Problemas y cuestiones del Tema 4

Problemas y cuestiones del Tema 4 (problemas o partes de problema marcados con *: para ampliar, con †:problema te´orico complementario a teor´ıa) 1. (*) Demostrar la f´ormula de la esfera de influencia. 2. (†) Dada la f´ormula de ∆V para una maniobra asistida por gravedad, demostrar el valor del m´aximo ∆V te´orico, as´ı como la excentricidad de la hip´erbola que corresponde a dicha maniobra m´axima. Calcular dicho m´aximo para los planetas del Sistema Solar. 3. ¿Cu´ales son los elementos a y e de una o´ rbita selenoc´entrica si el punto de llegada de la o´ rbita geoc´entrica a la esfera de influencia lunar tiene v = 1,3133 km/s, γ = 20o , λ = 30o ? ¿Se trata de una o´ rbita de impacto/alunizaje? 4. Estudiar una misi´on lunar para h0 = 200 km, λ = 30o y Vi = V0 + ∆V = 10,93 km/s. ¿Cu´al es el a´ ngulo de fase Ψ y el tiempo de vuelo? ¿Es una misi´on de impacto/alunizaje o de sobrevuelo? En el segundo caso, calcular el ∆V necesario para obtener una o´ rbita lunar circular en el m´ınimo radio de sobrevuelo. Repetir para λ = 60o . 5. Repetir el problema anterior para unos valores iniciales de ri = 6700 km, Vi = 10,88 km/s, λ = 60o . 6. (†) Plantear el problema del c´alculo del tiempo de escape de la esfera de influencia lunar, para una misi´on de sobrevuelo. Aplicar al problema 5. 7. Demostrar, para el caso λ = 0o , h0 = 200 km, e inyecci´on tangencial, que si la o´ rbita geoc´entrica es el´ıptica, la o´ rbita selenoc´entrica es siempre hiperb´olica. 8. El Voyager 2 tard´o 12 a˜nos en visitar Neptuno gracias a sus m´ultiples maniobras asistidas por gravedad. ¿Cu´anto tiempo habr´ıa tardado de no poder realizar dichas maniobras? (usar una transferencia tipo Hohmann) 9. Se pretende realizar una misi´on a Venus que consta de las siguientes fases: una primera fase con escape directo desde una o´ rbita de aparcamiento de 200 km de altitud. Una segunda fase que consiste en una transferencia de Hohmann helioc´entrica. Una tercera fase que consiste en adquirir una o´ rbita venusiana con una altura de periapsis de 500 km y un periodo de 12 h (se supone que la o´ rbita de llegada tiene ya una periapsis con la altitud adecuada, gracias a correcciones realizadas durante el vuelo). Encontrar el coste energ´etico total de la misi´on (km/s), y el tiempo de transferencia. 10. Se desea realizar una misi´on interplanetaria a Mercurio mediante una transferencia tipo Hohmann. ¿Cu´al es el tiempo de vuelo? ¿Cu´al es el a´ ngulo de fase inicial que debe tener Mercurio? Si se perdiera una oportunidad de lanzamiento, ¿cu´anto tiempo tardar´ıa en repetirse? Considerar las o´ rbitas de la Tierra y Mercurio coplanarias en el plano de la ecl´ıptica y circulares. 11. Se planea una misi´on Tierra-Saturno con cuatro fases: una primera fase con escape desde una o´ rbita de aparcamiento de 180 km de altitud. Una segunda que consiste en una transferencia de Hohmann helioc´entrica hasta J´upiter. Una tercera en la que se realiza la maniobra asistida por gravedad, con una aproximaci´on de 11 radios jovianos. Finalmente una nueva o´ rbita helioc´entrica hasta Saturno. Se pide: encontrar la o´ rbita joviana, y describir la maniobra asistida por gravedad. ¿Llega la nave a Saturno? (suponiendo e´ ste adecuadamente ubicado en su o´ rbita). En caso afirmativo, calcular la o´ rbita de llegada, suponiendo una altitud de periapsis de 1000 km, y calcular ∆V para circularizar la o´ rbita. 12. El 1 de Diciembre de 2008 el a´ ngulo de fase entre la Tierra y Urano es de 20o . Si se quisiera realizar una misi´on interplanetaria directa a Urano, mediante una transferencia de Hohmann, ¿aproximadamente en qu´e fecha habr´ıa que realizar el lanzamiento? Si no se pudiera en dicha fecha, ¿cu´ando ser´ıa la siguiente oportunidad? Calcular el C3 necesario, y el ∆V para la inyecci´on desde una o´ rbita de aparcamiento a 200 km. 13. Un cometa viaja en una o´ rbita que se puede suponer parab´olica, en el plano de la ecl´ıptica, con el elemento orbital p = 9 AU. El cometa, antes de llegar a su perihelio, tiene un encuentro con J´upiter (µX = 126711995,4 km3 /s2 , LX = 5,2 AU, RX = 71492 km), pasando a una distancia de 10 radios jovianos, que lo propulsa al interior del sistema solar. Hallar la o´ rbita tras el encuentro (se puede modelar como una “maniobra” asistida por gravedad que “deflecta” la o´ rbita en direcci´on al interior del sistema solar) y calcular si el cometa podr´ıa llegar hasta la o´ rbita de la Tierra. 14. Como parte de una misi´on a Urano (Z) una sonda realiza una maniobra asistida por gravedad en Saturno (Y) a una distancia igual a seis veces el radio de Saturno. Suponiendo las o´ rbitas de los planetas coplanarias en el plano de la ecl´ıptica y circulares (de radio igual a su radio medio), se pide estudiar la maniobra sabiendo que la o´ rbita helioc´entrica de la sonda, antes de su encuentro con Saturno (que sucede justo antes del afelio de la sonda), tiene como elementos a = 5,8 AU y e = 0,7. Encontrar los elementos de la o´ rbita helioc´entrica tras el encuentro y determinar si se alcanza o no la o´ rbita de Urano. En caso afirmativo, ¿cu´anto se tardar´ıa en alcanzar Urano desde Saturno?

