Probability Based Metrics for Nearest Neighbor


   
   
"!#
 $!%& '()
* + ,- +  . . * &/0&1"& .- .' 2+3 4 5 6 789 : 3 ; 5 < 4 5: 30=> 4 : 306 < ? 6 7@5 6 6 5 A B C D E D F D GH I J+K LME N I J N L&O N E I P D E Q N LIR I N P G K G S E N LT B RUV B MO RW X Y Z [ ZB \ D GL ]K _ GT R^W ` a b c d e f g h e g i jk e j l0k e jnm-g e l l e h i o p b a e bk e j ^Dqy I rI E Ss N ty L u } C v G Iw Jt } N xL K LC RIC Cy€E EQ CI HJI ~0L C Hy I y G JGCE CI&D yz { G L I N DQ F P C D IEy D {IE G C GPIP|&E CL I } D N LJ K ELC N I C C&C{} G G LzPC |E CN D LI L DK KD J _)E E C N D CJ E I N z K CG _-JN GG D P‚|y I&H LF^HD I I J L { G J } I G LC P DV }E P-E K E D D y _I I C D E |C&L } D _E G PO y H G y J D&L C L I P €0{B P„ HF …L JF D P E N L F S K L L ~J ~III † J ID NI GP P {C E E {D CI J&{ LI Q |P E I D D E GJ E P-N&DH GJ G L H P-G C E I P { V HE D F C+D+H C I H J Lz YG N ZJ I|ƒ D Ly P L NDI E € P ‡ N K F G {J I I G C] N I L J D ~ I S GIJ H E N J L I K0C I z PI LDD LF J P I G C] L I P K {H J G I} L I } ] E L K EK DF _L D } IL IC I|{ H |&E J E I N D L J K E K N _ ~ ND y L KL K DI {I † ‡ H E K P G EE |&D CF I |ˆC D E M+|E CL …&D I ‡ CIG D zJ ED Ny IT ‡ H MG C ‡D I W J ~ E G E €JI € H L+J G |} LI D} J E E K N+E D zE GI CJ€N ‡ K L CMC E‡ Q N LE CD E GG HPD DE | L C L … K C ~ ED P-y I&D y O Iy G C J I DP CL I P {D y „ L F D&… E F D&P G L H S D L&E |‡ E ‰I ID JC&E ND y |I E P Q EP |E D E I ‰ I |&C+ED C y N I&K L { C CE ŠE Q I N J LI DP E N G IP)} J I E CD … ~I I Py QI JP I E LD IC JO E y C …G J L DP L {&P {L C „ _ F |&… H F D P G L D S E N+L+J ‡ E C I… D € J ‹+E N P&~ D I y † IH I J L E K |&F II P ŽD EL Š K I N J G I |P N H I+L ‡ J E C I G D P&J E NG ~z0L ‡ P M{‡ŒF +N K EE D { yI L D P y I ‘D y L I |G |&D y E PI J&S|&|II DD JJ EE NN CC €G P‡ }MI ‡$P N y H | I J L z GJ …&J |&{ C&L D N L G C |I D HCL C J y L G } +K _-CD D y GL DD y ‡ IM’‡ŒL _ GI FCD UH IK L J Cz GC E J Q |&I JC }N L L PC I } {&IG FPC DI y z F I+K0C E L P|N I+L C H I J V G } } L L C }I {E K E DL _H H I KC E D N E L | D E L G D P I CC € Ry y I IJ IJ I D C y F IK D J CI DC JF E S I S] IL C K0DG D zy LL DP I‡ L MJ I ‡ C D P I E S y } G J+E C+J I “ F E J I { € ” • —˜ ™ š›œ0˜ ž š+— – Ÿ< : 4 < ?  Ÿ< 5 ¡ ¢ £07 4¥¤ ŸŸ¦: 9 ¡ 7 4 5   ¢ §?: 4 ã ô ýþ á â  ö ü ø ýö ø þ ñ û  õ ñ ò ô ýþ6ô ýþ  ÿ ò ñ ÷ ó ñò  ô ùñ ÷ ñ ö ó ý ø ) ÿ ñ6ø ý ÷ ú ü þ ÿ ö ñ * þ á ó ü ú ÷ô ýþ â ÿ ÿ ýô
