in Xn . For a spherical Coxeter simplex, this is just the volume of Sn , ... at the end of the paper for the size of every hyperbolic Coxeter simplex of dimension Ñ 3.
/1 . 0 2"34 56 0 87$& &&)9
"!#%$&&&')()*&,+)()-(
:=@?ABC=@DFEHG
;JILKM=ONQPRDFSTAU
UVDMWL=O:¦dVl ùmqxoj[qd`p¦mjnÑrt r~n6owr%zywjp[jz8¦dOp[j)lqzr't|xzzj yoxr~qVlq`|Myr~p[kjp¸j qdo6xr~q#lq|¤owjn6jtr%nj~r%no6wr~z6y¨w`jp¸jz ~jq`jn¨l'ojCo6wj8kmr% o6r~k jh%nr%k z ßà xq[zyxzz6r~n6z{yr%q~n6jqyjÑowjr%n]uOr~n6j8knjy x z6jdjo åOà ¦mj[owj[~n6r~kötr%nC¦ r~q|`j|Fk r~or%kmjzTxq å à#lq|Vj o åMà ¦mj[owj[~n6r~kötr%n kmr%zz6x ¦` `qd¦ r~`q|j|Ok r~or~k jzxq¸åOà#]cfqj8wml'zso6wjftr~rxq{n6jz` o6z yt¨] gl n6r~k#]`] ` k#] iT n6r~k#]«] §m%k#] §d (>
" x m`ìhð ñ$l~ì8ê!" åOà ðòÿ åOà ð ï ~ì"ÿì"îgl~íìk$rqCímìfïðòñómô qOl'ï qñóøíê~íðòþ ê~îímê'ïþ]m`ì)ñTìïê~îOlô ôè L$# ó å %6à ðï %ì)ÿì"îgl%íìk7rqímìCk~ê4r ô ql'ï\qñóíê%íðòþTê~î í m`êïþ]m`ì)ñTì ïê~îOl'ôòô xx % m`ì ~î6ê &
8ÙÚ-Ú3% ÞØ)ÞÚm×
#
è
v~jn6Fyr%p¸kml'yo^r%no6wr~z6y¨w`jp¸j[ FüåOà y)l'qQ¦ jOnjk`njz6jqoj|¬¦Fè ( zxp¸k` lz6p¸ko6r~oxyfr~no6wr~z6ywjp¸j z,+THmã5K#á>ã6ã¨èTãly yr~n6|xqor ')(*5+.-/u'5%
"
á-+
B
(
+
( B à + à
???
¡rz6jj¸o6wxz)|jqr%oj¦ t %ãã t à ãçowj%jno6x y jz^r't_T]¸j o t BgB!H t. T¦ jowjnl"Mow`nr~`~wVow`j j|%j t H t Ñzo¨l'no6x q` l'o t H]^ifjqr%oj¦*vC=ÓúmåOàöow`j^xqojn6zjy oxr~qVk r~xqo8rt t BB/t. Cxowöow`j ¦mr%q|ml'nTrt åOàloxqùmq`x o~l'q|zjov à > á t %] } w`rdr%zjk r~xqozv à H xq|xyjz«p¸r|r{è ( r~q t B^B!H t. zywMo6wmlofowjÑkòlqjCz6kmlq`qj|ö¦db v'ã ã v à xz{r%now`r~~r%qmlo6r¸o6wjCxqj8own6r~%w v v x q v ]C¡wj q#xo8x zfj)lz6MorOywjy öowml'o8owjTzxp¸k` xyj 0 z + H > á v ???&v H t H ??? t à à à à xow¬ K èTãln6jhz6xp¸klzp[kor%oxy{r%now`r~zywj p¸jz{l'q|Odxj|O fmlo6x r%q ]
~j nVzxp[k l'zp¸k`or~o6xyCr~n6owr%zywjp[j1+;F åOà y)lqV¦ jnjk`njz6jqoj|L¦¤ùmqxoj pl'qd|`r~¦¸l'zp¸ko6r~o6x yr%no6wr~z6y¨w`jp¸jz"] ¡rzwr¬o6wxz) j2 o +aá t ??? t à xow t à = ú åOà#]ifjqr%ojC¦*v owjÑx qo6jnz6jyoxr%qTx©t ow`jC|r~`¦jhr't o6wjC|xwj|`n¨l 7 lq%jhr'" t +xzx¦jClzo6wj8kòlqml'nXl'q~j8rt+ lo t % xq¸o6wjCo6nxòlq%j t t t % `x zz6ox#ly`oj~] \{rCy r~p¦xqxq«owxzx o6wCow`jsy`ooxqCl'q|Ckml'zoxqfnjòl'oxr~q sj¢r~¦olxq# tr~nlfzxp¸k à à lz6dp[kor%oxy«r~no6wr~z6ywjp¸> j +o6wj{n6jòloxr%q¸ +>á 9 H + H 9 5 H ( 9 5 H < è
B
H;: B
B?H;7:
H;:
7
.
