Transformation Groups, Vol. 4, No. 4, 1999, pp. 329-353 cG ...

2 downloads 0 Views 301KB Size Report
in Xn . For a spherical Coxeter simplex, this is just the volume of Sn , ... at the end of the paper for the size of every hyperbolic Coxeter simplex of dimension ш 3.
/1 . 0 2"34 56 0  87$& &&)9

    "!# %$&&&')()*&,+)()-(

:=@?ABC=@DFEHG

;JILKM=ONQPRDFSTAU

UVDMWL=O:¦dVl ùmqxoj[qd`pš¦mjnÑrt r~n6owr%zywjp[jz8¦dOp[j)lqzr't“|xzzj yoxr~qVlq`|Myr~p[kjp¸j qdo6xr~q#ƒlq|¤owjn6jtr%nj~ƒ‹r%no6wr~z6y¨w`jp¸jz ‚~jq`jn¨l'ojCo6wj8kmr% o6r~k jh‚%nr%k z   ߜà  xq[zyxzz6r~n6z{yr%q‚~n6jqyjÑowjr%n]“uOr~n6j8knjy x z6jdƒjo   åOà  ¦mj[owj[‚~n6r~kötr%nC¦ r~q|`j|Fk r~or%kmjzTxq å à#ƒ“lq|Vj o   åMà  ¦mj[owj[‚~n6r~kötr%n kmr%zz6x ¦` š`qd¦ r~`q|j|Ok r~or~k jzxq¸åOà#]“cfqj8wml'zso6wjftr~rŽxq‚{n6jz` o6z  yt¨]  gl ƒ n6r~k#]“›`] ˆ`ƒ k#]   ƒ  iTƒ n6r~k#]«‰] §mƒ%k#]  §d‡ (>



" x  m`ìhð ñ$l~ì8ê!" åOà  ðòÿ åOà  ð ï ~ì"ÿì"îgl~íìk$rqCímìfïðòñ”ómô qOl'ï qñ”óøíê~íðòþ    ê~îímê'ïþ]m`ì)ñTìïê~îOlô ô”è L‡$# ó   å %6à  ðï %ì)ÿì"îgl%íìk7rqšímìCk~ê4r ô qƒl'ï\qñó‹íê%íðòþTê~î í m`êïþ]m`ì)ñTì ïê~îOl'ôòô  xx % m`ì ~î6ê  &

8ÙÚ-“Ú3% ÞØ)ÞÚm×

 #

è

  ‘v—~jn6Fyr%p¸kml'yo^r%no6wr~z6y¨w`jp¸j[€ FüåOà y)l'qQ¦ jOnjk`njz6jqoj|¬¦Fè (   zxp¸k` šlz6p¸ko6r~oxyfr~no6wr~z6ywjp¸j z,+THmã5K#á>†ã6ã¨èTãly yr~n6|xq‚šor ')(*5+.-/u'5%

"

€

á-+ ‚

B

(

+

(  B  –à + à 



???

¡rœz6jj¸o6wxz)ƒ„|jqr%ojš¦ t ‚%ãã t à ãçowjš—%jno6x y jz^r't_€T]¸’‹j o t BgB!H t. ‚T¦ jšowjšnl"Mow`nr~`‚~wVow`j j|‚%j t H t ‚Ñzo¨l'no6x q`‚ l'o t H]^ifjqr%ojš¦*v‚C=ÓúmåOàöow`j^xqojn6zjy oxr~qVk r~xqo8rt t BB/t. ‚CŽxowöow`j ¦mr%q|ml'nTrt åOàšloxqùmq`x o–ƒ~l'q|šzjov à > á t ‚%] } w`rdr%zjk r~xqozv à H  xq|xyjz«p¸r|r{è (   r~q t B^B!H t. ‚ƒ zywMo6wmlofowjÑkòlqjCz6kmlq`qj|ö¦db  v‚'ã ã v à  xz{r%now`r~‚~r%qml‹o6r¸o6wjCxqj8own6r~‚%w v  v  x q  v  ]C¡wj q#ƒ‹xo8x zfj)lz6MorOywjy öowml'o8owjTzxp¸k` xyj 0 z + H > á v ‚ ???&v H t H  ??? t à ƒ à à à Žxow¬†  K  èTãln6jhz6xp¸kšlzp[kor%oxy{r%now`r~zywj p¸jz{l'q|Odxj|O ‘ fmlo6x r%q    ]

