A.3 Log-Euclidean Regularization for Locally Rigid or Affine Registration . ..... seen in the domain of matrix logarithms, where this constraint corresponds to imposing ...... We perform this comparison on our three favorite examples: the fusion.
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
A Fast and Log-Euclidean Polyaffine Framework for Locally Affine Registration Vincent Arsigny — Olivier Commowick — Xavier Pennec — Nicholas Ayache
N° 5865 March, 2006
ISSN 0249-6399
ISRN INRIA/RR--5865--FR+ENG
Thème BIO
apport de recherche
"!# $&%')(* ,+-"%/.102% 345 67!# 987 5:%';) < =?>'@BAC>DFE GIHJ=?KL>MONQPSRT=TU:=?ABG&VXWLYZY[W]\&=T@2^_N/`ba]U:=TACGFcdAB>'>'AC@ZNfe=T@2g'WLR?aOHhEMai@2g'A j,kml5nhopqsrutwvyx]z|{slJnXoIz,}~~
CoJz fo{dzs5oJ~Cz Os{]osoIko5koL'Ctk¡ ¢££t1¤C)moIz ¥F¦/§J¨5©2ª«¨¬ q{sk~
z s{s~
o y®o°¯±y5mz,{skmo°inho{o5~²I2{s~F¯;m]³´s~~
&Bo5BnXo5{s~JL]o¯±B|³ n3{s~mzQ® ~µ{k)zsn3iyn¶}ioJ4¯·mo¸]~}od]oJo5oJzQ¯¯±o5oI]nº¹'qFo5»y~mzQ®4Bs¼L B®4odsBiCz|oI ½oJo54¯±nho5®¼¾5oJÀ¿ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈX{mnho{o5~²Jo]o5¯±n32{s~iz)® ~{skÉÊm~{sobyn)}Oo5 ¯s~~
X2Ë3o nhOoJC{zJ /® km~oBmC{o5o5~ {skmo~y»o5s{s~}~~{x̯}i4o¯±n32{~Bmz5¹ ÍÎ2®4oJ»oJJ {sk~
z4¯±nXoJ®4Bs¼X
¼]z4zsnho°~nhOs{B{Oo5s{s~oJzJÏ:{ko~y»oJzso¯;)OxBË3o{mz³ ¯±Bsn3{s~ ~zÎ{ÎOxBË3o~SBo5oJT mm{sko)iBxC2Ë3o¯±mzs~BS¯Ð2Ë3o5nhiBo5C{z ~zÎ{ ~y»2~B{® ~{sksoIz|OoJ{{sSbkmBo¶¯5CB~m{sohz|x]z|{soJn ¹hÑÌo3oJzso5C{°kmo5oh 2»Bo5'oJo5 ¯±nhoJ®4Bs¼L y5oJÒ:ÁÓÔTÕÖm×µØÚÙÈÅ2Ç&¿ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈ5 i® km~k 2»oJ5nhoJzQ{skoIz|oo¯±oJ{zJ¹ ÑÌo)
zsho{~;3z|~nhoB~µ{knb ]{skmo¶Û:Å2ÜÝfÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈßàsÅ2ÇmܱáÁ2à âX i® k~
kS2®z{&Bn¶³ m]{so"»Bo5x&oË&~o5C{x 㡳?äQm~oJ OxB2Ë3o°{mz¯±Bsn3{s~mz,iF{ko5~~y»o5zsoJzbo5m Bs~
zJ¹;j,ko oJzs{zÐmsoIz|oJB{oJXkoJso,hoJåæç]5x)2Ë3o o5B~z|{s2{~B¶zsBoJz|{'{skm{QÐm2»o5 ¯±nhoJ®4Bs¼b2»y~]oIzFBo5oJ'm½oË&~o5C{"®èxS¯4¯±iz|~b]J's~~
½"2Ë3o3]o5¯±nh{s~mz ~C{sb }m/~y»oJ|{~}o¶{smz|¯±n32{s~® ~µ{k]{"~C{sym~Ss{s~¯Ú{zJ ~mo5Oo5m]oJC{sx¯4{sko ®,èx3yJ¡]o5¯±n32{s~izso°Êmz|{,oIz{~n3{soJ¡¹ ã;z|{'}m]{f{foJBz{I ®o,zsk2®[~¶{sk~
zf|{~5o{ski2{Ð{skmo㡳?äQm~oJ¶iBxC2Ë3o¯±nho5®¼~z ~nh~5~µ{o5x&}mzsoJ h㡳?äQm~oJF¯±nho5®¼¶¯±B,s~~
FmË3o°{smz|¯±n32{s~iz5 C® k~
k Bo5oJ~²5oIz¶{s¾~oI3{mz|¯±nh{s~mz¶{koã¡B³´äfm5~
]oJZ¯±nhoJ®4Bs¼¾oJ5o5C{sxÀOBzsoJZ¯± {o5mzszJ¹XÑÌo3]o{~f~½{ko&mioJm]~¸½¯{skm~z|{~5oX{ko3Oo5s{s~oJz°¯{sk~
z2»Bo5'¯±nho5®¼L ® km~k 2®z4¶z|{s~kC{|¯±Bs®,hmFoË&~o5C{,oJo5~²I2{~Bh{sX~oJQ{mz|¯±nh{s~mzQ¯;5Bz³ zs~
5;»oI {sBs~
:{sy
zJ i® ~{sko5¸o5o5C{Î{ko5Bso5{s~
5;Oo5s{s~oJzJ¹Îqm|{~5
I m®o)OBzsokoJso) zs~nXmoBo5oJ~²J{s~{s&]5x~~
bÎËhmo)]o¯±Bsn3{s~mz ¯f3»y~z³?oJBz{~°o5ms~²J{s~ oJo5x3iz|oIF¯±B]o5iz|o°{siz¯±Bsn32{~BmzJ¹ éSêCëLìí)î ©2ï/§¬ ã:yJxð2Ë3o{smz|¯±n32{s~iz5 ,nhoJ]~
5d~n3B~i dr°æÎäÎ ,~µñLo5BnXBsmk~zsn3z5 OxBË3o°{smz|¯±n32{s~iz5 yã¡B³´äfm~
]oJ¡ ]³?~B~FsoJ~
z{{s~
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France) Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65
4 %' Ì "!# 9%/ °m 45 5 ÌF% %/ ) 5345 (* ) !# § ¬ æ°mzÐ5o{fs{s~
o 2mmz/BmzÐBmoJB{sBmz/z|'
°mn {s~
z2{s~oJzÐ 5¯±nh{s~mz 5Bn 5{s~CoIz J~l5oJz°m)¾n¶}oXoJz|{so5~C{)]o&]oJ Jz"]o&~}ioJ|{ h·mo¸]~}oIz5¹f J I]o5nX³ nhoJB{I ¡Bmzè»C~izÎOBz )mÌJ]o) 5 J/ioJ ¶¿mÁ2ÂÄÃÅ|ÆZÇLÈ7iBmnhl{soJ°oJz ¯±B|³ n3{s~mz"è»BoJXn¶}o¶Êi~4]o&5nhOBzC{soIzs~~
]oJzB½Om)2Ë3oIz5 :{s{o5¾BC{s~
