TEMA 6. Ejercicios / 2. ECUACIÓN GENERAL: x y z. 0 1 0. 0 0 1. 0 Í x 0. 2. .... Por
tanto cualquier punto de la forma D a,b,2 a b , será solución. 8. .... C 3, 2, 1,CM.
TEMA 6
Ejercicios / 1
TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita.
SOLUCIÓN: Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P0, 0, 0 Vectores directores i 1, 0, 0 y j 0, 1, 0 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z = t1, 0, 0 + s0, 1, 0 x = t ECUACIONES PARAMÉTRICAS:
y = s z= 0
x y z ECUACIÓN GENERAL:
1 0 0
= 0 z= 0
0 1 0
• Ecuaciones del plano XZ:
Punto del plano P0, 0, 0 Vectores directores i 1, 0, 0 y k0, 0, 1 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z = t1, 0, 0 + s0, 0, 1 x = t ECUACIONES PARAMÉTRICAS:
y = 0 z= s
x y z ECUACIÓN GENERAL:
1 0 0
= 0 y = 0
0 0 1
• Ecuaciones del plano YZ:
Punto del plano P0, 0, 0 Vectores directores j 0, 1, 0 y k0, 0, 1 ECUACIÓN VECTORIAL: x, y, z = t0, 1, 0 + s0, 0, 1 x = 0 ECUACIONES PARAMÉTRICAS:
y = t z= s
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TEMA 6
Ejercicios / 2
x y z ECUACIÓN GENERAL:
0 1 0
= 0 x = 0
0 0 1
2. Ecuación general del plano de determinación lineal
α ≡
A1, 0, 1 , v 2, −1, 0 , w0, 3, 2
SOLUCIÓN: x−1 y z−1 2
−1 0
0
3
= 0
− 2x − 4 − 4y + 6z = 0
2
3. Ecuación segmentaria del plano que corta a los ejes X, Y, Z en los puntos
A2, 0, 0 , B0, 4, 0 , C0, 0, 7
SOLUCIÓN: x + y + z = 1 7 2 4
4. ¿Son coplanarios los puntos A1, 2, 3 , B4, 7, 8 , C3, 5, 5 , D−1, −2, −3 y E2, 2, 2
SOLUCIÓN: Consideramos los vectores AB3, 5, 5 , AC2, 3, 2 , AD−2, −4, −6 y AE1, 0, −1 y 3 5 5 estudiamos el rango de la matriz
2
3
2
−2 −4 −6
, cuyas filas son estos vectores
1 0 −1 Para que sean coplanarios el rango de esta matriz tiene que ser 2. 3 5 = −1). Si orlamos este menor 2x2 con la Existen menores 2x2 distintos de cero ( 2 3 fila tercera y la columna tercera el menor obtenido vale cero(
3
5
5
2
3
2
= 0), pero si
−2 −4 −6 orlamos con la cuarta fila y tercera columna el menor obtenido es distinto de cero
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TEMA 6
Ejercicios / 3
3 5 5 (
2 3 2
= −4).
1 0 −1
Por tanto rang
3
5
5
2
3
2
−2 −4 −6 1
0
= 3
Los puntos no son coplanarios.
−1
5. Ecuación del plano que contiene a la recta
x 2
=
y−3 1
=
z−1 −1
y a el punto A2, −1, 2
SOLUCIÓN: El plano pedido estará determinado por el punto A2, −1, 2 y los vectores u = 2, 1, −1 (vector director de la recta) y v = 2, −4, 1 (vector que va desde el punto P0, 3, 1 de la recta hasta el punto A2, −1, 2 ).
Por tanto si llamamos α al plano pedido, se tiene que α ≡ A2, −1, 2 , u = 2, 1, −1 , v = 2, −4, 1 La ecuación general será: det AX, u, v
= 0
x−2 y+1 z−2 2
1
−1
2
−4
1
= 0
− 3x − 4y − 10z + 22 = 0
6. Ecuación del plano determinado por la recta r ≡
O0, 0, 0
A3, −2, 1 , u 3, −2, 1 y el punto
SOLUCIÓN: De forma análoga al ejercicio anterior tendremos que la determinación lineal del plano pedido es α ≡ O0, 0, 0 , u 3, −2, 1 , v 3, −2, 1 Se puede comprobar que los vectores u y v son iguales (o proporcionales), lo cual significa que el punto O0, 0, 0 pertenece a la recta y por tanto existen infinitos planos que pasen
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TEMA 6
Ejercicios / 4
por la recta dada (Todos los del haz de planos de recta r).
7. Calcula las coordenadas del punto Da, b, c para que los puntos
A1, 0, 1 , B1, 1, 0 , C0, 1, 1 y Da, b, c sean coplanarios.
