A Fast Algorithm on Average for All-Against-All

0 downloads 0 Views 166KB Size Report
Ricardo A. Baeza-Yates. Depto. de Ciencias de la Computaciion. Universidad de Chile. Casilla 2777, Santiago, Chile. Gaston H. Gonnet. Swiss Federal Institute ...
      ! 

"#$ %&"# (')+*-,./10 23/4% 5 6)798!:=?A@CBD):FEHGI:7V:XN=EYV:ZT?\[]Q3^RM%:_8>7HF`? W aW7VbXE!;>Nc79=:X=d=EUTe7fYVE T:XN7fYgYV:dhji\iFi_kmlX:FW&Mn7V:\oF?Rk+Te7fYpE

lXs79N%NtuEO=E!;v:#Yw WN Mn7VM%^RMSEx?#yzE#8veRWR?™Ÿ’‘š> ”#•v’f—n“¡›Ž¢“£O¤n“ –¥ £#–n\– “¢—›vœ •U¦ž•!V•!¤L•>“ – ›Ž¢)š!– § \–Sg’V“ –¥ £#–n\– “S¨ª©X#–)•v™«šž›>— ’V¬Iœ­“’fœ£I™‘•žp–n“‘œ’V¯”\—›Lš>—L•>œœ’fHš•>™Ÿ’‘š>#œ)– \u•v™ š!›v—n’V‘Oœ›v°v–n—2•“£ ¢§ ±&² •>— —L•>®³›Ž¢¬#–¦!•žp•ž¤•v“ –v¨´¡–R”F—L›>°S’V¦!–+•¦!–Sp•v’g™‘–¦.•v°v– —•Sš!– L•>“ –•v\•>™Ÿ®v“’f“.˜3O’VL-“ސý#èÔÕ.è4؞ßIɬÓÛÕ ×FØvÛLÏmώÒIÛÕ ÕÎË͑Ì!ÇI͟ÖFÑ ÈžÇIÏ+Ð)È!ώÑÒIͬÇ#̞ÎH I ýKJ%ýIȞÇێɑé!ýÈ-ɟͬÇ#õCÝFÕ ÏËè4Õ Õ Ç]ÎŽÕ àIß#Õ ÇÛLώÕnÓÈvɬ؞Ç#Õ>ýHèÒ#ÕcÛLÕ È!ÎÔ϶ÒIÛLØ!ß#ÌžÒ ÏŽÒ#Õ.ζß#Ý#ΎÕnàHßێͬώÒ#Ð ÑnÈžÇ ÝFi Õ WµêŽê TVU¡ó Y%ó ͑ǼώÒێͬώÒ#Р͑Î2ÚVȞζÏ؞ÇxÈvûžÕÛȞÌ!Õvý3È!ÑÒIÍ‘Õ û!ͬÇ#ÌCÏÜ͑Ð)Õ WêŽê TQU¡6ó jCU ɑ؞ÌFê TQU¡ó¶óÚpØvÛ.ÛLÈ!Ç#Ó#ØžÐ­Î¶Õ àIß#Õ Ç#ÑnÕ Î ýèÒ#ÕcÛL? Õ k ͑Î)ÈÛÕ ÈvÉ+ÇIß#ÐÝFÕÛµÝFÕ ÏËè4Õ Õ ÇÞñÈ!Ç#l Ó POýÓ#Õ ×FÕ Ç#ÓIͬÇ#ÌU؞Ç]ώÒ#Õ ÎËͬÐ͟ɑÈ>ێͬÏËéUÐ)ȞÏË۶͟ô ê MËÇC×OÛLȞÑnÏË͑ÑnÕvNý kZÎŽÕ Õ Ð)ÎώØÝFÕ)ÝFÕ ÏËèÔÕnÕ Ç Fvæ m.ȞÇ#Q Ó F>oæ nÚpØvÛÔ϶Ò#Õ+Ñ Ø!Ð)Ð)؞Ç)âmÈvéHÒÊ ÏŽÕͬÇ#Î æŸó çÒIͬÎÇ#Õ èíÈvɬ̞Ø>ێ͑϶Ò#Ð~Ð)Ȟõ!Õ Î)ώÒ͑Ç#ζÏËÊËÈvÉ½É Ð)Ȟ϶ÑLÒO͑Ç#ÌxÚVÕnȞÎËͬÝIɑÕ>ý+ȞÇ#ÓAÒ#È!Î)Ý\ÕnÕ ÇAÛLßÚώÒ#Õ ÈvûvÈvͽɑȞÝOɑÕ×FÕ ×#ÏÜ͑Ó#ÕÓÚÔώÒÚ ÎŽÏÜÛL؞ÇÉVýFȞÇ#Ó×\Ø!ΎÎÜ͑ÝIɬé؞Çێ͑ÏËé!æ ä+؞϶Õ+϶Ò#ȞÏÈ>ɟɽÊ9È!̞ÈvͬÇ#ΎÏÜÊ9È>ɟÉ&Ð)È!ώÑÒI͑ÇL=QPR>S F `4ØžÎ¶Ï êL%óœì ñB < >L ŽRß#ζÒXêÆgL-ά !  Î ý4î Î å ­Î Y ­-Lò3ó5( J¼ØžÏ¶Ò#ÕÛLè4ͬΎÕώÒ#Õ.Ç#ØIÓ#Õ×#ÈvͽÛ͑Î+ÓO͑ΎÑnÈvÛLÓv wBxzy|{'T ~MU%„ „ V‰†w†v ‹#‡V‰†„ „…œ†‡‰ˆŠzv ‹#wµ†„ wª€yv ‡-Š…O~

