Persamaan difusi anisotropik adalah salah satu persamaan yang tidak mudah
untuk mencari ... Pada skripsi ini, penulis membahas solusi dari persamaan
difusi.
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFUSI ANISOTROPIK
VERA NURMA YUNITA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FSM UNIVERSITAS DIPONEGORO Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
[email protected]
ABSTRAK. Persamaan difusi anisotropik adalah salah satu persamaan yang tidak mudah untuk mencari solusi analitik. Pada skripsi ini, penulis membahas solusi dari persamaan difusi anisotropik. Pertama, penulis mendiskritisasi persamaan dengan metode selisih hingga mundur terhadap waktu dan selisih hingga tengah terhadap ruang. Diskritisasi akan membentuk sebuah sistem persamaan linier. Terakhir, sistem persamaan linier tersebut akan diselesaikan dengan metode GMRES untuk menentukan solusi numerik. Kata kunci : difusi anisotropik, selisih hingga, solusi numerik, GMRES.
I.
Persamaan
difusi
PENDAHULUAN
adalah
persamaan
diferensial
parsial
yang
menggambarkan dinamika kepadatan bahan menjalani difusi. Sementara persamaan difusi anisotropik adalah salah satu bentuk dari persamaan difusi di mana terdapat unsur koefisien difusi di dalamnya. Jika koefisien difusi tersebut berupa konstanta, maka persamaan menjadi differensial linier atau persamaan panas. Persamaan difusi anisotropik yang akan dibahas adalah persamaan difusi anisotropik berupa persamaan panas dimensi satu. Tidak semua masalah fisis dalam model matematis dapat diselesaikan secara analistis.
Untuk
menyelesaikan
permasalahan
ini
biasanya
digunakan
penyelesaian numeris, di mana persamaan dasar diubah menjadi persamaan yang hanya berlaku pada titik-titik tertentu di dalam domain penyelesaian. Pengubahan persamaan tersebut dapat menggunakan metode elemen hingga ataupun metode beda hingga. Untuk permasalahan satu dimensi, metode yang umum digunakan adalah metode beda hingga karena mudah digunakan dan lebih dahulu dikenal sehingga sifat-sifatnya sudah difahami (Luknanto, 2003).
Sementara untuk menentukan nilai solusi pendekatan sisten linier skala besar digunakan GMRES. GMRES (Generelized Minimal Residual) adalah sebuah metode yang pertama kali diusulkan oleh Saad dan Schultz. Metode GMRES merupakan metode iteratif yang populer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier skala besar. Pada tugas akhir ini akan dibahas penentuan solusi numerik persamaan panas dimensi satu dengan menggunakan metode selisih hingga dan GMRES sebagai metode penyelesaikan sistem persamaan linier skala besar. Materi pendukung yang berkaitan dengan materi pokok sehingga akan mempermudah pemahaman tentang materi yang disajikan. Bab ini terdiri atas empat subbab yaitu persamaan differensial parsial, deret Taylor, matriks, vektor dan proses Gram - Schmidt.
1.1 Persamaan Differensial Parsial Jika turunan fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel disebut persamaan differensial parsial. Bentuk umum persamaan differensial parsial orde kedua, ๐ด๐ข๐ฅ๐ฅ + 2๐ต๐ข๐ฅ๐ฆ + ๐ถ๐ข๐ฆ๐ฆ + ๐ท๐ข๐ฅ + ๐ธ๐ข๐ฆ + ๐น๐ข + ๐บ = 0 dengan ๐ด, ๐ต, ๐ถ, ๐ท, ๐ธ, ๐น dan ๐บ adalah fungsi dari ๐ฅ, ๐ฆ atau konstanta bilangan riil. Macam โ macam persamaan differensial parsial : i. Persamaan Parabolik : ๐ข๐ก = ๐ 2 ๐ข๐ฅ๐ฅ , (persamaan panas dimensi satu) ii. Persamaan Hiperbolik : ๐ข๐ก๐ก = ๐ 2 ๐ข๐ฅ๐ฅ , (persamaan gelombang dimensi satu) iii. Persamaan Eliptik : ๐ข๐ฅ๐ฅ + ๐ข๐ฆ๐ฆ = 0 , (persamaan Laplace dimensi dua)
1.2 Deret Taylor Secara matematis dapat ditulis ๐ข ๐ฅ๐ + โ = ๐ข ๐ฅ๐ +
โ โฒ โ2 โ๐ ๐ข (๐ฅ๐ ) + ๐ขโฒโฒ (๐ฅ๐ ) + โฏ + ๐ข 1! 2! ๐!