 ‡  ‘—~j nVzxp[k l'zp¸k`or~o6xyCr~n6owr%zywjp[j1+;F åOà y)lqV¦ jšnjk`njz6jqoj|L¦¤ùmqxoj   pœl'qdš|`r~¦¸l'zp¸ko6r~o6x yr%no6wr~z6y¨w`jp¸jz"] ¡ršzwrŽ¬o6wxz)ƒ j2 o +aá t ‚ ??? t à Žxow t à = ú åOà#]ifjqr%ojC¦*v ‚ owjÑx qo6jnz6jyoxr%q†Tx©t ow`jC|r~`¦jhr't o6wjC|xwj|`n¨l 7 lq‚%jhr'" t +šƒ—xzx¦jClzo6wj8kòlqml'nXl'q‚~j8rt+ lo t % xq¸o6wjCo6nxòlq‚%j t ‚ t t % ƒ`x zz6ox#ly`oj~] \{rŽCƒy r~pš¦xqxq‚«owxz„Žx o6wCow`jsy`ooxq‚Cl'q|Ckml'zoxq‚fnjòl'oxr~q    ƒŽsj¢r~¦olxq#ƒ tr~nlfzxp¸k à à lz6dp[kor%oxy«r~no6wr~z6ywjp¸> j +šƒo6wj{n6jòloxr%q¸‡ +>á 9    H + H 9 5 H ( 9 5 H †  <  è

B



H;: ‚ B

B?H;7: ‚

H;:

7





.

5

+

+ 3

5

+ 3„ÐsË   ¢Õ

 ϋ¶RÏ     Õ Ï

   Õ %ÏfÏ

Ï#ÐϋРË

3

 Ð

cfqFow`j¸nx‚%wdo8wml'q|Vzx|j%ƒ+ à lq| 5 à ln6jšowj[r~qMz6xp¸ká

7

5H

H;: ‚

B

à

(

H;:





 7

5H

†  <  è

B

ã

‡ 

Žwjn6jœlow`jšzp[pœlq`|z{r%q ` ` ` `

 > € @  € % @>  > €  @  > €  @

  U   ‚   U    U  ‚     %         %       U  %

   %       

  U      U   

ã ã

§  ã ã

ƒ{l'q|Lolq % á yr%zU‚ * yr%zU  ¢…{zštr~n¸o6wjMn6jpœl'x q`x q`‚ B %  %  m ¦ C j 6 o  w C j  l   õxxòln¸l'q‚~jf|jùmqj |M¦  yr~z U‚ yr~zU % yr%z3U yr%zU  B yr~z á 

y r~z % U‚ (Ryr%z % U  ¡wjq#ƒ % (  á ã (  á>÷ B  £„xqmlƒtr%n  ( y r~z % U % B yr%z % ã  > á yr~z % U F Žwjn6j =

% †ã÷ * ‡

> á



zxq

l'q‚~jz"ƒsjo

 

r~qj m ù q|zyr%o á  yr~zU * yr%zU ‚  ? „ã«yr~o á  y r~z U ‚ * yr~zU  ?    £r%n{jõl'p¸kj~ƒ`owj } rõjojn8z6x p[kjõ   wmlzClšz^fmln6j^|xòl'‚~n¨l'p Žxo6wU‚há ÷ * ›`ƒ3U á  ÷ * ›` ƒ U % á ÷ * ‰ƒ“l'q| U á ÷ * ›] «VowjMl¦ r—~j[yr~q`zon6yo6x r%q#ƒ  xzC|xz6zjyo6j|Lxqorö§  á  ›`㨛`㨉 (  ›`㧠㧠(  §mã6§mã› (  ›ã‰ã›  r~n6owr%zywjp[jz 













Ú / Ü +.'ÚmÙ +ö Ü / *5'  "  ¡wjn6jXl'nj“|x‹jnj qdop[jowr|z‹o6r|j)l'~ŽxowCq`r~qž‘yx|j)l'q8zxp¸kxyxòl —~r~p[jz)] _Vj“pOl%j#z6j rt#gyw–l ˜ mx z#—%r~p[j |`x‹jn6jqoxòl%tr%npšòl]‹’çjo¢à ãè L‡ã"|jqr%ojow`jsz6jo“rt‹è`žæ|xp[jqzxr%qml  zxp¸k` xyj z{rt«yn—~l'on6jMá   ]C£`r~n á



