Worst-Case Space and Time Complexity of Recursive Procedures

#"

?


  



   ! $  %&'
()+*-,.
 

*/'%.0.

21.
(243525-67896%:;-*%.(2
,

1.
( -6.,.7

@ A× ¨îê{Ý;á-Ý;Üê{ìOá-Ù|ßÜæÙ|ê;ê{×ã çì»ÜÖ}×Sâíî}î}ê;Ý;áâ.ÜÝ;Ùyßó=ÕÖ}Ý;Û áâ.Û×Bæ:× =ï}Ý;æ×Û9âƒã}×-ê;Ý;áâíÜ×=Üæ×â.ÜØ_×-ßÜ èցÝ{ákÖOèÝ;ê;êçb×=î'×-æò2Ù|æØÚ×-ãOÝ{ßÚÜÖ}Ý;Ûîbâíîb×æó

ÕÖ}æÙyï}Þ|Ö}ÙyïÜ_ÜցÝ{ÛÚîbâ.î'×-æÚè¾×»èÝ;ê;êï}Û×»ò2Ù|ï}æN×:}â.ØÚî}ê;×-ÛNÜÙ Ý;ê{ê;ï}ÛÜækâ.Ü×OÙ|ï}æ_ÜÖ}×-Ùyæ×-ÜÝ;áâíê Üæ×â.ÜØ_×-ßÜó

"!, bü;ù$#&%¾Õց×('.,y÷ (H-ý0,íü)Iû34ù kö+*-,ÞyÝ;ñy×ß `2 ò…â.á *54  # Ý ò"*76 @@ ò…âíá *#/.10 *3  Ý ò"*3. @}ó "!, bü;ù+89%YÕÖ}×' ý0-yþ@,|÷k÷ý)Bû kù kö(:. *# : .@#=.>:$#". @? .:  * #=.>: A*B4 #C=:. *B4 #

çìNÜÖ}×Iæ×á-ï}æÛÝ;Ùyß

Þ|Ý;ñy×-ßOçìNÜÖ}×Bæ×-á-ïæÛÝ;Ù|ß  *n„-
gp [/xJ‡ ˆ5[Yp Zb

@6zV

K> 3NPG‰QG NPGŠ^>n„-
p [6xQJ‡ ˆ5[gYp ZybO5‹^:o:-Zn7„
gp [/xJ‡ Œ -Yp o:-ZgnXb

@A
 @@A

GŽ^:{Wp |p b^:{V„-
p |p „
Pb]}^:{Wp |„
gp „-
Pb†ƒ:

F K~e]{Š`‘o:-Zn’ }NOG ƒ:GX[6-g^:{}b“`”[/xJ^>| b•/‚G

@6UV

[/-^:b …[6xQJ^>| b#

@6fV

7 _„-
#

@iA @6jV @ k  @6rV @6wV UzV UV
 U@A

|S …|„-
# G ƒ:G [/-^:b …[6-g^:{ b# 7 _„-
# {–_{ „-
# G m—Ke # G m¨×á-ï}Ü×ã ØNï}Ûܾá-Ù|ßÜ4â.Ý;ßOâ.Üê;×â.ÛÜÙyß}×=æ×-á-ï}æÛÝ;ñy׃áâ.ê;êÙíò>O + ÜكÝ;ÜÛ×-êªò4ó ) ù!¨Ý;ÛÜÛgÛÙyØÚ×(: 6.- ò2Ù|æèÖ}Ý;ákÖ :364 » 2 ,
.- 0 -
Ö}Ù|ê{ãÛó $iÙ.è @ : #á-ÙyßÜkâ.Ý;ß}۝âíÜê;×âíÛÜÙ|ß}× ×-ê;×-Ø_×-ß Ü Ûkâì :.èցÝ{ákÖIÝ;Û+ß}ÙyÜ+á-ÙyßÜ4âíÝ;ß}×-ãIÝ;ß5,
6- 0 -
ó ÕÖ}×IÛkâ.ØÚ×9â.æÞyï}ØÚ×-ßÜgâ.î}îê{Ý;×-ÛÜÙ @ :#iâ.ß}ãOÛÙÚÙyßóÃÕÖï} Û +OÝ;Ûg߁ÙyÜè ×-ê;ê ëã}×kà'ß}×-ãó
g×ß}á-× - 2 ,
.- 0 -
ó 2

