Random Three-Dimensional Tilings of Aztec Octahedra and ... - People

!#"%$&')(+*%(,&-./) 0 1,&' ) 324"%65879&')' :.4; @?A>CB3>@?,DE>@FGFIH J/>@KML1N?-OQPRTS 9U V,WXMY[Z]\[X ^3_a`cbd_feg_ihkjmlh/_on[jg_ihpeGqsrhrt-ukrwvxqyhzr3jGqy{yqyhz|Meart-`k{slhplbx{slwjgjGqs}o_ bd_o|qsrhpe9jgrjG~cbd_f_u[qsv._ihpeGqsrhpeo-~z_3jGqy{yqyhp|we3}orhpeGqsegjrtak{y{yqyhz| Gojg_o}o r[}ojgl~z_fubdl{,lhpujg_fjGbdl~p_oubdl{bd_o|qsrhzex-qsjG~jGbgqslhz|c{slb `kbgqsegv.eo--~p_meg_oj,rt'jGqy{yqyhp|wex}orbgbd_oeG`rhpuce)kq g_o}ojGqsM_i{s9jgr.l.eg_fjrt rbduk_ibd_ou9ukrwvxqyhzrjGqy{yqyhz|Meart`k{slhplbmbd_o|qsrhpeoT-~z_ibd_xjG~p_aukrwvaqyhpr jGqy{yqyhp|we,lbd_-trbd}o_ou.jgr)bd_oeG`_o}oj'l)`zlbdjGqsl{Qrbduk_ib'zlMeg_ou rh l)~p_iqs|~kj tkhz}fjGqsrhbd_i`kbd_oeg_ihkjglMjGqsrhQ.^3_auk_ikhz_ l.hplwjGkbdl{E9lbg[r9}g~zlqyh rhjG~p_eg_ojrtjGqy{yqyhz|Melhzu`kbdrM_jG~plwjqsj qsebdl`kqsu{svaqsnwqyhz|k -~cqse]qse'jG~p_cbdegj]hprhkjGbgqswqsl{T`cbdr[rtTrtkbdl`kqsu.vaqsnwqyhp|trb'l,9lbgr }g~zlqyhrh }orhcp|kbdlwjGqsrhze,-~cqs}g~}orbgbd_feG`Trhpu jgr)lm u[qsv._ihpeGqsrhpl{ ~p_iqs|~kjtkhp}ojGqsrhQ4¡qsvmk{slwjGqsrhpe9zlMeg_ourhjG~kqse9lbg[r¢}g~zlqyh ~plM_-eG~pr-hjG~zlMj]l,}i{slMegertzr[}ojgl~z_fubdl{zlhzuxjg_ojGbdl~p_ou[bdl{kbd_o|qsrhze -qy{y{)~plw_9tbdrwo_dh¢bd_o|qsrhpel[qyhjgr/jG~z_lbd}ojGqs}3}iqybd}i{s_3jG~z_frbd_ov -~cqs}g~9egjglMjg_oe,jG~zlMj-jG~p_)hzrhctbdrMo_ihbd_o|qsrhzert]bdlhzukrwvjGqy{yqyhp|we)rt jG~p_))fjg_o})u[qslwv.rhzu9}frhkw_dbd|w_mjgrxla}iqybd}d{s_w-£_on[jo[-_eG~zrjG~plwj trbml eg_o}orhzu3}i{slwegemrt-jGqy{yqyhp|weo'jG~p_ar[}fjgl~p_oubdl{-lhzu3jg_ojGbdl~z_ou[bdl{ jGqy{yqyhp|we-qy{y{,~plM_9_o¤wpl{_ihkjGbdr`kMA~kqseaqse eGkbg`cbgqseGqyhp|T_o}olzeg_ jG~p_o¥}orbgbd_oeG`Trhzujgr1rbduk_ibd_oujGqy{yqyhp|wert3eg¤wplbd_lhpu)fjg_o} u[qslwv.rhzu¥bd_o|qsrhpeobd_feG`T_o}ojGqsM_i{sw9-~kqs}¦~§lbd_[hzr-hjgr~plM_ u[qy¨T_ibd_ihkjm_ihkjGbdr`k.qyh3jG-r.u[qsv._ihpeGqsrhpeo © ªo« XwY[¬'®,\[Xw¯¬ «)° ±a²k³´¶µ@²·d´¸´¶µ@¹kº1²[»¼d½¹c´²kµTº8´µ¿¾,À;ÁQÂwÃc½4ÄT¼i²[Ãz´¶Å@½ÅÆÂ[µ Â[³9Ç@ºd´µT¹ÄT¸ÂwÈz¹k¼i²kÇTµTÅÉ» ²k¼1Ê²c³9ËT´µQÂ[·i²k¼d´Â¸¶´ºi·dºMÌÊ²c³3ÄTÇT·i½¼ ºdÊ´¶½µp·i´ºd·dº9Â[µ@ÅÍÄTÁzÈzºd´Ê´ºi·dº.» ²c¼.³/Â[µzÈÈk½wÂ[¼dºwÎ9ÏmÁT½9ÄT¼i²kËT¸½³ ²[»)Ê²kÇTµz·i´¶µ@¹3·d´¸´µT¹kºm²»ºdÐzÇQÂ¼d½¼d½¹c´²kµTºaÑÒÂºmÓQ¼iºd·.ÄT¼d²cÄQ²cºd½Å ËzÈ3ÔT²[Ñm¸½¼xÂµTÅ/ÕÇTºdÁzËT¼i²z²kÖk½.´µÍ×wØkÙcÚ3ÛyÜwÝ´µ3·iÁT½ Ê²cµp·i½Þz·m²[» Â[µ]Â[¸Èzß´µT¹m·dÁT½m·iÁT½¼i³3²zÅTÈzµQÂ[³´ÊºQ²»àÂ.áwâgÅT´³3½µ@ºd´²kµQÂ¸[ÅT´³3½¼ ºdÈzºi·d½³¢ÎÏmÁT´º'Ê²cÇTµz·d´µT¹mÐzÇT½ºi·d´²kµÑÒÂº'¼d½ºd²k¸Ãc½Å ´µ.·dÁT½)½MÂ[¼i¸È ×MØcÜkã@ä º-ËzÈ å Â[ºi·d½¸½Èzµ'ÌzÔ´ºdÁT½¼mÂ[µ@ÅÏ-½³ÄQ½¼i¸½È3ÛyØTÌT×wÜwÝQÇ@ºd´µT¹ Â[µ9½¸¶½¹pÂ[µz·mÂ[¸¹k²c¼d´·dÁ@³ËQÂºd½Å²kµ3½ÃkÂ[¸ÇQÂ[·i´µT¹ æ»IÂwç/ÂµTºMÎ-Ô@²k¼ Â.ºiÇT¼dÃc½È9²[»'·iÁT½xÅT´³½¼,³3²zÅT½¸IÌºd½½Û ÚÝdÎ'ègµ9·iÁT½x½MÂ¼d¸È×MØkØcãTä º Âmµ@½ÑéQÇ@¼d¼dÈ²[»àÂÊ·d´Ãz´·gÈºi·fÂ¼d·d½ÅÑm´·dÁ9ÂmÄ]Â[Ä]½¼-²[»QÏmÁzÇT¼iºd·d²cµ

