Random Three-Dimensional Tilings of Aztec Octahedra and ... - People

4 downloads 0 Views 387KB Size Report
Abstract. We present an extension of domino tilings of planar lattice regions to three dimensions. The tilings consist of filling. "Aztec" octahedral and tetrahedral ...
      !#"%$&')(+*%(,&-. /)  0 1,&'  ) 324"%65879&')' :.4; @?A>CB3>@?,DE>@FGFIH J/>@KML1N?-OQPRTS 9U V,WXMY[Z]\[X ^3_a`cbd_feg_ihkjmlh/_on[jg_ihpeGqsrhrt-ukrwvxqyhzr3jGqy{yqyhz|Meart-`k{slhplbx{slwjgjGqs}o_ bd_o|qsrhpe9jgrjG~cbd_f_u[qsv._ihpeGqsrhpeo€‚-~z_3jGqy{yqyhp|we3}orhpeGqsegjƒrta„k{y{yqyhz| …G†‡ojg_o}oˆ r[}ojgl~z_fu‰bdl{,lhpujg_fjGbdl~p_ou‰bdl{bd_o|qsrhzexŠ-qsjG~jGbgqslhz|‹c{slb `kbgqsegv.eo€--~p_meg_oj,rt'jGqy{yqyhp|wex}orbgbd_oeG`Œrhpuce)kq Žg_o}ojGqsM_i{s9jgr.l.eg_fjrt rbduk_ibd_ou9ukrwvxqyhzr‘jGqy{yqyhz|Meart`k{slhplbmbd_o|qsrhpeo’TŠ-~z_ibd_xjG~p_aukrwvaqyhpr jGqy{yqyhp|we,lbd_-t“rbd}o_ou.jgr)bd_oeG`Œ_o}oj'l)`zlbdjGqsl{Qrbduk_ib'zlMeg_ou rh l)~p_iqs|~kj t”‹khz}fjGqsrhbd_i`kbd_oeg_ihkjglMjGqsrhQ€.^3_auk_i„khz_ l.hplwjG‹kbdl{E•9lbg–[r9}g~zlqyh rh—jG~p_eg_oj‘rtjGqy{yqyhz|Melhzu˜`kbdrM_jG~plwj™qsj qseƒbdl`kqsu‰{sšvaqsnwqyhz|k€ -~cqse]qse'jG~p_„cbdegj]hprhkjGbgqswqsl{T`cbdr[rtTrtkbdl`kqsu.vaqsnwqyhp|›tœrb'l,•9lbg–r }g~zlqyhƒrh }orhc„p|‹kbdlwjGqsrhze,Š-~cqs}g~‘}orbgbd_feG`Trhpu jgr)lmžŸ u[qsv._ihpeGqsrhpl{ ~p_iqs|~kjƒt”‹khp}ojGqsrhQ€4¡qsvm‹k{slwjGqsrhpe9zlMeg_ou˜rh—jG~kqseƒ•9lbg–[r¢}g~zlqyh ~plM_-eG~prŠ-hjG~zlMj]l,}i{slMegertzr[}ojgl~z_fu‰bdl{zlhzuxjg_ojGbdl~p_ou[bdl{kbd_o|qsrhze Š-qy{y{)~plw_9t”bdrw‡o_dh¢bd_o|qsrhpeƒl–[qyh—jgr/jG~z_‘lbd}ojGqs}3}iqybd}i{s_3jG~z_frbd_ovƒ’ Š-~cqs}g~9egjglMjg_oe,jG~zlMj-jG~p_)hzrhct”bdrM‡o_ih‘bd_o|qsrhzert]bdlhzukrwvjGqy{yqyhp|we)rt jG~p_)†)‡fjg_o})u[qslwv.rhzu9}frhkw_dbd|w_mjgrxla}iqybd}d{s_w€-£_on[jo’[Š-_eG~zrŠ˜jG~plwj t“rbml eg_o}orhzu3}i{slwegemrt-jGqy{yqyhp|weo’'jG~p_ar[}fjgl~p_ou‰bdl{-lhzu3jg_ojGbdl~z_ou[bdl{ jGqy{yqyhp|weƒŠ-qy{y{,~plM_9_o¤w‹pl{_ihkjGbdr`kM€A~kqseaqse eG‹kbg`cbgqseGqyhp|T_o}ol‹zeg_ jG~p_o¥}orbgbd_oeG`Trhzujgr1rbduk_ibd_ou‚jGqy{yqyhp|we—rt3eg¤w‹plbd_—lhpu‚†)‡fjg_o} u[qslwv.rhzu¥bd_o|qsrhpeo’™bd_feG`T_o}ojGqsM_i{sw’9Š-~kqs}¦~§lbd_–[hzrŠ-h‚jgr˜~plM_ u[qy¨T_ibd_ihkjm_ihkjGbdr`k.qyh3jGŠ-r.u[qsv._ihpeGqsrhpeo€ © ªo« XwY[¬'­®,\[Xw¯“¬ «)° ±a²k³´¶µ@²‚·d´”¸”´¶µ@¹kº1²[»˜¼d½¹c´”²kµTº8´”µ¿¾,À;ÁQÂwÃc½4ÄT¼i²[Ãz´¶Å@½ÅÆÂ[µ Â[³9Ç@ºd´”µT¹‚ÄT¸“ÂwÈz¹k¼i²kÇTµTÅÉ» ²k¼1ʲc³9ËT´”µQÂ[·i²k¼d´“‰¸¶´”ºi·dºMÌʲc³3ÄTÇT·i½¼ ºdÊ´¶½µp·i´”ºd·dº9Â[µ@ÅÍÄTÁzÈzºd´”Ê´”ºi·dº.» ²c¼.³/Â[µzÈÈk½wÂ[¼dºwÎ9ÏmÁT½9ÄT¼i²kËT¸”½³ ²[»)ʲkÇTµz·i´¶µ@¹3·d´”¸”´”µT¹kºm²‰»ºdÐzÇQ‰¼d½ƒ¼d½¹c´”²kµTºaÑÒ‰ºmÓQ¼iºd·.ÄT¼d²cÄQ²cºd½Å ËzÈ3ÔT²[Ñm¸”½¼x‰µTÅ/՛ÇTºdÁzËT¼i²z²kÖk½.´”µÍ×wØkÙcÚ3ÛyÜwÝ´”µ3·iÁT½ ʲcµp·i½Þz·m²[» Â[µ]Â[¸”Èzß´”µT¹m·dÁT½m·iÁT½¼i³3²zÅTÈzµQÂ[³´”ʺQ²‰»àÂ.áwâgÅT´”³3½µ@ºd´”²kµQ‰¸[ÅT´”³3½¼ ºdÈzºi·d½³¢ÎÏmÁT´”º'ʲcÇTµz·d´”µT¹mÐzÇT½ºi·d´”²kµ™ÑÒ‰º'¼d½ºd²k¸”Ãc½Å ´”µ.·dÁT½)½MÂ[¼i¸”È ×MØcÜkã@ä º-ËzÈ å Â[ºi·d½¸”½Èzµ'ÌzÔ´”ºdÁT½¼mÂ[µ@őÏ-½³ÄQ½¼i¸”½È3ÛyØTÌT×wÜwÝQÇ@ºd´”µT¹ Â[µ9½¸¶½¹pÂ[µz·mÂ[¸”¹k²c¼d´”·dÁ@³ËQ‰ºd½Å²kµ3½ÃkÂ[¸”ÇQÂ[·i´”µT¹ æ»IÂwç/‰µTºMÎ-Ô@²k¼ Â.ºiÇT¼dÃc½È9²[»'·iÁT½xÅT´”³½¼,³3²zÅT½¸Ỉºd½½ƒÛ ڝÝdÎ'ègµ9·iÁT½x½M‰¼d¸”È×MØkØcãTä º Âmµ@½јéQÇ@¼d¼dș²[»à‰Ê·d´”Ãz´”·gȺi·f‰¼d·d½őÑm´”·dÁ9ÂmÄ]Â[Ä]½¼-²[»QÏmÁzÇT¼iºd·d²cµ

