Jun 6, 2000 - Vertex covers by edge disjoint cliques. Tom Bohman. Alan Frieze*. Mikl sos Ruszink soâ . Lubos Thoma*. Department of Mathematical Sciences ...
R ?BY^æ SX?g2ÚK>=b-[WO7b?çe?Cêèi?BYN=8_a?CKBkè:+0?ëWMOWT+K>?CK[+1\)YN0O=8K ê=8K>_aM K>KN=b+14çì?ãKZ2Jj«Y>0 29YYN0O?íKN=8-[WO7@?eMSOe=bK>\j´=b4Oe æ ï æGô \+0?_C21KN?üì(0O?B?æ =bK#2Ë_a+ -[WO7@?BY>?(e?ü+MO0O?ËWO+S 29SO=@ý 7b=@Y"jP]Ññv_Ñö#ïba[ñ`_7c P O ö =8K3?B4O+MOe0 \+10?;W 21_a?(+5i?B0O?üKN?BYs+1\257b7Oe10çY>0?íMO4O=@\+=b-«?«i?B0O?ée1-3257b7@?CK>Y¬-«=@4O=b-÷M - ê ?Ce1?B?YN0X29YçeMX25 $ê 0 29 Y[iQî"kg *0X 21 )0KÈM +KB\ü2 c î ñî/æë=b0XKn=ô ' 292ëöKÈv_ai25+?B4 7@?Jñ?_aæëYN=bô+_a +54 iöe?Bæ^v?B=@+i1\MO?3SO29+14 eMOæG=bK>?$\ôj´ =8=bKN4OYZöe K i?BY>?_a+5i1?CKBcTì?÷?B4 KN=b+14Ú+\#*0O?B+?C- Q k =@i?B4 294Ï29?C_aY>=@+4Ëì?sìü=@7b7 MOK>? YN0O? \+7b7@+5ì(=b4Oe d 0O?B0?#S=b4O+-«=8297 0=8KKN?C_aY>=@+4 ìü=@7b7´ST?W+5i?B4f=b4 Y>0O?KNMOSOK>?C_aY>=@+4 K,Y>0 29YÑ\+7@7b+Eìfk R ?BYP QgST? r± ?Cêk ?Ï_a+4 KNYNM _aY[2 ñe-0/"ô·oövi?BYN?_a+5i?B< =b4 îf Sjê=@i=bê=b4eé+1MO< e=@4Oe ?Cêe?CK[\0X25Yüì?Ë-32Cj3?CKNY>=@+4ÏY>+3î}f ì(0O?B? T 7@=b?CK(=b4g2[K>-^297b7 =b4YN?Bi9297}k R ?B9Y 8#;ô :*l p÷ST?f_B+14 KNYÙ294Y>KüKNM _Ù0ëYN0X29Y : ñ Õ ö l 1o1pÈ294 !ê 8 # :0< 9ô R
R
9R
R
R
9
R
%.5E
=
E
L
294 êÏ7b?BY
Õ T ï 8 _ o ñ>ñv@Y EöN7b+eq_Ñö ýgd ñ ö _ c } de/ ô)254 ê T ï : _ o ñNñ`@Y EöN7@+eÆ_,ö ýgd ñ Õ ö _ c } dg/ þ :OMO0O?B0O?e0 29Y)î.D @H=bKü_a+ -«W7b?BY>?í\+1+ÏST?^2ç_a+7@7b?C_aY>=@+4Úø ï Ñý·ôBþCþBþCô-v^+\«-0/ Kí=@4 î}f ° KNM _Ù0Y>0 29Y o / \+< sï o ôBþBþBþJô ï c ý ï ) f f c ý ) o 294 ê )G ï [)ï&/ $
]V
X
L
H*
O
R
M
I
L
R
ìü0O?B?