zszC{ ~y»oJzs~}~~{ h]oJz" 5¯±n32{s~izdBB}moJzJ¹ 4oJioJmB{I ¡mzs~oJzmsBs~ { Jz°~nXOs{C{soJzd¯±BB{ ¯Ú { SoFJ]oSÏX ~y»Bo5z|o3 o3{mz|¯±nh{s~ÌiBxC2Ë3o3 oJz|{)mBzOxBËhmo3o5¾ J ³ ? o5{Î3¯±mz|~SOxBË3o" oJz|{ÎmzÎ~y»2~
C{somÎkmmo5nhoJB{Îo)z|x]z|{slJnXo¶]o)yB]B JoJzJ¹ !Î5oJz m z° 5¯Ú ] J{zso5z5C¹ {mz°~
~ÐÌm»oJ½J]o¶ 5 JT ¡Oo5 º¿ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈFÂÁÓÔ|È5Öm×5ÂÄØÚÙ2ØÚÈ5Çm 'C~fBs~Bo !Îmzd {~m"z 5BoJnho5C{ÎB~µ{knhoz|~nhoB
Zß]àÅ2ÇܱáÁà â #ÈÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈhàÅ¿OØÚÙBÈ C~ Oo5nho{ ]o"55oJQ{slIzoË&5Bo5nhoJB{oIz{smz|¯±n32{~Bmzf³?oJm~~oJoJz4OxB2Ë3oIzQo5{ oJz ~y»oJzsoJzzso3Bs~oh 5m~l5o¹&ã:oJz" Jzs{2{z"]o&oJJ
oXyJo5nho5C{2Ë3oIzåæ Iz|oJC{ Jz ~
~;z|BlJsoJB{Com{so"B»oIb5so°¯±ms~{Îmon3~l5o 5$ 5o°o5{ÎoË&Joo¯±mz|~mo5 oJz, ¯±Bsn3{s~mz4]Jo5nho5C{4~~
]oJz4 2Ë3oJzoJFo°{mz¯±Bsn3{s~3~C»Bo5z|~}oÎBB}modzmz ~C{s]]~so |{o¯Ú{J ~m JioJmnXnhoJB{S]o½Znh~l5o]C{ oIz 5¯±n32{s~iz&yJoJz z|BC{ m I
}o5nho5C{,oJz|{s~n 5oJzJ¹ äfÊm¡ Bmz3nhC{siz&iz&o5{Fs{s~
oBmoSoJ]obB³´o5m5~
]~o5ðOxB2Ë3oboIz{F~nh~µ³ 5~µ{o5nho5C{b}mz zs uJ]o³´o5i~]~o5iBoJzF{siz¯±Bsn32{~Bmz&~~
]oJzFo{S2Ë3oJzJ ÎC~ 5 J~
zso¶¸S{smz|¯±n32{s~iz~ I~soIz°oh5B]soX³´o5i~]~o5 Io5nhnho5C{"OBz )OoJz {o5mzso5mzJ ¹ !Îmz 5{~Bmz4mmz4 mioJm]~
o]od5o{ s{s~
oÎoJz4sB~ 5{ Jz4]od5odm»BoJ&J]o C~iioJsnho5{4oÎ 5$ 5~z2{~BX]~oJ {oÎo5{QoË&5BoÎoJzfB]{s~
zf»oI {~oJzf5Bzszs~
BmoJzf]¸¶{mz|¯±s³ n3{s~mz°~ I~soIz5 ;è»oJ¶ o¸oJo5C{soIz~ 5{ IzÎ{k 5Bs~
CoJzJ¹)äQÌis{s~
~oJJ mmzOBzsiz ~
~iod 5$ 5~z2{~BXzs~nhoÎ]¸h ¯±n32{~BmzÐyJo5nho5C{Q~~
]oJzÐB&2Ë3oIzQ %o 5oJsB~o]o 5B
~µ{ d»y~
zs5&³ 5
z|{s~
BmoÎ]{~~z 5o"Om]oJz,{mz|¯±nh{s~mz]oJmz|oIz5¹ '-î ¨I§ ì « ( §_¬ j;mz¯±Bsn3{s~mzF]5oJnho5C{ ËhmoJzJ d~n3oJs~on I]~Jo däQær¶ ~µ)ñ 5BnXB|³ mk~zsnhoJzJ y{smz|¯±n32{~BmziBxC2Ë3oJzJ yB³´o5m5~
]~o5¡ ]oJJ
BoÎB]³?~~
]o¹
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
å
) )/ )/ ¨J© î ï /«¨ î ¥ î mì ;« (Úï ê ª î ( ë ª ê ©2ª êCí)î ©"! ¢$¹ # QsoJ»C~iz,/BxC2Ë3o&%nhoJ®4Bs¼1¹°¹"¹¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹ ¤ ¢¹ ¢ v]~nho5dv]ioJoJ('ÐoJ{sz¯±Ë3oj:iz¯±Bsn32{~Bmz¶¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹#I£ ¢¹ å ã:³?äfi~]oI 'xB2Ë3oj;mz¯±Bsn3{s~mz ¹"¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹" ¹ #Iå ª + ª§5¨ î ( ë ê * ©èª § , î © ) åm$¹ # 2{s~¸Fäи]iBo5C{~:mF{skm/o . v]J~mhmbv]Cm~m$ So5{sk]$¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹ ¢£ åm¹ ¢ 0 .Äv]J~3m vBi~ So{k]¯±ã¡äQQj;zd¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹ ¢£ åm¹ å ¢æ-vyxyC{sko5{s~
äи]ioJs~nho5C{z¹¹"¹"¹°¹"¹¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹ ¢å åm¹ ¤ åBæ qäиnho&¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹ å¤ « ( /2§ î ª ï ê ©2§ 3 ê «2¨ 4 ê § 1 î )5 ¥ ¥ î mì ;« (Úï ê ª ©2ª êCí)î "© !6, î © Tï[ª ïÉ7¥ + ê * ©2ª § , î © Àª2¨ î § )98 )$¹ # ã:³?äfi~]oIbSo{s~
5zu¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹ åB )¹ ¢ qy»2~
m5odfOo5s{s~oJz¶¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹º¤C£ )¹ å ã:³?äfi~]oIb o5B
~²I2{s~&¯±ã¡]JxF~B~ Ëhmo o5B~z|{s2{~B ¹"¹°¹"¹º9¤ # )¹ ¤ !Înho5~Jqnho5nho5C{2{s~b¯/{s~µ¸ã:C~µ{knb¹É¹"¹°¹"¹¹"¹"¹¹"¹¹"¹¹"¹"¹°¹"¹º¤B¤
:;:=A@CBCDC@
¤
dàÜ
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
¶ :%'3 Q; j,kmo°o5B~z|{s2{~B3¯/nXoI]~
5~n3BoJz~z~Bo5oJ¶]~Ë&{}o5nb ]iFynho5iz4nho5{sk]z m¶{sy
zfkiè»o,}ioJo5&oJB]x¶]oJ»y~zsoJ¶{s¶]oJzz/{skm~zf{zs¼ # ´¹fvC{s~imso5C{sx Bn)mkho5ñOB|{45]³ {~yoIz {3}io)o5»{soI {shÊmm~]oIBi2{so"nhoIzssoIz,¯fzs~nh~s~{x o5o5»2B{inho{o5~²I2{s~iz ¯Ðo5Bnho{s~
