SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI ANISOTROPIK

10 downloads 211 Views 341KB Size Report
Persamaan difusi anisotropik adalah salah satu persamaan yang tidak mudah untuk mencari ... Pada skripsi ini, penulis membahas solusi dari persamaan difusi.
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI ANISOTROPIK

VERA NURMA YUNITA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FSM UNIVERSITAS DIPONEGORO Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

[email protected]

ABSTRAK. Persamaan difusi anisotropik adalah salah satu persamaan yang tidak mudah untuk mencari solusi analitik. Pada skripsi ini, penulis membahas solusi dari persamaan difusi anisotropik. Pertama, penulis mendiskritisasi persamaan dengan metode selisih hingga mundur terhadap waktu dan selisih hingga tengah terhadap ruang. Diskritisasi akan membentuk sebuah sistem persamaan linier. Terakhir, sistem persamaan linier tersebut akan diselesaikan dengan metode GMRES untuk menentukan solusi numerik. Kata kunci : difusi anisotropik, selisih hingga, solusi numerik, GMRES.

I.

Persamaan

difusi

PENDAHULUAN

adalah

persamaan

diferensial

parsial

yang

menggambarkan dinamika kepadatan bahan menjalani difusi. Sementara persamaan difusi anisotropik adalah salah satu bentuk dari persamaan difusi di mana terdapat unsur koefisien difusi di dalamnya. Jika koefisien difusi tersebut berupa konstanta, maka persamaan menjadi differensial linier atau persamaan panas. Persamaan difusi anisotropik yang akan dibahas adalah persamaan difusi anisotropik berupa persamaan panas dimensi satu. Tidak semua masalah fisis dalam model matematis dapat diselesaikan secara analistis.

Untuk

menyelesaikan

permasalahan

ini

biasanya

digunakan

penyelesaian numeris, di mana persamaan dasar diubah menjadi persamaan yang hanya berlaku pada titik-titik tertentu di dalam domain penyelesaian. Pengubahan persamaan tersebut dapat menggunakan metode elemen hingga ataupun metode beda hingga. Untuk permasalahan satu dimensi, metode yang umum digunakan adalah metode beda hingga karena mudah digunakan dan lebih dahulu dikenal sehingga sifat-sifatnya sudah difahami (Luknanto, 2003).

Sementara untuk menentukan nilai solusi pendekatan sisten linier skala besar digunakan GMRES. GMRES (Generelized Minimal Residual) adalah sebuah metode yang pertama kali diusulkan oleh Saad dan Schultz. Metode GMRES merupakan metode iteratif yang populer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier skala besar. Pada tugas akhir ini akan dibahas penentuan solusi numerik persamaan panas dimensi satu dengan menggunakan metode selisih hingga dan GMRES sebagai metode penyelesaikan sistem persamaan linier skala besar. Materi pendukung yang berkaitan dengan materi pokok sehingga akan mempermudah pemahaman tentang materi yang disajikan. Bab ini terdiri atas empat subbab yaitu persamaan differensial parsial, deret Taylor, matriks, vektor dan proses Gram - Schmidt.

1.1 Persamaan Differensial Parsial Jika turunan fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel disebut persamaan differensial parsial. Bentuk umum persamaan differensial parsial orde kedua, ๐ด๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ + 2๐ต๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฆ + ๐ถ๐‘ข๐‘ฆ๐‘ฆ + ๐ท๐‘ข๐‘ฅ + ๐ธ๐‘ข๐‘ฆ + ๐น๐‘ข + ๐บ = 0 dengan ๐ด, ๐ต, ๐ถ, ๐ท, ๐ธ, ๐น dan ๐บ adalah fungsi dari ๐‘ฅ, ๐‘ฆ atau konstanta bilangan riil. Macam โ€“ macam persamaan differensial parsial : i. Persamaan Parabolik : ๐‘ข๐‘ก = ๐‘ 2 ๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ , (persamaan panas dimensi satu) ii. Persamaan Hiperbolik : ๐‘ข๐‘ก๐‘ก = ๐‘ 2 ๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ , (persamaan gelombang dimensi satu) iii. Persamaan Eliptik : ๐‘ข๐‘ฅ๐‘ฅ + ๐‘ข๐‘ฆ๐‘ฆ = 0 , (persamaan Laplace dimensi dua)

1.2 Deret Taylor Secara matematis dapat ditulis ๐‘ข ๐‘ฅ๐‘– + โ„Ž = ๐‘ข ๐‘ฅ๐‘– +

โ„Ž โ€ฒ โ„Ž2 โ„Ž๐‘› ๐‘ข (๐‘ฅ๐‘– ) + ๐‘ขโ€ฒโ€ฒ (๐‘ฅ๐‘– ) + โ‹ฏ + ๐‘ข 1! 2! ๐‘›!

