Uniqueness for Gibbs States of Quantum Lattices in ... - Uni Bielefeld



   !"
#$ %&(')  
$*++-, .0/1 2$* 3 457698;:=;@4A94578;: BDCFEHGJILKLMONOP&QSM.R TVUWEHXYSZO[]\^EHIL_` a N.\bEHIcEHMFEdQeMOR TfBgNOP]Gihj[]N.kWEHGmln[oEHZ.GJpq[oEHIL_r`)sDNOIctuGoTv\(IwEr[oR EyxfXzNONO` {}|]~€]o| xX]NON‚bƒ„GJTvpq[]N†…ˆ‡v‰ Š X]T(\vYSZrMONOPz\v‹JGoN†EHTvM.pŒxfILxfX]U.`)xfIGoKGoQŽGJKLk"^ƒmGoTvpq[]N†…ˆ‡v‰ U Š x ~]‘ b’“\v\(GJNW”uxfX YSZrMOpj” { MOR \(\vGoKkOXzTvQ‡d^ƒmGoTvpq[]N†…ˆ‡v‰ •V’– Š—a ln`)˜ XYJ[]T(NOX G™epq[]IKš[]KC›GtOGJT(IX]œMON.Iw”€C›X]NON.žkOG Ÿ¡  578¢£:9¤¥57¦9§78;4A BDCFEHGJILKLMONOP&QSM.R TVUWEHXYSZO[]\^EHIL_` a N.\bEHIcEHMFEdQeMOR TfBgNOP]Gihj[]N.kWEHGmln[oEHZ.GJpq[oEHIL_r`)sDNOIctuGoTv\(IwEr[oR EyxfXzNONO` {}|]~€]o| xX]NON‚bƒ„GJTvpq[]N†…ˆ‡v‰ Š X]Tv\(YSZM.NOP]\v‹oGJN†EHT(MOp¨xfIxX]UO` {}~]~]©€o| xIGoKGoQŽGJKLkªbƒ„GJT(pq[]N†…š‡(‰ a NO\bE†IwE†MWEHGX]Q«ln[oEHZ.GJpq[oEHILYJ\(` ¬„ILGt­bsD_rT([]IN.GJ‡ Gi™Spq[]ILK9_zXzNOkOTv[®EHILGtˆœMONOIc™SC›X]NONOžLkOG Ÿ¯  578#¢£:9°8;§7±7² ³ a NO\^EHIcEHMWE†GmXzQ«ln[®EHZOGop&[®EHILYJ\v` ln[zTvIL[&•VM.TvILG™SU._KLXkOXeh„\v_7[¯sDN.IwtOGJTv\(IwE´… µ ˜"z¶o™S¶ ~u ˜ M.COKILN‚ µ XzK[]N.kO‡v‰ a NO\bE†IwE†MWEHG„QŽX]TV•VX]NOk.GJNO\(GJknln[®EvEHGoT µ Z†…ˆ\vILYJ\(`«˜OtˆIct0bsg_T([]ILNOGJ‡ G™Spq[]ILK ·_WX]‹JILœP]X]KLGJpqžM.p&Yo\vžLKM.COKILNOžL¸OK ¹ 8»º]¼¦94>½‚:š¾ º]²«¤45 Š [z_M.KwE†GEmQSMOR TVln[oE†ZOGJpq[oE†I_r` sgNOIwtOGJT(\vIcE[oR E¿xfILGJKLGJQŽGJKLkO` {}~]~]©€o| xIGoKGoQŽGJKLkªbƒ„GJT(pq[]N†…š‡ Gi™Spq[]ILK9TvXGJYS_rNOGoTvœpq[oEHZ.GJpq[oEHIL_ržM.NOIw™eCOILGJKLGJQŽGJKLkOžLkOG À

