TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

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TEMA 6. Ejercicios / 2. ECUACIÓN GENERAL: x y z. 0 1 0. 0 0 1. 0 Í x 0. 2. .... Por tanto cualquier punto de la forma D a,b,2 a b , será solución. 8. .... C 3, 2, 1,CM.
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Ejercicios / 1

TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita.

SOLUCIÓN: Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P0, 0, 0 Vectores directores i 1, 0, 0 y j 0, 1, 0 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z  = t1, 0, 0  + s0, 1, 0  x = t ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

y = s z= 0

x y z ECUACIÓN GENERAL:

1 0 0

= 0  z= 0

0 1 0

• Ecuaciones del plano XZ:

Punto del plano P0, 0, 0  Vectores directores i 1, 0, 0 y k0, 0, 1 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z  = t1, 0, 0  + s0, 0, 1  x = t ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

y = 0 z= s

x y z ECUACIÓN GENERAL:

1 0 0

= 0  y = 0

0 0 1

• Ecuaciones del plano YZ:

Punto del plano P0, 0, 0  Vectores directores j 0, 1, 0 y k0, 0, 1 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z  = t0, 1, 0  + s0, 0, 1  x = 0 ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

y = t z= s

Isabel Rodríguez Fernández

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Ejercicios / 2

x y z ECUACIÓN GENERAL:

0 1 0

= 0  x = 0

0 0 1

2. Ecuación general del plano de determinación lineal

α ≡

A1, 0, 1 , v 2, −1, 0 , w0, 3, 2 

SOLUCIÓN: x−1 y z−1 2

−1 0

0

3

= 0



− 2x − 4 − 4y + 6z = 0

2

3. Ecuación segmentaria del plano que corta a los ejes X, Y, Z en los puntos

A2, 0, 0 , B0, 4, 0 , C0, 0, 7 

SOLUCIÓN: x + y + z = 1 7 2 4

4. ¿Son coplanarios los puntos A1, 2, 3 , B4, 7, 8 , C3, 5, 5 , D−1, −2, −3  y E2, 2, 2 

SOLUCIÓN: Consideramos los vectores AB3, 5, 5 , AC2, 3, 2 , AD−2, −4, −6  y AE1, 0, −1  y 3 5 5 estudiamos el rango de la matriz

2

3

2

−2 −4 −6

, cuyas filas son estos vectores

1 0 −1 Para que sean coplanarios el rango de esta matriz tiene que ser 2. 3 5 = −1). Si orlamos este menor 2x2 con la Existen menores 2x2 distintos de cero ( 2 3 fila tercera y la columna tercera el menor obtenido vale cero(

3

5

5

2

3

2

= 0), pero si

−2 −4 −6 orlamos con la cuarta fila y tercera columna el menor obtenido es distinto de cero

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Ejercicios / 3

3 5 5 (

2 3 2

= −4).

1 0 −1

Por tanto rang

3

5

5

2

3

2

−2 −4 −6 1

0

= 3



Los puntos no son coplanarios.

−1

5. Ecuación del plano que contiene a la recta

x 2

=

y−3 1

=

z−1 −1

y a el punto A2, −1, 2 

SOLUCIÓN: El plano pedido estará determinado por el punto A2, −1, 2  y los vectores u = 2, 1, −1  (vector director de la recta) y v = 2, −4, 1  (vector que va desde el punto P0, 3, 1  de la recta hasta el punto A2, −1, 2 ).

Por tanto si llamamos α al plano pedido, se tiene que α ≡ A2, −1, 2 , u = 2, 1, −1 , v = 2, −4, 1  La ecuación general será: det AX, u, v

= 0

x−2 y+1 z−2 2

1

−1

2

−4

1

= 0

− 3x − 4y − 10z + 22 = 0

6. Ecuación del plano determinado por la recta r ≡

O0, 0, 0 

A3, −2, 1 , u 3, −2, 1  y el punto

SOLUCIÓN: De forma análoga al ejercicio anterior tendremos que la determinación lineal del plano pedido es α ≡ O0, 0, 0 , u 3, −2, 1 , v 3, −2, 1  Se puede comprobar que los vectores u y v son iguales (o proporcionales), lo cual significa que el punto O0, 0, 0  pertenece a la recta y por tanto existen infinitos planos que pasen

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Ejercicios / 4

por la recta dada (Todos los del haz de planos de recta r).

7. Calcula las coordenadas del punto Da, b, c  para que los puntos

A1, 0, 1 , B1, 1, 0 , C0, 1, 1  y Da, b, c  sean coplanarios.

SOLUCIÓN: Para que los puntos A, B, C y D sean coplanarios, debe ser el rang AB, AC, AD Si calculamos la matriz: AB, AC, AD

=

0

1 −1

−1

1 0

= 2

. La condición necesaria y

a−1 b c−1 suficiente para que el rango de esta matriz sea 2, es que el determinante sea cero. 0

1 −1

−1

1 0

= 0

a−1 b c−1 c−2+b+a = 0 La condición necesaria y suficiente para que los puntos sean coplanarios es que c = 2−b−a Por tanto cualquier punto de la forma Da, b, 2 − a − b , será solución.

8. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A2, 3, 4  y B8, −2, 3 . Estudia si

el punto C2, 1, 3  está alineado con A y B.

SOLUCIÓN: La recta que pasa por A y B es:

A2, 3, 4 , AB6, −5, −1  . x−2 = y−3 = z−4 La ecuación continua de esta recta es: −5 −1 6 Para ver si el punto C está alineado con A y con B, basta con ver si pertenece a la recta determinada por A y por B. Se pude comprobar que C no pertenece a la recta determinada por A y por B, ya que no verifica su ecuación: 2 − 2 ≥ 1 − 3 ≥ 3 − 4 −5 6 −1 Luego C no está alineado con A y con B. r ≡

9. Halla la ecuación del plano que pasa por la recta r ≡ x = 2t, y = 3 + t, z = 1 − t; t ∍ R  y

por el punto A2, −1, 2 .

SOLUCIÓN: En esta ocasión nos ofrecen las ecuaciones paramétricas de la recta. Pero si escribimos la determinación lineal de r, comprobaremos que se trata de la recta del ejercicio 5 y del

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Ejercicios / 5

mismo punto A. La determinación de la recta r es: r ≡ P0, 3, 1 , u 2, 1, −1  , por tanto el plano que contiene a r y al punto A es −3x − 4y − 10z + 22 = 0 (Ejercicio 5).

10. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y por la recta de ecuación x−3 3

=

y+2 −2

=

z−1 1

.

SOLUCIÓN: La determinación lineal de dicho plano será: α ≡ O0, 0, 0 , u 3, −2, 1 , v 3, −2, 1  Se puede ver que los vectores u y v son linealmente dependientes, es decir el punto O (el origen) pertenece a la recta (se puede comprobar que verifica su ecuación), por tanto existen infinitos planos que pasen por la recta dada.

11. Halla la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a

distancia ” a” del origen. Averigua el valor de a para que el plano sea x + y + z − 7 = 0

SOLUCIÓN: La ecuación segmentaria del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a distancia ”a” del origen (plano que corta a los ejes en los puntos Aa, 0, 0 , B0, a, 0  y C0, 0, a ), será: y x z a + a + a = 1 También la podemos escribir, eliminando los denominadores: x+y+z = a x+y+z−a = 0 Evidentemente si a = 7 el plano que corta a los ejes a distancia ”a” del origen será el plano x+y+z−7 = 0

12. Un plano tiene como vectores de dirección u = 1, 0, 1  y v 0, 1, 1 . Halla un vector

normal a dicho plano.

SOLUCIÓN: i Un vector perpendicular a dicho plano será u ↷ v =

j

k

1 0 1

= −i − j + k

0 1 1

13. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A3, 2, −1  y B4, 0, 2  y es

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Ejercicios / 6

perpendicular al plano de ecuacion x − 5y + 2z − 6 = 0.

SOLUCIÓN: Sea α el plano pedido, por ser perpendicular al plano x − 5y + 2z − 6 = 0, el vector normal de éste último n = 1, −5, 2 , será un vector director del plano α, además tenemos dos puntos del plano, por tanto el plano α estará determinado por: α ≡ A3, 2, −1 , AB1, −2, 3 , n 1, −5, 2  . La ecuación general de α será: det AX, AB, n

= 0

x−3 y−2 z+1 1

−2

3

1

−5

2

= 0

11x + y − 3z − 38 = 0

14. Dado el triángulo de vértices A2, 2, 4 , B3, 6, 7  y C−3, 2, 1 , halla las ecuaciones de

las medianas y el baricentro del triángulo.

SOLUCIÓN: La mediana es la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, y el baricentro es el punto en el que se cortan las medianas. Por tanto en primer lugar, calculamos los puntos medios de los lados del triángulo.

2 + 3 , 2 + 6 , 4 + 7 = 5 , 4, 11 2 2 2 2 2 N = −3 + 3 , 2 + 6 , 1 + 7 = 0, 4, 4  2 2 2 P = −3 + 2 , 2 + 2 , 1 + 4 = −1 , 2, 5 2 2 2 2 2 Ahora calculamos las medianas: M =

• Mediana que pasa por A y por N. La determinación lineal de esta recta será

m1 ≡

A2, 2, 4 , AN−2, 2, 0  , por

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Ejercicios / 7

x = 2 − 2t tanto sus ecuaciones paramétricas son

y = 2 + 2t z= 4

• Mediana que pasa por B y por P. La determinación lineal de dicha mediana será m 2 ≡ B3, 6, 7 , BP −7 , −4, −9 , por tanto sus ecuaciones paramétricas son 2 2 x = 3− 7s 2 y = 6 − 4s z = 7− 9s 2

