The finite element method for a linear stochastic parabolic partial



            

PREPRINT 2003–07

The finite element method for a linear stochastic parabolic partial differential equation driven by additive noise Yubin Yan Chalmers Finite Element Center CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Goteborg ¨ Sweden 2003


         

  

Preprint 2003–07

The finite element method for a linear stochastic parabolic partial differential equation driven by additive noise Yubin Yan

Chalmers Finite Element Center Chalmers University of Technology SE–412 96 Goteborg ¨ Sweden Goteborg, ¨ March 2003

The finite element method for a linear stochastic parabolic partial differential equation driven by additive noise Yubin Yan NO 2003–07 ISSN 1404–4382

Chalmers Finite Element Center Chalmers University of Technology SE–412 96 Goteborg ¨ Sweden Telephone: +46 (0)31 772 1000 Fax: +46 (0)31 772 3595


    

Printed in Sweden Chalmers University of Technology Goteborg, ¨ Sweden 2003


    
     !"
#!$" % '&() *$" % +' ,' ' -.)/0+$) '2 10 &3 '0' 4105 67 8:9#8A@ BDCFEHGFIFJLKMGON =QPSRUT6VXW*Y[Z4YM\^]*_7\a`cbP[WdVfe$\^]gRdT[\ih[P6VjRd\k\Hlf\Hm\HP Rnmn\HRdT6b$eopb]DZ+WqRdb$`rT[ZW?RUVf`YMZ2]rZts u b ljVX`gY[Z4]qRUVfZ4lve$VjwF\H]U\HP RdVXZ2lv\^x y[ZtRUVjbPzopb4]r`c\^e u|{ Z4e6e6V}RUVj~\*WqYMZ4`c\HsRUVjm\g_€T6VjRd\DP6b4VXWd\VjPRUT6\*mDy6ljRdVjs e$Vfmn\^P[WdVjbP[Z2l`^Z4Wd\4‚€ƒ„Y$RdVfmZ2lvWqRd]Ub4P[…`Hb4P|~4\^]d…\HP[`H\„\^]d]Ub4]€\†W?RUVjmZ2Rd\^W‡VjPRUT6\*ˆA‰*Z2P[e‹ŒSŠ LŽP6b4]UmW _€V}RUTS]d\†WqY\^`cRRUb+WqYMZtRdVXZ2lO~tZ4]dVXZ u lf\nT[Z‘~4\ u \^\HPSb u RUZ2VfP6\†e’‚i“!T6\Y6]Ub b4o”VXW u ZWq\†e bPZ4Y6Y6]Ub4Y6]UVfZ2Rd\ P6b4PMWqmb|b2RUTze6Z2RUZn\H]U]Ub4]!\^WqRdVfmZtRd\†W7opb4]!RUT6\`cb]d]U\^WdYMbP[e$VfP6…e$\cRU\H]UmnVfP6VXW?RUVf`:YMZ2]rZ u b4lfVf`„Y6]Ub u lf\Hm‚ F• –a—t˜€™€š7›„œ„‡ž7™€ŸQ›„˜  ¢¡¤£†¥§¦©¨ªO«Mª”¬­)®D¬®i¦¯©¯¨^£†°§±³²´£‘¥³¬µO¡³¦£‘¬¬ ¯¬ ¶)¬ ¡’£(«ª§ª§­^·|¸³¦¶¹«[£‘¦©·¡º·M»z£‘¥³¬¯¦©¡§¬ «­¨^£‘·¼t¥O«¨H£‘¦¼ ªO«­†«½A·F¯©¦¼zªO«­H£‘¦©«¯!±§¦¿¾7¬­†¬ ¡’£†¦À«¯!¬ÁL°O«M£‘¦·F¡  •–•6à ĒÅƺÇkÅÄFÈgÉÊāËÍÌ »?·­ÎÏ ÈÐÒÑiÌ ®i¦£‘¥ Å Â Î ÃgÉÊÅÔÓ|Ì ¦©¡Õ«'Öa¦©¯©½A¬ ­H£¨†ª§«¼ ¬(×Ø®i¦£†¥Õ¦¡§¡§¬­ª§­†·±§°§¼4£ ÂcÙ Ì Ù Ã «¡§±¡§·­†¶ Ú Ù Ú6Û!