۔×MÚwÝdÌ[ÑmÁ@²‘ÅT½ ÓQµT½Å dÁT½´”¹cÁp·» ÇTµ@Ê·d´”²kµ ¼d½Ä@¼d½ºi½µz·fÂ[·i´”²kµ» ²c¼ ·d´”¸”´”µT¹kºwÌ'Â[µTŗ ÄQÂ[Ä]½¼ƒ²[» -¸”Öp´”½ºwÌ-å.ÇTÄQ½¼dË]½¼d¹]Ì '‰¼dºi²kµ—Â[µ@Å æ-¼d²cÄTÄ3Û wÝdÌÑmÁT²x´”µz·d¼i²pÅ@ÇTʽŠ·iÁT½ xß·i½ÊÅ@´œÂ‰³3²cµTʼnµTÅ.» ²cÇTµTÅ µT½ј³½·dÁT²zÅTº]»G²k¼'¹c½µT½¼oÂ[·i´¶µ@¹xÂ[µTŠʲkÇTµz·d´”µT¹m·i´”¸¶´”µT¹cº²[»T·dÁ@½ºd½ ¼d½¹c´”²kµTºwÎ ÏmÁT½ xß·d½ÊCÅT´“Â[³3²cµTÅ1´”º/Å@½oÓQµT½Å‰ºÍÂC¼d½¹c´”²kµ ´”µ ¾ À Ñm´”·iÁ á 4á 4á oá ͺiÐzÇQÂ[¼i½º²kµ ºdÇTÊʽºdºi´”Ãk½¼i²[ÑmºMÌ-½M‰ÊfÁCʽµz·d½¼d½Å4‰¼d²cÇTµTŘ·dÁ@½ 8‰Þp´”ºwÎ ¥èg· ÑÒ‰ºm¸“Â[·d½¼m» ²cÇTµTÅ3·iÁQÂ[·a¼f‰µTÅT²k³·d´”¸”´¶µ@¹kºm²[» xß·i½ʃÅT´“Â[³3²cµTÅTº ÁQÂwÃk½ g» ¼i²kß½µ¥¼d½¹k´”²kµTº 1·dÁQ‰·/Â[¼i½ÍÄ@¼d½ÅT´”Ê·oÂ[ËT¸”È8·i´”¸¶½Å'ÌxÂ[µ@Å ·dÁQ‰·Í·iÁT½—Ç@µz» ¼d²cß½µ ÄQÂ[¼i·dº¢²[»3·dÁ@½—·d´”¸”´”µT¹kºÊ²kµzÃk½¼d¹k½C·d²‚ Ê´”¼dÊÇ@¸œÂ‰¼—ºiÁQÂ[Ä]½kÌ·dÁ@½4ºi²[âgÊMÂ[¸”¸”½Å f‰¼dÊ·i´¶Ê Ê´”¼dʸ”½¥·dÁT½²c¼d½³ Û wÝdΗègµ1ʲcµz·d¼f‰ºd·wÌ·iÁT½ºiÐpÇ]Â[¼d½¼d½¹c´¶²cµ—´”º9ÖzµT²[Ñmµ1·d²¢ËQ½²[» ³/‰Þp´”³ƒÇT³8½µz·i¼d²kÄzÈzÌ[ºd².µT².ºiÇTÊoÁ9ÄTÁT½µT²c³3½µ]ÂmÑ)²kÇT¸”Å9Â[ÄTÄ]½MÂ[¼ ´”µ´”·dº˜¼oÂ[µTÅT²c³ ·d´”¸”´¶µ@¹kºMÎ ç3Ê´”½µz·˜³3½·iÁT²zÅTº¢ÁQÂwÃk½Cºd´”µTʽ ËQ½½µ9ÅT½Ãc½¸”²kÄ]½Å9·d².ÄT¼i²pÅ@ÇTʽx¼oÂ[µTÅ@²k³·i´”¸¶´”µT¹cº'²‰» ‰µpÈ.ºi´¶³ÄT¸”È Ê²kµ@µT½Ê·i½Å¼i½¹k´”²cµ ´”µ ¾ À ËQÂ[ºi½Å ²kµ Â¥ÁT½´¶¹cÁz·¢» ÇTµTÊ·i´”²kµ ¼d½Ä@¼d½ºi½µz·fÂ[·i´”²kµ²‰»A·iÁT½.ºd½·a²[»-·d´”¸”´¶µ@¹kº.Û¶×wÙTÌ]× ‰Ý¦Î ´”Ãk½µ.·iÁT´”º'½ÞzÄT¸”²kºi´”²kµ ²‰»@‰Ê·d´”Ãz´”·gÈpÌ´”·'´”º'ÐzÇT´”·d½µQÂ[·iÇT¼f‰¸k·d² ʲkµ@ºd´”ÅT½¼xٝâIÅT´”³½µTºd´”²cµQÂ[¸z·d´”¸”´”µT¹kºwÎ'ÏmÁ@½ºi·d²c¼dÈ9ÁT½¼i½ ÁQ‰ºË]½½µ ¸”½ºdºmºoÂ[·d´”º¦» Èz´¶µ@¹QÎ-ÏmÁT½¼i½ ÁQ‰ºmËQ½½µÄT¼d²c¹k¼i½ºdºa´¶µ½µzÇT³3½¼fÂ[·i´”Ãk½ ʲk³9Ë@´¶µ]Â[·d²c¼d´”ʺ» ²c¼ËQ²cÇTµTÅT´”µT¹ ·dÁT½1µzÇT³9Ë]½¼²[»3·d´”¸”´”µT¹kº²[» ÊÇTËT´”ʼi½¹k´”²cµTº9Ñm´”·dÁ á 8× 8× iËT¼d´”ÊoÖzº “ºi½½kÌm½cÎ ¹]ΔÌÛyáÝ Ì Â[µTŃ·dÁ@½¼d½m´”ºEÂa³½·dÁT²zÅ.»G²k¼E‰¸”¹k²k¼i´”·dÁT³´¶ÊwÂ[¸”¸sÈx‰ÄTÄT¼d²[Þz´”³/‰·d½¸”È Ê²kÇ@µp·i´”µT¹ ‰µTźf‰³3ÄT¸”´”µT¹.