๐
(๐ฅ๐ ) + ๐๐+1
dengan โ adalah โ๐ฅ, indeks ๐ merupakan titik grid, indeks ๐ menunjukkan time step dan ๐๐ +1 adalah pemotongan error.
Karena itu jawaban yang diperoleh hanya berupa pendekatan dari pengambilan beberapa suku dan mengabaikan sisanya. Kesalahan ini disebut dengan kesalahan pemotongan, yang ditulis dalam bentuk: ๐
๐ = ๐(โ๐ฅ ๐+1 ) Indeks n menunjukkkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke-๐, sedangkan subskrip ๐ + 1 menunjukkan bahwa kesalahan pemotongan mempunyai order ๐ + 1, ๐ โ๐ฅ ๐+1
notasi berarti bahwa
kesalahan pemotongan mempunyai order โ๐ฅ ๐+1 , atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat ๐ + 1. kesalahan pemotongan tersebut kecil jika : 1. Interval x adalah kecil. 2. Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor.
1.3 Matriks dan Vektor a.
Sparse Matriks Sparse matriks biasa dikenal sebagai matriks yang memiliki elemen โ elemen nol yang banyak. Contoh : ๐11 ๐21 ๐จ= 0 โฎ 0
b.
๐12 ๐22 ๐32 โฎ 0
0 ๐23 ๐33 โฎ 0
โฏ 0 โฆ 0 โฆ 0 โฑ โฎ โฏ ๐๐๐
Basis Definisi 1.1[1] Jika ๐ฝ adalah sebarang ruang vektor dan ๐บ = ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ adalah sebuah himpunan berhingga dari vektor โ vektor di dalam ๐ฝ, maka ๐บ dinamakan sebuah basis dari ๐ฝ jika
i.
๐บ bebas linier, Definisi 1.2[1] Misalkan
๐ฝ
suatu
ruang
vektor
dan
๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐บ.
๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ dikatakan bebas linier jika persamaan
Himpunan
๐1 ๐ฃ1 + ๐2 ๐ฃ2 + ๐3 ๐ฃ3 + โฏ + ๐๐ ๐ฃ๐ = 0 hanya dapat dipenuhi oleh ๐1 = ๐2 = ๐3 = โฏ = ๐๐ = 0. ii. ๐บ merentang di ๐ฝ. Definisi 1.3[1] Misalkan
๐ฝ
๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐
suatu
ruang
vektor
dan
๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ โ ๐บ.
Himpunan
dikatakan merentang ๐ฝ jika setiap vektor di ๐ฝ merupakan
kombinasi linier dari ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ . c. Ruang Perkalian Dalam Definisi 2.4[1] Sebuah perkalian dalam (inner product) pada ruang vektor ๐ adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil ๐ข, ๐ฃ dengan setiap pasang vektor ๐ข dan ๐ฃ di dalam ๐ sedemikian rupa sehingga aksioma โ aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor ๐ข, ๐ฃ, dan ๐ค di dalam ๐ dan untuk semua skalar ๐. i.
๐ข, ๐ฃ = ๐ฃ, ๐ข
ii.
๐ข + ๐ฃ, ๐ค = ๐ข, ๐ค + ๐ฃ, ๐ค
iii.
๐๐ข, ๐ฃ = ๐ ๐ข, ๐ฃ
iv.
๐ฃ, ๐ฃ โฅ 0 dan ๐ฃ, ๐ฃ = 0 jika dan hanya jika ๐ฃ = 0
1.4 Proses Gram Schimdt Berikut merupakan langkah โ langkah untuk menghasilkan basis ortonormal ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ untuk ๐. Langkah pertama, misalkan ๐ฃ1 =
๐ข1 ๐ข1
. Vektor ๐ฃ1 mempunyai norm 1.
