SUPERCRITICAL ELLIPTIC PROBLEMS IN DOMAINS ... - UBC Math


           !" # $% & '( )&$  *,+.-0/0132451628739:-5;$+5-54$013-.@$AB139

C5DFEHGFIKJMLNGPO 2PQSR.TVUMQXWYUMZ\[F]F^NQ_^a`abdceZZfRdg,^FZ\chWfij]ij]lk'mh`anpoBqN`srutTlv?AQ w Z\]Fbdij^FQyxRdgFQzUMZ\[F]F^KWfx|{}fWf~j[FQ€FxZ\UN~jQ_c‚ij],ƒ „T…'†‡Nˆ‰rzŠH` ‹ŒY8ŒFŽ „? Œ‘  ij]ƒ. Œ „"’Z\]“sƒ m5—™˜ ‘ i d R Y g  • d b F [ M  _ Q x  x i d R i f W – ~ N ` K ] f W e c y Q ~  { • w w ” mzš›˜ vœAQ.K]F^WXbQyž[FQy] w Q •PŸ. • ˜  •s¡z £¢y¢¤¢a ” i Rdg ~jijc • ¥ „ €¨  ¥f¦ —6§ bd[ w g©RdgKWªRYi «™•©ijb¬\i }Q_]a` ” i Rdg•$„u ­ •®«‰Z\xWf~j~œ¯M`›RdgFQy]©«°Z\xXWf~j~?± ‘ ,b[N² w ijQy]R~ { bdchWf~j~–`RdgFijb'FxZ\UN~jQ_c³ijb'bZ\~ }\WfUN~jQv s´ µh¶f·?¸?¹3º0»¼½6¸?¾:º0·À¿·'»ÂÁ¸Ã¿›¸?ĜÅlę·?¸Æº0Ç£¸?È'ÄÉÅh¿¾Ê·³¹?ęÁ¼Ë¸'Á ÌÎÍ6ÏsФщÒYөԛ՛Ö×6ÔMØ?ٜÔaٜװщٜÖNÏMÚzÖװ׉ѰۜܤіÒhÍ3ÔsݜٙՙÏMÚªÞۜڪÔs͜׉ÖÓßіÐ.ܤàœÖáÏsٜÖâSãzÓä՛ÖٛâHå™ÔKæe×°ÖÚ ÖNçaÝ6ÏKܤщÔsÙè éê8ëVêœìíïîeðYêòñÆî щÙòó$ð ô ´aµ°´Fõ êíïîöÔaÙ÷?óøð ô ´aµ ùaõ æeàœÖÚ¤ÖóÎщÐhϩ՛ÔaÓäÏMщÙBæeѰܤà£Ð¤Ó8ÔPÔsܤà"Í6Ôaݜٙ՜ÏsÚ¤Þäщ٣ú.ûüÏMÙ6Õý£ñ ´sµ ÌþÓäÏMщÙÒfà™ÏsÚªÏaÒ\ܪÖڪщÐ_ܤіÒeÔMØ0ܤàœÑ–ÐYۜڪÔs͜׉ÖÓÿіÐXܤà™ÖÚªÔs׉Öۜ׉ÏFÞaÖÕäÍPÞäܪàœÖÒÚªÑ ÜªÑ‰ÒÏM× Ö
Û3ÔsٜÖÙÃÜ û  щÙ"ܤàœÖÐ_Ôa × KÏMÍ™Ñ°×‰Ñ ÜyÞçÃݜÖÐ_ܤщÔsÙ û  è6Ï Ð¤Ôs׉ݛܤщÔsÙ£ÒÏMÙ£Í3ÖØ:ÔsݜÙ6Õ ý£í  µ  àœÖÙ  ´ ý û   û   ÏaÐ ÏMÙïÖ