è Ò#ÕÛLÕ ¹&ͬÎÈ)걿S´³F%ó © ê±¿S´˜FSóuÐ)ȞÏÜێͽôè4͑ώÒ-ÈvɽÉ&Õ ÇIÏËÛŽÍ¬Õ Î Õ àIß#ÈvÉώØSenÕÛLØÉVý.èÒI͑ÑÒ(Ò#È!Î؞Ç#Õ ÎnæçÒ#ÕxÐ)ÈvͬÇdÓO͑ȞÌ!؞Ç#È>É Í‘ÎÇIß#ÐÝ\ÕcÛLÕ Ó ñOý&×\Ø!ÎËͬÏË͑û!ÕÓIͬȞÌ!؞Ç#È>ɑÎÈ>ÛLÕȞÝFØvûžÕώÒ#Õ)Ð)È>Í‘Ç ÓI͑È!̞؞ÇÍ‘Ç ÓI͑È!̞؞ÇɑûžÕnÓÚpØvÛLÐ)È>ɟɬé)ÝHé ͑ώÕcÛLȞÏÜ͑Ø!Ç î«Nÿ Žuù n%ò&Ø!Ý#ώÈ>͑ÇIͬÇ#Ì ù  ê ÿI TU ó ¯ å   ÷ -å Á&å Ä Ö W Xê ÿcb¸¤ ô ó  ô è ç ô

çÒ#ÕÇ#Õô#Ï.ΎώÕn×XýX͑ÏmͬÎώØ-؞Ý#϶Èv͑ÇxώÒɑß#Õ vØ Ú T· êÑ&óæÔâmÕ Ñn؞Ð)×F؞ÎËͬÇ#Ì  ͬÇIώØm͑϶Îß#×#×FÕÛÔÇ#Ø>ÛLÐ)È>É_^!ØvÛÓ#ÈžÇ ÚVØvÛÐ$îp.ÈžÇ a_cò9ý#è4Õ.Ò#ÈvûžÕ U êÑ&óN¯

