S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II

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Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 2000 00-1) Esercizio n. 1 del 26/1/2000 Una tipica nube temporalesca pu´ o essere modellata come un condensatore con le 2 armature orizzontali di 10 Km di area, separati da una distanza verticale di 5 Km. Prima di scaricarsi generando un fulmine l’armatura superiore contiene una carica totale positiva di 300 C e quella inferiore la stessa quantit´a di segno negativo. Calcolare: a) l’energia elettrostatica immagazzinata nella nube prima della scarica; b) la differenza di potenziale fra le armature; c) il campo elettrico all’interno della nube, confrontando il risultato con la rigidit´ a dielettrica dell’aria (3 M V /m). Rispondere ai quesiti secondo l’ordine di presentazione, sfruttando per ciascuno di essi esclusivamente i dati iniziali del problema. ———————

Come sappiamo l’energia elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico generato da una distribuzione di cariche ´e: Z 1 |E|2 d3 r W = 8πk tutto lo spazio

Poich´e all’interno di un condensatore piano il campo, esistente soltanto all’interno del condensatore, ´e uniforme, si ha: 1 W = |E|2 Sd 8πk essendo S la superficie di ciascuna armatura e d la distanza fra esse. D’altra parte, sappiamo che il campo elettrico all’interno di un condensatore piano, in funzione della carica esistente sulle armature si esprime: Q Q E = 4πkσ = 4πk = S ǫ0 S Ne segue: W =

0.5 · 9 · 104 · 5 · 103 1 Q2 d 1 Q2 ǫ0 2 2 Sd = = = 2.6 · 1012 Joule −12 6 2 ǫ0 S 2 ǫ0 S 8.854 · 10 · 10 · 10

La differenza di potenziale fra le armature ´e data da: ∆V = Ed = Il campo elettrico ´e:

300 · 5 · 103 Qd = = 16.9 · 109 V ǫ0 S 8.854 · 10−12 · 10 · 106

Q 300 = = 3.39 · 106 V /m ǫ0 S 8.854 · 10−12 · 10 · 106 che ´e effettivamente maggiore della rigidit´ a dielettrica dell’aria. E=

ESFIS00 - 1

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-2) Esercizio n. 2 del 26/1/2000 Si consideri un conduttore cilindrico infinitamente lungo, di raggio a, percorso da corrente I la cui densit´ a ´e uniforme in ciascun punto della sezione del conduttore. Calcolare ~ nei punti interni ed esterni al conduttore. il vettore induzione magnetica B ———————

Consideriamo una sezione trasversale del conduttore ed applichiamo il teorema di Ampere: I Z ~ ~ B · dl = µ0 J~ · n bda S

C

essendo J~ = Jz zb e n b = zb.

... .............. .................... ..... ....... ..... ..... .... ... . . ... . . . . . . . . . . . . . ... .. ... .. . . . .. ... . . .... . . .. .. ... ... . . . . . . . ......... ... .. .... .... .. . ...... ..... ... .. . . . . . ... .... .. . .. .... ...... . ... .. .. ...... ... ... .... ... . . ..... . . ...... .... .......... ...... ........................

C

r

a

ebφ

´ conveniente scrivere il teorema di Ampere in coordinate cilindriche tenendo conto E che: d~l = rdφb eφ . Ne segue: I I ~ ~ B · dl = Bφ rdφ C

C

Sia C una circonferenza di raggio r interna al conduttore di raggio a ossia r ≤ a. Si ha, allora: I Bφ rdφ = µ0 Jπr2 C

ossia: Bφ 2πr = µ0 Jπr2 da cui: Bφ = µ0 J e, poich´e J =

r 2

(0 ≤ r ≤ a)

I , si ha: πa2 ~ = Bφ ebφ = µ0 I B

r ebφ 2πa2

ESFIS00 - 2

(0 ≤ r ≤ a)

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Analogamente, considerando una circonferenza C di raggio r ≥ a, si ha: Bφ 2πr = µ0 I

(r ≥ a)

ossia: ~ = Bφ ebφ = µ0 I ebφ B 2πr

ESFIS00 - 3

(r ≥ a)