5¡o¯±n32{~Bmz5 moË&~o5C{ÎB]{s~nh~²I2{s~bnho{k]zJ mÎsoI~z|{s~
nhoJkm~J¡nh]]oJz ¯/]o5¯±n32{s~iz5 ]oJioJm]~3{skmo"soI~
z|o°{xyOo°¯/o5B~z|{s2{~BFBmzs~]oJsoI¹ q½{sk~
z"s{s~
o ®o¶¯±y5mz°{skohmnXo5{soJs~²J{s~¯Q³?~B~o5Bnho{s~
5']o5¯±nh{s~mz ® ~{sk z|n3yn)}Oo5b¯)·mo¸]~}o¾]oJo5oIzF¯¯±soJoJ]Bn6¹ j,k~
z {xyio̯Xmnho{o5~²I2{~BÉ~z is{s~
xX®o5µ³]{soIX¯±,o¸nXmoÎ{s{ko°soJ~
z{{s~3¯/s{s~
2{oJ3z|{sm {soI z ¢ ¡mh{s {ko o5~
z|{s2{s~¶¯Lk~
z{~
5z|~
oJ z å ¤ ?¹Ð¯ {so54ÓÂÁ Å2Â2Ë3o ÚÐ~B~ '~Bnho5C{J {sk~
zfzss{ ¯4mnho{soJs~²J{s~zsb2®z°Êmo53ÂÁJ×Å2ÂLo5B~z|{s2{~B® ~µ{ k èÈ5à à Üâ3ÁIÁ2Ý F{smz|¯±n32{s~iz y mm y m ?¹ q ¤ ? 4®4obmnho{soJs~²5oIÀ]o5¯±nh{s~mzX® ~{skðz|n3 yn)}Oo5h¯¶à صÓØÚÙZÁ2àÅ|ÆZÇLÈ×Á2âοÁÔ ÇLÈÇiÝÚÜ ,® k~
kç5 nh]]oJ°zsnhC{skx[ÀsBo »2s~o{x[¯"]Jdo¯±n32{~Bmz5¹_ÑÌo2»C~
]oI Bo5oJy¯±nho5®¼"{s"¯±iz|o {koJzsoÎ5nhiBo5C{zÐ~C{)}m]{siz¯±Bsn32{~B¡ JoI¿mÁ2µÃ2à صÓØÚÙd ¿mÁ2µÃÅÆ[ÇOÈ5 ]® kBzso)Ø Ç èÈ5à ÝTØ 5Ø ÂÄØ Ý?ÃÎ~
zQBmC{o5oJ¡¹/ÍÎ2®4oJ»o5I 2{k~z4¯±nho5®¼)
¼]zz|Bnho~nhOs{B{ msBioJ|{~oIz5Ï°{skmo3~y»oJzsoX¯ OxBËhmo¶{mz|¯±nh{s~½~z{iBxC2Ë3oh~ÌBo5oJT ¡m½{sko OxBË3o,¯±mzs~BX¯LË3oÎBnhiBo5C{zf~zÐm{f~C»2s~
C{f® ~{sk3oJzsioI {Ð{s"kiBo ¯y]~m2{o zsx]z{o5 n ±~?¹ oB¹~
z{bÅ|ÆZÇLÈÔØ Ç èÅà ØÚÅ2Çm Ý ¹ÌÍoJsoB /®oFmsoIz|oJB{XS2»oJfoJo5Q¯±nho5®¼S{s¯±mz|o ~~
B2Ë3o3BnXOmo5C{zJ ;JoIÒ;ÁsÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙÈÅÇ¿mÁ2ÂÄÃÅ|ÆZÇLÈ '® k~
k2»oJ5nhoJzÎ{skoIz|o&o¯±oJ{z mxC~o5
z{mz¯±Bsn3{s~mz® k~
kS5 }Oo"»o5x3oË&5~oJB{x BnXm]{soI¹ j,ko½z|oIBmo5¯d{k~zs{s~
oS~z&Bm~²JoJ zX¯±2®z5¹uqÉv]oJ {~B¢] ,®oSsoIz|oJC{X{koã:³ äQm~oJiBxC2Ë3oS¯±nho5®¼[mÉ~{z~C{~µ{~»BoOo5s{s~oJzJ¹-j,koJ¡ ®ooJzso5C{&{koÛ;ÅèÜ Ý ÞÁ2ÂÄÃÅ|ÆZÇLÈ)ß]àÅ2ÇܱáÁà â %/Q j 5® k~
k2®zO{sBnh]{soлBo5xoË&5~oJB{xã¡B³´äfm5~
]oJdOxBË3o {mz|¯±nh{s~m z Tã¡äfQj/z Ðm¶{ko5~Q~y»o5zsoJz/3o5m/Bs~
¹' ¯ {o5® ®4ox{skmo %;4j {¾½oJåæ o5¸nho Q® kmo5o2Ë3oSBnXOmo5C{z3soboJz|{s~n32{oJ[® ~µ{k[{koBs~{skmn !¯ ?¹ " Ø Ý Á2Ö]Ý,Ø ÇiÝTàsÁIÙ2Öm×5Ø ÇCÓbÅà ÝTØ áÅB×ÝTÜ OB2»Bo5¯±iz|~SoJmz|msoIz,{sko)~y»oJ|{~}m~~µ{x ¯'{ko}i{mz³ ¯±Bsn3{s~¡¹/ã:z|{;}m]{Ð{ÐoJz|{J 2®osoIz|oJC{/~¶¶mioJm]~¸{sko,Oo5s{s~oJz;¯m{sko ã¡B³´äfm5~
]oJ ¯±nhoJ®4Bs¼°¯±Ð~~
)i¶Ëhmo4{mz|¯±nh{s~mz;X® k~
k¶B'iBxC2Ë3o ã¡B³´äfm5~
]oJ¯±nho³ ®¼~z/~nh~
~{soJx)}mzsoJ¹/j,k~
zÐ㡳?äQm~oJ¯±nXoJ®4Bs¼°~
z/{sko immz:¯{ko¯±nXoJ®4Bs¼ ®ooJzso5C{soIF~# $ :¯±,{soJmzsz5¹
% &('*)
ç "!# &%')(* ,+-"%/. +-,/.10 24365 78+93;:4@? .A(,B=DCE.1F#3G,/H
po5¯±o°msoIz|oJB{~mXB 2»Bo5OxB2Ë3o¯±nhoJ®4Bs¼3o{mz}s~o·ixFoJ5L{ko"~~mOxBËhmo ¯±nhoJ®4Bs¼L y]oJz~}OoJ ~# ¤ ´¹ j,ko ~
]oJ~z¶{sÌ]oÊioF{mz|¯±nh{s~mz{skm{Xo5¸]k~}m~µ{3]5xË3oF}Oo5kmè»y~I Ю ~µ{kZ~
o ~y»oJ|{~}~~µ{xhOo5s{s~oJzJ¹ %m2® ~){skoz|oJnh~mL®4Bs¼h¯6$#I£ ? y®odnh]]oJOkmo5odzsmk&{mz¯±Bsn3³ {~Bmz"}yx Êm~{soFyn¶}ioJ N ¯Ëhmo×Áâ¿mÁ2ÇLÈÇiÝÚÜ ¹bfoJ5~zso5x /oJBk5nhOoJB{ i Bmzs~z|{z"¯
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
¾2Ë3oh{siz¯±Bsn32{~B m̯ b]³´oJB2{~»Bo QÈØµÓ yÝÐáÖ]ÇO×5Ý?ØÚÁ2Ç ® k~
k¾nh]]o5
z"~{z zsm{s~
fo5¸C{o5mzs~¡Ï"{ko3~]·mTi oJmo&¯,{sko i BnhiBo5C{)2{¶iB~C{ x ~
zwi(x) Os{s~i/{s wi (x) ¹ %ms{skoJsnho y®o"zz|nho°{ski2{ ¯± PN ]~?¹ oB¹'{sko"®o5~kC{z,soBsn3~²5oJ¡¹ x i=1 wi (x) = 1 § î î ,(Ú2§ 3 (Tª« ê ê ¨I§ q]o5L{ }]{~,BB}mè{mz|¯±nh{s~d¯±sBnuzso5»Bo52®o5~kC{soI ; 5nhOoJB{z5 B{skmo°5Bzszs~JOBBkX{s¶¯±mz|oÎ{sko N 5nhOoJB{z5 C~»oJ3~ $# # ´ yzs~nXmx&5mzs~z|{z ~Sè»oJ~"{skmozz|]~
2{oJ]~zs
5o5nho5C{z B55]~m){¶{ko"®o5~kC{zJÏ T (x) =
N X
wi (x)Ti (x).