Žwjn6j^o6wjCl||xo6x r%qml‹lq`‚~j{xz‚~x—%jqO¦d yr%z % U

áLl'nyolq 

B yr~z U

%

%ã B

tr%n i > á ‡5 tr%n i á  ã›ƒ

ã x U

%U

z6xq





 †ã÷ * ‡  =

gjyr%q|ƒtr~npš` l    xq|`x y"loj z{ow lo{—%r~p[jyr~p[ko¨l'oxr~q`zsy)l'qM¦ jCon6j)lo6j|Mtr~nj—%jq l'q| r||O|xp¸jqz6xr~qz«zjk ln¨l'oj] •–qVowj[njpOlxqxq‚[kmln6o^r'tXo6wxzCzjy oxr~q#ƒŽ«j¸y r~jyoCo6wj¸p[r~zo8xp¸k r~n6o¨l'qdofnjz6oz¸l'¦mr%o —~r% `p¸jz8rtwkmjn6¦mr%x y[zxp¸k` xyj z{rt{r||V|`x p[jqz6x r%qz á 5  U  Må ‚ Må l'zz6rdy x l'oj|Vo6r owjTlq‚% O j UVxzrtowjftr%np





Ð u J [ 3  +3ˬË „Ð

   U " `

+



,  



/







U  U 

  

‚ U  

>



 y r~o % < '* ‡Ll'q| Žxowa|`x w`j|n¨l'ûl'q‚~jz¤‚~x—~jq¬¦¬o6wjVt`qyoxr%qz ‚ <  á ‡“ln6yo¨l'q    B <  á ln6yo¨l'q ‡  y % r o 8 <  ¡wjTzxp¸k` j õ  U  y)l'qwrŽ orV¦`x |Vj—%jqž–|xp¸jq`zxr~qml'sz6xp¸kjõM—%r~p[jškVtn6r~pZy jnolxqӁ rŽ«jn ž  l'q|Ór||ž  |xp[jqž zxr~q l«—~r~p[jz)]O•–qRowxzTŽXl"ƒ„wj¸yr%|F|j ojn6p¸xqjšow`jœy r~qojqoTrthl' «zk`wjnxy)l' } rõjojn r~n6owr%zywjp[jz  zjjM”jpœl'gn   y  ¦ jrŽ  ]O¡rO|jz6ynx¦ jMgyw–l ˜ mx zCnj |yo6x r%qFòl"ŽCƒ‹Ž«j¸pOl ~j zjÑrt o6wjCqr%npOlx­j|š—~r%p¸j«t`qyoxr%qz









r%q  à  > à > á à —~r% à 㠂 > á   > > à r~q  à   ‚ >á à á@K à —~r~ à ã  Žwjn6j à á

‡ à  —~r~ à  â à



á

  & )è ( ‡   

‡'à 





ã

÷  ¡wjn6jtr~n6j~ƒ à á  kn6jyxzj¤tr~nCl[zk`wjnxy)l'sz6xp¸kjõMlrtŽwr%zjš|xwj|`n¨l«lq‚% j zCj\fml ÷ * ‡]Cu r~nj r—~jn"ƒ‹tr%nhl  xqj"ln8zkw`jnxy)l'“zywjp[a j `>r'tsr~n6|jn^6 è (  yr%qzxzo6xq‚Or_ t w |xz Œr%x qo yr~p[kmr%qjqoz ã¨ã¸rt r~n|`jnz¸è (  ã ¨ãè (    ƒ"o6wj«tqy oxr~q à xzpšoxkx©y)lo6x —%j xqœo6wjftr~rŽxq‚Cz6jqzj  yt¨]  g‹ƒ\frm]“‡%›ƒk#]“‡%› " (> à  `  á à    ??? à    _VjCnj knr|y j¸ow`j^—%r~p¸jfnj|`yoxr%q r~n|`jn

z`¦zywjp[j

pš` o6xkx y x o–

           §            §    

§

‡ ‡



  

‡

§

§



     







¡wjn6jtr~n6j~ƒ ¦šowj^l'¦mr—%j{o6wjr~n6jp











 *ÙÞØ2+.'Ø)Þ–Ý hÚ$( 'Ø'Ù %Þu+.-/ޖÝ'5% 2 … } rõjo6jn“z6x p[kjõCxz“zlx|^o6rC¦ j$l~î ðòí m`ñ^ì"íðòþx©tøo6wj{yr%nn6jzk r~q|`x q`‚ } rõjo6jn“njmjyo6x r%qO‚~nr%k xzûl'nxowp[joxy  yt]  ™šƒ‹k#]ö‡  ˆ   ]¤¡wjnjMl'njšjõly oFˆ~‡Owk jn¦ r~xy } rõjojnšz6xp¸kxyjz rtC|xp¸j qzxr~qVo6wnj j›

