Probabilistic model for remain passenger queues at subway station ...

22 downloads 16 Views 3MB Size Report
Abstract: The remain passenger problem at subway station platform was defined initially, and the period variation of remain passenger queues at platform was ...
J. Cent. South Univ. (2013) 20: 837-844  DOI: 10.1007/s11771­013­1555­2 

Probabilistic model for remain passenger queues at subway station platform  XU Xin­yue(许心越) 1,2 , LIU Jun(刘军) 2 , LI Hai­ying(李海鹰) 1 , ZHOU Yan­fang(周艳芳) 2  1. State Key Lab of Rail Traffic Control & Safety, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;  2. School of Traffic and Transportation, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China  © Central South University Press and Springer­Verlag Berlin Heidelberg 2013  Abstract:  The  remain  passenger  problem  at  subway  station  platform  was  defined  initially,  and  the  period  variation  of  remain  passenger queues at platform was investigated through arriving and boarding analyses. Taking remain passenger queues at platform  as  dynamic  stochastic  process,  a  new  probabilistic  queuing  method  was  developed  based  on  probabilistic theory  and  discrete  time  Markov  chain  theory.  This  model  can  calculate  remain  passenger  queues  while  considering  different  directions.  Considering  the  stable or variable train arriving period and different platform crossing types, a series of model deformation research was carried out.  The probabilistic approach allows to capture the cyclic behavior of queues, measures the uncertainty of a queue state prediction by  computing the evolution of its probability in time, and gives any temporal distribution of the arrivals. Compared with the actual data,  the deviation of experimental results is less than 20%, which shows the efficiency of probabilistic approach clearly.  Key words: subway; platform; remain passenger; queuing theory; probabilistic theory; Markov chain

1 Introduction  Congestion and pollution problems in China’s large  cities  made  the  construction  of  the  subway  system  necessary.  Many  subway  stations  experience  very  high  levels  of  pedestrian  density  especially  at  platform.  Indeed, several statistical analyses  of accident data were  performed  in  China,  Europe  and  United  States  of  America, such as those in Refs. [1–4], and showed that a  lot  of  injuries  occur  during  the  travelers’  boarding  and  alighting and that these injuries are closely linked to the  design  of  station  platform  [5–6].  Moreover,  transit  platform  have  critical  passenger  holding  capacities,  which  if  exceeded,  could  result  in  passengers  being  pushed onto tracks.  Because  of  the  importance,  lots  of  papers  researched  the  platform  problem.  A  number  of  studies  focused  on  alighting  and  boarding  flows  of  passengers.  The relationships between the dwelling time of trains and  the  crowding  situations  at  Light  Rail  Transit  (LRT)  stations  in  Hong  Kong  are  firstly  determined,  and  regression models are established for the dwelling delays  of  train  by  WILLIAM  et  al  [7].  Research  on  alighting  and  boarding  times  at  Dutch  railway  stations  by  DAAMEN  and  HOOGENDOORN  [8]  was  done  focusing  on  the  dwell  time  of  trains.  Factors  assessed  included  passengers’  distribution  on  the  platform,  alighting  and  boarding  times,  station  type,  type  of  train 

service,  vehicle  characteristics  and  period  of  day.  Measurements  of  boarding  and  alighting  times  for  different  train  types  were  researched  by  HEINZ  and  ANDERSON  [9].  The  time  characteristics  of  boarding  passengers  were  analyzed  and  the  piecewise  mathematical model for average boarding time based on  the  field  data  of  passenger  boarding time  was  presented  by  CAO  and  YUAN  [10].  Moreover,  inflow  of  passengers  was  also  studied.  Arrival  was  considered  as  the  continuous  and  steady  progress  and  can  be assumed  to follow a Poisson distribution by ÖZGÜR and MIRAC  [11]  and  RODRIGO  [12].  But  little  interest  has  been  given to the change law of the passenger at platform.  Remain  passenger  problem  at  subway  station  platform  was  defined  initially  in  this  work,  and  a  new  probabilistic  approach  was  presented  based  on  probabilistic  theory  and  discrete  time  Markov  chain  theory.  The  probabilistic  approach  could  give  a  theoretically quantitative prediction for remain passenger  queue length in the end of each cycle time, which can be  used  for  designing  the  solution  for  passenger  flow  organization. 