®i¥§¬ ­^¬ Å Â È^à ¦©¨+«¡Õ×ÜUݐ«M¯©°§¬± ­‘«M¡§±§·F¶Þª§­^·v¼¬ ¨^¨ Û Ç ¦©¨D«+¯©¦©¡³¬|«­ہ¨^¬ ¯¿»q«±[ß^·F¦¡L£ ےª”·¨†¦£†¦ݐ¬k±§¬4µO¡§¦¿£‘¬Û¡§·£*¡§¬¼ ¬¨†¨‘«M­†¦©¯¿²)½”·F°³¡§±§¬ ±¹·Fª”¬­‘«[Ü £‘·­*®i¦¿£‘¥'«¼·F¶)ªO«¼£D¦©¡’ݐ¬ ­†¨^¬Û§±³¬ ¡§¨^¬ ¯²(±§¬4µO¡§¬ ±'¦¡¹à  ÇÃná ×âÛL®i¥§¬ ­^¬ Ë Â È^à ¦¨n« ã䦩¬ ¡³¬ ­nª³­†·¼ ¬ ¨^¨ ±§¬4µO¡§¬ ±·F¡«)ª³­†·F½O«M½§¦©¯¦£¢²)¨†ªO«M¼ ¬ Âdå ̆æÌ % à «¡§± ÅÔÓkç × – èO·F­£‘¥³¬(¨†«é¬)·»¨^¦©¶)ª§¯©¦¼ ¦¿£¢²FÛ7®D¬(¨^¥O«¯¯g¼ ·F¡§¼¬ ¡’£‘­†«M£‘¬)·F¡£‘¥§¬)¼|«M¨†¬ Ç-Éëêzì ۇ®i¥§¬ ­^¬ ì ¨H£t«¡³±§¨ »?·F­£‘¥§¬#퇫ª§¯À«M¼ ¦À«M¡º·ª”¬­‘«M£†·F­(¨^°§½ß^¬¼££†·î¥§·F¶)·FïF¬¡§¬ ·F°³¨¹ð¦­†¦©¼t¥³¯©¬£½A·F°§¡³±O«­^²º¼·F¡§±§¦¿£‘¦©·¡§¨ Û«M¡§± × Éòñgó  à à ۀ®i¥§¬ ­^¬(àô¦©¨ «0½”·F°³¡§±§¬ ±Í±§·F¶(«¦©¡õ¦¡ ö ÌtÄ÷Éë•FÌ2øv̑ù³Ì ®i¦£†¥Õ«¨^°³ú)¼ ¦©¬¡’£‘¯²¨^¶(··£†¥ ½A·F°§¡§±O«M­^²0û§à – ü °§¼t¥ý¬ ÁL°O«M£†¦©·F¡³¨«M­†¬¼ ·F¶)¶)·F¡þ¦©¡Ê«ª§ª³¯©¦©¼ «M£‘¦·F¡§¨ – ÿ «¡’²ä¶(«M£‘¥§¬¶¹«[£‘¦©¼¨'¶(·±§¬¯©¨¦¡Êª³¥L²¨^¦©¼ ¨Û ¼t¥§¬¶(¦¨^£‘­H²FÛL½§¦·F¯©·FïM²FېªA·Fª§°³¯À«M£†¦©·F¡S±v²v¡§«¶(¦¼ ¨ہ¡³¬ °§­^·Fª§¥’²¨†¦©·¯©·FÛ’¬£†¼ – Ûv«M­†¬±§¬¨†¼ ­^¦©½A¬ ±)½’²¨^£‘·¼t¥O«¨H£‘¦¼ ªO«­H£‘¦©«¯F±§¦¿¾7¬­†¬ ¡’£†¦À«¯’¬Á°§«M£‘¦·F¡§¨ ÛM¨†¬¬ÛFð«
g­‘«M£†·«¡³ ± !«½A¼ 4² é  dÛ[ã⫐¯¨† ¥  • UÛM¬£‘¼ – ¥§¬*¬4¸v¦¨^£‘¬¡§¼ ¬MÛ °§¡§¦ÁL°§¬ ¡§¬¨†¨ۏ«¡³±Õª³­†·FªA¬ ­H£‘¦©¬¨·»*£‘¥§¬¨^·F¯©°v£‘¦©·¡§¨·»*¨†°³¼t¥Í¬Á°§«M£‘¦·F¡§¨¥O«|ÝF¬½A¬ ¬¡Õ®D¬ ¯¯:¨^£†°§±§¦©¬±!ۀ¨†¬¬  °§­H£t«¦¡ «¡³±ÒèÔ«¯© ½  ø UÛnð «
g­‘«[£‘ ·  ù dÛð «
g­‘«M£†·î«¡§± 퀰§¡O«­^±§ ¦ dÛð «
g­‘«M£†·î«¡³ ± !«½A¼ 4²vé  Uۇð«|®i¨^·F ¡  dÛ · !¦  " U#Û
 FÚ Z€Ú ó(*) É  FÚ Z - , Ã Ú ó() Ä %  , à B Ï A CÌ ñgó Âq'å & W + ®i¦£†¥'£‘¥§¬+¡§·F­^¶ØFÚ Z€Ú E I/. + 0 ( )21 .5É 4   FÚ Z€Ú ó( ) à -/. ó – 3k¡³±§¬ ­a£‘¥§¬¼ ·F¡§±³¦£‘¦·F¡ Ú Ç Ï A »?·F­a¨†·F¶)¬ 0 ç  Î Ì|• dÛA®D¬¨^¥§·$® ¦©¡퇬¶(¶(« øv– )£‘¥O«[£  - 1 . ó Ú E GI c 4 Ë Â È^Ãnç × !  á × !  Û³¨^·S£‘¥O«[£ b S Ë Â È^à ¦©¨*®n¬¯©¯A±§¬µ§¡§¬ ±!ÛÔ«M¡§±¹®D¬·F½³£t«M¦©¡!ہ¦©¡  ¥§¬ ·F­^¬ ¶)¨ ù³–fø Û ùv–fù Û £‘¥³¬ ¬­†­^·F­¬ ¨H£‘¦©¶(«M£†¬ ¨i¦©¡'¨^¬ ¶)¦©±§¦¨†¼ ­^¬£†¬ ¼ «¨†¬MÛ 4 .54  •7– 6’Ã Ú Å S  È^Ïê Å Â È^Ã Ú E I/. + 0 ( 1 9 Ð 8;: J Ú ÅÔÓ Ú E I/. + 0=(?< > 1 Æ Ú Ç  - 1 . ó Ú EGI N Ì «¡§±7Û§®i¦£‘A ¥ @ S É ¯©·Fï  CÑ BD: ó Ã Û Â •–  Ã Ú Å S  È^ÏêâÅ Â È^Ã Ú E I . + 0 (F< E ) 1 G Ð 8H: 4=I - J Ú ÅÔÓ Ú E I . + 0 (?< > 1 Æ @ S§Ú Ç .54  - 1 . ó Ú E GI N  ãͬz«¯¨†·¼ ·F¡§¨^¦©±§¬­D£†¥§¬z¬­†­†·­D¬¨^£‘¦¶¹«[£‘¬ ¨*¦©¡)£‘¥§¬a»?°§¯©¯¿²±§¦¨†¼ ­^¬£†¬z¼|«M¨†¬ – 퀬4K£ J(½A¬k« £‘¦¶(¬i¨H£‘¬ ª0«M¡§± ± O°³¯©¬ ­¨^¼t¥§¬ ¶)¬+£‘·)«ª§ª§­^·|¸³¦¶¹«[£‘¬ Å Â MÈ LÃ Û ÈMLG É N J'®i¦¿£‘¥ N •F– ãâ¬+°§¨^¬£‘¥§¬+½O«¼t钮n«­†% L ê P L  - ÆºÇ S L É •  RQ b S ÄË Â 6Ã2Ì N •FÌ Ó É b S ÅÔÓ   •– ’à P J J P P