_Vjso6wjqšz6j)ln6y¨w`j|štr%nyr~p[p¸jqz6n¨l'¦xx o–n6jòlo6x r%qzw`x k`z ¦ jo–Ž«jjqšo6wj } rõjojn¢‚~nr%kzrt E 5 ƒ lq| E lq|Oo6wj8qxo‚~n6r~kz &  4ƒ & ƒ lq| &  ƒn6jzk jyo6x —%jd]¢_Vjfùmnz6otr%q|¸o6wmlo





ƒ 

—%r~   å * &   á ›O?\ #%   ›ã '* ‡%†§ " ã  —~r%  å * &  á  ˆ ?"› "#%   § ã¨› "* §  ~‡%†ã  —%r~  å * &   á ˆ #%   §m㈠'*  " ›~†'§ ¡wjšn¨l'oxrOrt—~r%   å  * &   Žx o6w  8#%   ›`ã] "* §‰~† " x zT‡~ˆ * §m]Ñ_Vj^—%jnx©ùmj|Vo6wmlo8Ž«jšwml|öow`j  yr~n6njy oš—~r~p[jCrt E  ¦özwrŽxq‚Oow loCxoz } rõjo6jn^‚%nr%kVwmlzTl¸z6¦‚%nr~`kVrt{xq|jõö‡~ˆƒ Žwxyw^xz l”z¦`‚~nr%kTrt &  r'tmxq|jõC§ ]‹¡wj«n¨l'oxr{r'tm—~r%  å * &  ŽxowT› "#%  § ã¨› "* " ‰~†  ‰%†   xz    * §{lq|Co6wj«n¨lo6xr{rt—%r~  å * &   Žxow^ˆ #%   § ã¨ˆ "* ›%›  ˆ~ˆ~‰%†j\fml' z  ›j * § ]#gxp¸xòln6 orCo6wj{l¦ r—~j%ƒ~Ž«jsywj y]%j|¸o6wmlo¢Žsjwml'|^o6wjyr%nnj yo—~r% `p¸jz„rt 5 lq| E ¦Czw`rŽx q`‚ho6wmlo owjOyr%nn6jzk r~q|`x q`‚ } rõdj ojnš‚%nr~`kFwml'zûl¤z¦`‚~nr%kFr'thxq|j õ   ¤  lq|  ›`ƒnjz6kmj yox—~j  ƒ ŽwxywVx zClOz6¦‚%nr~`kVrt & rtxq|jõö§Mlq|VlOz6¦‚~n6r~kVr't &  r'tXxq|j õM§mƒ„njz6kmj yox—~j  ]  

ifjo¨l'x zŽxøl'kk j)lnfx qOlÑtr~n6owy r~p¸xq‚8kml'kmj n{rt“{l'oyxøjCl'q|O¡zywmlqo6­~] ¡wjn6j^ln6j{r~q` Ñtr%nXˆ žæ|`x p[jqz6x r%qmlwkmj n¦ r~xy } rõjoj nzxp¸kxyjz"ƒ 5 ã â ã + ƒlq`| E ] _VjOwml"—~jOlnj)l'|F|`jojn6p¸xqj|Óo6wjO—~r~p[jzCr'tÑl'so6wjzj¤zxp¸kxyjzTjõyjk`oštr%n + ]ӕ–ošxz r~¦—xr~z”tnr%püowj } rõjojn8|xòl'‚~n¨l'p¸z«rt â l'q| + owml'o + y)l'q ,

3

43

02 . 0 20 10

. 708.

3

!Z ![9;&\ !&!& ]!&2?&^! 1,!] !`_O%XA / I*!a!&

!* !L @*" ] !b /!(cA!#\   OT.?&&^! 1,!I  !d /" $&!6 Õ«·»¼8Ç ¾~¾ Õ ‹Ç»–½ŸÅÕ0¨Ò 2%Ï +ÄdŖŽŸÇ ¾Vº»Ç¾ÅßÇ)º½ŸÁ ¾e6f,gAhAijklmnmÕo pqr r*sutwvx.yEzG{ |
. 0)Ï

 Ë I.  fÏ Ï ,OÏ ËÁÌ·º–·6»Õ _F!;D $&   ED:.$#F E§" cA " †¨ =" $F!&B/© ? Õª¢ÄdÇ »ºÏ 5%Ï,šÇ"º¿mÏ5,«Ì"ÆòÁ»¹7 « 5 0Ò  76Õ0 J . Ò~Ï  ˶[ fÏ Ï ,OÏËÁÌ·º–·6»Õ0fÏ 5%϶M¿%½Ÿº»Á&¬ÕA­] E 01@6 Õ ,š·¨¹%¹ÏÄ%¾d¹~Å@¢ Ô ¾~½ŸÂÏ ,šÇ"ºÏ ·¼Tϯ¯]5 0¨Ò \ 67 Õ 0J / 0)Ï   · „Ï · ¬ ½¾mÕÖË ? #