• Mediana que pasa por C y por M. La determinación lineal será

ecuaciones paramétricas son

C−3, 2, 1 , CM 11 , 2, 9 2 2 11 h x = −3 + 2 y = 2 + 2h z = 1+ 9h 2

m3 ≡

, por tanto sus

Para calcular el baricentro basta con considerar dos de las medianas y encontrar el punto de corte (si queremos podemos comprobar que la otra mediana también pasa por el punto encontrado). Para hallar el punto de corte de m 1 y m 2 , resolvemos el sistema x = 2 − 2t y = 2 + 2t z= 4 x = 3− 7s 2 y = 6 − 4s z = 7− 9s 2 2 − 2t = 3 − 7 s 2 2 + 2t = 6 − 4s 4 = 7− 9s 2 Si resolvemos este sistema obtenemos t = 23 y s = sistema anterior nos dan como solución para x, y, z x = 2 3 10 y = 3 z= 4 Por tanto el baricentro es B 2 , 10 , 4 3 3

2 3

, valores que sustituidos en el

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Ejercicios / 8

15. Ecuación del plano paralelo a x − 2y + 4z + 1 = 0 que pasa por el punto A1, 0, 0 

SOLUCIÓN: Todos los planos paralelos al dado, tienen como ecuación general: x − 2y + 4z + D = 0 De todos ellos, el que pasa por el punto A1, 0, 0 , será 1−2⋜0+4⋜0+D = 0 ⇗ D = −1 Luego el plano pedido es x − 2y + 4z − 1 = 0

16. Dada la recta r ≡

x−1 3

=

y+2 4

=

las rectas:

z −1

hallar la ecuación de una paralela a ella que corte a

y−2 y−3 = z yt ≡ x+1 = = z+1 s ≡ x = 5 3 −2 −1 −2 −4

SOLUCIÓN: Sea r | la recta paralela a r que corta a s y a t, y sean P y Q los puntos donde r | corta a s y a t respectivamente. Como P y Q son puntos de r | (recta paralela a r), el vector PQ debe ser proporcional al vector director de r ( u r 3, 4, −1 ). Si encontramos las ecuaciones paramétricas de s y t , tendremos la expresión de un punto cualquiera de cada una de estas dos rectas. Ecuaciones paramétricas de s: x = −4s y = 2 + 3s z = −2s Ecuaciones paramétricas de t: x = −1 − t y = 3 − 2t z = −1 + 5t Por tanto los puntos P y Q los podemos expresar P−4s, 2 + 3s, −2s  Q−1 − t, 3 − 2t, −1 + 5t  El vector PQ será PQ = −1 − t + 4s, 3 − 2t − 2 − 3s, −1 + 5t + 2s  = −1 − t + 4s, 1 − 2t − 3s, −1 + 5t + 2s  Este vector debe ser proporcional al vector u r 3, 4, −1  Por tanto: −1 − t + 4s = 1 − 2t − 3s = −1 + 5t + 2s 3 4 −1 Obtenemos las siguientes igualdades: −1 − t + 4s = 1 − 2t − 3s 3 4 1 − 2t − 3s = −1 + 5t + 2s 4 −1

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Ejercicios / 9

−4 − 4t + 16s = 3 − 6t − 9s −1 + 2t + 3s = −4 + 20t + 8s 2t + 25s = 7 −18t − 5s = −3 1 3 La solución de este sistema es t = 11 , s = 11 Luego los puntos de corte P y Q son: P −12 , 31 , −6 y Q −12 , 31 , −6 11 11 11 11 11 11 Como se puede ver las rectas s y t se cortan en el punto −12 , 31 , −6 11 11 11 La recta pedida es la que pasa por este punto y tiene dirección u r 3, 4, −1  Es por tanto la recta

r| ≡

x = −12 + 3t 11 31 + 4t y = 11 z = −6 − t 11

17. En el espacio euclídeo, referido a un sistema de coordenadas ortonormal, se eligen

sobre los ejes OX, OY, OZ puntos A, B, C distintos del origen O, de coordenadas Aa, 0, 0 , B0, b, 0  y C0, 0, c  respectivamente, tales que 1a + 1b + 1c = 1. Demostrar que todos los planos ABC obtenidos al variar A, B y C verificando las condiciones anteriores, pasan por un mismo punto P cuyas coordenadas se determinarán.

SOLUCIÓN: Si los planos pedidos pasan por los puntos Aa, 0, 0 , B0, b, 0  y C0, 0, c , entonces su ecuación segmentaria será y x z a + b + c = 1 Además nos dicen en el enunciado del problema que se verifica 1 + 1 + 1 = 1 a c b Luego evidentemente el punto P1, 1, 1  verifica las ecuaciones de todos estos planos, lo que significa que todos pasan por este punto.

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