ºdÇTÊoÁ·d´”¸”´”µT¹kº.۔×MãÝ¦Î xµz» ²c¼d·iÇTµQÂ[·i½¸”ÈpÌ ÁT²[Ñ)½Ãk½¼wÌ-³/‰µpȲ‰»x·dÁT½ÇTµTÅT½¼i¸”Èp´”µT¹ÄT¼d²cÄQ½¼i·d´”½ºƒ·dÁQ‰· ÁQÂwÃc½ Â[·i·d¼f‰Ê·d½Å/ʲk³9ËT´”µQ‰·d²k¼i´“Â[¸”´sºi·dº-ÁQÂwÃk½›»IÂ[´”¸”½Ń·d²ƒ¹k½µ@½¼f‰¸¶´”ß½cÎ-ègµ ÄQÂ[¼i·d´”ÊÇT¸“‰¼MÌ[·iÁT½¼d½mµ@²¸”²cµT¹k½¼-ºi½½³3º-·i²Ë]½mÂxÁ@½´”¹kÁz·» ÇTµTÊ·i´”²kµ ¼d½Ä@¼d½ºi½µz·fÂ[·i´”²kµ‚²[»9·dÁ@½ºd½˜·i´¶¸”´”µT¹cºMÌx‰µTÅ4Ä@¼d²kÄ]²kºi½Å ‰¼dÖk²[à ÊoÁQÂ[´”µTº,Ë]Â[ºd½Å3²kµ9¸”²zÊM‰¸Q³²[Ãk½º-µT² ¸”²cµT¹k½¼Ê²kµTµ@½Ê·m·dÁ@½mºd·f‰·d½ ºdÄQ‰Ê½kÎ9æ-¼i²kÄ]½¼d·i´¶½º ‰¸¶ºi²9»I‰´”¸E·i²3¹c½µT½¼oÂ[¸”´”ß½9·d²·d´”¸”´”µT¹kºaÑm´”·dÁ á /á ˜× dºd¸“‰ËTºMÌ ƒÑmÁT´”ÊfÁÁQÂ[ºx‰¸”ºd²9Ë]½½µÄT¼i²kÄ]²kºi½Å'Î ègµ·iÁT´”ºÍÄQ‰ÄQ½¼MÌ9Ñ)½8Â[ËQ‰µTÅT²kµ‚·iÁT½1²k¼i´¶¹c´”µQÂ[¸ƒÄTÁzÈzºd´”ÊMÂ[¸ ³3²c·d´”ÃkÂ[·i´¶²cµ²[»x³²zÅT½¸”´”µT¹ÅT´”³3½¼ ºiÈzºd·d½³3º9Â[µTÅCºdÇTÊʽ½Å8´”µ ÅT½oÓQµ@´¶µ@¹—µQ‰·dÇT¼oÂ[¸.ÙwâgÅT´”³3½µTºi´”²kµQ‰¸,¹k½µ@½¼f‰¸¶´”ßM‰·d´”²kµC²[» ·dÁ@½ ÅT²k³´”µT²·d´”¸”´”µT¹ÄT¼i²kËT¸”½³ ·dÁ]Â[· ‘´”µTÁT½¼i´”·9·dÁT½Í‰¸”¹k½ËT¼oÂ[´”Ê Â[µTŠʲc³9ËT´”µQÂ[·i²k¼i´œÂ‰¸.ÄT¼d²cÄQ½¼i·d´”½º1·dÁ]Â[·˜ÁQÂwÃc½šÂ[·i·d¼oÂ[Ê·i½Å ºd² ³9ÇTÊoÁ ‰·d·i½µz·d´”²kµ'Î-ÏmÁ@½x·d´”¸”´”µT¹kº-ÁQÂwÃc½x Á@½´”¹kÁz·-» ÇTµ@Ê·d´”²kµ9·iÁQÂ[· ³/‰ÄTº'½M‰ÊoÁ3·d´”¸”´”µT¹x·i²‘ÂaºdÇT¼¦»IÂ[ʽx´”µ˜¾ Î-ÏmÁT½¼i½x´”º,Â.ËT´ o½Ê·i´”²kµ ËQ½·gѽ½µ—·dÁ@½9ºd½·ƒ²[»xÙwâgÅT´”³3½µ@ºd´”²kµQ‰¸'·i´¶¸”´”µT¹cºxÑm´”·dÁ iÅT²k³´¶µ@² ÊoÁQÂ[´”µTº ™ÑmÁT½¼i½ ¿¼d½o» ½¼dº·i²—·dÁ@½ ÄQÂ[¼i·d´“Â[¸-²c¼dÅT½¼™²kµ¢À ÅT²k³´¶µ@²9·d´”¸”´¶µ@¹kº.ÅT½oÓQµ@½ŘËzÈ·dÁT½9²c¼d´”¹k´”µQ‰¸ ÁT½´”¹kÁz·a» ÇTµ@Ê·d´”²kµÎ.ègµ ‰ÅTÅT´”·d´”²kµÌT·dÁ@½¼d½´¶º.ºd´”³3ÄT¸”½ ‰¼dÖk²[à ÊoÁQÂ[´”µ9ËQ‰ºd½Å²kµ9¸”²zÊMÂ[¸T³²[Ãk½º-·iÁQÂ[·,´”º,½¼d¹k²zÅT´”Ê.Â[µTÅ9ʲcµTµT½Ê·dº 0/

