Prova scritta di Elettricit`a e Magnetismo ed Elettromagnetismo A.A. ...

Prova scritta di Elettricit` a e Magnetismo ed Elettromagnetismo A.A. 2005/2006 12 Dicembre 2006 (Proff. F. Lacava, C. Mariani, F. Ricci, D. Trevese) Modalità - Prova scritta di Elettricit` a e Magnetismo: Esercizi 1 e 2 - Prova scritta di Elettromagnetismo: Esercizi 3 e 4

(3 ore)

(3 ore)

- Prova scritta di Elettricit` a e Magnetismo e di Elettromagnetismo: Esercizi 1, 3 e 4 ——————————–

(4 ore)

Esercizio 1 Due fili rettilinei indefiniti uniformemente carichi con densità lineare di carica +λ e −λ rispettivamente (λ = 2 · 10−8 C/cm) sono diretti in direzioni perpendicolari e sono tra loro distanti d = 2 cm. Si scelga l’origine degli assi cartesiani sul filo carico positivamente, l’asse z lungo quest’ultimo, l’asse y parallelo al filo carico negativamente e l’asse x passante per i due fili. Determinare: a) l’espressione del campo elettrico E, specificandone la direzione e discutendone il verso in funzione di x; b) l’energia che bisogna spendere per far orientare parallelamente all’asse y un piccolo dipolo di momento p = 6 · 10−10 Cm posto sull’asse x a distanza xo = 5d, inizialmente orientato lungo l’asse x nel verso positivo (si veda figura); c) l’espressione del campo elettrico E (specificandone le componenti cartesiane) sul piano z = 0. y

y

−λ

−λ

d

+λ

d

p x

+λ z

p x

z

Esercizio 2 Si consideri un circuito elettrico C costituito da due semicirconferenze di materiale conduttore, di raggio R = 4.4 m, con centro nell’origine degli assi, unite tra loro agli estremi e giacenti su due piani ortogonali, rispettivamente yz e xz. Nel circuito viene fatta circolare una corrente costante I = 2.0 A con verso come in figura. a) Calcolare il vettore di induzione magnetica B (in modulo, direzione e verso) nell’origine delle coordiante. Una piccola spira circolare S di raggio a = 0.64 cm, percorsa da corrente costante i = 0.15 A (con verso come in figura) viene posta nell’origine degli assi con il vettore normale diretto lungo l’asse x. Calcolare: b) il momento magnetico della piccola spira S; c) il momento meccanico a cui è sottoposta la spira S (nell’approssimazione in cui il campo di induzione magnetica generato dal circuito C venga considerato costante su tutta l’area della spira S).

y C

I

i S

R x I

z

Esercizio 3 Un solenoide di N = 500 spire percorse da corrente i è avvolto su una sbarra di ferro di sezione S = 10 cm2 e lunghezza l = 40 cm. Sapendo che la circuitazione del vettore B lungo la linea C indicata in figura vale C(B) = 3.0 · 10−3 T m e che il valore della corrente amperiana sulla superficie della sbarra di ferro vale ia = 2.0 · 103 A, si determini (nell’approssimazione di solenoide indefinito): a) il valore della corrente i che circola nelle spire del solenoide; b) la suscettività magnetica χm del ferro; c) l’energia magnetica Um contenuta nel solenoide.

C

i S

l Esercizio 4 Una spira conduttrice quadrata di lato l = 10 cm, massa m = 2 g e resistenza R = 0.5 Ω si muove con velocità iniziale vo = 2 m/s perpendicolare ad un suo lato in una regione di spazio in cui è presente un campo di induzione magnetica uniforme e costante B1 = 0.1 T, diretto perpendicolarmente al piano della spira. All’istante to = 0 la spira entra in una regione in cui è presente un campo di induzione magnetica (uniforme, costante e con direzione e verso come il primo) B2 = 0.8 T. Denotando con x il tratto di spira interno alla regione con campo B2 e trascurando gli effetti di autoinduzione, determinare: a) l’equazione del moto della spira nel passaggio tra le due regioni; b) il valore della velocit` a v1 nell’istante in cui la spira è totalmente entrata nella regione con campo B2 ; c) l’energia totale U dissipata per effetto Joule dalla spira durante il passaggio tra le due regioni.

