Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Dopo aver verificato la convergenza, calcolare la somma delle seguenti serie: a)

∞ X

n (n + 1)! n=1

[1] ·

∞ X

1 b) n(n + 3) n=1 c)

∞ X n=1

d)

∞ X

2n + 1 + 1)2 µ

n=2

e)

f)

1 n2

¶

[− log 2] · ¸

∞ X

1 2−1 4n n=1 ∞ µ X 1 n=1

1 √ −√ n n+1

1 2

¶

[1] · ¸

∞ X

1 g) n(n + 1)(n + 2) n=1

1 4

Svolgimento a) La serie

¸

[1]

n2 (n

log 1 −

11 18

∞ X

n è a termini positivi. Poichè (n + 1)! n=1 µ

¶

n 1 1 n = = =o , (n + 1)! (n + 1)n(n − 1)! (n + 1)(n − 1)! n2 1

n → +∞

2

Serie numeriche: esercizi svolti

ed essendo convergente la serie

∞ X 1 n=1

serie data converge.

n2

, per il criterio del confronto asintotico la

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che n n+1−1 1 1 = = − . (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)! Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale n-esima della serie è Sn

µ

n X

n X k 1 1 = = − (k + 1)! k=1 k! (k + 1)! k=1

=1−

¶

=

1 1 1 1 1 1 + − + ··· + − =1− . 2! 2! 3! n! (n + 1)! (n + 1)!

Ne segue che la somma della serie è µ

1 S = lim Sn = lim 1 − n n (n + 1)! Pertanto si ha

b) La serie

¶

= 1.

∞ X

n = 1. (n + 1)! n=1

∞ X

1 è a termini positivi. Poichè n(n + 3) n=1 1 1 ∼ 2, n(n + 3) n

ed essendo convergente la serie serie data converge.

∞ X 1 n=1

n2

n → +∞


Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che (

A B (A + B)n + 3A 1 = + = n(n + 3) n n+3 n(n + 3) Quindi

µ

=⇒

A=

1 3

B = − 13 .

¶

1 1 1 1 = − . n(n + 3) 3 n n+3 Ne segue che la serie data non è telescopica. Nonostante ciò è possibile calcolare la somma della serie. Si ha che la somma parziale n-esima della serie è Sn

n X

n X 1 1 = = k(k + 3) 3 k=1 k=1

µ

1 1− 3 µ 1 1+ = 3

=

µ

1 1 − k k+3

¶

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + ··· + − 4 2 5 3 6 4 7 n n+3 ¶ µ ¶ 1 1 1 1 11 1 + − = − . 2 3 n+3 3 6 n+3

¶

=


3

Ne segue che la somma della serie è S = lim Sn = lim n

Pertanto si ha ∞ X

c) La serie

n=1

n

1 3

µ

11 1 − 6 n+3

¶

=

11 . 18

∞ X

1 11 = . n(n + 3) 18 n=1 2n + 1 è a termini positivi. Poichè + 1)2

n2 (n

2n + 1 2 ∼ 3, 2 + 1) n

n → +∞

n2 (n


∞ X 1 n=1


n3


Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 2n + 1 = (n + 1)2 − n2 . Quindi si ha che

2n + 1 (n + 1)2 − n2 1 1 = = 2− . 2 2 2 2 n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1)2

Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale n-esima della serie è Sn

µ

n X

n X 2k + 1 1 1 = = − 2 2 2 k (k + 1) k (k + 1)2 k=1 k=1

=1−

¶

=

1 1 1 1 1 1 + − + ··· + 2 − =1 − . 2 4 4 9 n (n + 1) (n + 1)2


1 S = lim Sn = lim 1 − n n (n + 1)2 Pertanto si ha ∞ X

¶

= 1.

∞ X

2n + 1 = 1. 2 (n + 1)2 n n=1 µ

1 d) La serie log 1 − 2 n n=2

¶

è a termini negativi. Consideriamo la serie ∞ · X n=2

µ

1 − log 1 − 2 n

¶¸

.

` una serie a termini positivi. Poichè log (1 + x) = x + o(x) per x → 0, si ha che E µ

1 − log 1 − 2 n

¶

µ

1 1 = 2 +o n n2

¶

∼

1 , n2

n → +∞

4


∞ X 1

ed essendo convergente la serie serie

∞ · X

µ

− log 1 −

n=2

converge.

1 n2

n=1

¶¸

n2


converge. Quindi per l’algebra delle serie, la serie data

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che µ

log 1 −

1 n2

¶

= log

n2 − 1 (n + 1)(n − 1) n+1 n = log = log − log . n2 n2 n n−1


µ

n X

1 = log 1 − 2 k k=2

¶

=

n µ X k=2

k+1 k log − log k k−1

¶

=

3 4 3 n+1 n − log 2 + log − log + · · · + log − log = 2 3 2 n n−1 n+1 = − log 2 + log . n

= log


S = lim Sn = lim − log 2 + log n

Pertanto si ha

∞ X

µ

log 1 −

n=2

e) La serie

n

1 n2

n+1 n

¶

= − log 2.

¶

= − log 2.

