Exercice 7 : On place un capital U0 = 1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts
simples. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature ...
Suites : exercices Les réponses aux questions sont disponibles à la fin du document
Exercice 1 : Soit (Un ) la suite définie par Un = n2 − n + 1. a) Calculer U0 et U10 . b) Exprimer, en fonction de n, Un + 1 et Un+1 .
Exercice 2 : 1 . n+1 a) Exprimer Un+1 −Un en fonction de n. b) En déduire le sens de variation de la suite (Un ). Soit (Un ) la suite définie par Un =
Exercice 3 : 1 Soit (Un ) la suite arithmétique de premier terme U0 = 4 et de raison r = . 2 a) Exprimer Un en fonction de n. b) Calculer U10 .
Exercice 4 : Soit (Un ) la suite arithmétique telle que U4 = 5 et U11 = 19. Calculer la raison r et U0 .
Exercice 5 : Soit (Un ) la suite géométrique de premier terme U0 = 7 et de raison q = 3. a) Exprimer Un en fonction de n. b) Calculer U5 .
Exercice 6 : On suppose que chaque année la production d’une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l’année 2000, la production a été de 25000 unités. a) On note P0 = 25000 et Pn la production prévue au cours de l’année (2000 + n). Montrer que (Pn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison. b) Calculer la production de l’usine en 2005.
Exercice 7 : On place un capital U0 = 1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts simples. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature de la suite (Un ) et exprimer Un en fonction de n. b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans. c) Au bout de combien d’années le capital initial aura-t’il doublé ?
Exercice 8 : On place un capital U0 = 3500 euros à 3 % par an avec intérêts composés. On note Un le capital obtenu au bout de n années. a) Donner la nature de la suite (Un ) et exprimer Un en fonction de n. b) Calculer la valeur du capital au bout de 10 ans.
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Réponses exercice 1 : a) U0 = 02 − 0 + 1 = 1 et U10 = 102 − 10 + 1 = 91. b) Un + 1 = (n2 − n + 1) + 1 = n2 − n + 2 Un+1 = (n + 1)2 − (n + 1) + 1 = n2 + 2n + 1 − n − 1 + 1 = n2 + n + 1.
Réponses exercice 2 : 1 1 = (n + 1) + 1 n + 2 1 1 (n + 1) − (n + 2) −1 Donc, Un+1 −Un = − = = . n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) b) Pour tout n, Un+1 −Un < 0. Donc la suite est décroissante.
a) Un+1 =
Réponses exercice 3 : 1 a) Un = U0 + n × r = 4 + n . 2 1 b) U10 = 4 + × 10 = 9. 2
Réponses exercice 4 : U11 = U4 + (11 − 4) × r ⇔ 19 = 5 + 7r ⇔ r = 2. U4 = U0 + 4 × a ⇔ 5 = U0 + 8 ⇔ U0 = −3.
Réponses exercice 5 : a) Un = qn ×U0 = 7 × 3n . b) U5 = 7 × 35 = 1701.
Réponses exercice 6 : 4 a) Baisser une grandeur de 4% revient à la multiplier par 1 − 100 = 0, 96. Pour tout n, Pn+1 = 0, 96 × Pn . Cela prouve que (Pn ) est une suite géométrique de raison 0,96 . b) P5 = q5 × P0 = (0, 96)5 × 25000 ≈ 20384 .
Réponses exercice 7 : 4, 5 a) (Un ) est arithmétique de raison : r = × 1500 = 67, 5. 100 Un = U0 + n × r = 1500 + 67, 5 × n . b) U10 = 1500 + 67, 5 × 10 = 2175 . c) Un > 3000 ⇔ 1500 + 67, 5 × n > 3000 ⇔ 67, 5 × n > 1500 ⇔ n > 22, 2. Il faudra donc attendre 23 années.
Réponses exercice 8 : 3 a) (Un ) est géométrique de raison : q = 1 + 100 = 1, 03. n n Un = q ×U0 = 3500 × (1, 03) . b) U10 = 3500 × (1, 03)10 ≈ 4703, 7 .
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