Vertex covers by edge disjoint cliques - CMU Math - Carnegie Mellon ...

1 downloads 0 Views 298KB Size Report
Jun 6, 2000 - Vertex covers by edge disjoint cliques. Tom Bohman. Alan Frieze*. Mikl sos Ruszink so†. Lubos Thoma*. Department of Mathematical Sciences ...
      "!#$ %""&(') *,+-/.+10 -3254

6)78294;:=@?BAC?ED FG=@H7J+I KL(M KNAC=@4OHP+I Q R MOST+K)*P0O+-32U V ?BWX290?J-^29YN=8_C297,`_a=b?B4 _a?CKBc d 29Š‡€N|…{’‘#ŽZ{vŒ“|…„‡”’{’‚’•–—)˜™~Pšœ›}žbŸ> }¡}¢8 œ£¤ž¦¥…§>ŸN v¡>¨9€‰‚…„‡†‰ˆBŠ‡{ ‹NŒ…€NˆB(©«ª¬˜@­š“®ƒ„¯‚X€]”vZŠ‡Š‡{’”v|…„‡>P~#°"š’±’±’±’š“~‰²Z¨1‚…³B‹NŒ…€NˆBa‚T>¨´©¬‚“€>|…„‡‚“¨¶µ·„‡a‹ ¸B¹ ~‰º»ª ~Pš ¨¶NŒT€>Š‡Š9¼ª¬½>š’±v±’±š¦¾¤š ¿J¹]À ²ºÂÁ5° ­ ˜™~ º ª[­sà ÄE¹ ® ˜™~ º 5Å#® ˜™~‰Æ’´ªÈÇaš ¨¶NŒT€>Š‡Š9¼XªËÉ ÊZša€Za‘ Ì9¹ {’€>”œPÍsÎ(­Ï„‡‚T„‡€N|T†]>‚“|—› >¨1|…a{~‰º…• Ð{,”’>a‚…„‡‘a{vŒ—|…a{Ñ{vÒ„‡‚¦|…{’a”’{ѐZ¨‚…³a”œPŽZ{vŒ“|…{}ÒP”’"ŽZ{vŒ…‚TÓXa{’(~$„‡‚€s”’>†‰ˆBŠ‡{v|…{ыNŒ…€NˆB5ÃEÔs՜š“ÖX×ÈØÃJ„‡ |…a{”’>Ù|…{vÒÙ|T>¨{vÒÙ|“Œ…{’†]€>Š9€>a‘Œ…€>a‘a>†Ú‹>Œ…€NˆBa‚’• Û

ÜÝÞOß àáãâãä—Þ å¤àÝ

R ?BY^æ SX?g2ÚK>=b-[WO7b?çe?Cêèi?BYN=8_a?CKBkè:+0?ëWMOWT+K>?CK[+1\)YN0O=8K ê=8K>_aM K>KN=b+14çì?ãKZ2Jj«Y>0 29YYN0O?íKN=8-[WO7@?eMSOe=bK>\“j´=b4Oe  æ  ï æGô \“+0?_C21KN?üì(0O?B?æ =bK#2Ë_a+-[WO7@?BY>?(e?ü+MO0O?ËWO+S 29SO=@ý 7b=@Y"jP]Ññv_Ñö#ïba[ñ`_7c P O ö =8K3?B4O+MOe0 \“+10?;W 21_a?(+5i?B0O?üKN?BYs+1\257b7Oe10çY>0?íMO4O=@\“+=b-«?«i?B0O?ée1-3257b7@?CK>Y¬-«=@4O=b-÷M - ê ?Ce1?B?YN0X29YçeMX25 $ê 0 29   Y[—iQî"Škg *0X 21 )0KÈM +KB\ü2 c î ñ’î/æë=b0XKn=ô ' 292ëöKÈv_ai25+?B4 7@?Jñ’?_aæëYN’=bô+_až +54 iöe?Bæ^v?B=@+i1\MO?3SO29+14 eMOæG=bK>?$\“ôj´ž =8=bKN4OYZöe K i?BY>?’_a+5i1?CKBcTì?÷?B4 KN=b+14Ú+\#*0O?B+?C- Q k =@i?B4 294Ï29?C_aY>=@+4Ëì?sìü=@7b7MOK>? YN0O? \“+7b7@+5ì(=b4Oe d 0O?B0?#S=b4O+-«=8297 0=8KƒKN?C_aY>=@+4 ìü=@7b7´ST?W+5i?B4f=b4 Y>0O?KNMOSOK>?C_aY>=@+4 K,Y>0 29YÑ\“+7@7b+Eìfk R ?BYP€ QgST?r± ?Cêk ?Ï_a+4 KNYNM _aY[2 ñe-0/"ô·oövi?BYN?’_a+5i?B< =b4 î•f Sjê=@i=bê=b4eé+1MO< e=@4Oe ?Cêe?CK[\“0X25Yüì?Ë-32Cj3?CKNY>=@+4ÏY>+3î}f ì(0O?B? T 7@=b?CK(=b4g2[K>-^297b7 =b4YN?Bi9297}k R ?B9Y 8#;ô :*l p÷ST?f_B+14 KNYÙ294Y>KüKNM _Ù0ëYN0X29Y : ñ ŽÕ ö l 1o1pÈ294 !ê 8 #‹ :0< 9ô R