B1

B2

l

x

l

v

Soluzione Esercizio 1 Il campo elettrico generato da un filo indefinito è E = λ/(2πo r)n, dove r è la distanza dal filo e n il vettore normale diretto radialmente al filo nel verso uscente. a) Sull’asse x i campi elettrici E(+) e E(−) generati rispettivamente dai fili positivo e negativo sono entrambi diretti lungo l’asse x, pertanto il campo totale è dato dalla somma dei due e tenendo conto della posizione relativa dei fili si ha λ 1 1 E(x) = − x ˆ. 2πo x x + d Il verso è positivo per x > 0 e x < −d, negativo per −d < x < 0. b) L’energia del dipolo quando è allineato lungo x è Uo = −p · E(xo ) = −pE(xo ), mentre quando è orientato lungo y è nulla, poichè p ed E sono perpendicolari. Pertanto l’energia necessaria a ruotare il dipolo è 1 1 pλ pλ − = ' 3.6 · 10−5 J . U = −Uo = 2πo xo xo + d 60πo d c) Nel piano xy il campo del filo positivo ha componenti cartesiane Ex(+)

=

Ey(+)

=

Ez(+)

=

λx 2πo (x2 + y 2 ) λy 2πo (x2 + y 2 ) 0

Il campo del filo negativo ha invece solo componente lungo x Ex(−)

= −

Ey(−)

=

0

Ez(−)

=

0

λ 2πo (x + d)

Il campo risultante E = E(+) + E(−) è pertanto Ex

=

Ey

=

Ez

=

λ 2πo

1 x − x2 + y 2 x+d λy 2πo (x2 + y 2 ) 0

Soluzione Esercizio 2 a) Utilizzando la prima legge di Laplace, integrando sul circuito C e considerando separatamente i contributi delle due semicirconferenze, si ottiene B = B1 + B2 , con B1

=

B2

=

µo I x ˆ 4R µo I y ˆ 4R

Pertanto il campo B nell’origine degli assi risulta diretto lungo la bisettrice del piano xy, con modulo B=

p µo I |B1 |2 + |B2 |2 = √ ' 2.0 · 10−7 T . 2 2R

b) Il momento magnetico m della piccola spira S è diretto lungo x nel verso positivo m = mˆ x e il suo modulo vale m = iS = iπa2 ' 1.9 · 10−5 Am2 .

c) Il momento meccanico agente sulla piccola spira S è diretto lungo z, M = m × B = Mˆ z ed in modulo vale M = mB sin

µo πa2 Ii π = ' 2.7 · 10−12 Nm . 4 4R

Soluzione Esercizio 3 a) Poichè la circuitazione di B lungo la curva C è proporzionale alla somma delle correnti totali (macroscopiche pi` u amperiane) C(B) = Bl = µo (N i + ia ), si ottiene 1 C i= − ia ' 0.77 A . N µo

b) Dalla relazione M = χm H e dalle espressioni che legano le correnti amperiane superficiali alla magnetizzazione M l = ia e le correnti macrosopiche al campo magnetico Hl = N i, si ottiene χm =

ia ' 5.2 . Ni

c) L’energia magnetica è Um =

1 1 S µo (1 + χm )H 2 Sl = µo (1 + χm )N 2 i2 ' 1.4 · 10−3 J . 2 2 l

Soluzione Esercizio 4 a) Durante il passaggio tra le due regioni il flusso del campo magentico attraverso la spira è φ(B) = l2 B1 + lx(B2 − B1 ) e quindi, usando la legge di Faraday-Neumann, la corrente che circola nella spira è 1 dφ(B) l(B2 − B1 )v = , R dt R

i=

circolante in senso orario (legge di Lenz). Usando la seconda legge di Laplace si ottiene la forza magnetica totale agente sulla spira F =

l2 (B2 − B1 )2 v , R

diretta come v ed in verso opposto (attrito elettromagnetico). L’equazione del moto della spira è pertanto: m

d2 x l2 (B2 − B1 )2 dx = − , dt2 R dt

o anche, scritta per v m

l2 (B2 − B1 )2 dv =− v. dt R

b) Risolvendo l’equazione del moto per v si ottiene la soluzione v(t) = vo e−t/τ ,

dove

τ=

mR . l2 (B2 − B1 )2

Integrando tra to e t si ha l’andamento temporale di x h i x(t) = vo τ 1 − e−t/τ = τ [vo − v(t)] . Imponendo la condizione x(t1 ) = l si trova il valore v1 = v(t1 ) richiesto v1 = vo −

l l3 (B2 − B1 )2 = vo − ' 1.5 m/s . τ mR

c) L’energia U dissipata per effetto Joule è Z U=

t1

dt Ri2 ,

0

dove la dipendenza temporale di i si ottiene utilizzando le espressioni ricavate ai punti precedenti i(t) =

l(B2 − B1 ) l(B2 − B1 )vo −t/τ v(t) = e . R R

Si può ottenere il valore cercato anche da considerazioni energetiche: l’energia dissipata deve essere uguale alla variazione di energia cinetica della spira U=

mv12 mv02 − ' 1.7 · 10−3 J . 2 2