.&









:9

2@#A%@BCB8DFE

O/

G@+D @+D @HDIE

G@BJBCBC@ K ML 9

N

1

P/

F1

8Q

R3

A

S

0T

FT

U/

#1V;

N

'W

UX

YT

YT

Z/

1

[\]^

`_

        ! " 

       % & %')(*+ +,&

65

87

ïø[õy÷÷ íyêoí ë]“ñmö[ìýGíy÷íyôGîdôGõyïô û ó[îƒïôGî—ìo÷ð ô“îiìoúgë]ð û ìîiñmzø[îdò[ó úgó[û[ô ö['õyö[ìîiíyïìý îiï ÷÷ ö[Gúþ gø˜ûùwýGôGúgó[íyû[÷ò[öMìMòkôGìì ÷‚í ôGìoîdÿ ðøaü.õyö‘÷ôGò[û[÷ îdGôñm÷ôGõyúd-ùýiwþ,þ ÿ-G÷îdë]ì ö÷ Gîdî 'ÿ  ÷öwô 'ì Qëë ‰þ ï÷ ë]'ìúiíyú íyîdïï÷î ô îiúgû ì ð îiøMó ë]ìñmò[ó[ôGõyö[ï[þ ôGíy÷öwô ÷ ÿ   # $

21

43

a

/

1bcedfb

d BCBCBgdhbji@

d

!X

  +

k

·dÁ@½ºi·f‰·d½.ºdÄQ‰Ê½kÎÏmÁT´”ºÁQ‰ºÒ‰¸”¸¶²[Ñ)½Å9ÇTºm·i²‘½ތ‰³3´”µT½m·gÈzÄT´”ÊM‰¸ ·d´”¸”´”µT¹kºwÌkÂ[µ@Å9ѽmÁQÂwÃc½)» ²kÇ@µTÅ9ºdÇT¼iÄT¼d´”ºi´¶µ@¹ oÂ[¼dÊ·d´”ÊoâgÊ´”¼dʸ”½oâg¸”´¶Öc½ ÄTÁT½µT²k³½µQ™ÅT½³3²cµTºd·i¼f‰·d´”µT¹™» ¼d²cß½µ¼d½¹c´”²kµTºwÎ ÏmÁT½ƒ´”µTµT²[ÃkÂ[·i´”²kµÊ²k³½ºa» ¼d²c³%·d´”¸”´”µT¹3¼i½¹k´”²kµ@ºÑm´”·iÁÍ·i¼d´ â Â[µ@¹kÇT¸“Â[¼9Ä@¼d´”ºd³ºMÌm½M‰ÊoÁ4ÁQÂwÃz´”µT¹˜·gÑ)²§Ùcã  fÙcã  w×Mákã 1·d¼d´“‰µzâ ¹k¸”½ºx‰µTÅ̓ºiÐpÇ]Â[¼d½!»IÂ[ʽ.ʲcµTµT½Ê·d´”µT¹3·iÁT½ ¸”²kµ@¹9½ÅT¹k½ºx²[»,·iÁT½ ·d¼i´“Â[µT¹c¸¶½ºMΘÏmÁT½·i´¶¸”½ÑÒ‰º‘ÅT½¼d´”Ãk½ÅC» ¼i²k³+ ½Ãz´”·d²[ØËT¸”²zÊoÖÌ ÑmÁT´”ÊoÁ4ʲkµTºi´¶ºi·dº²‰»‘·gÑ)²š²‰»‘·dÁ@½ºd½˜ÄT¼i´”ºd³3º¹c¸¶Ç@½Å8·d²c¹k½·iÁT½¼ Â[¸”²cµT¹—·iÁT½´”¼ºdÐzÇQÂ[¼i½»gÂ[ʽº  Â[¸”·iÁT²kÇT¹cÁ8ºdÄ]½Ê´ » Èz´”µT¹C·dÁT½—‰µzâ ¹k¸”½ºÂ[ºÑ½ÅT²CÁT½¼d½¢ÑmÂ[º9µT²c·3´”³3Ä]²k¼i·fÂ[µz· 3۔×k× ÝdÎ ½Ãp´”·i²[à ËT¸”²zÊoÖpºÁQÂwÃk½Ë]½½µ‚˜ÇTºi½o» ÇT¸.·i²p²c¸m» ²c¼9ÅT½³²kµTºi·d¼f‰·d´”µT¹˜·iÁT½ ÁT½´”¹cÁp·›» ÇTµTÊ·d´”²kµ¼i½ÄT¼i½ºd½µz·oÂ[·d´”²cµ˜²[»ÒáâIÅT´”³½µTºd´”²cµQÂ[¸·i´¶¸”´”µT¹cºMÎ ˜½)ÅT½oÓQµT½›» ²kÇ@¼E´”µz·d½¼d½ºi·d´”µT¹.»I‰³3´”¸”´”½º²[»¼d½¹c´”²kµTº,·i².ËQ½m·i´¶¸”½ÅÌ     ‰µT Å  Ì[ÑmÁT½¼i½m¼d½¹c´¶²cµTº  ‰µT Å   ‰¼d½)²pÊ·fÂwâ ÁT½Å@¼fÂ[¸@´¶µ™ºdÁQ‰ÄQ½x‰µTőÂ[¼i½Å@½oÓQµT½Ń»G¼d²k³‚·iÁT½)ÁT½´”¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´”²kµ ²[»)·dÁT½3áâIÅT´”³½µTºd´”²cµQÂ[¸ºiÐpÇ]Â[¼d½9¼i½¹k´”²cµ²[»m²k¼iÅT½¼ aÌ'‰µT Å  Â[µ@Å  ‰¼d½9·d½·d¼f‰ÁT½ÅT¼oÂ[¸m´”µ¢ºdÁQ‰ÄQ½3‰µTŠ‰¼d½9ÅT½¼d´”Ãk½Å¢»G¼d²k³ ·dÁ@½!áâIÅ@´¶³½µTºi´¶²cµQÂ[¸ xß·d½Ê Å@´œÂ‰³3²cµTÅ9²[»-²k¼dÅ@½¼ ká-Î ÏmÁT½ÓQ¼iºd·¼d½ºiÇT¸”·3´”º9·dÁ]Â[·9·dÁ@½µQÂ[·iÇT¼f‰¸ ‰¼dÖc²[×ÊoÁQÂ[´”µ ²kµ¥·dÁ@½Íºi·fÂ[·i½˜ºdÄQ‰Ê½˜²[»9·d´”¸”´”µT¹kº9´”º¼f‰ÄT´”ÅT¸”È1³3´”Þz´¶µ@¹QÎ ÏmÁT½ ÄT¼i²p²‰»¼d½¸¶´”½º.²cµÄQÂ[·iÁʲcÇTÄT¸”´”µT¹/‰µTÅÍÂ[µ´¶µz·i½¼d³½ÅT´“Â[·i½ºi·d½Ä ÑmÁT½¼i½ËzÈ9ѽ)Ó]¼dºd·)Â[µQ‰¸¶Èzß½x ‰¼dÖc²[à ÊoÁQÂ[´”µ9½µTÁ]Â[µTʽÅ3Ñm´”·dÁ d·i²[ѽ¼'³3²[Ãc½ºMÎ ÏmÁT´”º´¶º·dÁT½AÓQ¼dºi·EÄ@¼d²z²[»T²[»T¼oÂ[ÄT´”Å ³´¶Þz´”µT¹-»G²k¼ Âa³3²zÅT½¸c¼d½Ä@¼d½ºi½µz·d½ÅËzȑ [âgÅT´”³3½µ@ºd´”²kµQ‰¸[ÁT½´”¹kÁz·» ÇTµ@Ê·d´”²kµÎ