ý ï fD D \+< ]ï oôCþBþBþCô þ ý Lü+Me0O7@jGKNWT?J29H=@4Oe c2^_a7bM KNYN?C-3257b7Ñ_a+7@7b?C_aY>=@+4g+\Æ-0/ K)Y>0 29Y0X2Ci?n-3254jÏ+0O?ne0X29Yü_a+4´YÙ29=@4 #Y>+[ST?ËWO?C_a=8KN?c ) ï 0!% D _ H u#&% 294 ê o õ } þ `´=b4O_B ? ý ê?BWT?B4 êOK+14O7bj[+4¬Y>0?ãe10O? e0 29Y4O+¬ó^ ñ JöP_a+4´YÙ29=@4 K-^294jç-[?C-÷SX?CK(+\ kP*,+ -329H1?íY>0O=bKüK>YZ29Y>?C-[?B4YPWO0X25Y # %(D _¦H=bK ! =b\ ) ) vj/*}QF R || ô294Oê # %(D _¦H=bKE ! ´=@\ ) )2< v /T}F R þ =bYN0¬0O=@e0¬WO-^297@7Ti1?C=b_a?JK2903+n_a+4O4O?C_aY>=@+4 K#i=¦2-0/ ¯KBc \29YZ29Y>?C-[?B4Y÷WO0X25Y_a+4YZ29=@4 #Tc 294 ê 7b?BY ê?B4O+1Y>?ËY>0O?Ë4MO-÷ST?B0X25Y )ïpk` =b4 _a? ïò-ñ Y ] R ö ñ ¯ Õ ¡ ¡ ° ° ö ïò-ñ V ñ Eö>ö 7b+_eq_ ñv]o Eö =8K)2÷7@+5ì?B0 29Y 3±< ñ[ö#=8KüKZ-^297@7vk\'v4 ê?B?Cêc < ñ ý ï } ïp´ö < ñXý>ö < ñ } P )X ý>ö ñvo Q´ö ìü0O?B?c=b\ Ñ=8K(Y>0? KN?BYü+1\4O?B=@e0ST+1MO_·0ÏY>0X29Y)æ Èý P ï 1î}|9ú ~ _a+4´YÙ29=@4 K2È_B+1WjÏæ +1\\-P/ c ýK>MO_·0ÏY>0X29Y)æ } ª Èýþ 6)WOWO7@j=@4Oe;ñoö ñ ö#ì?Ëe?BYBc ^< ñ Xý>ö M? W Y _ ý c Õ z Å h ýej þ o+YN?fYN0X29Y ^< ñ } P ) Èý·ô } ösï < ñ } ) ÷ý ô } ö ^< ñ P ) Èý·ô } ö ST?C_J25M KN? c´_a+4 ê =bYN=b+4=b4Oef+4 Èýs294Oê } cY>0O?CKN??Bi?B4YZKsê?BWT?B4 ê«+4^ê=bK ¤+1=b4Y KN?CY>K +\T?Cêe?CKBk R ?BY ýP294 ê } ST?Er± ?CêëKN?CY>K(YN0X29YKZ29YN=8KN\j Y _] ) ý&) o_] 294 ê Y o R _ °Õ R _ ° Õ ) } ª ý&) o_1] R þ 'vY\+17b7@+5ìKP\+14 K(=@4O? ¥´MX297@=@Y"j¬YN0X29Y < ñ } ) Èý# ï ý ô } ª Èý ï } ö·ô ^< ñ P ) Èý# ï ý ô } ª Èý ï }ö ° z e ý j ? W @YG7b+eÆ_= 7b+1e#7b+1eÆ_=(a«ñv_ c Õ Å h öa[ñ`_ c ýez Õ z Å h ýej ö Èþ *P0O?B?B\+öÙô 294 êÏ=bY(\+7b7@+5ìüK(\+- ñIo Eö#Y>0X25Y 3±< ñ[ösï ñ7@+e } _,ö·þ 'vYYN0O?B4ë\+7@7b+EìK(\0 29Y ^< ñ ïp´ö ï -ñ EöÙþ ñvo ö `´=b4O_B?ËY>0O?Ë?Bi?B4Y ïpn=bKü-«+14O+Y>+14O?í=@4 _a?J21KN=@4Oe c=bY(\+7@7b+5ìüK(\0 29Y ^< ñ?Bi?Bj3i?BYN?ç=@4;î|5ú f ü=bK_a+4´YÙ29=@4O?Cêç=b4g2È_B+1Wj¬+\k-0/vö ï -ñ EöÙþ 'v4G+YN0O?B ý«l T R k R