SOLUCIÓN: Para que los puntos A, B, C y D sean coplanarios, debe ser el rang AB, AC, AD Si calculamos la matriz: AB, AC, AD
=
0
1 −1
−1
1 0
= 2
. La condición necesaria y
a−1 b c−1 suficiente para que el rango de esta matriz sea 2, es que el determinante sea cero. 0
1 −1
−1
1 0
= 0
a−1 b c−1 c−2+b+a = 0 La condición necesaria y suficiente para que los puntos sean coplanarios es que c = 2−b−a Por tanto cualquier punto de la forma Da, b, 2 − a − b , será solución.
8. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A2, 3, 4 y B8, −2, 3 . Estudia si
el punto C2, 1, 3 está alineado con A y B.
SOLUCIÓN: La recta que pasa por A y B es:
A2, 3, 4 , AB6, −5, −1 . x−2 = y−3 = z−4 La ecuación continua de esta recta es: −5 −1 6 Para ver si el punto C está alineado con A y con B, basta con ver si pertenece a la recta determinada por A y por B. Se pude comprobar que C no pertenece a la recta determinada por A y por B, ya que no verifica su ecuación: 2 − 2 ≥ 1 − 3 ≥ 3 − 4 −5 6 −1 Luego C no está alineado con A y con B. r ≡
9. Halla la ecuación del plano que pasa por la recta r ≡ x = 2t, y = 3 + t, z = 1 − t; t ∍ R y
por el punto A2, −1, 2 .
SOLUCIÓN: En esta ocasión nos ofrecen las ecuaciones paramétricas de la recta. Pero si escribimos la determinación lineal de r, comprobaremos que se trata de la recta del ejercicio 5 y del
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Ejercicios / 5
mismo punto A. La determinación de la recta r es: r ≡ P0, 3, 1 , u 2, 1, −1 , por tanto el plano que contiene a r y al punto A es −3x − 4y − 10z + 22 = 0 (Ejercicio 5).
10. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y por la recta de ecuación x−3 3
=
y+2 −2
=
z−1 1
.
SOLUCIÓN: La determinación lineal de dicho plano será: α ≡ O0, 0, 0 , u 3, −2, 1 , v 3, −2, 1 Se puede ver que los vectores u y v son linealmente dependientes, es decir el punto O (el origen) pertenece a la recta (se puede comprobar que verifica su ecuación), por tanto existen infinitos planos que pasen por la recta dada.
11. Halla la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a
distancia ” a” del origen. Averigua el valor de a para que el plano sea x + y + z − 7 = 0
SOLUCIÓN: La ecuación segmentaria del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a distancia ”a” del origen (plano que corta a los ejes en los puntos Aa, 0, 0 , B0, a, 0 y C0, 0, a ), será: y x z a + a + a = 1 También la podemos escribir, eliminando los denominadores: x+y+z = a x+y+z−a = 0 Evidentemente si a = 7 el plano que corta a los ejes a distancia ”a” del origen será el plano x+y+z−7 = 0
12. Un plano tiene como vectores de dirección u = 1, 0, 1 y v 0, 1, 1 . Halla un vector
normal a dicho plano.
SOLUCIÓN: i Un vector perpendicular a dicho plano será u ↷ v =
j
k
1 0 1
= −i − j + k
0 1 1
13. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A3, 2, −1 y B4, 0, 2 y es
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Ejercicios / 6
perpendicular al plano de ecuacion x − 5y + 2z − 6 = 0.
SOLUCIÓN: Sea α el plano pedido, por ser perpendicular al plano x − 5y + 2z − 6 = 0, el vector normal de éste último n = 1, −5, 2 , será un vector director del plano α, además tenemos dos puntos del plano, por tanto el plano α estará determinado por: α ≡ A3, 2, −1 , AB1, −2, 3 , n 1, −5, 2 . La ecuación general de α será: det AX, AB, n
= 0
x−3 y−2 z+1 1
−2
3
1
−5
2
= 0
11x + y − 3z − 38 = 0
14. Dado el triángulo de vértices A2, 2, 4 , B3, 6, 7 y C−3, 2, 1 , halla las ecuaciones de
las medianas y el baricentro del triángulo.
SOLUCIÓN: La mediana es la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, y el baricentro es el punto en el que se cortan las medianas. Por tanto en primer lugar, calculamos los puntos medios de los lados del triángulo.
