Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. Statistika. 1. 16.
UVOD U STATISTIKU. Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih ...
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je broj pojava neke vrijednosti unutar promatrane cjeline ili skupa podataka. Histogram i Poligon frekvencija - su grficki prikazi frekventne distribucije. Na osi x se nanose ocitanja pojave a na osi y broj ili frekvencija pojave. Prikaz moze biti u obliku stupaca (histogram) ili krivulje (poligon frekvencije) Mjera sredisnje tendencije - je vrijednost koja definira sredisnju vrijednost skupa podataka. U praksi ima vise takvih mjera. Ovdje ce biti rijeci o: a) Median - srednja vrijednost skupa promatranih podataka, svrstanih po velicini. Median je vrijednost na pola puta izmedju naj vece i naj manje vrijednosti. b) Srednja aritmeticka vrijednost - je vrijednost koja se dobije kada se podijeli zbroj vrijednosti svih podataka i podijeli sa brojem podataka. c) Standardna devijacija - je mjera koja prikazuje raspodjelu oko srednje vrijednosti i dana je izrazom
∑(x − x ) =
2
; s oznacava standardnu devijaciju, x srednju n −1 aritmeticku vrijednost, n − broj podataka. Prikladni pravac - je metoda prikazivanja podataka sa pravcem koji naj bolje prikazuje podatke koji se obradjuju. U praksi ima vise metoda a ovdje ce biti rijeci o metodi "najmanjih kvadrata". Ova metoda ima za cilj pronaci jednadzbu pravca koja bi predstavljala podatke tako, da udaljenost ordinate pravca, koji predstavlja podatak i originalne vrijednosti podatka, bude minimalna. Prikaz nelinearnih podataka - je metoda u kojoj se podaci prikazuju graficki, koristenjem krivulja drugog reda, uglavnom parabole. 1.
s
2
Za predmet Matematika 1, na fakultetu je bilo prijavljeno ukupno 80 studenata. Nakon ispita, rezultati ispita su prikazani u tabeli. Svaki broj predstavlja uspjeh na testu u postocima i broj studenata koji su taj postotak postigli: 22 − 1 61 − 1 74 − 5 86 − 3 37 − 1 63 − 4 75 − 4 87 − 2 40 − 2 77 − 7 88 − 1 44 − 1 66 − 1 78 − 4 90 − 2 47 − 1 67 − 5 65 − 2 79 − 1 92 − 1 53 − 1 68 − 2 81 − 2 93 − 2 55 − 3 70 − 2 82 − 4 95 − 1 97 − 1 84 − 1 71 − 4 56 − 1 60 − 3 72 − 3 85 − 1
Statistika
1
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu Podaci su svrstani u intervale i broj studenata koji su imali odgovarajuci postotak uspjeha, prikazan je u tabeli: Interval uspjeha % 20 − 24 25 − 29 30 − 34 35 − 39 40 − 44 45 − 49 50 − 54 55 − 59 Broj studenata 1 0 0 1 3 1 1 1 Interval uspjeha % 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95 − 99 Broj studenata 8 10 14 16 7 7 5 2 Broj studenata i ocjenu koju su zasluzili prikazani su u narednoj tabeli: Ocjena 1 2 3 4 5 Broj studenata 7 14 30 18 11 Histogram frekvencije studenata i ocjena, dani su u donjem prikazu:
Poligon frekvencija broja studenata i postotka rijesenih testova
Statistika
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2.
Izracunaj median dva igraca na osnovu podataka koji predstavljaju rezultate u pogadjanju mete: Igrac 1. 22, 25,34,35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49,54,54,59, 60 Igrac 2. 8,13,14,16,23,26,28,33,39,61 Median je broj koji je na sredini slijeda brojeva koji cine promatrani skup: n + 1 15 + 1 = =8 Igrac 1. ima 15 podataka i srednji broj je 46, tj. 2 2 osmi broj brojeci sa lijeva na desno: 22, 25,34,35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49,54,54,59, 60 ⇒ M = 46 Igrac 2. ima 10 podataka i nema srednjeg broja, vec tu vrijednost treba izracunati: n + 1 11 = = 5.5, median je aritmeticka sredina brojeva na polozaju 5 i 6: 2 2 23 + 26 = 24.5 8,13,14,16,23,26,28,33,39,61 ⇒ median isnosi M = 2
3.
Izracunaj srednju vrijednost pogodaka svakog od igraca u gormnjem zadatku: Igrac 1. 22, 25,34,35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49,54,54,59, 60 Igrac 2. 8,13,14,16,23,26,28,33,39,61 Srednja aritmeticka vrijednost iznosi:
∑ Igrac 1.x =
15 1
xn
n
=
( 22 + 25 + 34 + 35 + 41 + 41 + 46 + 46 + 46 + 47 + 49 + 54 + ≺
∑ Igrac 2.x =
15 1
n x = 26.1
4.
=
15
=
659 ⇒ 15
x = 43.9
(8 + 13 + 14 + 16 + 23 + 26 + 28 + 33 + 39 + 61) 10
=
261 = 26.1 10
Izracunaj srednju aritmeticku vrijednost postotka kojim je rjesen ispit iz zadatka 1. U ovom slucaju, posto su podaci dani u intervalima, za proracun treba uzeti sredinu intervala a za broj podataka n, vrijednosti propadajucih frekvencija: x=
5.
xn
+54 + 59 + 60 )
15
∑ xf ∑f
=
22 (1) + 61(1) + 74 ( 5 ) + 86 ( 3) + 37 (1) + 63 ( 4 ) + ... + 97 (1) 80
Izracunaj standardnu devijaciju iz zadatka 1.