#
,j kmoÐ{smz|¯±n32{~B°B}]{~moJmzs~m # L~
z;zsnhi=1C{sk¡ è}{:{skm~z/msCk°kmz;oQnh:è® }mB¼LÏ µ{kmkboJBknhOoJC{~zÎ~y»oJ|{~}moB {skmo)oJzsµ{~m3}m{smz|¯±n32{~B ~
zÇLÁ2Ý,Ø ÇB2È5à ÝTØ5ÂÈ ~ o5mo5?¹[j;Ìo5nhoI]x¾{skm~zJ 4~{3®BzXsBiCz|oIÀ~ ¤ Î{ssoJx¾BZ{koSè»oJ~¯"zsnho½Ø ÇiÔ ÇmØ ÝÈ Ü Ø â3Å2Â]]~
z|mBo5nhoJB{z,zz|]~
2{oJ&{s3oJBkËhmo5nhOoJB{ ~mz|{soJB¹fj,kooJzsµ{~mXBB}m {mz|¯±nh{s~~z B}]{~moJ }yxF~B{o5B{s~Xrd]~msxFæd~ñOoJsoJB{~¡äQCm{s~8 ?r°æd6ä i® k~
k ~
z°nh{2{~Bmxnho)o5¸]ioJmz|~»o¶}]{mC{so5oIz ~{z°~y»Bo5s{s~}~~{x m
zsFxy~oJmzdz|~nho ¯±Bsn ¯±B4~{z~C»Bo5z|oB¹;j,ko°~
od~y»oJ|{~}m~~µ{xhOo5s{s~oJzQ¯¡{k~
zBBkhsod~mz{{soI3}y/x %/~m¹ #B¹ ª ê ©2ª êBí¶î "© ! j,ko iBxC2Ë3o BBkÀ5À}ioS]oIBnXOBzsoJÀ~C{s{sko5obz|{so5iz5¹ î (ë j,kmo5xFso~»oJF}Oo52®"Ï ï ê «¨ î ©2§ð¨ î ¥ ê * ©2ª § , î © Àª2¨ î § j,ko~
]oJ ¨ ê 3 ¬ ¥F§I§ î « Tª]2¨ 3 êCê }ioJk~mÀ{kobiBxC2Ë3oF¯±nXoJ®4Bs¼Ì~
z¶oIzszso5C{~xÌ{sko¯±2® ~iÏ3¯±XoJBk[BnhiBo5C{ i o5¾]o5Êmo ¯Únh~x̯Ü?¿ÈÈÙ 2È×ÝÁ2à È5ÂÙèÜ inho{o5~²JoJ½}Cx '® k~k¾~
z {s~nho&mnho5{so5)»èsxy~SBB{~yBmzsx}Oo{®o5oJ V0i (.,ms) 1 ¹ Vi (., s) zs{s~
z¯±xSs Bmz|~
z|{so5ix Oo5s{xS® ~µ{k Ï°® koJ½~C{so5B{soIS}io5{®4oJo5½{s~nho i L{ko5x½z|kB
~»oX}mB¼b{sko {smz|¯±n32{~B TTi ¹ÐÍoJmo{ko¯±2® ~h]o5Êm~{s~¡Ï 0 1 ê Ú2¨ î ß mÈ:áÅâ¶Ø µöÁ á 2È×ÝÁ2à È5ÂÙ2Ü mÈàÈ ÈÂÁÇCÓÜÝÁ Ø
ÜÎ×Á2ÇmÜ Ø
ÜÝÈ5ÇmÝ ÐØ Ý FÝ ÈÎÝTàÅ2ÇܱáÁà âhÅÝTØÚÁÇ T Ø á°Å2ÇLÙ¶ÁÇmÂÄÃØ áÎØ ÝÚVÜØ(.,ÇiÝ´s)È´ÓàsÅ2Ý?ØÚÁ29 Ç sÈÝ QÈÈÇ ÝTØ â3È [0,¶Å1]ÇOÙ °Ó Ø 2È Ü Å× Ý mÈÝ?àsÅÇܱáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2Ç T fáÁàÅ2ÇiÃÌØ ÇiØ ÝTØÚÅÂd×Á2ÇLÙ2Ø Ý?ØÚÁ2Ç ÁÇOÈ×ÅÇçØ ÇmÝÈ´ÓàsÅÝ´È ÈÝ QÈÈÇ 0 ÅÇOÙ 1 Ý È½Ù2Ø ÎÈ5àsÈ5ÇmÝ?ØÚÅ2Â È 5ÖmÅ2Ý?ØÚÁ2Ç Ü & Á Ý mxÅ20Ý È BØ
Ü ÝÚÜ x˙ = V (x, s) x(1)
Ø ) Ü È 5ÖmÅ2Â:Ý´Á x(1) T (x0 ) vyo5»Bo5LOBzz|~}okm~
oJzo5¸y~
z|{{3zz|]~
2{o°zsOo5oJ»oI {{s32Ë3o°{mz¯±Bsn3{s~mzJ¹'rdo ¯f{ko)n3~5C{s~}]{s~izίÐ{sk~
z°®4Bs¼~z°oJ5~zso5xF{FOBzso)F2»oJ;kB~5o¯±°z|ik z|Oo5oI »oJ{sBzJ¹'qB{o5oJz|{s~x ]®o"]h{¼y2®_2{ oJzso5C{ k2®n3CxF{skmo5ÎkB~5oJzo¸]~
z{ m® ko{ko5d{skoJxbnX~kC{°kmè»ooJ»oJ}io5{|{o5°sBioJ|{~oIz {km{sko¶oIzήokmè»Bo"¯±izs ¯ÚI¹
:;:=A@CBCDC@
dàÜ
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6 −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
4
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
6
/~o #Ï ;ª]©2ª ¨ êyê 4 ê ©è2¨ Ú¦ (Ú¨ ë í ±¨ ±¨ ê 2§ Àª ( ,& /2§ î © ê ï4¬ soJ
Bs~
o¯±nhoJ3}yxX{skmoί±mzs~F¯{®4X2Ë3oÎ{smz|¯±n32{s~iz5 Bmz|~¶{sko°]~soI { è»o5B~m°¯;]~
z|mBo³ nhoJB{z5¹ ¦ ( ê ¬ soJ
°~
½]o5¯±nhoJÌ}yxS{sko3~]Êmm~µ{oJzs~n3f¯±mz|~̯{skmoh{smz|¯±n32{s~iz ~S{ko)OxBËhmo¯±nXoJ®4Bs¼L¹ ¨ î 34¬ {®4&{smzs{s~mzÎo"¯±mzsoJ¹ Xî ¨5¨ î ɬ {®3{{s~mz ¯ÐOBzs~µ{o)moJzÎso¯±iz|oI¹ !{so¶k2®_{sko¶soJ~mz ¯Ð2»o5
S]~
zsioI® kmo5~]Êm~{soIz|~n3 ¯±iz|~~
