Serie numeriche: esercizi svolti. Gli esercizi contrassegnati con il simbolo *
presentano un grado di difficolt`a mag- giore. Esercizio 1. Dopo aver verificato la
...
Serie numeriche: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt`a maggiore. Esercizio 1. Dopo aver verificato la convergenza, calcolare la somma delle seguenti serie: a)
∞ X
n (n + 1)! n=1
[1] ·
∞ X
1 b) n(n + 3) n=1 c)
∞ X n=1
d)
∞ X
2n + 1 + 1)2 µ
n=2
e)
f)
1 n2
¶
[− log 2] · ¸
∞ X
1 2−1 4n n=1 ∞ µ X 1 n=1
1 √ −√ n n+1
1 2
¶
[1] · ¸
∞ X
1 g) n(n + 1)(n + 2) n=1
1 4
Svolgimento a) La serie
¸
[1]
n2 (n
log 1 −
11 18
∞ X
n `e a termini positivi. Poich`e (n + 1)! n=1 µ
¶
n 1 1 n = = =o , (n + 1)! (n + 1)n(n − 1)! (n + 1)(n − 1)! n2 1
n → +∞
2
Serie numeriche: esercizi svolti
ed essendo convergente la serie
∞ X 1 n=1
serie data converge.
n2
, per il criterio del confronto asintotico la
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che n n+1−1 1 1 = = − . (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)! Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn
µ
n X
n X k 1 1 = = − (k + 1)! k=1 k! (k + 1)! k=1
=1−
¶
=
1 1 1 1 1 1 + − + ··· + − =1− . 2! 2! 3! n! (n + 1)! (n + 1)!
Ne segue che la somma della serie `e µ
1 S = lim Sn = lim 1 − n n (n + 1)! Pertanto si ha
b) La serie
¶
= 1.
∞ X
n = 1. (n + 1)! n=1
∞ X
1 `e a termini positivi. Poich`e n(n + 3) n=1 1 1 ∼ 2, n(n + 3) n
ed essendo convergente la serie serie data converge.
∞ X 1 n=1
n2
n → +∞
, per il criterio del confronto asintotico la
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che (
A B (A + B)n + 3A 1 = + = n(n + 3) n n+3 n(n + 3) Quindi
µ
=⇒
A=
1 3
B = − 13 .
¶
1 1 1 1 = − . n(n + 3) 3 n n+3 Ne segue che la serie data non `e telescopica. Nonostante ci`o `e possibile calcolare la somma della serie. Si ha che la somma parziale n-esima della serie `e Sn
n X
n X 1 1 = = k(k + 3) 3 k=1 k=1
µ
1 1− 3 µ 1 1+ = 3
=
µ
1 1 − k k+3
¶
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + ··· + − 4 2 5 3 6 4 7 n n+3 ¶ µ ¶ 1 1 1 1 11 1 + − = − . 2 3 n+3 3 6 n+3
¶
=
Serie numeriche: esercizi svolti
3
Ne segue che la somma della serie `e S = lim Sn = lim n
Pertanto si ha ∞ X
c) La serie
n=1
n
1 3
µ
11 1 − 6 n+3
¶
=
11 . 18
∞ X
1 11 = . n(n + 3) 18 n=1 2n + 1 `e a termini positivi. Poich`e + 1)2
n2 (n
2n + 1 2 ∼ 3, 2 + 1) n
n → +∞
n2 (n
ed essendo convergente la serie
∞ X 1 n=1
serie data converge.
n3
, per il criterio del confronto asintotico la
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 2n + 1 = (n + 1)2 − n2 . Quindi si ha che
2n + 1 (n + 1)2 − n2 1 1 = = 2− . 2 2 2 2 n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1)2
Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn
µ
n X
n X 2k + 1 1 1 = = − 2 2 2 k (k + 1) k (k + 1)2 k=1 k=1
=1−
¶
=
1 1 1 1 1 1 + − + ··· + 2 − =1 − . 2 4 4 9 n (n + 1) (n + 1)2
Ne segue che la somma della serie `e µ
1 S = lim Sn = lim 1 − n n (n + 1)2 Pertanto si ha ∞ X
¶
= 1.
∞ X
2n + 1 = 1. 2 (n + 1)2 n n=1 µ
1 d) La serie log 1 − 2 n n=2
¶
`e a termini negativi. Consideriamo la serie ∞ · X n=2
µ
1 − log 1 − 2 n
¶¸
.
` una serie a termini positivi. Poich`e log (1 + x) = x + o(x) per x → 0, si ha che E µ
1 − log 1 − 2 n
¶
µ
1 1 = 2 +o n n2
¶
∼
1 , n2
n → +∞
4
Serie numeriche: esercizi svolti
∞ X 1
ed essendo convergente la serie serie
∞ · X
µ
− log 1 −
n=2
converge.
1 n2
n=1
¶¸
n2
, per il criterio del confronto asintotico la
converge. Quindi per l’algebra delle serie, la serie data
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che µ
log 1 −
1 n2
¶
= log
n2 − 1 (n + 1)(n − 1) n+1 n = log = log − log . n2 n2 n n−1
Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn
µ
n X
1 = log 1 − 2 k k=2
¶
=
n µ X k=2
k+1 k log − log k k−1
¶
=
3 4 3 n+1 n − log 2 + log − log + · · · + log − log = 2 3 2 n n−1 n+1 = − log 2 + log . n
= log
Ne segue che la somma della serie `e µ
S = lim Sn = lim − log 2 + log n
Pertanto si ha
∞ X
µ
log 1 −
n=2
e) La serie
n
1 n2
n+1 n
¶
= − log 2.