R
+R
&
L
R
R
R
R
R
R
U
,
O
L
L
O
c
^0 29Y
) )ï nï ñ 7b+1eÆ_ _Ñö ýede/ 7b?BY Y>0?^0 29Y ^< ñ ;ïp´ö#=bKüKZ-^297@7vkq'v4ë+ê?B+^ê+«KN+ cì?Ë-÷M KNY(ST+1MO4 êÏY>0O?ËWX29ö Å h Z / c }ý ï a U _ } z º º ¡Õ ° c Iz Å h ýej Z } ï a `_ } dg/yz Å h ýgj þ *P0M KBc l 294OK>+14 K(=@4O? ¥´MX297@=@Y"j¬e=@i?CK ^< ñ ;ïp´ö c ° | E
V
X
-E
9R
¨È
ìü0O?B?JCý=bK2ÈWT+ KN=@Y>=@i?f_a+4 KNYÙ294´YCk]6)WOWO7@j=@4Oe^Y>0? r0O+êcì?Ë0X2Ci? _ c ° | < gïp ñ ¯² ö ÿ U _ Z c ° | ï ? W V 7@+e#7@ +eÆ_ Y*Cý¢_ ï -ñ Jö `´=b4O_B?ËY>0O=bK(?Ci1?C4´Y(=8Kü-[+4O+YN+4O?c Y>0O?fKZ21-[?í0O+7bêOKü\+=b-«?k :O+< ï 1ôBþBþBþCô 7@?BYçKø $ï Ñý ôBþBþBþJ-ô D c ï )ó^ñ Kø Bö$)Âc A$ï )õ^ñKø Cö$)294 ê ï hVY$o T N·kÆoü+Y>?íY>0X25Y ý ï 1ô 294 ê k zý7Y k ñ`@Y zýZö7Y o o Y Io zý ïòñ IzýkY Eö U zý Y Z þ ñvo#Fö *P0M K ï zý@Y kïp zý 254 ê o Izý n@Y k zý@Y o Y 1þ ñvo ´ö R
" J=
O(
E
(
(
U( >R
(
R
R
(
(
3`
U( >R
:OMO0O?B0O?ëê=7(?B0X25Y JY$o N ï 0X29Y,Y>0O?B?#? =bK>Y>K2_a7@M KNY>?B+çY>?÷Y>0O?÷?CKNMO7@YíYN+Gî } kJ'vYã\+7@7b+5ìüK\+- R ?C-^-^2.Qç294 êèñ- Q´ö(Y>0X29Y}w ?9> 29\Y>?B< ?C-«+Ei=b4e a[ñ- Eö -0/ Kn\=@+4 ^+1\ -P/ ¯Knìü0=8_Ù0è290O?B4 a[ñ`_ c P d } ö ï ^< ¨~ ñ } ö ï T ñ ]ö f ñ ,Y ] ö c f ^< fãñ } ö f 294 ê$KNd +éYZ29H=@4Oe :+Y ì?ëKN?B?ÏY>0 29YÈ=b\ ^< f ° ñ } ö _7c P d } YN0O?B4 ^< ¨~ ñ } ö _ c P } 1o k *P0O?P=@AB?«254 êÚ0X2Ci?È4?E257@jGY>0O?È? WT?C_aY>?Cê;4MO-÷ST?B< +\?Cêe?CKBk R ?BY P =bK(Y>0O?Ë?Bi?B4Y(YN0X29Y ñ :Y ·ö][_ ) ±)Âô) ) ñ : 4·ö][_]ô ñ :Y ·ö] ) o ±) )õ^ñî 9ö$) ñ : 4 ·ö] ) o ±) ô)254 ê ñ :0 Y öy] ) o ) )õ«ñî Eö ) ñ : öy] ) o 1) þ R ?BY U SX?«YN0O?[?Bi?B4YíYN0X29YíST+1Y>0 î ^294 êî È_B+14YÙ29=@4\?Bì?B=@+4 +\YN0O? +=bKZKN+4 29WOWO0O?