ôH÷ ü ô   ú ü  ø ù ô ÷ ñ ê ëIä ì ê åèIî ëIä ì ê ç è ê û +-, +/.!0 1 243$56 783 9 3 :3 ? 9 6 ;@ .5=BA C ý ü ÷ ó ñ ú( ñ ú ö ü ù ùü ýùñ ÷ ú ø ö! ô ò ñ þü ý ú ü ô ø õ ø ò ÷ ø öö ü ýò ø þ ñ ú ô ÷ ø ü ýø òDE ˜ø ý F ÷ ú ü þ ÿ ö ñ þ$ á ÷ ô ý  õ õô ýþð2ô õ ÷ $ ã G  ô ýþ ÿ ò ñ þñ  ö õ ÿ ò ø ( ñ õ ü ýø ý  ÿ ÷ò ô ö ñ ò ø ÷ ó ý ü ù ø Jýô õPô ÷ ÷ ú ø ÿ ÷ ñ ò ûH ñ ÷ å2é ä å#í æ I I I æ å-J è ô ýþ çé ä ç í æ I I I æ ç J è ñ÷ ü"ñ  ô ùK õ ñ ò ø ýL M  í-N M % ô ýþ ê N M ê ø ò8 ý ø ÷ ñ ûO ó ñDE ù ñ ÷ ú ø ö6ø òþ ñ  ý ñ þ ô ò8 ü õ õ ü !    J PQQ ä å æ ì è ä å æ ì è ä ç æ ì M M M è   î äG è DE ä åIæ ç èé  R    í !S8T ä å M è>UV  í!S8T ä å M è T ä ç M è>UV í M  T T T ó ñ ú ñ ä å M æ ì è ø ò
÷ ó ñ ý ÿ  ù! ñ úHü P ñ  ô ùK õ ñ ò
÷ óô ÷
óô ( ñK( ô õ ÿ ñ å M ü úH÷ ó ñKW F ÷ ó2ô ÷ F ÷ ú ø ÿ ÷ ñ
T ô ýþ ô ú ñ6ø ý"ö õ ô ò ò ì % ô ýþ ä å M è ø òP÷ ó ñý ÿ ùK ñ úü  ñ  ô ùK õ ñ òP÷ óô ÷Póô ( ñ( ô õ ÿ ñ å M ü ú÷ ó ñ*W F ÷ óBô ÷ ÷ ú ø ÿ ÷ ñ û4&  ú T ü  ô ø õ ø ÷ ø ñ òô ú ñ"ñ ò ÷ ø ù"ô ÷ ñ þX ø ÷ ó# ú ñ ) ÿ ñ ýö B öüÿ ý÷ò ÷ ó ñ ýDE Ÿö ô ýô õ ò üK ñú ø ÷ ÷ ñ ý ø ý ÷ ó ñ! ü õ õ ü ø ý
K ü ú ù$ J PQQ         äY è DE  ä åIæ ç èPé R  ä ëIä ì ê å M è  í ä ëIä ì ê å M è>î ëIä ì ê ç M è è M í  í V V  DE óô òý ü2ö õ ñ ô úZ ÿ ò ÷ ø  ö ô ÷ ø ü ý:ô ýþBò ñ ñ ù"òH÷ üBô ò ò ÿ ùñô ÷ ÷ ú ø  ÿ ÷ ñ"ø ýþ ñ ñ ýþ ñ ýö ñ û & ÷6ø òñ ô ò "÷ ü"ö ü ýö ñ ø ( ñô ý ø õ õ F ü ú ùñ þ þ ô ÷ ô ò ñ ÷ ó ñ ú ñô õ õI÷ ó ñ ëIä ì ê å M è ô ú ñHñ ) ÿ ô õ ä ü ú ñ  ô ùK õ ñP÷ ó ñ8ô ú ø ÷  ø ÷Pö õ ô ò ò è ô ýþH÷ ó ñ ú ñ ü ú ñ'DE ø ò#ý ü ÷Pô õ ñ÷ ü
þ ø ò ÷ ø ý
ÿ ø ò óô ù ü ý
÷ ó ñ ö õ ô ò ò ñ ò û[ ñ ( ñ ú ÷ ó ñ õ ñ ò òDE % ô ýþ ô"ò ñ ÷6ü P ùü þ ø  ñ þ( ñ ú ò ø ü ýò! ï \ %  % ã ]  % ü ú ò ) ÿ ø ÷ ñ ñ õ õ#ü ý ú ñ ô õIþ ô ÷ ôò ñ ÷ ò û ðSø õ ò ü ýBô ýþX  ô ú ÷ øý ñ "  ñ  ÷ ñ ýþ ñ þXDE  ÷ üø ýò ÷ ô ýö ñ ò!  ø ÷ óBý ÿ ùñ ú ø ö ô ÷ ÷ ú ø ÿ ÷ ñ ò ã ]  û O ó ñ
ñ ò ò ñ ý ÷ øô õõ
þ ø ò ö ú ñ ÷ ø  ñP÷ ó ñPý ÿ ùñ ú ø öPô ÷ ÷ ú ø ÿ ÷ ñ ò ä E8DE è ô ýþ6÷ ó ñ ýHò ùü ü ÷ ó