ܪڤÖÓäÏM×hØ:ÔaÚ ÜªàœÖòÍ3ÖÐ_ÜÒÔaٙÐ_ܪÏMÙÃÜ Ñ‰ÙÂܤà™ÖøÒÔaөۙÏsÒÜ ÖÓÍ6ÖN՜՛щÙ VÔM Ø   ôdó õ Ñ°ÙÃÜªÔ Ö KÏsڤіÏKܪѰÔaٙÏM×?ۜڪÔs͙װÖÓ  ì Kôdó õ èœÙ™ÏsÓ8Ö×°ÞBÏөщٜщÓ8Ñ ÖÚhÔMØ0ܤàœ / ê  Ñ°Ù›Ø &10 2 0 ! "#%$ &('*),+ .- 3 / ê ì 4.578:9 6 " û F3՛ щЪÒHÔ aÖÚªÖÕܤà™ÏMÜzٜÔÐ_ÔaװݜܤщÔsÙ©Ö Ñ–ÐyÜfÐ.Ñ°Ù8ܤà™Ñ‰ÐÒÏsФÖYÑ Ø3ܤà™Öh՛ÔsÓäÏMщ٩щÐÐyܪڤіÒ\Üª×°Þ B Ôaàœ!Ô NÏMCÖ ED ù Gî 
Ð_ܪÏsÚ_âSÐ_à6ÏMÛ3ÖÕ  Õ J%Ï ՙÏMÙ£ÏMÙ™Õ  ÏMڪٜÖ< Ú D M´ L F.Ôs͙ФÖ:Ú sÖNÕ Üªà™ÏKÜÑ ØópіÐÏsÙ µ I Ù"ܤà™ÖÔMܪàœÖÚlà™ÏMٙK ÏsٜÙPݜװÝ6Ðè'ó O í NQPSRUT P WVQX è ÒÔaөۙÏsÒܤٜÖNФÐàœÔsז՜ÐØ:ÔsÚ,ÏMÙPÞ©ýÀñ ´ æeѰܤàœÑ‰ÙòܪàœÖ8Ò׉ÏaФР0 Ïø 0 Ð_ÔaװݛܪѰÔaقÒÏsق%Ï ÃÏMщÙÀÍ6ÖBØ:ÔsݙٙY ÔsØhÚªÏa՛щÏs×zØ:ݜÙ6Ò\ܤщÔsÙ6ÐèÏsٙÕV Õ KÏMڪіÏKܤщÔsÙ6ÏM׉װÞøæeÑ ÜªàœÔsݛÜäÏMÙPÞ ÒÔsٙÐ_ܤÚfÏMщÙÃÜXщ٩ý µ Ú D L FHè [XÚªCÖ щÐhÏsٙ] Õ \hщڪÖÙPÍ6Ö^Ú BÒÔsÙ6Ð_і՛ÖÚªÖÕBܪàœÖÒڤѰܤіÒÏs×0ÒÏaÐ_Öeýòí Z ٣ܪàœÖÒזÏsЪФщÒÏM×'ۙÏsÛ6Ö< û  ÏMÙ6ÕۜڪHÔ sÖÕܪà™ÏK܀ÒÔaөۙÏsÒܤٜÖNФÐèKÏMٙÕàœÖٙÒÖФÔs× KÏM͜щװѰÜyÞsèKіÐ0Ú¤ÖNÐyܪÔsÚªÖÕ,ÍPÞ,ܤàœÖYÏsÕ™Õ›Ñ ÜªÑ°ÔaÙ û Ø?Ï Ð_ݜѰܪÏs͜׉ÖhװщٜÖNÏMÚzܪÖÚªÓ ` Ôs Ù D b%F3ݙФÖÕ c Ï KÏMڪіÏKܤщÔsÙ6ÏMיÏsۜۜڪÔaÏsÒfà8ܪÔۜڪHÔ sÖXܤà™ÏMÜô ´sµ‰´Nõ â µ _ ÔaÚ¤Ôaa û  Ñ°Øó Ö
àœÑ‰ÍœÑ Üfe ô ´sµjùsõ іÐBФÔs× KÏM͜׉ÖòØ:ÔaÚýßí Ð defhgEdHijikl%i m O Þ D ùsù FÖNÐyÜfÏM͜׉іÐ_àœÖNÕ µ n Öo û     Ö