Q ) E ã䦣†¥S U T ÃgÉ Â •*Æ T Ãa - Û³®D¬ ¼|«¡­†¬4®i­†¦£†¬  •F– ’à ¦¡0£†¥§¬»?·F­†¶

RQ L L Ó Écb S ÅAÓ   •– " à  Æ  S ÂJ Ç S à S  J Ç S Ãb S ÄË Â 6Ã4Ì É N •FÌ P P P

Q ) E .54 - . ó 1 H E G I 3k¡³±§¬ ­i£‘¥§¬¼ ·F¡³±§¦£†¦©·F¡´Ú Ç Ú Ï8A »?·­a¨^·F¶)¬0 ç }Î Ì • UÛO®D¬·F½v£t«¦¡!ÛO¦©¡  ¥§¬ ·­†¬ ¶)¨  –Xø Û   –jù Û³£†¥§¬+¬ ­†­^·F­i¬ ¨H£‘¦©¶(«M£†¬ ¨¦©¡'£†¥§¬»?°§¯©¯¿²¹±§¦¨†¼­†¬£†¬+¼|«¨^¬Û  •–• Î Ã Ú P L êîÅ Â MÈ LFÃ Ú E I/. + 0 ( 1 9 Ð 8 ÂJ 4 .ó V Æ : 4 Rà J Ú ÅÔÓ Ú E IW. + 0X( < >1 Æ Ú Ç .54  - 1 . ó Ú E GI N Ì «¡§±7Û§®i¦£‘A ¥ @Y É ¯·Fï  MÈ LZB J Ã Û Â •–•F•$Ã Ú P L êîÅ Â MÈ LFÃ Ú E I/. +[0=(F< E ) 1 9 Ð 8  J .74=I - 1 . ó V Æ : 4\I - à J Ú ÅÔÓ Ú E I/. + 0=(?< > 1 Æ @YLÚ Ç .54  - 1 . ó Ú EHGI N  ãͬ½§­^¦©^¬ ]§²'­†¬¼|«¯¯‡¨†·F¶)¬+ª§­†¬4Ýv¦·F°§¨i®n·­†éL¨z·F¡0£‘¥³¬¡L°§¶)¬ ­^¦©¼|«M¯„«Mª§ª§­†·|¸v¦©¶(«M£†¦©·F¡»?·F­  •F–•$Ã4`– _ ¯©¯¬ ¡!Û ak·$ݐ·F¨†¬¯UÛA«¡§± 7¥O«¡§ï  • $a$aop&'q}'r~X:#HjORH 0 5.\HkORHvs  Î S Î Ð 0 Е S€KM-N3PORQR ø– Ã Ú Ç |   È^Ã Ú Ð98È %| Ì AG:#H È 'ÒÎ Ì Â ø–  Ã

OR@f7

 ø–76’Ã



 | {] z & 

ÚÇ 

4

 7ê 

 È^Ã^Ã Ú Ð 8È 4 Ì

AG:#H

È( Î

s

 Î 









         




   R





 


š”›››tA›„š   ü ¦©¡³¼ ¬£‘¥§¬+¶)¦©¯±¨†·F¯°³£‘¦·F¡'¥O«¨£†¥§¬»?·F­†¶ Å Â È^ÃgÉ

ã䦣†¥1V

 È^ÃcÅÔӏÆ

Â Ó  Ȅê 6Ã§ÄË  ¥L°§¨ ÛO»?·F­i«M­†½§¦¿£‘­‘«M­^² 0  γÛO°§¨^¦©¡§ï¨^£‘«½§¦¯©¦£¢²(ª§­^·Fª”¬­^£¢²'·M»   È^Ã

4 ó ó  ø–  à   ] Å Â È^à ] 4 ÃÐÊø   ]   È^ÃHÅÔÓ ] 4 ÀƤø  PP  Ó Ç . ó 

P 4 É ø   ] ÅÔÓ ] 4ó ÀƤø   Ó Ú Ç . ó   Ȅê 





 6à  «¡§±¦©¨^·F¶(¬4£‘­H²¹ª§­^·FªA¬ ­^£¢²Û ó  Ȅê 6çÄvË Â [à PP P 6Ã Ú óEGI Ä 

 & X ,& + - «¡«­†½§¦¿£‘­†«­^²¹·F­^£†¥§·F¡§·F­^¶¹«M¯7½O«¨^¦©¨·F¡×âÛ³®D¬ ¥O«|ÝF¬ÛÔ°§¨^¦©¡§ï)퀬 ¶)¶(« øv–Xø Û )

4 4 . . -/.  Ú Ç ó   È:ê [Ã Ú óE GI ÄRzÉ * )  Ú Ç ó   Ȅê [à " ó  &¢Ú ó ÄR Ó + - Ó 

É * )  Ó ]  Â 6 Ã " -/. ó  & ] 4ó ÄR  Ð98 * ) ] " -/. ó  & ] 4ó  - É 8 Ú Ç .54  - 1 . ó Ú óE GI   +  + -

 ·FïF¬£†¥§¬ ­®i¦¿£‘¥  øv–  à £†¥§¦©¨i¨†¥³·6®i¨  ø–•6Ãt–

¢  ¡ºªO«­^£†¦©¼°§¯À«­Ûg¦» Ë Â È^à ¦©¨«M¡  × ÜUÝM«¯©°§¬±îã䦩¬¡§¬ ­ª§­^·v¼¬ ¨†¨®i¦£†¥  ­  " Ã Ï ¼t¥§··F¨†¬ 0 É• ½A¬ ¼ «°§¨^¬ Ú 7 Ú óE GI É * ) Ú " -/. ó   Ú ó É * ) $  É  ­  " à 