zdmz|oI¹"j,ko{mzs{s~mzÎmz|oIS®o5o{skmo¯±2® ~iÏ t1 = (3, 1)T m t2 = (−1.5, 3)T m"{ko{®4°{{s~mz;¯iOBzs~µ{ooJz/¯mn3m~µ{m]o 0.63 ~mz:® kmo5o5o5C{soJsoI (−2, 0) m ¹/j,koί±mzs~B&®Bzf5s~oJh{Q® ~µ{k&{ko¯±B2® ~m"®4oJ~BkB{ z Ú~»o53kmo5o~FBsn3³ ~²5oI(+2, ¯±Bsn 0)Ï wi (x) = 1/(1 + ((x1 − ci )/σ)2 ) ;® ko5o c1 = −2 c2 = +2 m σ = 5 ÚzsnhC{sk {mzs~µ{~B}Oo{®o5oJF{ko{®435nhiBo5C{z ¹ −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
6
%
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
¨ ê 3 ¬ /2§ 3 êyê ï ê «¨ î ©2§ §J¨ ê ªï î , (Ú2§ 3 (Tª« ê ê ¨I§ j,koX~oJ&~
zÎ{skoJ{s è »oJo{skmo)»oI {Êio5
z Vi (., s) B55]~mh{s&{koX®4oJ~BkB{ί±m {~Bmz wi (x) {s ]oÊmmo¶ r°æÎ䯱mzs~&{sko BnXOmo5C{zJ¹ÑÌo5~kC{ί±i {s~izdso»Bo5x~nhiB|{C{dmSnh]]o5;{sko ~·mo5io ~ZzsmBNoF¯oJBkÀnhOoJC{J¹½j,kmo5x¾BB{sBz)~Zms{s~
){sko z|kioJzz¯ {smzs~{s~mz4}io5{®4oJo5F{skod¯±mzsoJFË3o{mz¯±Bsn3{s~mzJ¹;Îzsm C{skmo5x&53{¼od~C{shJBC{ {skoBo5nho5{sxX¯;i2{sBnh~Jmo5B~Bmz4¯:~C{so5oJz|{J ]BzQ® ~}Ood{sko"5Bz|od~F{skoo5¸yOo5~nXoJC{ soIz|mµ{z,Såæ q{X~»oJ~ {skozsoJCoJT¹ j,ko/BxC2Ë3or°æd䯱iz|~dzsOo5oJ)»oI {sBz:55]~ {sd®4oJ~BkC{z¯±mm {~Bmz/~z:{sko~]Êm~{soIz³ ~n3:mBBmzQ¯ # ,i® ~{soJzJÏ
def
x˙ = V (x, s) =
X
wi (x)Vi (x, s).
?¢
¨ ê 3 ) ¬ ¨ ê ©2ª]¨ î î ,¨ ê î ( ë ª ê q½{sk~
z°~Êm~{soJzs~nh/¯±nXoJ®4Bs¼L i{sko »2o°{O~C{ x0 ¯{skmo°BB}mm{smz|¯±n32{~B T ¯±mzs~¶{skmo N nhOoJC{z~z4}{~oI »y~&{skoX~C{o52{~BS¯Qä4i¹ ?¢Î}io5{®4oJo5 0 m 1 L ® ~µ{k{skmo¶~~{s~
ÐBm]~{s~ x(0) = x0 ¹ j,k~
z ~m5~mo~
z ~mz{{soIF}yx %/~m¹Q¢]¹ i
T (x0 ) = x(1)
x˙ = V (x, s) x(s)
x0
s
¨ î î ,Q2§ 3 êyê ï 4 ê «¨ î © /ê (Tï;§ ê ,?¨B¬ ~B{o5B{s~3¯¡)»oJ{sBÐÊmo5
3}Oo{®o5oJ %/~od¢Ï ¨ ê ©2ª] {~nho 0 mF{s~nho 1 ¹'j,kmo°»2o"{,XO~B{ x0 ¯:{ko}mm{mz|¯±nh{s~ T ~z,B~»Bo5}Cx x(1) ¹ L¨¬ o¸nho&¯Îz|~o&{2{s~:¹vyioJoJZ»oJ{sBzso&~zs
èxoJ~À}oB¹j,koFn3o5C{ O~C{QBsoJzsiBmz/{{sko ~~{s~
i5m~µ{~Bhm¶{skoÎo5o5XO~B{f~
zÐ{ko OBzs~µ{~BXoJBkoJX2{Ð{~nho å Ú{ {~nho #"z|X{km2{ {ko{s2oI {sBsx3}OoBoJmF{skymznXBso°»y~zs~} o ¹ 9
:;:=A@CBCDC@
dàÜ
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
/ª]¨ 3 êyê ï ê «¨ î ©2§ , î ©b¥7 ê * ©2ª §2, î © Zª]¨2 î §3ª]¨ ¨ ê 3 ã¡o{°mz {¼Bo2Ë3o {mz|¯±nh{s~mz T = (M, t) ® ko5o M ~
z{koX~oJdis{°i t {skmo){mz|
2{~B¡¹dj;b]oÊmmo¶ ¯Únh~xF¯ÐzsOo5oJ »BoJ {,ÊmoJmzÎBmzs~z|{soJB{ ® ~{sk T m~µ{ή,z,msBiCz|oIF~8 ¤¡{s3o5xFB {sko&â3Å2Ý?à Ø ÂÁsÓCÅ2à Ø Ý yâ ¯:{skod~oJQm|{ ¯ ¹'SBsodsoI~
z|oJxB o{ }Oo{skmod~m~mOn32{s~¸XC~µ{kn ¯ M ¹fj,ko°¯ÚnX~xF¯ÐzsioJoJ»MoJ{sB,TÊmo5
z V (., s) ®o"zz|]5L~{soJF{s T ® s~{soIz5Ï ¯±B s ∈ [0, 1]. Úå V (x, s) = t + L(x − s t) ê ( ( ì ê ê ï ê §I§ î ,¨ ê "© « 3'ª ( î ª]?© Ú¨ rdmozskB{so°{skm{mzs~X~i~m C~µ{kn3zh¯{skmo~oI&m|{&¯2Ë3ob{siz¯±Bsn32{~Bmz32{3{koÊiz|{Fz{o5ɯ°{koOxBËhmo ¯±nhoJ®4Bs¼h~
z {®,èx]z4OBzzs~}o¹ j,ko{skoJo{s~
5]~nh~µ{2{~B3~nh~oIX}Cx¶{skm~zÐis{s~
fkB~5o ¯z|Oo5oIX»oJ{sBz'~
z'{skmo ¯±2®,³ ~iÏ¡~m5~iCBB~{skn3z:soQ{'®èx]z¡®o5³´]o5ÊmoI¹;SBsoQsoI~
