Stochastische Modelle zur Beschreibung von Zellteilungsprozessen ...

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Werkstoffe und Fertigungstechnik

Stochastische Modelle zur Beschreibung von Zellteilungsprozessen und Bruchstrukturen Projektleiter:

Prof. Dr. rer. nat. Viola Weiß FB Grundlagenwissenschaften

Mitarbeiter: PD Dr. Werner Nagel, Friedrich-Schiller-Universität Jena, Institut für Stochastik Forschungspartner: Prof. Dr. Richard Cowan, University of Sydney Dr. Christoph Thäle, Universität Osnabrück Prof. Dr. Joachim Ohser, Hochschule Darmstadt

V. Weiß

Laufzeit: fortlaufend Kontakt:  [email protected]

 (03641) 205 507

A stochastic model for crack structures and processes of cell division

A new model of random tessellations is developed to describe structures which occur by consecutive generation of cracks on a surface. Thus potential applications are for example coated metals, ceramic surfaces, cellular tissues, drying soil. Special properties of this model are investigated and a lot of parameters are calculated (mean values, distributions, second order quantities). Further a process dependent on time is developed, the random states of which are such tessellations.

sonsche Geraden- und Ebenenmosaike. Aus der Vielfalt realer Mosaikstrukturen ergibt sich ein großer Bedarf für weitere Modelle. Eine Methode zur Gewinnung neuer Modelle ist die Anwendung von Operationen wie Superposition und Iteration (auch Nesting genannt) auf Mosaike. Neue Modelle sollen einerseits eine gute Approximation realer Strukturen ermöglichen und für den Anwender gut handhabbar sein. Andererseits sollen sie aber auch theoretisch genutzt werden zur Herleitung von Formeln mit denen Charakteristika und Kenngrößen für das Modell berechnet werden können. Im Rahmen des Forschungsprojektes wurde zunächst ein stochastisches Modell für ein Mosaik entwickelt, in dem neue Zellen entstehen durch Teilung von bereits vorhandenen Zellen. Die Teilung der Zellen erfolgt unabhängig voneinander gemäß einer vorgegebenen Teilungsvorschrift, bei der unter anderem größere Zellen mit größerer Wahrscheinlichkeit zur Teilung ausgewählt werden. Diese Mosaike – genannt STIT Mosaike – haben die wichtige Eigenschaft, dass ihr Verteilungsgesetz stabil ist unter der Operation der Iteration. Diese Stabilitätseigenschaft macht sie mathematisch besonders interessant, denn dadurch konnte eine Vielzahl theoretischer Resultate hergeleitet werden, und es konnten Mittelwerte, Verteilungen, Größen zweiter Ordnung für STIT Mosaike bestimmt werden. Bei den Untersuchungen der Kenngrößen ging es auch um Abgrenzung und Unterschiede zu den herkömmlichen Modellen. Auf diese Weise kann herausgefunden werden, für welche realen Strukturen das STIT Modell besser angepasst ist als andere Modelle. Eine Simulation eines ebenen STIT Mosaiks ist in Abbildung 2 zu sehen.

In vielen Anwendungsgebieten von Material-, Bio- und Geowissenschaften werden Strukturen betrachtet, die durch eine zufällige Zerlegung eines ebenen oder räumlichen Gebietes in einzelne, nicht überlappende Zellen entstehen. Beispiele dafür sind mikroskopische Bilder von Metallschliffen, Zellstrukturen biologischer Gewebe sowie Riss- und Bruchstrukturen. In Abbildung 1 ist eine solche Riss-Struktur auf einer Keramikoberfläche gezeigt.

Abb. 2: Simulation eines ebenen STIT Mosaiks

Abb. 1: Riss-Struktur auf einer Keramikoberfläche

Klassische und bereits sehr gut untersuchte mathematische Modelle dafür sind Voronoi-Mosaike sowie Pois-

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Ein weiterer wichtiger Schritt der Modellentwicklung gelang in der nächsten Phase der Untersuchung durch die Betrachtung eines zeitabhängigen Prozesses, bei dem jeder Zustand zu einer festen Zeit ein STIT Mosaik ist. Dieser Prozess ist ein Markov-Prozess, den man als Modell zur Beschreibung von Zellteilungen oder auch für die Entstehung von Riss-Strukturen nutzen kann. Durch statistische Auswertung von Bilddaten wird die Anpassung der Modelle an reale Strukturen untersucht und getestet.

Fachhochschule Jena

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Forschungsbericht 2009/2010