ\¬ÍñB³d°b³d¨#©¯»\»\°b¼ ,¬e½.¯©b¬®¼=¨²®³vÄQ³v²®à¼}À\©b«\³(º}¸Ñ¼¾,ųv±d© »\¬®¨ °b¬®¨\?±vɬ®¶\»O°b²®³ ³¼#ÀÿÃq©bØ «O³«O³d§°bÛ ³.Ê7©b¹K«O¯³²®É±¼«O°b¬Í¼©b_«O³v½Á¨±vµ\¼¶,°_°b°b¬e³d¨\_É»g¼=©_°¨?¯µ,±³vÞ#¨O¬®¨O±d³vÉ{¬®¯°bÄ#³¬®_¯}¶?²®¯}_¼ª²e¬ vÄ#³v¬Íµ ¹ _±v¶?¼}°_¯}°b²®¬³v d_³Ì»gµª¼=¨O¾Hµ\dzv¨\»\±v°b¼³vųv±o¯©b°b¬e³2¨\ɱ«O©b¼=«\_³v³d½Ü¨Ñ¬®¬®¨¨#©b¼©b«O©b³«\³Nº¸È¬®½._¯}»?É=¯}³=±vó=ßR_¼}¬e©b¨\³=±vß?³©b«?©b«\¯©³2©bº}«\¸ ³ ±v¼¨#Ú©b¬®¼É¶\¶\°D°b³@»g$¼=¬®_¨H«O©b¼Ì$´$¯}à°b³i©b«\°b³³v²e±d¯¼=©b½³Ìµ»O¶,©b¼©b¬®¨Oº}¸MÉ ©b»\¬®½°b¼³vÅ"³vÀs±o¼©b° ¬e¼¯}¨'¨N°¬®¯v½.Ç\¯}vÉ=à ³(_³vÝ#¶\³v¨O±d³ ±vļ¯}¨#°b¬®©³v¯}ÿ¬®¨O¾g¬®³d¨O©KÉ ´ ³v³v·¨ó{·¬®½.ó}½¯Éÿ³v¯v¨Oõ Ø «\}³i½±vv¼=Ã½Ø »\«O¶\³©b¬®¯Ì¨OÄQÉN³d°©b¯}¬eÉ=½³ ³!±d¼=Às¼½°Æ»O³Ì¶,¯©b±¬®«'¨Oɬ®½.©b¬®¯½É³³ ¬®¯{±«Oº?¬®y=³v½Ä=³Ìvµß´$´$«\¬Í©b¬e«q±«¯¬®·Yü ³ÌÝH¶\ ¬eÄʯ³v²®¨H³v¨H©b¬®©¶Ok ©b¼ªy·õ'±v¼=Às½»Ov»\ê¶\©bØ ³d°Ì«Oà ³d_³.°b³d_¶O²Í©b´(³d°b³ ½ 1 : /%>2)Î ,P+A AS+) 1 : 2)+16>2A 0,3( )+,3/7* ¯³Ì¯}§K_¨U¬e¼=²Í¨\Ç©b³«O¾g³³Ïбv»,°b²®¼=³v°b³v»,_³ÌÄ#°bµO¬®³v¼=_Ö.¶O³v¨H±dN¼=©b³³Ì¨H,µ.©b»g¼=¾H¶,³dÇ°b°Ì¬®Ã ½¯N³v_(³d¨H¶,©$©©¼}¼=Àÿ½.¶,º}°N¯¸M¨H¼=¾#Ç˱vż=³vº¨H±d¸×©b©¼¶\½¼°b¾,¼#ŵ\³v³³v±d,² ©b»\2¬®°b³d±v_¯¯}_¨9_¬e_¨\¶Oɽ½©b¼}«\³Ì°bµ ³³ ½µ\µ\¬Í³vñB¼#¯µ\³d²#°b³d´$³d²\¨#¬®©b©b©à¼«¯¯¼H_»g±v_±v³o³d²®© ±d¶?©b¼µ,àÀà³Ì¼}µºÀ,¸Z©b¼}«\°±v³7»O¼¼=¨H¯}¾#°_©bÅ©b¼=³v¬e¶\¯±d°b²®©Ì²Ív7ÃÇ{à ¼HØ ±d³ÿ«\±v³Æ´$²®¶?½.¬®µ\²®²H³v¯}¨Oµ¬®¨¼Ì±v´U¼»,¨#°b³ ¼=©b,¼¾\©b¶\³d²e³d¨?° ½µ»?¯©b¬®v°_«O©bß#³ÿÿ«O¼¼¼Ì¾,Àg´ÑÅ©b³v«\©b±d¼³© 65
65
7
)545
b©¼=¯¼¾#¶,Å©b³Ì³d¼=¯}±d½.©Ì±o«ÔÃ~¯©b¬e¼}±v©b¯³d«O°b²®²Í³d³Ç'°Ìßÿõ,©b«O³Ø ?³.¨\«O±v³v¬®¼= ¨H©b½©b«O¼³Ì³!¶\¯°b»g¨\¼¯}_³°b©b³«O¼¯}À¯©_©b_«\©b¶\«O³!½³R¼³Ì©b»gµ«\¼=³d_¯° ³ª¼°b¬®ÀNÉ=¬e¼µ\¨O²ÍdzR±v±v¼¼=¶O¨H©b»\¼²e³v¶\µ ° ¬®$_á¬e½¶,°ÿ»\¯}²®³i²eɯ¼¨O°bµ2¬Í©b«O³d½ÎñB³v©b±d¼!©b¬®ÄQµ\;³³v¯²Q´$¬Í©b«»O¯}°_©b¬e¯²®²ÍÇN¼H±v±v²®¶?µ,³ÌµN¼¾,ųv±d©7»O¯}°_©b 9
%:; -+ ,
&
1
) !)"#4= 1 ?A@?=21 B
*&0 U Ø «\°b³v³o¹µ,¬®½³v¨O_¬®¼=¨O¯²B¼=¾#ųd±d© °b³v±v¼É=¨\¬®©b¬®¼¨Às°b¼½ _¬®¨\¹ ɲ®³2©´(¼¹Kµ\¬®½³v¨\_¬e¼¨?¯}²D¬®½.¯}É=³vvÃoc #"!$% p '0%(@TOq& 5/!