๐‘›

(๐‘ฅ๐‘– ) + ๐‘‚๐‘›+1

dengan โ„Ž adalah โˆ†๐‘ฅ, indeks ๐‘– merupakan titik grid, indeks ๐‘› menunjukkan time step dan ๐‘‚๐‘› +1 adalah pemotongan error.

Karena itu jawaban yang diperoleh hanya berupa pendekatan dari pengambilan beberapa suku dan mengabaikan sisanya. Kesalahan ini disebut dengan kesalahan pemotongan, yang ditulis dalam bentuk: ๐‘…๐‘› = ๐‘‚(โˆ†๐‘ฅ ๐‘›+1 ) Indeks n menunjukkkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke-๐‘›, sedangkan subskrip ๐‘› + 1 menunjukkan bahwa kesalahan pemotongan mempunyai order ๐‘› + 1, ๐‘‚ โˆ†๐‘ฅ ๐‘›+1

notasi berarti bahwa

kesalahan pemotongan mempunyai order โˆ†๐‘ฅ ๐‘›+1 , atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat ๐‘› + 1. kesalahan pemotongan tersebut kecil jika : 1. Interval x adalah kecil. 2. Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor.

1.3 Matriks dan Vektor a.

Sparse Matriks Sparse matriks biasa dikenal sebagai matriks yang memiliki elemen โ€“ elemen nol yang banyak. Contoh : ๐‘Ž11 ๐‘Ž21 ๐‘จ= 0 โ‹ฎ 0

b.

๐‘Ž12 ๐‘Ž22 ๐‘Ž32 โ‹ฎ 0

0 ๐‘Ž23 ๐‘Ž33 โ‹ฎ 0

โ‹ฏ 0 โ€ฆ 0 โ€ฆ 0 โ‹ฑ โ‹ฎ โ‹ฏ ๐‘Ž๐‘›๐‘š

Basis Definisi 1.1[1] Jika ๐‘ฝ adalah sebarang ruang vektor dan ๐‘บ = ๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› adalah sebuah himpunan berhingga dari vektor โ€“ vektor di dalam ๐‘ฝ, maka ๐‘บ dinamakan sebuah basis dari ๐‘ฝ jika

i.

๐‘บ bebas linier, Definisi 1.2[1] Misalkan

๐‘ฝ

suatu

ruang

vektor

dan

๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› โˆˆ ๐‘บ.

๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› dikatakan bebas linier jika persamaan

Himpunan

๐‘˜1 ๐‘ฃ1 + ๐‘˜2 ๐‘ฃ2 + ๐‘˜3 ๐‘ฃ3 + โ‹ฏ + ๐‘˜๐‘› ๐‘ฃ๐‘› = 0 hanya dapat dipenuhi oleh ๐‘˜1 = ๐‘˜2 = ๐‘˜3 = โ‹ฏ = ๐‘˜๐‘› = 0. ii. ๐‘บ merentang di ๐‘ฝ. Definisi 1.3[1] Misalkan

๐‘ฝ

๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘›

suatu

ruang

vektor

dan

๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› โˆˆ ๐‘บ.

Himpunan

dikatakan merentang ๐‘ฝ jika setiap vektor di ๐‘ฝ merupakan

kombinasi linier dari ๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› . c. Ruang Perkalian Dalam Definisi 2.4[1] Sebuah perkalian dalam (inner product) pada ruang vektor ๐‘‰ adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil ๐‘ข, ๐‘ฃ dengan setiap pasang vektor ๐‘ข dan ๐‘ฃ di dalam ๐‘‰ sedemikian rupa sehingga aksioma โ€“ aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor ๐‘ข, ๐‘ฃ, dan ๐‘ค di dalam ๐‘‰ dan untuk semua skalar ๐‘˜. i.