Statistika
3
=
5733 = 71.7 80
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu Interval 20 − 24 25 − 29 30 − 34 35 − 39 40 − 44 45 − 49 50 − 54 55 − 59 60 − 64 65 − 69 70 − 74 75 − 79 80 − 84 x
22
27
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
f
1
0
0
1
3
1
1
4
8
10
14
16
82 7
xf x2 f
22 484
0 0
0 0
37 1369
126 5292
47 2209
52 2704
228 12996
496 30752
670 44890
1008 72576
1232 94864
574 47068
Interval 85 − 89 90 − 94 95 − 99 x
87
92
f
7
5
2
xf
609
460
194
x2 f
52980
42320
18818
∑f
2
∑ xf
= 80
∑xf x= ∑f
(x)
97
= 5755
5755 = = 71.9375 80
∑x
2
f = 429325
x f (x ) = ∑ f ∑ 2
2
=
429325 = 5366.5625 80
= 5175.0039
s 2 = ( x 2 ) − x 2 = 5366.5625 − 5175.0039 = 191.5586 s = 191.5586 = 13.84 Zakljucak: Studenti su rjesili ispit prosjecno sa 71.9375% i standardnom devijacijom od 13.84%. 6.
Standardna krivulja normalne distribucije je krivulja predstavljena jednadzbom y=
1
−
x2 2
e . Ova krivulja je "pravilna i simetricna" i koristi se za odredjivanje 2π postotka raspodjele podataka unutar intervala. Tako je za primjer 1 : 68%
podataka je unutar intervala ( x − s ) ⇒ x − s = 71.9375 − 13.84 = 58.097
95.4% podataka je unutar intervala ( x − 2s ) ⇒ x − 2s = 71.9375 − 2 ⋅ 13.84 = 44.2575 99.7% podataka je unutar intervala ( x − 3s ) ⇒ x − 3s = 71.9375 − 3 ⋅ 13.84 = 30.4175 Graficki prikaz krivulje izgleda ovako: y =
Statistika
4
1 s 2π
e
1 x−x − 2 s
=
1 13.84 2π
e
1 x − 71.9375 − 2 13.84
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7.
Metoda pronalazenja "prikladnog pravca po metodi minimalnih kvadrata" Odredi pravac po metodi minimalnih kvadrata, koji ce predstavljati podatke sa ispita. Rezultati rjesenosti testa oznaceni su sa x ( % ) , a broj studenata koji je postigao taj uspjeh, oznacen je sa y. Broj mjerenja n = 10 :
x 63 88 77 67 70 93 72 81 47 74 29 33 22 17 26 37 30 32 23 30 y x ⋅ y 1827 2904 1694 1139 1820 3441 2160 2592 1081 2220 x 2 3969 7744 5929 4489 4900 8649 5184 6561 2209 5476
732 ≡ ∑ x 279 ≡ ∑ y 20878 ≡ ∑ xy 55110 ≡ ∑ x 2
Jednadzba trazenog pravca je: y = kx + l a vrijednosti za k i l imaju oblik: k=
( ∑ x ) ( ∑ y ) − ( ∑ xy )( ∑ x ) l= n∑ x − ( ∑ x )
n∑ xy − ( ∑ x )( ∑ y ) n∑ x 2 − ( ∑ x )
2
2
2
2
Jednadzba trazenog pravca ima oblik: y = kx + l = y=
n∑ xy − ( ∑ x )( ∑ y ) n∑ x 2 − ( ∑ x )
10 ( 20878) − ( 732 )( 279 ) 10 ( 55110 ) − 732
2
2
x+
( ∑ x ) ( ∑ y ) − ( ∑ xy )( ∑ x ) x+ n∑ x − ( ∑ x ) 2
2
2
( 55110 )( 279 ) − ( 20878)( 732 ) 10 ( 55110 ) − 7322
y = 0.298 x + 6.09
8.
Podaci koji imaju takvu raspodjelu da se ne mogu prikazati metodom "prikladnog pravca", mogu se prikazati koristenjem prikladnih funkcija, kao na primjer 1 kvadratne funkcije x 2 ili hiperbole . U jednadzbu pravca, umjesto velicine x, staviti x 2 cemo funkciju f ( x ) = x i sada nasa jednadzba ima oblik: y = k f ( x ) + l ⇒ kx 2 + l Promotrimo slijedeci primjer:
Statistika
5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu Odredi prikladni graficki prikaz za podatke u tabeli, koristenjem kvadratne jednadzbe: x 0 1 2 3 4 5 n=6 y 1 5 12 24 53 76 171 2 f ( x) = x 0 1 4 9 16 25 55 2 x y 0 5 48 216 484 1900 3017
(x )
2 2
0 1 16
81
256
625
979
Jednadzba trazenog "pravca" je: y = kx 2 + l a vrijednosti za k i l imaju oblik: y = kx + l = 2
y=
n∑ xy − ( ∑ x )( ∑ y ) n∑ x 2 − ( ∑ x )
6 ( 3017 ) − ( 55 )(171) 6 ( 979 ) − 55
2
x2 +
2
x
2
( 979 )(171) − ( 3017 )( 55 ) 6 ( 979 ) − 552
y = 3.05 x 2 + 0.52
Statistika
( ∑ x ) ( ∑ y ) − ( ∑ xy )( ∑ x ) = + n∑ x − ( ∑ x ) 2
2
6
2
