KALKULUS PEUBAH BANYAK. Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James
Stewart, Penerbit. Erlangga. Disusun oleh : K i r b a n i M0105044. JURUSAN ...
TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit Erlangga.
Disusun oleh : Kirbani
M0105044
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET 2007
Halaman 349
2x 2 y ,carilah limitnya jika ada, atau perlihatkan bahwa limit tidak x , y ( 0, 0 ) x 4 y 2
13 . lim
ada! Penyelesaian: didekati sepanjang sumbu x sehingga y 0 dan x 0 maka: 2x 2 y 2x 2 0 0 lim 4 0 x 0 x 4 0 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x 4 y 2 x lim
didekati sepanjang kurva y x 2 ,maka: 2x 2 y 2x 2 x 2 2x 4 lim 1 x 0 x 4 x 4 ( x , y )( 0 , 0 ) x 4 y 2 2x 4 lim
karena diperoleh limit yang berlainan, maka limit dari fungsi yang diberikan tidak ada. 14.
x3 y 2 , carilah limitnya jika ada, atau perlihatkan bahwa limit tidak ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2 lim
ada! Penyelesaian: didekati sepanjang sumbu x , y 0 , x 0 x3 y 2 x3 0 lim 0 x 0 x 2 0 ( x , y )( 0 , 0 ) x 2 y 2 lim
didekati sepanjang sumbu y , x 0, y 0 x3 y 2 0y2 lim 0 y 0 0 y 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x 2 y 2 lim
didekati sepanjang garis y x , x 0 x3 y 2 x3 x 2 x5 x3 lim lim lim 0 ( x , y )( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 0 x 2 x 2 x 0 2 x 2 x 0 2 lim
didekati sepanjang garis y x , x 0 x3 y 2 x3 x 2 x5 x3 lim lim lim 0 ( x , y )( 0 , 0 ) x 2 y 2 x 0 x 2 x 2 x 0 2 x 2 x 0 2 lim
x3 y 2 0 ( x , y )( 0 , 0 ) x 2 y 2
diperoleh
lim
Halaman 350 33. f ( x, y, z )
xyz ,tentukan himpunan terbesar dimana fungsi tersebut x y2 z 2
kontinue! Penyelesaian: Himpunan terbesar fungsi tersebut kontinue adalah {( x, y, z ) R 3 | x 2 y 2 z} 37.
x3 y3 ,gunakan koordinat polar untuk mencari limit tersebut! ( x , y )( 0 , 0 ) x 2 y 2 lim
Penyelesaian: Jika (r , ) merupakan bentuk koordinat polar dari ( x, y ) dengan
r 0 ,sehingga jika ( x, y ) (0,0) maka r 0
y r x 2 y 2 ; arctan ; x
x rCos ; y rSin ,sehingga .
lim
( x , y )( 0,0 )
r 3Cos 3 r 3 Sin 3 x3 y3 lim 2 2 2 2 x 2 y 2 r 0 r Cos r Sin = lim
r 3Cos 3 r 3 Sin 3 r 2 Cos 2 r 2 Sin 2
= lim
r 3 (Cos 3 Sin 3 ) r2
r 0
r 0
= lim r (Cos 3 Sin 3 ) r 0
= lim 0(Cos 3 Sin 3 ) r 0
=0.