∞ X

1 è a termini positivi. Poichè 2−1 4n n=1 1 1 ∼ 2, 4n2 − 1) 4n


∞ X 1 n=1

n2

n → +∞


Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 A B (2A + 2B)n + A − B 1 = = + = 4n2 − 1 (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1 4n2 − 1 (

=⇒ Quindi 1 1 = 4n2 − 1 2

A=

1 2

B = − 12 . µ

¶

1 1 − . 2n − 1 2n + 1


5


n X

n X 1 1 = = 2 4k − 1 k=1 2 k=1

µ

1 1 − 2k − 1 2k + 1

¶

=

µ

1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ··· + − 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1

¶

µ

¶

1 1 = 1− . 2 2n + 1


1 1 S = lim Sn = lim 1− n n 2 2n + 1 ∞ X

Pertanto si ha

n=1

¶

1 = . 2

1 1 = . −1 2

4n2

¶

∞ µ X

1 1 √ −√ f ) La serie è a termini positivi. Poichè n n+1 n=1 √ √ 1 1 n+1− n 1 1 ³√ √ −√ = √ √ =√ √ 3 , √ ´∼ n n+1 n n+1 2n 2 n n+1 n+1+ n ed essendo convergente la serie

∞ X 1 3

n=1


n2

n → +∞


Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che la serie data è telescopica. La somma parziale n-esima della serie è Sn =

n µ X 1 k=1

1 √ −√ k+1 k

¶

=

1 1 1 1 1 1 = 1 − √ + √ − √ + ··· + √ − √ =1 − √ . n n+1 n+1 2 2 3 Ne segue che la somma della serie è µ

1 S = lim Sn = lim 1 − √ n n n+1 Pertanto si ha

∞ µ X 1 n=1

g) La serie

1 √ −√ n n+1

¶

= 1.

¶

= 1.

∞ X

1 è a termini positivi. Poichè n(n + 1)(n + 2) n=1 1 1 ∼ 3, n(n + 1)(n + 2) n


∞ X 1 n=1

n3

n → +∞


6


Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 A B (A + B)n + 2A = + = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) (

=⇒ Quindi

A=

1 2

B = − 12 .

·

¸

1 1 1 1 = − . n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)

Ne segue che la serie data è telescopica. La somma parziale della serie è Sn =

·

n X

¸

n X 1 1 1 1 = − = k(k + 1)(k + 2) k=1 2 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k=1

·

¸

1 1 1 1 1 1 1 − + − + ··· + − = = 2 2 6 6 12 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) · ¸ 1 1 1 = − . 2 2 (n + 1)(n + 2) Ne segue che la somma della serie è ·

¸

1 1 1 1 S = lim Sn = lim − = . n n 2 2 (n + 1)(n + 2) 4 Pertanto si ha

∞ X

1 1 = . n(n + 1)(n + 2) 4 n=1

Esercizio 2. Determinare il carattere delle seguenti serie: a)

b)

∞ X

1 log (n + 1) n=2 ∞ X log n n=1

c)

[diverge positivamente]

[converge]

n4

∞ X log n

[converge]

3

n=1 ∞ X

n2 µ

n+1 d) log n2 n=1 ∞ X

¶

1 arctan √ n n=1 √ ∞ √ X n+2− n−2 f) n n=2 e)

[diverge negativamente]


[converge]


g)

h)

k)

i)

j)

l)

∞ X

1 log √ n n=1


∞ X

1 log √ n3 n=2 ∞ X

1

n=1

2log n



∞ X

1 √ n log n3 n=2 ∞ X

1

n=1

2log (n!)

∞ X

7


[converge]

32n cosn (nπ)

[indeterminata]

n=1

m)

2 ∞ X 3n

n=1

n)

∞ X n43 n=1

o)

[converge]

(n!)n

∞ X

[converge]

6n 1

[converge]

¡4n¢

n=1 3n

p)

∞ X n=1

q)

∞ X n=2

r)

v)

1 n+2

[diverge positivamente] ¶n

[converge]

[converge assolutamente]

n(n + 1)

µ ¶ 2 ∞ X 1 n+2 n n=1

u)

1 √ n log n

∞ X sin (4n3 ) n=1

t)

[converge]

3n

∞ µ X n=0

s)

2

¡3n+2¢

∞ X

5n

n µ

¶n2

n=2

n−2 n

∞ X

1

n=2

(log n)log n

3n


[converge]

[converge]

8


w)

∞ X nn n=1

x)

∞ X

[converge]

(2n)! r

4 n3


ń


n 1+

n=1

y)

∞ X n=1

z)

1

³

nn+ n n+

1 n

∞ µ X 1 n=1

1 − sin n n

¶

[converge]

Svolgimento ∞ X

1 è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positilog (n + 1) n=2 vamente).

a) La serie

Poichè log (n + 1) = o(n + 1) per n → +∞, si ha che µ

¶

1 1 =o , n+1 log (n + 1)

n → +∞

∞ X

1 divergente, per il criterio del confronto asintotico n+1 n=2 anche la serie data è divergente. ed essendo la serie

b) La serie mente).

∞ X log n n=1

n4

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-

Poichè log n = o(n) per n → +∞, si ha che ¶

µ

log n 1 , =o 4 n n3

n → +∞

∞ X 1

convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n3 la serie data è convergente.

ed essendo la serie

n=1

c) La serie mente).