 + -

 + -

A

Û*£†¥§¬ ¡´®D¬¼ «¡

I

:#ó H^:#668ORHv øv–¿•C 퀬£ Å Â È^à ½”¬)£‘¥§¬(¨†·F¯°³£‘¦·F¡Í·M»  •F–•$à «¡³± Ç É ê __
I ®i¦¿£‘¥Õà  ÇÃÉ × Ó -  ΠÌ|•6Ã × Â Î Ì|•6Ã2–H_ ¨†¨^°§¶(¬£†¥O«M£ Ë Â È^à ¦¨«'¼²¯©¦¡§±§­^¦©¼|«M¯ × !   9S¹½L+ ² ( S  É-Å SFۄ¨†·£†¥O«M£ Å S É ( S Êç 9S¦©¨+£‘¥³¬ «ª§ª³­†·|¸v¦©¶(«M£‘¬k¨†·F¯°³£‘¦·F¡·»  ù³–føFÃt–  r£i¦©¨n¬ «¨^²¹£‘·S¨^¬ ¬£‘¥O«[,£ ( S+¦¨¨†¬¯»q«±[ß^·¦©¡’£|ہª”·¨†¦£†¦ݐ¬z- ¨†¬¶(¦±§¬µ§¡§¦£†¬ ·F¡×âÛÔ«¡³±ªA·F¨^¦£‘¦¿ÝF¬±§¬4µO¡§¦¿£‘¬+·F¡ 9S –  ¢¡L£†­†·±§°§¼¦©¡§ï£‘¥³¬ ¬¯©¯¦©ª³£†¦©¼zª³­†·[ß^¬¼£‘¦·F. ¡ -6S > × Ó  9S½’²  \ -6S Z FÌ \ „ÃgÉ Â \ Z aÌ \ „Ã4Ì  Z ç × Ó  ãͬ¨†¬¬z£‘¥O«[/£ ( S É - S()Û³«¡§0 ± -6S[Z¦©¨£‘¥³¬zµO¡§¦¿£‘¬z¬¯©¬¶(¬¡L£«ª§ª§­^·|¸³¦¶¹«[£‘¦©·¡(·»€£†¥§¬¨^·F¯©°³£†¦©·F¡(·»€£‘¥³¬ ¼ ·­†­†¬¨†ªA·F¡§±§¦¡§ï¬ ¯¯©¦©ªv£‘¦©¼kª§­†·½§¯©¬¶-®i¦£†¥¬2¸³«¼£a¨†·¯©°³£†¦©·FQ ¡ Z – 4D²  ùv– à ۧ®D¬ïF¬4£ Ú -6S Z ê Z‡Ú 9 Ð 8H: # ] Z^] # Ì É•FÌ2ø  Ök¬¡§¼ ¬MÛÔ°§¨†¦¡§ï  ù³–  à «¡§±'£‘¥§¬+¬¯©¯©¦ª³£‘¦¼z­^¬ ïF°§¯©«­†¦¿£¢²¹¬¨^£†¦©¶(«M£‘¬MÛ³®n¬ ¥O«|ÝF¬  ùv7– 6’à Р8;: # ]3(  ] # É 8H: # ]  ] #  óÌ »?·F­ É •FÌtøvÌ P ( S ê (*2  P É Ú Â - S ê 7và (  Ú 9 P1 P ®i¥§¦¼t¥®D¬¡³¬ ¬ ±½A¬ ¯© ·$ ®  – 퀬£ OS  È^ÃkÉ   ®i¦¿£‘¥ Ç S É ( S - ۇ«¡³±Õ¯¬£   È^Ãz< É    ®i¦¿£‘¥ ÇÞÉ (  - – ãͬS£‘¥§¬¡Í¥§«$ݐ¬ £‘¥³¬+»?·¯©¯©·$®i¦¡§ïS¬ ­^­†·F­¬¨^£†¦©¶(«M£‘¬¨i»?·­±§¬£†¬ ­†¶)¦©¡³¦©¨^£†¦©¼kªO«­‘«M½”·F¯¦©¼ª³­†·F½§¯¬ ¶ –

>$a$aop}')(*'r+-/.'4 S  È^Ã*É 3S  È^à b S ê   È^Dà CJI 3*-/@ l 4 4  ùv–  Ã Ú 4 S Z‡Ú E65 .87 Ó 9;: 0 ( 1 9 Ð 8H: ] Z^] 4 Ì AG:#H Z ç × ! Ì Î Ð 0 ЕFÌ 

OR@f7

 ùv– ’Ã

Ú 4 S Z‡Ú E I . ‹ç × ! - XLÛA¨^¬ ¬  ¥³·Fn ¶ ¬m ¬  • Û  ¥O«ªv£‘¬ ­ 6 dÛA®D¬£‘¥L°§¨k¥O«|ÝF¬M۔®i¦£†¥ ÊÉ ( S Z Ì Z ç × !  Û Â Z Ì à   Z Ì ( S Z Ã É Â Z Ì ( S Z Ã É ] Z^] - S Ì ] Z ]  - É ¨†°§ª   ] ]]( S Z ]Z Ì ( S Z à -/. ó ) < (
 ¨†¦¡§¼ ¬ ] ( S Z ] ó- É Â Ç ( S Z Ì ( S Z ÃgÉýÇ Â ( S Z Ì ( S Z ÃgÉ Â Ç S( S Z Ì ( S Z ÃgÉ Â Z Ì ( S Z Ã2Ì ®i¥§¬­†¬ Ç S É ( S - – Öa¬ ¡§¼¬)½’²  ù³–¿• " à ۔®n¬ïF¬4£ Ó 9 Ú  Ú ó ÄFÈÐ ] Z ] ó - Û7®i¥³¦©¼t¥¦©¶)ª§¯©¦¬ ¨i£‘¥O«[£  ù³–¿• à ¥§·F¯±§¨ – ãͬ ¡³·6®ý£‘°§­^¡£†·  ù³– " Ãt–  r£i¨^°³ú)¼ ¬¨k£‘·¨^¥§·$® £‘¥O«[£  ùv–Xøv•$à ]   È^à ]  - G Ð 8;: FÚ Z€Ú Ì «¡§±  ùv–XøFøÃ ]   È^à ]  - 9 Ð 8H: ó ] Z^],-  4D²  ù³–•  à «¡§±  ù³–¿• ’à ۳®D¬¥§«$ݐ¬  ùv–XøùFà  ( S FaÌ 6ÃÉ ]  ] ó - S 9 Ð 8H: ó FÚ Z€Ú ó  3k¨^¦©¡§ï  ùv–Xø  à ]  ]  - Ð ]  ]  - S Æ 8;: Ú  Ú Ì ®i¥§¦¼t¥»?·F¯¯©·$®i¨n»?­^·F¶Û³½L²  ù³7– 6FÃ Û ]  ] ó - É Â ( S FaÌ 6Ã€Æ Â†Â ( ê ( S à FaÌ 6ÃnÐ ]  ] ó - S Æ 8;: ó Ú  Ú ó    ãͬ ·½³£t«¦¡!Û§½’²  ùv–•F•$à ]  ]  - Ð ]  ]  - S Æ 8H: Ú  Ú 9 Ð 8H: FÚ Z‡Ú Ì ®i¥§¦¼t¥¦¨  ù³–føv•6Ãt– 4D²  ù³–•  à «¡§±  ù³5– 6’à ۧ®n¬+·F½v£t«¦¡