Langkah kedua, untuk membangun sebuah vektor ๐ฃ2 yang normnya 1 dan ortogonal terhadap ๐ฃ1 , hitung komponen dari ๐ข2 yang ortogonal terhadap ruang ๐ค1 yang direntang oleh ๐ฃ1 dan kemudian normalisasikan komponen ๐ข2 tersebut, ๐ฃ2 =
๐ข2 โ ๐ข2 , ๐ฃ1 ๐ฃ1 ๐ข2 โ ๐ข2 , ๐ฃ1 ๐ฃ1
Jika ๐ข2 โ ๐ข2 , ๐ฃ1 ๐ฃ1 = 0 maka normalisasi tidak dapat dilakukan. Tetapi ini tidak dapat terjadi karena jika demikian akan diperoleh
๐ข2 = ๐ข2 , ๐ฃ1 ๐ฃ1 =
๐ข2 , ๐ฃ1 ๐ข1 ๐ข1
yang mengatakan bahwa ๐ข2 merupakan kelipatan dari ๐ข1 yang bertentangan dengan sifat bebas linier dari basis ๐ = ๐ข1 , ๐ข2 , โฆ , ๐ข๐ . Dengan meneruskan cara ini maka akan didapat sebuah himpunan ortonormal dari vektor โ vektor ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ . Karena ๐ berdimensi ๐ dan karena tiap โ tiap himpunan ortonormal bebas linier, maka himpunan ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , โฆ , ๐ฃ๐ merupakan sebuah basis untuk ๐. II. 2.1
HASIL DAN PEMBAHASAN
Diskritisasi Persamaan Difusi Anisotropik dengan Metode Selisih Hingga Pada bab ini akan dibahas mengenai solusi dari persamaan difusi anisotropik. Diketahui bentuk umum dari persamaan difusi anisotropik adalah ๐๐ข ๐ฅ,๐ก ๐๐ก
= โ[๐ท ๐ข, ๐ฅ โ๐ข ๐ฅ, ๐ก ]
3.1
dengan ๐ข (๐ฅ, ๐ก) adalah densitas pada ruang ๐ฅ dan waktu ๐ก, ๐ท (๐ข, ๐ฅ) adalah koefisien difusi di ruang ๐ฅ, dan โ adalah operator Laplace, โ=
๐ ๐ + ๐๐ฅ ๐๐ก
Persamaan difusi anisotropik yang akan dibahas adalah persamaan difusi anisotropik pada dimensi satu. Koefisien difusi ๐ท ๐ข, ๐ฅ
adalah
konstanta, maka persamaan menjadi differensial linier atau persamaan panas. Berikut akan ditentukan solusi analitik dari persamaan panas. Bentuk umum persamaan panas adalah ๐๐ข ๐ฅ,๐ก ๐๐ฅ
๐2๐ข
= ๐ 2 ๐ ๐ฅ 2 , 0 โค ๐ฅ โค ๐, ๐ก > 0
3.2
dengan ๐ 2 adalah konstanta dan bergantung pada sifat material. Agar solusi dari masalah ada dan tunggal, dibutuhkan kondisi โ kondisi berikut : i.
Kondisi awal ๐ข ๐ฅ, 0 = ๐ ๐ฅ , 0 โค ๐ฅ โค ๐
ii.
Kondisi batas ๐ข 0, ๐ก = ๐1 , ๐ข ๐, ๐ก = ๐2 , ๐ก > 0
dengan solusi analitik persamaan tersebut adalah
โ
๐ข ๐ฅ, ๐ก =
๐ต๐ ๐
โ๐ 2
๐๐ 2 ๐ก ๐
sin
๐ =1
๐๐๐ฅ ๐
konstanta ๐ต๐ harus memenuhi persamaan ๐ข ๐ฅ, 0 = ๐ ๐ฅ , 0 โค ๐ฅ โค ๐ agar โ
๐ข ๐ฅ, ๐ก =
๐ต๐ sin ๐ =1
๐๐๐ฅ = ๐(๐ฅ) ๐
Pada tugas akhir ini hanya akan membahas solusi numerik persamaan anisotropik dimensi satu menggunakan gabungan pendekatan dua metode yaitu selisih hingga mundur terhadap waktu dan selisih hingga tengah terhadap ruang (backward time - central space method). ๐ข ๐ฅ๐ , ๐ก๐ โ ๐ข ๐ฅ๐ , ๐ก๐ โ1 ๐ข ๐ฅ๐+โ , ๐ก๐ โ 2๐ข ๐ฅ๐ , ๐ก๐ + ๐ข ๐ฅ๐โโ , ๐ก๐ = ๐2 โ๐ก โ2 Substitusikan persamaan selisih hingga mundur pada waktu dan persamaan selisih hingga tengah pada ruang ke persamaan panas satu dimensi diperoleh ๐ค๐,๐ โ1 = 1 + 2๐ผ ๐ค๐,๐ โ ๐ผ๐ค๐+1,๐ + ๐ผ๐ค๐โ1,๐ . dengan ๐ผ =
๐ 2 โ๐ก โ2
, sehingga menghasilkan sistem persamaan linier ๐จ๐๐,๐ = ๐๐,๐โ๐
2.2
Solusi Sistem Persamaan Linier dengan GMRES Dalam subbab ini akan dibahas satu algoritma untuk mencari basis subruang Krylov. Dalam hal ini, notasi R n๏ดn dan R n berturut-turut menyatakan himpunan semua matriks real berukuran n ๏ด n dan himpunan semua matriks real berukuran n ๏ด 1 . Definisi 3.1[8] Diberikan A ๏R n๏ดn dan b ๏ R n . Subruang yang direntang oleh himpunan m vektor
๏ปb, Ab, A b,..., A b๏ฝ 2
disebut subruang Krylov.