Û×MÚwÝdÌ[ÑmÁ@²ÅT½ ÓQµT½ÅÂ dÁT½´¹cÁp·» ÇTµ@Ê·d´²kµ ¼d½Ä@¼d½ºi½µz·fÂ[·i´²kµ» ²c¼ ·d´¸´µT¹kºwÌ'Â[µTÅÂ ÄQÂ[Ä]½¼²[» -¸Öp´½ºwÌ-å.ÇTÄQ½¼dË]½¼d¹]Ì 'Â¼dºi²kµÂ[µ@Å æ-¼d²cÄTÄ3Û wÝdÌÑmÁT²x´µz·d¼i²pÅ@ÇTÊ½Å ·iÁT½ xß·i½ÊÅ@´Â³3²cµTÅÂµTÅ.» ²cÇTµTÅ µT½Ñ³½·dÁT²zÅTº]»G²k¼'¹c½µT½¼oÂ[·i´¶µ@¹xÂ[µTÅ Ê²kÇTµz·d´µT¹m·i´¸¶´µT¹cº²[»T·dÁ@½ºd½ ¼d½¹c´²kµTºwÎ ÏmÁT½ xß·d½ÊCÅT´Â[³3²cµTÅ1´º/Å@½oÓQµT½ÅÂºÍÂC¼d½¹c´²kµ ´µ ¾ À Ñm´·iÁ á 4á 4á oá ÍºiÐzÇQÂ[¼i½º²kµ ºdÇTÊÊ½ºdºi´Ãk½¼i²[ÑmºMÌ-½MÂÊfÁCÊ½µz·d½¼d½Å4Â¼d²cÇTµTÅ·dÁ@½ 8ÂÞp´ºwÎ ¥èg· ÑÒÂºm¸Â[·d½¼m» ²cÇTµTÅ3·iÁQÂ[·a¼fÂµTÅT²k³·d´¸´¶µ@¹kºm²[» xß·i½ÊÅT´Â[³3²cµTÅTº ÁQÂwÃk½ g» ¼i²kß½µ¥¼d½¹k´²kµTº 1·dÁQÂ·/Â[¼i½ÍÄ@¼d½ÅT´Ê·oÂ[ËT¸È8·i´¸¶½Å'ÌxÂ[µ@Å ·dÁQÂ·Í·iÁT½Ç@µz» ¼d²cß½µ ÄQÂ[¼i·dº¢²[»3·dÁ@½·d´¸´µT¹kºÊ²kµzÃk½¼d¹k½C·d²Â Ê´¼dÊÇ@¸Â¼ºiÁQÂ[Ä]½kÌ·dÁ@½4ºi²[âgÊMÂ[¸¸½Å fÂ¼dÊ·i´¶Ê Ê´¼dÊ¸½¥·dÁT½²c¼d½³ Û wÝdÎègµ1Ê²cµz·d¼fÂºd·wÌ·iÁT½ºiÐpÇ]Â[¼d½¼d½¹c´¶²cµ´º9ÖzµT²[Ñmµ1·d²¢ËQ½²[» ³/ÂÞp´³ÇT³8½µz·i¼d²kÄzÈzÌ[ºd².µT².ºiÇTÊoÁ9ÄTÁT½µT²c³3½µ]ÂmÑ)²kÇT¸Å9Â[ÄTÄ]½MÂ[¼ ´µ´·dº¼oÂ[µTÅT²c³ ·d´¸´¶µ@¹kºMÎ ç3Ê´½µz·³3½·iÁT²zÅTº¢ÁQÂwÃk½Cºd´µTÊ½ ËQ½½µ9ÅT½Ãc½¸²kÄ]½Å9·d².ÄT¼i²pÅ@ÇTÊ½x¼oÂ[µTÅ@²k³·i´¸¶´µT¹cº'²» ÂµpÈ.ºi´¶³ÄT¸È Ê²kµ@µT½Ê·i½Å¼i½¹k´²cµ ´µ ¾ À ËQÂ[ºi½Å ²kµ Â¥ÁT½´¶¹cÁz·¢» ÇTµTÊ·i´²kµ ¼d½Ä@¼d½ºi½µz·fÂ[·i´²kµ²»A·iÁT½.ºd½·a²[»-·d´¸´¶µ@¹kº.Û¶×wÙTÌ]× Ý¦Î ´Ãk½µ.·iÁT´º'½ÞzÄT¸²kºi´²kµ ²»@ÂÊ·d´Ãz´·gÈpÌ´·'´º'ÐzÇT´·d½µQÂ[·iÇT¼fÂ¸k·d² Ê²kµ@ºd´ÅT½¼xÙâIÅT´³½µTºd´²cµQÂ[¸z·d´¸´µT¹kºwÎ'ÏmÁ@½ºi·d²c¼dÈ9ÁT½¼i½ ÁQÂºË]½½µ ¸½ºdºmºoÂ[·d´º¦» Èz´¶µ@¹QÎ-ÏmÁT½¼i½ ÁQÂºmËQ½½µÄT¼d²c¹k¼i½ºdºa´¶µ½µzÇT³3½¼fÂ[·i´Ãk½ Ê²k³9Ë@´¶µ]Â[·d²c¼d´Êº» ²c¼ËQ²cÇTµTÅT´µT¹ ·dÁT½1µzÇT³9Ë]½¼²[»3·d´¸´µT¹kº²[» ÊÇTËT´Ê¼i½¹k´²cµTº9Ñm´·dÁ á 8× 8× iËT¼d´ÊoÖzº ºi½½kÌm½cÎ ¹]ÎÌÛyáÝ Ì Â[µTÅ·dÁ@½¼d½m´ºEÂa³½·dÁT²zÅ.»G²k¼EÂ¸¹k²k¼i´·dÁT³´¶ÊwÂ[¸¸sÈxÂÄTÄT¼d²[Þz´³/Â·d½¸È Ê²kÇ@µp·i´µT¹ ÂµTÅºfÂ³3ÄT¸´µT¹.