∞ X log n 3

n=1

n2 ³


1

Poichè log n = o n 3

´

per n → +∞, si ha che log n 3

n2

µ

=o

1 7

n6

¶

,

n → +∞


ed essendo la serie

9

∞ X 1

7 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n6 la serie data è convergente.

n=1

∞ X

µ

¶

n+1 log d) La serie è a termini negativi. Infatti, n2 n=1 o diverge (negativamente). Osserviamo che

µ

n+1 lim log n n2

n+1 n2

< 1. Quindi o converge

¶

= −∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data è divergente. ∞ X

1 arctan √ è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin n=1 vamente).

e) La serie

Poichè arctan x = x + o(x) per x → 0, si ha che µ

1 1 1 arctan √ = √ + o √ n n n ed essendo la serie

¶

∼

1 1

n2

,

n → +∞

∞ X 1

1 divergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data è divergente. √ ∞ √ X n+2− n−2 è a termini positivi. Quindi o converge o diverge f ) La serie n n=2 (positivamente).

n=1

Si ha che √ √ 2 n+2− n−2 4 ´ ∼ 3, = ³√ √ n n2 n n+2+ n−2 ed essendo la serie

n → +∞

∞ X 2

3 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data è convergente.

n=1

∞ X

√ 1 è a termini negativi. Infatti log √1n = − log n. Quindi o log √ n n=1 converge o diverge (negativamente).

g) La serie

Osserviamo che lim log n

√ n = +∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data è divergente.

10


∞ X

√ 1 log √ è a termini negativi. Infatti log √1 3 = − log n3 . Quindi o n n3 n=2 converge o diverge (negativamente).

h) La serie

Osserviamo che lim log n

√ n3 = +∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data è divergente. k) La serie mente).

∞ X

1

n=1

2log n


Osserviamo che alog b = blog a .

∀a, b > 0,

Infatti, poichè se N > 0 si ha che N = elog N , allora se a, b > 0 si ha che alog b = elog (a

log b

Pertanto si ha che

) = elog b log a = elog (blog a ) = blog a .

∞ X

1

n=1

2log n

=

∞ X

1

n=1

nlog 2

.

Poichè log 2 < 1, ne segue che la serie data è divergente. ∞ X

1 √ è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin log n3 n=2 vamente).

i) La serie

√ Poichè log n = o ( n) per n → +∞, si ha che √ √ n log n3 = 3 n log n = o(n), Quindi si ha che

µ

¶

1 1 =o √ , n n log n3 ∞ X 1

ed essendo la serie

n la serie data è divergente.

n → +∞.

n → +∞

divergente, per il criterio del confronto asintotico anche

n=2

j) La serie mente).

∞ X

1

n=1

2log (n!)



11

Poichè n! ≥ n2 per ogni n ≥ 4, si ha che per ogni n ≥ 4 1

1

≤

2log (n!)

2log (n2 )

=

1 22 log n

=

1 4log n

.

Osserviamo che alog b = blog a .

∀a, b > 0,

Infatti, poichè se N > 0 si ha che N = elog N , allora se a, b > 0 si ha che alog b = elog (a Pertanto si ha che

log b

) = elog b log a = elog (blog a ) = blog a .

∞ X

1

n=1

4log n

=

∞ X

1

n=1

nlog 4

.

Poichè log 4 > 1, ne segue che questa serie converge e per il criterio del confronto la serie data è convergente. l) La serie

∞ X

32n cosn (nπ) è a termini di segno alterno. Infatti, essendo cos (nπ) =

n=1

(−1)n , si ha che ∞ X

32n cosn (nπ) =

n=1

∞ X

(−1)n 9n =

n=1

∞ X

(−9)n .

n=1

Ne segue che la serie data è una serie geometrica con ragione −9 < −1. Quindi è indeterminata. 2 ∞ X 3n

m) La serie mente).

n=1

(n!)n


Si ha che

s n

lim n

3n 3n2 = lim = 0 < 1. n n! (n!)n

Quindi per il criterio della radice la serie data converge. n) La serie

∞ X n43 n=1

6n

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).

Si ha che

s

lim n

n

n43 = lim n 6n

√ n n43 1 = < 1. 6 6

Quindi per il criterio della radice la serie data converge.

12


∞ X

o) La serie

1

e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente). ¡4n¢ `

n=1 3n

Posto

1 (3n)! n! an = ¡4n¢ = , (4n)! 3n

si ha che an+1 [3(n + 1)]! (n + 1)! (4n)! (3n + 3)! (n + 1)! (4n)! = · = · = an [4(n + 1)]! (3n)! n! (4n + 4)! (3n)! n! =

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) (3n)! (n + 1) n! (4n)! · = (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1) (4n)! (3n)! n! =

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(n + 1) . (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)

Ne segue che lim n

an+1 (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(n + 1) 27 = lim = < 1. n an (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1) 256

Quindi per il criterio del rapporto la serie data converge. p) La serie

∞ X n=1

mente).