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15. La NASA decide dise˜nar una misi´on interplanetaria para visitar J´upiter (X). Para ello se pide comparar tres posibles escenarios: a) Viaje directo a J´upiter mediante una trayectoria el´ıptica con perihelio en la Tierra y e = 0,7, de forma que la llegada a la o´ rbita de J´upiter sucede despu´es del perihelio y antes del afelio. b) Viaje a J´upiter mediante una trayectoria parab´olica (estando situado el perihelio de la par´abola en la o´ rbita de la Tierra). c) Viaje a Venus (♀) mediante una trayectoria parab´olica (estando situado el perihelio de la par´abola en la o´ rbita de Venus), se realiza una maniobra asistida por gravedad (a una altitud de 2 veces el radio de Venus) y se contin´ua hacia J´upiter. (Observaci´on: La salida de la Tierra no es tangente). Suponiendo que se parte de una o´ rbita geoc´entrica de aparcamiento a 150 kil´ometros de altitud, calcular para los tres casos si el escenario es viable (es decir si se puede llegar a J´upiter por dicho procedimiento), el ∆V empleado a partir de la o´ rbita de aparcamiento geoc´entrica, el tiempo total de vuelo y el a´ ngulo de fase que debe tener J´upiter el d´ıa del lanzamiento. Rellenar con los resultados la siguiente tabla: Escenario a b c

∆V (km/s)

¿Viable o no viable?

Tvuelo (d´ıas)

ψ (o )

Si el d´ıa que se d´e dicho a´ ngulo la misi´on no se puede llevar a cabo, ¿cu´anto tiempo habr´ıa que esperar para que se repitiera el a´ ngulo de fase? Elegir el escenario m´as favorable en t´erminos de tiempo que no supere un ∆V de 9 km/s desde la o´ rbita de aparcamiento, y para dicho escenario calcular el ∆V adicional que ser´ıa necesario para dejar la sonda interplanetaria en una o´ rbita circular en torno a J´upiter con un radio igual a 10 veces el radio del planeta. 16. Resolver las maniobras de los problemas 13,14, y 15c utilizando fasores.

Planeta Mercurio Venus Marte J´upiter Saturno Urano Neptuno Plut´on

S´ımbolo ' ♀ ♂ X Y Z [ \

µ (km3 /s2 ) 22032.1 324858.8 42828.3 126711995.4 37939519.7 5780158.5 6871307.8 1020.9

Radio planetario (km) 2439.7 6051.8 3397 71492 60268 25559 24764 1195

Distancia media al Sol (AU) 0.387098 0.723327 1.52372 5.2033 9.58078 19.2709 30.1927 39.3782

Valores de constantes f´ısicas para planetas del Sistema Solar

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