7

ÐbÏ.Ð !} Ï#% ʉÉ98 ƒúyù!*@/2=ù-,y÷kø3:68- ø@íü{úíö (;ø@,( (;ø}ù ùBù!|ý;ö2(‰öIù!,|÷(ÂüA3yþùB?6.mö-û÷4ø (;ø@,-( :868-
,|þ}ú:C6. 2 - $ /2 ,íü‰üEDF.G 2 B %5Hø}û|ö (;ø}ù-
,ùi×:=ï}Ý;ñyâ.ê;×-߁á-×=á-ê‰â.ÛÛ×-Û %

)Iù!*¨Üë2òæ×-׃Þyækâ.Ø_ØOâæÜÖ}Ý;ÛÝ;ÛÛÜkâ.Ü×ã â.Û ò2Ù|ê;ê{Ù.èÛ

 

 : #



Ô / ::6-10 Î( Í   

  

  A: #    : #

Í: 

   : # ;

ݪò

:C6. 2 -10 

èÖ}×-æ×

:    A: # ; .  :  ! A: # ;  :  !  : # ; .  : #"%$" iã}Ù×-Û×-ñy×ß»Ö}Ùyê;ãÚÝ ò @   : #
?@  A:V#-.žâíá-Üê;ìó6ißO×:}â.á-ÜÜæ×âíÜØ_×ߨÜÝ;Û îbÙ|ÛÛÝ{çê{× çì_ï}Û×=Ù.ò× žâíá-Ügç'×-ÖbâñÝ;ÙyæÙíò O×æÞy×ÛÙyæÜó Ä×9Ù|ç}Ü4âíÝ;ß


F$ GH?G ##L. 0 ?
AG?I#$# . C  I 4
G+C I 

F



I C
 G? G+C=    

ç'×-áâ.ïÛ×

 AG?I#$#".  GH? AG+C I#  2#

Ý;ß}á-×
F GH?I#ã}Ù×-ÛiÙyß}ê;ìNã}×îb×-߁ã»ÙyßOÜց×Iê;×-ß}ÞyÜÖ»Ù.òÜÖ}׃â.æækâì_ï}߁ã}×-ægáÙyß}ÛÝ{ã×-æ4âíÜÝ;Ùy߁è¾× èæÝ;Ü× âíÞ¨íâ Ý{ß7*3. I 4 G+C Iâ.ß}ãOÙyçÜ4â.Ý;ß


F #  . 0?
FA*#  .   C A * "   C
F  *2#

ÕÖ}Ý;Ûáâíß ç'×=ÛÙ|ê{ñ|×-ã»â.ß}ãOè ×iàbßbâ.ê;ê;ìNÞy×Ü


FA*#".

Ê



0

C ‰ê;ã *   C A* 4 # R 

(=Ô!   ¾Ð'Ï.ÎNÐ / $&žÓíÒÏ -Ô 8=Ï.ÐÓ}Ñ+ÒÏ  "i×-ß}Ù|ÜÝ;ß}Þgçì 8  : 2# 9:86.- ÜÖ}×ÜÝ{ØÚ×ï}Û×-ãNÜÙ=îb×-æò2ÙyæØB+. : #èÝ;ÜÖ}Ù|ï}ÜÜ4â Ý;ß}ÞiÝ{ßÜÙ9â.áá-Ùyï}ßÜ 




Üց×9æ×-á-ï}æÛÝ;ñy׃áâíê{ê;Û è¾×=Öbâñ|× AA:

#".98A: #HC



# $



:#

K% # % 4}Ù|æ âíê;ê : ?:V?6-fè¾×NèæÝ;Ü×3:  :VÂÙyæ=×:=ï}Ý;ñyâ.ê;×-ßÜê;ì :V : #iݪò : 
:VIâ.ß}ã 8 A: # 8 :V #-ó )Iù!* (;ø}ùþ3: : VNý0 bü;ý‰ù-öAA: # A :V # % =Ï.ÐÐ0/1  ×-Ü": 68- $ âíß}ã :V6-@D }óÄ×Ãî}æÙ.ñ|×¾ÜÖ}×¾ÜÖ}×-Ù|æ×-Ø ç¨ì=ã}Ù|ï}ç}ê;× Ý{߁ã}ï}á-ÜÝ{Ù|ß

)

ÙyßOÜÖ}×=æ×-á-ïæÛÝ;Ù|ß»ã}×-î}ÜÖó

6Ü à'æÛÜiê;×-Ü D . }@ óHÄ×=î}æÙ.ñ|×9çìÚÝ{߁ã}ï}á-ÜÝ{Ù|ß_Ù|ß
ƒÜÖbâíÜÙyï}æá-ê‰âíÝ{Ø Ý{Û á-Ù|ææ×á-Üó

B



ôò +. @@ è¾×=Öbâñ|×



ôò 



$i×:Ügè B

 ;

4Ùyæ

 :6 2#".

8  :6 #= 8A: V #". 

A: V # 

6 @@è¾×=ÙyçÜ4â.Ý;ß   : #". 8  : #= 8A:V#= 8 :V #C ×=á-Ùyß}ÛÝ;ã}×-æ D D’è¾×=ã}×-æÝ;ñy×

6



 *  



: V # . A  A:V#

@}ó



 : # . 8 A: # C



 : V # . 8 A: V # C



A

: #



A

: V #

         

âíß}ã

$# .#

8 ì ;Ý ß}ãï}á-ÜÝ;Ù|ß Ö ìîbÙ|ÜÖ}×-ÛÝ;ÛNÜÖ}×ÚÛï}ØmÝ;ß #ƒÝ;ۃÛØOâ.ê;ê;×-æ=ÜÖbâíß ÙyæN×>=¨ï'â.ê ÜÙÄÜց×_ÛïØ Ý;ß # #-ó'Ý;ß}á× 8  : #= 8  :V #2è ×9Þ|×-Ü   :6 2# AA: V #




ù  ,  K% 8 % ôò=è¾×ÚÖbâñy×7:6 : V â.߁ã : 8A :6 )#". 8 : V #-ó 8 ì×-ØÚØ â6}ó>iÜÖ}Ý;ÛÝ;Ø_î}ê;Ý;×-Û

V 



:6 ÷-,.üÂüA9(ý0dù1*3yþ@(|þ}ý‰÷-,.ü > (;ø}ùþ 

A: #". Ø â   A  @@#




          

ôßÄÜÖ}׃ò2Ùyê;ê;Ù.èÝ;ß}ÞN×:}â.ØÚî}ê;×-ÛgÜÖ}×_áÙyß}ÛÜ4â.ßÜÛ

‰ÛÙyï}æá-×# á-Ùã}×IÙ.òÜÖ}×Bæ×-á-ïæÛÝ;ñ|×Iî}æÙá-×ã}ï}æ×Ûó

8 0  8  8 V â.ß}ã 8 

âíæ×Nã}×æÝ;ñy×-ãéòæÙyØ ÜÖ}×

"!, bü;ù$#&% 8¾×-áâ.ï}Û×IÙ.ò×-ØOâ.æ ;}ó>ÜÖ}× b4 âíá-ÜÙ|æ݉â.ê$iï}ØNç'×-æÛâ.æ×9ê;Ùáâíê{ê;ìƒÜÝ;Ø_×`ë…ØÚÙyß}Ùíë ÜÙ|ß}Ý;áâ.êó ôß»â.ãã}Ý;ÜÝ;Ùyß|è ×9Þ|×-Ü . 8 0K? AA*# . 8  CAA*B4 #

O×-ßÜÝ{Ù|ß}Ý;ß}ރæ×-á-ã×-î' * #". *»è ×=ã}×-æÝ;ñ|× A#@#

AA*#".