R

9R

R



R

9



R

%.5E

=

E

L

294 êÏ7b?BY

 Õ T ï 8 _ o ñ>ñv€@Y EöŠ‰N7b+eq_Ñö ýgd ñ Ž ö _ c } de/ ô)254 ê  T ï : _ o ñNñ`€@Y Eö‰N7@+eÆ_,ö ýgd ñ ŽÕ ö _ c } dg/ þ :OMO0O?B0O?e0 29Y)î.D @H=bKü_a+-«W7b?BY>?í\“+1+ÏST?^2ç_a+7@7b?C_aY>=@+4Úø ï  Ñý·ôBþCþBþCô-v^+\«-0/ Kí=@4 î}f ° KNM _Ù0Y>0 29Y  o /   \“+< sï o ôBþBþBþJô   ï €    c ý ï  ) f f c ý) o 294 ê )G  ï  [)ï&/ $





]V

X

L

H*

O

R

M





I

L

R







ìü0O?B?



ý   ï  fD  D  \“+< ]ï oôCþBþBþCô  þ —ý   Lü+Me0O7@jGKNWT?J29H=@4Oe c2^_a7bM KNYN?C-3257b7Ñ_a+7@7b?C_aY>=@+4g+\Æ-0/ K)Y>0 29Y0X2Ci?n-3254jÏ+0O?ne0X29Yü_a+4´YÙ29=@4 #Y>+[ST?ËWO?C_a=8KN?c ) ï 0!%  D _ € H  u#&%  294 ê   o  õ }  þ `´=b4O_B ? ý ê?BWT?B4 êOK+14O7bj[+4¬Y>0?ãe10O? e0 29Y4O+¬ó^ ñ JöP_a+4´YÙ29=@4 K-^294jç-[?C-÷SX?CK(+\  kP*,+ -329H1?íY>0O=bKüK>YZ29Y>?C-[?B4YPWO0X25Y # %(D _¦H=bK  ! =b\ ) ƒ) vj/*}QF R || ô294Oê # %(D _¦H=bKE !  ´=@\ ) ƒ)2< v /T}ƒF R þ =bYN0¬0O=@e0¬WO-^297@7Ti1?C=b_a?JK2903+n_a+4O4O?C_aY>=@+4 K#i=¦2-0/ ¯KBc \œ29YZ29Y>?C-[?B4Y÷WO0X25Y_a+4YZ29=@4 #Tc 294 ê 7b?BY ê?B4O+1Y>?ËY>0O?Ë4MO-÷ST?B0X25Y )ïpk`=b4 _a?  ïò-ñ Y ] R ö ñ ¯ Õ ¡ ¡ ° ° ö ïò-ñ V‹ ñ Eö>ö 7b+_eq_ ñv]o Eö =8K)2÷7@+5ì?B0 29Y 3±< ñ[ö#=8KüKZ-^297@7vk\'v4 ê?B?Cêc •< ñ ý ï } ïp´ö •< ñXý>ö’‹ •< ñ }  P )X ý>ö ñvo Q´ö ìü0O?B?c=b\  Ñ=8K(Y>0? KN?BYü+1\ƒ4O?B=@e0ST+1MO_·0ÏY>0X29Y)æ  Èýˆ  P ï 1î}|9ú ~ _a+4´YÙ29=@4 K2È_B+1WjÏæ +1\\-P/ c ýK>MO_·0ÏY>0X29Y)æ   } ª ÈýŠþ 6)WOWO7@j=@4Oe;ñ’oö —ñ ö#ì?