•  Ú  Ú ó RÄ 9 ó ]   È^à ] ó - S É Â ( S   È^Ã2aÌ   È^Ã^ÃÐ ] Å ] ó RÄ 9 Ð 8H: Ð 8;: ] Z^] -   ø Ó Ó  ·F¶S½³¦©¡§¦¡§ïS£‘¥§¦¨®i¦£†¥  ù³–¿•6øFà «¡§±  ùv–Xø  à ۧ®D¬+ïF¬£  ùv–XøFøÃ2–



















k



 
 

 r£S­^¬ ¶(«¦©¡³¨ £†·÷¨†¥§·$ ®  ù³–¿• Î Ãt–  ¢¡’£‘¬ïF­‘«[£‘¦©¡³ï  ù³–¿•$ù’à ®i¦£‘¥â­†¬ ¨^ª”¬¼£S£†· È Û®D¬'¥O«|ÝF¬MÛ:®i¦£‘¥   ^È ÃSÉ  Ó   6çÄ FÌ   È^ÃgÉ  Ó   6çÄR Û Â ùv–Xø à ( S nÆ kÉ OÌ   ΠÃgÉ Î  «éL¦©¡§ï£‘¥³¬ ¦¡§¡§¬­ª§­†·±§°§¼4£k·M»  ù³–fø à ®i¦¿£‘¥  Û§®D¬ïF¬4£|Û§¨^¦©¡§¼¬ É  Û Â ( S FÌa6Ã€Æ ø• ÄFÄ È Ú  Ú ó É Â OÌa6ÃÉ ÄFÄ È Â OÌ 6Ïê  OÌ 6à  _ »Q£†¬ ­i¦©¡’£†¬ ïF­†«M£‘¦·F¡!Ûv®D¬+¥O«|ÝF¬MÛA¡³·£‘¦¡§ï£‘¥O«M£   ΠÃÉ Î³Û 9 • Ú   ÑÃ Ú ó É8 9  OÌa6çÄRkÉ  ÔÌ 6à 9 ê  9  OÌ 6çÄR ]  ] ó - S ÄR*Æ  Ó Ó ø Ó  Ó 9 Ð Ú   ÑzÃ Ú’Ú   ÑzÃ Ú  Æ J  Ó Ú  Ú RÄ  N Ó ¨†°§ª 9 Ú   6Ã Ú # 9 ÐÊø JM Ó Ú  Ú RÄ  N Ó ¨^°§ª 9 Ú   [à [Ú  #  4D²0«éL¦©¼téFÜr½O«¼té0«­^ïF°§¶)¬ ¡’£|Û§®D¬+·F½³£t«M¦©¡ 9 9 ó ó N  Ó ]  ]  - S ÄR+Ð98UJ  Ó Ú  Ú ÄR  ak·M£‘¦©¡³ïS£‘¥O«M£

















































9

Ú  Ú ÄRkÉ

Ó

Ú  Ú ÄRDÆ

Ó

SI

Ð98  Ó

«¡§±7ÛO¨†¦©¶)¦©¯©«­†¯¿²FÛ 

®D¬ £†¥§¬ ­^¬»?·F­^¬ £



SI

9

Ó Ú  Ú ÄRzÉ

9

SI

Ú  Ú ÄR

  -/. ó ] Z^]  - RÄ nÆ SI

8

 I S

9 :

] Å ],- RÄ  ÐG8H: @ S ] Z^]  -

9

Ó Ú  Ú ÄRnÆ  S I Ú  Ú ÄR 9 ó ó Ð98H: FÚ Z€Ú Æ 8;:  S I ] Å ] óÔÄR Ð98H: ó FÚ Z€Ú Æ 8;: ó ©¯ ·Fï  ÑCBD: ó à ÚFZ€Ú Ð98H: ó @ S³ÚFZ€Ú Ì 



9

«¡§±

Ó

]  ] ó -  S RÄ Ð98;: 



Ó

9

ó @ óS ] Z ] ó - Ì 

]  ] ó -  S Ä +Ð98;:  @ óS FÚ Z€Ú ó  

Ì






4D²




         




   R





 

 ù³–•' ’Ã Û Â ù³–¿• " à «¡§±  ùv–Xø  à ۧ®D¬+·F½³£t«M¦©¡ 9 9 9 ó ó ó ]  ] - ÄR Ð98  ]  ] - S ÄRnÆ 8;:  Ú   Ú ó RÄ  Ó  Ó  Ó ó ó ó ó ó Ð98H: @ S ] Z^]  - Æ 8;: ] Z^]  - Ð98H: ó @ óS ] Z^] ó - Ì



kOk



«¡§±

9

ó Æ 8H:  ÚFZ€Ú ó Ð98H:  @ óS ÚFZ€Ú ó  Ó Â ak·$® ù³–• Î Ã »?·F¯¯©·$®i¨»?­†·F¶ £‘¥§¬+¦¡L£†¬ ­^ª”·F¯©«M£‘¦·F¡¹£†¥§¬ ·F­H² –  ¥§¬+ª§­^·v·»„¦©¨¼·F¶)ª§¯©¬4£‘¬ – ù³–føv– #G"#! 
!f"#$  ! "' '  ¢¡£†¥§¦©¨a¨†°³½§¨†¬¼£‘¦·F¡!ÛÔ®n¬ ®i¦©¯¯!¼ ·F¡³¨†¦©±³¬ ­k£†¥§¬ ¬ ­†­^·F­a¬ ¨^£†¦©¶(«M£‘¬ »?·F­  •F–•$à ¦©¡0¨†¬¶(¦±§¦©¨^¼ ­†¬4£‘¬¼ «¨†¬+®i¦£†¥­^¬ ¨^ª”¬¼£a£‘·¨^£†­†·F¡§ï)¡§·F­^¶ – ãâ¬+¥O«|ÝF¬ .54 !"#%$ }'q&',+-/. Å S OR@f7 Å 0 -j.3*-29;:#6=.)5?:#@P9 :BA  •F–  à OR@f7  •F–¿•6Ã/CrE A Ú Ç  - 1 . ó Ú E GIiÏ A AG:#H 9;:#4- 0 ç }Î Ì|•  S€.h3*-/@yKM-23PORQR-TS AG:#H ? È  Î OR@f7 ÅÔÓaçõñgó Âd'å & × ! 4 à S  ùv–XøD6FÃ Ú Å S  È^Ïê Å Â È^Ã Ú E I/. + 0 ( 1 9 Ð 8;: 4 J Ú ÅÔÓ Ú E I/. + 0 ( < >X1 Æ Ú Ç .54  - 1 . ó Ú EGI N  × ` Q#OR6=$a$ao X')(*'r+-/.'4 LÉ  Y L S b S ê   MÈ LFDà C I 3*-/@ l   –•6Ã Ú 4 L Z€Ú 9 Ð 8 ÂJ 4 .ó V Æ : 4 à ] Z^] 4 Ì AG:#H Z ç × ! 4 Ì Î Ð 0 ЕFÌ 