È4M -nST?B0O?È=bKN\j=@4Oe ñ :Y ·ö]5_ n_ W ñ : öy]5_]ô294 ê ñgQ ´ö ñ :Y ·ö] _ o W T W ñ : 4 ·ö] _ o W ô ñ ´p´ö 294 ê_a+4 ê=@Y>=@+4+14 YN0O?^?Bi?B4YfYN0X29YX ) ±),ï _ W 294 ê )õ^ñvî 5ö ),ï T W k o+1Y>?«Y>0X29YfMO4 ê ?C< Y>0O=bKÈ_a+4Oê=bYN=b+14O=b4e î ç_C294 SX?çi=@?Bì?Cê 21KnY>0?ç=@+4ë+\ D Hvcì?í0X2Ji? ñ`_ W ö } c Õ ñv_ W ö } c Õ ý W T ¡ ¡ } o o ìü0O?B? ý#ïòñ :0 Y ·ö Õ ¡ Õ ñNñ`7Y EöN7@+eÆ_,ö ýed ñ Õ ¡ ° ö 294 ê ·ö Õ ¡ Õ ñ>ñv@Y JöN7b+1eÆ_Ñö ýed ñ Õ ¡ ° ö þ } ïòñ : 4 R ?BY ï ST?ÈYN0O?È4M -nST?B?CêÚ4MO-÷ST?BMO_·0-0 / ¯KCc Õ ï D H}cO=bK(Y>0O?B4ëST+MO4 ê ?JêG21K(\+7@7b+EìK ñ :0 Y ·ö ñ Õ ö 7b+eq_ ñ : 4 ·ö ñ Õ ö 7b+1eÆ_]þ
9
L
KR
+R
R
+R
R
R
9R
R
KR
R
.
R
R
L
R
R
R
R
'vYYN0O?B4ë\+7@7b+EìK(\ö -û R c ' vj/*}F R | o c v /TF | }R ¯
1 o p o c 7@+eÆ_ o? W @Ynñ :Y ·ö ñ Õ ö 7b+eÆ_ Èño1p ö ¯ ï o? W Yg7@+eÆ_ ñ : 0 Y ö ñ Õ ö Y o1 p ñ L 7b+1ePo1p´ö o_ c P d U =bYN0 ñgQ ´ö#Y>0=8K_a+ -[WO7@?BY>?CKPYN0O?ËWO+´+\"k
&¨J¨ ! #% R ?B Y ý(ST?nYN0O?n?Ci1?C4´Y)YN0X29YYN0O?B? =8Kã2^_Ù0X29=@4;=b4îf k:O+1=@4 _aY Ñô #&%(D _ Hìü0O=b_Ù0gê?$rO4?n2÷WT+ K>°KN=bSO7@? _Ù0X29=@4cO=@Y \+7b7@+5ìüK(\+- 254g29e1M -«?B4Y(297b+14Oe[Y>0O?Ë7@=b4O?Ë+\YN0O?ËWO+´+\+\ d 7829=8- FnYN0X29Y )ó3"ñ 3ö$) L ou)õ^ "ñ 3ö$) 294 êÏ=bY(\+7b7@+5ìüK(\+- d 7829=b- ÷Y>0X25Y ^< ñNñ Ú254 $ ê #ç29?ËK>-3297@7Ñö Gõ^ñ ^ö õ^ñvîf ° ö>ö a[ñI] f ° h j _ c P d } ö·þ 6)WOWO7@j=@4Oe^Y>0? r0O+êÏì?Ë0X2Ci? U / c P _XY$o ñ º ö º ¡ ° Õ d _ ^< ñ ýNö o 1/ Y$o o Õ a[ñI] f ° _ c P } ö U / c P º ° Õ z h ýej a[ñ`_ c Õ ¡ c Å ö 1/ U / c P a[ñ`_ c ° z Å h ýgj ö 1/ ï -ñ Eö
6)WOWO7@j=@4Oe^Y>0? r0O+êÏì?Ë0X2Ci? / c ý _ Y } ñ Õ ö ñ º ö d X _ Y < ñ } ö _ @Y @Y a«ñ ] f ° c _ c P U ö / c ý / } / ýej{z º z ýgj a«ñv_ } c c } h c Õ ñ ö c Å h ö / c }ý a«ñv_ c Iz º º ¡Õ ° z Å h ýgj ö R