¶
= − log 2.
∞ X
1 `e a termini positivi. Poich`e 2−1 4n n=1 1 1 ∼ 2, 4n2 − 1) 4n
ed essendo convergente la serie serie data converge.
∞ X 1 n=1
n2
n → +∞
, per il criterio del confronto asintotico la
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 A B (2A + 2B)n + A − B 1 = = + = 4n2 − 1 (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1 4n2 − 1 (
=⇒ Quindi 1 1 = 4n2 − 1 2
A=
1 2
B = − 12 . µ
¶
1 1 − . 2n − 1 2n + 1
Serie numeriche: esercizi svolti
5
Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn
n X
n X 1 1 = = 2 4k − 1 k=1 2 k=1
µ
1 1 − 2k − 1 2k + 1
¶
=
µ
1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ··· + − 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1
¶
µ
¶
1 1 = 1− . 2 2n + 1
Ne segue che la somma della serie `e µ
1 1 S = lim Sn = lim 1− n n 2 2n + 1 ∞ X
Pertanto si ha
n=1
¶
1 = . 2
1 1 = . −1 2
4n2
¶
∞ µ X
1 1 √ −√ f ) La serie `e a termini positivi. Poich`e n n+1 n=1 √ √ 1 1 n+1− n 1 1 ³√ √ −√ = √ √ =√ √ 3 , √ ´∼ n n+1 n n+1 2n 2 n n+1 n+1+ n ed essendo convergente la serie
∞ X 1 3
n=1
serie data converge.
n2
n → +∞
, per il criterio del confronto asintotico la
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn =
n µ X 1 k=1
1 √ −√ k+1 k
¶
=
1 1 1 1 1 1 = 1 − √ + √ − √ + ··· + √ − √ =1 − √ . n n+1 n+1 2 2 3 Ne segue che la somma della serie `e µ
1 S = lim Sn = lim 1 − √ n n n+1 Pertanto si ha
∞ µ X 1 n=1
g) La serie
1 √ −√ n n+1
¶
= 1.
¶
= 1.
∞ X
1 `e a termini positivi. Poich`e n(n + 1)(n + 2) n=1 1 1 ∼ 3, n(n + 1)(n + 2) n
ed essendo convergente la serie serie data converge.
∞ X 1 n=1
n3
n → +∞
, per il criterio del confronto asintotico la
6
Serie numeriche: esercizi svolti
Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 A B (A + B)n + 2A = + = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) (
=⇒ Quindi
A=
1 2
B = − 12 .
·
¸
1 1 1 1 = − . n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale della serie `e Sn =
·
n X
¸
n X 1 1 1 1 = − = k(k + 1)(k + 2) k=1 2 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k=1
·
¸
1 1 1 1 1 1 1 − + − + ··· + − = = 2 2 6 6 12 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) · ¸ 1 1 1 = − . 2 2 (n + 1)(n + 2) Ne segue che la somma della serie `e ·
¸
1 1 1 1 S = lim Sn = lim − = . n n 2 2 (n + 1)(n + 2) 4 Pertanto si ha
∞ X
1 1 = . n(n + 1)(n + 2) 4 n=1
Esercizio 2. Determinare il carattere delle seguenti serie: a)
b)
∞ X
1 log (n + 1) n=2 ∞ X log n n=1
c)
[diverge positivamente]
[converge]
n4
∞ X log n
[converge]
3
n=1 ∞ X
n2 µ
n+1 d) log n2 n=1 ∞ X
¶
1 arctan √ n n=1 √ ∞ √ X n+2− n−2 f) n n=2 e)
[diverge negativamente]
[diverge positivamente]
[converge]
Serie numeriche: esercizi svolti
g)
h)
k)
i)
j)
l)
∞ X
1 log √ n n=1
[diverge negativamente]
∞ X
1 log √ n3 n=2 ∞ X
1
n=1
2log n
[diverge negativamente]
[diverge positivamente]
∞ X
1 √ n log n3 n=2 ∞ X
1
n=1
2log (n!)
∞ X
7
[diverge positivamente]
[converge]
32n cosn (nπ)
[indeterminata]
n=1
m)
2 ∞ X 3n
n=1
n)
∞ X n43 n=1
o)
[converge]
(n!)n
∞ X
[converge]
6n 1
[converge]
¡4n¢
n=1 3n
p)
∞ X n=1
q)
∞ X n=2
r)
v)
1 n+2
[diverge positivamente] ¶n
[converge]
[converge assolutamente]
n(n + 1)
µ ¶ 2 ∞ X 1 n+2 n n=1
u)
1 √ n log n
∞ X sin (4n3 ) n=1
t)
[converge]
3n
∞ µ X n=0
s)
2
¡3n+2¢
∞ X
5n
n µ
¶n2
n=2
n−2 n
∞ X
1
n=2
(log n)log n
3n
[diverge positivamente]
[converge]
[converge]
8
Serie numeriche: esercizi svolti
w)
∞ X nn n=1
x)
∞ X
[converge]
(2n)! r
4 n3
[diverge positivamente]
´n
[diverge positivamente]
n 1+
n=1
y)
∞ X n=1
z)
1
³
nn+ n n+
1 n
∞ µ X 1 n=1
1 − sin n n
¶
[converge]
Svolgimento ∞ X
1 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positilog (n + 1) n=2 vamente).
a) La serie
Poich`e log (n + 1) = o(n + 1) per n → +∞, si ha che µ
¶
1 1 =o , n+1 log (n + 1)
n → +∞
∞ X
1 divergente, per il criterio del confronto asintotico n+1 n=2 anche la serie data `e divergente. ed essendo la serie
b) La serie mente).