ÿ

#Á Â.ÃvÄÅeÆ7Ç®Ä ÕoÎÒÐÛÑ7àFÉ7Ô»È)ÐÒÕ®Ù7Ô;É7ËËfÊÌ®ÚWËfÑ7ÌŏÐÒÜ»ÖVÍ7ÐÒÓbÊÌ®ÐÒÎÌ®ÑFÑFÌ®ÊÜeÏß®âFÍFÐÒцã)ÐÛËfÓbÉ7Ê(ÊÔ»ÐÒÖ´ÑFÕoɝÖÜ»ÐÒÓbÌ®ÏÞÐÒÌ®Ñ7Ñ7Ô;×fÕoË΀؆̮Ù7ÓbÜ;É7Õ®ÖÊDцÐÒÎÒÓ»ÎÛä(Ù7ÕoßgË­ÓbÐÒÌ®Í7Ú7Ñ7ÐÒËÕoÜÔ»Ê(Õ®Ó»Ñ7ÐÛÔ;Ö(Ü;Ì®ÎÛÐÛÙ7Ê(ÌoÜ)Ñ7Ñ7ÍyÕ®Ì®Î Ï Ó»Ü»ËÉ7ÐÒËfÊÕoÐÒÜ»ÔÚ7ܚÎÛÙFÊÝÑ7ÖÜ»ÙFÚWÓ»à7Õ®Ê(à7ÐÛÔ»ÖÏÞÎÒÌoÊ#ÎÛÔ»ÕoËfÊ(Ób؆ӻÐÒÐÛÙ7Ñ7Ö(ÐÛ×Ê á æ Ù7âOÊÐÛÜfÌoÏ Ö(ӻ̮É7Ñ7ÊÜ;ÐÛÓbÍFÊ(ÊËÔ;ÊÚzÍ ÊçmÔ;Õ®èFÓ»Ù7ÌoÔfÔ;ÊïÓbî9É7ÐÒðÜfñ(ËâHÓb̆ÉFÍ7ÊÊ(Ô;ÎéÊâuÊÐÛí†ÓfÐÛÜ;ÐÒÜÓbÜ)ÚFÕVÔ»ÌSÚzêoÌ®ÊÜ;ÍyÐÒÓbÓbÐÒê®ÉFÊïÕ®ÓfÝ&ÏÞò(Ì®óôÔî9ÊõOêoÜ;ÊÙ7Ô;Ö´ë¿ÉjìFÓbíJÉ7Ê(ÕoÍ Ó êeÐÒåwψå9Õ®ÎÒÝ÷ Ê(íJÕoÖÓ»ÎÛö£ëÌoóÞøWÑ7ùŽÊ—Ý ÊòÎÒÊóôî9ËfõbÊõ»Ñ†â.ÓeÓbç É7Ê(ÑqÓbÉFÊÜ»Ê(ӓ̮Ï)Ó»ÊËfÚzÊÔ;ÊÍûúšÐÒà7à7ÜܻӻծÓbÊ(ÜÖ(Ì®Ñ7Ü;ÐÛÜ;ÓbÜÌ®Ï ü ý
 uþ')(

        "!! # $&%(' )'+*,! ( -*./0 1!243"5 16 7" 8 "9" 5:" S 1*N 7 = 'G SqEr/stu - v  =*.  Go">" S  g

À

(!" " G$Jp ( XJ- G( 4" ( 2U3K G #  "*. +NG] U?  SG' 1 *L  1*L (!! Jw H]h  '_   G8G  # 12 $"2Tk x l Ek yzl ck {| l Ek {} l 2_3 e GG 8(! G?! 1*~ H 8 )L _d'+0 GG(  uG"! U"%(' )'+*€ 7 1L Z

ÀHÀ

 G  " ( d f'6&*./0 1! 2#‚_d NN e`b'"G( ƒ 1F 8J8!! ] 1!_k {x l  L?"G G] 1T )  *. 8(!! JOijG  Ok |{ l  +Z„K+2{2…2 y 2|e"[k "= 1*.   'G NŽe ??+G(  N KG([#?8Je G] "$^ N8] G$  "†! 'G c 8   "N cƒ8 1# 1*.   'G  @XE=*L!!P*T GG 2 Ik {… l   *L!!1]Œ! ' c"Œ" [  G(! =‹7*T G1 8] G$  N"/fG G  $@! 'G 

)  " _. _ G] 1SXU!!"]h! ' ^"7" # 1*.   '"G d ! '" $T• G"2>‚^

ÿ

uf G'! (P U  G + U"a 1*.   'G o T$G'TG(  NN N G] 1S +S )'*[? e"+ 1 # G  G( u+] T?  –0  ? 12


#G'!@? L " 8 1o'