^ _ 8` _ a b ^ c d e f gh` b ^ a g*f ^ a c i!c j k4l m n o p q r4s t!f u ` e f d a i dv w8_ `8gK` ^ e a x'c s ^ f a i ` yza ^ _K^ _f ^ { e c x ` y | e `Ka bx f } } ` y~ € Xv4w8_ ` t$f } b cb | d d ` b ^ f_ ` ^ ` e c d ` i ` c |b€ ‚^ _f ^!x c g*ƒ s a i ` b8f i*„'|x } a y ` f iKg*` ^ e a xj c e'i | g*` e a x8j ` f ^ | e ` bl p-‘ Š À À À Š p r8f iyK‹*Œ>l ‹ ‘ Š À À À Š ‹ r8f e ` ^ z8c!` ˆ ƒ  z_ ` e ` Ç q l p q Š ‹ q ra b ^ _ `K† f gKg*a i d f g { } ` b8^ _ ` i$Á à Äl p~ y5$Š.Õ Ã Å 6 Æ ~ |{> |y q| z q s |v{ ~ y ~$ À%s …~ ƒ z v.À  †y r z{ s ~ ƒ |  v s v v  s y ~ ‹$s | ¿ † z | y u.Õ y ~ ‹ ‰@~ |{-7z † ~

: ; < = > ? 1: ; J < ? = ? K CL D > J M> = ? : @ C N LAC D ? M(C < =EO P Q R S B C(T U(V > = > WA> @ C @ : ; < = > ? = F D C @ R S B CHM> ? D > : = C D ? @ = ? : @; I"= B C V > = > WA> @ C @Y> D CHL D C @ C < = C V(? W G C(Z R [\CC N = C = F D CV > = > WA> @ C @&= B C C @ = ? M1> = C; I= B CE]> ? K CE^ > _ C @ `Y@ = ? M> = ; D W _V ? @ : D C = ? a ? < J1= B C< F M(C D ? :I C > = F D C @ > = C; IH= B C3bE> FA@ @ ? > = ; DEW _d@ F WA@ = ? = F = ? < J\= B C3`YFA: G ? V C > < e C = D ? :fH? = B\g`Hh e RA[\C(< ; D M> G ? a C V= B C(< F M1C D ? :EI C > = F D C @HfH? = Bi= B C ? DD > < J C(> G GY= B CV ? @ : D C = ? a > = ? ; = ? ; GA= C : B < ? k F C? @H>Z l m I ; G V1: D ; @ @ n K > G ? V > = ? ; @H>(@ ? J < ? oA: > V ; L = C V= B CLA> ? D C V1p m = C @ =Eq r3s)l t l P u R v&w xy z3{ |A}~ €  ‚  ƒ  „  „Y… Ž"   ‘ ’  “” • ” –’• — ¥A” ” ’  ˜ ¦ ” § ¨©ª ¥Aš ® ¦ ž ˜ ž § ¤ ¯ •   ” ®  › ® ¦ ° ’ ® ± ­ ² ² ´ ›’  •µ–  ” – ’ › ­ª« ´ › ¦® § ’ • ·²ª ´ › ¦® § ’ • ¯® ¦• – › ’  ¦° ’ ® ± ·²ª — › ’ ® ¦ "‘ – › ’ ’ ” ¦ ” § «©² Ž"’ › ¡& ·¶­ ™ ˜ § ·©³ ¸ ˜ • • ­·³ ¹A’ º   ¦  ¦ • ·¶¶ ¹Až › • ’ µ — ž ˜ ¦ – ¬²² ¹Až š • ’ µ » ž  ’ • µ ª ³ ³¬¶ “ž ” ž •º ¼ ’›’ ¬¶· “ › ¦• ·¶² ½ ’ ® ¾· ¨ ” ž ¦ • ’ ­²² ½ ’® ­²² ½ ¦ ¿ ’ ›AŽ"¦ • ž › ® ’ › • ¬³¶ À ž ”  • µ · ³¬­ À ž ”  • µ ­ ³¬­ À ž ”  • µ ¬ ³¬­ Á º ’› ·­·«  ¦ ¡& ¨«ª  ž •  µž º ’ › ¦¿ ’ ©²  › ž ¡&ž  ’ › • ·²« ‘ž”› ­²ª ‘ ž ¤ ¢ ’  ” ¯˜ › § ’ ± ¬²¨ ‘ ž ¤ ¢ ’  ” ¯ • ¡& ˜ ˜ ± ³¨ ÃEŽ"´A— ¶«© °žž ·²·