іÐ_ܤÖÙ6ÒÖÔsØÓÝœ× ÜªÑ°Û™×°Ö©Ð_ÔaװݜܤщÔsٙÐÑ°ØYó Ö
à™Ñ°ÍœÑ°ÜªÐ,ФCÖ aÖÚfÏM×.Ð_ÓäÏM׉×5àœÔs׉ÖÐ µ [YÏMàœÚªÑ€ÏMÙ™Õ _ ÔsÚªÔsÙ û  æeàœÖٜCÖ aÖÚ óüà™ÏsЩÏÉٜÔsٜâdܪڤÑ PщÏs× D ´ FhÖÐ_ܪÏs͜׉щФàœÖՂܤà6ÏKÜ Ð_Ôa × KÏs͜Ѱ׉ѰÜyÞVàœÔsז՜ÐØ:ÔsÚýpí û [X  Ú¤MÖ іÐ0щq ܪÔsÛ3Ôs׉!Ô sÞ µ p àœÖYçÃݜÖÐ_ܤщÔsÙÍÃÞ n ÏM͜щٜÔKæeÑ°^Ü sèMÐ_ܪÏMܤÖNÕÍP Þ Ù D ù FHèMæeàœÖܤàœÖÚ5ܤàœÖXۜڪÖФÖٙÒÖ





r stuvxwyzvxwS{x|}tz~1sty1,utz€vxtz‚1ƒ„vx| ÔsØ6ٜÔaٛâdܪڤÑ PщÏs×PܤÔaÛ6Ôa×°ÔsÞщÙ8ܤàœÖh՛ÔaÓäÏMщ٩ФÝx

… ÒÖNÐ5Ø:ÔsÚФÔs×K ÏMÍœÑ‰×‰Ñ ÜyÞщÙ8ܤàœÖhФݜÛ3ÖÚfÒÚªÑ ÜªÑ‰ÒÏMלÒÏsÐ¤Ö ýÂñ û è5æYÏsÐÏMÙ6Ð_æXÖÚªÖÕøٜÖCà ÏKÜªÑ a Ö׉Þ$ÍPÞ B ÏaФЪÏsФÖÔD ´Q†  F ÍPÞ$Ó©ÖNÏMٙÐÔsØhÏMÙuÖ
ÏMөۜ׉֩Ø:ÔsÚ û û 4 µ Z Ø0ýøіÐ,Ð_ݜÛ3ÖÚfÒڪѰܤіÒÏM×5͜ݛÜÒ׉ÔaФÖܪÔÒڤѰܤіÒÏs×dè ͜ݙ͜͜׉ѰÙ"  ФÔs׉ݛܤщÔsٙР‡ =>bBÏMÙ6Õ ýÀñ û ÏsÚ¤ÖØ:ÔsݜÙ6ÕBщ٣՛ÔsÓäÏsÑ°ٙˆ ÐYæeѰܤà£Ð¤ÓäÏM׉×?àœÔs׉ÖÐèœÐ_Ö։D † è(Š›è ´ bHF µ

ã
ÒÖۛÜ.Ø:ÔsÚ.ÚªÖФݜװܪÐ5Ѱ٩՛ÔaÓ©ÏsÑ°Ù6Ð0щ‹Ù sÔa × PщÙ ФÞPÓ©Ó8ÖܤڪѰÖNÐ5ÔsÚ.Ö
Û3ÔsٜÖÙaÜfÐ.Ò׉ÔaФÖܪÔ,ÒڤѰܤіÒÏs×dè Ö µ  µ D Œ›è † èQŠ›è ´ îœè ´G è ´QŽ è ´ ŠGFHèFФÔs× KÏMÍœÑ‰×‰Ñ ÜyÞÔMØô ´sµ‰´Nõ â\ô ´aµ ùaõ Ñ°ÙܤàœÖXÐ_ݜÛ3ÖÚfÒڪѰܤіÒÏM×aÒÏsФÖzà™ÏaÐ'Í3ÖÖÙ Ïæeі՛Ö׉ÞøÔaÛ6ÖÙuÓ©ÏMÜ_ܪÖÚNèۙÏsÚ_ܪщÒݜ׉Ïsڤ׉Þ$ФѰÙ6ÒÖE KÏMڪщÏMܤщÔsٙÏs׀ÓäÏsÒfàœÑ‰ÙœÖÚªÞòٜԣ׉ÔsÙ(sÖÚÏsۜۜ׉ѰÖNÐè ÏMÜY׉ÖÏaÐyÜeщÙ"Ñ ÜfÐeٙÏKܪݜÚfÏM×‰×°Þ Ïa՜ÏMۜܤÖÕBæYÏFÞ©Ø:ÔsÚhФݜÍ3ÒڤѰܤіÒÏs×'ÔsÚeÒڤѰܤіÒÏs×?ۜڤÔa͜׉ÖÓäÐ µ Z ٠ܪàœÑ–ÐÛ6ÏMÛ3ÖÚYæÖÒÔaٙÐ_і՛ÖÚ B Ú¤Ôa͜װÖÓô ´sµ‰´Nõ âfô ´sµjùsõ Ø:ÔsÚXÖ