OR@f7

  –XøFà J

* J



L

+ -

Ú 4  Z€Ú ó N

-/. ó

Ð98 Â J 4 . ó V Æ : 4 Ã ] Z^] 4  - Ì

AG:#H

Z

ç ×!

4

 -

Ì Î Ð 0

Е 

~eH.3*-/HTSV5@.h3*-jKM-YO
[@e:#H4S

  –fù’Ã

OR@f7#SlKV5.3 @Y

  – Ã

Ð98  J 4 . ó V Æ : 4 à ] Z^] 4  - Ì AG:#H Z ç × ! 4  - Ìi• Ð 0 ÐÊøvÌ É ¯©·Fï  ÑCB J à K3*-/H^- ÑþÉäÈML S L -/. ó * ] 4 Z^] ó - N Ð98  J 4 . ó Æ : 4 à @YR] Z^] 4  ó Ì AG:#H Z ç × ! 4  ó iÌ • Ð 0 ÐÊø   ]4 L Z ] -

J J



+ -



k


š”›› ãͬ÷±§¬¡§·£†¬ Å Â MÈ LFÃÉ5Å L É


 
 

 ÈMLFà ZÔÛ P L É  Y L S b S ZÔÛi«¡§±  L É 4 L Z – ã⬵O­†¨H£ ¨†¥³·6®   –¿•6Ãt– 4D²£‘¥§¬¨^£‘«½§¦©¯¦£¢²0ª§­^·FªA¬ ­^£†¦©¬¨z·»g£†¥§¬ ñgó ª§­†·6ß^¬ ¼£†¦©·F¡#·Fª”¬­‘«M£†·F­ b S«¡§±÷£†¥§¬¨^·F¯©°v£‘¦©·¡ ·FªA¬ ­†«M£‘·F­^¨O Y S  È^à «¡§±   È^à ۧ®D¬¥§«$ݐ¬   – Ã Ú  L Ú É Ú  Y L S b S Z ê   MÈ LFà Z€Ú ÐÊø ÚFZ€Ú Ì »?·F­ È( Î Ì Z ç ×  ãͬ+®i¦¯©¯”¨†¥§·$® £†¥O«M£   –76’à ÚL Ú 9 Ð 8  J -/. ó V Æ :Ôà ] Z^],- Ì »?·F­ Z ç × ! -   ·F¶S½³¦©¡§¦¡§ïS£‘¥§¦¨®i¦£†¥¦¡’£‘¬ ­^ª”·¯À«M£†¦©·F¡¹£†¥§¬ ·­^²FÛ§®D¬ ïF¬£   –•6Ãt–  ·)¨^¥§·$®   5– 6’à ۧ¯©¬4£i°§¨k¼·F¡§¨^¦©±§¬­£‘¥§¬+¬ ­^­†·F­i¬Á°§«M£‘¦·F¡!Û³®i¦¿£‘¥û  L É Â  L ê  L  - à B J”Û L L   – à ( S6û  Æ   É  L Æ ( S
L Ì ®i¥§¬­†¬  L É Â ( S ê ( ÃcÅ Â MÈ LFà «¡§ ± L ÉýÅ Â MÈ L’Ïê û ?Å L – 4D²£†¥§¬+¬ ¡§¬­†ï²¶(¬4£‘¥§·±!Û³®D¬¥§«$ݐ¬ L L ó L ó * ÈML Ú  Ú ÐÒÈML Ú  Ú Æ J J Ú   Ú ó Æ´È  ó - Ú4û   Ú ó Æ Ú ( S  Ú ó Æ´È  ó - Ú  Ú ó N    

 + -

Ök¬­†¬MÛO½L²  ù³–76Fà «¡§±퇬¶(¶(« vø –fø Û³®D¬¥§«$ݐ¬ Ú   Ú É Ú Â ( S ê ( ÃHÅ Â È  Ã Ú Ð98H: ] Å Â È  à ]  - Ð98H: ] Z^],- Ì «¡§±



 • •  È   -$Ú4û  Ú É PP J  È   - Y  6çÄR PP Ð PP J   Y  6çÄR PP P P P P E )  E ) Â Ð Ó ¨^°§ª Q Ú  Y 6Ã Ú Ð98;: Ó ¨†°³ª Q ] |Å Â 6à ] - Ð98H: ] Z^],-a #  # èO°§­^£†¥§¬ ­Û§®n¬®i­^¦£‘¬ Ú ( S
 Ú É Ú Â ( S ê ( à  Ú Æ Ú(  Ú Ì ®i¥§¬­†¬ÛÔ°§¨^¦©¡§ï  ù³5– 6’à «¡³±퀬¶(¶(« øv–fø Û Ú Â( S ê ( à  Ú G Ð 8;: ]  ]  - 9 Ð 8;: Ó ¨†°³ª RQ ] Å Â 6à ]  - Ð 8H: ] Z^],-  # Ök¬¡§¼ ¬+®D¬·F½v£t«¦¡ L L ó ó ó Ú Ú 9 Ð 8H: ] Z^] - Æ 8 J È L * J Ú (  Ú ó Æ È ó  - Ú  Ú ó N  4D²

 + -

 «|²¯©·F­j¨»?·F­^¶S°§¯À«vÛv®D¬ ¥§«$ݐ¬

Ú(  Ú ó É

P(

Ð

P P

P P P

ÐÒÈML

J

•

J

•













  E )

E )

E )

 aêîÈ   - Hà Å  6çÄR

P

P

P

ó É

 aêâÈ   - à -/. ó J -/. ó Å  [çÄR

Ú Å  6Ã Ú ó ÄR’Ì

P P

P

P

ó

P

P J

• Ð



 