๐‘ข, ๐‘ฃ = ๐‘ฃ, ๐‘ข

ii.

๐‘ข + ๐‘ฃ, ๐‘ค = ๐‘ข, ๐‘ค + ๐‘ฃ, ๐‘ค

iii.

๐‘˜๐‘ข, ๐‘ฃ = ๐‘˜ ๐‘ข, ๐‘ฃ

iv.

๐‘ฃ, ๐‘ฃ โ‰ฅ 0 dan ๐‘ฃ, ๐‘ฃ = 0 jika dan hanya jika ๐‘ฃ = 0

1.4 Proses Gram Schimdt Berikut merupakan langkah โ€“ langkah untuk menghasilkan basis ortonormal ๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› untuk ๐‘‰. Langkah pertama, misalkan ๐‘ฃ1 =

๐‘ข1 ๐‘ข1

. Vektor ๐‘ฃ1 mempunyai norm 1.

Langkah kedua, untuk membangun sebuah vektor ๐‘ฃ2 yang normnya 1 dan ortogonal terhadap ๐‘ฃ1 , hitung komponen dari ๐‘ข2 yang ortogonal terhadap ruang ๐‘ค1 yang direntang oleh ๐‘ฃ1 dan kemudian normalisasikan komponen ๐‘ข2 tersebut, ๐‘ฃ2 =

๐‘ข2 โˆ’ ๐‘ข2 , ๐‘ฃ1 ๐‘ฃ1 ๐‘ข2 โˆ’ ๐‘ข2 , ๐‘ฃ1 ๐‘ฃ1

Jika ๐‘ข2 โˆ’ ๐‘ข2 , ๐‘ฃ1 ๐‘ฃ1 = 0 maka normalisasi tidak dapat dilakukan. Tetapi ini tidak dapat terjadi karena jika demikian akan diperoleh

๐‘ข2 = ๐‘ข2 , ๐‘ฃ1 ๐‘ฃ1 =

๐‘ข2 , ๐‘ฃ1 ๐‘ข1 ๐‘ข1

yang mengatakan bahwa ๐‘ข2 merupakan kelipatan dari ๐‘ข1 yang bertentangan dengan sifat bebas linier dari basis ๐‘† = ๐‘ข1 , ๐‘ข2 , โ€ฆ , ๐‘ข๐‘› . Dengan meneruskan cara ini maka akan didapat sebuah himpunan ortonormal dari vektor โ€“ vektor ๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› . Karena ๐‘‰ berdimensi ๐‘› dan karena tiap โ€“ tiap himpunan ortonormal bebas linier, maka himpunan ๐‘ฃ1 , ๐‘ฃ2 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘› merupakan sebuah basis untuk ๐‘‰. II. 2.1

HASIL DAN PEMBAHASAN

Diskritisasi Persamaan Difusi Anisotropik dengan Metode Selisih Hingga Pada bab ini akan dibahas mengenai solusi dari persamaan difusi anisotropik. Diketahui bentuk umum dari persamaan difusi anisotropik adalah ๐œ•๐‘ข ๐‘ฅ,๐‘ก ๐œ•๐‘ก

= โˆ‡[๐ท ๐‘ข, ๐‘ฅ โˆ‡๐‘ข ๐‘ฅ, ๐‘ก ]

3.1

dengan ๐‘ข (๐‘ฅ, ๐‘ก) adalah densitas pada ruang ๐‘ฅ dan waktu ๐‘ก, ๐ท (๐‘ข, ๐‘ฅ) adalah koefisien difusi di ruang ๐‘ฅ, dan โˆ‡ adalah operator Laplace, โˆ‡=

๐œ• ๐œ• + ๐œ•๐‘ฅ ๐œ•๐‘ก

Persamaan difusi anisotropik yang akan dibahas adalah persamaan difusi anisotropik pada dimensi satu. Koefisien difusi ๐ท ๐‘ข, ๐‘ฅ

adalah

konstanta, maka persamaan menjadi differensial linier atau persamaan panas. Berikut akan ditentukan solusi analitik dari persamaan panas. Bentuk umum persamaan panas adalah ๐œ•๐‘ข ๐‘ฅ,๐‘ก ๐œ•๐‘ฅ

๐œ•2๐‘ข

= ๐‘ 2 ๐œ• ๐‘ฅ 2 , 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘™, ๐‘ก > 0

3.2

dengan ๐‘ 2 adalah konstanta dan bergantung pada sifat material. Agar solusi dari masalah ada dan tunggal, dibutuhkan kondisi โ€“ kondisi berikut : i.