Ëe?BYBc ^< ñ Xý>ö Mƒ? W Y _ ý c Ž  Õ z Å h ýej þ o+YN?fYN0X29Y ^< ñ  }   P ) Èý·ô  } ösï •< ñ  } ) ÷ýô  } ö ^< ñ  P ) Èý·ô  } ö ST?C_J25M KN?c´_a+4 ê =bYN=b+4=b4Oef+4 Èýs294Oê  } cY>0O?CKN??Bi?B4YZKsê?BWT?B4 ê«+4^ê=bK ¤+1=b4Y KN?CY>K +\T?Cêe?CKBk R ?BY  ýP294 ê  } ST?Er± ?CêëKN?CY>K(YN0X29YKZ29YN=8KN\“j  Y _] ) ý&) o_] 294 ê  Y o R _ °Õ  R _ ° Õ  )  } ª ý&) o_1] R þ 'vY\“+17b7@+5ìKP\“+14 K(=@4O?¥´MX297@=@Y"j¬YN0X29Y •< ñ  } ) Èý# ï ýô  } ª Èý  ï  } ö·ô ^< ñ  P ) Èý# ï ýô  } ª Èý  ï  }ö ° z e ý j ? W @YG7b+eÆ_=‹ 7b+1e#7b+1eÆ_=‹(a«ñv_ c Õ Å h ö’‹a[ñ`_ c ýez ŽÕ z Å h ýej ö Èþ *P0O?B?B\“+öÙô 294 êÏ=bY(\“+7b7@+5ìüK(\“+- ñ’Io Eö#Y>0X25Y 3±< ñ[ösï ñœ7@+e } _,ö·þ 'vYYN0O?B4ë\“+7@7b+EìK(\“0 29Y ^< ñ ïp´ö ï -ñ EöÙþ ñvo ö `´=b4O_B?ËY>0O?Ë?Bi?B4Y•  ïpn=bKü-«+14O+Y>+14O?í=@4 _a?J21KN=@4Oe c=bY(\“+7@7b+5ìüK(\“0 29Y ^< ñœ?Bi?Bj3i?BYN?ç=@4;î•|5ú f ü=bK_a+4´YÙ29=@4O?Cêç=b4g2È_B+1Wj¬+\k-0/vö ï -ñ EöÙþ 'v4G+YN0O?B ý«l T R k R

R

+R

&

L

R



R

R

R

R

R

U

,

O

L

L

O



„„

c

^0 29Y

)  )ï nï ñ…7b+1eÆ_ _Ñö ýede/ 7b?BY Y>0?^0 29Y ^< ñ ;ïp´ö#=bKüKZ-^297@7vkq'v4ë+ê?B+^ê+«KN+ cì?Ë-÷M KNY(ST+1MO4 êÏY>0O?ËWX29ö Å h Z  / c }ý ï  a U _ } z º ‡º ¡Õ ° c Iz Å h ýej Z  } ï a …`_ } dg/yz Å h ýgj ‡ þ *P0M KBc l 294OK>+14 K(=@4O?¥´MX297@=@Y"j¬e=@i?CK ^< ñ ;ïp´ö Ÿ c ° | E