Y

î øô

¯”FE²[ZFE²

F

¤ ô\

²

Ñ ¤ ô

Z"FE²

F

¤ ô]\



î Á

 ¯a`cbd å ô Ó Y

ô

Ã

¥

î ø ô2e

ôfg

`

å  Á

ç

Ã

º

å ¯ ô

Ã

Y

û

î øô

Z ) ® \ h

ô Á º ç

ç Ò#Õ.Ñ ØžÇIû!ÕÛLÌ!Õ Ç#Ñ ÕØ>Ú ¥tº2͑Î+Ì!ß#ÈvÛȞÇIώÕnÕ ÓÝHé)϶Ò#ÕmÚVȞÑnÏώÒ#È!Ï ý ÚVØvÛ4Ö#ô#Õ ÓQÑxȞÇÛLÌ!ÕOûFý#è4Õ³ÒqÛ ¤¯ P-Ò#È!Î.ÈvɟÛÕ ÈžÓÍ‘Ç ¥ ¯lkêfɑØ!Ì Ö Ñ&‰ó Ñ9m1n:o òp ´Wê FSœó ­ Ã

à î



î øô

çÒ#Õ ÇXýFèÔÕ.Ò#Èvû!Õ.Ύß#Ð)Ð)È!ÏË͑Ø!Ç#ÎØvÚRώÒ#Õ2ÚVØvÛÐ

Iÿ Û؞ЭÒ#ÕÛÕͬÏ.͑Î.Õ È!Ύé Ï¶Ø؞Ý#϶ÈvÍ‘Ç Tx êÑ&óbÑ8óXÝIé Ñ ؞Ð)×ɑß#ÕÓ#Õ ×FÕ Ç#ÓO͑Ç#Ì Ø!ÇIÉ‘éªØžÇ h ý&ÈžÇæ¯÷H͑Ð͟ɬÈv۶ɑé!ý#ÚVØ>Û h ìÒF º k&êfÉ¬ØžÌ Ö Ñ&ó É‘ØžÌ Ö Ñ ¥tº ¯ Ñ m1n:o ò9p ´˜Wê±¥tº óœç Z Á&å \ ®có h MpÚ ¯»F>ý&èÔÕÒ#Èvû!O Õ ¥tºG¯èWêŽêgɑØ!Ì Ö Ñ&ó º ð åLóæçÒ#Õ ÇXýÚVØ>Û h ¹ h èÔÕ.ΎÕnÕώÒ#È!ÏώÒ#Õ.Ð)È>͑ÇØvÛÓ#Õ۳϶ÕÛLÐíØv8Ú T ¹ ê Ñ&óuͬΠÈr kª¹LêgɑØ!Ì Ö Ñ&óFêgÉ‘ØžÌ Ö Ñ&ó Áå Ñ m1n:o ò9p r ç çÒ#Õ ÒI̞ͬÒ#ÕcۆØvÛÓ#ÕÛ Ï¶ÕÛLЀØ>i Ú T ê Ñ&ó ͑ÎUÌ>͑û!Õ Ç¼ÝHé h å ¯ Ð)Èvô ¹ê ¨ h ¹ ¨ óc^ æ MËdž϶Ò#Õ Ñ È!Ύՠ϶Ò#ȞÏ)å ϶Ò#ÕÛՠͬÎÐ)ØvÛÕώÒ#È!dž Ø!Ç#Õ Õ͑Ì!Õ ÇIûvÈvɑßɑØ!̞؞ßÛLÓ]ûvÈvÉ‘ß Ú § ûvÈ>ÛŽÍ¬Õ Î)Ý\ÕcÊ ÏËèÔÕ Õn• Ç ²gnUÈžÇ¼Û §À¯ ²hF>Oæ s¯Í‘ÌžÒ%Ú kÞÈ>ÛLÕ ØžÝ#϶Èv͑Ç͑û!Õ ÎÈÛß#Ç#ÇIͬÇ#Ì õ ù ÏËͬÐ)Õ³Ø>Ú ÷Ö Á&å ‘\É¬ØžÌ Á ô ê TQU¡ó¶Wê¶ê TQUó m1n:o ò óç çÒ#ÕUȞÝFØvûžÕªØžÇIɬédÑ Ø!Ç#ÎËͬÓ#ÕÛÎCζÏËێͬÇ#̞Îxώҋ8yª†zyzyXË8†{Š(€|…œ†‡yv }K~