„  €(† ‡(‚ ~ H ˆ ‰  Š † ‹E ‡ ‚  ‚ † Œ ‡  ˜ ••’ • ™ ’š ›’• œA”  ” ž ŸA”  "š ¡&¢ ’ › — ž ”  £ ‘ ¤ ¡¢ ¥A  › ¦ ¢ š  ’ • « ¬ª © —1­ © ‘ ¤’• ­³ «© «©‘ ¤’• ­ © ³ —1¶ ‘ ¤’• « ·· © —1­ ‘ ¤’• « ·· ··‘ ¤’• ­ ·¶ « —1© ‘ ¤’• ­ ³³ ³³— ”ž ª ­ª · ² —· ª ‘ ”ž ¨ © ©— ”ž ­ ·© « —· ¬ ‘ ¤’• ­ ­¨ ¨ —1­ ² ‘ ¤’• ­ ·« ·«‘ ¤’• ­ ¬³ ¬³— ”ž ¬ ³ ³— ”ž ·² ­³ ­³‘ ”ž ·² ¨ ¨‘ ”ž ­ « «— ”ž ­ « «‘ ”ž ­ « «‘ ”ž ­ « «‘ ”ž ¶ © ©‘ ”ž ­ ª ª— ”ž ¬ ª · —1¨ ‘ ¤’• ­ ¶¨ ¶¨‘ ”ž ­ «² «²— ”ž ·© ¬¶ ¬¶‘ ¤’• ³ ¬¶ ¬¶‘ ”ž ­ ¬­ ¬­— ”ž ¨ ·« ·«‘ ”ž

S B CEC N LAC D ? M(C < = @HL D C @ C < = C V3B C D CEM(C > @ F D C= B C1: G > @ @ ? oA: > = ? ; : : F D > : ? C @ ; IY= B C Z m ]]Ä> G J ; D ? = B MÅfH? = BÇÆ È&T\M(C = D ? :\q `YkARHq T u u1> ? < C VdFA@ m ? < Ji]> ? K C1^H> _ C @E`Y@ = ? M> = ; D1q ` kARYq U u u> FA@ @ ? > = ; D1q ` kAR q Z Z u u RYS B C3> : : F D > : ? C @E> D C3: ; M1LA> D C V\= ;\= B ; @ C; IË ÌË e q `YkARHq Í u u(> = ? ; = fHB C D : B ? < JEI ; D = B CÆ È&TE< C > D C @ =Y< C ? J B WA; D ; I > M1L G CÐ3; < G _1= B CE@ C =H; I&Ï3g`Hh e < C ? J B WA; D @Y; IÐ\> D CE: ; D CE: ; M1L F = C V; ? < ? < J@ C =ÏÑÇÒÓB ; G V @ u R

Ô Õ Ö(×3Õ ØÙ Ú ×i× Û ÜA× Ý Þ Ö(× ß Ù à1á Ý ×iâ Õ ßAã äAâ Ù × ãdá ã Õ Ü Ù Þ ß å9á à1æ)Ù Ú ×iâ Ý Õ à à ç è á é Þ ã á Ù × ã è á é ä ×iæAê&ëHìí ßÇà Õ Ö1×3â á à × à îï ×iá é à Õ\â Ý Õ à à ð è á é Þ ã á Ù ×1Ù Ú ×iâ Ú Õ Þ â ×Õ ØÙ Ú ×3× à Ù Þ Öá Ù Õ Ý ì ñ Ú × ßÇÙ Ú Þ à1Þ à1Ù Ú ×\â á à ×iÙ Ú ×\× à Ù Þ Öá Ù Õ ÝÞ à1Þ ßAã Þ â á Ù × ãÇá àòEó ô ê&ë ìHõYÕ Ù ÚÇÙ Ú ×\â Ý Õ à à ð è á é Þ ã á Ù Þ Õ ßAàHá Ý ×Eâ á Ý Ý Þ × ã1Õ ä ÙHïHÞ Ù Úiáö ÷ ç Ø Õ é ã3â Ý Õ à à ð è á é Þ ã á Ù Þ Õ ß1Õ ß3× á â ÚÙ Ý á Þ ß Þ ß å(ÜAá Ý ç Ù Þ Ù Þ Õ ßì