´”³9ÇT¸“Â[·i´”µT¹—·iÁT´”º ‰¼dÖc²[Ã4ÊoÁQ‰´¶µ‚Á]Â[º˜Â[¸”¸”²[ѽłÇ@º˜·d² ³/‰Ök½mºi½Ãk½¼oÂ[¸Ê²kµ ½Ê·dÇ@¼d½º.Â[Ë]²kÇT·m½³½¼d¹c´”µT¹ ¼d½¹k´”²kµTº)ÑmÁT´”ÊoÁ Â[¼i½Â[µ]Â[¸”²k¹c²kÇTº·i²m·dÁT½máwâgÅT´”³3½µ@ºd´”²kµQ‰¸Â‰¼dÊ·i´”Ê,Ê´”¼dʸ”½,·iÁT½²c¼d½³¢Î ˜½mË]½¸”´¶½Ãk½x·iÁQÂ[·)¼d½¹k´”²kµTº  ‰µTÅ  ¢ÁQÂwÃk½)»G¼d²kß½µ3¼i½¹k´”²kµ@º Ñm´”·dÁÄT¼i½ÅT´”Ê·f‰ËT¸”½.·d´”¸”´¶µ@¹kº)ÑmÁT½µ #´¶ºm¸“‰¼d¹k½cÎ ÏmÁT½aºd½Ê²cµTżi½ºdÇT¸”·m´”ÅT½µz·i´sÓ]½ºÒ™ºdÇ@¼dÄT¼i´¶ºi´”µT¹9ʲkµ@µT½Ê·i´¶²cµ Ë]½·gѽ½µÍ·iÁT½ xß·i½ʑÅ@´œÂ‰³3²cµTÅ3Â[µTÅ·dÁT½ ºiÐzÇQÂ[¼i½‘¼i½¹k´”²kµ¢Â[µTÅ Â[¸”¸”²[ÑmºxÇ@º·i²ÄT¼d²[Ãc½‘·iÁQÂ[·.·dÁ@½9½µz·d¼d²cÄzȲ[»·i´”¸¶´”µT¹cºx²‰»   8´”º '·d²·iÁT½3½µp·i¼d²cÄpȘ²‰»Ò·i´”¸¶´”µT¹cº.²[»  Î ÏmÁT½3½µz·i¼d²kÄzȘ´”º ÅT½oÓ]µT½Å3Â[ºa¸”´¶³C¸”²k¹   ,²c¸  zÌ[ÑmÁ@½¼d½  ´”ºAÂÒ»IÂ[³´”¸¶È ²[»m¼d½¹k´”²kµTºƒÂ[µTÅ  ´”º·iÁT½3µzÇT³9Ë]½¼.²[»m·d´”¸”´”µT¹kºwÎ —ègµ˜·gÑ)² ÅT´”³3½µTºd´”²kµ@ºMÌw·d´”¸”´”µT¹kº²[»Q·iÁT½ºiÐzÇQÂ[¼i½xÂ[µTŃ·dÁT½ xß·d½ÊaÅT´“Â[³3²cµTÅ Â[¼i½mÖzµT²[Ñmµ‘·i² ÁQÂwÃc½ÅT´ ½¼d½µp·)½µz·d¼i²kÄzÈzÎ'ÏmÁT½mÄ@¼d²z²[»¼d½¸”´”½º)²kµ ÂÊÇT·i½9ʲk³9ËT´”µQ‰·d²c¼d´“Â[¸´”ÅT½µz·i´¶·gÈ·iÁQÂ[·.ÅT½Ê²k³3Ä]²kºi½º.ºdÐzÇQ‰¼d½º Â[µ@Å xß·i½Ê¥ÅT´“Â[³3²cµTÅTº¢´”µp·i²‚½ÞTÂ[Ê·1ÄQ‰ÊoÖp´”µT¹cº—²‰» ºi³/‰¸¶¸”½¼ ºdÐzÇQ‰¼d½º.Â[µTÅÅT´“‰³3²kµ@ÅTºMÎ ÏmÁT½1ÄQ‰ÄQ½¼˜´”º¢²k¼i¹pÂ[µ@´¶ß½Å Â[º» ²k¸”¸”²[ÑmºM Î ˜½1ÄT¼d²[Ãz´”ÅT½  Ãk½¼iÈ ËT¼i´¶½ » ´”µz·d¼i²pÅ@ÇTÊ·d´”²cµ ´”µp·i²·iÁT½‚·dÁT½²k¼dȲ[»˜ÁT½´”¹kÁz· » ÇTµ@Ê·d´”²kµ@º9´¶µCºd½Ê·d´”²kµ4á@Î1ègµ1ºd½Ê·i´”²kµ8٢ѽ´”µz·d¼i²pÅ@ÇTʽ·iÁT½ µT½Ñ ·d´”¸”´”µT¹kºa³3²zÅT½¸gÎaègµÍºi½Ê·d´”²cµ Ñ)½‘¼i½Ãz´¶½Ñ·dÁ@½ ‰µQÂ[¸”Èzºd´”º ²[» Â[¼iÖk²[âÊfÁ]Â[´”µ¢» ²k¼™ºfÂ[³ÄT¸”´”µT¹3ÅT²c³3´”µT²·d´”¸”´¶µ@¹kºMÎÏmÁ@½µ Ñ)½šÅ@½oÓQµT½4 Â[¼dÖc²[ÂÊoÁQÂ[´”µ ²kµ ·dÁT½8ºi·f‰·d½8ºiÄQÂ[ʽ ²[» ٝâ ÅT´”³3½µTºd´”²kµ]Â[¸]ÄT¼d´”ºd³%·i´”¸¶´”µT¹cºxÂ[µTźiÁT²[т·dÁQ‰·x·iÁT´”ºx´”ºm¼f‰ÄT´”ÅT¸”È ³3´”Þz´”µT¹QÎÔ'´”µQ‰¸”¸¶ÈzÌ´”µ˜ºd½Ê·d´”²kµ Ñ)½9ºd·iÇTÅTÈC¼fÂ[µ@ÅT²k³ ·d´”¸”´¶µ@¹kº ²[»·iÁT½ºd½‚¼i½¹k´”²cµTºMÎ ègµÄQÂ[¼i·d´”ÊÇT¸“Â[¼wÌ3Ñ)½¥ ÄT¼d²[Ãc½8·dÁQ‰·—·iÁT½ ²zÊ·f‰ÁT½ÅT¼oÂ[¸‘‰µTÅ8·i½·d¼oÂ[ÁT½Å@¼fÂ[¸™ÄpÈz¼oÂ[³3´”ÅTº  Â[µT! Å :  ÁQÂwÃk½ ·dÁ@½ºoÂ[³3½½µz·d¼d²cÄzÈpÎègµ9Â[Å@ÅT´”·d´”²kµ'Ìѽ)ºdÁ@²[јºd´”³9ÇT¸“Â[·i´¶²cµTº]·dÁQ‰· ºdÇ@¹k¹k½ºd·x·iÁT½¼i½Ñm´”¸”¸Ë]½x»G¼d²kß½µ¼d½¹c´¶²cµTºm·dÁ]Â[·m½³½¼d¹c½Â[¸”³²kºd· ºdÇ@¼d½¸”È3´”µºd²c³3½a¼fÂ[µ@ÅT²k³ ·i´”¸¶´”µT¹cºMÎ /

1

@

&@

e5

Z;