ØvÚ4͑Ïnæ¡çÒ#Õ)È>ɑÌ!ØvێͬώÒ#РͬώΎÕcɟڳè4ȞÎ2͑ÇIͬÏË͑È>ɟɬé ÓIÍ¬ÎŽÑ Øvû!ÕÛLÕ Ó]ÝIé ώÒ#Õ)Î¶Õ Ñ Ø!Ç#Ó È!ß#ώÒ#Ø>ÛȞÇ#Ӫ͑϶ÎÛÕ ÎŽßIɬώÎȞ×#×FÕ È>Û͑ÇÞîpq`Ed:_PnòËæ çÒ#؞ζÕÛLÕnΎßIɬώΠζÒ#Øvè­ÏŽÒ#Õx×IÛÈžÑ ÏÜÍ‘Ñ È>ɟ͑ÏËéáØvÚ϶Ò#ÕCÈ>ɑÌ!ØvێͬώÒ#РȞÇ#Ó϶Ò#Õ.ûvÈvɟͬÓI͑ÏËéØ>Ú3؞ßOÛ+ȞÇ#È>ɑéIÎËÍ¬Î æ ³ž Þ#žXC‰ ž Á  ‹ ž‡

èÒ#ÕÛLÕ Y

î øô

¯”FE²SP

Z

F

FE²

¤ ô]\

î ´

Z

FE²

F

¤ ô9\

Y î ç

ËÇC϶ÒI͑ÎÑ ÈžÎ¶ÕvýRώÒ#Õ)ÕÍ¬ÌžÕ ÇIûvÈ>ɑß#Õ Î)Ø>Ú  ÈvÛLÕ)ß͑Ç#ζÏËÊËÈvɽÉúÈ>ɑÌ!ØvÊ ÛŽÍ‘Ï¶Ò#Ðæ M



€

 Á ‹ —ŽÄ+ïŠÁ

¼Š&‰‚‡

î Æ³÷ _ªP%ò Ææ.Æ+×F؞ζώØ>ɟ͑ÑnØ(ȞÇ#Ó(ì(æ.÷>e ×#È!Ç#õžØvèζõžÍpæ ÷IÕɽÚfÊ Èvɽ͑Ì!Ç#Ð)Õ ÇIώÎͬdžè4ØvÛÓ#ÎȞÇ#Ó]ώÒ#ÕͽۡÈ!×#×IÉŸÍ¬Ñ ÈžÏÜ͑Ø!Ç#Î æ ƒF›v£I— \•>™3›¶¢+¹m™ š!›v— ’p‘Oœ“ ý F#R>Hmªmcn„>mcn!ðICý F(__POæ î dfqpù _ ò ….t æ d4ȞÕ e È>Ê f4ȞώÕnÎdÈ!Ç#Ó pæ si æ p2؞Ç#Ç#ÕnÏ æ Ð"\)Ê ÑÍ¬Õ ÇIÏC϶Õô#Ï¡Î¶Õ ÈvÛÑÒI͑Ç#ÌáØvÚÛLÕ Ì!ßIɑÈ>ÛCÕô#×IÛLÕnΎÎËͬ؞Ç#Înæ MËÒ Ç pæÆmß#ÎËͬÕɟɬØ#Oý rxæâmÕ e ȞÇO͟Ê `u͑ȞÇɟ͑ÇOÍVý.ȞÇ#Ó ÷FIæ …؞ÇÉûžÕÛÎË͑Ø!ǼȞ×#×FÕ ÈvÛÕ ÓÙÍ‘Ç ƒF›v£I— \•>™3›¶¢+B ¹ †]˜Àm>RI±ê n!-ó H_ F(a„K_ªRnOëý F(__nOæ î dfqpq_žñ ò ….æ«Ægæ dÔÈ!Õ e È>Ê fÔÈ!ÏŽÕ ÎUÈ!Ç#” Ó pæ s9æ p.؞Ç#ÇɟÉ&ΎÕnàHß