Trig. Problems

Trig. Problems Evaluating Trig. Functions 5p 1. Calculate tanH- ÅÅÅÅp6 L and secH ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ L. 6 sin q 6 By definition, tan q = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ . Now tanH- ÅÅÅÅp6 L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ6ÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ6ÅÅÅÅ . To calculate the values of the sine and cosine cos q cosH- ÅÅp6ÅÅ L cosH ÅÅÅÅp6Å L cosH ÅÅp6ÅÅ L è!!! functions at q = ÅÅÅÅp6 (i.e., 30 °), we construct a 30°-60°-90° right triangle i.e., a triangle with sides 1, 3 , and 2. Then sinH- ÅÅpÅÅ L

è!!!!

-sinH ÅÅÅÅpÅ L

sinH ÅÅpÅÅ L

p 1 p 3 p 1ê2 1 sinH ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ!ÅÅ . è!!!!ÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ è!!! 6 L = ÅÅÅÅ 2 and cosH ÅÅÅÅ 6 L = ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅÅ which implies that tanH- ÅÅÅÅ 6 L = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 ë2

3

1 5p 5p By definition, sec q = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ . Hence, secH ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ5ÅpÅÅÅÅÅ . To calculate cosH ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ L , we use the trig. identity: cos q 6 6 cosI ÅÅÅÅ6ÅÅÅ M

cosHq - fL = cos q cos f + sin q sin f. è!!!!

5p Chose q = p and f = ÅÅÅÅp6 . Then cosH ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ L = cosHp - ÅÅÅÅp6 L = cosHpL cosH ÅÅÅÅp6 L + sinHpL sinH ÅÅÅÅp6 L = -cosH ÅÅÅÅp6 L = - ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ3ÅÅ . Therefore, 6 5p 1 2 secH ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ!ÅÅ . è!!!! è!!! 6 - 3 ë2

3

p 2. Calculate sin2 H- ÅÅÅÅ ÅÅ L. 12 p p p p p We first note that sin2 H- ÅÅÅÅ ÅÅ L = sinH- ÅÅÅÅ ÅÅ L ÿ sinH- ÅÅÅÅ ÅÅ L = H-1L2 sin2 H ÅÅÅÅ ÅÅ L = sin2 H ÅÅÅÅ ÅÅ L. We use a trig. identity. Recall the 12 12 12 12 12 cosHq + fL = cos q cos f - sin q sin f. Choosing q = f , we have

cosH2 qL = cos2 q - sin2 q ï cosH2 qL = 1 - sin2 q - sin2 q = 1 - 2 sin2 q ï sin2 q = ÅÅÅÅ12 @1 - cosH2 qLD . è!!!!

p p p Using this identity, with q = ÅÅÅÅ ÅÅ , sin2 H ÅÅÅÅ ÅÅ L = ÅÅÅÅ12 @1 - cosH2 ÿ ÅÅÅÅ ÅÅ LD = ÅÅÅÅ12 @1 - cosH ÅÅÅÅp6 LD = ÅÅÅÅ12 A1 - ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ3 ÅÅ E . 12 12 12

3p 3. Express 30 ° in radians. Express ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ radians in terms of degrees. 4

180 q pQ pÿ30 The formula for conversion is: Q = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ï q = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ . Hence, q = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅp6 . p 180 180 180 q 180 H3 pê4L 540 On the other hand, Q = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ4ÅÅÅÅÅ = 135 ° .

4. Prove that Hsin x + cos xL2 = 1 + sin 2 x . Hsin x + cos xL2 = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

TrigProblems.nb

2

Solving Trig. Equations 1. Find all of the values of x in the interval @0, 2 pD for which 4 sin2 x = 1 . We rewrite the equation sin2 x = ÅÅÅÅ14 as sin x =  ÅÅÅÅ12 . Suppose sin x = ÅÅÅÅ12 . Looking at the graph of the sine function on 5p @0, 2 pD , we can find this value. There are two values of x that satisfy this condition: x = ÅÅÅÅp6 and x = p - ÅÅÅÅp6 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ . 6

1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5

-1 7p p 5p Suppose sin x = - ÅÅÅÅ12 . Again from the graph x = p + ÅÅÅÅp6 = ÅÅÅÅ 6ÅÅÅÅ and x = 2 p - ÅÅÅÅ 6 = ÅÅÅÅ6ÅÅÅÅ .