 FXeGJ8G 1*.## '8?'0 1d!! ( => F  S G S=0 G 1 '^ + 7 [ G 1+ U *. G ?! eFG 1] N u'+%?8Je

|

 "!! # $SX*L!†—^*L! + ¥~¦

¥

§[¨€©y

§

ij® «¯

ª8«G¬

À

® § m±°z²

i{2 m

§z­

À

Q G F    ³8[´Hf'O] L 5:;"*. " !>! ( OACAEDvµ·¶ ¸>DT# 

À "ÿ

 p™/'!0 1 4 f(  ¹Pº>¹ 2 3K uf 1dG'*~ i{2 m  .( ‘ 5] e 1 G G  1 $)?'fE S @G f 1-!!  Gd# »¹ ³ ¯ ´†¹E¦ 2
50 = ?7   Gf) 1! 1#i

 m

 8 ( _"P e  G(! ^Q G 1 [ eƒGf> *» U

G'*\"" ;  ©5 G(¼ ! o—_*L!   ¥ Q G NM

¦ §

¯ { M

À

À

: ° ¨

:® °

{

® °

ij® § m²

¨4½ §

i{2{ m

T Q e 8J8!a*L G[""" N  G(! F +

À

¼ ½ ¾

°G¿

ij® m

¦

ij® m

¦

¾

°G¿ ¿

ij® m ¯

{aÀ

® °

i{2| m

à ® ° Á ²EÄFÅ Á

{º

Áj °

 à   à Á Å pXd!!9ÇEÈ {a Ä 2oÉ0o: Å ¿ À ¼ ! $; "$ e0 Q? G] '"u Q + *.  G *. 1!8 uL (!Œ ¼ " 8u o —9 G T Lf'  G 1Æ

 ( XJ5 f( B ( "UijG  # 12 $"2#k x l k {| lnm 2

À

™šR—_*L!  &¥ §   S GG 8(!! JHG 1!X;"0`j" )! (E .G 1*L ;?'0 1  7 = U- 5"*. ! &—_! ?7 fuG  5Ê ° i¶ ¸ ² :® m ijG  F 12 $"2Ik  lnm 2p“5 d#!!

À

G'0Jp 1*N 7 = 'G p™/'! 1 &Že ??.G(  e"a GJ8G 1*L2 12TŽu ??.G(   GG' 1p' $U f? ?! nJ4*. 1 f'G Io! 8 G  1aG  wk { l .k {{ l _k ” l  c e  f"62>3K8'E Že ??EG(  T E 1*.   'G _q r/s

 e0 = ? 1e?8J

 T™/'! 1 -iŽe ?? m *N 1 G'G .p .G + e"h   /=`j 1 Ui! 8  m ( ‘ $d]Œ! '" # -¶ ¸>Ë Ë+Ìt2 „K Q eG + N"+8( 8''[   /NX'(  Í

Í

i¶Î mKÏt¦Ó ÐRÑ Ò ÔIÕ

i(k  ² q lÖ

 O! @Ê ° i¶Î m ?7 " S! G'f L" Í  '+( o~k  ² q l

i¶Î m

¶¸ m

¹(Ô[i m ¦wÔ[ijq m×

 O S—^! ? Gef  T"G 1! ;]h! ' 1

QR‰ G v%(' G 4 ) $= ?! 5# G G  1@’‡h ? G$'

*. 1 G'G 12N—š G o¶Îv [ @ ) G]h!>k  ² q l # H # 0 0 )( ƒ" 1Zi2 12#T ! "+! "$Hq m 2Q3 N 1*.   'G T! 8 pG + di3Q‡†W m Ø Î

Ït¦ ÐRÑ ¦

Í



i¶Î m Ë Ë+Ì

Ò Ô&¦ˆijÔ § m §0Ù Ë Ë Ì y

¹Ô §

Õ

Í

i¶Î m× º

i{2 y"m

É0[ÔIÕ

Ø ÎZ Uڒµ’ACA D 8 uG QÔÛv¦’ijÔ § m §Ù Û 2+“5 uf!!/! GS"0  Ø Î ¬ ÛSÏt¦, ÐRÑ Ò Ô Û

¦ˆijÔ § m §0Ù Û

¹=Ô §

Õ

Í

i¶Î mײ

i{2… m

Ø Î ¬ Û  Ø ÎH G N 1%('   1## p G/0' "! $JZ .U T #Ý8;"! $ ?"QÞNi Ø Î ¬ Ûm  $ "   1e?8J  #J/! 0  0 ƒ 1oXu!!ŒG'?"G >ڒµ’AÜAEDz2>3K" NG  