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-3) Esercizio n. 3 del 26/1/2000 ~ B ~ sia nei punti Con riferimento al quesito n. 2, si valuti esplicitamente la quantit´a ∇× interni che in quelli esterni al conduttore e si verifichi la congruenza con la corrispondente equazione della magnetostatica. ——————— ~ × F~ in coordinate cilindriche, sostituendo ad F~ il vettore Esprimiamo la quantit´a ∇ ~ calcolato nel problema precedente. B ~ = Bφ ebφ , si ha: Poich´e B 

 1 ∂ ~ ×B ~ = ∇ (rBφ ) zb r ∂r

Nei punti interni, come calcolato nel problema precedente, risulta: r Bφ = µ0 J 2 Quindi:    1 2 1 ∂ ~ ~ µ0 J r zb = µ0 J zb = µ0 J~ ∇×B = r ∂r 2

(0 ≤ r ≤ a)

Nei punti esterni, come calcolato nel problema precedente, risulta:

Quindi:



~ ×B ~ = 1 ∂ ∇ r ∂r

Bφ = µ0

I 2πr





I rµ0 2πr

zb = 0

(r ≥ a)

Le formule trovate sono congruenti con le leggi della magnetostatica.

ESFIS00 - 4

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-4) Esercizio n. 4 del 26/1/2000 Si consideri un condensatore piano le cui armature di 50 cm2 di area sono separati da uno strato di porcellana di spessore a = 1 cm. I parametri della porcellana sono: ǫr = 5.5 e σ = 10−14 √ S/m. Se ai capi delle armature ´e applicata una differenza di potenziale a Φ(t) = 110 2 cos(120πt), calcolare: a) la densita di corrente di conduzione; b) la densit´ di corrente di spostamento; c) la corrente totale che attraversa il capacitore. ———————

Il campo elettrico all’interno dello strato di porcellana ´e: Φ(t) 110 · E(t) = = a

√

√ 2 cos(120πt) = 1.1 · 104 · 2 cos(120πt) V /m 0.01

La densit´ a corrente di conduzione ´e: Jc = σE(t) = 10−14 · 1.1 · 104 ·

√ √ 2 cos(120πt) = 1.1 · 2 · 10−10 cos(120πt) A/m2

La densit´ a di corrente di spostamento ´e: Jd =

√ dD dE(t) dE(t) =ǫ = ǫ0 ǫr =8.854 · 10−12 · 5.5[−1.1 · 104 · 2 · 120π sin(120πt)] = dt dt dt =−2.86 · 10−4 sin(120πt) A/m2

La corrente totale ´e: I = (Jc + Jd )A essendo A = 50 cm2 l’area di ciascuna armatura del condensatore. Poich´e Jc > a, calcolare la forza (in modulo, direzione e verso) che si esercita fra le spire nel caso in cui le correnti abbiano lo stesso verso e nel caso in cui abbiano verso opposto. ———————

y

. ..... ......... .. .. .. .... . . . .. .................... .................... . . .... .... ... . . I........................ a .. 2 .. .. .. ... .. .. .. ... . . . ... .. .. .. .. .. .. .. ... . ... .. ... .. ... .. . ..................... . . ............................. . I........................ a

m ~

d

m ~

1

Con la scelta dei versi delle correnti come in figura (verso antiorario) i momenti magnetici delle due spire sono orientati secondo l’asse y (che coincide con l’asse delle spire) positivo. Poich´e d >> a possiamo supporre che l’interazione fra le due spire sia dipolare. La forza che si esercita sulla spira 2 dovuta al campo di induzione magnetica generato dalla spira 1 ´e: ~ m ~ 12 ) F~12 = ∇( ~2·B Il campo B12 generato dalla spira 1, il cui centro ´e l’origine delle coordinate, ´e:   ~ 1 · ~r)~r m ~1 µ0 3(m ~ − 3 B12 (~r) = 4π r5 r Poich´e m ~ 1 = Ia2 yb e ~r = yb y , si ha:   2 2 µ 3Ia Ia µ0 2Ia2 0 ~ 12 (~r) = B y b − y b = yb 4π y 3 y3 4π y 3

F~12

Quindi, poich´e m ~2=m ~ 1 = Ia2 yb, risulta:       µ0 2Ia2 µ0 2 4 µ0 1 −3y 2 1 2 2 4 µ0 ∂ ~ = ∇ Ia yb · = = − 3I 2 a4 4 yb yb = yb2I a I a yb 3 3 6 4π y 4π ∂y y 2π y 2π y ESFIS00 - 17