Halaman 363 74. Suhu di titik (x,y) pada plat baja rata diberikan oleh T(x,y) = 60/(1 + x2 + y2), dengan T diukur dalam oC serta x dan y dalam meter. Carilah laju perubahan suhu terhadap jarak di titik (2,1) dalam (a) arah-x dan (b) arah-y. Penyelesaian: a).arah-x T 60(1) (1-x2+y2)-2.2x x
=
120 x (1 x 2 y 2 ) 2
di titik (2,1)=
120(2) 240 6,67 2 36 (1 4 1)
Jadi Laju perubahan suhu turun pada : 6,670C b).arah-y T 60(-1) (1+x2+y2)-2.2y y
=
120 y (1 x 2 y 2 ) 2
di titik (2,1)=
120(1) 120 3,33 2 36 (1 4 1)
Laju perubahan suhu turun pada:3,330C. Halaman 364 80. Paraboloid z = 6 – x – x2 -2y2 memotong bidang x = 1 di sebuah parabola. Carilah persamaan parametrik garis singgung terhadap parabola ini di titik (1, 2, -4). Gunakan komputer untuk membuat grafik paraboloid, parabola, dan garis singgung pada layar yang sama. Penyelesaian :
87.misalkan
x 3 y xy 3 jika ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 jika ( x, y ) (0,0) 0
(a) Gunakan komputer untuk membuat grafik f. (b) Carilah f x ( x, y ) dan f y ( x, y ) ketika ( x, y ) (0,0) . (c) Carilah f x (0,0) dan f y (0,0) dengan menggunakan Persamaan 2 dan 3. (d) Perlihatkan bahwa dan f xy (0,0) 1 dan f yx (0,0) 1 . (e) Apakah hasil bagian (d) bertentangan dengan Teorema Clairaut? Gunakan grafik f x ( x, y ) dan f y (0,0) untuk mengilustrasikan jawaban Anda. Penyelesaian: (a).Dengan menggunakan software matlab maka diperoleh hasil sebagai berikut:
( 3 x 2 y y 3 )( x 2 y 2 ) ( x 3 y xy b). f x ( x, y ) = (x2 y 2 )2
=
3
3x 4 y x 2 y 3 3x 2 y 3 y 5 2 x 4 y 2 x 2 y 3 (x 2 y 2 )2
)2 x
x 4 y 4x 2 y 3 y 5 (x 2 y 2 )2
= f y ( x, y )
=
( x 3 3 xy 2 )( x 2 y 2 ) ( x 3 y xy 3 )2 y (x2 y 2 )2
=
x 5 3 x 3 y 2 x 3 y 2 3 xy 4 2 x 3 y 2 2 xy 4 (x2 y 2 )2 x 5 4 x 3 y 2 xy 4 (x2 y 2 )2
= c).Persamaan 2 : f x (a, b) = lim
f (a h, b) f (a, b) h
f x (0,0) = lim
f ( 0 h , 0 ) f ( 0 ,0 ) h
h 0
h0
= lim h 0
= lim
h 0
f (h,0) f (0,0) h 00 0 h
Persamaan 3:
f y (a, b) = lim h 0
f ( a, b h) f ( a , b) h
f y (0,0) = lim f ( 0 ,0 h ) f ( 0 ,0 ) h0 h
= lim f ( 0 , h ) 0 = lim 0 0 h 0
h
h 0
h
=0 d). f xy ( x, y ) 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 3 5 = ( x 12 x y 5 y )( x y ) 2 2( x2 4 y )( 2 y )( x y 4 x y y )
(x y )
=
( x 4 12 x 2 y 2 5 y 4 )( x 2 y 2 ) 4 y ( x 4 y 4 x 2 y 3 y 5 ) ( x 2 y 2 )3
=
x 6 12 x 4 y 2 5 x 2 y 4 x 4 y 2 12 x 2 y 4 5 y 6 4 x 4 y 2 16 x 2 y 4 4 y 6 (x 2 y 2 )3
=
x 6 9x 4 y 2 9x 2 y 4 y 6 (x 2 y 2 )3
f yx ( x, y ) =
(5x 4 12x 2 y 2 y 4 )( x 2 y 2 ) 2 2(2 x)( x 2 y 2 )( x 5 4 x 3 y 2 xy 4 ) (x 2 y 2 )4
=
(5x 4 12x 2 y 2 y 4 )( x 2 y 2 ) 2(2 x)(x 5 4 x 3 y 2 xy 4 ) (x2 y 2 )3
=
5x 6 12x 4 y 2 x 2 y 4 5x 4 y 2 12x 2 y 4 y 6 4 x 6 16x 4 y 2 4 x 2 y 4 (x2 y 2 )3
x 6 9x 4 y 2 9 x 2 y 4 y 6 = (x 2 y 2 )3 f xy ( x, y ) f yx ( x, y )
