PROBABILITÉS. I. Traduction des données en termes de probabilités. Corrigé. D'
après un texte. Exercice 1 : 4. 1. 100. 25. )(. = = Cp. ,. 50. 11. 100. 22. )(. = = Tp.
PROBABILITÉS I.
Traduction des données en termes de probabilités
Corrigé
D’après un texte Exercice 1 : 25 1 22 11 15 3 p (C ) = = , p (T ) = = , p (C ∩ T ) = = . 100 4 100 50 100 20 Exercice 2 : 1 1 1 p (V ) = , p (V / M ) = pM (V ) = , p ( M / V ) = pV ( M ) = . 4 10 9 Exercice 3 : 1 1 3 p ( M 1 ) = , p ( M 2 ) = et p ( M 3 ) = 2 8 8 13 5 1 10 1 p ( R / M 1 ) = pM 1 ( R ) = , p ( R / M 2 ) = pM 2 ( R ) = = et p ( R / M 3 ) = pM 3 ( R ) = = . 100 100 20 100 10 Exercice 4 : 60 3 85 17 70 7 = , p A / E = pE ( A ) = = . p( E ) = = , p ( A / E ) = pE ( A ) = 100 5 100 20 100 10
(
)
D’après un arbre Exercice 5 : 1) Les données permettent de compléter l’arbre 2 sans faire de calcul : le premier tableau donne les probabilités de A, B, AB et O, le deuxième tableau donne les probabilités de R conditionnées par A, B, AB ou O. 2) On lira p ( R ) sur l’arbre 1, p ( A ) sur l’arbre 2, p A ( R ) sur l’arbre 2 et pR ( A) sur l’arbre 1. Exercice 6 :
Exercice 7 : 3 3 2 5 1 3 p A ( B ) = , p A ( B ) = , p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B ) = × = , p ( A ) = . 4 8 5 5 8 4
1
Exercice 8 :
Exercice 9 :
2
Exercice 10 :
Exercice 11 :
Exercice 12 :
3
D’après un tableau Exercice 13 : 78 . 125 47 . Le nombre total de femmes est 47 ; la probabilité pour que l’adhérent soit une femme est 125 16 femmes pratiquent un sport ; la probabilité pour que l’adhérent soit une femme pratiquant un 16 sport est . 125 2) On se place dans l’ensemble des femmes ; 16 d’entre elles pratiquent un sport. 16 La probabilité cherchée est donc . 47
1) Il y a en tout 56 + 22 = 78 hommes ; la probabilité pour que l’adhérent soit un homme est
Exercice 14 : On choisit un élève au hasard ; on est donc en situation d’équiprobabilité. 1) On choisit l’élève parmi les 800 élèves du lycée. L’univers Ω est donc l’ensemble des élèves du lycée et Card ( Ω ) = 800 .
P ( A) =
Card ( A )
Card ( Ω )
=
200 1 300 3 60 3 = ; P ( B) = = ; P (C ) = = . 800 4 800 8 800 40
2) On choisit l’élève parmi les 600 élèves demi-pensionnaires. L’univers Ω’ est donc l’ensemble des demi-pensionnaires et Card ( Ω ') = 600 . La probabilité pour que l’élève soit en seconde est
240 2 = . 600 5
Exercice 15 : 1) On choisit un élève au hasard ; on est donc en situation d’équiprobabilité. 150 1 30 1 120 + 70 19 a) P ( A ) = = b) P ( B ) = = c) P ( C ) = = 300 2 300 10 300 30 d) P ( D ) =
120 + 70 + 80 300 − 30 270 9 = = = . 300 300 300 10
1 9 = . 10 10 2) A = F ; B = S ∩ F ; C = ( F ∩ S ) ∪ ( S ∩ F ) ; D = ( F ∩ S ) ∪ ( S ∩ F ) ∪ ( S ∩ F ) = F ∩ S . Autre méthode : on peut remarquer que D = B . On a donc P ( D ) = 1 − P ( B ) = 1 −
Exercice 16 : 30 + 50 8 30 3 30 3 = , P( F ∩ S ) = = , PS ( F ) = = . 110 11 110 11 30 + 50 8 12 + 18 3 18 9 18 3 b) P ( S ) = = , P (G ∩ S ) = = , PS (G ) = = . 110 11 110 55 12 + 18 5 3 8 3 3 3 9 2) PS ( F ) × P( S ) = × = = P ( F ∩ S ) et PS (G ) × P ( S ) = × = = P (G ∩ S ) . 5 11 55 8 11 11
1) a) P ( S ) =
II.