V

X



-E

9R

„¨È

ìü0O?B?JŒCý=bK2ÈWT+KN=@Y>=@i?f_a+4 KNYÙ294´YCk]6)WOWO7@j=@4Oe^Y>0? r0O+êcì?Ë0X2Ci?  _ c ° | •<  gïp  Ÿ ñ ¯² ö ÿ U _  Ÿ Z Ÿ c ° | ï ? W    V‹ 7@+e#7@€ +eÆ_  Y*ŒCý¢_  ï -ñ Jö `´=b4O_B?ËY>0O=bK(?Ci1?C4´Y(=8Kü-[+4O+YN+4O?c Y>0O?fKZ21-[?í0O+7bêOKü\“+=b-«?k :O+< ï 1ôBþBþBþCô  7@?BYçKø $ï  ÑýôBþBþBþJ-ô Dc  ï )‡ó^ñ…Kø Bö$)Âc A$ï )‡õ^ñ“Kø Cö$)294 ê  ï hVY$o T N€·kÆoü+Y>?íY>0X25Y ý ï 1ô 294 ê k z—ý7Y k ñ`€@Y   z—ýZö7Y o€   o €  Y   Io z—ý   ïòñ  Iz—ýkY Eö U   € z—ý Y Z þ ñvo#Fö *P0M K ï   z—ý@Y kïp   z—ý 254 ê o  Iz—ý n€@Y  k z—ý@Y  o€ Y 1þ ñvo ´ö R















" J=











O(

E

(

(

U( >R

(

R

R

„

(

(

3`

U( >R



:OMO0O?B0O?ëê=7(—?B0X25Y JY$o N€ ï 0X29Y,Y>0O?B?#? =bK>Y>K‰2_a7@M KNY>?B+çY>?÷Y>0O?÷?CKNMO7@YíYN+Gî } kJ'vYã\“+7@7b+5ìüK\“+- R ?C-^-^2.Qç294 êèñ- Q´ö(Y>0X29Y}w ?9> 29\“Y>?B< ?C-«+Ei=b4e a[ñ- Eö -0/ Kn\“=@+4  ^+1\ -P/ ¯Knìü0=8_Ù0è290O?B4 a[ñ`_ c P d } ö ï ^< ¨~ñ } ö ï   T  ñ ]—ö f ñ ,Y ƒ] ö  c f ^< fãñ } ö f 294 ê$KNd +éYZ29H=@4Oe :+Y  ì?ëKN?B?ÏY>0 29YÈ=b\ ^< f ° ñ } ö  _7c P d } YN0O?B4 ^< ¨~ñ } ö  _ c P } 1o k *P0O?P=@AB?«254 êÚ0X2Ci?È4?E257@jGY>0O?È? WT?C_aY>?Cê;4MO-÷ST?B< +\ƒ?Cêe?CKBk R ?BY P =bK(Y>0O?Ë?Bi?B4Y(YN0X29Y ñ :Y ·ö][_ )  ±)Âô) ) ñ : ‹4·ö][_]ô ñ :Y ·ö]  ) o ±)  )‡õ^ñ’î 9ö$) ñ : 4 ‹ ·ö]  ) o ±)  ô)254 ê ñ :0 Y öy]  ) o )  )‡õ«ñ’î Eö) ñ : ‹ öy]  ) o 1)  þ R ?BY U SX?«YN0O?[?Bi?B4YíYN0X29YíST+1Y>0 î ^294 êî È_B+14YÙ29=@4\“?Bì?B=@+4 +\YN0O?  +=bKZKN+4 29WOWO0O?È4M -nST?B0O?È=bKN\“j=@4Oe ñ :Y ·ö]5_ n_ W ñ : ‹ öy]5_]ô294 ê ñgQ ´ö ñ :Y ·ö]  _ o W  T W ñ : 4 ‹ ·ö]  _ o W  ô ñ ´p´ö 294 ê_a+4 ê=@Y>=@+4+14 YN0O?^?Bi?B4YfYN0X29YX )  ±),ï _ W 294 ê )‡õ^ñvî 5ö),ï T W k o+1Y>?«Y>0X29YfMO4 ê ?C< Y>0O=bKÈ_a+4Oê=bYN=b+14O=b4e î ç_C294 SX?çi=@?Bì?Cê 21KnY>0?ç=@+4ë+\ D Hvcì?í0X2Ji? ñ`_ W ö } c Õ Ž ñv_ W ö } c Õ Ž ý W Ž T ¡ ¡ Ž } o o ìü0O?B? ý#ïòñ :0 Y ·ö Õ ¡ Õ Ž ñNñ`€7Y Eö‰N7@+eÆ_,ö ýed ñ Õ ¡ Ž ° ö 294 ê ‹ ·ö Õ ¡ Õ Ž ñ>ñv€@Y Jö‰N7b+1eÆ_Ñö ýed ñ Õ ¡ Ž ° ö þ } ïòñ : 4 R ?BY  ï  ST?ÈYN0O?È4M -nST?B?CêÚ4MO-÷ST?BMO_·0-0 / ¯KCc  ™Õ ï D H}cO=bK(Y>0O?B4ëST+MO4 ê ?JêG21K(\“+7@7b+EìK ñ :0 Y ·ö ñ ŽÕ ö 7b+eq_  ñ : 4 ‹ ·ö ñ ŽÕ ö 7b+1eÆ_]þ 