+N

i @

i @

i

i

5

i

i

i

D

i

%9

D

X

X

/

1

á

¬ $˜¯ « ¬Xw¯ &G¯ (« ' WaZ « *­ )(+z¯ ' )-X ,d® « \‰XM¯G¬ « W ° " # % %ÅT²k³´”µT²·d´”¸”´”µT¹´”º3¢Ê²[Ãc½¼d´”µT¹¢²[»‘ ÓQµT´”·d½kÌ)ºi´¶³ÄT¸”ÈÍʲkµzâ µT½Ê·i½Å¥¼d½¹c´¶²cµ1²[»·iÁT½/.m‰¼d·d½ºd´“Â[µ1¸“Â[·i·d´”ʽÑm´”·dÁCÇTµT³Â[¼dÖc½Å ÅT²k³´”µT²z½ºMÌ¢ÑmÁT½¼i½ ½MÂ[ÊoÁ ÅT²k³´”µT² ʲ[Ãk½¼iº‚·gѲ%Â[Å Â[ʽµp· ºdÐzÇQ‰¼d½º²[»ƒ·dÁT½¢¼d½¹c´”²kµ'Î ±a²k³3´”µT²·d´”¸”´¶µ@¹kº3¼i½ÄT¼i½ºd½µz·Ê²kµzâ ÓQ¹kÇ@¼fÂ[·i´”²kµTºm²‰»EÅT´”³3½¼ºiÈpºi·d½³ºm²kµ·dÁT´”ºm¸“Â[·i·d´”ʽkÎ ÏmÁT½3·i´”¸¶´”µT¹cº.²[»Â[µzÈ¢¼d½¹c´”²kµ—ÊwÂ[µ—Ë]½3¼i½ÄT¼i½ºd½µz·i½Å8Ëzȗ ÁT½´”¹kÁz·» ÇTµ@Ê·d´”²kµÎÏmÁ@½˜ÁT½´”¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´”²kµ‚Â[¼i´¶ºi½º» ¼i²k³ Â[µ ÇTµTÅT½¼d¸”Èz´¶µ@¹‘·i´¶¸”´”µT¹.¹k¼i²kÇTÄÂ[µTÅÊMÂ[µË]½xºiÇT³3³Â[¼d´”ß½Å9ÇTºd´”µT¹9 ¼dÇT¸”½,Ë]Â[ºd½ő²cµ ·dÁT½)ËT´”ÄQ‰¼d·d´”·i´¶²cµ.ÇTµTÅT½¼i¸”Èp´”µT¹a·dÁT½ÅTÇQÂ[¸z¸“Â[·i·d´”ʽkÌ ´gÎ ½cζ̙·dÁT½CËT¸“Â[ÊoÖÂ[µ@łÑmÁT´”·d½—ºiÐzÇQÂ[¼i½º˜²[»·dÁT½CÊfÁ@½ºdºiËQ²zÂ[¼dÅÎ Ï-²8ÅT½oÓQµ@½8·dÁT½CÁT½´”¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´”²k1 µ 032 ‰ºdºi²pÊ´œÂ‰·d½Å Ñm´”·dÁ  ·d´”¸”´”µT¹ /Ìzºi·fÂ[¼i·mÑm´”·dÁ3ºi²k³½xÄ]²k´”µz5· 4²cµ3·iÁT½.ËQ²cÇTµTÅQ‰¼dÈ3Â[µ@Å ºd½6· 02 4 87 ã-Î 9x²[Ñ ÌmÑmÂ[¸”Öz´”µT¹˜Â[¸”²kµT¹˜½ÅT¹k½ºË]²kÇTµ@ÅT´”µT¹ ·dÁT½·i´¶¸”½ºwÌ)´s»x·iÁT½ºiÐpÇ]Â[¼d½·i²˜·dÁT½¸”½o» ·ƒ²[» Â[µ1½ÅT¹c½/´”º9ËT¸“‰ÊfÖ “¼i½ºdÄ]½Ê·i´¶Ãc½¸”Èp̙ÑmÁT´”·d½ Ì.´”µTʼd½wÂ[ºd½ ¼d½ºiÄQ½Ê·d´”Ãk½¸¶ÈzÌ Å@½Ê¼d½wÂ[ºd½ ·dÁT½aÁT½´”¹kÁz·,Ëzȃ²kµT½cÎ xµ3½ތ‰³3ÄT¸”½)´”º,´”¸¶¸”ÇTºi·d¼oÂ[·d½Å9´¶µƒÓ]¹kÇT¼i½‘×kÎ èg·m´”º½M‰ºdÈ·d²9ºd½½·iÁQÂ[·m·iÁT½.ÁT½´”¹kÁz·m²‰»A™ÄQ²c´¶µz·)²kµÂ[µzÈ9·i´¶¸”´”µT¹ ²[»‘˜¼i½¹k´”²cµ8´”º/Â[¸”ÑmÂwÈzºƒÓQÞz½Å ³3²zÅ ,Î a¸¶·i½¼d´”µT¹1˜·i´¶¸”´”µT¹ ËzÈ d¼d²c·f‰·d´”µT¹ ™·gѲ9Â[Å Â[ʽµz·)ÁT²k¼i´”ß²kµz·f‰¸Q·i´”¸¶½ººi²9·dÁQ‰··iÁT½È Â[¼i½xÃk½¼d·d´”ÊM‰¸ “²c¼Ãz´”ʽoâgÃk½¼iºf mÂ[¸”·d½¼iº·iÁT½.ÁT½´”¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´”²kµËpÈ ÊoÁQÂ[µT¹c´”µT¹‘·iÁT½ ÁT½´¶¹cÁz·²‰»E·dÁ@½ ʽµz·d½¼xÄ]²k´”µz·mËp;È : ,Î 9

a

b g; N

;

N 9

0 -1

a

i

]

Gi =;

i N

j;

i N

;

i

i

8N

:9

?9

a

N

1

-1

0

1

0

1

0

-2 -1 -2 -1

0 -3 -4 -3 -1

0

-2 -1 -2 -1

0 -3

Gi

Y9

1 `;

A

A

MD

N

ZA U9

=/

X

i

V;

0

0

0

2 -1

-1

0

-1

2 -1

-1

0

-1

1 1 1

-1

-2 -1 -2 -1 -2 -1

0

0

0

0

-2 -1 -1 -1 -2 0 0 0 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 0 -1 -1 -1 -1

1

0

1

0

1

0

1 1

0 0

-1 -1

Ô ´”¹kÇT¼i½ ×=˜½—ºoÂwÈ4·iÁQÂ[· ´s»oÌ.» ²c¼½MÂ[ÊoÁ Ä]²k´”µz·@? ´”µš·iÁT½¼i½¹k´”²kµAÌ 0 2CB D? FEG0 2IH D? zÀ Î -Ãk½¼iÈCÓQµT´”·d½kÌ)ºi´¶³ÄT¸”È Ê²kµ@µT½Ê·i½Å¼d½¹c´¶²cµ‘Á]Â[ºÂ.Ç@µT´”ÐpÇ@½mÁT´”¹kÁT½ºi·Â[µ@Å9¸¶²[Ñ)½ºi·E·i´”¸¶´”µT¹]Î ÏmÁT½ ÁT´”¹cÁT½ºd·.Â[µTŸ¶²[Ñ)½ºi·x·d´”¸”´”µT¹kºm²‰»,·dÁT½ ºiÐzÇQÂ[¼i½ ‰µTÅ xß·d½Ê ÅT´“Â[³²kµTŗ‰¼d½ºiÁT²[Ñmµ1´¶µCÓQ¹cÇT¼d½¢Cá Jm·i²˜ºd½½¢·dÁT½¢Â[ºdºi²zÊ´“Â[·d½Å ÁT½´”¹kÁz·)» Ç@µTÊ·d´”²cµTºMÌzºi½½.ÓQ¹cÇT¼d½ @Î 0