e).Berikut ini gambar kurva permukaan f xy ( x, y ) f yx ( x, y )
Halaman 373 16. Jelaskan mengapa fungsi terdiferensiasi di titik yang diberikan. Kemudian carilah linierisasi L(x,y) dari fungsi dititik tersebut dengan
f(x,y) = 1 x 2 y 2 di titik (0, 2) Penyelesaian : Turunan parsial o f x ( x, y ) = 1 (1 x 2 y 2 )
1 2
2
f x (0,2) =
0 1 0
xy
2
1 x2y2
0
o f y ( x, y ) = 1 (1 x 2 y 2 )
1 2
2
f y (0,2) =
2xy 2 =
2x 2 y =
x y 1 x y 2
2
0 1
2
0
#Turunan parsial f x dan f y keduanya adalah fungsi kontinu,sehingga berdasarkan pada teorema : “ Jika turunan parsial f x dan f y ada dekat (a,b)dan kontinu di (a,b),maka f terdeferensiasi di (a,b)”. Maka f terdeferensiasi. o Linierisasi L ( x, y ) : L( x, y ) = f (a, b) f x (a, b)( x a ) f y (a, b)( y a )
= f (0,2) f x (0,2)( x 0) f y (0,2)( y 2) = 1 + ( x 0) 0( y 2 ) =1 19.Carilah hampiran linier dari fungsi f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 di (3, 2, 6) dan gunakan untuk menghampiri bilangan
3,02 2 1,97 2 5,99 2
Penyelesaian : f x ( x, y , z )
f x (3,2,6)
1 (2 x) x 2 y 2 z 2 2
3 3 2 6 2
2
2
3 7
x x2 y 2 z 2
1 (2 y ) x 2 y 2 z 2 2
f y ( x, y , z )
2
f y (3,2,6)
3 2 6 2
f z ( x, y , z )
2
2
3 2 6 2
2
2
x y2 z2
2 7
1 (2 z ) x 2 y 2 z 2 2
6
f z (3,2,6)
y 2
z x y2 z2 2
6 7
L ( x, y, z ) f (3,2,6) f x (3,2,6)( x 2) f y (3,2,6)( y 2) f z (3,2,6)( z 6) 3 2 6 7 ( x 3) ( y 2) ( z 6) 7 7 7 7
3 9 2 4 6 36 x y z 7 7 7 7 7 7
3 2 6 x y z 7 7 7
L(3,02;1,97;5,99)
3 2 6 (3,02) (1,97) (5,99) 6.99 7 7 7
20. Tinggi gelombang h di laut terbuka bergantung pada laju angin v dan lama waktu t dimana angin bertiup pada laju tersebut. Nilai fungsi h = f(v,t) dicatat dalam tabel berikut. Durasi (jam)
Mnnb Laju angin ( knot)
Tt4t v
t
5
10
15
20
30
40
50
10
2
2
2
2
2
2
2
15
4
4
5
5
5
5
5
20
5
7
8
8
9
9
9
30
9
13
16
17
18
19
19
40
14
21
25
28
31
33
33
50
19
29
36
40
45
48
50
60
24
37
47
54
62
67
69
Gunakan table untuk mencari hampiran linier terhadap fungsi tinggi gelombang ketika v dekat 40 knot dan t dekat 20 jam. Kemudian taksirlah tinggi gelombang ketika angin telah bertiup selama 24 jam pada laju 43 knot. Penyelesaian : f v (40,20) lim h0
f (a h, b) f (a, b) h
Untuk h=10 maka:
f (50,20) f (40,20) 10
f v (40,20)
40 28 10 12 1,2. 10
Untuk h=-10 maka:
f v (40,20)
f (30,20) f (40,20) 10
17 28 10 11 1,1. 10
Maka f v (40,20) f t (40,20) lim h0
1,2 1,1 1,15. 2
f (40,20 h) f (40,20) h
Untuk h=10 maka:
f t (40,20)
f (40,30) f (40,20) 10
31 28 10 3 0,3. 10
Untuk h=-10 maka:
f t (40,20)
f (40,10) f (40,20) 10
21 28 10 7 0,7. 10
Maka f t (40,20)
0,3 0,7 0,5 2
f (v, t ) L(v, t ) f (40,20) f v (40,20)(v 40) f t (40,20)(t 20) 28 1,15(v 40) 0,5(t 20) 1,15v 0.5t 28
Sehingga f (43,24) L(43,24) 1,15(43) 0,5(24) 28 33,45. tinggi gelombangnya 33,45 ketika angin bertiup selama 24 jam
dengan
kecepatan 43 knot.