2 + 3 , 2 + 6 , 4 + 7 = 5 , 4, 11 2 2 2 2 2 N = −3 + 3 , 2 + 6 , 1 + 7 = 0, 4, 4 2 2 2 P = −3 + 2 , 2 + 2 , 1 + 4 = −1 , 2, 5 2 2 2 2 2 Ahora calculamos las medianas: M =
• Mediana que pasa por A y por N. La determinación lineal de esta recta será
m1 ≡
A2, 2, 4 , AN−2, 2, 0 , por
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Ejercicios / 7
x = 2 − 2t tanto sus ecuaciones paramétricas son
y = 2 + 2t z= 4
• Mediana que pasa por B y por P. La determinación lineal de dicha mediana será m 2 ≡ B3, 6, 7 , BP −7 , −4, −9 , por tanto sus ecuaciones paramétricas son 2 2 x = 3− 7s 2 y = 6 − 4s z = 7− 9s 2
• Mediana que pasa por C y por M. La determinación lineal será
ecuaciones paramétricas son
C−3, 2, 1 , CM 11 , 2, 9 2 2 11 h x = −3 + 2 y = 2 + 2h z = 1+ 9h 2
m3 ≡
, por tanto sus
Para calcular el baricentro basta con considerar dos de las medianas y encontrar el punto de corte (si queremos podemos comprobar que la otra mediana también pasa por el punto encontrado). Para hallar el punto de corte de m 1 y m 2 , resolvemos el sistema x = 2 − 2t y = 2 + 2t z= 4 x = 3− 7s 2 y = 6 − 4s z = 7− 9s 2 2 − 2t = 3 − 7 s 2 2 + 2t = 6 − 4s 4 = 7− 9s 2 Si resolvemos este sistema obtenemos t = 23 y s = sistema anterior nos dan como solución para x, y, z x = 2 3 10 y = 3 z= 4 Por tanto el baricentro es B 2 , 10 , 4 3 3
2 3
, valores que sustituidos en el
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Ejercicios / 8
15. Ecuación del plano paralelo a x − 2y + 4z + 1 = 0 que pasa por el punto A1, 0, 0
SOLUCIÓN: Todos los planos paralelos al dado, tienen como ecuación general: x − 2y + 4z + D = 0 De todos ellos, el que pasa por el punto A1, 0, 0 , será 1−2⋜0+4⋜0+D = 0 ⇗ D = −1 Luego el plano pedido es x − 2y + 4z − 1 = 0
16. Dada la recta r ≡
x−1 3
=
y+2 4
=
las rectas:
z −1
hallar la ecuación de una paralela a ella que corte a
y−2 y−3 = z yt ≡ x+1 = = z+1 s ≡ x = 5 3 −2 −1 −2 −4
SOLUCIÓN: Sea r | la recta paralela a r que corta a s y a t, y sean P y Q los puntos donde r | corta a s y a t respectivamente. Como P y Q son puntos de r | (recta paralela a r), el vector PQ debe ser proporcional al vector director de r ( u r 3, 4, −1 ). Si encontramos las ecuaciones paramétricas de s y t , tendremos la expresión de un punto cualquiera de cada una de estas dos rectas. Ecuaciones paramétricas de s: x = −4s y = 2 + 3s z = −2s Ecuaciones paramétricas de t: x = −1 − t y = 3 − 2t z = −1 + 5t Por tanto los puntos P y Q los podemos expresar P−4s, 2 + 3s, −2s Q−1 − t, 3 − 2t, −1 + 5t El vector PQ será PQ = −1 − t + 4s, 3 − 2t − 2 − 3s, −1 + 5t + 2s = −1 − t + 4s, 1 − 2t − 3s, −1 + 5t + 2s Este vector debe ser proporcional al vector u r 3, 4, −1 Por tanto: −1 − t + 4s = 1 − 2t − 3s = −1 + 5t + 2s 3 4 −1 Obtenemos las siguientes igualdades: −1 − t + 4s = 1 − 2t − 3s 3 4 1 − 2t − 3s = −1 + 5t + 2s 4 −1
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Ejercicios / 9
−4 − 4t + 16s = 3 − 6t − 9s −1 + 2t + 3s = −4 + 20t + 8s 2t + 25s = 7 −18t − 5s = −3 1 3 La solución de este sistema es t = 11 , s = 11 Luego los puntos de corte P y Q son: P −12 , 31 , −6 y Q −12 , 31 , −6 11 11 11 11 11 11 Como se puede ver las rectas s y t se cortan en el punto −12 , 31 , −6 11 11 11 La recta pedida es la que pasa por este punto y tiene dirección u r 3, 4, −1 Es por tanto la recta
r| ≡
x = −12 + 3t 11 31 + 4t y = 11 z = −6 − t 11
17. En el espacio euclídeo, referido a un sistema de coordenadas ortonormal, se eligen
sobre los ejes OX, OY, OZ puntos A, B, C distintos del origen O, de coordenadas Aa, 0, 0 , B0, b, 0 y C0, 0, c respectivamente, tales que 1a + 1b + 1c = 1. Demostrar que todos los planos ABC obtenidos al variar A, B y C verificando las condiciones anteriores, pasan por un mismo punto P cuyas coordenadas se determinarán.
SOLUCIÓN: Si los planos pedidos pasan por los puntos Aa, 0, 0 , B0, b, 0 y C0, 0, c , entonces su ecuación segmentaria será y x z a + b + c = 1 Además nos dicen en el enunciado del problema que se verifica 1 + 1 + 1 = 1 a c b Luego evidentemente el punto P1, 1, 1 verifica las ecuaciones de todos estos planos, lo que significa que todos pasan por este punto.
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