G  Ò Ôß¹ŒijÔ § m §Ù! ) "E E9G †"hX'!!z*N 1 G'G ^i2 12=èŒÎ"i Í

À

i{2î m

i¶Î mm ¦

m u - *. 1 G'f ZèŒÎ 5 "!! JI$ "   1B?)J& Z=!! p?0$ G/ G>"†! $Hqïk | tl 2QäJS*. 1 ">" uŽu 'G O*. 1 f'G . L -0 ƒ" Ý)Î"i:Ô

m ¦

À

8 Ò ¯

ðTÎ

ñê

½

ijÔ[ijò mm :ò × è8Îi:'*8q r/s / N9/13H;.-,36/1;2_8L;C36Q,8a`@),+' =>;:Q,/1Bb,c-,B.N),'OD,b,d=>8010e8fS6`@cgdhWi8:j=>/10e/1+' /1=^7k8:j=>-,36/1),B;.l ?†Îm7Î 36Q,-,3/4;

¬Û

n?†Î ² N ),'C- >G(  # L. 8J8!0G 1! ]h  QE u*. G >G"*.

-q%'./1),' /+ ( _G G=( $L #$G(QZ"P eG 1%('  _"K*."*. 8UijG 

À

k tl k { lnm 2Q3"L [  E d )f0'+

r iAÜA

D mÏt¦, ÐRÑ  p!* ¿ Ù ñ

Q G Ç°

r ¿

Ït¦ ÐRÑ

®SÕ¶ ¸

Ë Ë+Ì ¹

i §Ù Ë Ë Ì

À

Ç°

s

r ¿

¨

iACA D m²

¹ ´†¹ m r ¿ ® ° §

ö’÷

º

À

i{2

… m

  !ptQ,8 J 02-,;:;E)ON 368L7P%^8'O8:DuK/1++L;798:-,;.=^'O8;wvŒÎ(YHN),'w36Q f 1*L2

†o‡ ˆL^‰‹ŠŒ!"$),'i36Q,802-,3636/ J 879)D,8L0RS\T,U4V WŽYqS\T,U1TXWŽYaS6T,U1]XWZY(N),'G8L8' 5UqYP36Q,8'O8 8/1;:36;‘-E%),;:/136/18LMA’ ijq m ;:= J QA36Q,-'O8Y•36Q,-ê

é>ê

€

¯

é

ijÔ ê

é

€

m ¯

ijÔ

Ô

ê

²

ijÔ

mm±° ü Ã

í m °Î

,Ã ü

i:Ô

i:‡h 1*T*LH|2

ÎÏ ¤

í m ηÈ

Ã

À

} m [i|2

æ íQæ °Î

r

¦ˆ*L 

ÎÏ ¤ i

¿f¿

À

m ætíQæ °Î ²

 pX'G *NG .?)J*. 1 ["‡ 1*L*LL|2|‡h 1*L*L|2 y  

Í

xÆ

nÚ¤ M .ÝŸÝ à>Þßß

iº ² í m Î@È

ÉZÊ

šÿ

æ íQæ °Î ²

i|2 y  m

Q6o""!0e >G' Z )(! Jd*L!!8  ( ] NMO2 @ L G  # f(*L  pi|2|” m

{^ L*LGJT'G Ä ¼ G(*L  N"!2 GF*L!!" ^?w!  N

 ZR8G #M

3K QJ/ 1!0#X[ T" G(  di|2 y"m

Ã

¸Ni ü Q6‰*N 1  ]     Bi|2} m

Ç

² ü

À

"#i|2

ª9æ Î ¯

m ÈVæ
®

{ m Ui|2

 Q ( fƒ 1 f(]/0 1

&Ý:Ýáà¢Þi|2{x m

*T dH! ( 5  G*T ( -*T! @ 

*./0 1! Z ï™/'!0 1 ï%3K _ G8" E"Œ _ƒGfšnE G  ( e G *L! _LG @ p F™a'!0 1 Zƒ 1!  GJ12š“5 FL[$" ] # e 1R! 0 (! Q G  #G 1X e G 1# 'e G+"*L $   Lk î l 1[ G Q8'*[?7  "+ " 1%7q8a36Q'*8‚?$),BLåFÎ J -,B +:8a-X%,%('*),L/479-,368.Dø+L5G×8LB8'O-,0ZN8L'.'O),79-,×Bx836;:UztQ,8BCN),'ù8L8' 5^ò ² ò Õ¶ÎåY ö