Halaman 382 36.Jari-jari kerucut lingkaran tegak bertambah besar pada laju 1,8 inci/ detik sedangkan tingginya menyusut pada laju 2,5 inci/ detik. Pada laju berapakah volume kerucut berubah ketika jari-jari adalah 120 inci dan tinggi adalah 140 inci? Penyelesaian : Vker ucut
1 2 r T 3
;
r T 1,8 inci ; -2,5 inci det ik det ik t t
V 1 V r V T = t 3 r t T t T 2 2 r 1 2 T 1 r = 2rT r ; r = rT t t 3 t 3 t 3
Maka laju perubahn Volum kerucut ketika jari-jarinya 120 inci dan tingginya 140 inci adalah: 3 3 V 2 1 = 120 140 1,8 inci 120 2 (-2,5) inci det ik 3 det ik t 3
3 =( 20160 12000) inci
det ik
3 = 8160 inci
det ik
3 Jadi laju Volum kerucut bertambah sebesar 8160 inci
jarinya 120 inci dan tingginya 140 inci
det ik
ketika jari-
40. Mobil A melaju ke utara pada Jalan Raya 16 dan mobil B melaju ke barat pada Jalan Raya 83. Masing-masing mobil mendekati persimpangan jalan raya ini. Pada saat tertentu, mobil A berada 0,3 km dari persimpangan dan melaju pada 90 km/jam sedangkan mobil B berada 0,4 km dari persimpangan dan melaju pada 80 km/jam. Seberapa cepat jarak antara mobil itu berubah pada saat tersebut? Penyelesaian : U
B
r A
Jarak mobil A ke persimpangan=0,3 km, dA 90 km / jam dt
(tanda negatif karena jarak mobil A ke persimpangan semakin berkurang) Jarak mobil B ke persimpangan=0,4 km, dB 80 km / jam dt
(tanda negatif karena jarak mobil B ke persimpangan semakin berkurang) Jarak kedua mobil :
r
A2 B 2
Maka berdasarkan aturan rantai :
dr r dA r dB dt A dt B dt
1 2 dA 1 2 dB ( A B 2 ) 1 / 2 2 B ( A B 2 ) 1 / 2 2 A 2 dt 2 dt A dA B dB A 2 B 2 dt A 2 B 2 dt
0,3
0,3
0,4
27
2
0,009 0,16 59 0,25
2
90
0,4
0,3
2
0,4
2
80
32
0,009 0,16
59 118 0,5
Jadi jarak antara kedua mobil itu berkurang dengan laju=118 km/jam =32,78 m/detik.