2

¡3n+2¢


3n

Si ha che 2

¡3n+2¢ = 3n

Poichè

4 (3n)! 4 4 (3n)! = = . (3n + 2)! (3n + 2)(3n + 1) (3n)! (3n + 2)(3n + 1) 4 4 ∼ 2, (3n + 2)(3n + 1) 9n

ed essendo la serie

n → +∞

∞ X 1

convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data è convergente. n=1

q) La serie mente). Poichè

∞ X n=2

1 √ è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivan log n

√ n log n ≤ log n, si ha che per ogni n ≥ 1 1 1 √ ≥ n log n log n ∞ X

1 divergente, per il criterio del log n n=2 confronto anche la serie data è divergente. ed essendo (vedi Eserczio 2 a)) la serie


∞ µ X

r) La serie

n=0

1 n+2

13

¶n

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-

vamente). Si ha che

sµ

lim

n

n

1 n+2

¶n

= lim n

1 = 0 < 1. n+2

Quindi per il criterio della radice la serie data converge. ∞ X sin (4n3 )

s) La serie

n=1

n(n + 1)

è a termini di segno variabile.

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cioè la convergenza della serie ∞ X | sin (4n3 )| . n(n + 1) n=1 Essendo | sin (4n3 )| ≤ 1, si ha che per ogni n ≥ 1 1 | sin (4n3 )| ≤ . n(n + 1) n(n + 1) Poichè

1 n(n+1)

1 n2

∼

per n → +∞ ed essendo convergente la serie

∞ X 1 n=1

∞ X

n2

, per il

1 converge. Quindi per il n(n + 1) n=1 ∞ X | sin (4n3 )| criterio del confronto anche la serie converge. Ne segue che la serie n(n + 1) n=1 data converge assolutamente e di conseguenza converge. criterio del confronto asintotico anche la serie

µ ¶ 2 ∞ X 1 n+2 n

t) La serie

5n (positivamente).

n

n=1

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge

Si ha che s

lim

1 5n

n

n

µ

n+2 n

¶n2

1 = lim n 5

µ

n+2 n

¶n

µ

1 2 = lim 1+ n 5 n

¶n

=

e2 > 1. 5

Quindi per il criterio della radice la serie data diverge. u) La serie

∞ X

µ n

3

n=2

n−2 n

¶n2

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (po-

sitivamente). Si ha che s

lim n

n

µ

3n

n−2 n

¶n2

µ

= lim 3 n

n−2 n

¶n

µ

= lim 3 1 − n

Quindi per il criterio della radice la serie data converge.

2 n

¶n

=

3 < 1. e2

14


v) La serie

∞ X

1

n=2

(log n)log n


vamente).

Osserviamo che per ogni α ≥ 0 si ha che nα = o (log n)log n , per n → +∞. Infatti, lim n

nα log n

(log n)

= lim n

eα log n (log n)log n

=

posto t = log n, µ

eαt eα = lim t→+∞ tt t→+∞ t

= lim

¶t

= lim et log t→+∞

eα t

= lim et(α−log t) = 0. t→+∞

Ne segue che per ogni α ≥ 0 µ

1 (log n)log n

¶

1 =o , nα

Considerando α > 1, essendo la serie

n → +∞.

∞ X 1

convergente, per il criterio del connα fronto asintotico anche la serie data è convergente. n=1

w) La serie mente).

∞ X nn

Posto an =


(2n)!

n=1

nn (2n)! ,

si ha che

an+1 (n + 1)(n+1) (2n)! (n + 1)n (n + 1) (2n)! = · n = · n = an [2(n + 1)]! n (2n + 2)! n (2n)! (n + 1)n (n + 1) · = = (2n + 2)(2n + 1) (2n)! nn

µ

n+1 n

¶n

·

n+1 . (2n + 2)(2n + 1)

Ne segue che µ

lim n

an+1 n+1 = lim n an n

¶n

·

n+1 = 0 < 1. (2n + 2)(2n + 1)

Quindi per il criterio del rapporto la serie data converge. x) La serie

∞ X

r

n 1+

n=1

4 è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin3

vamente).

Osserviamo che

r

lim n 1 + n

4 = +∞. n3

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data è divergente.


∞ X

y) La serie

15

1

nn+ n

³

n+

n=1

1 n


ń

vamente). Osserviamo che 1

1

nn+ n

nn+ n

ń = lim ³ lim ³ n n nn 1 + n + n1

1 n2

1

ń = lim ³ n

nn 1 n2

1+

ń = 1.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data è divergente. ∞ µ X 1

z) La serie

1 − sin n n

n=1

¶

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (posi-

tivamente). Poichè

1 sin x = x − x3 + o(x3 ), 6

x → 0,

si ha che ·

µ

1 1 1 1 1 1 − sin = − − 3 +o n n n n 6n n3 ed essendo la serie

¶¸

µ

1 1 = 3 +o 6n n3

¶

∼

1 , 6n3

n → +∞

∞ X 1

convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n3 la serie data è convergente. n=1

Esercizio 3. Stabilire se convergono, convergono assolutamente o non convergono le seguenti serie: a)

∞ X

(−1)n

n=2

b)

c)

∞ X

1 log (n + 1)

n=1

log n n4

∞ X

log n

(−1)n (−1)n

n=1 ∞ X

e)



3

n2 µ

n+1 d) (−1) log n2 n=1 ∞ X

[converge ma non assolutamente]

n

1 (−1)n arctan √ n n=1

¶

[non converge]


16


f)

g)

∞ X

1 (−1)n log √ n n=1 ∞ X

(−1)n

n=1

h)

∞ X

(−1)n

∞ X

(−1)n

n=1

j)