z|oJxB I{sko~m5~iCBB~{skn ¯Q½~y»oJ|{~}mo¶nh{s~µ¸ M ~
zήo5³´]o5ÊmoI~¯4mxb~µ¯f{k9 o ÚBnho5B¸ oJ~Bo5y»2oJzί M ] m{ ~o"{skmo ÚBzsoJ km¯ ³?~o¯'o5C2{s~»o°oJyn¶}ioJz #I ¢ ?¹ %m,s{{s~mzJ {k~
z4nhoImz,C~{so°~C{sm~µ{~»Bo5xh{skm{4{ko"nhC{6 ¯ Ú]5 Q{{s~&msoIz|oJB{,~ oIkX¯i{sko5nhiBo5C{zÐz|kB
¶}Ooz|{s~{sx}ioJ2® π ~mz/~hn3B~µ{m]oB¹/j,k~
zfJX}io5oIx zso5oJ¶~X{skon3~h¯Lnh{s~µ¸¶BB~{skn3zJ 2® ko5o{sk~
zfBmz|{s~B{f5soIz|Ommz:{~nhOBzs~{km2{ {ko~n3~msxis{f¯Lo5~o5y»2oIzÐ}ioÎoIzsz'{ko5 π ~3n3m~µ{m]o¹ %/~i¹/å~iz{{soJzÐ{sk~
zÐoJo5 zs~{sm{s~¡ ]® k~
kb~z,m{ÎzsioI~Êid{s3{{s~mzJ¹ %moJo5/~y»Bo5s{s~}oX~oId{smz|¯±n32{~Bmzή ~{skÌOBzs~µ{~»Bo¶]o5{so5nh~iC{J {koX~C{soJsmso5{2³ {~B[¯Î{k~z35mz|{s~C{XB[oJ~Bo5y»2oJzX~
zh{&zsÌ5oII 4zs~iobs{{s~mmZm]³´s{{s~m o¯±n32{~Bmz3ob~C{soJ|{® ~oI¹uÍÎ2®4oJ»o5I QBoSz|km
{oS{sko5Cz|oI km¯ ³?~oS¯o5C2{~»Bo yn¶}ioJ,~z hzso{,¯;yG Úã:o5}OoJzs o 4nXoIzsod~F{ko"BnXmo5¸F
oB ]® k~k~i]~J2{oJz{ski2{ »oJsx ¯±oJ®u~oJ4{mz|¯±nh{s~mz® ~{skbOBzs~µ{~»Boo{soJsnh~mC{ Ú5soIz|Oi]~m){Xo5¸y{so5nho5x&
o]o³ ¯±Bsn3{s~mz ® ~ {3kmè»Bo Ì~i~m n32{s~¸ÀBs~{skmn ¹ %n Ì{s~
5O~C{3¯d»y~o5®" BodJFyxC®,èxdmz{ koI¼X® kmo{skmo54{skoBmz{~C{~zzs{s~
zÊioJ3}yx&Bnh]{s~¶CmnXoJs~
5xX{sko oJ~Bo5y»2oJzQ¯ M C® k~
kFBx3nXBC{zQ{sXz|B»y~¶{sk~]o5BsoJoOxCmnh~ioICm2{~B3¯±,åæ Ë3o°{smz|¯±n32{s~iz5¹ q[{skoS5C{so5¸C{h¯°nhoJ]~
5 ~n3BoFo5B~z|{s2{~B¡ f®o ]Ì{h}Oo5~o5»o{skm~zhoJz|{s~{s~Z{s}io msB}oJn32{s~
Ðzs~io}m42Ë3o ~Bnho5C{)¯ {sko ~n3oJz{s½}iosoJ~
z{o5oJÌ~zX®,èxyzioJ|³ ¯±BsnhoI&Êmz|{J¹Qj,k~
z¯Ú{sBz,B]{ {sko"
oIz{ {2{s~izm ~µ{®m}io)»o5x&zssms~
z|~X¯±n m2{nh~
5ÐO~C{¯,»y~oJ®-{S}mzso5»oX»oJsx
o3]o5¯±n32{s~iz ±o¹ m¹ :]5fs{{s~mz"5Cz|oX{s #I£¶]o5BsoJoJz f¯/bi2{sBnh~Jz{si {smsod¯±sBnmo°~m]~»y~mL{h{ko5 ¯ {so5,{ko"m{sBnX~oJz ¯:{koJzso"~i]~»y~
]mz,kmè»Bo"soI]x3}Oo5oJbË3o5xF~oI¹ Sê ª 4 ë 1 î 3 :¨Iª]2¨ î ª ( ;©2ï ê ª¨ ¨ ê 3 ) !Î2®" ]¯±nºhB {~J¡O~C{ί'»y~oJ®" m~B{o³ B{s~d{skodr°ædä~»o5X}yxäQO(¹ T¢ /® ~µ{k¶{kozsioJoJX»oI {sBz/¯iäQO(¹ Úå /~zÐC~{so5nh]{2{s~ix o5¸]ioJmz|~»oB oJzsOoJ~
x® koJSo"® ~
zskoJz{sF]h{k~
z ¯±°{skmo)O~B{z¯'&åBæo5B ~¡ ]¯± o5¸nhod ~¡ C® km~k&~
z,BnXnhBxh~&{ko°Jzso¯±B ³´®4oJ~BkC{soJFç~n3oIz5¹ ÑÌoF® ~,zso5o256~À×{sk256 o soI×z{¶100¯ {skm~zhzsoJ {~BÀk2® mo5Z]z|{s~
5x½oJTm1 o3{k~
zX5nho¸]~{x½}yx zs~BkB{xFnX]]~¯±xy~m¶{kozsioJoJ »oI {sBz¯/äQO ¹ Tå ¹
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ $
Imaginary part of eigenvalues
Imaginary part of eigenvalues
/~o4åmÏ î §J¨5©2ª ¨ î § ê ï î ª ê ¨J©2ª § î © Àª¨ î §,¦ ë ¨ ê /§ êXî :¨ ê /© « /ª( Zª]¨5© ( î ª]© ±¨ ê ?¨¬ mxFË3o°{smz|¯±n32{s~izQ® kCz|o Tnho¸B4o5~oJy»èmoJz,]h{ ~o" {sko TBzsoJBki¯ ³?~mo"¯;mo5B{s~»ooJyn¶}ioJzkmè»oh~m5~iBs~{skmn mbJb}io
Domain of affine transformations
Domain of logarithms
+π
0
0
Real part of eigenvalues
Real part of eigenvalues
−π
%
?
1 9
?
3 ,
,
2
,
3 ?