5
+
+ 3
5
+ 3ÐsË ¢Õ
϶RÏ Õ Ï
Õ %ÏfÏ
Ï#ÐÏÐ Ë
3
Ð
cfqFow`j¸nx%wdo8wml'q|Vzx|j%+ à lq| 5 à ln6jowj[r~qMz6xp¸ká
7
5H
H;:
B
à
(
H;:
7
5H
< è
B
ã
wjn6jlow`jzp[plq`|z{r%q ` ` ` `
> @ % @> > @ > @
U U U % % U %
%
U U
ã ã
§ ã ã
{l'q|Lolq % á yr%zU * yr%zU ¢
{ztr~n¸o6wjMn6jpl'x q`x q` B % % m ¦ C j 6 o w C j l õxxòln¸l'q~jf|jùmqj |M¦ yr~z U yr~zU % yr%z3U yr%zU B yr~z á
y r~z % U (Ryr%z % U ¡wjq# % ( á ã ( á>÷ B £xqmltr%n ( y r~z % U % B yr%z % ã > á yr~z % U F wjn6j =
% ã÷ *
> á
zxq
l'q~jz"sjo
r~qj m ù q|zyr%o á yr~zU * yr%zU ? ã«yr~o á y r~z U * yr~zU ? £r%n{jõl'p¸kj~`owj } rõjojn8z6x p[kjõ wmlzClz^fmln6j^|xòl'~n¨l'p xo6wUhá ÷ * `3U á ÷ * ` U % á ÷ * l'q| U á ÷ * ] «VowjMl¦ r~j[yr~q`zon6yo6x r%q# xzC|xz6zjyo6j|Lxqorö§ á `ã¨`㨠( `㧠㧠( §mã6§mã ( ãã r~n6owr%zywjp[jz
Ú / Ü +.'ÚmÙ +ö Ü / *5' " ¡wjn6jXl'nj|xjnj qdop[jowr|zo6r|j)l'~xowCq`r~qyx|j)l'q8zxp¸kxyxòl ~r~p[jz)] _VjpOl%j#z6j rt#gywl mx z#%r~p[j |`xjn6jqoxòl%tr%npòl]çjo¢à ãè Lã"|jqr%ojow`jsz6jortè`æ|xp[jqzxr%qml zxp¸k` xyj z{rt«yn~l'on6jMá ]C£`r~n á
wjn6j^o6wjCl||xo6x r%qmllq`~j{xz~x%jqO¦d yr%z % U
áLl'nyolq
B yr~z U
%
%ã B
tr%n i > á 5 tr%n i á ã
ã x U
%U
z6xq
ã÷ * =
gjyr%q|tr~np` l xq|`x y"loj z{ow lo{%r~p[jyr~p[ko¨l'oxr~q`zsy)l'qM¦ jCon6j)lo6j|Mtr~nj%jq l'q| r||O|xp¸jqz6xr~qz«zjk ln¨l'oj] qVowj[njpOlxqxq[kmln6o^r'tXo6wxzCzjy oxr~q#«j¸y r~jyoCo6wj¸p[r~zo8xp¸k r~n6o¨l'qdofnjz6oz¸l'¦mr%o ~r% `p¸jz8rtwkmjn6¦mr%x y[zxp¸k` xyj z{rt{r||V|`x p[jqz6x r%qz á 5 U Må Må l'zz6rdy x l'oj|Vo6r owjTlq% O j UVxzrtowjftr%np