∞ X

n=1

m)

∞ X

(n!)n

(−1)n

n=1

n)

p)

1 n

[non converge]


cos nπ


n43 6n

[converge asssolutamente]

∞ X (−1)n ¡3n+2¢

n=1

o)


1 log (n + 1) − log n

(−1)n tan

2 ∞ X 3n


n (2n + 1)2

n=1

l)


√ n + log n3

n=1

i)

n+1 n2 + 1

∞ X cos (n + 1)π n=1

k)

[non converge]


3n

∞ X

n23 (−2)n n=1


∞ h X

i

2 arctan (n + 1) − π cos [(n + 1)π]


n=1

Ã

∞ X

n2 + n + 1 sin π q) n+1 n=1 r)

∞ X

cos (nπ)

n=1

*s)

*t)


log n n+1


∞ X

(−1)n n + (−1)n n=2 ∞ X

µ

(−1)n

n=1

*u)

!

∞ X

µ

(−1)

n=1

n

1 (−1)n + n n2

[converge ma non assolutamente] ¶

(−1)n 1 √ + n n

[converge ma non assolutamente] ¶

[non converge]


*v)

∞ X

( 1 n

(−1) bn , bn =

n=1

n2 1 n

17

se n è pari,

[non converge]

se n è dispari


∞ X

(−1)n

n=2

1 è a termini di segno alterno. log (n + 1)

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cioè la convergenza della serie ∞ X 1 . Per l’Esercizio 2 a) questa serie diverge. Quindi la serie data log (n + 1) n=2 non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn =

1 log (n+1) ,

si ha che:

1 = 0; n n log (n + 1) 2) la successione (bn ) è decrescente. Infatti, 1) lim bn = lim

log (n + 1) < log (n + 2)

=⇒

bn+1 =

1 1 < = bn . log (n + 2) log (n + 1)

Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge. b) La serie

∞ X

(−1)n

n=1

log n è a termini di segno alterno. n4

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cioè la convergenza della serie ∞ X log n . Per l’Esercizio 2 b) questa serie converge. Quindi la serie data conn4 n=1 verge assolutamente e di conseguenza converge. c) La serie

∞ X

(−1)n

log n

è a termini di segno alterno. 3 n2 Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cioè la convergenza della serie ∞ X log n 3 . Per l’Esercizio 2 c) questa serie converge. Quindi la serie data conn=1 n 2 verge assolutamente e di conseguenza converge. n=1

d) La serie

∞ X

µ

(−1)n log

n=1

n+1 n2

¶

è a termini di segno alterno.

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cioè la convergenza della serie µ ¶¸ µ ¶ ∞ · ∞ X X n+1 n+1 − log =− log . Per l’Esercizio 2 d) questa serie diverge. n2 n2 n=1 n=1 Quindi la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Osserviamo che µ

n+1 lim(−1) log n n2 n

¶

6 ∃.

18


Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data non converge. e) La serie

∞ X

1 (−1)n arctan √ è a termini di segno alterno. n n=1

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cioè la convergenza della serie ∞ X 1 arctan √ . Per l’Esercizio 2 e) questa serie diverge. Quindi la serie data n n=1 non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn = arctan √1n , si ha che: 1 1) lim bn = lim arctan √ = 0; n n n 2) la successione (bn ) è decrescente. Infatti 1 1 √ 0]

(n + 1)α

∞ X

n αn n + 1 n=1 ∞ X

n

α

[converge, anche assolutamente, se |α| < 1] ³

(−1) n

1−e

1 n

"

´

converge ma non assolutamente se 0 ≤ α < 1

n=1

g)

∞ X

" n

2n

(−1) (tan α)

h)

"

√ n n5 (−1) n n

α

∞ X

π 4

+ kπ,

#

∀k ∈ Z

converge assolutamente se α < −1,

#

converge ma non assolutamente se −1 ≤ α < 0

n=2

k)

converge, anche assolutamente, se − π4 + kπ < α
1 e divergente se α ≤ 1, per il criterio nα del confronto la serie data converge se α > 1. Essendo la serie

n=1

c) La serie

∞ X log n n=1

nα


³

´

Poichè log n = o nβ per n → +∞ per ogni β > 0, si ha che µ

log n 1 =o α α−β n n Essendo la serie

∞ X

1

n=1

nα−β

¶

,

n → +∞.

convergente se e solo se α − β > 1, per il criterio del

confronto asintotico la serie data converge se α > 1 + β, per ogni β > 0. Quindi per ogni α > inf{1 + β : β > 0} = 1 la serie data converge. Consideriamo ora 0 < α ≤ 1. Poichè ¶

µ

1 log n , =o nα nα ed essendo divergente la serie asintotico la serie data diverge.

∞ X 1 n=1

nα

n → +∞

con α ≤ 1, per il criterio del confronto

Infine se α ≤ 0 non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data diverge. Quindi la serie data converge se α > 1. d) La serie

∞ π X 2 − arctan n n=0

(n + 1)α

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (posi-

tivamente). Si ha che

arctan n =

1 π − arctan . 2 n

Poichè arctan x = x + o(x) per x → 0, ne segue che π 2

µ

arctan n1 − arctan n 1 1 = = α+1 + o α α α+1 (n + 1) (n + 1) n n

¶

∼

1 nα+1

,

n → +∞.