3
kim]oJ¶}yxm;¯±nhoJ®4Bs¼L¹;vy~nh~µ¯±xy~{sk~CzÐd}m~µ{I {skm~zÐ5soIz|Ommz:~C{s~{s~»oJx"{~nhOBzs~ {km2{ Ú]J /s{2{~Bmz/}iodz|n3o5Ð~Xn3~{smo4{km π ]~
mzJ¹;j,km~zfJX}iozso5oJhnXBso 5oIx B{kohs~m5~mÐBBs~{skn3zd¯4{skoIz|oÅÙâ¶Ø
ÜÜ Ø 5ÂÈ"2Ë3oX{mz¯±Bsn3{s~mzJÏ {skmoX~n3B~msxbm|{ ¯Ð{skoJ~do5~oJC»2oIzn¶mz{°}ioXz|n3o5Î{skm ~nh~{si]o¹°j,k~zd~
z~mz|{s2{soIS{sko ©" L¨ BF{k~
z,ÊmmsoB¹' nhBso"]o5{~oJ ]~zizszs~Bπ¯:{k~zÎiz{~C{ ~z,B~»Bo5 ~vym}mz|oI {~Bb¢$¹ #B¹
:;:=A@CBCDC@
π
I£
dàÜ
#
&(' &
:*.K, .K. . 3;,B7 3G,
(2*C
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
> ? . !,/= ? 7 3G,BCE= /243;? 7
ÑÌoX® ~/zso5o¶2® k2® Bo¶J]o5ÊmoXn)mk½z|~nhoJ°zsOo5oJ»oI {sBz¯±2Ë3o){smz|¯±n32{s~iz {km¶{skmo oIz'~»o5¶~häQO¹ Úå ¹Ðj,ko,}mzs~
4~
]oId~
z/{so5x¶{skmo BB~{skn3z/¯i{sko,{mz¯±Bsn3³ {~Bmzd Ý mÈâ¶Ü5È 2ÈÜ m3{BxXB3{skmodC~µ{kn3zf¯{ko5~°ÂÄØ ÇOÈÅ2à4¿mÅ2à ÝTÜ ¹'j,kmoJzsoÎBs~{skmnhz45 }Oo)]o5ÊmoIS~}mz|{s{®èx~{sko)5C{so5¸y{ί'{skmo{skmo5xF¯Qã¡~ommz $#I å ´ i}{ί±dnho zs~nXm~
~{xÀ®o ® ~Î]oÊio {skoJn koJsob»y~½{kobsoJsoIz|oJC{2{~BZ® ~{sk ÁâhÁÓBÈ5ÇOÈÁÖyÜ×ÁIÁ2àsÙØ ÇOÅÝ´ÈÜ ¯Q2Ë3o"{mz|¯±nh{s~mzJ¹ÍBnhoJo5Bmz5CB~m{soIz
z|Fs2»y~
]o)3»Bo5x 5y»oJ~o5C{®èx{s 5nh]{o°{skoIz|o"C~µ{kn3z4~b {~5o¹ ædo{~zX}O]{XXynho5~J4~nho5nho5C{2{s~Z¯ {skmoFn32{s~¸¾BB~{skn o&~»oJ¾~Z{sko v]}mzsoJ {~B )¹ ¤3¯:{koOo5i]~µ¸¹ Sî î iê êyî /§ 1 î¡î ©èï ª]¨ ê § ÍnhBo5mo5izÐy]~m2{oJz'o
zz|~
5y{sy~ 4nh]{o5 'd~zs~¡¹Ìj,ko5x¾o&® ~
]o5xmzsoJ{o5oJzso5C{¶CxÌ]³]~nXoJmzs~Bm,2Ë3oF{smz|¯±n32{s~ }yx T 3 n 2 { s ~ ¸ ; ® ~ | { s { J o ¾ k 5 o o ¹ y v m Z k b 5 o J o s z 5 o C { 2 s { ~
~ ) z J I o ½ y } Ì x 3 n 2 s { m k 5 o 3 n 2 {~µ³ (n + 1) × (n + 1) 5~mz . ¯Ú~{sk]¯±m D±~b{sko¶z|oJmz|o"¯ÐsoJsoIz|oJC{T2˜{~BF{ko5Bs/x ® k~
kSnXoImz {skm{{skoJso"~
zm3Czsz ¯ ~]¯±Bsn32{~B~{sk~
z o5oJzso5C{{s~¡¹ T˜ {¼BoJz{ko¯±2® ~¶¯±nbÏ def T ∼ T˜ =
M 0
t 1
,
±¤
® kmo5o M ~z{ko"~oI,m|{ ¯ T n × n n32{s~¸B,m t ~{z {smzs{s~¡¹/q {sk~
zzso{s{s~m ]O~C{z ¯/{sko)n)}~o5C{Îzsm5o"o"soJsoIz|oJC{soJ}yx n + 1³´~nho5iz|~m»oI {sBz x˜ im]~m&bo¸y{s . 1 x ¯ {soJ,{skoJ~5CB~m{soIz5Ï def
x ∼ x˜ =
x 1
.
j,km~z"®,èx :{sko {s~¯{sko2Ë3o3{mz¯±Bsn3{s~̾biB~C{ x 5¾}Oo&B}]{~oIz|~nhxÌ~ {o5n3z,¯'nh{s~µ¸n){s~~J2{s~bi~
z,~»oJ}yx T˜.˜x ¹ © « 3'ª (& î ª"© Ú¨ À§ î ,)7¥ ê * ©2ª 2§ , î © Zª]¨2 î § zs~SknhBo5mo5iz°5y]~i2{soIz5 ? {koQms~m~mBs~{skmnu¯]{sko2Ë3of{mz|¯±nh{s~mzf Ý mÈâ¶Ü5È 2ÈÜJ}Oo4oÊmoIiBnXm]{soI ~Shz|~nho®,èx ±~?¹ o¹Ð® ~{skB]{mzs~3}mz{B {ã¡~oizQ{ko5Bs/x ¹ j,koSn3~ iB~C{3koJsob~
zX{skm{3{skoS~m~m C~µ{kn$¯ð2Ë3o {siz¯±Bsn32{~B ~z o5msoIz|oJB{oJÌ~ÀknhBo5mo5izy]~m2{oJz"}yx½{skon32{s~¸ÌC~µ{kn ¯ ~µ{z)o5oJzso5C{2{s~ T T˜ ¹ j,km~z,n32{s~¸FC~µ{kn {¼oIzQ{ko¯±2® ~X¯±BsnbÏ L v ˜ log T = , 0 0
® kmo5o log z{mz¶¯±B¶{kob~m5~i,n32{s~¸C~µ{knb¹ L ~
zh n × n n3{s~µ¸Ài v n³ ~nho5iz|~m»oI {I¹:äи{sxXBzÐ~h{sko ¯±BsnhoJQz|m}mz|oI {~B¡ ~
zÐ{ko~i~mn3{s~µ¸XBB~{skn ¯ M ¹Xp4{ v ~
zhÇOÁÝ/oICm'~½Bo5oJ;{F{koX{smzs
2{s~ tL¹X {smx L{ko3]~ñOoJsoJmoh}Oo{®o5o5 B 2»Bo5msCkmF{sko"o5»y~mzBosoIz|~
]oJz,oIzszso5C{~x&~F{k~z v ¹ IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
# #
qC{soJsoIz{~mx ]{ko®o5µ³]oÊioJ]moJzz,¯/{skoms~m~mBB~{skn7¯ÐS2Ë3o{mz¯±Bsn3{s~ ~
z oJC~»2o5C{{h{sko®o5³´]o5ÊmoI]oJzz ¯/{ko~m~m:BB~{skn¯Ð~µ{z~oIis{ ¹j,ko T oJBz|B&¯±B,{sk~
z ~
