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progetto di Teoria dei Sistemi Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica, a.a. 2013/2014 docente: prof. Gianluca Antonelli Si consideri il modello di un reattore continuo a mescolamento1 . Una sostanza di interesse viene immessa con concentrazione ci e temperatura Ti , si assume che, a seguito del processo di mescolamento, la sostanza in esame assuma una concentrazione uniforme c. Sono anche assunte condizioni omogenee di temperatura T , calore specifico cp e densit` a ρ. Definendo V il volume del reattore, A l’area di scambio con le pareti, U il coefficiente di scambio termico convettivo, Tc la temperatura della camicia esterna, qi e qo le portate di ingresso e uscita uguali fra loro e pari a q (bilancio idraulico), E l’energia di attivazione, R la costante universale dei gas, k un parametro legato alla velocit` a di reazione, ∆H il calore di reazione, la dinamica in esame pu` o essere descritta dalle seguenti equazioni c(t) ˙

=

T˙ (t)

=

q (ci (t) − c(t)) − c(t)ke−E/RT (t) V UA q ∆H (Tc (t) − T (t)) + (Ti (t) − T (t)) + kc(t)e−E/RT (t) V ρcp V ρcP

(1)

Si assumano c(t), espresso in moli per litro [mol/l], e T (t), espresso in Kelvin [K] come variabili di stato e ci (t) [mol/l], Tc (t) [K], Ti (t) [K] come ingressi del sistema. La sola variabile misurabile `e T (t). I dati del modello sono: V q k E/R ρ cp UA ∆H

= = = = = = = =

100 l 100 l/min 7.2 · 1010 1/min 8750 K 1000 g/l 0.239 J/gK 5 · 104 J/min K 5 · 104 J/mol

• Si caratterizzi il modello in base alle sue propriet` a di linearit`a, stazionariet` a, ecc. Ad un ingresso nominale ci (t) = 1 [mol/l], T c (t) = 300 [K], T i (t) = 350 [K] corrispondono 3 possibili stati nominali eq1 : c(t) = 0.2087 [mol/l], T (t) = 369.7057 [K] eq2 : c(t) = 0.5 [mol/l], T (t) = 350 [K] eq3 : c(t) = 0.8772 [mol/l], T (t) = 324.479 [K] • Si scelga lo stato di equilibrio eq3 e si proceda alla linearizzazione del modello • Si riscriva il modello operando un cambio di simboli e ponendo pari a xi (t) gli elementi dello stato, ui (t) gli ingressi e αi i parametri del modello linearizzato • Si implementi un’analisi modale del sistema linearizzato individuando modi, caratteristiche di stabilit`a, eventuali tempi caratteristici • Si considerino 3 gradini per i 3 ingressi di ampiezza piccola e non sincroni, condizioni iniziali divese da zero e si simuli il sistema linearizzato • Si verifichino le propriet` a di raggiungibilit` a ed osservabilit`a del modello linearizzato • Come cambiano le propriet` a di raggiungibilit` a considerando solo le variazioni rispetto alle traiettorie nominali degli ingressi ci (t) e Tc (t)? • Si discretizzi il modello usando la formula di Eulero del primo ordine x˙ i (t) =

xi (tk+1 ) − xi (tk ) ∆T

scegliendo un opportuno intervallo di campionamento ∆T 1 tratto

da Bolzern, Paolo, Riccardo Scattolini, and Nicola Schiavoni. Fondamenti di controlli automatici. McGraw-Hill Libri Italia, 1998

In base alla assegnazione ricevuta (contattare il docente) • a) – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi un osservatore di Luenberger – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi una retroazione dello stato supponendo di avere a disposizione la misura dell’intero stato – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi un controllore-osservatore • b) – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi un osservatore di Luenberger – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi un filtro di Kalman – Si tarino i due osservatori dello stato fino ad avere prestazioni simili • c) – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi un osservatore di Luenberger – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi una retroazione dello stato supponendo di avere a disposizione la misura dell’intero stato ma considerando come ingressi solo ci (t) e Tc (t) – Sul modello linearizzato tempo discreto si implementi un controllore-osservatore Si validino i risultati con opportune simulazioni numeriche. ` facoltativo l’uso di un Alla verifica si porti anche il codice con il quale sono state eseguiti i conti e le simulazioni. E documento testuale per illustrare il progetto. Non `e necessario in alcun modo stampare o rilegare l’eventuale documento testuale.