9

L

KR

+R

R

+R

R

R



9R



R





KR

R

.

R

R

L





R

R





R

R

„

'vYYN0O?B4ë\“+7@7b+EìK(\“ö -û  R Ÿ c ' ‰ vj/*}ƒF R |  o Ÿ c v /TF | ƒ‰ }ƒR   ¯

 1 o p  Ž Ÿ o Ÿ c 7@+eÆ_  o‰? W @Ynñ :Y ·ö ñ ŽÕ ö 7b+eÆ_ Èñ’o1p Ÿ ö  Ž  ¯ ï o‰? W  Yg7@+eÆ_  ñ : 0 Y ö ñ ŽÕ ö Y o1 p ñ L‹ 7b+1ePo1p´ö   o_ c P d U =bYN0 ñgQ ´ö#Y>0=8K_a+-[WO7@?BY>?CKPYN0O?ËWO+´+\"k

ˆ&¨J¨ „ ! #% R ?B Y ý(ST?nYN0O?n?Ci1?C4´Y)YN0X29YYN0O?B? =8Kã2^_Ù0X29=@4;=b4î•f k:O+1=@4 _aY Ñô #&%(D _ Hìü0O=b_Ù0gê?$rO4?n2÷WT+K>°KN=bSO7@? _Ù0X29=@4cO=@Y \“+7b7@+5ìüK(\“+- 254g29e1M -«?B4Y(297b+14Oe[Y>0O?Ë7@=b4O?Ë+\ƒYN0O?ËWO+´+\ƒ+\ d 7829=8- FnYN0X29Y )‡ó3"ñ 3ö$) L‹ ou)‡õ^€ "ñ 3ö$) 294 êÏ=bY(\“+7b7@+5ìüK(\“+- d 7829=b- ÷Y>0X25Y ^< ñNñ Ú254 $ ê #ç29?ËK>-3297@7Ñö Gõ^ñ ^ö õ^ñvî•f ° ö>ö a[ñI] f  ° h  j  _ c P d } ö·þ 6)WOWO7@j=@4Oe^Y>0? r0O+êÏì?Ë0X2Ci? U  / c P  _XY$o ñ º ö ‡º ¡ ° Õ d  _ ^< ñ ýNö o  1/ Y$o  o Õ a[ñI] f ° Ž _ c P } ö U  / c P  Ž  º ° Õ z h ýej a[ñ`_ c Õ ¡ Ž c Ž Å ö 1/ U / c P a[ñ`_ c °Ž z Å h ýgj ö 1/ ï -ñ Eö 

C

]R

R

G

U

C

G

R

C

G

R

R

R





T

R



R

R

R

R

O

ˆ&¨J¨ |„ © ! % R ?BY } ST?;YN0O?g?Bi?B4Y«Y>0X25Y3Y>0?CMO_·0ÏY>0X29YP)  %) oÈ294 ê  %   % =bY(\“+7b7@+5ìüKP\“+- d 7829=b- ÈY>0X25Y Õ •<  ñ Ï=8KüK>-^297b7Ñö    o    % o  õ«ñ’î}f ° ö  ïba[ñI] f ñ Ž ° ö c ñ Ž  ö _ c P d U öÙþ 