m๏ญ1
Selanjutnya, subruang Krlov m vektor yang direntang oleh A ๏R n๏ดn dan b ๏ R n dinotasikan dengan
๏ป
๏ฝ
K m ๏จA, b๏ฉ ๏ฝ b, Ab, A 2b,..., A m๏ญ1b .๏จ
Bilangan asli m menyatakan banyaknya vektor dalam K m ๏จA, b ๏ฉ . Tidak ada jaminan bahwa m vektor dalam K m ๏จA, b ๏ฉ bebas linear. Oleh karena itu, dimensi K m ๏จA, b ๏ฉ sama dengan atau kurang dari m . Secara khusus,
dim๏จK1 ๏จA, b๏ฉ๏ฉ ๏ฝ 1 dengan dim๏จ X ๏ฉ menyatakan dimensi ruang vektor X . Algoritma Arnoldi adalah salah satu algoritma untuk mencari basis subruang Krylov K m(A, b) . Algoritma Arnoldi merupakan modifikasi algoritma Gram-Schmidt untuk mencari vektor-vektor ortogonal dari himpunan vektor yang diberikan. Algoritma Arnoldi dituliskan sebagai berikut. Algoritma 1 (Algoritma Arnoldi) Input
: A ๏R n๏ดn , b ๏ R n , dan bilangan asli m ๏ผ n
v1 ๏ฝ 1. Hitung
b b
2. Untuk j ๏ฝ 1,2,..., m , kerjakan 2.1. untuk k ๏ฝ 1,2,..., j , kerjakan 2.1.1. hitung hk , j ๏ฝ vTk Av j j
2.2. u j ๏ฝ Av j ๏ญ ๏ฅ hk , j v k k ๏ฝ1
2.3. h j ๏ซ1, j ๏ฝ u j 2.4. Jika h j ๏ซ1, j ๏ฝ 0 maka stop 2.5. v j ๏ซ1 ๏ฝ
uj h j ๏ซ1, j
3. Stop. Jika Algoritma 1 dikerjakan, maka diperoleh dua matriks berikut
(1). matriks Hessenberg
๏ฉ h1,1 h1, 2 ๏ชh ๏ช 2,1 h2, 2 ๏ช 0 h3, 2 ๏ช 0 0 H๏ฝ๏ช ๏ช0 0 ๏ช ๏ ๏ช ๏ ๏ช0 0 ๏ช 0 ๏ช๏ซ 0
h1,3
h1, 4
h1,5 ๏
h1,m๏ญ1
h2,3
h2, 4
h2,5 ๏
h2,m๏ญ1
h3,3
h3, 4
h3,5 ๏
h3,m๏ญ1
h4,3
h4, 4
h4,5 ๏
h4,m๏ญ1
0
h5, 4
h5,5 ๏
h5,m๏ญ1
๏
๏
๏
๏
0
๏
0
๏ hm๏ญ1,m๏ญ1
0
๏
0
๏
(2). matriks V ๏ฝ ๏v1
๏ hm ,m๏ญ1
h1,m ๏น h2,m ๏บ๏บ h3,m ๏บ ๏บ h4,m ๏บ ๏ R m ๏ดm h5,m ๏บ ๏บ ๏ ๏บ hm๏ญ1,m ๏บ ๏บ hm,m ๏บ๏ป
v2 ๏ vm ๏.