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Allora per y = d la forza esercitata dalla spira 1 sulla spira 2 ´e: Fy 12 = −

µ0 2 4 1 3I a 4 2π d

Se la corrente nella spira 2 circola in verso orario (ossia le due correnti non sono equiversi) si ha m ~ 2 = −Ia2 yb e quindi per y = d la forza esercitata dalla spira 1 sulla spira 2 ´e: µ0 2 4 1 Fy 12 = 3I a 4 2π d

ESFIS00 - 18

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-12) Esercizio n. 4 del 6/5/2000 Un circuito percorso da corrente di intensit´ a I ha la forma di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio a. Calcolare il campo di induzione magnetica ~ al centro del poligono. B ———————

.......................................... ........... ....................... ........ ........ ....................I .................................................................................................... . . . . .. . . ... .. ... .. . . . . .. ... ..... ......... ..... .. ..... .. ... .... ... .... ... ... .. ... .... ... ... .... . . . . . . . ... ... ... . . .. ... ... ... ... ... ..... . . . . ... ... . . ... . . . . ... .. ... h... ... ..... ... a . . ... ... . . . . . ... ... .. θ ... . ... ... . ... ............ ... ... .... ..... ... .. ... ... .. ... ... . . ... . .. ... ... . . ..... ....... ..... ..... ..... ... . ..... • .... O . ... ... ....... . . ... ... . . . . . . ... ... . . ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..... . . ... ... . .. ... ... ... .. ... ... ... ... .... ... ... ...... . ..... ... . . ... ..... ... ... ...... ......... .......... ........ ........................................................................................ . ......... .................... ............................ ...

Il poligono regolare inscritto in una circonferenza ha n lati eguali. In figura, per comodit´a, ´e stato riportato un esagono regolare ma ´e immediato comprendere che il procedimento ´e del tutto generale. Consideriamo un generico lato del poligono regolare inscritto. Il campo di induzione magnetica generato da esso nel centro del poligono ´e, dato il verso da noi scelto per la corrente, orientato in direzione ortogonale al piano del poligono nel verso entrante al piano stesso. Il problema consiste, quindi, nel calcolare il modulo del campo di induzione magnetica generato sui punti dell’asse di un segmento lungo L. ... y ...... .......... ........ ... ... .. ..

.......... ... .. ... ... . . . •................ ....... ....... .... ........ .. ....... .. ........ ... ....... ........ .. ....... . ......... ....... ........ . ............................ ....... ........ ........ .. .... ....... ........ ............ ........ ......R .. α .. ........ .. ........ .............. ... ........ ........ .... .... .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ......................................... .. .. .. ................... .. ... •... ...• ....... .... h θ...................... .. . ....... .. ....... ... ........ .. ....... . . . . . .. . .. ... ....... ....... .. ....... .. ....... . . . . . ... . ...... .. ........ .. ....... ... ....... .. .............. ...........

B...

... .. . L/2 dl . .. ... . ... ... y ... ... . .. ........ ........... .. O ........ .. .. .. ... .. .. .. .. .. L/2 ... .. ... .. . .... .. . ........ . .......... A•.

a

P

a

Per la prima legge di Laplace, si ha: ~ = dB

~r − ~r ′ µ0 ~ Idl × 4π |~r − ~r ′ |3 ESFIS00 - 19

x

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Considerando un sistema di riferimento con l’asse y nella direzione del filo, si ha: d~l = dyb y,

~r ′ = yb y,

~r = hb x,

R = |~r − ~r ′ | =

p

y 2 + h2

~ generato dall’elemento infinitesimo d~l ´e: Pertanto il modulo di dB dB =

µ0 sin α I|dy| 2 4π R

D’altra parte si ha: y = h cot α =⇒ |dy| = h Pertanto: dB = ossia:

1 h 2 dα e R = sin α sin α

µ0 sin α I dα 4π h

√ µ I Z L/2a µ0 I L µ0 I a2 − h2 0 B = 2 d cos α = 2 =2 4π h 0 4π h 2a 4π h a

Per un poligono regolare di n lati: B(pol.

reg.)