ºdÇTÊoÁ·d´¸´µT¹kº.Û×MãÝ¦Î xµz» ²c¼d·iÇTµQÂ[·i½¸ÈpÌ ÁT²[Ñ)½Ãk½¼wÌ-³/ÂµpÈ²»x·dÁT½ÇTµTÅT½¼i¸Èp´µT¹ÄT¼d²cÄQ½¼i·d´½º·dÁQÂ· ÁQÂwÃc½ Â[·i·d¼fÂÊ·d½Å/Ê²k³9ËT´µQÂ·d²k¼i´Â[¸´sºi·dº-ÁQÂwÃk½»IÂ[´¸½Å·d²¹k½µ@½¼fÂ¸¶´ß½cÎ-ègµ ÄQÂ[¼i·d´ÊÇT¸Â¼MÌ[·iÁT½¼d½mµ@²¸²cµT¹k½¼-ºi½½³3º-·i²Ë]½mÂxÁ@½´¹kÁz·» ÇTµTÊ·i´²kµ ¼d½Ä@¼d½ºi½µz·fÂ[·i´²kµ²[»9·dÁ@½ºd½·i´¶¸´µT¹cºMÌxÂµTÅ4Ä@¼d²kÄ]²kºi½Å Â¼dÖk²[Ã ÊoÁQÂ[´µTº,Ë]Â[ºd½Å3²kµ9¸²zÊMÂ¸Q³²[Ãk½º-µT² ¸²cµT¹k½¼Ê²kµTµ@½Ê·m·dÁ@½mºd·fÂ·d½ ºdÄQÂÊ½kÎ9æ-¼i²kÄ]½¼d·i´¶½º Â¸¶ºi²9»IÂ´¸E·i²3¹c½µT½¼oÂ[¸´ß½9·d²·d´¸´µT¹kºaÑm´·dÁ á /á × dºd¸ÂËTºMÌ ÑmÁT´ÊfÁÁQÂ[ºxÂ¸ºd²9Ë]½½µÄT¼i²kÄ]²kºi½Å'Î ègµ·iÁT´ºÍÄQÂÄQ½¼MÌ9Ñ)½8Â[ËQÂµTÅT²kµ·iÁT½1²k¼i´¶¹c´µQÂ[¸ÄTÁzÈzºd´ÊMÂ[¸ ³3²c·d´ÃkÂ[·i´¶²cµ²[»x³²zÅT½¸´µT¹ÅT´³3½¼ ºiÈzºd·d½³3º9Â[µTÅCºdÇTÊÊ½½Å8´µ ÅT½oÓQµ@´¶µ@¹ÂµQÂ·dÇT¼oÂ[¸.ÙwâgÅT´³3½µTºi´²kµQÂ¸,¹k½µ@½¼fÂ¸¶´ßMÂ·d´²kµC²[» ·dÁ@½ ÅT²k³´µT²·d´¸´µT¹ÄT¼i²kËT¸½³ ·dÁ]Â[· ´µTÁT½¼i´·9·dÁT½ÍÂ¸¹k½ËT¼oÂ[´Ê Â[µTÅ Ê²c³9ËT´µQÂ[·i²k¼i´Â¸.ÄT¼d²cÄQ½¼i·d´½º1·dÁ]Â[·ÁQÂwÃc½Â[·i·d¼oÂ[Ê·i½Å ºd² ³9ÇTÊoÁ Â·d·i½µz·d´²kµ'Î-ÏmÁ@½x·d´¸´µT¹kº-ÁQÂwÃc½xÂ Á@½´¹kÁz·-» ÇTµ@Ê·d´²kµ9·iÁQÂ[· ³/ÂÄTº'½MÂÊoÁ3·d´¸´µT¹x·i²ÂaºdÇT¼¦»IÂ[Ê½x´µ¾ Î-ÏmÁT½¼i½x´º,Â.ËT´ o½Ê·i´²kµ ËQ½·gÑ½½µ·dÁ@½9ºd½·²[»xÙwâgÅT´³3½µ@ºd´²kµQÂ¸'·i´¶¸´µT¹cºxÑm´·dÁ iÅT²k³´¶µ@² ÊoÁQÂ[´µTº ÑmÁT½¼i½ ¿¼d½o» ½¼dº·i²·dÁ@½ ÄQÂ[¼i·d´Â[¸-²c¼dÅT½¼²kµ¢À ÅT²k³´¶µ@²9·d´¸´¶µ@¹kº.ÅT½oÓQµ@½ÅËzÈ·dÁT½9²c¼d´¹k´µQÂ¸ ÁT½´¹kÁz·a» ÇTµ@Ê·d´²kµÎ.ègµ ÂÅTÅT´·d´²kµÌT·dÁ@½¼d½´¶º.Âºd´³3ÄT¸½ Â¼dÖk²[Ã ÊoÁQÂ[´µ9ËQÂºd½Å²kµ9¸²zÊMÂ[¸T³²[Ãk½º-·iÁQÂ[·,´º,½¼d¹k²zÅT´Ê.Â[µTÅ9Ê²cµTµT½Ê·dº 0/