Vektor-vektor kolom matriks V merupakan basis untuk subruang Krylov K m ( A, b) . Untuk selanjutnya, matriks Hessenberg yang dihasilkan oleh
algoritma Arnoldi dinotasikan dengan H . Teorema berikut memperlihatkan hubungan antara matriks input dan matriks output dalam Algoritma 1. Perhatikan vektor-vektor elemen subruang Krylov K m (A, r0 ) dengan
r0 ๏ฝ b ๏ญ Ax 0 . Untuk setiap vektor
x ๏ x0 ๏ซ K m (A, r0 )
dapat
ditulis
x ๏ x0 ๏ซ Vm y ( m) untuk suatu vektor y ( m) ๏ R m dan Vm ๏ฝ V matriks basis
yang dihasilkan oleh Algoritma 1. Algoritma 2. (Algoritma GMRES) 1. Pilih titik awal ๐๐ โ ๐น๐ dan hitung ๐๐ = ๐ โ ๐จ๐๐ dan ๐๐ =
๐๐ ๐๐
2. Konstruksikan vektor ortonormal ๐๐ , ๐๐ , โฆ , ๐๐ dengan algoritma 1. 3. Tentukan vektor ๐ โ ๐น๐ agar diperoleh ๐ โ ๐จ๐ โค min๐ฅ โ๐
๐ ๐ โ ๐จ๐ 4. ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ ๐ฝ๐ ๐ dengan ๐ฝ๐ = ๐๐ , ๐๐ , โฆ , ๐๐ III.
KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, dapat tunjukan bahwa solusi numerik dari persamaan difusi anisotropik ๐๐ข ๐ฅ, ๐ก = โ ๐ท ๐ข, ๐ฅ โ๐ข ๐ฅ, ๐ก ๐๐ก
dengan ๐ข (๐ฅ, ๐ก) adalah densitas pada ruang ๐ฅ dan waktu ๐ก, ๐ท (๐ข, ๐ฅ) adalah koefisien difusi di ruang ๐ฅ, dan โ adalah operator Laplace, โ=
๐ ๐ + ๐๐ฅ ๐๐ก
khususnya persamaan panas dimensi satu ๐๐ข ๐ฅ,๐ก ๐๐ฅ
๐2๐ข
= ๐ 2 ๐ ๐ฅ 2 , 0 โค ๐ฅ โค ๐, ๐ก > 0
dengan metode selisih hingga mundur terhadap waktu dan selisih hingga tengah terhadap ruang (backward time - central space method) menghasilkan persamaan ๐ค๐,๐ โ1 = 1 + 2๐ผ ๐ค๐,๐ โ ๐ผ๐ค๐+1,๐ + ๐ผ๐ค๐โ1,๐ dengan solusi berupa sistem persamaan linier sebagai berkut: ๐จ๐๐,๐ = ๐๐,๐โ๐ Untuk memudahkan penyelesaian sistem persamaan linier di atas digunakan Algoritma GMRES. Algoritma GMRES dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier skala besar. Dalam tugas akhir ini pembahasan mengenai solusi numerik hanya terbatas pada persamaan difusi anisotropik dimensi satu. Metode yang digunakan juga merupakan gabungan dua skema metode selisih hingga. Oleh karena itu, tugas akhir ini dapat dikembangkan mengenai solusi persamaan difusi anisotropik secara umum, meliputi persamaan difusi anisotropik dimensi 2 dan seterusnya. Atau dapat juga dengan menggabungkan dua skema lain pada metode selisih hingga sehingga dapat dibandingkan hasilnya. IV.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, Howard. 2005. Aljabar Linier Elementer Edisi Ketiga. Surabaya. Erlangga [2] Antoulas, A. C. 2005. Approximation of Large Scale Dynamical Systems. Philadelphia. SIAM. [3] Bjorck, Ake. 1996. Numerical Methods for Least Squares Problems. SIAM. [4] Froberg, Carl โ Erick. 1965. Introduction to Numerical Analysis Second Edition. Addison โ Wisley Publishing Company. USA.
[5] Iyengar, S. R. K, Jain, R. K. 2009. Numerical Methods. New Age International Publisher. [6] Iyengar, S. R. K, Jain, M. K, and Jain, R. K. Numerical Methods (Problem and Solutions). New Delhi. New Age International. [7] Lui, S. H. 2011. Numerical Analysis of Partial Differential Equations. Canada. Wiley. [8] Saad, Yousef. 2003. Iterative Methods For Sparse Linier Systems, Second Edition. Philadelphia. SIAM.