Sistem Persamaan Linier

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENGERTIAN Bentuk Umum : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn = b3 • • •

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bn dimana a11, a12, … amn bil real b1, b2, … bn bil real

JENIS-JENIS SISTEM PERSAMAAN LINEAR Jenis jenis Sistem Persamaan Linear yang akan dibahas adalah : a. SPL dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel (m = n) b. SPL dengan banyaknya persamaan tidak sama dengan banyaknya variabel (m ≠ n) c. SPL Homogen

JENIS-JENIS PENYELESAIAN SPL a. Penyelesaian Konsisten Arti : SPL mempunyai sekurang kurangnya 1 ( satu ) penyelesaian Terbagi menjadi 2 jenis : 1. Mempunyai tepat 1 ( satu ) penyelesaian Artinya, SPL tersebut, hanya mempunyai tepat 1 penyelesaian, tidak ada penyelesaian lain

Contoh : x + 2y = 12 4x + y = 13 Secara grafis : tepat satu penyelesaian

2. Mempunyai tak hingga penyelesaian

Artinya, SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian (mempunyai penyelesaian yang tidak dapat dihitung banyaknya) Contoh : x + 2y = 10 2x + 4y = 20

Secara grafis : tak hingga penyelesaian

b. Penyelesaian Tak Konsisten Arti : SPL tidak mempunyai penyelesaian

Contoh : x + 2y = 10 2x + 4y = 5 Secara grafis :

MENYELESAIKAN SPL DGN 2 PERS. & 2 VAR. Terdapat 2 metoda, yaitu : • Metoda Eliminasi Metoda ini mendasarkan diri untuk menentukan nilai dari salah satu variabel dengan cara menghilangkan variabel lain

• Metoda Substitusi Metoda ini mendasarkan diri pada penggantian satu variabel pada variabel yang lain Contoh : Tentukan penyelesaian dari : x + 2y = 12 4x + y = 13

MENYELESAIKAN SPL DGN m PERS. & n VAR. Terdapat 3 metoda, yaitu : • Metoda Matriks • Metoda Cramer • Metoda TBE

METODA MATRIKS SPL diubah terlebih dahulu menjadi Perkalian 2 Matriks Secara Umum : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 • • •

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn  a11 a12 .. a1n   x1   b1  a    b  a .. a x 22 2n   21  2 =  2  : : : :  :  :       a a .. a x m2 mn   n   m1 bn 

A

X

B

X=

-1 A .B

Contoh : Tentukan penyelesaian dari SPL di bawah ini : x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 – 3x3 = 1 3x1 + 6x2 – 5x3 = 0

METODA CRAMER Tentukan terlebih dahulu, masing-masing determinannya : a11 a21   an1 a11 a 21 2   a n1

a12  a1n a22  a2 n   an 2  ann b1 b2  bn

 a1n  a2 n   a nn

b1 b2 1   bn

a12  a1n a22  a2 n   an 2  ann

a11 a12  b1 a21 a22  b2 n     an1 an 2  bn

Penyelesaiannya :

1 X1  

3 X3  

2 X2  

n Xn  

METODA TBE Dengan menggunakan TBE, maka koefisien pada ruas kiri dari SPL, harus diubah menjadi matriks Identitas

 a11 a12 .. a1n  a a .. a 21 22 2n   : : : :  am1 am2 .. amn

b1   b2  :  bn 



 1 0 .. 0 k 1    k 0 1 .. 0 2  : : : : :    0 0 .. 1 k n 