Kondisi awal ๐‘ข ๐‘ฅ, 0 = ๐‘“ ๐‘ฅ , 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘™

ii.

Kondisi batas ๐‘ข 0, ๐‘ก = ๐‘‡1 , ๐‘ข ๐‘™, ๐‘ก = ๐‘‡2 , ๐‘ก > 0

dengan solusi analitik persamaan tersebut adalah

โˆž

๐‘ข ๐‘ฅ, ๐‘ก =

๐ต๐‘› ๐‘’

โˆ’๐‘ 2

๐‘›๐œ‹ 2 ๐‘ก ๐‘™

sin

๐‘› =1

๐‘›๐œ‹๐‘ฅ ๐‘™

konstanta ๐ต๐‘› harus memenuhi persamaan ๐‘ข ๐‘ฅ, 0 = ๐‘“ ๐‘ฅ , 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘™ agar โˆž

๐‘ข ๐‘ฅ, ๐‘ก =

๐ต๐‘› sin ๐‘› =1

๐‘›๐œ‹๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘™

Pada tugas akhir ini hanya akan membahas solusi numerik persamaan anisotropik dimensi satu menggunakan gabungan pendekatan dua metode yaitu selisih hingga mundur terhadap waktu dan selisih hingga tengah terhadap ruang (backward time - central space method). ๐‘ข ๐‘ฅ๐‘– , ๐‘ก๐‘— โˆ’ ๐‘ข ๐‘ฅ๐‘– , ๐‘ก๐‘— โˆ’1 ๐‘ข ๐‘ฅ๐‘–+โ„Ž , ๐‘ก๐‘— โˆ’ 2๐‘ข ๐‘ฅ๐‘– , ๐‘ก๐‘— + ๐‘ข ๐‘ฅ๐‘–โˆ’โ„Ž , ๐‘ก๐‘— = ๐‘2 โˆ†๐‘ก โ„Ž2 Substitusikan persamaan selisih hingga mundur pada waktu dan persamaan selisih hingga tengah pada ruang ke persamaan panas satu dimensi diperoleh ๐‘ค๐‘–,๐‘— โˆ’1 = 1 + 2๐›ผ ๐‘ค๐‘–,๐‘— โˆ’ ๐›ผ๐‘ค๐‘–+1,๐‘— + ๐›ผ๐‘ค๐‘–โˆ’1,๐‘— . dengan ๐›ผ =

๐‘ 2 โˆ†๐‘ก โ„Ž2

, sehingga menghasilkan sistem persamaan linier ๐‘จ๐’˜๐’Š,๐’‹ = ๐’˜๐’Š,๐’‹โˆ’๐Ÿ

2.2

Solusi Sistem Persamaan Linier dengan GMRES Dalam subbab ini akan dibahas satu algoritma untuk mencari basis subruang Krylov. Dalam hal ini, notasi R n๏‚ดn dan R n berturut-turut menyatakan himpunan semua matriks real berukuran n ๏‚ด n dan himpunan semua matriks real berukuran n ๏‚ด 1 . Definisi 3.1[8] Diberikan A ๏ƒŽR n๏‚ดn dan b ๏ƒŽ R n . Subruang yang direntang oleh himpunan m vektor

๏ปb, Ab, A b,..., A b๏ฝ 2

disebut subruang Krylov.

m๏€ญ1

Selanjutnya, subruang Krlov m vektor yang direntang oleh A ๏ƒŽR n๏‚ดn dan b ๏ƒŽ R n dinotasikan dengan

