14 Sep 2015 ... Materi. • Sistem Koordinat. • Permutasi dan Kombinasi. • Binomium Newton. •
Induksi Matematis. • Determinan Matriks & Aplikasinya. • Fungsi.
Binomium Newton 14 September 2015
ILHAM RIZKIANTO, M. SC.
[email protected] [email protected]
Materi • • • • • • • • •
Sistem Koordinat Permutasi dan Kombinasi Binomium Newton Induksi Matematis Determinan Matriks & Aplikasinya Fungsi Limit Fungsi Kontinuitas Fungsi Turunan
Kata Newton "Truth is ever to be found in the simplicity, and not in the multiplicity and confusion of things.”
Binomium Suatu Kuantitas yang dinyatakan sebagai jumlah atau selisih dua buah suku. 𝑥+𝑦 𝑎−𝑏 2 + 0,05 19 − 𝑥 2
Teorema Binomium Untuk setiap bilangan tak negatif 𝑛 berlaku 𝑛
𝑥+𝑦
𝑛
𝐶𝑘𝑛 𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘
= 𝑘=0
Contoh: 𝑥+𝑦
2 2
𝐶𝑘2 𝑥 2−𝑘 𝑦 𝑘 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
= 𝑘=0
Jabarkan 1. 𝑎 + 𝑏
4
2. 𝑚 − 𝑛
5
3. 2 + 𝑥 2
3
Tentukan nilainya 1. 𝑎 + 𝑏
4
2. 𝑚 − 𝑛
5
3. 2 + 𝑥 2
3
Tunjukkan 2𝑛 = 𝐶0𝑛 + 𝐶1𝑛 + 𝐶2𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛
Binomium Newton Pada tahun 1665, Newton Menggeneralisasi teorema binomial sehingga dapat digunakan untuk setiap bilangan rasional 𝑛. ∞
𝑥+𝑦
𝑛
𝐶𝑘𝑛 𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘
= 𝑘=0
Contoh Binomium Newton 1+𝑥
𝑛
1+𝑥
−2
𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 3 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 2! 3!
−2 −3 2 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 3 = 1 + −2 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2! 3! + ⋯ ≈ 1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 − 4𝑥 3 Catatan: Jika 𝑛 bukan bilangan bulat positif, penjabarannya akan tak hingga sehingga perlu nilai pendekatan. Pendekatan ini akan valid jika deretnya konvergen, dan ini hanya akan terjadi jika nilai 𝑥 < 1
Hal Menarik 1−𝑥
−1
= ...
2
3
1+𝑥+𝑥 +𝑥 +⋯
Jabarkan 1. 1 + ℎ
−4
2. 1 − 𝑥
−5
3.
2 1+2𝑑 3