∞ X log n n=1
n4
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
Poich`e log n = o(n) per n → +∞, si ha che ¶
µ
log n 1 , =o 4 n n3
n → +∞
∞ X 1
convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n3 la serie data `e convergente.
ed essendo la serie
n=1
c) La serie mente).
∞ X log n 3
n=1
n2 ³
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
1
Poich`e log n = o n 3
´
per n → +∞, si ha che log n 3
n2
µ
=o
1 7
n6
¶
,
n → +∞
Serie numeriche: esercizi svolti
ed essendo la serie
9
∞ X 1
7 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n6 la serie data `e convergente.
n=1
∞ X
µ
¶
n+1 log d) La serie `e a termini negativi. Infatti, n2 n=1 o diverge (negativamente). Osserviamo che
µ
n+1 lim log n n2
n+1 n2
< 1. Quindi o converge
¶
= −∞.
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente. ∞ X
1 arctan √ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin n=1 vamente).
e) La serie
Poich`e arctan x = x + o(x) per x → 0, si ha che µ
1 1 1 arctan √ = √ + o √ n n n ed essendo la serie
¶
∼
1 1
n2
,
n → +∞
∞ X 1
1 divergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data `e divergente. √ ∞ √ X n+2− n−2 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge f ) La serie n n=2 (positivamente).
n=1
Si ha che √ √ 2 n+2− n−2 4 ´ ∼ 3, = ³√ √ n n2 n n+2+ n−2 ed essendo la serie
n → +∞
∞ X 2
3 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data `e convergente.
n=1
∞ X
√ 1 `e a termini negativi. Infatti log √1n = − log n. Quindi o log √ n n=1 converge o diverge (negativamente).
g) La serie
Osserviamo che lim log n
√ n = +∞.
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente.
10
Serie numeriche: esercizi svolti
∞ X
√ 1 log √ `e a termini negativi. Infatti log √1 3 = − log n3 . Quindi o n n3 n=2 converge o diverge (negativamente).
h) La serie
Osserviamo che lim log n
√ n3 = +∞.
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente. k) La serie mente).
∞ X
1
n=1
2log n
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
Osserviamo che alog b = blog a .
∀a, b > 0,
Infatti, poich`e se N > 0 si ha che N = elog N , allora se a, b > 0 si ha che alog b = elog (a
log b
Pertanto si ha che
) = elog b log a = elog (blog a ) = blog a .
∞ X
1
n=1
2log n
=
∞ X
1
n=1
nlog 2
.
Poich`e log 2 < 1, ne segue che la serie data `e divergente. ∞ X
1 √ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin log n3 n=2 vamente).
i) La serie
√ Poich`e log n = o ( n) per n → +∞, si ha che √ √ n log n3 = 3 n log n = o(n), Quindi si ha che
µ
¶
1 1 =o √ , n n log n3 ∞ X 1
ed essendo la serie
n la serie data `e divergente.
n → +∞.
n → +∞
divergente, per il criterio del confronto asintotico anche
n=2
j) La serie mente).
∞ X
1
n=1
2log (n!)
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
Serie numeriche: esercizi svolti
11
Poich`e n! ≥ n2 per ogni n ≥ 4, si ha che per ogni n ≥ 4 1
1
≤
2log (n!)
2log (n2 )
=
1 22 log n
=
1 4log n
.
Osserviamo che alog b = blog a .
∀a, b > 0,
Infatti, poich`e se N > 0 si ha che N = elog N , allora se a, b > 0 si ha che alog b = elog (a Pertanto si ha che
log b
) = elog b log a = elog (blog a ) = blog a .
∞ X
1
n=1
4log n
=
∞ X
1
n=1
nlog 4
.
Poich`e log 4 > 1, ne segue che questa serie converge e per il criterio del confronto la serie data `e convergente. l) La serie
∞ X
32n cosn (nπ) `e a termini di segno alterno. Infatti, essendo cos (nπ) =
n=1
(−1)n , si ha che ∞ X
32n cosn (nπ) =
n=1
∞ X
(−1)n 9n =
n=1
∞ X
(−9)n .
n=1
Ne segue che la serie data `e una serie geometrica con ragione −9 < −1. Quindi `e indeterminata. 2 ∞ X 3n
m) La serie mente).
n=1
(n!)n
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
Si ha che
s n
lim n
3n 3n2 = lim = 0 < 1. n n! (n!)n
Quindi per il criterio della radice la serie data converge. n) La serie
∞ X n43 n=1
6n
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).
Si ha che
s
lim n
n
n43 = lim n 6n
√ n n43 1 = < 1. 6 6
Quindi per il criterio della radice la serie data converge.
12
Serie numeriche: esercizi svolti
∞ X
o) La serie
1
e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente). ¡4n¢ `
n=1 3n
Posto
1 (3n)! n! an = ¡4n¢ = , (4n)! 3n
si ha che an+1 [3(n + 1)]! (n + 1)! (4n)! (3n + 3)! (n + 1)! (4n)! = · = · = an [4(n + 1)]! (3n)! n! (4n + 4)! (3n)! n! =
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) (3n)! (n + 1) n! (4n)! · = (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1) (4n)! (3n)! n! =
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(n + 1) . (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)
Ne segue che lim n
an+1 (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(n + 1) 27 = lim = < 1. n an (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1) 256
Quindi per il criterio del rapporto la serie data converge. p) La serie
∞ X n=1
mente).