2 Problem defining and notations  2.1 Basic concepts and definitions  By  observing  the  travelers’  distribution  on  a  platform,  passengers  could  be  classified  as  inflow,  outflow,  alighting  passenger  and  boarding  passenger,  as

Foundation  item:  Project(2011BAG01B01)  supported  by  the  Major  State  Basic  Research  and  Development  Program  of  China;  Project(RCS2012ZZ002)  supported by the State Key Lab of Rail Traffic Control and Safety, China  Received date: 2012–03–01; Accepted date: 2012–05–23  Corresponding author: XU Xin­yue, PhD; Tel: +86–15011516578; E­mail: [email protected] 

838 

J.  Cent.  South  Univ.  (2013)  20:  837-844 

shown  in  Fig.  1.  The  train  runs  by  specially  cycle,  but  passengers can  only  alight and  board during dwell  time,  that is:  TDk = tk¢ - t k 

(1) 

where  k  represents  cycle  number,  TDk  is  dwell  time  duration,  tk ¢ is  departure  time  at  k­th  cycle  and  tk  is  arrival time at k­th cycle. 

Fig. 1 Passenger flow between platform and train 

The  cycle  starts  from  the  departure  time  of  a  train  and ends to the departure time of the successive train in  the same direction. Figure 2 shows the description of the  cycle. Obviously,  Tk = tk¢ +1 - tk¢ = TSk + TDk , TSk = tk +1  - tk ¢

(2) 

where  Tk  is  cycle  time  of  k­th  cycle;  TSk  is  separation  time duration.  Fig.  3  Relationship  between  arrivals,  boarding  passengers,  queue  length  and  total  delay  in  oversaturated  case  and  with  undersaturated conditions and positive initial queue length with  uniform  arrivals  and  departures:  (a)  Cumulative  arrivals  and  number  of  boarding  passengers  in  oversaturated  case;  (b)  Cumulative  arrivals  and  number  of  boarding  passengers  in  undersaturated case with non zero initial queue 

Fig. 2 Definition of cycle and phase 

The phenomenon, which the passenger arriving into  platform  will  not  be  able  to  depart  (board)  within  the  same  cycle  and  should  wait  for the next, can  be defined  as  remain  passenger  problem.  Obviously,  remain  passenger problem in subway has directions according to  train  operation  direction  and  the  similar  process  in  different directions.  Considering  a  single­track  remain  passenger  problem of one platform, if the platform is oversaturated  (Fig.  3(a)),  i.e.  there  are  more  passenger  arrivals  than  maximum boarding capacity (depending largely on train  idle capacity and boarding rate), the train arriving in the  cycle  will  not  be  able  to  depart  within  the  same  cycle  (remain queue). A remain queue may be observed also if  an undersaturated period follows an oversaturated one and 

a  non­zero  initial  queue  is  assumed  at  the  start  of  the  cycle (Fig. 3(b)).  Figure  3  shows  the  dynamic  behavior  of  queues  when  constant arrival  and  boarding rate  are assumed.  If  one  assumes  perfect  uniform  arrivals  and  boarding  within  one  cycle,  respectively,  at  rates  a  and  b,  the  expectation  value  of  the  queue  length  in  a  cycle  will  increase linearly  with  a during  the  separation  phase  and  if  a 0 .  Equations (6) and (8) can be rewritten by  b max 

pij = pij (1) =

å pij (t, b1 )P(b1 ) 