E ) 



E )

 aêîÈ   - Hà Å  [çÄR

ó P

P

P

 aêîÈ   - Ã Ú Å  6Ã Ú ó ÄR






«¡§±




         


È ó  - Ú  Ú ó ä É È ó 

- PP

ÐÒÈML

P

J



•





 



   R


ó P P

ÐÒÈ ó 

P

ó Ú Å Â 6Ã Ú ó ÄR 

E )

E )

Å  6çÄR





- 



E )




 

k 

 aêâÈ   - Ã Ú Å  6Ã Ú ó ÄR



ª³ª§¯²¦©¡³ï(퀬¶(¶(« øv–fø Û³®D¬¥O«|ݐ¬ _

J

È

L *

L

 + -

È ó  - Ú  Ú ó Ð

* J

É

 J

«¡§± J

È

L *

L

È ó  - Ú  Ú ó Ð

 + -

* J

É

L

 

 + - Q



E )

Ú Å Â 6Ã Ú ó ÄR

Ú  Â 6Ã Ú ó ÄRÐ98 Å Ó

L

 + R- Q

 



E )



J

]Z ]-

Ì

ó Ú Å Â 6Ã Ú ó ÄR

ó Ú Å Â 6Ã Ú ó ÄR Ð98

J ] Z ] -F Ó Ök¬¡§¼ ¬   –76’à »?·¯©¯©·$®i¨«M¡§±£†¥§¬ ­^¬»?·F­^¬®n¬ ïF¬£   ¿– •6Ã4– ãͬ ¡³¬4¸£a¨†¥§·$®   –XøFÃ2– 4D²'¦¡L£†¬ ­^ª”·F¯©«M£‘¦·F¡¹£†¥§¬ ·F­H²FÛO¦¿£i¨†°³ú)¼ ¬¨a£†·(¨^¥§·$® †£ ¥O«M£ L -/. ó *   – ’Ã Ú 4  Z€Ú ó N G JJ Ð 8 ]Z ] - Ì J





 + -

«¡§±   –" à J J

*

L

 + -

Ú 4  Z€Ú ó N

-/. ó

Ð98  J -/. ó V Æ :Ôà ÚFZ‡Ú[

 «éL¦©¡§ï£‘¥³¬ ¦¡§¡§¬­ª§­†·±§°§¼4£k·M»   –  à ®i¦¿£‘¥  L §Û ®D¬ ïF¬£ 4D² (

¨^Ó °§¶)¶¹«M£†¦©·F¡â·F¡ S  É ÎvÛ³®n¬ ¥O«|ÝF¬

  –• Î Ã Â (

S XLvÌaXLFÃ!Æ

N

 ( S6û  L Ìa L Ã€Æ Â  L Ì  L Ã É Â  L Ìa L €Ã Æ Â ( S L Ì  L à  Û*°§¨†¦¡§ï÷£‘¥§¬0¦¡§¬ ÁL°O«¯¦£¢²   L Ìa L 0 à Рó- Â Ú  L Ú ó Æ Ú  L Ú ó à Ûn«¡³±º¡³·£‘¦¡§ï÷£‘¥O«[£ J

*

L

 + -

ÚÚó 9 Ð 8 J

*

L

 + -

ÚÚó Æ

8 J

*

L

 + -

Ú(  Ú ó Æ

8 J

*

L

 + -

Ú Â( S ê (

à Úó

k


 
 

Ök¬­†¬MÛO°§¨†¦¡§ï¹í€¬¶(¶(« øv–fø Û³®D¬¥O«|ݐ¬ÛÔ¨†¦¡§¼ ¬   É

  –•F•$Ã

* J

L

Ú   Ú ó É 1 Æ @YLÚ Ç .54  - 1 . ó Ú EHGI N  E @ ZPORH.)5?]/68ORH^S 5 A Ë Â È^à 5_9 OR@ ×a` Q#OR6= 1 Ì »?·F­Î Ð 0 Е  èO·F­ 7 7 Û³®n¬ ¥O«|ÝF¬MÛÔ½L²¹£‘¥§¬+¦©¨^·F¶)¬£‘­H²ª§­^·FªA¬ ­^£¢²ÛÔ«¡§±  ù³–¿• Î Ã ®i¦¿£‘¥ Z É " -/. ó  &?Û L

 ó ó * Ú 7 7 Ú E I/. É  P  Ç  -/. ó 4 L I - ÄË Â 6à P !"#%$ .54 - .  1

L


'q}'+-/.

P + - P   L

 *  Ú + -  E )

+ 0\( < E ) 1

É É

*) J &@+ -

J

*

L

 + -

E )

Ç



 /- . ó 4 L 

ÚÇ



P

ó  I -|Ú E GI Ä

 /- . ó 4 L 

I

P

- " /- . ó  &¢Ú ó N

ÆV: ó .54\I - 1 à @ óY * ) Ú Ç .54  - 1 . ó " -/. ó  &¢Ú ó &@+ 4\I .54\I .74 - . ó ó ó ó 1 à @ Y Ú Ç  1 Ú EHGI  Ð98  J ÆV: èO·F­ 7 7 7 Ûv®n¬ ¥O«|ÝF¬MÛA½’²£†¥§¬+¦©¨^·F¶(¬4£‘­H²ª§­^·Fª”¬­^£¢²Û L

 ó ó * Ú 7 7R7 Ú E I/. + 0=(F< E ) 1 É P Ç  -/. ó J   ÈML+êâÈ   - Ïê   ÈMLê 6à N P EGI Ä  P

P Ð98 Â J

É

L

*) *  &,+ -  + - 

 + -



E )

PÇ P

P



E )