๏ป

๏ฝ

K m ๏€จA, b๏€ฉ ๏€ฝ b, Ab, A 2b,..., A m๏€ญ1b .๏‚จ

Bilangan asli m menyatakan banyaknya vektor dalam K m ๏€จA, b ๏€ฉ . Tidak ada jaminan bahwa m vektor dalam K m ๏€จA, b ๏€ฉ bebas linear. Oleh karena itu, dimensi K m ๏€จA, b ๏€ฉ sama dengan atau kurang dari m . Secara khusus,

dim๏€จK1 ๏€จA, b๏€ฉ๏€ฉ ๏€ฝ 1 dengan dim๏€จ X ๏€ฉ menyatakan dimensi ruang vektor X . Algoritma Arnoldi adalah salah satu algoritma untuk mencari basis subruang Krylov K m(A, b) . Algoritma Arnoldi merupakan modifikasi algoritma Gram-Schmidt untuk mencari vektor-vektor ortogonal dari himpunan vektor yang diberikan. Algoritma Arnoldi dituliskan sebagai berikut. Algoritma 1 (Algoritma Arnoldi) Input

: A ๏ƒŽR n๏‚ดn , b ๏ƒŽ R n , dan bilangan asli m ๏€ผ n

v1 ๏€ฝ 1. Hitung

b b

2. Untuk j ๏€ฝ 1,2,..., m , kerjakan 2.1. untuk k ๏€ฝ 1,2,..., j , kerjakan 2.1.1. hitung hk , j ๏€ฝ vTk Av j j

2.2. u j ๏€ฝ Av j ๏€ญ ๏ƒฅ hk , j v k k ๏€ฝ1

2.3. h j ๏€ซ1, j ๏€ฝ u j 2.4. Jika h j ๏€ซ1, j ๏€ฝ 0 maka stop 2.5. v j ๏€ซ1 ๏€ฝ

uj h j ๏€ซ1, j

3. Stop. Jika Algoritma 1 dikerjakan, maka diperoleh dua matriks berikut

(1). matriks Hessenberg

๏ƒฉ h1,1 h1, 2 ๏ƒชh ๏ƒช 2,1 h2, 2 ๏ƒช 0 h3, 2 ๏ƒช 0 0 H๏€ฝ๏ƒช ๏ƒช0 0 ๏ƒช ๏ ๏ƒช ๏ ๏ƒช0 0 ๏ƒช 0 ๏ƒช๏ƒซ 0

h1,3

h1, 4

h1,5 ๏Œ

h1,m๏€ญ1

h2,3

h2, 4

h2,5 ๏Œ

h2,m๏€ญ1

h3,3

h3, 4

h3,5 ๏Œ

h3,m๏€ญ1

h4,3

h4, 4

h4,5 ๏Œ

h4,m๏€ญ1

0

h5, 4

h5,5 ๏Œ

h5,m๏€ญ1

๏

๏

๏

๏

0

๏Œ

0

๏ hm๏€ญ1,m๏€ญ1

0

๏Œ

0

๏Œ

(2). matriks V ๏€ฝ ๏›v1

๏ hm ,m๏€ญ1

h1,m ๏ƒน h2,m ๏ƒบ๏ƒบ h3,m ๏ƒบ ๏ƒบ h4,m ๏ƒบ ๏ƒŽ R m ๏‚ดm h5,m ๏ƒบ ๏ƒบ ๏ ๏ƒบ hm๏€ญ1,m ๏ƒบ ๏ƒบ hm,m ๏ƒบ๏ƒป

v2 ๏Œ vm ๏.

Vektor-vektor kolom matriks V merupakan basis untuk subruang Krylov K m ( A, b) . Untuk selanjutnya, matriks Hessenberg yang dihasilkan oleh

algoritma Arnoldi dinotasikan dengan H . Teorema berikut memperlihatkan hubungan antara matriks input dan matriks output dalam Algoritma 1. Perhatikan vektor-vektor elemen subruang Krylov K m (A, r0 ) dengan

r0 ๏€ฝ b ๏€ญ Ax 0 . Untuk setiap vektor

x ๏ƒŽ x0 ๏€ซ K m (A, r0 )

dapat

ditulis

x ๏ƒŽ x0 ๏€ซ Vm y ( m) untuk suatu vektor y ( m) ๏ƒŽ R m dan Vm ๏€ฝ V matriks basis

yang dihasilkan oleh Algoritma 1. Algoritma 2. (Algoritma GMRES) 1. Pilih titik awal ๐’™๐ŸŽ โˆˆ ๐‘น๐’Œ dan hitung ๐’“๐ŸŽ = ๐’ƒ โˆ’ ๐‘จ๐’™๐ŸŽ dan ๐’—๐Ÿ =