Utilisation des formules pour calculer des probabilités
Exercice 17 : A est l’événement contraire de A ; donc p A = 1 − p ( A) = 1 − 0,7 = 0,3 . p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) = 0,7 + 0,4 − 0,2 = 0,9.
()
4
Corrigé
Exercice 18 : p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) , donc p ( A ∩ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∪ B ) = 0,5 + 0,6 − 0,7 = 0,4 . Exercice 19 : L’univers est composé des trente deux cartes. On considère les événements A : « la carte est un as » et R : « la carte est rouge ». On cherche la probabilité de A ∪ R . p ( A ∪ R ) = p ( A) + p ( R ) − p ( A ∩ R ) . Card ( A ) . On est en situation d’équiprobabilité, donc p ( A) = Card ( Ω ) Dans un jeu de trente deux cartes, il y a quatre as et seize cartes rouges, d’où : 4 1 16 1 p ( A) = = ; p( R) = = . 32 8 32 2 L’événement A ∩ R est composé de l’as de cœur et de l’as de carreau, Card( A ∩ R ) = 2 , puis 2 1 p( A ∩ R) = = . 32 16 1 1 1 9 Donc : p ( A ∩ R ) = + − = . 8 2 16 16 Exercice 20 :
1 p( A ∩ B) 6 1 4 2 p( A ∩ B) On sait que p A ( B ) = , donc p ( A) = = = × = . 1 6 1 3 p A ( B) p ( A) 4 Exercice 21 : QCM 1. B = A , donc P ( B ) = 1 − P ( A ) , soit encore P ( A) = 1 − P ( B ) . Réponse b. 2. A et B sont indépendants donc P( A ∩ B) = P( A) × P( B) . Alors PA ( B) =
P( A ∩ B) P ( A ) × P ( B ) = = P ( B ) . Réponse c. P ( A) P ( A)
3. A et B sont deux événements incompatibles donc P( A ∪ B) = P( A) + P( B) . Réponse a.
Formule des probabilités totales Exercice 22 : 1 1 1 ; pB (G ) = et pB (G ) = . 10 6 6 B, B forme une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales,
Les données de l’énoncé se traduisent par : p ( B) =
{ }
p (G ) = p ( B ∩ G ) + p ( B ∩ G ) = p ( B) × pB (G ) + p ( B) × pB (G ) . 9 5 ; pB (G ) = 1 − pB (G ) = . 10 6 1 5 9 1 14 7 D’où : p (G ) = × + × = = . 10 6 10 6 60 30 p( B) = 1 − p( B ) =
5
Exercice 23 : a) Les données de l’énoncé se traduisent par : 1 1 1 1 1 1 p ( A ) = , p ( B ) = , p (C ) = , p A ( R) = , pB ( R) = , pC ( R) = , pD ( R) = 0 . 3 4 12 20 10 5 {A, B, C, D} forme une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales,
p ( R) = p ( A ∩ R) + p ( B ∩ R) + p (C ∩ R) + p ( D ∩ R) 1 1 1 1 1 1 = × + × + × + p( D) × 0 3 20 4 10 12 5 1 1 1 7 = + + = 60 40 60 120 1 p ( A ∩ R) 60 1 120 2 = = × = . b) On cherche à calculer p R ( A) : pR ( A) = 7 p( R) 60 7 7 120
III.
Événements indépendants
Corrigé
Exercice 24 : On cherche P (T ∩ E ) ; or T et E sont indépendants donc
P (T ∩ E ) = P (T ) × P ( E ) = 0, 02 × 0, 04 = 0,0008 .
Exercice 25 : 30 35 65 13 10 25 35 7 + = = . b) P ( F ) = + = = . 100 100 100 20 100 100 100 20 2) H et F sont indépendants si P ( H ∩ F ) = P ( H ) × P ( F ) ; 1) a) P ( H ) =
30 3 13 7 91 = et P ( H ) × P ( F ) = × = . 100 10 20 20 400 P ( H ∩ F ) ≠ P ( H ) × P ( F ) donc H et F ne sont pas indépendants.
or P ( H ∩ F ) =
H et F sont incompatibles si P ( H ∩ F ) = 0 ce qui n’est pas le cas. Donc H et F ne sont pas incompatibles. Exercice 26 : a) P( M ) = 0, 08 ; P( E ) = 0, 05 ; P( M ∩ E ) = 0, 02 .
b) P ( M ) × P ( E ) = 0,08 × 0, 05 = 0, 004 ≠ P ( M ∩ E ) donc M et E ne sont pas indépendants.
