Zur konstruktiven Behandlung von Aufgaben aus der ...

download unter www.biologiezentrum.at F r ö h l i c h , Behandlung der darstellenden Geometrie.

43

Zur konstruktiven Behandlung von Aufgaben aus der nichteuklidischen Geometrie der Ebene mit Methoden der darstellenden Geometrie. Von W

F röh lich in P rag. Einleitung.

A u s der darstellenden Geom etrie sind viele Beispiele von planim etrischen A u fgaben bekannt, w elche durch stereom etri­ sche Betrachtungen konstruktiv bequem zugänglich werden. D ie H eranziehung einer höheren Dim ension kann auch fü r nicht­ euklidische K onstruktionen von V orteil sein. E s sollen im F o l­ genden für die konstruktive Behandlung von A u fgaben aus der hyperbolischen Geom etrie der Ebene mit Zuhilfenahm e des pro­ jektiven R aum es zwei Methoden entw ickelt werden, denen w ir die Nam en P r o j e k t i o n s m e t h o d e und z y k l o g r a p h i s c h e M e t h o d e geben. Anschließend sollen einige Bem erkun­ gen über die elliptische Geom etrie der E bene und über die Geo­ metrie auf der K u gel folgen. Um die hyperbolischen Konstruktionen in einer festen Ebene jt, zu vereinfachen, w ird die Fundam entalkurve 1) gew öhn­ lich als K re is K angenommen. A lle anderen F älle lasser sich ja m ittels (perspektiver) Kollineationen auf diesen F a ll zurück­ führen. U m mit den verschiedenen Bezeichnungen, die im L au fe der Zeit üblich gew orden sind, keine Schw ierigkeiten zu haben, geben w ir jetzt eine E rk lä ru n g aller Nam en, die w ir verwenden w o lle n : Die G esam theit aller Punkte der projektiven Ebene w ird im Sinne der hyperbolischen Geom etrie in e i g e n t l i c h e P u n k ­ t e , R a n d p u n k t e und U b e r p u n k t e e in g e te ilt2), je nach ihrer L a g e im Innern von K , auf K und außerhalb von K . Von den hyperbolischen K reisen gibt es zwei A rte n : D ie E n t f e r ­ n u n g s k r e i s e , w elche als O rt aller Punkte konstanten hyper­ bolischen A bstan d es von einem festen Punkte definiert werden, 1 ) Diese Bezeichnung findet sich z. B. in dem Lehrbuch von F Klein, Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, auf Seite 174. Dieses Buch ist als Band X X V I der Grundlehren der math. W issen­ schaften erschienen und wird im folgenden mit F. K . zitiert werden. 2) In dem Lehrbuch von H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 1923.

download www.biologiezentrum.at Lotos unter Prag 85; 1937.

44

und die W i n k e 1 k r e i s e 3), die als E in h ü l­ lende aller Geraden erklärt werden, w elche eine feste Gerade unter einem konstanten hyperboli­ schen W inkel schneiden. D ie E n tfern u n gskreise selbst werden als eigentliche K reise, H orozykeln oder H yp erzykeln bezeichnet, je nachdem ob der hyperbolische M ittelpunkt ein eigentlicher Punkt, ein R andpunkt oder ein Ü berpunkt ist. D ie W in ­ kelkreise (F ig . i) bestehen nur aus R an d- und U berpunkten, aber die Tangenten der W in kel­ kreise gehen durch das Innere von K . § i. D ie Projektionsm ethode. D ie ebenen Schnitte einer durch K gehenden Fläche zweiten G rades projizieren sich in hyperbolische K reise von n, wenn das Projektionszentrum der Pol von n bezüglich (P- ist. E s folgt dies aus der T atsache, daß jeder hyperbolische K re is von K (reell oder im aginär) doppelt berührt w ird. Nehmen w ir insbesondere eine K u g el < fü r w elche K ein Großkreis ist, so erhalten w ir die E n tfern u n gskreise als orthogonale Projektionen der gewöhnlichen K u g elk reise auf t t . Nehmen w ir noch ein gleich seitiges D reh­ hyperboloid dazu, fü r w elches K der K eh lkreis ist, so erschei­ nen die W inkelkreise als orthogonale Projektionen der ebenen Schnitte von