Jul 17, 2006 ... tool in Cohen's proof is a combinatorial characterization of modular forms in two
variables. In this paper, we extend Cohen's combinatorial.
! ! " # !$ ! % ! % & " ! #
! " # $ # % & $ # ! " # ' " ( ) * + ) * + ( $ , - " ) * + ! $ $! *.+
*
+ * + )
* / +
/ /
/ /
) ½½ ½½ ¾¾ ¾¾ 0' * + - ! $ , -
'((( ) *! + ,,-.(/ 0 + ,,-1,/ ,,-.. # 2 3# 4 ! ""+ 3 0 + - (,5'((65(((5,,.785( 0 !90 + # 0! 3"+ ,:/ '((8/ 0 ! 9!0 % !" ,,/ '((:
! "! !#$ % %% %&'' () *+,- . ./) 0-1*0 1-,1-*.2 02 -*
122
123
" ) * + ) * + ! *4+ * + * + ) * / + " 4
*5+
/ /
/ /
/
/ ) 0' * + ! * + * + ) " 4 * /4 + ½ ½ ½ ½
/
¾ ¾ ¾ ¾
* / / / / + ) * +
6 *.+! *4+ *5+ 7 8 ! 8 $ " 0' * + $ $ ! , *.+ # , *4+ *5+ -
! - $ $! 9 % 0$ & (
# ' , 0 ) * +! ) * +! . ) : * + )
4 ) )
) . 4 ! ; ) 8* / .+! 8*+ 9 - ! < , ½ ¾ + * + *1+ < * + ) *.+ ½ * +;* *+;* / .+;* / .+; ½ ¾
12=
-); <
7 $ $ # > ! " 7 44 #
' !
)
0' * +
*9.+ *94+ ,
*9.+,
* +
< ) * / + " 1 < *
@ .
*
+ * @ @+
) * @ @+?
*
+
* +)*@ + ) @
½½ ¾¾
½ ¾ ½ ¾
½¾ ¾½ ½
¾ ½ ¾
½ ¾
¾
+?
½ ¾ ½ ¾
*94+,
* + ) * +
* + ) * + *.+ *4+ ,
12:
*.+,
* +
< * / / + ) " 1 * / 4 + < *
*
+ @ .
* @ @+
) * @ @+?
*
+
* + * + ) @
½½ ¾¾
½ ¾ ½ ¾ ½
¾
½¾ ¾½ ½
¾
½
¾
+?
* ½ ¾
½
¾
+ * + ) @
*4+, * + *
+ ) *
+
0' * + * + *9.+ *.+ 0' * + * +
! " . A *9.+ *.+ - " ! *
*
+ ) * + + ) /
*
. * + / + ) 1
*94+ *4+ 6 , *.+ *9.+ * +! *9.+ *
+! *.+ * + *.+ *
+! *9.+ *
+ *.+ *
+ ) ) @
12B
-); <
*4+ *9.+ *
+! *9.+ *
+! *.+ *
+ *.+ *
+! *9.+ * + *.+ * + ) @ *5+ *9.+ * +! *9.+ *
+! *.+ * + *.+ *
+! *9.+ *
+ *.+ *
+ ) ) ) ) ) @ ) . ! *9.+ *.+ ! * + ) * +! *9.+ *
+ *.+ *
+ *9.+ * +! *9.+ *
+! *.+ * + *.+ *
+
#
(" " ' ! - $ ,
0' * +
() ) ,
½ ½ ½ ½
¾ ¾ ¾ ¾
* + * + ) * +
*2+
) * + ) * + #
*3+ C* + )
½ ¾
½½ ¾¾ * + * +;* +;* / .+;*
½
/ .+;
¾
) * +
) :
*=+ C
)
) .4
) . 4
½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾
* / +
" 4
*
/ 1 + /
C
* +
13@
$ ' ) * + /
*:+
½½ ¾¾ * +
)
½ ¾ ¾¼
*
+
* +; * +;
/ .
:
/
½ ½ ¾ ¾ * +* + $ * + @ ) . 4 *:+ *=+ ! " 4 *.+ D . "
, ! 4 *4+ ' # 7 *2+ 0' * + $ Æ ½ ¾ C * +C * + " E > # -
E > # ! *
A 7 . *94+ 7 *9.+ * + D . $ ) ) ! ) ) ! ) ) ! ) ) ! ) ) ! *9.+ *
+ *9.+ *
+ ! *9.+ F , *B+
*
+)
* + * +
7 " * @ @+
@ - @ . * ½½ ¾¾
½ ¾ ½ ¾ +* @ @+ ) @
A ( * ½ ½ +* + ) @ ! $ 0
13.
-); <
) @ *9.+ * + * + ) @ 0 * ½ ½ +* + ) @ ( *9.+ * + *9.+ *
+!
*.@+
* ½
½
+* + ) *.+ ½ * +* +
/ ½ ¾ * + / ½ ¾ * +* + )
½ ¾ ¾¼
½ ¾ * +
· ·
½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾
¾
" 4
! *9.+ * +! * +
*.+ )
* ½ ¾ + * + * +;* +;* / .+;* / .+; ½ ¾ . * + * + * +;* +;* / .+;* / .+; ½ ¾
@ )
½
! @ ) * +* + ) * ½ ½ +* + 7 *9.+ *
+
*9.+ *
+ * ½½ ¾¾
½ ¾ ½ ¾ +* @ @+ ) @ ! @ . ( *94+ 7 *.+ *4+
E%-%E%A %0 # !/ / ) # / 7. ,(, / / ""! ! ) # =,77?>/ ,:7 ,?8 #/
/ !
/ 3 ) # / !@/ ,7::
134
) ! #" 0
