SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS

28/09/2012

SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS

Sample space,Ω, space Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, points ω yang mungkin; dimana ω∈Ω ƒ ƒ ƒ ƒ

Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:Ω={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: Ω={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: Ω={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): Ω={x∈ℜ⏐x>0}

Events A,B,C,… ⊂ Ω adalah himpunan bagian dari sample space ƒ Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} ƒ Contoh 2 2. Tidak ada pelanggan yang ang mengantri : A={0} A {0} ƒ Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x∈ℜ⏐x>3}

Event yang pasti : sample space Ω Event yang tidak mungkin : himpunan kosong (∅)

2

1

28/09/2012

KOMBINASI EVENT

Union (gabungan) :“A atau B” : A∪B={ω∈Ω⏐ω∈A atau ω∈B} Irisan: “A dan B” : A∩B={ω∈Ω⏐ω∈A dan ω∈B} Komplemen : “bukan A”:Ac={ω∈Ω⏐ω∉A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A∩B=∅ Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika

ƒ (i) Bi ∩ Bj=∅ untuk semua i≠j ƒ (ii) ∪iBi =A

3

Back to Six

PROBABILITAS (PELUANG) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)∈[0,1] Sifat-sifat peluang

4

2

28/09/2012

CONDITIONAL PROBABILITY (PELUANG BERSYARAT) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut

Dengan demikian

5

TEOREMA PROBABILITAS TOTAL

Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ω Lalu {A∩Bi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4

Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb 6

3

28/09/2012

TEOREMA BAYES

Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Ω Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5

Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh

Ini merupakan teorema Bayes

ƒ Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi ƒ Peluang P(Bi⏐A) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi) 7

KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI EVENT (STATISTICAL INDEPENDENCE OF EVENT) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika

Dengan demikian

Demikian pula

8

4

28/09/2012

PEUBAH ACAK (RANDOM VARIABLES) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space Ω;X: Ω →ℜ ƒ Setiap titik sample (sample points) ω∈Ω dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(ω) ƒ Dengan kata lain : memetakan setiap titik sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X

9

CONTOH Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut maka : tersebut,

10

5

28/09/2012

PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (PDF) Definisi : PDF dari suatu p peubah acak X adalah fungsi g FX: ℜ → [[0,1] , ] yyangg didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Sifat

11

KESALINGBEBASAN STATISTIK DARI PEUBAH ACAK (STATISTICAL INDEPENDENCE OF RANDOM VARIABLES) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y

Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

12

6

28/09/2012

PEUBAH ACAK DISKRIT Definisi : himpunan A⊂ℜ disebut diskrit bila

ƒ Terbatas : A={x1,…,xn}, atau ƒ Tak terbatas : A={x1,x2,…} Definisi : p peubah acak X disebut diskrit bila terdapat p sebuah himpunan p diskrit Sx⊂ℜ sedemikian hingga

Maka

ƒ P{X=x} ≥ 0 untuk semua x ∈ Sx ƒ P{X=x} = 0 untuk semua x ∉ Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)

13

PELUANG TITIK (POINT PROBABILITIES) Misalkan X adalah p peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi

Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: ℜ → [0,1] yang didefinisikan sbb

Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

14

7

28/09/2012

CONTOH

15

KESALINGBEBASAN PEUBAH ACAK Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xi∈SX dan yj∈Sy

16

8

28/09/2012

EKSPEKTASI (HARAPAN,RATAAN)

Definisi : Harga g ekspektasi p ((rata-rata/mean / value)) dari X dinyatakan y oleh

Sifat-sifat

17

VARIANCE

Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

18

9

28/09/2012

COVARIANCE

Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

19

PARAMETER LAIN YANG BERHUBUNGAN DENGAN DISTRIBUSI Deviasi standard dari X

Momen ke-k dari X

20

10

28/09/2012

DISTRIBUSI BERNOULLI

Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin ƒ Sukses (1) ƒ Gagal (0)

Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))

21

DISTRIBUSI BINOMIAL

Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masingmasing eksperimen bersifat Bernoulli);

22

11

28/09/2012

DISTRIBUSI GEOMETRIK

Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) ƒ p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

23

DISTRIBUSI POISSON

Limit dari distribusi binomial dimana n →∞ dan p → 0,, sedemikian hingga gg np p→a

24

12

28/09/2012

CONTOH

Asumsikan

ƒ 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal ƒ Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 ƒ Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X ≈ Poisson(2,0) Peluang titik

25

PEUBAH ACAK KONTINU

Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:ℜ→ℜ+, sedemikian hingga untuk semua x∈ℜ

Fungsi fX disebut probability density function (pdf) ƒ Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set

Sifat-sifat

26

13

28/09/2012

CONTOH

27

EKSPEKTASI DAN PARAMETER LAIN

Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb

ƒ Note 2: Jika , maka ƒ Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

28

14

28/09/2012

DISTRIBUSI UNIFORM (X~U(A,B), A0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal ≈ λdt)

30

15

28/09/2012

LATIHAN 1. Diketahui peubah acak kontinue memiliki pdf sbg berikut fx(x)=cx-3. 1.Hitunglah c. 2.Mean dari peubah acak tsb. 3.Fx(X) 2. Ukuran paket data pd internet dapat dimodelkan sbg peubah acak pareto yang 1 Fx ( x) = Pr ( X ≤ x) = 1 − a , x ≥ 1, a > 0 memiliki persamaan, x 1.Tentukan pdf dr peubah acak x 2.Tentukan expected value dari x. 3.Tentukan rentang nilai a agar expected value memiliki harga.

31

16