Ô[ijò m Ô[ijò

m

Ô[ijò m

Åeö

|{

¾ŸBi%^-,'.36/ J =>02-,' Y Î N),'o8L8' 5^®SÕ@å@Î(Yh-,BxDPN),'ù-,0408ò

¼

ijò ² ò

Ã

Ô[ijò ö

|{

¼

² ò

mÅ

m

|{

º

¼

À

 ²

i y 2 m

(U

ÕO¶Î

ÿÿiÿ À

3K QG(  1*N )  U ! $'^Z3K f 1*

À

t2

”T –k | l ŒG  F! Gwk x l 2

Í ²CˆL³•x´11µØ!Vk ŽC÷eWH " 1%Ý ß

À +* ) ,)

i

i šmm²

¨

OÖû÷4²

ÿiÿ

*. 1 "7*. /0K"z c?8‘5k {î l ijG  Q" Ef 1*L G‘u`j'GQÍ X [3K G 1*‚ÿ2}2 Àm   d*LGJd?( Z N*. T fJ*. "( X> e 1 $ 8]Œ! '" ^"x# Ò 8QRp"!0 'X*L! JTU oG G  1cM, of"*. N 1 $8?7'"G8u"• f"2Q3K8'c?7 â ¤ # v F 8 ! (! JT$" ] G( 8

 

Í

i ÄPm 1G  ^ 12 $o„  

"šk || l 2>3 T?8J

À

*LGJu? ^X'[?)JT*. 1 ""0ƒ"  8'*[? †"hGG f 7+ $[ 1 $ 8]h! ' 2

â

±9" *LGJL 1*. ! JL ^G G'! E"Œ ^?78‘Bk { G  1G'*¤ijG  e 2{” ;H{

À

tl d" [  G'G?+ ( T"Œ

.-O¤

… m 2^3K Jv*. ! JT" G .  GUG( 8

-O¤

â€Å

â

¤

^f'6@  i y 2{| m

²

xÆ

EÚ¤e¦ À í i-*¤ â ¤ m ° 2 ²CˆŽ»xï‘xïzÔ[^‰˜‰A—$ŠŒ!¿éŒ!ˆ3K @ G(*L  Z"9 o
J)  o"_i|2|x

 NG' Z )(! JS*L!!7  ( ] T]Œ! ' N"†MO2T3 G p G$'*. 8eJ/ 1!F  G( g *L  Fi|2|} m # 

À

yÿ

 T?7   m

G(] 1B B   vk tl - T?+ G T"+ v! $"  *LFW0?"! ]&  1%('! nJ12

À

G 1! •1 ( O T U *’"i|2|x m  ?(  1d  UR" ^" ½ #  Ä ¦’{2[É0 *NG T0 (! [" d*LJ@G  FW0 1( Bî."Qk l 2

€

Ï




i|2{ y"m /i|2{… m

²CˆŽ»xïxïÔ[^‰˜‰A—EŠ!eâ!Q‡h 'šf 'GL# #0 ƒ+ ( T") []h   ^"

ÕB‡† s

ijåFÎ m

i|2

À

” m 2#äJO*. 1 _"i|2{ m +i|2| m Ki|2{| m i|2| y"m Ki y 2

{

À

À

î m i y 2

À

} m

 e?( 

Í

 

ÉÊ

€ È {

È

À

i y 2 { " y m ¯ Ô é>ê

°Î ü,Ã Ô

é>ê

ÎÏ ¤

 )i

Î Ï ¤zijò

m ¦

Q G oAV .$" ] ?8JBi y 2

À

é ê

,Ã

i:G' Z 8(! Jd=*L!!8  ( ] N]Œ! '" >"MO2+‚_  ! J/ $U u Oi y 2{ y"m  ö

Æ

?( Ui|2|” m

2

¼L™»3!4657x^‰˜^»98'÷c•1 f‘)J $  1X'!> ‘/ ZG + (! nJB )g

 0 1N#*‰ .äZ dä†/68'*ߞ9+ ] G ( EQ G Q+ š  Gš"1+ šEG‘

;:HÀ

 .*T ! J?  T  X*. 12E—^ G G 1 R@. EG'  G 1T T  G?)J  É0'g



*. 8(!