Ð u J [ 3 +3Ë¬Ë Ð
U " `
+
,
/
U U
U
>
y r~o % < '* Ll'q| xowa|`x w`j|n¨l'ûl'q~jz¤~x~jq¬¦¬o6wjVt`qyoxr%qz < á ln6yo¨l'q B < á ln6yo¨l'q y % r o 8 < ¡wjTzxp¸k` j õ U y)l'qwr orV¦`x |Vj%jq|xp¸jq`zxr~qml'sz6xp¸kjõM%r~p[jkVtn6r~pZy jnolxqÓ r«jn l'q|Ór|| |xp[jq zxr~q l«~r~p[jz)]OqRowxzTXl"wj¸yr%|F|j ojn6p¸xqjow`jy r~qojqoTrthl' «zk`wjnxy)l' } rõjojn r~n6owr%zywjp[jz zjjMjpl'gn y ¦ jr ]O¡rO|jz6ynx¦ jMgywl mx zCnj |yo6x r%qFòl"C«j¸pOl ~j zjÑrt o6wjCqr%npOlxj|~r%p¸j«t`qyoxr%qz
r%q à > à > á à ~r% à ã > á > > à r~q à >á à á@K à ~r~ à ã wjn6j à á
à ~r~ à â à
á
& )è (
'à
ã
÷ ¡wjn6jtr~n6j~ à á kn6jyxzj¤tr~nCl[zk`wjnxy)l'sz6xp¸kjõMlrtwr%zj|xwj|`n¨l«lq% j zCj\fml ÷ * ]Cu r~nj r~jn"tr%nhl xqj"ln8zkw`jnxy)l'zywjp[a j `>r'tsr~n6|jn^6 è ( yr%qzxzo6xqOr_ t w |xz r%x qo yr~p[kmr%qjqoz ã¨ã¸rt r~n|`jnz¸è ( ã ¨ãè ( "o6wj«tqy oxr~q à xzpoxkx©y)lo6x %j xqo6wjftr~rxqCz6jqzj yt¨] g\frm]%k#]% " (> à ` á à ??? à _VjCnj knr|y j¸ow`j^%r~p¸jfnj|`yoxr%q r~n|`jn
z`¦zywjp[j
p` o6xkx y x o
§ §
§
§
§
¡wjn6jtr~n6j~ ¦owj^l'¦mr%j{o6wjr~n6jp
*ÙÞØ2+.'Ø)ÞÝ hÚ$( 'Ø'Ù %Þu+.-/ÞÝ'5% 2
} rõjo6jnz6x p[kjõCxzzlx|^o6rC¦ j$l~î ðòí m`ñ^ì"íðòþx©tøo6wj{yr%nn6jzk r~q|`x q` } rõjo6jnnjmjyo6x r%qO~nr%k xzûl'nxowp[joxy yt] k#]ö ]¤¡wjnjMl'njjõly oF~Owk jn¦ r~xy } rõjojnz6xp¸kxyjz rtC|xp¸j qzxr~qVo6wnj j