2
¡3n+2¢
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
3n
Si ha che 2
¡3n+2¢ = 3n
Poich`e
4 (3n)! 4 4 (3n)! = = . (3n + 2)! (3n + 2)(3n + 1) (3n)! (3n + 2)(3n + 1) 4 4 ∼ 2, (3n + 2)(3n + 1) 9n
ed essendo la serie
n → +∞
∞ X 1
convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data `e convergente. n=1
q) La serie mente). Poich`e
∞ X n=2
1 √ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivan log n
√ n log n ≤ log n, si ha che per ogni n ≥ 1 1 1 √ ≥ n log n log n ∞ X
1 divergente, per il criterio del log n n=2 confronto anche la serie data `e divergente. ed essendo (vedi Eserczio 2 a)) la serie
Serie numeriche: esercizi svolti
∞ µ X
r) La serie
n=0
1 n+2
13
¶n
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-
vamente). Si ha che
sµ
lim
n
n
1 n+2
¶n
= lim n
1 = 0 < 1. n+2
Quindi per il criterio della radice la serie data converge. ∞ X sin (4n3 )
s) La serie
n=1
n(n + 1)
`e a termini di segno variabile.
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie ∞ X | sin (4n3 )| . n(n + 1) n=1 Essendo | sin (4n3 )| ≤ 1, si ha che per ogni n ≥ 1 1 | sin (4n3 )| ≤ . n(n + 1) n(n + 1) Poich`e
1 n(n+1)
1 n2
∼
per n → +∞ ed essendo convergente la serie
∞ X 1 n=1
∞ X
n2
, per il
1 converge. Quindi per il n(n + 1) n=1 ∞ X | sin (4n3 )| criterio del confronto anche la serie converge. Ne segue che la serie n(n + 1) n=1 data converge assolutamente e di conseguenza converge. criterio del confronto asintotico anche la serie
µ ¶ 2 ∞ X 1 n+2 n
t) La serie
5n (positivamente).
n
n=1
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge
Si ha che s
lim
1 5n
n
n
µ
n+2 n
¶n2
1 = lim n 5
µ
n+2 n
¶n
µ
1 2 = lim 1+ n 5 n
¶n
=
e2 > 1. 5
Quindi per il criterio della radice la serie data diverge. u) La serie
∞ X
µ n
3
n=2
n−2 n
¶n2
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (po-
sitivamente). Si ha che s
lim n
n
µ
3n
n−2 n
¶n2
µ
= lim 3 n
n−2 n
¶n
µ
= lim 3 1 − n
Quindi per il criterio della radice la serie data converge.
2 n
¶n
=
3 < 1. e2
14
Serie numeriche: esercizi svolti
v) La serie
∞ X
1
n=2
(log n)log n
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-
vamente).
Osserviamo che per ogni α ≥ 0 si ha che nα = o (log n)log n , per n → +∞. Infatti, lim n
nα log n
(log n)
= lim n
eα log n (log n)log n
=
posto t = log n, µ
eαt eα = lim t→+∞ tt t→+∞ t
= lim
¶t
= lim et log t→+∞
eα t
= lim et(α−log t) = 0. t→+∞
Ne segue che per ogni α ≥ 0 µ
1 (log n)log n
¶
1 =o , nα
Considerando α > 1, essendo la serie
n → +∞.
∞ X 1
convergente, per il criterio del connα fronto asintotico anche la serie data `e convergente. n=1
w) La serie mente).
∞ X nn
Posto an =
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
(2n)!
n=1
nn (2n)! ,
si ha che
an+1 (n + 1)(n+1) (2n)! (n + 1)n (n + 1) (2n)! = · n = · n = an [2(n + 1)]! n (2n + 2)! n (2n)! (n + 1)n (n + 1) · = = (2n + 2)(2n + 1) (2n)! nn
µ
n+1 n
¶n
·
n+1 . (2n + 2)(2n + 1)
Ne segue che µ
lim n
an+1 n+1 = lim n an n
¶n
·
n+1 = 0 < 1. (2n + 2)(2n + 1)
Quindi per il criterio del rapporto la serie data converge. x) La serie
∞ X
r
n 1+
n=1
4 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin3
vamente).
Osserviamo che
r
lim n 1 + n
4 = +∞. n3
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente.
Serie numeriche: esercizi svolti
∞ X
y) La serie
15
1
nn+ n
³
n+
n=1
1 n
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-
´n
vamente). Osserviamo che 1
1
nn+ n
nn+ n
´n = lim ³ lim ³ n n nn 1 + n + n1
1 n2
1
´n = lim ³ n
nn 1 n2
1+
´n = 1.