1

0

1

0

1

0

0

Obc

dPb ; jN

; %N

0

0

0

0

0

0

3

9

7

A

0X

X

7

lowest tiling of the square

highest tiling of the square

lowest tiling of the Aztec diamond

highest tiling of the Aztec diamond

Ô´¶¹cÇT¼d½9áC8Ì@ÁT½µTʽ d  "  d  9) E × ÏmÁT½¼i½o» ²k¼i½kÌ 9\Û [ED^] À !j1Ý 7 d  "  d  "  d  9) E ã x¸”¸²k·iÁT½¼mÊoÁT²c´¶Ê½ºx²‰» K  ™Â[¼d½ƒÂ[µQ‰¸¶²c¹k²cÇTºMÌcºd² eF d F c 5 m\Û [ED^] À Ý 7 e F c 5 d F c 5 E ã ÑmÁT½¼i½ 49‰µTÅ  ¼i½Ãk½¼iºd½m·iÁT½mºd´”¹kµƒÂ[µTŃÅT´”¼d½Ê·d´”²kµ'Î ½·EÇ@º xÄTÄ]½M‰¸¶´”µT¹‰¹pÂ[´”µ¢·d²¸”½³3³ QÎyá “·iÁT½²k¼i½³ ²[» ۔×MÙÝ ÌÑ)½ Â[ºiºdÇT³½kÌ[Ñm´”·dÁ@²kÇT·-¸”²kºiº,²[»¹k½µ@½¼f‰¸¶´”·gÈzÌw·dÁQ‰·  7 ‰µTÅ  7 ʲkµ@ʸ”ÇTÅT½ ·iÁQÂ[· 3 5 7A@CB F ´”ºm¼oÂ[ÄT´”ÅT¸”È9³3´”Þz´”µT¹QÎ j%Î ½·/k ËQ½a·dÁT½aÇTµT´”ÐzÇT½mµT½´”¹kÁzË]²k¼,²‰»(?˜·i²·iÁT½ ˜½ºd·,²c¼ 9x²c¼d·iÁ3²kµ9¸”½Ãc½¸ )ºiÇTÊoÁ3·dÁ]Â[·50 2 Kk 7 0 2 D? ×  -/.+M1032+MONiRS S V $   W   -  + X 1   + W .  x¹zÂ[´”µ'Ì·dÁT½²kµT¸”È·i²[ѽ¼dºƒ´¶µ˜·iÁT½ o·iÁ—¸”½Ãk½¸ÑmÁT´”ÊoÁ˜ÊM‰ÇTºd½ X     <   ; ;/   Y Z  / 4% + -  / 1`   ÊoÁQÂ[µ@¹k½,·i²x·dÁ@½ÅT´”ºi·fÂ[µ@ʽË]½·gÑ)½½µƒ·d´”¸”´”µT¹kº³9ÇTºi·ºd·oÂ[¼d·,‰· ?mÌ k 5 7    + 3 $ ;5EK7+@CB F +    + - a`    ²k¼-Â)ÄQ²c´”µp·4J!·d²x·iÁT½ ²[» ?mÎ xµzÈ.·d²[Ñ)½¼ºd·f‰¼d·i´¶µ@¹Â[4· J!·dÁQ‰· b 8 E 9 á‰-½  ¸¶µ 8 ! X   E     */ a` Y ´”ºE‰¸¶¸”²[ÑmÂ[ËT¸”½³9ÇTºd·ÁQÂwÃc½,ÁT½´”¹cÁp· 0 ´¶µ™²kµT½,ʲkµzÓQ¹cÇT¼f‰·d´”²kµƒÂ[µTÅ ÁT½´”¹cÁp· 0 ¥×ƒ´”µ‘·iÁT½x²c·dÁT½¼MÌzÂ[µTÅ9·iÁT½xµT½·½ ½Ê·)²[»'ÊoÁT²z²cºd´”µT¹ ˜½-ʲkµTʸ¶Ç@ÅT½,·dÁ@´¶ººd½Ê·d´”²kµ ËzÈa¼d½·iÇT¼dµT´”µT¹.·i²m·dÁT½,²c¼d´”¹k´”µQ‰¸ JÑm´”¸”¸QË]½‘ã@Î-ÏmÁT´”º¹c´¶Ãc½ºmÇTºm·iÁQÂ[· ÅT½ºiʼd´”ÄT·i´¶²cµ—²‰»x·dÁT½ ‰¼dÖk²[âÊoÁQÂ[´”µ˜ÑmÁT½¼d½·d¼oÂ[µTºi´¶·i´”²kµTº9Â[¼i½ ¼d½ºi·d¼i´¶Ê·d½ÅC·d²ËQ½9½¸¶½³3½µz·f‰¼dÈÅT²c³3´”µT²9¼d²c·f‰·d´”²kµTº GÂ[µTÅ¢µT²k· e F d F "  e F d F 9) e F d F 9) ·d²[Ñ)½¼¢ ³3²[Ãk½º Î ÏmÁT½1ʲc³3ÄQ‰¼d´”ºd²cµ4³½·dÁ@²pÅ ²[»/±a´“Â[ʲcµT´”º Â[µTÅ Â[¸”² ]â .)²kºd·i½Û [ÝÊM‰µ ËQ½¥F ÇTºi½Å%·d² ºdÁT²[Ñ¿·iÁQÂ[·1·dÁ@½  F  f ¼ 7 d 9) ]Î”× ²[‰»3ÄT·i´”Å ÁT´”ʺ²kµzºd´”Ãc³3½¼dÄ@¹c¸¶½½µT¼ ʽm²‰Â[» ¼dÖc3 ²[Ã4$ 5Êo ÁQ7A@C‰B´”µ'Î ´”³3ÏmÄ@¸¶ÁT´”½´”ºÍº·iÂ[ÁTµ]½)Â[¼f¸”Â[ÈzÄ@ºd´”´¶ºř» ³3²c¸¶´”¸”Þz²[´¶Ñmµ@¹ º "  d "  eF d ·dÁT½—‰¼d¹cÇT³3½µz·¹k´”Ãk½µ¥ËzÈ4Õx‰µTÅQ‰¸¶¸ ‰µTÅ4Ï-½·oÂ[¸”´ ´”µ¥·dÁT½—áâ e F d F 9) ÅT´”³3½µ@ºd´”²kµQ‰¸TÊM‰ºd½3Û”× ÝdÎ Yb c d BJBCB ? d b d BJBCB d j b i  !b c d BCJB B dUb d BCCB B d bji  5  < <
i

GiB

i

Ô ´”Þ ‰µTÅ ?m̉µTŗ¸”½· D67  ‰µTÅ J 7 × ËQ½C·dÁT½˜¼oÂ[·d´”²1²[»ƒ·dÁT½CÃk²k¸”ÇT³½º3²‰»‘·gÑ)²šÊ¸¶²cºd½¸”È ¼d½¸œ ‰·d½Å¼i½¹k´”²kµ@ºMÎ,ÏmÁ@½µ _  \\1` Y 

D



ic

c





 @7   > # J  > / -   - > !  0!  # J  > J -     /- > (  !  0- > (  !  7  > /  (  ( 

ÑmÁT½¼i½ - 7  á)D D cقÂ[µTÅ.- > 7  á)D 4áD  kقÂ[¼i½ » ¼i²k³ ·iÁT½ ºd·oÂ[·i½³3½$ µz·)²[», ʲc¼d²k¸”¸“Â[¼iÈ T ÎyáTÎ   $ 9x²[Ñ Ìw¸”½·i·d´”µT¹ 5  + 7³3´”µ  " " @Ì[Â[µTÅ Ç@ºd´”µT¹ ·dÁ@½mÃk²k¸”ÇT³½-¼d½¸“Â[·i´”²kµTºiÁT´”ÄTº» ¼d²c³¸”½³3³ @ÎyáTÌw´”·'»G²k¸”¸”²[Ñmº·dÁQ‰·  # J 5  +  -   - >  ( >   - > (  i

i

i

c

;



_

c

c



_

;

_

 c N



 c



GN



 c

;

c

E

GN

7

4;

@

c N

@

67

i

Jc

 + 

5

c



D 

i

&c

B

i

B

; 7 N

GiB!5

i

B

Gi



i c

7

B i c 

; 7 N

B



; 7 N

7

7

2i

B

i



i @

i

i

i

Gi

5

;

;