8 0"C




%




0

8 N. 8 0"C *B2#8  

"!, bü;ù 8 % ôܾÝ;Û ×â.ÛìNÜكÛ×-×=ÜÖbâ.Ü ÜÖ}×64+Ý{ç'Ùyß'â.á-á-Ý$iï}ØNç'×-æÛ¾âíæ×=ê;Ùáâ.ê;ê;ìIÜÝ;ØÚ×kë…ØÚÙyß}Ù|ÜÙíë ß}Ý;áâíê…ó ôß»â.ãã}Ý;ÜÝ;Ùyß|è ×9ã×-æÝ;ñy× . A #".98 0 ? AA*# . 8  CAA*B4  #C AA* 4 # ÕÖï}Û ò2Ù|æ*7;  AA * #". .:  * #8 0 C  .:  * # 4 #8  ? èÖ}×-æ×. :  * #ã×-ß}ÙyÜ×-ÛgÜÖ}×+'* ÜÖ4+Ý;çbÙ|ßbâ.á-áÝ?$gïØNçb×-æó "!, bü;ùD9% ôÜNÜï}æß}ÛNÙyïÜNÜÖbâíÜNÜÖ}×6gá- |×-æØOâ.ß}ß A#@#

4}ï}߁á-ÜÝ;Ùyß Ý;Û»þ@(Bê{Ùáâíê;ê{ì âíß}ã þ( Þyê;Ù|çbâ.ê;ê;ì_ÜÝ{ØÚ×këØ_Ùy߁ÙyÜÙ|ß}Ý;áâ.ê'Âákò4ó'HÝ;×-Þ|×-ægâ.ß}ã8 ê;Ý{×çb×-æÞy×-æ3 "##ó_Õց׃ò2Ùyê;ê;Ù.èÝ;ß}ÞNÞyÝ;ñy×Û âƒÛÝ;ØÚî}ê;×á-Ùyï}ßÜ×-æë:× }â.ØÚî}ê;×yó  ×-Ü AG ?I #. $@? #9âíß}ã AG V&?IV #. H? #ó8¾×-áâ.ï}Û× Ùíògæ×-áã}×-î'$@? ##+. 1" . æ×á-ã}×-' î $? #$#=â.ß}ã  ò2Ùyædâíê;ê 
  
    : 
   ôß»â.ãã}Ý;ÜÝ;Ùyß|è × âíæ×dâíç}ê;×gÜÙNÛÖ}Ù.è ÜÖbâíÜ

. 80 AA*# 8 C=*)8 V C A   A* "  # C A   A* 1# A #

ÕÖ}×?U U»ÙyæÝ;ÞyÝ;ßbâ.Ü×-Û=ò2æÙyØ Üց×Nò…âíá-ÜIÜÖ'â.܃è¾×Náâíß Ù|ß}ê;ì»àb߁ã â.ß ï î}îb×ædç'Ùyï}߁ãÄò2Ù|æIÜÖ}× ßï}ØNç'×-æ¾ÙíòÝ;Ü×-ækâ.ÜÝ;Ù|ß}ÛÙ.òÜÖ}×=ã}Ý;Ûá-æ×-Ü×Iê;ÙÙyîUò2æÙ|ØYê{Ý;ß}×3BÜÙ9@iÝ;ß 4+Ý;Þyï}æ× yóÕÖ× âíçbÙ.ñ|× æ×á-ï}ææ×-ß}á-×Næ×-ê‰â.ÜÝ{Ù|ß_áâíßOçb×IÛÙyê;ñy×ã âíß}ã_è ×=àbß'â.ê;ê;ìdÞ|×-Ü AA*#

