Transformasi Linier dan Matriks

Transformasi Linier danMatriks Tujuan: 1. MemahamidefinisiTransformasiLinierdari R n ke R m danmatrikstransformasi. 2. Memahamiartigeometridaritransformasi linier. Fungsi yang pernahdipelajari: - f : R → R fungsibernilai real, contoh: f(x) = 2x + sin x 2 - f : R → R fungsi 2 variabel, contoh: f(x,y)=2(x + y) n - f : R → R fungsi n variabel, contoh: f ( x1 , x2 , , xn ) = a1 x1 + a2 x2 +  + an xn 2 - f : R → R fungsibernilaivektor, contoh: f(t)=(2t + 1,t) 2 2 - f : R → R fungsiduavariabelbernilaivektor, contoh: f(x,y)=(cos x, sin y)

Fungsidari R n ke R m n m Fungsi f : R → R adalahaturan yang mengaitkansetiap x, elemen di daerahdefinisidi R n , ke f(x),elemen di daerahhasil di R m . Fungsi di atasdisebutjuga: transformasidari R n ke R m . SistemPersamaan Linier (SPL) dapatdipandangsuatutransformasilinier:

w1= f ( x1 , x2 , , xn )= a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn w2= f ( x1 , x2 , , xn )= a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn



(*)

wm= f ( x1 , x2 , , xn = ) am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn

SPL di atasmerupakantransformasi linier T : R n → R m yaitu T ( x1 , x2 , , xn ) = ( w1 , w2 , , wm )

Contoh: Diketahui Hitunglah dan

.

Seperti yang sudahdiketahuibahwa SPL (*) dapatdinyatakandalamperkalianmatriksvektor:   w = Ax   dimana w vektor di R m , x vektor di R n , dan A matriksmxn. Matriks A =  aij  disebutmatriks standarduntuktransformasi linier T.

Misal

vektor kolom dari matriks identitas

, dengan

.

dimana A= representasinya. Contoh: Suatu transformasi linier dimana . Jika diketahui , , a. Tentukanmatriksrepresentasiuntuk T. b. Carilah .

matriks

,

PenulisanNotasi:   n m T : R → R ditulissebagai TA ( x) = Ax Artigeometris:

Artigeometrisdaritransformasi linier pada R 2 ke R 2 :

 cos θ − sin θ  A =   maka Contoh:  sin θ cos θ    cos θ − sin θ  x   x cos θ − y sin θ  TA ( x) =    .  sin θ cos θ  y   x sin θ + y cos θ  Yang merupakan rotasi dari R 2 melalui sudut θ.

Beberapa contoh transformasi linier: Lihat H. Anton (h.283-286)   Transformasinol: T ( x) = 0   Transformasiidentitas: T ( x) = x

KomposisidariTransformasi Linier: n2 m2 n1 m1 Misal TA : R → R dan TB : R → R , komposisidariduatransformasi TB  TA yaitu T : R n1 → R m 2 adajikam1 = n2danmempunyaimatriks standardberukuranm2 x n1yaitu [TB ][TA ] . Balikan(Invers)dariTransformasi Linier: T −1 : R n → R m adalahtransformasibalikan (invers) dari T : R n → R m   −1 −1 jika (T  T )( x ) = x atau T  [T ] = I .