(11) 

b 1 = 0  Q max 

P (Q0 = j , k ) =

å P (Q0  = i, k - 1) × pij 

(12) 

i = 0 

Figure  5  shows  an  example  of  queue  transition 

Fig. 6 Evolution of queue length probabilities for x=0.975 

4.2 Variable cycle  The train runs in fixed headway in normal situation,

841 

J. Cent. South Univ. (2013) 20: 837-844 

but  the  headway  varies  when  an  emergency  occurs.  We  presume  that  the  dwell  time  is  fixed  and  the  separation  time is changed. In fact, the dwell time can’t be changed  given  specially  passengers,  but  separation  time  can  be  changed  by  train  speed.  From  previous  studies  [10,  12,  14], we consider the deviating time distribution from the  fixed headway as a normal distribution, as shown by 

(THk - TH ) ~ N (0, e ) 

(13) 

where  T H  represents  the  average  headway  time, e  represents the deviating.  As  shown  in  previous  sections,  apart  from  these  exceptions,  it  is  a  generally  accepted  hypothesis  to  consider  the  arrivals  at  an  isolated  platform  within  a  cycle  following  a  Poisson  process  [10–11,  14].  In  practice,  the  demand  is  subdivided  into  periods  of  stationary  conditions,  in  which  the  average  arrivals  do  not  change  significantly  from  each  other.  According  to  the  definition  of  Poisson  distribution,  this  average  value  represents the only parameter, which defines its shape.  To sum up, Eqs. (3)–(5) can be rewritten by  b max 

pij ( k ) =

å  pak ( j + bk - i) × pb (bk ) 

(14) 

b k  = 0 

ìb max -i  ï å  pak ( ak £ n),  "i £ bk , ak  Î [0,  a max ]  pi 0  = í b k =0  ï î 0,  Otherwise 

piQ max 

Fig. 7 Transition matrix for variable cycle at different cycles 

(15) 

ì b max  ï å  pak (ak ³ Qmax - i + bk }, "Qmax - i + bk  £ a max  = íb k =0  ï î 0,  Otherwise  (16) 

where j≠0,  0≤j+bk–i≤Qmax,  bk≤Amax,  pak(x) represents the  probabilistic  of  arrivals,  and  pb(x)  represents  the  probabilistic of departures.  Figure  7  shows  an  example  of  different  queue  transition  probabilities  for  variable  cycle  in  a  saturated  case  (l=2.4,  x = 1.1).  Obviously,  different  transition  probabilities  are  achieved  for  different  cycles.  If  the  queue  is  zero,  there  is  over  99%  chance  that  it  will  remain  non  zero  at  the  following  cycle,  which  verified  that  remain  passenger  queue  inevitable  happened  when  arrivals is larger than departures.  4.3 Different crossing types of platform  There are two crossing types of platforms in subway  station,  namely  side  and  island.  Given  one  platform  for  different  types,  the  method  of  calculating  remain  passenger  is  different.  The  flag  u  represents  the  up  direction  of  trains  and  the  flag  d  represents  the  down  direction of trains. 

1)  Side  platform.  For the  type,  the  trains  of  double  directions  arrive  at  different  platforms  and  the  train  at  one  platform  has  single  direction,  so  remain  passenger  queues  can  be  directly  calculated  by  the  probabilistic  single­track queuing model.  2) Island platform. There are two remain passenger  queues  on  the  platform,  which  share  the  same  space  of  platform.  Some  specific  behaviors  weren’t  taken  into  account such as a passenger who decides to board again  into the public transport because of alighting by mistake.  The  platform  can  be  assumed  by  the  up  and  down  separately,  independently  of  each  other,  as  shown  in  Fig. 8. 

Fig. 8 Schematic diagram of platform used separately

842 

J.  Cent.  South  Univ.  (2013)  20:  837-844 

So, the total remain passenger queues in any time t  at platform can be calculated by  d



Qmax

E[Q0 (t )] =

å

Q max 

d

j × P (Q0 = j ,  k ) +

j =0

å  j × P(Q0  =



j ,  k ) 

j = 0 

(17)  where  kd

k d  +1 

ku

k u  +1 

å Tkdd £ t