Halaman 395 18. g ( x, y, z ) z 3 x 2 y , (1, 6, 2), v = 3i + 4j + 12k Penyelesaian : g x 2 xy g x (1,6,2) 12 ;
g y x 2 g x (1,6,2) 1 ; g z 3 z 2 g x (1,6,2) 12 ;
jadi g ( x, y, z ) 12,1,12 ; v = 3i+4j+12k IvI = 9 16 144 169 13 Jadi vektor satuan u =
1 (3i 4 j 12k ) 13
Du g(1,6,2) = v g(1,6,2).u =(-12i-j+12k)(
3 4 12 i k k) 13 13 13
36 4 144 13 13 13 104 13
=8
32. Andaikan bahwa Anda sedang mendaki bukit yang bentuknya diberikan oleh persamaan z = 1000 – 0,01x2 – 0,02y2 dan Anda sedang berdiri di titik dengan koordinat (60, 100, 764). (a) Ke arah manakah seharusnya Anda melangkah mula-mula agar mencapai puncak bukit paling cepat? (b) Jika Anda mendaki dalam arah tersebut, pada sudut di atas garis horisontal berapakah Anda akan mendaki mula-mula? Penyelesaian : a). f x 0,02 x f x (60,100) 1,2
f y 0,04 x f y (60,100) 4 b). tan θ = -4/-1,2 =3,33 θ = 73,30 derajat sehingga besar sudut adalah 73,30 derajat. Halaman 407 31. f (x,y) = 1 + xy – x – y, D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis y = 4 Penyelesaian : f ( x, y ) 1 xy x y ,dibatasi oleh y x 2 dan y 4 karena f polinom , f kontinu pada y x 2 dan y 4 sehingga terdapat maximum mutlak dan
minimum mutlak. 1.Mencari titik kritis f x y 1 0 dan
f y x 1 0
sehingga satu-satunya titik kritis adalah (1,1) dan nilai f (1,1) = 0 2.Grafik
5
y=x 2 y=4
4
y
3
2
1
0
-1 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
f ( x , 4) 1 4 x x 4 = 3 x 3 ,untuk 2 x 2 Ini merupakan fungsi menurun ,dengan nilai minimum adalah f ( 2,4) 9 dan nilai maksimum f ( 2,4) 3
f ( x, x 2 ) 1 x 3 x x 2 f min f (2,4) 9
f max f (2,4) 3 Sehingga nilai-nilai ini dibandingkan dengan nilai f (1,1) 0 di titik kritis.Di sini dapat disimpulkan bahwa nilai maksimal mutlak f pada D adalah f (2,4) 3 dan nilai minimal mutlak adalah f (2,4) 9
43. Carilah volume kotak persegi panjang terbesar dengan sisi-sisi yang sejajar dengan sumbu yang dapat diletakkan didalam ellipsoid 9x2 + 36y2 + 4z2 = 36 Penyelesaian : Misalkan kotak persegi panjang mempunyai panjang = x satuan, lebar = y satuan, tinggi = z satuan. Maka volume kotak adalah V xyz ,
yang berada di dalam elipsoida 9 x 2 36 y 2 4 z 2 36 , maka akan dicari volume kotak pada kuadran I yang dibatasi oleh elipsoida dengan besar x , y , dan z adalah positif.
9 x 2 36 y 2 4 z 2 36 z
3 4 x2 4y2 2
(ambil z yang bernilai positif), sehingga persamaan
untuk V menjadi V xy
3 4 x2 4y2 . 2
Diperoleh turunan parsial dari V 3 x V 3 y 4 x 2 4 y 2 xy 2 2 x 2 4 x 4y2 4y 3 V 3 x 4 x 2 4 y 2 xy 2 y 2 4 x2 4y2
Jika V maksimum maka
.