*)8 0 C  *54  #8 -C
*B4

 Ê}Ï Î ¨Ï

  ,  C=*=‰ê;ã* 

8V

Ð'Ï    Ô  

(bÓ

ÕÖ}×=Üց×-Ùyæ×-ÜÝ;áâíêæ×Ûï}ê;ÜÛiÙ.ò 
  
    : 
  

  /+Äý;ö  *3yþ@|þ@(|þ}ý‰÷-,.ü > (;ø}ù
/2íü‰ü %,(ý0yþNø.ü{úíö   A: #= 8   : #C 
ØO â   
 
$
    # 

)



 ʉÉ










=Ï.ÐÐ0/1 8 ìOã}×kàbß}Ý;ÜÝ{Ù|ß

 




%     8 #C     A  #  

A:  "# .

Ø â



èÖ}Ý;ákÖOáâ.ßOç'×9×ÛÜÝ;ØOâ.Ü×ã çì





8   : #C

A:   #



8   : #C





. 8   :  # C

. 8   :  # C


Ø %  â     $     A  #   Ø â  A B@# Ø  â    
% 
     ' 
%  
    Ø  â       #
%  
      ' 
Ø  â    
 

    #  



  /+Äý;ö *3yþ@|þ@(|þ}ý‰÷-,.ü > (;ø}ù
/2íü‰ü %,(ý0yþNø.ü{úíö
  : #=   : #C  Ø  â      Ø
â 
   #




)



 Ê 












=Ï.ÐÐ0/1 ÕÖ}×î}æÙ¨ÙíòåÝ;ÛÛïî}î}æ×ÛÛ×ã_ÛÝ;ß}á×Ý{ÜÝ;Ûñy×-æìdÛÝ;Ø_Ý;ê‰â.æ'ÜÙIÜÖ}×¾îæÙÙ.òÙ.ò×-ØÚØ â9&}ó>yó



)Iù!*Nâ.ß}ã ×-ØÚØ â.Û "bó>_âíß}ã }ó> Në ñy×æÛÝ;Ù|ß}ÛÙ.ò:  D? -? $? "D? 9D? &?  -? ! -?  ? @ ? K? :2?  ;  >:  D?  -? $? "D? D? &?  -? ! -?  ?  @ ? @ ? 2?  ;  :> D?  -?  ? " ? ? &?  -? ! -?  ?  @ ? @ ?  ?  ;  >:  D?  -?  ? " D? D? &-?  -? ! -?  ?  @ ?  ?   ?  ;  >:  D?  -?  ? " D?  ? &?  -? ! -?  ?  @ ?  ?   ?   ;  >:  D?  -?  ? " D?  ? & ?  -? ! -?  ?  @ ?  ?   ?   ; g×æ×=è¾×iÞy×-ÜA  V #".   8 0  C "  8 C #8 V èցÝ{ákÖÚî}æÙ.ñ|×-Û¾ÜÖbâ.Üiï}Ý;á- ¨ÛÙyæܾÝ;Û ß}ÙyÜ ê;Ù¨áâ.ê;ê;ì â.߁ã ß}Ù|ÜgÞ|ê{Ù|çbâ.ê;ê;ì_ÜÝ;Ø_×këØ_Ù|ß}Ù.ÜÙ|ß}Ý;áâ.ê |çb×-áâ.ï}Û×  L  V è Ùyïê{ãoÝ{ØÚî}ê;ì A  -#. A V # ‰á`ò4ó ×-Ø âíæ ;}ó dâíß}ã×-ØOâ.æ$ ó  #-ó $iÙ.è }Ø âíî}î}Ý;ß}ރÝ;ß}î}ï}Ü=â.æækâìÛgÙ.òiï}Ý;á- ÛÙyæÜgÜÙ_Üց×-Ý;ægê;×-ß}Þ|ÜÖ»çì  : #Rn . ÛÝ 1× : #. *  è ×9Ù|ç}Ü4âíÝ;ß âBîbâ.ækâ.Ø_×Ü×-æ Ûîbâíá-×IØÚÙyæîÖ}Ý;ÛØ ó'ôÜÝ;Û ×â.Ûì_ÜكÛ××IÜÖbâíÜæ×-áã}×-î  * # . * 4  




  > 
  
    : 
  

 @

#

 *# .