_Vjso6wjqz6j)ln6y¨w`j|tr%nyr~p[p¸jqz6n¨l'¦xx on6jòlo6x r%qzw`x k`z ¦ jo«jjqo6wj } rõjojn¢~nr%kzrt E 5 lq| E lq|Oo6wj8qxo~n6r~kz & 4 & lq| & n6jzk jyo6x %jd]¢_Vjfùmnz6otr%q|¸o6wmlo
%r~ å * & á O?\ #% ã '* %§ " ã ~r% å * & á ?" "#% § 㨠"* § ~%ã %r~ å * & á #% §mã '* " ~'§ ¡wjn¨l'oxrOrt~r% å * & x o6w 8#% `ã] "* §~ " x zT~ * §m]Ñ_Vj^%jnx©ùmj|Vo6wmlo8«jwml|öow`j yr~n6njy o~r~p[jCrt E ¦özwrxqOow loCxoz } rõjo6jn^%nr%kVwmlzTl¸z6¦%nr~`kVrt{xq|jõö~ wxyw^xz lz¦`~nr%kTrt & r'tmxq|jõC§ ]¡wj«n¨l'oxr{r'tm~r% å * & xowT "#% § 㨠"* " ~ % xz * §{lq|Co6wj«n¨lo6xr{rt%r~ å * & xow^ #% § 㨠"* % ~~%j\fml' z j * § ]#gxp¸xòln6 orCo6wj{l¦ r~j%~«jsywj y]%j|¸o6wmlo¢sjwml'|^o6wjyr%nnj yo~r% `p¸jzrt 5 lq| E ¦Czw`rx q`ho6wmlo owjOyr%nn6jzk r~q|`x q` } rõdj ojn%nr~`kFwml'zûl¤z¦`~nr%kFr'thxq|j õ ¤ lq| `njz6kmj yox~j wxywVx zClOz6¦%nr~`kVrt & rtxq|jõö§Mlq|VlOz6¦~n6r~kVr't & r'tXxq|j õM§mnjz6kmj yox~j ]
ifjo¨l'x zxøl'kk j)lnfx qOlÑtr~n6owy r~p¸xq8kml'kmj n{rt{l'oyxøjCl'q|O¡zywmlqo6~] ¡wjn6j^ln6j{r~q` Ñtr%nX æ|`x p[jqz6x r%qmlwkmj n¦ r~xy } rõjoj nzxp¸kxyjz" 5 ã â ã + lq`| E ] _VjOwml"~jOlnj)l'|F|`jojn6p¸xqj|Óo6wjO~r~p[jzCr'tÑl'so6wjzj¤zxp¸kxyjzTjõyjk`otr%n + ]Óoxz r~¦xr~ztnr%püowj } rõjojn8|xòl'~n¨l'p¸z«rt â l'q| + owml'o + y)l'q
,
3
43
02 . 0 20 10
. 708.
3
!Z ![9;&\ !&!& ]!&2?&^! 1,!] !`_O%XA / I*!a!&
!* !L @*" ] !b /!(cA!#\ OT.?&&^! 1,!I !d /" $&!6 Õ«·»¼8Ç ¾~¾ Õ Ç»½ÅÕ0¨Ò 2%Ï +ÄdÅÅ½Ç ¾Vº»Ç¾ÅÃÇ)º½Á ¾e6f,gAhAijklmnmÕopqr r*sutwvx.yEzG{ |
. 0)Ï