=

µ0 I p 2 a − h2 n 2π ha

1800 3600 ossia θ = , si ha: Ma h = a cos θ e poich´e in un poligono regolare 2θ = n n s      1800 1800 µ0 I µ0 I 2 2   a 1 − cos n n tan B(pol. reg.) = = 2π 2 n 2π a n 1800 a cos n Il valore del campo di induzione magnetica generato da un segmento in un generico punto del proprio asse, si pu´ o ottenere dal risultato dell’esercizio n.3 del 21/11/98 ponendo α1 = α2 ; si pu´ o ottenere anche dell’esercizio n.1 del 21/7/98 ponendo x = h e y = L/2, nonch´e dall’esercizio n.4 del 26/2/94.

ESFIS00 - 20

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-13) Esercizio n. 1 del 26/6/2000 Un palloncino sferico di raggio a = 5 cm ´e superficialmente carico con densit´ a uniforme di carica σ = 1 µC/m2 . Se si dilata il palloncino finch´e il suo raggio diventi b = 7 cm, calcolare la variazione dell’energia potenziale elettrostatica. ———————

L’energia potenziale elettrostatica di una sfera superficialmente carica ´e: W =

1 Q2 k 2 R

essendo R il raggio della sfera e Q la quantit´a totale di carica su di essa depositata. Si ha: I Q = σd2 r = σ4πR2 S (sf era)

in quanto nel nostro caso la carica ´e uniformemente distribuita sulla superficie della sfera, ossia σ = costante. Per R = a = 5 cm, risulta: Q(R=a) = 10−6 · 4π · (5 · 10−2 )2 = π · 10−8 C e: W(R=a) =

1 1 π 2 · 10−16 1 π10−14 = 1.77 · 10−3 J = −4 2 4πǫ0 25 · 10 2ǫ0

Quando il palloncino viene dilatato, la carica depositata sulla superficie resta la stessa per il principio di conservazione della carica elettrica; quindi: Q(R=b) = π · 10−8 C Ne segue: W(R=b) =

1 1 π 2 · 10−16 1 π10−12 = 9.05 · 10−4 J = 2 4πǫ0 49 · 10−4 2ǫ0 196

La variazione dell’energia potenziale del palloncino ´e, quindi: W(R=b) − W(R=a) = −8.65 · 10−4 J

ESFIS00 - 21

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-14) Esercizio n. 2 del 26/6/2000 Una particella di carica q, di massa m e di velocit´ a ~v ≡ (vx , vy , vz ), penetra in un ~ campo di induzione magnetica B ≡ (0, 0, Bz ). Calcolare: a) il raggio del moto circolare sul piano perpendicolare alla direzione del campo; b) il passo dell’elica; c) il tempo necessario perch´e la particella percorra una lunghezza L in direzione del campo. I dati numerici sono: q = +1.6·10−19 C, m = 1.67·10−27 Kg, vx = vy = 2·106 m/s, vz = 3·106 m/s, Bz = 1000 G, L = 1 Km. ———————

La traiettoria di una particella carica in moto in un campo di induzione magnetica uniforme ´e un’elica che si avvolge lungo la direzione del campo. ~ B

.. ...... ......... .... .. .. .. ... .. ... .... ... ... ....................................... . . ... . . . . . . . . . . . ......................... .. . . ........................................ ..... ...................................... . . ....................................... ...... . ..................................... . . ...................................... ..... ....................................... . . ....................................... ..... . .............................. ..... . . . . ..................................... ..... ...................................... . . ....................................... ..... ....................................... . ... .. ... ..... ..