V V 0 x y
3 3 x y 4 x 2 4 y 2 xy 0 2 2 2 4 x 4y2
4y 3 3 0 x 4 x2 4y 2 xy 2 2 4 x 2 4y 2
3 y (2 x 2 2 y 2 )
3x(4 x 2 8 y 2 )
4 x2 4y2
0
( y tidak bernilai
2 4 x2 4y2
nol)
nol)
2 x2 2y2 0
4 x2 8y 2 0
0
( x tidak bernilai
Ini menyatakan bahwa 2 x2 2y2 4 x2 8y2 6y2 2
ambil nilai y yang positif sehingga y 2 x2 x2 x
4 3
1 3 , maka diperoleh 3
2 0 3
x
2 3 3
2 1 3, y 3, 3 3
(diambil nilai x yang positif) dan z 3 . Maka volume kotak persegi panjang terbesar
pada kuadran I adalah
V
2 1 3 ( 3 )( 3 ) 3 3 V
2 3. 3
Besar volume kotak persegi panjang terbesar yang dibatasi oleh elipsoida 9 x 2 36 y 2 4 z 2 36
adalah 8V 8(
2 16 3 3) 3 (satuan) 3 3
Halaman 417 18.Carilah nilai ekstrem dari:f (x,y) = 2x2 + 3y2 – 4x – 5 pada daerah yang diberikan oleh pertidaksamaan x2 + y2 ≤ 16 Penyelesaian : f x 4x 4 0 x 1 ; f y 6y 0 y 0 ;
diperoleh titik kritis yaitu dititik (1,0),sehingga: f (1,0) 2 12 3 0 2 4 1 5 2 0 4 5 7 ; Kemudian kita akan mencari nilai f (x,y) di titik-titik yang terletak pada lingkaran x 2 y 2 16 . Berikut adalah gambar lingkaran x2 + y2 ≤ 16 x 2+y 2-16 = 0
4 3 2
y
1 0 -1 -2 -3 -4 -4
-3
-2
-1
0 x
1
2
3
4
Untuk x 4 y 0 ,sehingga: f (4,0) 2 4 2 3 0 2 4 4 5 32 0 16 5 11
f (4,0) 2 (4) 2 3 0 2 4 (4) 5
32 0 16 5 43
Untuk y 4 x 0 ,sehingga: f (0,4) 2 0 2 3 4 2 4 0 5 48 5 43
f (0,4) 2 0 2 3 (4) 2 4 0 5 = 0 48 0 5 =43 Dengan metode Pengali Lagrange diperoleh sebagai berikut: f x 4x 4
dengan g x 2 x
fy 6y
dengan g y 2 y ;
Sehingga diperoleh persamaan: 4 x 4 2x 2 x 2 x …………….(1)
6 y 2y 3 …………………………(2)
Dari (1) dan (2) maka diperoleh nilai x -2;kemudian kita akan mencari nilai-nilai di titik- titik yang terketak pada lingkaran x2 + y2 =16; y 12 sehingga untuk x 2 diperoleh . y 12 f (0,4) 2 (2) 2 3 ( 12 ) 2 4 ( 2) 5 8 36 8 5 47 f (0,4) 2 ( 2) 2 3 ( 12 ) 2 4 ( 2) 5 8 36 8 5 47
Jadi pada daerah x 2 y 2 16 diperoleh nilai maximum didua titik yaitu yaitu (2, 12 ) sehingga f max (2, 12 ) 47 dan nilai nilai minimum di satu titik yaitu di (1,0) sehingga f min (1,0) 7
Halaman 423 9.Plat baja berada di bidang-xy dan menempati persegi panjang 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤8 dengan x dan y diukur dalam meter. Suhu di titik (x,y) di bidang adalah T(x,
y), dengan T diukur dalam derajat Celcius. Suhu pada titik-titik yang berjarak sama diukur dan dicatat dalam tabel. Tt4t x
y
0
2
4
6
8
0
30
38
45
51
55
2
52
56
60
62
61
4
78
74
72
68
66
6
98
87
80
75
71
8
96
90
86
80
75
10
92
92
91
87
78
(a) Taksir nilai turunan parsial Tx (6,4) dan T y (6,4) . Apa satuannya ? (b) Taksir nilai Du T (6,4) , dengan u =(i+j) /
2 . Taksirkan hasil Anda.