.&

:9

2@#A%@BCB8DFE

O/

G@+D@+D@HDIE

G@BJBCBC@ K ML 9

N

1

P/

F1

8Q

R3

A

S

0T

FT

U/

#1V;

N

'W

UX

YT

YT

Z/

1

[\]^

`_

! "

% & %')(*+ +,&

65

87

ïø[õy÷÷ íyêoí ë]ñmö[ìýGíy÷íyôGîdôGõyïô û ó[îïôGîìo÷ð ôîiìoúgë]ð û ìîiñmzø[îdò[ó úgó[û[ô ö['õyö[ìîiíyïìý îiï ÷÷ ö[Gúþ gøûùwýGôGúgó[íyû[÷ò[öMìMòkôGìì ÷í ôGìoîdÿ ðøaü.õyö÷ôGò[û[÷ îdGôñm÷ôGõyúd-ùýiwþ,þ ÿ-G÷îdë]ì ö÷ Gîdî 'ÿ ÷öwô 'ì Qëë þ ï÷ ë]'ìúiíyú íyîdïï÷î ô îiúgû ì ð îiøMó ë]ìñmò[ó[ôGõyö[ï[þ ôGíy÷öwô ÷ ÿ # $

21

43

a

/

1bcedfb

d BCBCBgdhbji@

d

!X

+

k

·dÁ@½ºi·fÂ·d½.ºdÄQÂÊ½kÎÏmÁT´ºÁQÂºÒÂ¸¸¶²[Ñ)½Å9ÇTºm·i²½ÞÂ³3´µT½m·gÈzÄT´ÊMÂ¸ ·d´¸´µT¹kºwÌkÂ[µ@Å9Ñ½mÁQÂwÃc½)» ²kÇ@µTÅ9ºdÇT¼iÄT¼d´ºi´¶µ@¹ oÂ[¼dÊ·d´ÊoâgÊ´¼dÊ¸½oâg¸´¶Öc½ ÄTÁT½µT²k³½µQÂÅT½³3²cµTºd·i¼fÂ·d´µT¹» ¼d²cß½µ¼d½¹c´²kµTºwÎ ÏmÁT½´µTµT²[ÃkÂ[·i´²kµÊ²k³½ºa» ¼d²c³%·d´¸´µT¹3¼i½¹k´²kµ@ºÑm´·iÁÍ·i¼d´ â Â[µ@¹kÇT¸Â[¼9Ä@¼d´ºd³ºMÌm½MÂÊoÁ4ÁQÂwÃz´µT¹·gÑ)²§Ùcã fÙcã w×Mákã 1·d¼d´Âµzâ ¹k¸½ºxÂµTÅÍÂºiÐpÇ]Â[¼d½!»IÂ[Ê½.Ê²cµTµT½Ê·d´µT¹3·iÁT½ ¸²kµ@¹9½ÅT¹k½ºx²[»,·iÁT½ ·d¼i´Â[µT¹ç¶½ºMÎÏmÁT½·i´¶¸½ÑÒÂºÅT½¼d´Ãk½ÅC» ¼i²k³+Â ½Ãz´·d²[ÃËT¸²zÊoÖÌ ÑmÁT´ÊoÁ4Ê²kµTºi´¶ºi·dº²»·gÑ)²²»·dÁ@½ºd½ÄT¼i´ºd³3º¹ç¶Ç@½Å8·d²c¹k½·iÁT½¼ Â[¸²cµT¹·iÁT½´¼ºdÐzÇQÂ[¼i½»gÂ[Ê½º Â[¸·iÁT²kÇT¹cÁ8ºdÄ]½Ê´ » Èz´µT¹C·dÁT½Âµzâ ¹k¸½ºÂ[ºÑ½ÅT²CÁT½¼d½¢ÑmÂ[º9µT²c·3´³3Ä]²k¼i·fÂ[µz· 3Û×k× ÝdÎ ½Ãp´·i²[Ã ËT¸²zÊoÖpºÁQÂwÃk½Ë]½½µÂÇTºi½o» ÇT¸.·i²p²çm» ²c¼9ÅT½³²kµTºi·d¼fÂ·d´µT¹·iÁT½ ÁT½´¹cÁp·» ÇTµTÊ·d´²kµ¼i½ÄT¼i½ºd½µz·oÂ[·d´²cµ²[»ÒáâIÅT´³½µTºd´²cµQÂ[¸·i´¶¸´µT¹cºMÎ ½)ÅT½oÓQµT½» ²kÇ@¼E´µz·d½¼d½ºi·d´µT¹.»IÂ³3´¸´½º²[»¼d½¹c´²kµTº,·i².ËQ½m·i´¶¸½ÅÌ ÂµT Å Ì[ÑmÁT½¼i½m¼d½¹c´¶²cµTº ÂµTÅ Â¼d½)²pÊ·fÂwâ ÁT½Å@¼fÂ[¸@´¶µºdÁQÂÄQ½xÂµTÅÂ[¼i½Å@½oÓQµT½Å»G¼d²k³·iÁT½)ÁT½´¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´²kµ ²[»)·dÁT½3áâIÅT´³½µTºd´²cµQÂ[¸ºiÐpÇ]Â[¼d½9¼i½¹k´²cµ²[»m²k¼iÅT½¼ aÌ'ÂµT Å Â[µ@Å Â¼d½9·d½·d¼fÂÁT½ÅT¼oÂ[¸m´µ¢ºdÁQÂÄQ½3ÂµTÅ Â¼d½9ÅT½¼d´Ãk½Å¢»G¼d²k³ ·dÁ@½!áâIÅ@´¶³½µTºi´¶²cµQÂ[¸ xß·d½Ê Å@´Â³3²cµTÅ9²[»-²k¼dÅ@½¼ ká-Î ÏmÁT½ÓQ¼iºd·¼d½ºiÇT¸·3´º9·dÁ]Â[·9·dÁ@½µQÂ[·iÇT¼fÂ¸ Â¼dÖc²[ÃÊoÁQÂ[´µ ²kµ¥·dÁ@½Íºi·fÂ[·i½ºdÄQÂÊ½²[»9·d´¸´µT¹kº9´º¼fÂÄT´ÅT¸È1³3´Þz´¶µ@¹QÎ ÏmÁT½ ÄT¼i²p²»¼d½¸¶´½º.²cµÄQÂ[·iÁÊ²cÇTÄT¸´µT¹/ÂµTÅÍÂ[µ´¶µz·i½¼d³½ÅT´Â[·i½ºi·d½Ä ÑmÁT½¼i½ËzÈ9Ñ½)Ó]¼dºd·)Â[µQÂ¸¶Èzß½xÂ Â¼dÖc²[Ã ÊoÁQÂ[´µ9½µTÁ]Â[µTÊ½Å3Ñm´·dÁ d·i²[Ñ½¼'³3²[Ãc½ºMÎ ÏmÁT´º´¶º·dÁT½AÓQ¼dºi·EÄ@¼d²z²[»T²[»T¼oÂ[ÄT´Å ³´¶Þz´µT¹-»G²k¼ Âa³3²zÅT½¸c¼d½Ä@¼d½ºi½µz·d½ÅËzÈÂ [âgÅT´³3½µ@ºd´²kµQÂ¸[ÁT½´¹kÁz·» ÇTµ@Ê·d´²kµÎ