.D4 @?* 4 D 6 ?

$



 â.߁ã iï}Ý;á- ÛÙ|æÜÝ;Û Në…ØÚÙyß}Ù|ÜÙ|ß}Ý;áâ.êó + ê;×âíæê;ì  è¾×ƒÖbâñy× 8  *# .  * 4 #8 C 8 V óƒôßÄÙyæã}×-æIÜÙ Û×-×_ÜÖbâ.Ü iï}Ý;á- ÛÙyæÜIÝ;Û=ß}ÙyÜ ê;Ùáâ.ê;ê;ì NëÜÝ;Ø_×këØ_Ù|ß}ÙyÜÙyß}Ý;áâíêá-Ù|ß}ÛÝ;ã}×-æR* . Iâ.ß}ã7* V . &ó 2 çñÝ;Ùyï}Ûê{ì * S * V |ç}ï}Ü Üց×gã}Ý;æ×á-ܾÛï}á-á-×ÛÛÙ|æÛiÙ.ò * Ý;ß}á-ê;ï}ã}× .?D#Ý y×yó âíæ4â.ØÚ×-Ü×æIÛîbâíá-×NØ_Ù|æî}ցÝ{ÛØ_Ûgâíæ×Nï}Û×kò2ï}ê

B

Õց׻ò2ïß}á-ÜÝ;Ù|ß \èÝ;ê;êgïÛïbâíê{ê;ì ã}×-î'×-ß}ãnÙyß ÜÖ}×éÛÝ 1-×éÙ.òdê;Ùáâíê{ê;ì ã}×-á-ê‰â.æ×-ãnÙyçyõ`×-á-ÜÛó Õ ìî}Ý;áâ.

ê UyÛÝ 1×-ÛPUÚÙyæÝ;Þ|Ý{ß'â.Ü×=Ý;ßOÜÖ}×Bê{×ß}ÞyÜÖ»Ù.ò¾â.ææ4âìÛÙyæiÜÖ}×BÛÝ 1-×IÙíò’Üè Ù.ëã}Ý;Ø_×ß}ÛÝ;Ùyß'â.ê âíæækâì¨ Û }â.ß}ãOÛÙdÙ|ß ó g×-߁á-×=è¾×=áâíß >× ¨î'×-á-Ü  ÜÙdç'×IâIî'Ùyê;ìß}ÙyØÚ݉â.ê|ò2ï}ß}áÜÝ;ÙyßUò2æÙ|Ø  ÜÙ Äó B

B

Õց×_òï}ß}á-ÜÝ{Ù|ß=8éèÝ;ê;ê¾ïÛïbâíê{ê;ìéã}×-î'×-ß}ã Ù|ßÄÜÖ}×Oßï}ØNç'×-æIÙíò9Ý;Ü×-ækâ.ÜÝ{Ù|ß}ۃÙ.ògÜÖ× ê;ÙÙyîÛ èÝ;ÜÖ}Ý;ß ÜÖ}×éá-Ùã}×»Ù.òIÜÖ}×»ï}ß}ã×-æê;ìÝ;ß}ÞÄæ×-áï}æÛÝ{ñ|×Äî}æÙá-×ã}ï}æ×|ó 6iÞ¨â.Ý;ß è ×O×:îb×-áÜ8 ÜÙ ç'× â ò2ïß}á-ÜÝ;Ù|ß ò2æÙ|Ø  Ü< Ù  ‰Ùyæ  # ÛÝ;ß}á-× ÜÖ}× ß¨ïØNçb×-æoÙ.òNÝ{Ü×-æ4âíÜÝ;Ùy߁ۻáâ.ß ïÛïbâíê{ê;ìNç'×=:× î}æ×-ÛÛ×-ãoÝ{ßÚÜ×-æØ_Û Ù.ò *
â.ß}ã ‰ê;ã *#
òÙyæÃò2Ùyæë…ê;ÙÙyî}Û â.ß}ãÚã}Ý;Ûá-æ×-Ü×Iê;ÙÙyîÛ Âákò4.ó 08 ê{Ý;×-ç'×-æÞy×-3 æ :"##1}æ×Ûî'×-á-ÜÝ;ñ|×-ê;ì¨ó