Essendo la serie

∞ X

1

n=1

nα+1

31

convergente se e solo se α > 0, per il criterio del confronto

asintotico la serie data converge se α > 0. ∞ X

n αn è a termini positivi se α > 0, è nulla se α = 0 ed è a termini n + 1 n=1 di segno alterno se α < 0. Consideriamo quindi α 6= 0.

e) La serie

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie ∞ X n |α|n . n + 1 n=1 Poichè

n |α|n ∼ |α|n , n+1

ed essendo la serie geometrica

∞ X

n → +∞

|α|n convergente se e solo se |α| < 1, per il

n=1

∞ X

n |α|n converge se e solo se |α| < 1. n + 1 n=1 Quindi la serie data converge assolutamente se e solo se |α| < 1. criterio del confronto asintotico la serie

Consideriamo ora |α| ≥ 1 e studiamo la convergenza. Osserviamo che  1   

se α = 1, n αn = +∞ se α > 1, lim n n+1    6∃ se α ≤ −1. Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che per |α| ≥ 1 la serie data non converge. Quindi la serie data converge se |α| < 1. ∞ X

*f ) La serie

n

(−1) n

³

α

1−e

1 n

´

=

n=1

alterno.

∞ X

³

1

(−1)n+1 nα e n − 1

´

è a termini di segno

n=1

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie ∞ X

³

1

´

nα e n − 1 .

n=1

Poichè ex = 1 + x + o(x) per x → 0, si ha che ³

1

·

´

nα e n − 1 = nα Essendo la serie

∞ X

µ ¶¸

1 1 +o n n

1 n1−α

n=1 ∞ X

asintotico la serie

n=1

=

1 n1−α

µ

+o

1 n1−α

¶

∼

1 n1−α

,

n → +∞.

convergente se e solo se α < 0, per il criterio del confronto

³

1

´

nα e n − 1 converge se e solo se α < 0. Quindi la serie data

converge assolutamente se e solo se α < 0.

32


³

´

1

Consideriamo ora α ≥ 0 e studiamo la convergenza. Poniamo bn = nα e n − 1 . Per quanto osservato in precedenza, si ha che bn ∼

1 n1−α

per n → +∞. Allora si

ha che:  0   

1) lim bn = n

  

se 0 ≤ α < 1,

1

se α = 1,

+∞

se α > 1.

Quindi se α ≥ 1 non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data non converge. Limitiamoci ora a considerare il caso 0 ≤ α < 1. 2) Per 0 ≤ α < 1 la successione (bn ) è decrescente. Infatti, se consideriamo ³

´

1

la funzione f associata alla successione (bn ), f (x) = xα e x − 1

ristretta

all’intervallo [1, +∞), si ha che f è derivabile con h

i

1

f 0 (x) = xα−2 e x (αx − 1) − αx . Poichè et = 1 + t + o(t) per t → 0, si osserva che h

lim

x→+∞

·µ

i

1 x

e (αx − 1) − αx = lim

x→+∞

·

= lim

x→+∞

µ ¶¶

1 1 1+ +o x x

¸

(αx − 1) − αx =

¸

αx − 1 + α −

1 + o(1) − αx = α − 1 < 0. x 1

Ne segue che esiste N ∈ N tale che per ogni x ≥ N si ha e x (αx − 1) − αx < 0. Di conseguenza per ogni x ≥ N si ha f 0 (x) < 0 e quindi f è decrescente su [N, +∞). Ne segue che la successione (bn ) è decrescente per ogni n ≥ N . Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge, non assolutamente, se 0 ≤ α < 1. In definitiva converge se α < 1. g) La serie

∞ X

(−1)n (tan α)2n è a termini di segno alterno.

n=0

Osserviamo che

∞ X

(−1)n (tan α)2n =

n=0

∞ ³ X

− tan2 α

ń

.

n=0

Quindi è una serie geometrica con ragione − tan2 α. Pertanto converge, anche assolutamente, se e solo se tan2 α < 1, cioè per − π4 + kπ < α < k ∈ Z.

π 4

+ kπ, per ogni


h) La serie

∞ X

(−1)n nα

33

√ n n5 è a termini di segno alterno.

n=2

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie ∞ ∞ √ X X 5 n nα n5 = nα+ n . n=2

n=2

Poichè 5

nα+ n ∼ nα , ∞ X

ed essendo la serie

n → +∞

nα convergente se e solo se α < −1, per il criterio del

n=2

confronto asintotico la serie

∞ X

5

nα+ n converge se e solo se α < −1 e di conseguenza

n=2

la serie data converge assolutamente se e solo se α < −1. Consideriamo ora α ≥ −1 e studiamo la convergenza. Poniamo bn = nα

√ n n5 =

5

nα+ n . Per quanto osservato in precedenza, si ha che bn ∼ nα per n → +∞. Allora si ha che:

 0   

1) lim bn = n

  

1

se −1 ≤ α < 0, se α = 0,

+∞ se α > 0.