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente. ∞ µ X 1
z) La serie
1 − sin n n
n=1
¶
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (posi-
tivamente). Poich`e
1 sin x = x − x3 + o(x3 ), 6
x → 0,
si ha che ·
µ
1 1 1 1 1 1 − sin = − − 3 +o n n n n 6n n3 ed essendo la serie
¶¸
µ
1 1 = 3 +o 6n n3
¶
∼
1 , 6n3
n → +∞
∞ X 1
convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n3 la serie data `e convergente. n=1
Esercizio 3. Stabilire se convergono, convergono assolutamente o non convergono le seguenti serie: a)
∞ X
(−1)n
n=2
b)
c)
∞ X
1 log (n + 1)
n=1
log n n4
∞ X
log n
(−1)n (−1)n
n=1 ∞ X
e)
[converge assolutamente]
[converge assolutamente]
3
n2 µ
n+1 d) (−1) log n2 n=1 ∞ X
[converge ma non assolutamente]
n
1 (−1)n arctan √ n n=1
¶
[non converge]
[converge ma non assolutamente]
16
Serie numeriche: esercizi svolti
f)
g)
∞ X
1 (−1)n log √ n n=1 ∞ X
(−1)n
n=1
h)
∞ X
(−1)n
∞ X
(−1)n
n=1
j)
∞ X
n=1
m)
∞ X
(n!)n
(−1)n
n=1
n)
p)
1 n
[non converge]
[converge ma non assolutamente]
cos nπ
[converge assolutamente]
n43 6n
[converge asssolutamente]
∞ X (−1)n ¡3n+2¢
n=1
o)
[converge ma non assolutamente]
1 log (n + 1) − log n
(−1)n tan
2 ∞ X 3n
[converge ma non assolutamente]
n (2n + 1)2
n=1
l)
[converge ma non assolutamente]
√ n + log n3
n=1
i)
n+1 n2 + 1
∞ X cos (n + 1)π n=1
k)
[non converge]
[converge asssolutamente]
3n
∞ X
n23 (−2)n n=1
[converge asssolutamente]
∞ h X
i
2 arctan (n + 1) − π cos [(n + 1)π]
[converge ma non assolutamente]
n=1
Ã
∞ X
n2 + n + 1 sin π q) n+1 n=1 r)
∞ X
cos (nπ)
n=1
*s)
*t)
[converge ma non assolutamente]
log n n+1
[converge ma non assolutamente]
∞ X
(−1)n n + (−1)n n=2 ∞ X
µ
(−1)n
n=1
*u)
!
∞ X
µ
(−1)
n=1
n
1 (−1)n + n n2
[converge ma non assolutamente] ¶
(−1)n 1 √ + n n
[converge ma non assolutamente] ¶
[non converge]
Serie numeriche: esercizi svolti
*v)
∞ X
( 1 n
(−1) bn , bn =
n=1
n2 1 n
17
se n `e pari,
[non converge]
se n `e dispari
Svolgimento a) La serie
∞ X
(−1)n
n=2
1 `e a termini di segno alterno. log (n + 1)
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie ∞ X 1 . Per l’Esercizio 2 a) questa serie diverge. Quindi la serie data log (n + 1) n=2 non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn =
1 log (n+1) ,
si ha che:
1 = 0; n n log (n + 1) 2) la successione (bn ) `e decrescente. Infatti, 1) lim bn = lim
log (n + 1) < log (n + 2)
=⇒
bn+1 =
1 1 < = bn . log (n + 2) log (n + 1)
Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge. b) La serie
∞ X
(−1)n
n=1
log n `e a termini di segno alterno. n4
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie ∞ X log n . Per l’Esercizio 2 b) questa serie converge. Quindi la serie data conn4 n=1 verge assolutamente e di conseguenza converge. c) La serie
∞ X
(−1)n
log n
`e a termini di segno alterno. 3 n2 Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie ∞ X log n 3 . Per l’Esercizio 2 c) questa serie converge. Quindi la serie data conn=1 n 2 verge assolutamente e di conseguenza converge. n=1
d) La serie
∞ X
µ
(−1)n log
n=1
n+1 n2
¶
`e a termini di segno alterno.
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie µ ¶¸ µ ¶ ∞ · ∞ X X n+1 n+1 − log =− log . Per l’Esercizio 2 d) questa serie diverge. n2 n2 n=1 n=1 Quindi la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Osserviamo che µ
n+1 lim(−1) log n n2 n
¶
6 ∃.
18
Serie numeriche: esercizi svolti
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data non converge. e) La serie
∞ X
1 (−1)n arctan √ `e a termini di segno alterno. n n=1
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie ∞ X 1 arctan √ . Per l’Esercizio 2 e) questa serie diverge. Quindi la serie data n n=1 non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn = arctan √1n , si ha che: 1 1) lim bn = lim arctan √ = 0; n n n 2) la successione (bn ) `e decrescente. Infatti 1 1 √ 0]
(n + 1)α
∞ X
n αn n + 1 n=1 ∞ X
n
α
[converge, anche assolutamente, se |α| < 1] ³
(−1) n
1−e
1 n
"
´
converge ma non assolutamente se 0 ≤ α < 1
n=1
g)
∞ X
" n
2n
(−1) (tan α)
h)
"
√ n n5 (−1) n n
α
∞ X
π 4
+ kπ,
#
∀k ∈ Z
converge assolutamente se α < −1,
#
converge ma non assolutamente se −1 ≤ α < 0
n=2
k)
converge, anche assolutamente, se − π4 + kπ < α
1 e divergente se α ≤ 1, per il criterio nα del confronto la serie data converge se α > 1. Essendo la serie
n=1
c) La serie
∞ X log n n=1
nα
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).
³
´
Poich`e log n = o nβ per n → +∞ per ogni β > 0, si ha che µ
log n 1 =o α α−β n n Essendo la serie
∞ X
1
n=1
nα−β
¶
,
n → +∞.
convergente se e solo se α − β > 1, per il criterio del
confronto asintotico la serie data converge se α > 1 + β, per ogni β > 0. Quindi per ogni α > inf{1 + β : β > 0} = 1 la serie data converge. Consideriamo ora 0 < α ≤ 1. Poich`e ¶
µ
1 log n , =o nα nα ed essendo divergente la serie asintotico la serie data diverge.