2. Solve the inequality -1 < tan x < 1 for values of x œ @0, pD. The best way to solve this problem is to plot tan x on @0, pD.

3

2

1

0.5

-1

-2

-3

1

1.5

2

2.5

3

TrigProblems.nb

3

3p We look at the values where tan x = 1 i.e., x = ÅÅÅÅp4 and tan x = -1 i.e., x = ÅÅÅÅp2 + ÅÅÅÅp4 = ÅÅÅÅ 4ÅÅÅÅ . We see from the graph that p 3p » tan x » < 1 when x œ @0, ÅÅÅÅ4 L or x œ H ÅÅÅÅ4ÅÅÅÅ , pD .

3. For 0 § x § 2 p , solve the equation sin x = tan x. sin x Rewriting tan x in terms of sin x and cos x, we have sin x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ï sin x = 0 or cos x = 1 . Hence, x = 0, p, 2 p or cos x x = 0, 2 p . Therefore, there are three solutions: x = 0, p, 2 p . Here is a plot of the functions y = sin x and y = tan x

p 4. Given that sin q = ÅÅÅÅ35 , 0 < q < ÅÅÅÅ , calculate cos q and tan q . 2

Here, sin q = ÅÅÅÅ35 . Consider the 3-4-5 triangle. We then know that the right triangle has a hypothenuse of length 5, one side of length 3, and one side of length 4

y=3

q

x=4

From the triangle, we see that cos q = ÅÅÅÅ45 and tan q = ÅÅÅÅ34 . 5. Find all values of x in the interval @0, 2 pD that satisfy 2 cos x - 1 = 0 . We rewrite the equation 2 cos x - 1 = 0 as cos x = ÅÅÅÅ12 . Therefore, we want to find the values of x in @0, 2 pD for which cos x = ÅÅÅÅ12 . We plot the function cos x.

TrigProblems.nb

4

1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5

-1

p We see that the graph of cos x intersects the line y = ÅÅÅÅ12 at two places. One place is x = ÅÅÅÅ since cosH ÅÅÅÅp3 L = ÅÅÅÅ12 . The other 3 p 5p 5p intersection occurs at x = 2 p - ÅÅÅÅ3 = ÅÅÅÅ3ÅÅÅÅ . Therefore, the two solutions of 2 cos x - 1 = 0 that lie in @0, 2 pD are x = ÅÅÅÅp3 , ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ . 3

Deriving Trig. Identities 1. Given sin2 x + cos2 x = 1, prove that 1 + cot2 x = csc2 x. sin +cos x 1 cos x 1 sin2 x + cos2 x = 1 ï ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ï 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ï 1 + cot2 x = csc2 x . sin 2 x sin 2 x sin 2 x sin 2 x 2

2

2

2. Given sinHx  yL = sin x cos y  cos x sin y and cosHx  yL = cos x cos y ° sin x sin y , prove that tan x  tan y tanHx  yL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . 1° tan x tan y

sin x cos y  cos x sin y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

sin x sin y ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos x cos y

1° ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos y cos y

sinHxyL sin x cos y  cos x sin y tan x  tan y cos x cos y cos x cos y tanHx  yL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . cos x cos yÅÅÅÅÅÅÅÅ ° sinÅÅÅÅÅÅÅÅ x sinÅÅÅÅ y Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin x ÅÅÅÅÅÅÅÅ sin yÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cosHxyL cos x cos y ° sin x sin y 1° tan x tan y

3. Given sinHx  yL = sin x cos y  cos x sin y , prove that sin 2 x = 2 sin x cos x. sinHx + xL = sin x cos x + cos x sin x ï sin 2 x = 2 sin x cos x.