Ë I. fÏ Ï ,OÏ ËÁÌ·º·6»Õ _F!;D $& ED:.$#F E§" cA" ¨ =" $F!&B/© ? Õª¢ÄdÇ »ºÏ 5%Ï,Ç"º¿mÏ5,«Ì"ÆòÁ»¹7 « 5 0Ò 76Õ0 J . Ò~Ï Ë¶[ fÏ Ï ,OÏËÁÌ·º·6»Õ0fÏ 5%϶M¿%½º»Á&¬ÕA] E 01@6 Õ ,·¨¹%¹ÏÄ%¾d¹~Å@¢ Ô ¾~½ÂÏ ,Ç"ºÏ ·¼Tϯ¯]5 0¨Ò \ 67 Õ 0J / 0)Ï · Ï · ¬ ½¾mÕÖË ? #
" +>F1@A" ,×@&$+" (!#YP.$& Õ Á »º¿sÁ ÃÃǾ¹Õ 0Ò20"Ï Á&Øf,gÙ¼ag2ÚS¾klÛ.µÂÈmn* Ü Õ@Ý;p.t&%z#ztz6Þ |
!:ä#!/ /" ! Õ ° ·ÄºÅÀ¿· Ô å Ê·6»Å·¨ºE6Í Ä%¾dÎCÂ"Á¾fÏ4`½·6Êd¼8Ǿ%¾mÏз6Ä~Ê%¾d·6»Õ m·6½É*6Í ½Î%Õ 0Ò 7%Ï ¢ ,6+: ËXÏ ,Ç)À6ÃÇ"À¿%ÃǾ Õ3fÏ~¶FÏ+·6½¹ÕC_F!," +>F1,!&$Y # $&
1,!& ! Õ,Ç)º¿·¨¼8Ç"º½²)K Çb¢ « 5 0Ò2)Ò 67 Õ .. 0#J .87 Ï ,] +Ï ,·È)·6»¿dÁ ÔÕ×M Õ;!& Y=# D C>F!@B& 12!@EDËF?G*!& =# $ 0 =& D 6 Õ ° ÄK · ,Ç)º¿ Ï 5%Ï¥ Ì 5 0Ò22 67 Õ02 J . Ï +: 5%ÏfÏ +Ç)ºÀ6ýԷ"ÕP. * " (+ ED:Ñ@?G*!& #= $:æZ" D #U ¢»Ç"¹ÄdÇ"º·«Ð·¨ÌºÅç½¾ ,Ç"º¿mÏÕÂ"ÁÃòÏ 07"Ò~Õ R ·6»ÃÇ)Î%Õ ·¬ Á»EK J ·»Ã½¾ J «·6½¹~·6ÃÊ·6»Î%Õ 0Ò"Ò7%Ï É~»½¾Î)·6»EJ #
Ð u J [ 3 +3Ë¬Ë Ð
+
,
\
+Ð: %5 Ï5fÏ + Ç)ºÀ6ýԷ"Õ ÏÐÏdТÅÀ¿dÇ ¾~ºEÍ"Õ@Ï* 1,!@ED,!/ /".$#
!&$!ËF?G*!& =# $@1," D Õ 5%Ï +¢·½¾· 3¢¾dÎ"·¬ Ï,Ç"º¿mÏ3.HH65 0¨Ò"Ò /76Õ J / 2%Ï Ç& ËXÏfÏ Ç¿ ÕA.$&># ES$
# !&$#!#U EU@ F!bXA" #A !Ë12"Õ ,Ç)º¿ Ï ÀǾ¹Ï:3 5 0Ò20I76Õ 020#J . 0 Ï Ï À¿%Ã/Çå Í%½òÕ ¤@!Z_F! #!, !& @B+!I D" $F!& @ *(+ + §" Õ½¾V«·ÅÇ"¼h¼8·6ú· ,Ç)º¿·¼hÇ"º½ÅÀ¿· 3¢Ê8 ¿Ç¾¹ÃÄ%¾dÎ"·¾ ÕmÂ"ÁÃòÏ 0"Õ#½»EK ¿;Çå ÄÅ·6»Õ 0¨Ò \ Ï ½$0# ËXÏÏ ½·Î)·6ÃòÕ ;§ =#!& 2 +!]" " ?( $#F!a_F! #!a ! S-" pqr r*s;r$&
! /
#I!&%,×@D&§" F YF" =#!&D" $#F! ¨;!$F!& AA
! Õ 3¢Ê~¿ Ï,Ç"º¿mÏ Ô ¾~½ÂÏ sÇ"¼Ê%Ä~»Î¿¯3¦5 0Ò70I67 Õ4. 2)ÒJ ..Ï ·¼^Ï¢