∞ X 1 n=1
nα
n → +∞
con α ≤ 1, per il criterio del confronto
Infine se α ≤ 0 non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data diverge. Quindi la serie data converge se α > 1. d) La serie
∞ π X 2 − arctan n n=0
(n + 1)α
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (posi-
tivamente). Si ha che
arctan n =
1 π − arctan . 2 n
Poich`e arctan x = x + o(x) per x → 0, ne segue che π 2
µ
arctan n1 − arctan n 1 1 = = α+1 + o α α α+1 (n + 1) (n + 1) n n
¶
∼
1 nα+1
,
n → +∞.
Serie numeriche: esercizi svolti
Essendo la serie
∞ X
1
n=1
nα+1
31
convergente se e solo se α > 0, per il criterio del confronto
asintotico la serie data converge se α > 0. ∞ X
n αn `e a termini positivi se α > 0, `e nulla se α = 0 ed `e a termini n + 1 n=1 di segno alterno se α < 0. Consideriamo quindi α 6= 0.
e) La serie
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie ∞ X n |α|n . n + 1 n=1 Poich`e
n |α|n ∼ |α|n , n+1
ed essendo la serie geometrica
∞ X
n → +∞
|α|n convergente se e solo se |α| < 1, per il
n=1
∞ X
n |α|n converge se e solo se |α| < 1. n + 1 n=1 Quindi la serie data converge assolutamente se e solo se |α| < 1. criterio del confronto asintotico la serie
Consideriamo ora |α| ≥ 1 e studiamo la convergenza. Osserviamo che 1
se α = 1, n αn = +∞ se α > 1, lim n n+1 6∃ se α ≤ −1. Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che per |α| ≥ 1 la serie data non converge. Quindi la serie data converge se |α| < 1. ∞ X
*f ) La serie
n
(−1) n
³
α
1−e
1 n
´
=
n=1
alterno.
∞ X
³
1
(−1)n+1 nα e n − 1
´
`e a termini di segno
n=1
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie ∞ X
³
1
´
nα e n − 1 .
n=1
Poich`e ex = 1 + x + o(x) per x → 0, si ha che ³
1
·
´
nα e n − 1 = nα Essendo la serie
∞ X
µ ¶¸
1 1 +o n n
1 n1−α
n=1 ∞ X
asintotico la serie
n=1
=
1 n1−α
µ
+o
1 n1−α
¶
∼
1 n1−α
,
n → +∞.
convergente se e solo se α < 0, per il criterio del confronto
³
1
´
nα e n − 1 converge se e solo se α < 0. Quindi la serie data
converge assolutamente se e solo se α < 0.
32
Serie numeriche: esercizi svolti
³
´
1
Consideriamo ora α ≥ 0 e studiamo la convergenza. Poniamo bn = nα e n − 1 . Per quanto osservato in precedenza, si ha che bn ∼
1 n1−α
per n → +∞. Allora si
ha che: 0
1) lim bn = n
se 0 ≤ α < 1,
1
se α = 1,
+∞
se α > 1.
Quindi se α ≥ 1 non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data non converge. Limitiamoci ora a considerare il caso 0 ≤ α < 1. 2) Per 0 ≤ α < 1 la successione (bn ) `e decrescente. Infatti, se consideriamo ³
´
1
la funzione f associata alla successione (bn ), f (x) = xα e x − 1
ristretta
all’intervallo [1, +∞), si ha che f `e derivabile con h
i
1
f 0 (x) = xα−2 e x (αx − 1) − αx . Poich`e et = 1 + t + o(t) per t → 0, si osserva che h
lim
x→+∞
·µ
i
1 x
e (αx − 1) − αx = lim
x→+∞
·
= lim
x→+∞
µ ¶¶
1 1 1+ +o x x
¸
(αx − 1) − αx =
¸
αx − 1 + α −
1 + o(1) − αx = α − 1 < 0. x 1
Ne segue che esiste N ∈ N tale che per ogni x ≥ N si ha e x (αx − 1) − αx < 0. Di conseguenza per ogni x ≥ N si ha f 0 (x) < 0 e quindi f `e decrescente su [N, +∞). Ne segue che la successione (bn ) `e decrescente per ogni n ≥ N . Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge, non assolutamente, se 0 ≤ α < 1. In definitiva converge se α < 1. g) La serie
∞ X
(−1)n (tan α)2n `e a termini di segno alterno.
n=0
Osserviamo che
∞ X
(−1)n (tan α)2n =
n=0
∞ ³ X
− tan2 α
´n
.
n=0
Quindi `e una serie geometrica con ragione − tan2 α. Pertanto converge, anche assolutamente, se e solo se tan2 α < 1, cio`e per − π4 + kπ < α < k ∈ Z.
π 4
+ kπ, per ogni
Serie numeriche: esercizi svolti
h) La serie
∞ X
(−1)n nα
33
√ n n5 `e a termini di segno alterno.
n=2
Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie ∞ ∞ √ X X 5 n nα n5 = nα+ n . n=2
n=2
Poich`e 5
nα+ n ∼ nα , ∞ X
ed essendo la serie
n → +∞
nα convergente se e solo se α < −1, per il criterio del
n=2
confronto asintotico la serie
∞ X
5
nα+ n converge se e solo se α < −1 e di conseguenza
n=2
la serie data converge assolutamente se e solo se α < −1. Consideriamo ora α ≥ −1 e studiamo la convergenza. Poniamo bn = nα
√ n n5 =
5
nα+ n . Per quanto osservato in precedenza, si ha che bn ∼ nα per n → +∞. Allora si ha che:
0
1) lim bn = n
1
se −1 ≤ α < 0, se α = 0,
+∞ se α > 0.
