PSI Moissan 2013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 2013.
Td correction Bilans en mécanique des fluides. I Jet d'eau sur une plaque. Dm.
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TD correction Bilans en m´ecanique des fluides
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Td correction Bilans en m´ecanique des fluides I
Jet d’eau sur une plaque ∆ D1 • α
h Dm
~v D2
a. L’´ecoulement est incompressible et permanent. L’´ecoulement est unidimensionnel, on peut donc prendre ~v “ vx~ex , donc l’´equation d’Euler s’´ecrit Bvx ÝÝÑ ÝÝÑ µp~v ¨ gradq~v “ µvx ~ex “ ´gradP Bx Or, le fluide ´etant incompressible, div ~v “ 0 donc Bvx “0 Bx et donc
ÝÝÑ Ñ Ý gradP “ 0
La pression est donc constante dans les zones ou l’´ecoulement est unidimensionnel. Par ailleurs, par continuit´e, `a l’interface eau-air, P “ P0 , donc la pression dans les zones d’´ecoulement unidimensionnel est ´egale `a la pression atmosph´erique. b. On fait un bilan de moment cin´etique, puisque la plaque est susceptible de tourner autour de l’axe ∆ en choisissant le syst`eme suivant – `a t, le syst`eme est constitu´e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ} (S0 ) et {l’eau entrant entre t et t ` dt dans la surface en A} (S1 de masse δmA ), – `a t ` dt, le syst`eme est constitu´e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ} (S0 ) et {l’eau sortant entre t et t ` dt de la surface en B (S2B de masse δmB ) et C (S2C de masse δmC )} . B
•
A
O
z
y
H C
On calcule le moment cin´etique par rapport `a ∆ `a t ÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ L∆ ptq “ L∆S0 ptq ` δmA pOA ^ ~vA q ¨ ~ex “ L∆S0 ptq ` δmA ppOH ` HAq ^ v~ey q ¨ ~ex 1
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ÝÝÑ HA est port´e par ~ey donc L∆ ptq “ L∆S0 ptq ` δmA p´h~ez ^ v~ey q ¨ ~ex “ L∆S0 ptq ` δmA vh On calcule ensuite le moment cin´etique par rapport `a ∆ `a t ` dt ÝÝÑ ÝÝÑ L∆ pt ` dtq “ L∆S0 pt ` dtq ` δmB pOB ^ ~vB q ¨ ~ex ` δmC pOC ^ ~vC q ¨ ~ex ÝÝÑ ÝÝÑ Or en B, la vitesse est colin´eaire ` a OB, en C la vitesse est colin´eaire `a OC, donc L∆ pt ` dtq “ L∆S0 pt ` dtq On peut donc ´ecrire la variation du moment cin´etique DL∆ “ L∆ pt ` dtq ´ L∆ ptq “ L∆S0 pt ` dtq ´ L∆S0 ptq ´ δma vh L’´ecoulement est ´etudi´e en r´egime permanent, avec un d´ebit massique tel que δmA “ Dm dt, donc DL∆ “ ´Dm dtvh et donc
DL∆ “ ´Dm vh Dt Il reste `a faire l’inventaire des actions ext´erieures et de leur moment : – la pression est la mˆeme en tout point entourant le syst`eme, et ´egale `a P0 , donc son moment est nul, – la r´eaction au niveau de l’axe ∆ est une force qui passe par O, donc son moment est nul, – le poids, dont le moment est ` a priori non nul. Le poids s’applique au centre de gravit´e de la plaque, donc ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ M∆P “ pOG ^ m~g q ¨ ~ex “ mppOH ` HGq ^ p´g~ez q ¨ ~ex donc M∆P “ ´mgHG “ ´mgl sin α On en d´eduit donc, en appliquant le th´eor`eme du moment cin´etique Dm vh “ mgl sin α ñ sin α “ c.