T



+

„

6)WOWO7@j=@4Oe^Y>0? r0O+êÏì?Ë0X2Ci? / c ý  €  _ Y € } ñ Õ ö ñ º ö d  X _ Y •< ñ } ö _ €@Y    €@Y  a«ñ ] f ° Ž c Ž _ c P U ö  / c ý /  } / ýej{z º z ýgj  a«ñv_ } c c } h c ŽÕ ñ Ž ö c Å h ö  / c }ý  a«ñv_  c Iz º ‡º ¡Õ ° z Å h ýgj ö R

R

R

 } ï ñ-E ö ,

ß àüàëà!#"%$Ñà#ß$'&

Û

:O+0O?ã4´M -÷SX?C0  ïpþ 'v4Gi=@?Bì +\‰*P0?C+1?C- o÷ì?í4O?B?Jêç+4O7@j¬WO+Ei?ËYN0X29Y p Œˆ|Pœ Y^ž š ™ ñ  Eö |N7@“,=8- ” •< ñ¬ñvî•|5ú f(ö ïp´ö ï ˜ Ÿ c ¢¡N£ ŒˆŒˆ|P|Pœœ Œž h)KN=b4e«*P0O?B+0O?ã-«++^ê ?C4+Y>?íY>0O?Ë4O?B=@e0ST+M0O++êë+ \ «=@4;î}|9ú ~fì?f7@?BY L

L

L

L

E

L

R

R

L

L

R

SR

R

„

L L

ý=b4   ª   c —ý ý 5k  } ê?B4O+YN?ËY>0O?Ë4M -nST?B? 2÷i?BYN?ç+1\   c —ý ý Ek ?ËY>0?C4ë7@?CYPøIïs 5ñ’î}|9ú ~5ö ïptô < ¨È254 êÏìü0O?Ë4M -nST?B0O?÷7@+5ì?C=bê?B0O? _B+-«WO7@?BY>?€vWX29=@Y>?÷e0?? WOKN=@+43=b4ñ ´m´ö‰=8K#e?J29YN?B0X254¬+0?C4 [ï "ûz—ý·þ ñ 1Fö YN0O?Bì(=8KN? ûz—ý=8Kí_Ù0O+KN?B4 29=bKN\“jGokì(=bYN0G?¥´MX297@=bYjë29\“Y>?B< ] ôBþBþBþCô ]  ¡ ° 0X2Ji?íST?B?C4Gê?BY>?B-«=@4O?Cêk *P0´M KBcOì?f-nM KNY(0X2Ji? ]  %  û5k .j d 7829=b- Cp ° ) û#) T  Y Y <  ‹ 1þ ñ ´ö :O+< '^ï 1ôBþBþBþCô T 7@?CY ãûï  Dó  þ ý   û _ º Æ    Æ ñeo+1Y>?fY>0X29YüY>0O?fMO4O=@+4g0O?B?f=bK+5i?B0O?f_a+4 KNYNM _aY>=@+4ë+1\ƒYN0O?Ë++¬_a+5i?BY+4O? 4O?Bì i?BY>?k*,+3ST?÷WO0+5ì YN0X29Y=@\#2^\œ21-[=@7bj ï ‰ý·ôBþBþBþJô¦f [+\ _a+WO=@?CK)+\æ =b4;î 254 êG2Èi?B? # %ó3ñvînöKZ29YN=8KN\“j T 0? i?B? KN?BY ý  ô) ý&)Ëï T ‹ 1 ô) )Ëï T þ Fg+? ) ý&)1=8K+ êOêc æX| Å _a+4´YÙ29=@4 K?Cêe?CK+\Ñ2n-^2 =b-^297T-329Y>_Ù0O=b4e cKZ2Jj  ô+\ ý YN+e?BY>0O?B< ìü=@Y>0$2;KN=b4e7b?3?Jê e?  ô5ëìü0O?B0O?¬i?BYN? +\ýËìü0=8_Ù0èê+?CKn4+Y÷ST?B7@+4OeÚY>+  294Oê g=8KË294jgi?BYN?$g+\ ý ª  ¦þ d 7b?J29=@4Oe^mÏ-ñ ƒFö·c[Q QƒF&Q Fk D JoNH V kGBük&tã4MOYN0c5LfkJFG+Yì(294O=294 êf.k ÷k  =@Y>YN?B7v c !  { \‘ 1 ˆ!¦·cJL)254 ê+-ð`´Y>MO