Quindi se α ≥ 0 non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data non converge. Limitiamoci ora a considerare il caso −1 ≤ α < 0. 2) Per −1 ≤ α < 0 la successione (bn ) è decrescente. Infatti, se consideriamo la 5

funzione f associata alla successione (bn ), f (x) = xα+ x ristretta all’intervallo [2, +∞), si ha che f è derivabile con 0

f (x) = x

α+ x5

·

¸

5 α (1 − log x) + . 2 x x

Essendo α < 0 si ha che si ha f 0 (x) < 0 per x ≥ 3. Quindi f è decrescente su [3, +∞). Ne segue che la successione (bn ) è decrescente per ogni n ≥ 3. Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge, non assolutamente, se −1 ≤ α < 0. In definitiva converge se α < 0. k) La serie mente).

∞ X

e−n

4 +αn


n=0

Poichè per ogni α ∈ R si ha che e

−n4 +αn

µ

¶

1 , =o n2

n → +∞

34



∞ X 1 n=1

n2


serie data converge per ogni α ∈ R.

Esercizio 5. Determinare per quali valori di x ∈ R convergono le seguenti serie e per tali valori calcolarne la somma: √ converge se x < 3 − 2 3,  √ √ √  3 − 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 2 3; 

∞ X

3n a) xn (x − 6)n n=0





 

    

somma:

x2 − 6x x2 − 6x − 3 

b)

∞ X

converge se x < 21 ;   x somma: 1 − 2x

xn

(1 − x)n n=1 

c)

∞ µ X n=1

1 1 − log |x|

converge se x < −e2 ,

   −1 < x < 0, 0 < x < 1, x > e2 ;   1 − 2 log |x| 

¶n

somma: 

d)

∞ X

 

(3x)nx

n=1

e)

converge se 0 < x < 13 ; (3x)x somma: 1 − (3x)x

converge se x < −1, x > 2,  (x − 1)2 somma: 2 x −x−2

2n (x − 1)2n n=0

        

log |x|



∞ X (6 − 2x)n



    

Svolgimento ·

∞ X

¸

∞ n X 3 3n a) La serie = è una serie di potenze con ragione xn (x − 6)n x(x − 6) n=0 n=0 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 3 ¯ < 1, cio` . Quindi converge quando ¯¯ e se x(x − 6) x(x − 6) ¯ √ √ √ √ x < 3 − 2 3, 3 − 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 2 3.

Per tali x si ha che la somma è S(x) =

∞ · X n=0

3 x(x − 6)

¸n

1

= 1−

3 x(x − 6)

=

x2 − 6x . x2 − 6x − 3


35

¶n ∞ µ X x xn x = è una serie di potenze con ragione . n (1 − x) 1−x 1−x n=1 n=1 ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ ¯ < 1, cio` Quindi converge quando ¯ e se x < 21 . Per tali x si ha che la somma 1 − x¯ è ¶n ¶n ∞ µ ∞ µ X X x x 1 x . S(x) = = −1= −1= x 1−x 1−x 1 − 2x 1− n=1 n=0 1−x

b) La serie

∞ X

∞ µ X

¶

n 1 1 c) La serie è una serie di potenze con ragione . Quindi 1 − log |x| 1 − log |x| n=1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ < 1, cio` converge quando ¯¯ e se 1 − log |x| ¯

x < −e2 ,

−1 < x < 0,

0 < x < 1,

x > e2 .

Per tali x si ha che la somma è S(x) =

∞ µ X n=1

=

d) La serie

∞ X

(3x)nx =

n=1

∞ X

1 1 − log |x|

¶n

=

∞ µ X n=0

1 1 1− 1 − log |x|

−1=

1 1 − log |x|

¶n

−1=

1 − 2 log |x| . log |x|

[(3x)x ]n è una serie di potenze con ragione (3x)x . Quindi

n=1

converge quando (3x)x < 1, cioè se 0 < x < 31 . Per tali x si ha che la somma è S(x) =

∞ X

nx

(3x)

=

n=1

e) La serie

∞ X

(3x)nx − 1 =

n=0

∞ X (6 − 2x)n

¸ ∞ · X 3−x n

è una serie di potenze con ragione (x − 1)2 ¯ ¯ ¯ 3−x ¯ 3−x ¯ < 1, cio` . Quindi converge quando ¯¯ e se x < −1, x > 2. Per tali 2 (x − 1) (x − 1)2 ¯ x si ha che la somma è n=0

2n (x − 1)2n

S(x) =

=

1 (3x)x − 1 = . 1 − (3x)x 1 − (3x)x

n=0

¸ ∞ · X 3−x n n=0

(x − 1)2

=

1 (x − 1)2 . = 2 3−x x −x−2 1− (x − 1)2

Esercizio 6. Sia (an ) una successione positiva e crescente. Stabilire se convergono o non convergono le seguenti serie:

36


a)

∞ X

an

[diverge]

n=0

b)

∞ X

(−1)n an

[non converge]

n=0


∞ X

an è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).

n=0

Poichè (an ) è crescente, per le proprietà delle successioni monotone si ha che lim an = l > 0. Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la conn

vergenza della serie, si ha che la serie data diverge. b) La serie

∞ X

(−1)n an è a termini di segno alterno. Poichè (an ) è crescente, per le

n=0

proprietà delle successioni monotone si ha che lim an = l > 0. Ne segue che n

lim(−1)n an 6= 0. n

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, si ha che la serie data non converge. Osservazione Essendo una serie a termini di segno alterno, una condizione sufficiente per la convergenza è il criterio di Leibiniz, in base al quale se lim an = 0 e la successione n

(an ) è decrescente, allora la serie data converge. Poichè questo criterio costituisce una condizione sufficiente, è errato dire che la serie data non converge perchè la successione (an ) non è decrescente. Inoltre, negli Esercizi 3 s) e t) le serie convergono anche se (an ) non è decrescente.