Exercice 27 : 5 > 1 ; or une probabilité est un réel appartenant à l’intervalle [ 0;1] . 3 La donnée de P ( A) est aberrante.
a) P ( A) =
b) Les événements A et B seront indépendants si et seulement si P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B ) . Donc A et B sont indépendants si et seulement si P ( A) =
6
P ( A ∩ B) P ( B)
2 2 4 8 =5= × = . 3 5 3 15 4
Exercice 28 : a) Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 dames et 16 cartes noires donc 4 1 16 1 P ( A) = = et P ( B ) = = . 32 8 32 2 A ∩ B est l’événement « la carte tirée est une dame noire » ; il y en a 2 dans le jeu donc 2 1 P ( A ∩ B) = = . 32 16 1 1 1 P ( A) × P ( B ) = × = = P ( A ∩ B ) donc A et B sont indépendants. 8 2 16 12 3 b) Il y a 12 figures dans le jeu (4 valets, 4 dames et 4 rois) donc P ( B ) = = . 32 8 A ∩ B est l’événement « la carte tirée est une dame » (car les dames font partie des figures) ; 1 donc P ( A ∩ B ) = P ( A) = . 8 1 3 3 P ( A) × P ( B ) = × = ≠ P ( A ∩ B ) donc A et B ne sont pas indépendants. 8 8 64
IV.
Variables aléatoires
Corrigé
Exercice 29 : 1) Lorsqu’on tire le 3 ou le 5, on gagne respectivement 3 € ou 5 € ; lorsqu’on tire le 2, le 4 ou le 6, on perd respectivement 1 €, 2 € ou 3 €. Donc les valeurs prises par la variable aléatoire sont : −1, − 2, − 3, 3 et 5 . 2) On tire au hasard une boule de l’urne donc on est en situation d’équiprobabilité. 1 Il y a 5 boules dans l’urne donc chaque boule est tirée avec une probabilité de . 5 On obtient donc : xi 3 5 −1 −2 −3 1 1 1 1 1 p ( X = xi ) 5 5 5 5 5 3) On sait que E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) donc on obtient 1 1 1 1 1 −6 8 2 E ( X ) = −1 × − 2 × − 3 × + 3 × + 5 × = + = . 5 5 5 5 5 5 5 5 On dit que le jeu est équitable lorsque E ( X ) = 0 donc le jeu n’est pas équitable. Ici le jeu est favorable au joueur car E ( X ) > 0 .( L’espérance correspond au gain moyen). Exercice 30 : 1) On mise 3 € pour jouer donc - si on tire le billet à 100 € on gagne 97 €, - si on tire l’un des 9 billets à 10 € on gagne 7 €, - et si on tire l’un des 90 billets perdants , on perd 3 €. Donc les valeurs prises par la variable aléatoire X sont −3 , 7 et 97. On tire au hasard un ticket donc on est en situation d’équiprobabilité. On a 100 tickets donc 1 chaque ticket est tiré avec une probabilité de . On obtient donc : 100 90 9 9 1 p ( X = −3) = = , p ( X = 7) = , p ( X = 97) = . 100 10 100 100
7
xi p ( X = xi )
−3 9 10
7 9 100
97 1 100
3) On sait que E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) donc on obtient 9 9 1 − 270 160 − 110 + 7× + 97 × = + = = −1,1 . 10 100 100 100 100 100 L’espérance correspond au gain moyen par partie, donc on perd en moyenne 1,1 € par partie.
E ( X ) = −3 ×
Exercice 31 : 1) Les valeurs prises par la variable aléatoire sont : −2, − 1 et 5 : −2 lorsque la couleur est rouge, −1 lorsque la couleur est verte, et 5 lorsque la couleur est jaune. 1 2) p (" la couleur est rouge" ) = car il y a un secteur rouge sur les six. 6 2 1 p (" la couleur est verte" ) = = car il y a deux secteurs verts sur les six. 6 3 3 1 p (" la couleur est jaune" ) = = car il y a trois secteurs jaunes sur les six. 6 2 On a donc 1 1 1 p ( X = −2) = ; p ( X = −1) = et p ( X = 5) = . 6 3 2
xi p ( X = xi )
−2 1 6
−1 1 3
5 1 2
3) On sait que E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) donc on obtient 1 1 1 −2 5 −4 + 15 11 E ( X ) = −2 × − 1× + 5 × = + = = . 6 3 2 3 2 6 6 L’espérance correspond au gain moyen donc en moyenne on gagnera 1,83 euros par partie.
8