´³9ÇT¸Â[·i´µT¹·iÁT´º Â¼dÖc²[Ã4ÊoÁQÂ´¶µÁ]Â[ºÂ[¸¸²[Ñ½ÅÇ@º·d² ³/ÂÖk½mºi½Ãk½¼oÂ[¸Ê²kµ ½Ê·dÇ@¼d½º.Â[Ë]²kÇT·m½³½¼d¹c´µT¹ ¼d½¹k´²kµTº)ÑmÁT´ÊoÁ Â[¼i½Â[µ]Â[¸²k¹c²kÇTº·i²m·dÁT½máwâgÅT´³3½µ@ºd´²kµQÂ¸Â¼dÊ·i´Ê,Ê´¼dÊ¸½,·iÁT½²c¼d½³¢Î ½mË]½¸´¶½Ãk½x·iÁQÂ[·)¼d½¹k´²kµTº ÂµTÅ ¢ÁQÂwÃk½)»G¼d²kß½µ3¼i½¹k´²kµ@º Ñm´·dÁÄT¼i½ÅT´Ê·fÂËT¸½.·d´¸´¶µ@¹kº)ÑmÁT½µ #´¶ºm¸Â¼d¹k½cÎ ÏmÁT½aºd½Ê²cµTÅ¼i½ºdÇT¸·m´ÅT½µz·i´sÓ]½ºÒÂºdÇ@¼dÄT¼i´¶ºi´µT¹9Ê²kµ@µT½Ê·i´¶²cµ Ë]½·gÑ½½µÍ·iÁT½ xß·i½ÊÅ@´Â³3²cµTÅ3Â[µTÅ·dÁT½ ºiÐzÇQÂ[¼i½¼i½¹k´²kµ¢Â[µTÅ Â[¸¸²[ÑmºxÇ@º·i²ÄT¼d²[Ãc½·iÁQÂ[·.·dÁ@½9½µz·d¼d²cÄzÈ²[»·i´¸¶´µT¹cºx²» 8´º '·d²·iÁT½3½µp·i¼d²cÄpÈ²»Ò·i´¸¶´µT¹cº.²[» Î ÏmÁT½3½µz·i¼d²kÄzÈ´º ÅT½oÓ]µT½Å3Â[ºa¸´¶³Ç²k¹ ,²ç zÌ[ÑmÁ@½¼d½ ´ºAÂÒ»IÂ[³´¸¶È ²[»m¼d½¹k´²kµTºÂ[µTÅ ´º·iÁT½3µzÇT³9Ë]½¼.²[»m·d´¸´µT¹kºwÎ ègµ·gÑ)² ÅT´³3½µTºd´²kµ@ºMÌw·d´¸´µT¹kº²[»Q·iÁT½ºiÐzÇQÂ[¼i½xÂ[µTÅ·dÁT½ xß·d½ÊaÅT´Â[³3²cµTÅ Â[¼i½mÖzµT²[Ñmµ·i² ÁQÂwÃc½ÅT´ ½¼d½µp·)½µz·d¼i²kÄzÈzÎ'ÏmÁT½mÄ@¼d²z²[»¼d½¸´½º)²kµ ÂÊÇT·i½9Ê²k³9ËT´µQÂ·d²c¼d´Â[¸´ÅT½µz·i´¶·gÈ·iÁQÂ[·.ÅT½Ê²k³3Ä]²kºi½º.ºdÐzÇQÂ¼d½º Â[µ@Å xß·i½Ê¥ÅT´Â[³3²cµTÅTº¢´µp·i²½ÞTÂ[Ê·1ÄQÂÊoÖp´µT¹cº²» ºi³/Â¸¶¸½¼ ºdÐzÇQÂ¼d½º.Â[µTÅÅT´Â³3²kµ@ÅTºMÎ ÏmÁT½1ÄQÂÄQ½¼´º¢²k¼i¹pÂ[µ@´¶ß½Å Â[º» ²k¸¸²[ÑmºM Î ½1ÄT¼d²[Ãz´ÅT½ Â Ãk½¼iÈ ËT¼i´¶½ » ´µz·d¼i²pÅ@ÇTÊ·d´²cµ ´µp·i²·iÁT½·dÁT½²k¼dÈ²[»ÁT½´¹kÁz· » ÇTµ@Ê·d´²kµ@º9´¶µCºd½Ê·d´²kµ4á@Î1ègµ1ºd½Ê·i´²kµ8Ù¢Ñ½´µz·d¼i²pÅ@ÇTÊ½·iÁT½ µT½Ñ ·d´¸´µT¹kºa³3²zÅT½¸gÎaègµÍºi½Ê·d´²cµ Ñ)½¼i½Ãz´¶½Ñ·dÁ@½ ÂµQÂ[¸Èzºd´º ²[»Â Â[¼iÖk²[Ã¢ÊfÁ]Â[´µ¢» ²k¼ºfÂ[³ÄT¸´µT¹3ÅT²c³3´µT²·d´¸´¶µ@¹kºMÎÏmÁ@½µ Ñ)½Å@½oÓQµT½4Â Â[¼dÖc²[ÃÊoÁQÂ[´µ ²kµ ·dÁT½8ºi·fÂ·d½8ºiÄQÂ[Ê½ ²[» Ùâ ÅT´³3½µTºd´²kµ]Â[¸]ÄT¼d´ºd³%·i´¸¶´µT¹cºxÂ[µTÅºiÁT²[Ñ·dÁQÂ·x·iÁT´ºx´ºm¼fÂÄT´ÅT¸È ³3´Þz´µT¹QÎÔ'´µQÂ¸¸¶ÈzÌ´µºd½Ê·d´²kµ Ñ)½9ºd·iÇTÅTÈC¼fÂ[µ@ÅT²k³ ·d´¸´¶µ@¹kº ²[»·iÁT½ºd½¼i½¹k´²cµTºMÎ ègµÄQÂ[¼i·d´ÊÇT¸Â[¼wÌ3Ñ)½¥ ÄT¼d²[Ãc½8·dÁQÂ··iÁT½ ²zÊ·fÂÁT½ÅT¼oÂ[¸ÂµTÅ8·i½·d¼oÂ[ÁT½Å@¼fÂ[¸ÄpÈz¼oÂ[³3´ÅTº Â[µT! Å : ÁQÂwÃk½ ·dÁ@½ºoÂ[³3½½µz·d¼d²cÄzÈpÎègµ9Â[Å@ÅT´·d´²kµ'ÌÑ½)ºdÁ@²[Ñºd´³9ÇT¸Â[·i´¶²cµTº]·dÁQÂ· ºdÇ@¹k¹k½ºd·x·iÁT½¼i½Ñm´¸¸Ë]½x»G¼d²kß½µ¼d½¹c´¶²cµTºm·dÁ]Â[·m½³½¼d¹c½Â[¸³²kºd· ºdÇ@¼d½¸È3´µºd²c³3½a¼fÂ[µ@ÅT²k³ ·i´¸¶´µT¹cºMÎ /

1

@

&@

e5

Z;

