Symmetry Breaking 1 Introduction

11 downloads 180 Views 368KB Size Report
Keywords. symmetry breaking during search, graph partitioning, n- queens problem, golfer problem. 1 Introduction. Symmetries can give rise to severe problems ...
                    

                !  

                  "            #  $   % & '               '        % ( '   )   $     '    *    *%                      +   *% ,   

      *   % -      .      $   '   /     *%     +* *   *    *  )   *       

                                                                                               

                                                                  !          

            ! !                             

    

"              #        $           0 ' + '        1       213  4 567     4       -0  *        8       4  999! 6:    -0  *   8      -0999;&03%

             !     % &'( )           #  *%+,           -               &.( % &/(  

        01  %     01              !                   2                   #     01     3   &45( 6                                 #   "               7                !                     %            %       0  !                

         !          8                     6                               

              9 %  :       011    %    ; /  <        -       $      =            -           



    !                            ¾    0   ¾           6                    ¾                                                0                 

                                                                                 

           

¼

:

           ¼

¼

                    !                         "

                            !                ¼

¼

¼

¼

¼

¼

                        9      

# $

¼

                 

          9 6                      6           ¾           -           ¾       %                                  

    ¾   

 







%       !                    6         >                  0 !  1  1 * 011,  4* ,  $     

(a)

(b)

(c)

  0   5? ,       +      

$    % 5 $               *     %      +    % 2 3 &*        + *    $   % 23 *      

     '     4         

  % 23  

     *   + *      '         %

>                  %            2      

*1 ,    $            ;



        

 !   2  $      011              1      !   #               %             ! !    $                     

                      %                          &                           

               &                                 ¼

¼

#  



¼

                     ¼

? @ 4 011     1      $ 2#  9 "               9 4 A !                      %                *6                      , : *        , ;   ! !9                                      =    :               !         !  !   $                          

 2                       !                                  4*,  $     1         

)        $          

011          1                 $       >      -                          =                      @               /

        !                              &       %           @!                !                   =       

                          !                     1  *  4*,, 6                          6                      -            $        

    

             :       #                     !                    -                

                         !   =+#           #             %                         6    !              5     ?                 !       %      !            !                * &4    !    #    '          9   !" # $% &' ( #!))   0 =!  #                                                                                 

  

10*,         /      10*,   ;         9        

                                                            














                           * ,           ! * ,     !        * ,           * ,              !   #                            -    %@>                           7 

!   !          !   !               !     6               !              !            6                          - # (  

0                                     #                               !               

  !            !  !      ¾   !           

     !       !      ¾       !       %          < ! 4     ¾       ! :         ½ -  *           *             '+% &         : '+       '   + +*  '  

*  .      *     '+%









C

4  ;            ¾    -               :  ;    ! ;     ¾  ! :      8 ! :     ¾       ! :         !                    !   ¾    6    - !   ¾   !          %            ¾     6   <       











week 1

1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 4 7 2 2 8 1

1 3 1 4

5 6 8 8

week 2 week 3

8 week 1

2 3

week 2 week 3

  0       ' '      ¾% 8     

 '+ 2 "  3  *    %          % &  *       *   *    '   *

     '+    %   *     $ 2  *3        ¾%

%             #  -          !  -            !            !                           ! F G   !     8    #                    6    "          !   "#        >                          



-

&$  $

        %@>   

 

9: ;< !
 % %; !!7 ;6 ;6 9: 9; ; % % 99;:; !7
   

!;; ;; ;;; :;; 7;;

!7 :
::: ;6::
 

; 
-            -            "          

           !         "#          ;     !                      *     ,             /#/#/         #                            /           /#/#/        



 ! ;


      

    





 

!;;  % %6 6: !: !: ::: ::: ;; ! %  ;% :!                             8                2                  !       2              

011                                !                   !                "    011              H!    4C             -                       - A+   *   /;      011       01    #  

                   *#         ,    !       -    !     ! !       

   



  

  



  



; ! ; %   % 7 % :  ; % ! ; %  % 7 ; : %   %!  % 6 ; 79 %! 7 9 % :7 %! < 9! !