(c) Taksir nilai Txy (6,4) Penyelesaian : a) Tx (6,4) Lim h 0
T (6 h,4) T (6,4) ;Ambil h 2 sehingga: h
Untuk h -2 Tx (6,4)
T (6 2,4) T (6,4) 2
T (4,4) T (6,4) 2
72 80 2
4 Untuk h 2 Tx (6,4)
T (6 2,4) T (6,4) 2
T (8,4) T (6,4) 2
86 80 2
3
Sehingga
dengan
Tx (6,4)
43 3,5 . 2
T y (6,4) Lim h 0
mengambil
nilai
rata-ratanya
maka
T (6,4 h) T (6,4) ; Ambil h 2 sehingga: h T (6,4 2) T (6,4) 2
Untuk h -2 T y (6,4)
T (6,2) T (6,4) 2
87 80 2
3,5
Untuk h 2 T y (6,4)
T (6,4 2) T (6,4) 2
T (6,6) T (6,4) 2
75 80 2
2,5
Sehingga
denga
T y (6,4)
3,5 2,5 3 2
b) u =
1 2
,
1 2
mengambil
nilai
, T (6,4) 3,5;3 ,sehingga:
Du (6,4) T (6,4)
3,5;3 3,5 1 2 2
1 2
1 2 1
3
2
, ,
1 2
1 2 1 2
rata-ratanya
maka
c)
1 2 2
1 2 4
T 6 h,4 h T 6,4 h0 h
Txy (6,4) lim
ambil h 2 atau h 2
T 8,6 T 6,4 80 80 0 2 2 T 4,2 T 6,4 74 80 3 untuk h 2 Txy 6,4 2 2
untuk h 2 Txy 6,4
Dengan merata-rata hasil di atas kita dapatkan Txy 6,4 1,5
28. Gunakan komputer untuk membuat grafik permukaan z = x3 +2xy dan bidang singgungnya serta garis normal di (1,2,5) pada layar sama. Pilih daerah asal dan titik pandang sehingga Anda memperoleh pandangan bagus terhadap ketiga objek tersebut. Penyelesaian :
Halaman 424 39. Jika z = f(u,v), dengan u = xy, v = y/x, dan f mempunyai turunan parsial kedua kontinu, perlihatkan bahwa : x 2 Penyelesaian : Bukti:
2 2z z 2z 2 z 2v y 4 uv 2 2 uv v x y
z z u z v = x u x v x
=y
z y z u x 2 v
2 z z z = x 2 x x x v =
z y z y x u x 2 v
2 z v y 2 z u 2 y y =y uv x x 2 uv x x 3 x x 2
=y =
2 z v y 2 z u 2 y z uv x x 2 uv x x 3 v
y 2 2 z y 2 2 z 2 y z x 2 uv x 2 uv x 3 v
Maka x 2
2 2 2 z 2 y z 2 z 2 z = y y 2 uv uv x v x
2 2 y z y z y z xy 2 = xy x v x uv x uv
= 2uv
2 z z 2v uv v
z z u z v = y u y v y =x
z 1 z u x v
2z z 1 z = x 2 y u x v y =x
z 1 z y u x y v
=x
2 z v 1 2 z u uv y x uv y
1 2z 1 2 z = x x x uv x uv
=
2z 2 z . uv uv
Sehingga y 2
2 2 2z 2 z 2 z = y y uv uv y 2
2 z 2 z y 2 z y 2 z xy uv = uv x uv x uv uv uv
= xy Jadi x 2
2 2z z 2z 2z 2z 2 z uv v uv uv y = 2 2 uv v uv uv x 2 y 2
= 4uv
2z z 2v .Terbukti uv v
Halaman 425 63. Pentagon
dibentuk
persegipanjang, mempunyai
dengan
seperti
keliling
menempatkan
diperlihatkan
tetap
P,
segitiga sama
dalam
carilah
gambar.
panjang
memaksimumkan luas pentagon.