ï}ØÚØ_Ý;ß}ރï}îïÛïbâíê{ê;ì  â.߁ã 8éâ.æ׃ò2ï}ß}á-ÜÝ;Ùyß}Ûiò2æÙyØ  ÜÙ. ‰Ù|æ &#ódÕÖï}ÛBÙyß}׃áâ.ß ÛïÛî'×-á-ÜgÜÖbâ.Ü â=Ø_Ù|æî}Ö}Ý;ÛØnò2æÙyØ - Ü Ù  èÝ;ê;ê}ç'×gÖ}×-ê;îòï}êbÝ;ßNã}×Ü×-æØ_Ý;ß}Ý;ß}ÞIÜÖ}×gÛîbâ.á-×Iâíß}ã ÜÝ;ØÚ×gç'×-ÖbâñÝ;Ùyæó


          



)

Ê=Ï.Ð
bÏ ÄÔ2Í


Í
'Ò(
 Ë  Ò('

8 ×kò2Ùyæ×=è¾×=ã}Ý;Ûáï}ÛÛã}×Ü4â.Ý;ê;Û Ù.òÖÙ.è ‰æ×â.êªëÜÝ;Ø_×#’î}æÙ|Þyæ4âíØ_ØÚÝ{߁Þgê‰â.ß}Þ|ïbâ.Þ|×-Û¾âíæ×=Ý;ß Cbï}×-߁á-×-ã çìNÙyï}æ î}æ×-ñÝ{Ù|ï}Û æ×-Ûï}ê;Üہ è¾×iæ×-ÛÜ4âíÜ×IÕÖ}×Ùyæ×Ø_Û
"bó Iâ.߁ã }ó>Ý;ß_âBèŽâìNØÚÙyæ×Ûï}Ý;Ü4âíç}ê;×ÜÙ î}æÙyÞyækâ.ØÚØ_Ý;ß}Þgê‰âíß}ÞyïbâíÞy×iÝ{ÛÛï}×Ûó

)Iù!*+Ö}Ù.è ×-ñy×-æ è¾×ÚÖbâñy×@ #&    #=òÙyædâíê{ê     ó 6 Ûê;Ý{Þ|ÖÜ Ø_Ùã}ݪàbáâ.ÜÝ;Ù|ß Ùíò  ×Ø_Ø â "'ó UÛÖ}Ù.èÛNÜÖbâ.ÜNÝ;ß ÜÖ}Ý;ÛNáâ.Û×
F@@#8
F  #BÜÙÙbó  Õ Öï}ÛNÜÖ}× Üց×-Ùyæ×-ØfÝ;Û¾î}æÙ.ñy×-ã+ó

( ÐbÏ (;ø}ùþ 

A

Ê

 /9(;ø}ù3@,$,ƒù(ùƒöH@,y÷kù/,


?  #-.  Ø â  

A :

ùk÷ûkö-ýù&÷kù4ú|ûùOý;öA(H(H,.ü‰ü@ ú|ùù4ú

#". A    #

=Ï.ÐÐ0/1 ôßOá-Ù|ßõkï}ß}áÜÝ;ÙyßOèÝ;ÜÖOÕÖ}×-Ù|æ×-Ø } ó>iÝ;ܾæ×-Ø âíÝ{߁۾ÜÙNÛÖ}Ù.è ÜÖbâíÜ



Ø â A  @@#".   #

 