Û6ÔaٜÖÙÃÜfÐý"ÏMÍ3HÔ sÖÒÚªÑ ÜªÑ‰ÒÏM×3Ñ°ÙÏ _ ÔaÚ¤ÔaÙ  ЀÜyÞÃÛ3Ö՜ÔsÓäÏMщÙ @5ÔsٜÖhÖ
àœÑ°Í™Ñ ܪѰÙ 8ÏФөÏs×°×6àœÔs×‰Ö `µ p àPݙÐæÖlÏaФФݜөÖhщ٠æeà™ÏMÜzØ:Ôs׉װÔKæhРܪà™ÏKÜYܤà™Ö՛ÔsÓäÏMщÙòóïà™ÏaÐXܤàœÖ,Ø:ÔaÚ¤Ó óï‘ í >’“”MAô • õ ô ´aµ LÃõ æeàœÖÚ¤c Ö  іÐlÏ©Í3Ôsݙٙ՛Öգ՜ÔsÓäÏMщÙ"æeÑ Üªà$Ð_Ó©ÔPÔMܪà"Í6Ôaݜٙ՜ÏsÚ¤Þa(è “ ” *ô • — Õ ˜©ñÎî©Ñ–ÐeÜªÔ õ –  ÏMٙa Í3Ö,ܪ!Ï ™sÖÙ"ФөÏs×°× ` P à ™ Ý Y Ð  æ  Ö  Ò s Ô ™ Ù ¤ Ð – Ñ › Õ  Ö X Ú ¤ Ü ™ à  Ö œ Û ¤ Ú a Ô œ Í ‰ ×  Ö Ó s Ô Ø 4 ™ š 6 Ù › Õ ° Ñ Ù (

  Ò – × s Ï ª Ð _ Ð – Ñ  Ò s Ï × ¤ Ð s Ô ‰ × › Ý ÜªÑ°ÔaٙÐYÔMØ µ p éêäëÀê ì íÎîeðYêòñ³î Ñ°› Ù >’“ ” *ô • õ ð ô ´aµ b õ êBí î ÔaÙ£(÷ œ÷ “ ” *ô • õ ô ´aµ aõ I ݜÚYÓäÏMщÙ"Ú¤ÖNÐ_Ý™× ÜhÐ_ܪÏKܪÖÐYܪà™ÏKÜYܪàœÖÚªÖщÐeϩФÖçÃݜÖٙÒÖÔsŸØ ž^m.fC;lH d% (¡ m^¢.£(lH mC (¡*f\è ‡ ë ù ý ý ý §¦C¦M¦ ð æeÑ Üªà ×°Ñ‰Ó ý í  ë « ô ´aµ ŽÃõ   ˆ ‡¥¤ ù ¨C© ª ¨ ФݙÒfàuܤà6ÏKÜÑ°ØzýVіÐФݜÛ3ÖÚfÒÚªÑ ÜªÑ‰ÒÏM×ÏsٙÕÀ՛ Ñ ¬3ÖÚªÐØ:ÚªÔsӒÏM׉×Ö׉ÖÓ©ÖÙaÜfÐÔsØYܤàœÑ–ÐФÖçÃݜÖٙÒÖ Ü¤àœÖÙ Ú ˜щÐhФxÝ … ÒщÖÙÃÜª×°Þ Ð¤ÓäÏM×‰× µ B Ú¤Ôa͜װÖÓ ô ´aµ b õ â\ô ´s­µ sõ іÐeÐ_Ôa × KÏs͜װÖ,æeàœÖٜCÖ aÖ— û  dH Ä  ®°‹±(²H°‹³µ´·¶K¸ kmCž^m‰m:¢¹}fh¡ºf„d1fCm,».¼(mC ½,m¾lÀ¿