Quindi se α ≥ 0 non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data non converge. Limitiamoci ora a considerare il caso −1 ≤ α < 0. 2) Per −1 ≤ α < 0 la successione (bn ) `e decrescente. Infatti, se consideriamo la 5
funzione f associata alla successione (bn ), f (x) = xα+ x ristretta all’intervallo [2, +∞), si ha che f `e derivabile con 0
f (x) = x
α+ x5
·
¸
5 α (1 − log x) + . 2 x x
Essendo α < 0 si ha che si ha f 0 (x) < 0 per x ≥ 3. Quindi f `e decrescente su [3, +∞). Ne segue che la successione (bn ) `e decrescente per ogni n ≥ 3. Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge, non assolutamente, se −1 ≤ α < 0. In definitiva converge se α < 0. k) La serie mente).
∞ X
e−n
4 +αn
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-
n=0
Poich`e per ogni α ∈ R si ha che e
−n4 +αn
µ
¶
1 , =o n2
n → +∞
34
Serie numeriche: esercizi svolti
ed essendo convergente la serie
∞ X 1 n=1
n2
, per il criterio del confronto asintotico la
serie data converge per ogni α ∈ R.
Esercizio 5. Determinare per quali valori di x ∈ R convergono le seguenti serie e per tali valori calcolarne la somma: √ converge se x < 3 − 2 3, √ √ √ 3 − 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 2 3;
∞ X
3n a) xn (x − 6)n n=0
somma:
x2 − 6x x2 − 6x − 3
b)
∞ X
converge se x < 21 ; x somma: 1 − 2x
xn
(1 − x)n n=1
c)
∞ µ X n=1
1 1 − log |x|
converge se x < −e2 ,
−1 < x < 0, 0 < x < 1, x > e2 ; 1 − 2 log |x|
¶n
somma:
d)
∞ X
(3x)nx
n=1
e)
converge se 0 < x < 13 ; (3x)x somma: 1 − (3x)x
converge se x < −1, x > 2, (x − 1)2 somma: 2 x −x−2
2n (x − 1)2n n=0
log |x|
∞ X (6 − 2x)n
Svolgimento ·
∞ X
¸
∞ n X 3 3n a) La serie = `e una serie di potenze con ragione xn (x − 6)n x(x − 6) n=0 n=0 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 3 ¯ < 1, cio` . Quindi converge quando ¯¯ e se x(x − 6) x(x − 6) ¯ √ √ √ √ x < 3 − 2 3, 3 − 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 2 3.
Per tali x si ha che la somma `e S(x) =
∞ · X n=0
3 x(x − 6)
¸n
1
= 1−
3 x(x − 6)
=
x2 − 6x . x2 − 6x − 3
Serie numeriche: esercizi svolti
35
¶n ∞ µ X x xn x = `e una serie di potenze con ragione . n (1 − x) 1−x 1−x n=1 n=1 ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ ¯ < 1, cio` Quindi converge quando ¯ e se x < 21 . Per tali x si ha che la somma 1 − x¯ `e ¶n ¶n ∞ µ ∞ µ X X x x 1 x . S(x) = = −1= −1= x 1−x 1−x 1 − 2x 1− n=1 n=0 1−x
b) La serie
∞ X
∞ µ X
¶
n 1 1 c) La serie `e una serie di potenze con ragione . Quindi 1 − log |x| 1 − log |x| n=1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ < 1, cio` converge quando ¯¯ e se 1 − log |x| ¯
x < −e2 ,
−1 < x < 0,
0 < x < 1,
x > e2 .
Per tali x si ha che la somma `e S(x) =
∞ µ X n=1
=
d) La serie
∞ X
(3x)nx =
n=1
∞ X
1 1 − log |x|
¶n
=
∞ µ X n=0
1 1 1− 1 − log |x|
−1=
1 1 − log |x|
¶n
−1=
1 − 2 log |x| . log |x|
[(3x)x ]n `e una serie di potenze con ragione (3x)x . Quindi
n=1
converge quando (3x)x < 1, cio`e se 0 < x < 31 . Per tali x si ha che la somma `e S(x) =
∞ X
nx
(3x)
=
n=1
e) La serie
∞ X
(3x)nx − 1 =
n=0
∞ X (6 − 2x)n
¸ ∞ · X 3−x n
`e una serie di potenze con ragione (x − 1)2 ¯ ¯ ¯ 3−x ¯ 3−x ¯ < 1, cio` . Quindi converge quando ¯¯ e se x < −1, x > 2. Per tali 2 (x − 1) (x − 1)2 ¯ x si ha che la somma `e n=0
2n (x − 1)2n
S(x) =
=
1 (3x)x − 1 = . 1 − (3x)x 1 − (3x)x
n=0
¸ ∞ · X 3−x n n=0
(x − 1)2
=
1 (x − 1)2 . = 2 3−x x −x−2 1− (x − 1)2
Esercizio 6. Sia (an ) una successione positiva e crescente. Stabilire se convergono o non convergono le seguenti serie:
36
Serie numeriche: esercizi svolti
a)
∞ X
an
[diverge]
n=0
b)
∞ X
(−1)n an
[non converge]
n=0
Svolgimento a) La serie
∞ X
an `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).
n=0
Poich`e (an ) `e crescente, per le propriet`a delle successioni monotone si ha che lim an = l > 0. Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la conn
vergenza della serie, si ha che la serie data diverge. b) La serie
∞ X
(−1)n an `e a termini di segno alterno. Poich`e (an ) `e crescente, per le
n=0
propriet`a delle successioni monotone si ha che lim an = l > 0. Ne segue che n
lim(−1)n an 6= 0. n
Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, si ha che la serie data non converge. Osservazione Essendo una serie a termini di segno alterno, una condizione sufficiente per la convergenza `e il criterio di Leibiniz, in base al quale se lim an = 0 e la successione n
(an ) `e decrescente, allora la serie data converge. Poich`e questo criterio costituisce una condizione sufficiente, `e errato dire che la serie data non converge perch`e la successione (an ) non `e decrescente. Inoltre, negli Esercizi 3 s) e t) le serie convergono anche se (an ) non `e decrescente.