  

    iÿ          8 9 8 : ; @1 A B 1 C 60896 : ;D< E?> - B B 1 - C4B K L M N LO9P N Q Q L M N LO9P N R M - S T 4U CU K V M M N WO Q N W M M X N YO9P Y N Z [ A1 - \.]^ - B ^ 1 A X _ N WO L N R Q X R N _O Q N X W [ A4T K 1 \ P X R N LO L N L W X Y N LO9P Z N M [ A4T K 1 \ Z M P N RO9P L N Z X X N MO9P L N P ^A` Q Y N RO Z N W M Q Z N RO(R N M W T 1 A abM Q N P O9P _ N P M _ N WO9P P N Q c-K W L N QO9P Y N P W Q N LO Q N P X K C- \\ X L N ZO9P P N L M _ N YO9P Y N L0d F : J ; e 1 f - . 4. 4\ Q Q N WO Q N M Z Q _ N LO M N L _ e U A \ 1 ]^ U C4^ Q _ N XO X N M R Q R N _O X N Q W e U S \1 ]5 U .1 \]Q R L _ N YO _ N M Q L _ N LO _ N X M 4U B U \ f e 1 A 1 Q X N WO _ N _ W L Z N WO(R N W Y?d =0g F : J ; 4A 4\ L W N _O W N R Q L R N XO X N Q Q C1 T X Q N WO9P W N R M P N WO9P M N L C1 T P M W Q N YO Q N Z _bd9E R _ N WO M N Q _ C45 1 A X X N XO9P Y N M W L N RO9P Z N M a7U B h \ ] P M X N P O9P Y N W P Y Y N O(Y N Y Y?d = a7U B h \ ] Z L P N P O M N _ _bd9E W X N RO M N X Q a7U B h \ ] _ P Y Y N O(Y N Y Y L L N MO(Y N M _ Uf 1AR Q N RO(R N R P R Q N WO(R N M Q f 4 a7- ] 4 B T 4 - B \ ] T 4 - [ 1 . 1 \ M Y N _O _ N W W M Y N _O _ N P M f U \. ]U f 1 A - . 45 1 W X N XO9P Q N R W _ N _O9P M N L f A U a7U . 1 A \ Q Q N WO M N Q P Q _ N QO9P Z N R \UB -A Q M N YO M N P L Q L N _O W N W M \ U V [ 1 - B ]C- AK 1 L Z N RO(R N L R L Y N WO W N X R \ U V [ 1 - B ] \ ab- C C P Y Y N O(Y N Y Y P Y Y N O(Y N Y Y L W N RO Z N _ X L X N _O Z N W _0d F : J ; i T[^ L X N YO W N P X L X N YO W N P X jUU

FHG I : ;60896 : ;< F7: J ; > L M N LO9P N Q Q M W N WO9P Y N P X Z N QO L N Q W X R N YO Q N W W M Y N WO Z Y N Q Q Y N QO Z N Q Q M M N WO9P R N Z W L N QO9P Y N P X Q N MO9P P N R Q Q N WO Q N M Z Q _ N _O M N Z Y L _ N MO _ N R R Q L N RO(R N Z Q L W N _O W N R Q X L N YO9P R N R W Q N YO Q N Z _0d E X Z N _O9P Z N W L Q N P O _ N R Y?d = L P N P O M N _ _0d E P Y Y N O(Y N Y Y R Q N XO(R N M R M Y N _O _ N W W W W N WO9P X N W Q Q N WO M N Q P Q X N YO M N M R L Z N RO(R N L R P Y Y N O(Y N Y Y L R N MO Z N Y P L X N YO W N P X

¾¨ ¾°U· ¿nµ k § ± ¬?¨ ² § ª § ® ©µ¨ «n§ Ï © µªÍ°U¨ Ð1¾ §