TABLA DE INTEGRALES

TABLA DE INTEGRALES • PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES Z Z Z Z Z ¦ (f + g)dx = f dx + g dx ¦ k · f dx = k · f dx

Z ¦

g 0 (f (x)) · f 0 (x) dx = (g ◦ f )(x)

• INTEGRALES INMEDIATAS Z

1 ¦ x dx = xα+1 + C, ∀α ∈ R − {−1}. α + 1 Z 1 ¦ akx dx = akx + C, ∀k ∈ R − {0}, a ∈ R. k log(a) Z ¦ cos(x) dx = sen(x) + C. Z 1 ¦ dx = tan(x) + C. 2 (x) cos Z −1 ¦ √ dx = arccos(x) + C. 1 − x2 Z ¦ cosh(x) dx = senh(x) + C. α

Z ¦

Z

ekx dx =

1 kx e + C, ∀k ∈ R − {0}. k

1 dx = log(x) + C. x Z ¦ sen(x) dx = − cos(x) + C. Z 1 ¦ √ dx = arcsen(x) + C. 1 − x2 Z 1 ¦ dx = arctg(x) + C. 1 + x2 Z ¦ senh(x) dx = cosh(x) + C. ¦

´ POR PARTES • INTEGRACION ½ ¾ Z Z u(x) = f (x) u0 (x) =Rf 0 (x) (u(x) · v 0 (x)) dx = ⇒ = u(x) · v(x) − u0 (x) · v(x) dx. v 0 (x) = g(x) v(x) = g(x) dx ´ POR CAMBIO HASTA UNA INTEGRAL RACIONAL • INTEGRACION R Para resolver la integral R(h(x))h0 (x) dx donde h(x) puede ser alguna de entre: ax , a > 0; ex ; log(x); arccos(x); arcsen(x); arctg(x) efectuaremos el cambio t = h(x) ´ DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ´ • INTEGRACION R Para integrales del tipo R(cos(x), sen(x)) dx, existen los siguientes cambios de variable: −1 dt 1 − t2

¦ Si R(cos(x), sen(x)) es impar en sen(x) =⇒

cos(x) = t ⇒ x = arccos(t) ⇒ dx = √

¦ Si R(cos(x), sen(x)) es impar en cos(x) =⇒

sen(x) = t ⇒ x = arcsen(t) ⇒ dx = √

¦ Cambio general:

³x´   ⇒ x = 2arctg(t) t = tan   2    dx = 2dt 1 + t2

con cos(x) =

1 dt 1 − t2

1 − t2 2t y sen(x) = 2 1+t 1 + t2

´ DE FUNCIONES IRRACIONALES • INTEGRACION En funci´on del integrando, los cambios a realizar son: r³ µ r³ ´p1 ´p k ¶ R ax + b q1 qk ax+b ax+b ¦ R x, dx, pi , qi ∈ N ⇒ tM = con M = m.c.m.(q1 , . . . , qk ) ,..., cx+d cx+d cx + d Z ³ p ´ ¦ R x, k 2 − x2 dx. Se aplica el cambio x = k sen(t) Z ³ p ´ k ¦ R x, x2 − k 2 dx. Se aplica el cambio x = cos(t) Z ³ p ´ ¦ R x, k 2 + x2 dx. Se aplica el cambio x = k tan(t)