+N

i @

i @

i

i

5

i

i

i

D

i

%9

D

X

X

/

1

á

¬ $¯ « ¬Xw¯ &G¯ (« ' WaZ « * )(+z¯ ' )-X ,d® « \XM¯G¬ « W ° " # % %ÅT²k³´µT²·d´¸´µT¹´º3Â¢Ê²[Ãc½¼d´µT¹¢²[»Â ÓQµT´·d½kÌ)ºi´¶³ÄT¸ÈÍÊ²kµzâ µT½Ê·i½Å¥¼d½¹c´¶²cµ1²[»·iÁT½/.mÂ¼d·d½ºd´Â[µ1¸Â[·i·d´Ê½Ñm´·dÁCÇTµT³Â[¼dÖc½Å ÅT²k³´µT²z½ºMÌ¢ÑmÁT½¼i½ ½MÂ[ÊoÁ ÅT²k³´µT² Ê²[Ãk½¼iº·gÑ²%Â[Å Â[Ê½µp· ºdÐzÇQÂ¼d½º²[»·dÁT½¢¼d½¹c´²kµ'Î ±a²k³3´µT²·d´¸´¶µ@¹kº3¼i½ÄT¼i½ºd½µz·Ê²kµzâ ÓQ¹kÇ@¼fÂ[·i´²kµTºm²»EÅT´³3½¼ºiÈpºi·d½³ºm²kµ·dÁT´ºm¸Â[·i·d´Ê½kÎ ÏmÁT½3·i´¸¶´µT¹cº.²[»Â[µzÈ¢¼d½¹c´²kµÊwÂ[µË]½3¼i½ÄT¼i½ºd½µz·i½Å8ËzÈÂ ÁT½´¹kÁz·» ÇTµ@Ê·d´²kµÎÏmÁ@½ÁT½´¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´²kµÂ[¼i´¶ºi½º» ¼i²k³ Â[µ ÇTµTÅT½¼d¸Èz´¶µ@¹·i´¶¸´µT¹.¹k¼i²kÇTÄÂ[µTÅÊMÂ[µË]½xºiÇT³3³Â[¼d´ß½Å9ÇTºd´µT¹9Â ¼dÇT¸½,Ë]Â[ºd½Å²cµ ·dÁT½)ËT´ÄQÂ¼d·d´·i´¶²cµ.ÇTµTÅT½¼i¸Èp´µT¹a·dÁT½ÅTÇQÂ[¸z¸Â[·i·d´Ê½kÌ ´gÎ ½cÎ¶Ì·dÁT½CËT¸Â[ÊoÖÂ[µ@ÅÑmÁT´·d½ºiÐzÇQÂ[¼i½º²[»·dÁT½CÊfÁ@½ºdºiËQ²zÂ[¼dÅÎ Ï-²8ÅT½oÓQµ@½8·dÁT½CÁT½´¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´²k1 µ 032 Âºdºi²pÊ´Â·d½Å Ñm´·dÁ Â ·d´¸´µT¹ /Ìzºi·fÂ[¼i·mÑm´·dÁ3ºi²k³½xÄ]²k´µz5· 4²cµ3·iÁT½.ËQ²cÇTµTÅQÂ¼dÈ3Â[µ@Å ºd½6· 02 4 87 ã-Î 9x²[Ñ ÌmÑmÂ[¸Öz´µT¹Â[¸²kµT¹½ÅT¹k½ºË]²kÇTµ@ÅT´µT¹ ·dÁT½·i´¶¸½ºwÌ)´s»x·iÁT½ºiÐpÇ]Â[¼d½·i²·dÁT½¸½o» ·²[» Â[µ1½ÅT¹c½/´º9ËT¸ÂÊfÖ ¼i½ºdÄ]½Ê·i´¶Ãc½¸ÈpÌÑmÁT´·d½ Ì.´µTÊ¼d½wÂ[ºd½ ¼d½ºiÄQ½Ê·d´Ãk½¸¶ÈzÌ Å@½Ê¼d½wÂ[ºd½ ·dÁT½aÁT½´¹kÁz·,ËzÈ²kµT½cÎ xµ3½ÞÂ³3ÄT¸½)´º,´¸¶¸ÇTºi·d¼oÂ[·d½Å9´¶µÓ]¹kÇT¼i½×kÎ èg·m´º½MÂºdÈ·d²9ºd½½·iÁQÂ[·m·iÁT½.ÁT½´¹kÁz·m²»AÂÄQ²c´¶µz·)²kµÂ[µzÈ9·i´¶¸´µT¹ ²[»Â¼i½¹k´²cµ8´º/Â[¸ÑmÂwÈzºÓQÞz½Å ³3²zÅ ,Î a¸¶·i½¼d´µT¹1Â·i´¶¸´µT¹ ËzÈ d¼d²c·fÂ·d´µT¹ ·gÑ²9Â[Å Â[Ê½µz·)ÁT²k¼i´ß²kµz·fÂ¸Q·i´¸¶½ººi²9·dÁQÂ··iÁT½È Â[¼i½xÃk½¼d·d´ÊMÂ¸ ²c¼Ãz´Ê½oâgÃk½¼iºfÂ mÂ[¸·d½¼iº·iÁT½.ÁT½´¹kÁz·» ÇTµTÊ·d´²kµËpÈ ÊoÁQÂ[µT¹c´µT¹·iÁT½ ÁT½´¶¹cÁz·²»E·dÁ@½ Ê½µz·d½¼xÄ]²k´µz·mËp;È : ,Î 9

a

b g; N

;

N 9

0 -1

a

i

]

Gi =;

i N

j;

i N

;

i

i

8N

:9

?9

a

N

1

-1

0

1

0

1

0

-2 -1 -2 -1

0 -3 -4 -3 -1

0

-2 -1 -2 -1

0 -3

Gi

Y9

1 `;

A

A

MD

N

ZA U9

=/

X

i

V;

0

0

0

2 -1

-1

0

-1

2 -1

-1

0

-1

1 1 1

-1

-2 -1 -2 -1 -2 -1

0

0

0

0

-2 -1 -1 -1 -2 0 0 0 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 0 -1 -1 -1 -1

1

0

1

0

1

0

1 1

0 0

-1 -1

Ô ´¹kÇT¼i½ ×=½ºoÂwÈ4·iÁQÂ[· ´s»oÌ.» ²c¼½MÂ[ÊoÁ Ä]²k´µz·@? ´µ·iÁT½¼i½¹k´²kµAÌ 0 2CB D? FEG0 2IH D? zÀ Î -Ãk½¼iÈCÓQµT´·d½kÌ)ºi´¶³ÄT¸È Ê²kµ@µT½Ê·i½Å¼d½¹c´¶²cµÁ]Â[ºÂ.Ç@µT´ÐpÇ@½mÁT´¹kÁT½ºi·Â[µ@Å9¸¶²[Ñ)½ºi·E·i´¸¶´µT¹]Î ÏmÁT½ ÁT´¹cÁT½ºd·.Â[µTÅ¸¶²[Ñ)½ºi·x·d´¸´µT¹kºm²»,·dÁT½ ºiÐzÇQÂ[¼i½ ÂµTÅ xß·d½Ê ÅT´Â[³²kµTÅÂ¼d½ºiÁT²[Ñmµ1´¶µCÓQ¹cÇT¼d½¢Cá Jm·i²ºd½½¢·dÁT½¢Â[ºdºi²zÊ´Â[·d½Å ÁT½´¹kÁz·)» Ç@µTÊ·d´²cµTºMÌzºi½½.ÓQ¹cÇT¼d½ @Î 0