.54\I

4\I

-

P

-1.ó  J

 iêâÈ   - Ã ê

7 N

Ç -/. ó  Â ÈML+ê 6 ÃHÇ

P

.74

ó  - 1 . ó " /- . ó  & P ÄR  P P

èO·F¯©¯·$®i¦©¡§ï£†¥§¬+ª§­†··» × !  -  9S ±§¬µO¡³¬ ±#½’² ç } Î Ì •  –  ¢0 Âb

SZ

Ì ÃgÉ% Z Ì'"Ì

ç ×! -Ì â  ç Z



9S

á ×!-Ì

®i¥§¬­†¬  Ù Ì Ù " ¦©¨£†¥§¬+ªO«¦©­^¦©¡§ï½A¬£¢®D¬ ¬¡ × !  - «¡§± × ! - – 4n¬¯©·$® ®D¬a®i¦¯©¯§¨^¥§·$®Ò£‘¥§«M£*¦£¦©¨g¨^°³ú)¼ ¦¬ ¡’£D£†·¼t¥³·v·F¨^¬ É Sk¦¡(·­†±§¬­£†·«M¼t¥§¦©¬4ÝF¬i£‘¥§¬i­†¬ÁL°§¦©­^¬ ± ¼ ·¡Lݐ¬ ­^ïF¬ ¡§¼¬·F­^±§¬ ­ –Y ·¨^¬ ¬£‘¥§¦¨ Û§¯¬£°³¨¼ ·F¡§¨^¦©±§¬­£‘¥§¬¨^¬ ¶)¦©±§¦¨†¼ ­^¬£†¬+«ª§ª§­^·$¸v¦¶¹«M£†¦©·F¡(¨†·F¯°³£‘¦·F¡ Å S ·» Å ·»  •F–¿•6Ã4– ¬ ¼ «¯©¯”£‘¥O«M££†¥§¬ ¨†¬ ¶)¦©±³¦©¨†¼­†¬4£‘¬¨†·¯©°³£†¦©·F¡ Å S ¨‘«M£†¦©¨^µ§¬ ¨  –fù’Ã

Å S Â È^ÃÉ

3S

É

3S

 È^à b S ÔÅ Ó:Æ  Ó Â È^à b S ÅÔÓ:Æ * )

 È:ê 6 à b S Ä Ë Â 6Ã

3S



 + - Ó

OS

 Ȅê 6 à b S   $  -/. ó Ä 0   6à 

 ­†°§¡§¼ «M£‘¦¡§ï£‘¥§¬+¨^¬ ­†¦¬ ¨a¦©¡£†¥§¬+­†¦©ï¥L£i¨^¦©±§¬+·»  –jù’à ۧ®n¬ ¥O«|ÝF¬

 – Ã

Å S Â È^ÃÉ

OS

 È^Ãb S ÔÅ Ó„Æ *





 + - Ó

OS

 Ȅê [ Ãb S   $  -/. ó Ä 0   6à 

ãͬ+£†¥§¬ ¡¥O«|ÝF¬+£‘¥³¬+»?·¯©¯©·$®i¦¡§ïS¯©¬¶(¶(«®i¦¿£‘¥0­†¬¨†ªA¬ ¼£a£‘· ñgó ¡§·F­†¶-¦©¡0¨†ªO«M¼ ¬ –

l>$a$ao ')(*' +-/. Å S OR@f7 Å S 0 -F7%-hUl@e-Y7 0 v  –fùFà OR@f7  –  à SH^-T9wZ*-T]/.\5QR-/6=v C E A Ú Ç .54  - 1 . ó Ú E GIÏBA AG:#H 9;:#4- 0 ç  Î Ì|•  C N9T9/g@-  ),+ g A,G ),GD)JH9Hhg R)8+ g A8G + A ) JA8G + CEA,hH CE*A (Lh-Le@6T” Z b4mm‚
!OZ2]dRdVXZ2lT„W V}wF\H]U\HP RUVfZ4lPAS x y[ZtRUVjbP[WCX ,  _O595 8M
6 **8$%\ 38[a ‚ _O[7 ‚!=¢‚Bb { bc P6… { 6 Y ),+ + g J-)JH9HCE A 0gief),+ g A,G .F >A,C4FM+. A RI2),FR+ g Z2 ),FROg V.h giG-R),C*H ),CE) (RA,hg !H ),CM+ g ),h D8g ->CJ->Gd+ g )8h- 2 )8+ g A8G2F D,CMOg 0,->P G (>=
6 !§b2RU\HP RdVXZ2l’@\3 8$‚ _0_ ‚ *6 Y ),+ + g R-)RH0H CEA 9gief),+ g A,G2[ F >A8C FM+. A RI2),FM+ g \2 ),FROg V.h giG-R),C H ),CE) (JA8hg  H2)8CM+ g )8h D,g -LCE-LG + g ),hd-  ),+ g A,G2F D,CMOg 0,->G (>=Gd+ g )8:h Dd2 )8+ g A8G2FM6'$[ Y6]dVfP6…\H]ds eO\H]UlfZ4… $6 >‡\^_8Ôb]EQ 6T_O5 0[: ‚ _LM^ ‚#F[ ‚*!§\^W^@^Z2RAZ2P[efM‚-FZ u `@ { Q 96 $d+. A JI )KFM+ g  - 0KA81h + g A,G - 2 )8+ g A8G2F#? gi+ I ) F H2)8+ g )8hih= I2A,efQA 59-LG-RA 'U F g g -LG-LC H CE A R->FRFR6

[ Rdb$`rT[ZW?RUVf`4!Ô]Ub$`c\†WdW^‚$@‡Y6Y6l©‚KXZ _$50-5 *M6 _ %O\23878M^ ‚ _ 86‚[‚9!A]dVfP Rd\HmWO?6 b G`+iI -@D8g 2F LCE-L+ )g h$)8+ g A8GgiG+ gief-@JA  H2)8CE*) (RA8hg @FM+ A JI )KFM+ g XH ),CM+ g ),h]D,g -LCE-LG + g ),h -  ),+ g A,G FR6d1`23 @„> +1 ZtRUTL‚21 b$e$\Hl©‚[>6_$7 88$\_$-7 76‚ _O[a ‚€“:‚$|[ T[Z4]Ue6ljbt_Y6 NHef->CMg R)8hef-L+iI AOD,F >A,C FM+ A RI2)KFM+ g  H ),CE) (JA8hg =c j( D FRt6 >6 _$3_>\_O-^ 8$‚ _$‚=e*‚[“!T6bml\Hk \9n6 m#)8h->^C o8gip G  giGdgi+ 4- D h-Lef->GdA+ ;`-L+iI AOD,AF >A,jC c )8CE*) (RA8hg Hc CE*A (Lh-Le FM6 |[ Y6]UVjP6…\H]ds A,CYD,g FR A,G + giG
 A7' F'#m ),h ->C^8o giG e