Dm vh mgl
Le fluide est incompressible, donc le d´ebit volumique est conserv´e Dm “ D1 ` D2
Par ailleurs, l’´ecoulement ´etant incompressible, parfait et permanent, on peut appliquer le th´eor`eme de Bernoulli en n´egligeant l’effet de la pesanteur 1 2 1 2 1 2 “ PB ` vB “ PC ` vC PA ` vA 2 2 2 Comme PA “ PB “ PC “ P0 , vA “ vB “ vC “ v On fait un bilan de quantit´e de mouvement qui a pour objectif de relier la variation de quantit´e de mouvement du fluide ` a la force de pression exerc´ee sur la plaque. Le syst`eme est donc le mˆeme qu’` a la 2
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question pr´ec´edente, hormis la plaque. Le syst`eme S0 est donc constitu´e uniquement par le fluide contenu dans Σ, de quantit´e de mouvement p~0 ptq. A l’instant t p~ptq “ p~0 ptq ` δmA~vA “ p~0 ptq ` Dm dt~vA et `a l’instant t ` dt p~pt ` dtq “ p~0 pt ` dtq ` δmB ~vB ` δmC ~vC “ p~0 ptq ` D1 dt~vB ` D2 dt~vC donc
D~ p “ D1~vB ` D2~vC ´ Dm~vA Dt La force de pesanteur ´etant n´eglig´e, seule la force de pression s’exerce. En particulier, compte tenu du caract`ere parfait du fluide, la force de surface s’exer¸cant sur le fluide de la part de la plaque se r´eduit ` a la pression P (pas de viscosit´e). On peut alors ´ecrire £ Ñ Ý Ñ Ý F “ ´P d S Σ
o` u P est variable. On transforme cette int´egrale £ £ Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý F “ ´P0 d S ´ pP ´ P0 qd ? Σ
Σ
La premi`ere int´egrale est nulle, puisque c’est l’int´egrale sur une surface ferm´ee d’une pression constante. La deuxi`eme int´egrale est non nulle quand P ‰ P0 , donc au contact entre la plaque et le fluide, d’o` u £ Ñ Ý Ñ Ý F “´ pP ´ P0 qd S plaque
On a donc
£ ´
Ñ Ý pP ´ P0 qd S “ D1~vB ` D2~vC ´ Dm~vA
plaque
que l’on projette le long de la plaque 0 “ D1 v ` D2 v ´ Dm sin αv On a donc finalement le syst`eme suivant " Dm p1 ´ sin α Dm p1 ` sin αq D1 ` D2 “ Dm et D2 “ ñ D1 “ D1 ´ D2 “ Dm sin α 2 2
II
Force exerc´ ee sur un coude de canalisation On va faire un bilan de quantit´e de mouvement sur la syst`eme ferm´e suivant – `a t, le syst`eme est constitu´e du fluide compris entre les surfaces S1 et S2 (syst`eme S0 de masse m0 ), plus le fluide qui va entrer ` a travers la surface S1 entre t et t ` dt (syst`eme S1 , de masse δm1 ), – `a t ` dt, le syst`eme est constitu´e de S0 , plus le fluide sortant par la surface S2 (syst`eme S2 de masse δm2 . 3
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Par conservation de la masse totale du syst`eme mpt ` dtq ´ mptq “ m0 ` δm2 ´ m0 ` δm1 “ δm2 ´ δm1 “ 0 ñ δm2 “ δm1 “ δm On effectue le bilan de quantit´e de mouvement, `a t p~ptq “ p~0 ` δm~v1 et `a t ` dt p~pt ` dtq “ p~0 ` δm~v2 ce qui donne D~ p “ δmp~v2 ´ ~v1 q “ D dtp~v2 ´ ~v1 q et donc
D~ p “ Dp~v2 ´ ~v1 q Dt Par ailleurs, les forces s’exer¸cant sur le syst`eme sont : Ñ Ý – le poids P “ M~g , – la force de pression motrice en S1 : P1 S1~ex , – la force de pression r´esistante en S2 : ´P2 S2 pcos α~ex ` sin α~ey q Ñ Ý – la r´eaction de la canalisation R . de sorte que Ñ Ý Dv2 pcos α~ex ` sin α~ey q ´ Dv1~ex “ M~g ` P1 S1~ex ´ P2 S2 pcos α~ex ` sin α~ey q ` R La force exerc´ee par le fluide sur la canalisation est donn´ee par Ñ Ý Ñ Ý F “ ´ R “ ´Dv2 pcos α~ex ` sin α~ey q ` Dv1~ex ` M g~ey ` P1 S1~ex ´ P2 S2 pcos α~ex ` sin α~ey q que l’on projette sur les deux axes pour obtenir les composantes " Fx “ ´Dv2 cos α ` Dv1 ` P1 S1 ´ P2 S2 cos α Fy “ ´Dv2 sin α ` M g ´ P2 S2 sin α Dans des conditions classiques S1 “ S2 “ S, P1 “ P2 “ P0 , et pour un fluide incompressible, par conservation du d´ebit, v1 “ v2 “ v " Fx “ ´Dv cos α ` Dv ` P0 S ´ P0 S cos α Fy “ ´Dv sin α ` M g ´ P0 S sin α et en regroupant les termes "
Fx “ pDv ` P0 Sqp1 ´ cos αq Fy “ ´pDv ` P0 Sq sin α ` M g
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