" +>F1@A" ,×@&$+" (!#YP. $&   Õ  Á »º¿ƒsÁ ÃßǾ¹Õ 0Ò20"Ï   Á&Øf,gÙ¼ag2ÚS¾klÛ.µ Èmn* Ü Õ@Ý;p.t&‡%z#z t z6Þ € €|
!:ä#!/  /" ! Õ ° ·Äº–Å–À–¿· Ô å Ê·6»Ŗ·¨ºE6Í Ä%¾dÎCÂ"Á¾ƒfÏ4`½Ÿ·6Êd¼8Ǿ%¾mÏЋ·6Ä~Ê%¾d·6»Õ m·6½É*6Í ½ŸÎ%Õ 0Ò  7%Ï ¢  ,6+:œ  ËXÏ ,šÇ)À6ßÇ"À–¿%ßǾ Õ3fÏ~¶FÏ+“·6½Ÿ¹ÕC_F!," +>F1,!&$Y # $&
 1,!& ! Õ,šÇ)º¿·¨¼8Ç"º½²)K Çb¢ « 5 0Ò2)Ò 67 Õ .. 0#J .87  Ï  ,] +”Ï ,š·È)·6»–¿dÁ ԋÕ×M  Õ;!& Y=#   D C>F!@B&  12!@EDËF?G*!& =# $ 0‹ =& D 6 Õ ° Ä K · ,šÇ)º¿ Ï 5%Ï ¥ Ì 5 0Ò22 67 Õ02 J .  Ï  +: 5%ÏfÏ +“Ç)º–À6ýԷ"ÕP.  * " (+   ED:Ñ@?G*!& #= $:æZ"  D #U ¢»Ç"¹ÄdÇ"º–·«Ð‹·¨Ìº–Åç½¾ ,šÇ"º¿mϟÕÂ"ÁÃòÏ 07"Ò~Õ R ·6»–ßÇ)Î%Õ  ·¬ „Á»EK J ·»–ý¾ J «·6½Ÿ¹~·6ßÊ·6»Î%Õ 0Ò"Ò7%Ï É~»–½¾Î)·6»EJ #

Ð u J [ 3  +3ˬË „Ð

+



,  

\

 +‹Ð: %5 Ï5fÏ “ + Ç)º–À6ýԷ"Õ ÏÐÏdТŖÀ–¿dÇ ¾~ºEÍ"Õ@Ï*  1,!@ED,!/  /".$# 

 !&$!ËF?G*!& =# $@1,"  D Õ 5%Ï +¢·½¾· 3¢¾dÎ"·¬ Ï,šÇ"º¿mÏ3.HH65 0¨Ò"Ò /76Õ J / 2%Ï  Ç& ËXÏfÏ Ç¿ ÕA.$&># ES$ 

# !&$#!#U EU@ F!bXA" #A !Ë12"Õ ,šÇ)º¿ Ï ÀǾ¹Ï:3 5 0Ò20I76Õ 020#J . 0  Ï   „Ï À–¿%Ã/Çå Í%½òÕ ¤@!Z_F! #!, !& @B+!I D" $F!&  @ *(+ + §"  Õ½¾V«·ŖÇ"¼h¼8·6ߺ–· ,šÇ)º¿·¼hÇ"º½ŸÅ–À–¿· 3¢Ê 8 ¿Ç¾¹ÃÄ%¾dÎ"·¾ ÕmÂ"ÁÃòÏ 0"Õ#½»EK ¿;Çå ÄŖ·6»Õ 0¨Ò \ Ï  ½$0# ËXÏ„Ï ½Ÿ·Î)·6ÃòÕ ;§ =#!& 2 +!]" " ?( $#F!a_F! #!a ! S- "  pqr r*sŠ;r€$&

!   /

#I!&% ,×@D‹&§" F    YF" =#!&D" $#F !  ¨;!$F!& AœA

! Õ 3¢Ê~¿ Ï,šÇ"º¿mÏ Ô ¾~½ŸÂÏ sÇ"¼Ê%Ä~»ο¯3¦5 0Ò70I67 Õ4. 2)ÒJ ..Ï ·¼^Ï¢