๐’“๐ŸŽ ๐’“๐ŸŽ

2. Konstruksikan vektor ortonormal ๐’—๐Ÿ , ๐’—๐Ÿ , โ€ฆ , ๐’—๐’Œ dengan algoritma 1. 3. Tentukan vektor ๐’š โˆˆ ๐‘น๐’Œ agar diperoleh ๐’ƒ โˆ’ ๐‘จ๐’š โ‰ค min๐‘ฅ โˆˆ๐‘… ๐‘˜ ๐’ƒ โˆ’ ๐‘จ๐’™ 4. ๐’™๐’Œ = ๐’™๐ŸŽ + ๐’“๐ŸŽ ๐‘ฝ๐’Œ ๐’š dengan ๐‘ฝ๐’Œ = ๐’—๐Ÿ , ๐’—๐Ÿ , โ€ฆ , ๐’—๐’Œ III.

KESIMPULAN

Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, dapat tunjukan bahwa solusi numerik dari persamaan difusi anisotropik ๐œ•๐‘ข ๐‘ฅ, ๐‘ก = โˆ‡ ๐ท ๐‘ข, ๐‘ฅ โˆ‡๐‘ข ๐‘ฅ, ๐‘ก ๐œ•๐‘ก

dengan ๐‘ข (๐‘ฅ, ๐‘ก) adalah densitas pada ruang ๐‘ฅ dan waktu ๐‘ก, ๐ท (๐‘ข, ๐‘ฅ) adalah koefisien difusi di ruang ๐‘ฅ, dan โˆ‡ adalah operator Laplace, โˆ‡=

๐œ• ๐œ• + ๐œ•๐‘ฅ ๐œ•๐‘ก

khususnya persamaan panas dimensi satu ๐œ•๐‘ข ๐‘ฅ,๐‘ก ๐œ•๐‘ฅ

๐œ•2๐‘ข

= ๐‘ 2 ๐œ• ๐‘ฅ 2 , 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘™, ๐‘ก > 0

dengan metode selisih hingga mundur terhadap waktu dan selisih hingga tengah terhadap ruang (backward time - central space method) menghasilkan persamaan ๐‘ค๐‘–,๐‘— โˆ’1 = 1 + 2๐›ผ ๐‘ค๐‘–,๐‘— โˆ’ ๐›ผ๐‘ค๐‘–+1,๐‘— + ๐›ผ๐‘ค๐‘–โˆ’1,๐‘— dengan solusi berupa sistem persamaan linier sebagai berkut: ๐‘จ๐’˜๐’Š,๐’‹ = ๐’˜๐’Š,๐’‹โˆ’๐Ÿ Untuk memudahkan penyelesaian sistem persamaan linier di atas digunakan Algoritma GMRES. Algoritma GMRES dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier skala besar. Dalam tugas akhir ini pembahasan mengenai solusi numerik hanya terbatas pada persamaan difusi anisotropik dimensi satu. Metode yang digunakan juga merupakan gabungan dua skema metode selisih hingga. Oleh karena itu, tugas akhir ini dapat dikembangkan mengenai solusi persamaan difusi anisotropik secara umum, meliputi persamaan difusi anisotropik dimensi 2 dan seterusnya. Atau dapat juga dengan menggabungkan dua skema lain pada metode selisih hingga sehingga dapat dibandingkan hasilnya. IV.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, Howard. 2005. Aljabar Linier Elementer Edisi Ketiga. Surabaya. Erlangga [2] Antoulas, A. C. 2005. Approximation of Large Scale Dynamical Systems. Philadelphia. SIAM. [3] Bjorck, Ake. 1996. Numerical Methods for Least Squares Problems. SIAM. [4] Froberg, Carl โ€“ Erick. 1965. Introduction to Numerical Analysis Second Edition. Addison โ€“ Wisley Publishing Company. USA.

[5] Iyengar, S. R. K, Jain, R. K. 2009. Numerical Methods. New Age International Publisher. [6] Iyengar, S. R. K, Jain, M. K, and Jain, R. K. Numerical Methods (Problem and Solutions). New Delhi. New Age International. [7] Lui, S. H. 2011. Numerical Analysis of Partial Differential Equations. Canada. Wiley. [8] Saad, Yousef. 2003. Iterative Methods For Sparse Linier Systems, Second Edition. Philadelphia. SIAM.