c



_

ic N

c

i

@

i

 +Gi

5



-

i ; 5

@

4i

 %  E

5

c



_ gi

i



c B

i

@

 +  N

 cN

c@

i

i

c

@

@ 2iBG9 7

c



4i

i

4i

#

@

7



4i

i @

; 7 AN

2i

i c



i

i B

5

c

@

+ 

i

B

èG»8? 4 ,Ìa·dÁT½µÂCºi´¶³ÄT¸”½ÊM‰¸¶ÊÇT¸“Â[·d´”²cµ8ÅT½ ·i½¼d³´¶µ@´¶µ@¹—·dÁ@½ ¼f‰·d´”²²[»mÃk²k¸”ÇT³½ºx¼i½Ãk½wÂ[¸”º ·dÁ]Â[· - # × kÜ ´”µTʽ˜¸¶´”³ - ´¶º ËQ²cÇTµTÅT½ŚÂwÑmÂwÈ» ¼d²c³ ß½¼d²]Ì,·iÁT½3½ÐzÇQ‰¸”´¶·gÈ´¶µ˜½ÐpÇ]Â[·d´”²cµ TÎ ´”³3ÄT¸”´”½º,·iÁQÂ[·ƒ¸”´¶³ 5  % 7 ¸”´”³ 5  + .)²kµTºi½ÐzÇT½µz·d¸”ÈzÌ ¸”´¶/³  7 ¸”´”/³ " ° " Y[¬ =+ « Y + ' ¯ ¬ « W.¯ « +& ¬ « ' Z@X +T­ ]%¬ & ® $+TWkÎ aÇT¼ºd´”³9ÇT¸“‰·d´”²kµTºƒÅT½³²kµTºi·d¼oÂ[·d½¢·dÁ]Â[··iÁT½Í½¸¶²cµT¹p‰·d½Å¥Ãk²c¸ â ÇT³3½ºËQ½Á]ÂwÃk½,ÐzÇT´”·d½-ÅT´ ½¼d½µp·i¸”È·iÁQÂ[µ.·iÁT½,ºd½¼d¼f‰·d½ŃÃk²c¸”ÇT³3½ºwÎ èg·Ò‰ÄTÄ]½MÂ[¼iºm·dÁQ‰· —‰µTÅ  ˜ÁQÂwÃc½xË]²kÇTµ@ÅT½Å¼d½¹c´”²kµTºwÌz²kÇT·¦â ºd´”ÅT½ ²‰»,ÑmÁT´”ÊfÁ·iÁT½‘·i´”¸¶´”µT¹cºÒ‰ÄTÄ]½MÂ[¼›» ¼d²cß½µ'ÎxÔ´”¹kÇ@¼d½ºƒ×k× Â[µ@Å ×MáCÅT½³²kµTºi·d¼oÂ[·d½˜·iÁT´”ºÄTÁT½µT²k³½µT²kµ ”»G¼d²kß½µ¼i½¹k´”²kµ@ºÍÂ[¼i½ ²k³´¶·i·d½Å 6Î ˜½ÊMÂ[¸”¸a·dÁT½Ë]²kÇ@µTÅQÂ[¼iȗ²‰»!·iÁT½» ¼i²kß½µ8¼d½¹c´”²kµ ²[»  —·iÁT½ oÂ[¼iÊ·d´”Ê.ºdÄTÁ@½¼d½ ‰µTÅʲcµ o½Ê·iÇT¼d½ƒ·dÁ]Â[·x·iÁT½‘‰¼dÊoâ ·d´”ÊmºdÄ@ÁT½¼d½.ʲcµzÃk½¼i¹k½º)·d²‘Â!·d¼dÇ@½mºdÄTÁT½¼d½ “ºi¸¶´”¹cÁp·i¸”È ·d¼iÇTµTÊM‰·d½Å ËzÈ3·dÁ@½Ãc½¼d·i´”ÊMÂ[¸ÑÒ‰¸¶¸”º Î U32\ « O¬  &+T­ ' +I$+ « XMW ° ˜½šÂ‰¼d½—¹c¼f‰·d½o» Ç@¸9·d²‚ÕmÇTºiºd½¸”¸ ‰¼d·d´”µ » ²k¼¢³/‰µpÈ ÁT½¸”Äz» ÇT¸ ʲk³³3½µz·iºQ²cµ·iÁT´”ºÄQÂ[Ä]½¼wÎ'ÏmÁT½AÓQ¼dºi·EÂ[Ç@·dÁT²c¼'Ñ)²kÇT¸”ʼn¸”ºd²m¸”´”Ök½ ·d²·iÁQÂ[µ@Ö k´”³+æ-¼d²cÄTÄ¢» ²c¼Å@½³3²cµTºd·i¼fÂ[·i´”µT¹·dÁT½Ê²kµTµ@½Ê·d´”²cµ ËQ½·gѽ½µÁT½´”¹kÁz·)» Ç@µTÊ·d´”²cµTºxÂ[µTÅ ½Ãz´¶·i²[Ã9·d´”¸”½ºMÎ fA

2B

i

7 A

i

i B

i

B

Ì ¸”´¶³  # ¸”´¶³ J 5  +  7 5  +  ÏmÁT´”ºmÁT²c¸¶Å@º,» ²c¼xÂ[¸”¸ ?mÌzºd² ¸”´¶³  # ºiÇTÄ 5  +  @Î”× ˜½ µT²[Ñ ÇTºd½9·iÁT½ƒ·d½·i¼fÂ[Á@½ÅT¼f‰¸Å@½Ê²k³ÄQ²cºd´”·d´”²cµTºm·d²Â[ÊoÁT´”½Ãc½ ¢ºd´”³´¶¸“‰¼Ë]²kÇ@µTÅ1²kµ¸”´”³ " ½·d·i´¶µ@¹ J À 7 & &   Ì)·iÁT½ Â[µ]Â[¸”²k¹c²kÇTº)ÊMÂ[¸”ÊÇ@¸œÂ‰·d´”²kµ@ºÈz´”½¸”Å " # J À 5  +  ÏmÁzÇTºMÌ ¸¶´”³ " # ºiÇTÄ 5  +  @Îyá ègµ/‰ÅTÅT´”·d´”²cµ'Ìkºi´”µTʽ.ѽaÊoÁT²kºi½ D¢·i²‘Ë]½  ÌTÑ)½xÁQÂwÃc½kÌzËzÈ Â[µ´”ÅT½µz·i´¶ÊwÂ[¸'Â[¼i¹kÇT³½µz·MÌ ¸”´”³ " # ºdÇTÄ 5  +  @ÎyÙ 9



_

c

7



Ø æ-ÇT·i·d´”µT¹·d²c¹k½·iÁT½¼ ´”µT½ÐzÇQ‰¸”´¶·i´”½º @ζ×cÌ TÎyá3‰µTÅ @ÎyÙTÌ]ѽƒÁQÂwÃc½ ·dÁQ‰· ¸”´¶³ 5  + # ºiÇTÄ 5  +  x½µ@ʽkÌ9ºi´¶µ@ʽºiÇTÄ 5  + # ¸”´¶³ 5  + 3´”·»G²k¸”¸”²[Ñmº/·iÁQÂ[· ¸”´¶³ 5  + ½Þz´”ºd·dº.Â[µTÅ ¸¶´”³ 5  + 7 ºiÇTÄ 5  + @Î Ï-²Ê²c³3ÄT¸”½·i½8·dÁT½‚Ä@¼d²z²[»fÌÑ)½¥µT½½Å%·i²É‰¼d¹cÇT½4·iÁQÂ[· ¸”´¶³/ 67;¸¶´”³ " aÎ ½· 5  %  7;³/Â‰Þ ,  "  "  zÎ9èg· ºdÇzç3ʽº-·d²xºiÁT²[ї·iÁQÂ[·m¸”´”³ 5  % @7ɸ¶´”³ 5  + a¹pÂ[´”µ'Ì ÓQÞ ?͉µTő¸”½· D/7 Î-ÔT¼i²k³ ¸¶½³3³/ TΔ׉µTÅ @ÎyáTÌwѽ)ÁQÂwÃc½  ·dÁQ‰·  # -      -  À (  "  - $ (  "  Â[µTÅ ³3´”µ " " # - (     - (> (  "  - > ((  "  ÏmÁT½¼i½o» ²k¼i½kÌ]¸”½·d·i´¶µ@¹ - 7˜³´¶µ -    - À (  - $ (  - (   - (> (  - > ((  ѽ.ºi½½ ·dÁ]Â[·

i

i B

Gi

;

i

%N

/

1

a

;

+N

X

5

@

×wã

Ô'´”¹cÇT¼d½9×k×=+             /ƒÎ -ÄT¼i´¶µz·