>


  > 
  
    : 
   8 ×-áâ.ïÛ×»Ùíò i " ×kàbß}Ý;ÜÝ{Ù|ß   ó Ö}Ù.è ×-ñy×-æ NÛÖ}Ù.èÛNÜÖbâ.ÜBÝ{ß ÜÖ}Ý;ۃáâ.Û×A@@#    #BÜÙÙbóéÕÖï}ۃÜÖ}× Üց×-Ùyæ×-ØfÝ;Û¾î}æÙ.ñy×-ã+ó

2 çñÝ{Ù|ï}Ûê;ì Nëñy×-æÛÝ;Ùy߁ÛgÙ.òÜÖ}×Û׃ÜÖ}×-Ù|æ×-ØÚÛáâ.ß»âíê{ÛÙdç'×=î}æÙ.ñ|×-ãó ô ò9- Ý{ÛÃÜÙyÜkâ.ê;ê;ìIÙyæã}×-æ×-ãè ×9â.ÛÛï}ØÚ×ÜÖbâíÜi  Ý{Ûñyâíê;Ý{ã+ó  ×-ß}á-×Nè ×Iã}ÙÚß}ÙyÜ=ß}×-×ã âíߨìOæï}ßÜÝ;Ø_×=ákÖ}×-á- Û=×:á-×-î}ÜIÜ×-ÛÜÝ;ß}ÞOÜÖ}×Iæ×-á-ï}æÛÝ;ÙyßÄã×-î}ÜÖéÝ;ß i Ùyæã}×-æiÜكÞyïbâíæ4â.ßÜ×-×IÜց×9ïî}îb×ægç'Ùyï}ß}ãOÙíòÜց×IÛîbâíá-×Iç'×-ÖbâñÝ;Ùyæ&‰ ákòkó}ÕÖ}×-Ù|æ×-Ø } ó> -# ó Ê Ê



'Ó*( 
ÔÐ'Ï }ͨÖ'â.ï}ÛÜÝ;ñy×I×ߨïØ_×-ækâ.ÜÝ;Ù|ß_Ù.ò× ¨ÜiÜÙÚîb×-æò2ÙyæØ ákÖ}×--á Û=Ù.ò¾ê;Ùáâíêî}æÙyî'×-æÜÝ{×ÛIÛÝ;ß}á-× Þyê;Ù|çbâ.ê|î}æÙ|îb×-æÜÝ;×-ÛáâíßdÙ|ß}ê;ì9ç'× 
  
    : 
   ø}ùk÷yýÂþyÿA$/=ü ÷-,.ü(ý0ƒù7-}ù 2(2ýÂù-ö&%.&,-,=98>.)/8;) .&,19)$W.&,99,-? G m5(20|
(3 %. -6., %.(8=
1. 1.5-(67"6=1.
4½
(-„-
6%. 0y
('5k:b(
0. -6.*

6„5-¼y
(2-

5-6.}

6=&'


„-1Â 0.- -6.*
, 2(

7i˜}š‡‘‹2‡Œ{–;™2Š`# › ‘ˆí•Œ‰‡$ ‹ y™–{‡y™2‡}-  1 B-k) B.- J2C1B.7 %(-,.g355*1& 7 ('*)‡™Œ;¤…‘4‹–{‡.Œ‰‡«N«-‡¡– ™k,  +'– Œ;šdŠˆˆ.› –;™2Š`Œ{–‰‘.¡7»3
.6 -- 

06 //›'%. 

6.„k
,.&'55( , ›'

Â- ›')9;ƒ©+‡2Šk›}˜– ‡>.¢k¡Œ‰‡ ¡>.¢kˆ.‘¡– •¾-¼.„-
@Ky 6.)%.

6
À-J2CR.7yÁ0E E E /'(2
27 ) 5k2

%. $ 7'8=52Gy'/}7})+ 
(-2

6.„1.
-y8ƒ7s›'1.
6}-6., $ 7}-6



(2

½k-7 E'½k- %.-

6.„2

„-1