* Esercizio 7. Sia (an ) una successione positiva tale che lim n
Determinare il carattere della serie
an = α ∈ ]0, +∞]. n
∞ X 1 n=0
ean
.
[converge]
Serie numeriche: esercizi svolti
37
Svolgimento La serie Poich`e
∞ X 1
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).
ean
n=0 an lim n n
= α ∈ ]0, +∞], allora si ha che lim an = +∞. Quindi apn = o (ean ) per n
n → +∞ per ogni p > 0. Distinguiamo due casi: 1) se α 6= +∞, allora an ∼ αn per n → +∞. Quindi µ
α2 n2 ∼ a2n = o (ean ) Poich`e la serie
∞ X 1 n=1
n2
=⇒
¶
1 1 =o , a n e n2
n → +∞.
converge, per il criterio del confronto asintotico anche la
serie data converge. 2) se α = +∞, allora n = o(an ) per n → +∞. Quindi µ
n2 = o(a2n ) = o (ean ) Poich`e la serie
∞ X 1 n=1
n2
=⇒
¶
1 1 , =o ea n n2
n → +∞.
converge, per il criterio del confronto asintotico anche la
serie data converge. Osservazione Nel caso in cui α = 0 non si pu`o concludere nulla, come mostra l’Esercizio 8. * Esercizio 8. Sia (an ) una successione positiva tale che lim n
Dimostrare che la serie
∞ X 1
ean non si pu`o concludere nulla.
an = α ∈ [0, +∞]. log n
diverge se α < 1, converge se α > 1, mentre per α = 1
n=0
Svolgimento La serie
∞ X 1
`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente). ean Distinguiamo due casi: n=0
1) se α = +∞, allora per la definizione di limite, esiste N > 1 tale che per ogni n ≥ N si ha
an log n
> 2. Quindi an > log n2 per n ≥ N e di conseguenza 1 1 < 2, a n e n
∀n ≥ N.
38
Serie numeriche: esercizi svolti
Poich`e la serie converge.
∞ X 1 n=1
n2
converge, per il criterio del confronto anche la serie data
2) se α 6= +∞, allora per la definizione di limite, preso ε > 0 esiste Nε > 1 tale che an log n
per ogni n ≥ Nε si ha α−ε
1 e α = 1. a) Se α < 1, allora per 0 < ε < 1 − α si ha che α + ε < 1. Poich`e la serie ∞ X 1 diverge, per il criterio del confronto anche la serie data diverge. α+ε n n=1 b) Se α > 1, allora per 0 < ε < α − 1 si ha che α − ε > 1. Poich`e la serie ∞ X 1 converge, per il criterio del confronto anche la serie data converge. α−ε n n=1 c) Se α = 1, allora per ε > 0 si ha che 1 n1+ε La serie
∞ X
1
n=1
n1−ε
0, si ha anche che ³
1/2
logp n = o e(log n)
´
,
n → +∞,
∀p > 0.
Quindi per ogni p > 0 si ha ¶
µ
1 1 1 , = = o 1/2 a e n n logp n n e(log n)
n → +∞.
∞ X
1 1 converge se e solo se p > 1. Infatti, posto bn = n log p p n n log n n=2 1 consideriamo la funzione f (x) = x logp x associata a bn , cio`e tale che f (n) = bn
La serie
per ogni n ∈ N, n ≥ 2. Si ha che f `e positiva e decrescente su [2, +∞). Quindi ∞ X
per il criterio di McLaurin la serie improprio
Z +∞ 2
Z +∞ 2
f (x) dx converge. Si ha che
f (x) dx =
Z +∞ 2
posto t = log x, da cui dt = = lim
bn converge se e solo se l’integrale
n=2
Z log c 1
c→+∞ log 2
tp
1 x
1 dx = lim c→+∞ x logp x
Z c 2
1 dx = x logp x
dx, si ottiene
dt =
Z +∞ 1 log 2
tp
(
dt :
diverge
se p ≤ 1,
converge se p > 1.
Quindi se si considera p > 1, essendo µ
¶
1 1 =o , a n e n logp n ∞ X
n → +∞,
1 convergente, per il criterio del confronto asintotico la n logp n n=2 serie data converge. an = 1 non possiamo concludere Questi due esempi mostrano che se lim n log n nulla. e la serie
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Serie numeriche: esercizi svolti
Osservazione Non `e vero che an ∼ bn ,
n → +∞
=⇒
ean ∼ ebn ,
n → +∞.
Infatti, nei due esempi visti precedentemente si ha log n − (log n)1/2 ∼ log n + (log n)1/2 , e elog n−(log n)
1/2
³
1/2
= o elog n+(log n)
n → +∞
´
,
n → +∞.
Quindi se 0 < α < +∞ non `e vero che an ∼ α log n,
n → +∞
=⇒
ean ∼ eα log n = nα ,
n → +∞.
Pertanto `e errato dire che se 0 < α < +∞, allora an ∼ α log n,
n → +∞
=⇒
ean ∼ eα log n = nα ,
e di conseguenza concludere che 1 1 ∼ α, a n e n
n → +∞.
n → +∞