z
z
θ y
y x
Penyelesaian : Max
: f(x,y,z) = xy +
1 1 x z2 x2 2 4
Kendala :g(x,y,z) = x + 2y + 2z = P
,
x,y,z >0
sisi
Jika
kaki
pada
pentagon
pentagon
yang
fx = y
1 2 1 2 1 1 z x x. 2 4 2 2
= y
1 2 1 2 z x 2 4
1 z2
1 2 x 4
1 . x 2
1 2 1 2 1 2 1 2 z x x x 2 4 8 8 y 1 1 z2 x2 z 2 x2 4 4
1 2 1 2 z x 4 = y 2 1 z2 x2 4
fy x 1 1 x. .2 x xz fz 2 2 1 1 z 2 x2 2 z 2 x2 4 4
gx 1 ; gy 2 ; gz 2
Metode lagrange : f g 1 2 1 2 z x 4 y 2 1 2 2 z x 4 x
xz 2 z2
1 2 x 4
z 2 z2
1 2 x 4
z 2 4z 2 x 2 3z 2 x 2 ; z
1 x 3 3
; x 2 ;
xz 1 2 z x2 4 2
2
1 2 1 2 z x 1 4 y 2 x 2 1 z 2 x2 4 1 1 2 1 2 . x x 1 2 3 4 y x 2 1 2 1 2 x x 3 4
1 2 1 2 x x 1 4 y 2 x 2 1 2 x 12 1 2 x 1 12 y x 1 2 2 x 12 y y
1 2 1 x x 12 2 1 12
x
1 x 2
1 1 y x x 2 12
1 1 = x 2 2 3
1 1 3 x = 2 6
x 2 y 2z p
1 1 1 x 2 x 2 . 3x p 3 2 6 1 2 3 3 x p 1 1 3 3
2 3 x p
x
p
.
2 3
2 3 2 3
= 2 3 p 1 1 y 3 x 2 6
1 1 = 3 . 2 3 p 2 6 1 1 1 = 1 3 3 p 2 2 3 1 1 = 3 p 2 6 3 3 p = 6 z
1 1 3 2 3 p 3 x 3 3
2 3 3 p 3
Halaman 426 3. Selembar panjang lembaran baja yang dilapisi seng, selebar w inci harus ditekuk menjadi bentuk simetri dengan tiga sisi lurus untuk membuat talang air. Penampang melintang diperlihatkan dalam gambar. (a) Tentukan ukuran yang memungkinkan aliran maksimum, dengan kata lain, carilah ukuran yang memberikan kemungkinan luas penampang melintang maksimum. (b) Apakah akan lebih baik untuk menekuk baja menjadi talang air dengan penampang melintang setengah lingkaran daripada penampang melintang tiga-sisi? Penyelesaian :
Misal :
Max.
: yz 2 .
1 2 x z 2 .2 2
= yz 2 x 2 z 2 Kendala : 2 x y w
f x, y, z yz z x 2 z 2 fx
xz x2 z2
z fy y x 2 z 2 z . x2 z2 x 2 z 2 z 2 = y x2 z2 = y
x 2 2z 2 x2 z2
g x, y , z :
2x y w
gx 2 gy 1 gz 0
Metode lagrange :
xz x2 z2
2
z
xz x2 z2
2z
y
x 2 2z 2
0
x2 z2 xz x z2 2
2z
x 2 x2 z2
x 2 4x 2 4z 2 3x 2 4 z 2
1 2
z
y
3x
x 2 2z 2 x2 z2
0
3 x 2 2. x 2 4 y 0 3 2 2 x x 4
1 2 x 2 y 0 1 x 2 yx0 yx 2x y w 3x w
x
w , 3
z
1 1 w 1 3 x 3 3w 2 2 3 6
y
w , dan 3
a. Luas maksimum yz z x 2 z 2
w 1 1 3w 3 w. . 3 6 6
3 2 3 1 w w. w 18 6 6
w 2 3w 2 9 36
3 2 1 1 3 w2 w 0,144 w 2 18 36 12
b. Jika membentuk lingkaran : 1 . 2 r w 2 w r
L =
1 1 w2 r 2 2 2 2
1 2 w 0,159 w 2 2
Ternyata hasilnya lebih dari luas maksimum. Jadi penampang melintang talang lebih baik dibentuk legkung setengah lingkaran.
Halaman 427 9. Jika elips x2/a2 + y2/b2 = 1 menutupi lingkaran x2 + y2 = 2y, berapakah nilai a dan b yang meminimumkan luas elpis? Penyelesaian :