* Esercizio 7. Sia (an ) una successione positiva tale che lim n

Determinare il carattere della serie

an = α ∈ ]0, +∞]. n

∞ X 1 n=0

ean

.

[converge]


37

Svolgimento La serie Poichè

∞ X 1


ean

n=0 an lim n n

= α ∈ ]0, +∞], allora si ha che lim an = +∞. Quindi apn = o (ean ) per n

n → +∞ per ogni p > 0. Distinguiamo due casi: 1) se α 6= +∞, allora an ∼ αn per n → +∞. Quindi µ

α2 n2 ∼ a2n = o (ean ) Poichè la serie

∞ X 1 n=1

n2

=⇒

¶

1 1 =o , a n e n2

n → +∞.

converge, per il criterio del confronto asintotico anche la

serie data converge. 2) se α = +∞, allora n = o(an ) per n → +∞. Quindi µ

n2 = o(a2n ) = o (ean ) Poichè la serie

∞ X 1 n=1

n2

=⇒

¶

1 1 , =o ea n n2

n → +∞.

converge, per il criterio del confronto asintotico anche la

serie data converge. Osservazione Nel caso in cui α = 0 non si può concludere nulla, come mostra l’Esercizio 8. * Esercizio 8. Sia (an ) una successione positiva tale che lim n

Dimostrare che la serie

∞ X 1

ean non si può concludere nulla.

an = α ∈ [0, +∞]. log n

diverge se α < 1, converge se α > 1, mentre per α = 1

n=0

Svolgimento La serie

∞ X 1

è a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente). ean Distinguiamo due casi: n=0

1) se α = +∞, allora per la definizione di limite, esiste N > 1 tale che per ogni n ≥ N si ha

an log n

> 2. Quindi an > log n2 per n ≥ N e di conseguenza 1 1 < 2, a n e n

∀n ≥ N.

38


Poichè la serie converge.

∞ X 1 n=1

n2

converge, per il criterio del confronto anche la serie data

2) se α 6= +∞, allora per la definizione di limite, preso ε > 0 esiste Nε > 1 tale che an log n

per ogni n ≥ Nε si ha α−ε
1 e α = 1. a) Se α < 1, allora per 0 < ε < 1 − α si ha che α + ε < 1. Poichè la serie ∞ X 1 diverge, per il criterio del confronto anche la serie data diverge. α+ε n n=1 b) Se α > 1, allora per 0 < ε < α − 1 si ha che α − ε > 1. Poichè la serie ∞ X 1 converge, per il criterio del confronto anche la serie data converge. α−ε n n=1 c) Se α = 1, allora per ε > 0 si ha che 1 n1+ε La serie

∞ X

1

n=1

n1−ε

0, si ha anche che ³

1/2

logp n = o e(log n)

´

,

n → +∞,

∀p > 0.

Quindi per ogni p > 0 si ha ¶

µ

1 1 1 , = = o 1/2 a e n n logp n n e(log n)

n → +∞.

∞ X

1 1 converge se e solo se p > 1. Infatti, posto bn = n log p p n n log n n=2 1 consideriamo la funzione f (x) = x logp x associata a bn , cioè tale che f (n) = bn

La serie

per ogni n ∈ N, n ≥ 2. Si ha che f è positiva e decrescente su [2, +∞). Quindi ∞ X

per il criterio di McLaurin la serie improprio

Z +∞ 2

Z +∞ 2

f (x) dx converge. Si ha che

f (x) dx =

Z +∞ 2

posto t = log x, da cui dt = = lim

bn converge se e solo se l’integrale

n=2

Z log c 1

c→+∞ log 2

tp

1 x

1 dx = lim c→+∞ x logp x

Z c 2

1 dx = x logp x

dx, si ottiene

dt =

Z +∞ 1 log 2

tp

(

dt :

diverge

se p ≤ 1,

converge se p > 1.

Quindi se si considera p > 1, essendo µ

¶

1 1 =o , a n e n logp n ∞ X

n → +∞,

1 convergente, per il criterio del confronto asintotico la n logp n n=2 serie data converge. an = 1 non possiamo concludere Questi due esempi mostrano che se lim n log n nulla. e la serie

40


Osservazione Non è vero che an ∼ bn ,

n → +∞

=⇒

ean ∼ ebn ,

n → +∞.

Infatti, nei due esempi visti precedentemente si ha log n − (log n)1/2 ∼ log n + (log n)1/2 , e elog n−(log n)

1/2

³

1/2

= o elog n+(log n)

n → +∞

´

,

n → +∞.

Quindi se 0 < α < +∞ non è vero che an ∼ α log n,

n → +∞

=⇒

ean ∼ eα log n = nα ,

n → +∞.

Pertanto è errato dire che se 0 < α < +∞, allora an ∼ α log n,

n → +∞

=⇒

ean ∼ eα log n = nα ,

e di conseguenza concludere che 1 1 ∼ α, a n e n

n → +∞.

n → +∞