Il raggio del moto circolare sul piano perpendicolare alla direzione del campo ´e: R=

v0⊥ mv0⊥ = ωc qB

Assumendo q l’asse z di un sistema di riferimento coincidente con la direzione del campo, si ha v0⊥ = vx2 + vy2 = 2.83 · 106 m/s. Poich´e: m = 1.67 · 10−27 Kg, segue: R= Il passo dell’elica ´e:

q = 1.6 · 10−19 ,

B = 0.1 W b/m2

1.67 · 10−27 · 2.83 · 106 = 0.295 m 1.6 · 10−19 · 0.1

p = v0z T = V0z

2π · 1.67 · 10−27 2πm = 3 · 106 = 1.967 m qB 1.6 · 10−19 · 0.1 ESFIS00 - 22

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Poich´e il passo p ´e la lunghezza percorsa dalla particella lungo la direzione del campo in un tempo T , si ha: p:T =L:t da cui: t=L

T L 1000 = = = 3.33 · 10−4 s 6 p v0z 3 · 10

ESFIS00 - 23

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-15) Esercizio n. 3 del 26/6/2000 Una goccia (sferica) d’acqua ´e posta in un campo elettrico uniforme di modulo E0 = 1000 V /m. Calcolare la densit´ a della carica di polarizzazione sulla superficie della goccia. ———————

...........................................................................

~ E .....................................0 ...................................

...................... ..... ............ .............. ................ ......... .................... ....................... ....... ........................... ............................. ............................. ...... . ............................. . . ................................ . . . ...... .................................. . .................................... . . ..................................... . . ..... .. ....................................... ....................................... ...................................... . . ....................................... ... . ........................................ ......................................... . ....................................... . . . ............................................... .......................................... ............................................. . ... ......... . ............................................ .............................................. ............................................ . ............................................. . ................................................ ... ............................................... .................................................. .................................................... ..... ................................................... ................................................ . . .................................................. . ................................................... .................................................. ...................................................... ..................................................... ... ................................................... ....................................................... ....................................................... .... .................................................... .................................................... ......................................................... ..................................................... ........................................................ .... ..................................................... ......................................................... ..................................................... ... ... ....................................................... ..................................................... ...................................................... ..................................................... ...................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................... 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................................................... .................................................... .................................................. .................................................... ................................................... .................................................. ................................................ .................................................. .............................................. ................................................. ................................................. ................................................ ............................................. ............................................. ............................................ ............................................ ... ........................................... .......................................... ........................................ ..... ......................................... ....................................... ....................................... ....................................... ....................................... ..... ...................................... ...................................... . . ..................................... . . .. .................................. .................................. ...... ............................. ............................. .......................... ....... ....................... .................... ......... ................. .............. ........... ...... .....................

θ

P~

........................................................................

z

Il campo elettrico all’interno di una sfera dielettrica posta in un campo elettrico uniforme ´e pure uniforme nella stessa direzione e verso del campo elettrico esterno iniziale. Si ha: ~ ~ = 3E0 E ǫr + 2 Conseguentemente la sfera si polarizza e la polarizzazione P~ ´e: ~ ~ = ǫ0 (ǫr − 1) 3E0 P~ = χE ǫr + 2 La densit´ a di carica di polarizzazione sulla superficie della sfera ´e: ǫr − 1 σP = P~ · n b = P cos θ = 3ǫ0 E0 cos θ ǫr + 2

Quindi la carica di polarizzazione ´e positiva sulla semisfera che si affaccia sull’asse z positivo e negativa sull’altra. Poich´e per l’acqua ǫr = 81, si ha: σP = 2.56 · 10−8 cos θ

ESFIS00 - 24

———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 00-16) Esercizio n. 4 del 26/6/2000 Un sottile solenoide lungo L = 20 cm ´e costituito da N = 100 spire percorse da una corrente di intensit´a I = 10 A. Calcolare il campo di induzione magnetica massimo sull’asse del solenoide e quello corrispondente al punto dell’asse che si trova sul piano contenente l’orlo del solenoide. ———————

Il modulo del campo di induzione magnetica generato da un solenoide sui punti dell’asse, che facciamo coincidere con l’asse z di un sistema di riferimento, ´e:     L L  −z +z   v 2 v 2 +   2 2  u u  u u L L  u u − z + z  t t 2 2 a 1+ a 1 + a2 a2 N il numero di spire per unit´a di lunghezza. essendo a il raggio del solenoide e n = L Il valore massimo di Bz si ha per z = 0 e vale:    µ0  Bz = nI   2   

L L 2 µ0 = µ0 nI r 2 nI r 2 (Bz )max = 2 2 L2 L a2 + a 1+ 2 4 4a Se il solenoide ´e sottile, come indicato nel testo, il suo diametro ´e molto piccolo rispetto alla lunghezza del solenoide, ossia: 2a