 G 1 =6ïÉ'S"_ž9‘8  p'"0   o$ 8Z{2 y

6‘8(#! 1$ 12

{{

}|H H Z! G

/1  u
')  À k l

“÷

8 9=< ?> Í @»B/4jL=>8B8L;:;H)ONqK/1++L;BAx36-,368;N),''C=>-,B36=>7 cx-,3636/ J 8DA5Z;.36879;:UE F a"HGJI À À À =K :÷ L R),79)×8LB8:)7MxA 36-,36/4;.36/ J -,0wN 8 J Q,-,B/ J ; PO "RQ À ÷ ;8 ÷ 8 C#|+;.8B J 8a)*NTS' /436/ J --,Bx36=^7k#|J BQ,-,' 79J ),B/ J a ; J /40102-,36),' ;:U ¢÷ b8 ÷ .8 'S ),'.'O802-,36/1),BE¾ŸB8.j=>-,02I Í /136/48L;gN),'zt8L7P%^8'O-,36=>'*8“cx))X%cw N 8:-'*8L;:U ÷ d8 J> ; 'S 0e=>;:368L'
FH›%-,B;./4),Bx;N)-,Bx36=^7 K/4+L+;DA 36-,368L;N),'Ccx-0 ( ]/ '2Žu2 c•1 G‘8J

'2

†ijS   1 # -„K"*L*['2 S 2 a)J82

k… l

‚! ?7 ] = "uW2

c+0 ( ]/ '2Že2

2Æ

m

c•1 f‘)J

'+2

2Æ

+i p f    (  m

kî l

‚! ?7 ] = ""W2 c+0 ( ]/ '2Že2 c•1 G‘8J

'2

2Æ

i p f    (  m

k} l

‚! ?7 ] = ""W2 >0 ( ]/ '2Že2 Z ! = [2 ‚2Æ

†i Z G   = (  m

k” l

‚! ?7 ] = "+W"2 c ( ] '2Že2 S !  [2 ‚2 9 ?7 "‘"h‚2‡†2Æ iKZ   1 #

kx l

äc G?'! J" ‘/

±

žš‘) " 1 9

À

k  l

ÀHÀ

k l

À

k { l

)2/W0( (2 a)J8 m

2W2 c0 ( ]/ '2Že2Æ

À À À À À 

x ;"{

i

P>

  G

_ (2Œ‚ "2W8"

xx m

itQ'O8;N),' J 02-,;.;:/ J -,0-S ! [^2 ‚ 2 G? 'G 1.‚2!€a $G ?"(]/ 2 ‚ 2Æ  # C=>-,B36=>7 S'.5Z;:36-

P

S 2 /8J82 m

{ y

ƒc 1! ?GJ ]L>S2 ƒe2ÆF[;:36/17q-

  1"

k {x l

S2uW*Nuäc2Æ

‚ 0 1*T

/G fÆ

š 

G‘/a‡h-i

x}{ m

WR 10 P3Q27ä† 1R‘—_2PW"!!2™š2Æ

ÀHÀ À |Ti

k | l

a)J82 9 ]2

x}î m

øtQ,8T¾eií

W*.+äE2Æ



žš ]2 /G GUi

À

À

x} y"m

m °

a

{| ;

F[= J 02/4D,8.-,BµS„C=>-,B36=>7‚W‘Œ/1802DntQ-,B36=>7…U[Q,5Z;:/ J ;:U‚0 1*L aG GÆ ±š %8G‘i À x”î m 3Q ??+! O)2™š2Pš ± 1!*. =[2tO)2>S;ÿ
8nJ8G 1.Že2tO12ÆOtQ'O8~)*N tx836'O-,×),Bx-,0 Î ¥ ° ¾ †è‘-