1

0

1

0

1

0

0

Obc

dPb ; jN

; %N

0

0

0

0

0

0

3

9

7

A

0X

X

7

lowest tiling of the square

highest tiling of the square

lowest tiling of the Aztec diamond

highest tiling of the Aztec diamond

Ô´¶¹cÇT¼d½9áC8Ì@ÁT½µTÊ½ d " d 9) E × ÏmÁT½¼i½o» ²k¼i½kÌ 9\Û [ED^] À !j1Ý 7 d " d " d 9) E ã x¸¸²k·iÁT½¼mÊoÁT²c´¶Ê½ºx²» K Â[¼d½Â[µQÂ¸¶²c¹k²cÇTºMÌcºd² eF d F c 5 m\Û [ED^] À Ý 7 e F c 5 d F c 5 E ã ÑmÁT½¼i½ 49ÂµTÅ ¼i½Ãk½¼iºd½m·iÁT½mºd´¹kµÂ[µTÅÅT´¼d½Ê·d´²kµ'Î ½·EÇ@º xÄTÄ]½MÂ¸¶´µT¹Â¹pÂ[´µ¢·d²¸½³3³Â QÎyá ·iÁT½²k¼i½³ ²[» Û×MÙÝ ÌÑ)½ Â[ºiºdÇT³½kÌ[Ñm´·dÁ@²kÇT·-¸²kºiº,²[»¹k½µ@½¼fÂ¸¶´·gÈzÌw·dÁQÂ· 7 ÂµTÅ 7 Ê²kµ@Ê¸ÇTÅT½ ·iÁQÂ[· 3 5 7A@CB F ´ºm¼oÂ[ÄT´ÅT¸È9³3´Þz´µT¹QÎ j%Î ½·/k ËQ½a·dÁT½aÇTµT´ÐzÇT½mµT½´¹kÁzË]²k¼,²»(?·i²·iÁT½ ½ºd·,²c¼ 9x²c¼d·iÁ3²kµ9¸½Ãc½¸ )ºiÇTÊoÁ3·dÁ]Â[·50 2 Kk 7 0 2 D? × -/.+M1032+MONiRS S V $ W - + X 1 + W . x¹zÂ[´µ'Ì·dÁT½²kµT¸È·i²[Ñ½¼dº´¶µ·iÁT½ o·iÁ¸½Ãk½¸ÑmÁT´ÊoÁÊMÂÇTºd½Â X < ; ;/ Y Z / 4% + - / 1` ÊoÁQÂ[µ@¹k½,·i²x·dÁ@½ÅT´ºi·fÂ[µ@Ê½Ë]½·gÑ)½½µ·d´¸´µT¹kº³9ÇTºi·ºd·oÂ[¼d·,Â· ?mÌ k 5 7 + 3 $ ;5EK7+@CB F + + - a` ²k¼-Â)ÄQ²c´µp·4J!·d²x·iÁT½ ²[» ?mÎ xµzÈ.·d²[Ñ)½¼ºd·fÂ¼d·i´¶µ@¹Â[4· J!·dÁQÂ· b 8 E 9 á-½ ¸¶µ 8 ! X E */ a` Y ´ºEÂ¸¶¸²[ÑmÂ[ËT¸½³9ÇTºd·ÁQÂwÃc½,ÁT½´¹cÁp· 0 ´¶µ²kµT½,Ê²kµzÓQ¹cÇT¼fÂ·d´²kµÂ[µTÅ ÁT½´¹cÁp· 0 ¥×´µ·iÁT½x²c·dÁT½¼MÌzÂ[µTÅ9·iÁT½xµT½·½ ½Ê·)²[»'ÊoÁT²z²cºd´µT¹ ½-Ê²kµTÊ¸¶Ç@ÅT½,·dÁ@´¶ººd½Ê·d´²kµ ËzÈa¼d½·iÇT¼dµT´µT¹.·i²m·dÁT½,²c¼d´¹k´µQÂ¸ JÑm´¸¸QË]½ã@Î-ÏmÁT´º¹c´¶Ãc½ºmÇTºm·iÁQÂ[· ÅT½ºiÊ¼d´ÄT·i´¶²cµ²»x·dÁT½ Â¼dÖk²[Ã¢ÊoÁQÂ[´µÑmÁT½¼d½·d¼oÂ[µTºi´¶·i´²kµTº9Â[¼i½ ¼d½ºi·d¼i´¶Ê·d½ÅC·d²ËQ½9½¸¶½³3½µz·fÂ¼dÈÅT²c³3´µT²9¼d²c·fÂ·d´²kµTº GÂ[µTÅ¢µT²k· e F d F " e F d F 9) e F d F 9) ·d²[Ñ)½¼¢ ³3²[Ãk½º Î ÏmÁT½1Ê²c³3ÄQÂ¼d´ºd²cµ4³½·dÁ@²pÅ ²[»/±a´Â[Ê²cµT´º Â[µTÅ Â[¸² ]â .)²kºd·i½Û [ÝÊMÂµ ËQ½¥F ÇTºi½Å%·d² ºdÁT²[Ñ¿·iÁQÂ[·1·dÁ@½ F f ¼ 7 d 9) ]Î× ²[Â»3ÄT·i´Å ÁT´Êº²kµzºd´Ãc³3½¼dÄ@¹ç¶½½µT¼ Ê½m²Â[» ¼dÖc3 ²[Ã4$ 5Êo ÁQ7A@CÂB´µ'Î ´³3ÏmÄ@¸¶ÁT´½´ºÍº·iÂ[ÁTµ]½)Â[¼f¸Â[ÈzÄ@ºd´´¶ºÅ» ³3²ç¶´¸Þz²[´¶Ñmµ@¹ º " d " eF d ·dÁT½Â¼d¹cÇT³3½µz·¹k´Ãk½µ¥ËzÈ4ÕxÂµTÅQÂ¸¶¸ ÂµTÅ4Ï-½·oÂ[¸´ ´µ¥·dÁT½áâ e F d F 9) ÅT´³3½µ@ºd´²kµQÂ¸TÊMÂºd½3Û× ÝdÎ Yb c d BJBCB ? d b d BJBCB d j b i !b c d BCJB B dUb d BCCB B d bji 5 < <
i

GiB

i

Ô ´Þ ÂµTÅ ?mÌÂµTÅ¸½· D67 ÂµTÅ J 7 × ËQ½C·dÁT½¼oÂ[·d´²1²[»·dÁT½CÃk²k¸ÇT³½º3²»·gÑ)²Ê¸¶²cºd½¸È ¼d½¸ Â·d½Å¼i½¹k´²kµ@ºMÎ,ÏmÁ@½µ _ \\1` Y

D

ic

c

@7 > # J > / - - > ! 0! # J > J - /- > ( ! 0- > ( ! 7 > / ( (

ÑmÁT½¼i½ - 7 á)D D cÙÂ[µTÅ.- > 7 á)D 4áD kÙÂ[¼i½ » ¼i²k³ ·iÁT½ ºd·oÂ[·i½³3½$ µz·)²[», Ê²c¼d²k¸¸Â[¼iÈ T ÎyáTÎ $ 9x²[Ñ Ìw¸½·i·d´µT¹ 5 + 7³3´µ " " @Ì[Â[µTÅ Ç@ºd´µT¹ ·dÁ@½mÃk²k¸ÇT³½-¼d½¸Â[·i´²kµTºiÁT´ÄTº» ¼d²c³¸½³3³Â @ÎyáTÌw´·'»G²k¸¸²[Ñmº·dÁQÂ· # J 5 + - - > ( > - > ( i

i

i

c

;

_

c

c

_

;

_

c N

c

GN

c

;

c

E

GN

7

4;

@

c N

@

67

i

Jc

+

5

c

D

i

&c

B

i

B

; 7 N

GiB!5

i

B

Gi

i c

7

B i c

; 7 N

B

; 7 N

7

7

2i

B

i

i @

i

i

i

Gi

5

;

;

c

_

ic N

c

i

@

i

+Gi

5

-

i ; 5

@

4i

% E

5

c

_ gi

i

c B

i

@

+ N

cN

c@

i

i

c

@

@ 2iBG9 7

c

4i

i

4i

#

@

7

4i

i @

; 7 AN

2i

i c

i

i B

5

c

@

+

i

B

èG»8? 4 ,Ìa·dÁT½µÂCºi´¶³ÄT¸½ÊMÂ¸¶ÊÇT¸Â[·d´²cµ8ÅT½ ·i½¼d³´¶µ@´¶µ@¹·dÁ@½ ¼fÂ·d´²²[»mÃk²k¸ÇT³½ºx¼i½Ãk½wÂ[¸º ·dÁ]Â[·- # × kÜ ´µTÊ½¸¶´³ - ´¶º ËQ²cÇTµTÅT½ÅÂwÑmÂwÈ» ¼d²c³ ß½¼d²]Ì,·iÁT½3½ÐzÇQÂ¸´¶·gÈ´¶µ½ÐpÇ]Â[·d´²cµ TÎ ´³3ÄT¸´½º,·iÁQÂ[·¸´¶³ 5 % 7 ¸´³ 5 + .)²kµTºi½ÐzÇT½µz·d¸ÈzÌ ¸´¶/³ 7 ¸´/³ " ° " Y[¬ =+ « Y + ' ¯ ¬ « W.¯ « +& ¬ « ' Z@X +T ]%¬ & ® $+TWkÎ aÇT¼ºd´³9ÇT¸Â·d´²kµTºÅT½³²kµTºi·d¼oÂ[·d½¢·dÁ]Â[··iÁT½Í½¸¶²cµT¹pÂ·d½Å¥Ãk²ç â ÇT³3½ºËQ½Á]ÂwÃk½,ÐzÇT´·d½-ÅT´ ½¼d½µp·i¸È·iÁQÂ[µ.·iÁT½,ºd½¼d¼fÂ·d½ÅÃk²çÇT³3½ºwÎ èg·ÒÂÄTÄ]½MÂ[¼iºm·dÁQÂ· ÂµTÅ ÁQÂwÃc½xË]²kÇTµ@ÅT½Å¼d½¹c´²kµTºwÌz²kÇT·¦â ºd´ÅT½ ²»,ÑmÁT´ÊfÁ·iÁT½·i´¸¶´µT¹cºÒÂÄTÄ]½MÂ[¼» ¼d²cß½µ'ÎxÔ´¹kÇ@¼d½º×k× Â[µ@Å ×MáCÅT½³²kµTºi·d¼oÂ[·d½·iÁT´ºÄTÁT½µT²k³½µT²kµ »G¼d²kß½µ¼i½¹k´²kµ@ºÍÂ[¼i½ ²k³´¶·i·d½Å 6Î ½ÊMÂ[¸¸a·dÁT½Ë]²kÇ@µTÅQÂ[¼iÈ²»!·iÁT½» ¼i²kß½µ8¼d½¹c´²kµ ²[» ·iÁT½ oÂ[¼iÊ·d´Ê.ºdÄTÁ@½¼d½ ÂµTÅÊ²cµ o½Ê·iÇT¼d½·dÁ]Â[·x·iÁT½Â¼dÊoâ ·d´ÊmºdÄ@ÁT½¼d½.Ê²cµzÃk½¼i¹k½º)·d²Â!·d¼dÇ@½mºdÄTÁT½¼d½ ºi¸¶´¹cÁp·i¸È ·d¼iÇTµTÊMÂ·d½Å ËzÈ3·dÁ@½Ãc½¼d·i´ÊMÂ[¸ÑÒÂ¸¶¸º Î U32\ « O¬ &+T ' +I$+ « XMW ° ½Â¼d½¹c¼fÂ·d½o» Ç@¸9·d²ÕmÇTºiºd½¸¸ Â¼d·d´µ » ²k¼¢³/ÂµpÈ ÁT½¸Äz» ÇT¸ Ê²k³³3½µz·iºQ²cµ·iÁT´ºÄQÂ[Ä]½¼wÎ'ÏmÁT½AÓQ¼dºi·EÂ[Ç@·dÁT²c¼'Ñ)²kÇT¸ÅÂ¸ºd²m¸´Ök½ ·d²·iÁQÂ[µ@Ö k´³+æ-¼d²cÄTÄ¢» ²c¼Å@½³3²cµTºd·i¼fÂ[·i´µT¹·dÁT½Ê²kµTµ@½Ê·d´²cµ ËQ½·gÑ½½µÁT½´¹kÁz·)» Ç@µTÊ·d´²cµTºxÂ[µTÅ ½Ãz´¶·i²[Ã9·d´¸½ºMÎ fA

2B

i

7 A

i

i B

i

B

Ì ¸´¶³ # ¸´¶³ J 5 + 7 5 + ÏmÁT´ºmÁT²ç¶Å@º,» ²c¼xÂ[¸¸ ?mÌzºd² ¸´¶³ # ºiÇTÄ 5 + @Î× ½ µT²[Ñ ÇTºd½9·iÁT½·d½·i¼fÂ[Á@½ÅT¼fÂ¸Å@½Ê²k³ÄQ²cºd´·d´²cµTºm·d²Â[ÊoÁT´½Ãc½ Â¢ºd´³´¶¸Â¼Ë]²kÇ@µTÅ1²kµ¸´³ " ½·d·i´¶µ@¹ J À 7 & & Ì)·iÁT½ Â[µ]Â[¸²k¹c²kÇTº)ÊMÂ[¸ÊÇ@¸Â·d´²kµ@ºÈz´½¸Å " # J À 5 + ÏmÁzÇTºMÌ ¸¶´³ " # ºiÇTÄ 5 + @Îyá ègµ/ÂÅTÅT´·d´²cµ'Ìkºi´µTÊ½.Ñ½aÊoÁT²kºi½ D¢·i²Ë]½ ÌTÑ)½xÁQÂwÃc½kÌzËzÈ Â[µ´ÅT½µz·i´¶ÊwÂ[¸'Â[¼i¹kÇT³½µz·MÌ ¸´³ " # ºdÇTÄ 5 + @ÎyÙ 9

xº

_

c

7

Ø æ-ÇT·i·d´µT¹·d²c¹k½·iÁT½¼ ´µT½ÐzÇQÂ¸´¶·i´½º @Î¶×cÌ TÎyá3ÂµTÅ @ÎyÙTÌ]Ñ½ÁQÂwÃc½ ·dÁQÂ· ¸´¶³ 5 + # ºiÇTÄ 5 + x½µ@Ê½kÌ9ºi´¶µ@Ê½ºiÇTÄ 5 + # ¸´¶³ 5 + 3´·»G²k¸¸²[Ñmº/·iÁQÂ[· ¸´¶³ 5 + ½Þz´ºd·dº.Â[µTÅ ¸¶´³ 5 + 7 ºiÇTÄ 5 + @Î Ï-²Ê²c³3ÄT¸½·i½8·dÁT½Ä@¼d²z²[»fÌÑ)½¥µT½½Å%·i²ÉÂ¼d¹cÇT½4·iÁQÂ[· ¸´¶³/ 67;¸¶´³ " aÎ ½· 5 % 7;³/ÂÞ , " " zÎ9èg· ºdÇzç3Ê½º-·d²xºiÁT²[Ñ·iÁQÂ[·m¸´³ 5 % @7É¸¶´³ 5 + a¹pÂ[´µ'Ì ÓQÞ ?ÍÂµTÅ¸½· D/7 Î-ÔT¼i²k³ ¸¶½³3³/Â TÎ×ÂµTÅ @ÎyáTÌwÑ½)ÁQÂwÃc½ ·dÁQÂ· # - - À ( " - $ ( " Â[µTÅ ³3´µ " " # - ( - (> ( " - > (( " ÏmÁT½¼i½o» ²k¼i½kÌ]¸½·d·i´¶µ@¹ - 7³´¶µ - - À ( - $ ( - ( - (> ( - > (( Ñ½.ºi½½ ·dÁ]Â[·

i

i B

Gi

;

i

%N

/

1

a

;

+N

X

5

@

×wã

Ô'´¹cÇT¼d½9×k×=+ /Î -ÄT¼i´¶µz·