z,{skm{ {sko"ms~m~mnh{s~µ¸BB~{skn¯/ ~y»oJ|{~}on32{s~¸F~z,®o5M³´]o5ÊmoI ~¯m¶x)~¯O{sko ~n3~msx"m|{z'¯O~µ{z Ú5nho¸B/o5~oJC»2oIz/¯ M ]{f~o ¶{skoTBzsoJB ki¯ ³?~mo¯oJB2{~»Bo,soIyn¶}ioJ z $#è¢ ? yzfnXoJC{s~oIh}io5¯±o¹'p4oI5mz|o ¯L{sko ¯±Bsn {¼oJX}yx T˜ Tz|oJoäQO( ¹ ±¤ * B{skmodzsioI {sn ¯ ~zQo¸{sx){km2{4¯~µ{zQ~oJfms{ mzQ3o¸y{so5~oJy»èmo oICmL{ 1 ¹fÍoJmo°{skmo"oJC~»èoJTm˜o¯;{ko"o¸]~
z{o5m5o°¯/}O{kbs~m5~MmBBs~{skn3zJ¹ ¥ 6 ê * ©2ª § , î © Àª2¨ î §½ª]¨ ¨ ê 3 î ,¶¨ ê î ( ë ª ê 3 ( ê © 3 êCê ï ê «¨ î ©è§ , î ©À7 ª êCí)î © ! z|~"2®[s~m5~mBs~{skmnhz'¯LË3o,{smz|¯±n32{~Bmz/~mz|{soIX¯O{skmo s~]³ ©2 5~iLBBs~{skn3zQ¯¡{ko5~,~oJ,ms{zJ BBo52®çzzsy5~{soÎ{shË3oÎ{mz|¯±nh{s~ T zs~nXmoJ,¯Únh~xF¯/zsioJoJ »oI {Êmo5
z,{km ~ ä4i ¹ Tå ~ {sko¯±B2® ~m¶®,èxLÏ ¯± s ∈ [0, 1]. T V (x, s) = V (x) = v + L.x ÑÉkm{4~
zQo5n3s¼2}mokmo5o~zQ{ski2{Q{kodzsOo5oJ&»oJ{sBfÊmoJ&{Q{~nho Bzszs]~
2{soI¶{s ÙBÁJÈÜdÇLÁ2Ý ÙBÈ´¿mÈ5ÇOÙXÁ2Ç s j;s2»Bof{koBmz|~
z|{so5io¯m{k~
zfz|Oo5oI)»BoJ{s'® ~{sk T 2so{fmz'® ~µ{o{sko Tzzsy5~{soI r°ædäÏ T x˙ = v + L.x. ÑÉkm~o"{skmo)n32{ko5n32{~J¯±Bsn7{¼oJS}C# x Ú ,nh~BkC{dz|oJo5n ]¯ÚnX~~J i~µ{Î~
zn¶mkzs~nho5! Úi nhBso°¯Únh~~
4® ko5 o¸]oJzzsoJ~bkBnXBoJo5Bmz45y]~i2{soIz5¹'q´{Îzs~nhx&® ~µ{oJzJÏ x ˜˙ = log(T˜).˜ x,
® km~kb~
z,{sk~
z {~nho)b嵯 ÇOÈÅ2àÎr°ædä¹mq´{Î~
z®o5³?¼y2® ¯±sBn{ko"{skmo5x&¯'~oJdr°æÎäQz $#J¤ :{km2{ ä4i¹ ,J }iozs»oImxC{s~
5x&m{km2{~{zzs]{~Bmz o®4oJ³´oÊmoI&¯±BÎL{s~nho¹fÑÉ~{sk ~~µ{~Ði]~µ{~B x0 {d{~nho 0 L{skmo¶»2o x(s) ¯f{koX~
Bmo¶n3m~m x(.) z2{s~
z|¯±xC~ äQO¹ T 4~
z ~»oJ~ {so5n3z,¯/nh{s~µ¸o¸]iBo5C{~}CxLÏ Ú x ˜(s) = exp s. log T˜ .˜ x0 . pxSo{s{s~ }iohoJCm/{s ®4o¶{skymz"zso5o¶{ski2{oJ®-z|Oo5oI»BoJ{s°~
zÎ{smx5mzs~
z{o5C{d® ~{sk {ko{siz¯±Bssn32{~B T ¹ 1 j,ko"r°æÎä[¯¡äQO(¹ Ú Ð~
z4JoIÅ2Ö]ÝÁ2ÇLÁ2â3Á2Öy Ü ±BQoIBm~»2o5C{x Ü Ý´ÅÝTØÚÁÇOÅà à ¹Qvymkbr°æÎäQz4kmè»Bo zsnho°»oJsx3~
o"n3{skoJnh{s~
5sBioJ|{~oIz5 y® k~
kb5 }Oo"o¸]oJzz|oI&~F{o5nhz,¯,ÁÇOÈ5Ô¿ÅàsÅ2â3ÈÝÈ5à Ü BÖ ´ÓàsÁ2ÖI¿OÜ4¯/{siz¯±Bsn32{~BmzJ¹Qj,koo5¸y{mBkFoJzso5C{z,{skoIz|o"Bo5oJOo5s{s~oJzJ ® k~
k ® ~¡}ioo{~oJ 2¯ {o5®F~bB ms{s~
m,Jzso¹ ¥ :¨ î î î /§ §ª ï êì ª]©2ª ê ¨ ê © :¦ © î ;3/§ ã¡o{mzd® s~{so¶"r°æÎäu~{sko ¯±B2® ~h®èxLÏ x˙ = V (x) ¹ j:&zs~nh~¯±xF{ko)]~
zs5mzz|~¡ m®4o"® ~/zz|mnXo"~b{skmo)z|oICo5{km2{Î{sko z|{{s~msxSzsioJoJ½»oI {sB ~
z]~ñOoJsoJB{~}9 o 1 °iS{ski2{{sko3zs]{s~izd¯Q{k~z)r°ædä o ®o5³´]o5ÊmoI&¯±BL{s~nXoB Vo5(x) BoIzsz¯/~m~µ{~:BmC]~{s~mzJ¹ %/~z|{¯ÐT i¶»Bo5x&~nXOs{C{{~B Bzszs]~
2{soI&{r°æÎäð~
z,{ski2{¯'~{ z ?Á й4ѽo"kiè»o°{sko ¯±B2® ~XoÊm~{s~:Ï
:;:=A@CBCDC@
è¢
dàÜ
#
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
±¨ î ß mÈ Á?ÀÅèÜÜ5ÁI×ØÚÅÝ´ÈÙÝÁÅ2ÇFÅ2Ö]ÝÁ2ÇLÁ2â3Á2ÖyÜ ÕÀØ
Ü4ÝÈáÅâ¶Ø ÂÄÃ)Á|áQâ3Å¿B¿OØ ÇyÓ2Ü Φ(., s) : ¿mÅ2àsÅâhÈ5Ý´È5à Ø IÈÙ ÃSÅÝTØ â3ÈοÅàsÅ2â3È5Ý´È5à Ü Öm× ÝÅÝ¡áÁ2à3Å yÈÙ Rn → R n Ø
Ü"ÝÈ)Ö]ÇmØ 5ÖmÈÜ5Á2µÖ]ÝTØÚÁÇÌÁá x˙ = V (x) ÐØ Ý Ø ÇmØ Ý?ØÚÅ2Â;s×Á∈ÇORÙ2Ø Ý?ØÚÁ2Ç x0 ÅÝQÝ?Ø âhÈ 0 x0 s 7→ Φ(x0 , s) qC{sm~µ{~»Bo5x ¯±&½Ê¸]oJ 4{skoSn3m~m B~»BoJzX{skmoS®èx{kon¶}~oJC{Fz|mBo ~
zX]o¯±BsnhoJÀ}CxÌ{koF~C{so5Bs{s~¾¯ {skor°æÎä x]7→ ~Φ(x, s s)~{zX¯ {~nho¹Ìq´{h~zX®èx]z Ù2Ø ÎÈÁÔ â3Á2à?B¿ yØ
Ü âX /~?¹ o¹SS]~ñOoJsoJB{~}o3o5³T{³´ohn3m~S}Oo{®o5oJ{skon)}m~oJB{)zsmBo&i½~{zso5¯ ® kmBzso)~C»Bo5z|o)~z°
z| ]~ñOoJsoJB{~}o¹j,k~z°~y»o5s{s~}~~{xbOo5s{x zs~nhxBnhoJzί±sBn7{ko¶¯Ú { {km2{/o¯±n32{~Bmz~m]m5oJ}Cx {kohr°ædäusoo5»Bo5z|~}o)zs~m5o)Bo¶JS}m¼ ~{s~nho)}yx zs~nXmxSn¶µ{~mxy~F{kohz|Oo5oI»oI { V (x) }yx −1 j,kohz|nhy{koIzsz°¯Ð{koX·m2®BnhoJzί±sBn {kozsnXy{skoIzsz¯ V (x) ¹ !Î2®" ]o5{mz]o5Êmo"mo³´mnho{o5,z|m}iz5Ï ê ±¨ î ) Ò;ÈÝ È°ÅÓàsÁ2ÖI¿ ´Ø È Ý È°âXÖ]ÂÄÝTØ ¿LÂÄØÚ×Å2Ý?ØÚÁ2Ç Ø
ÜdÅèÜÜ5ÁI×ØÚÅÝT Ø 2ÈÅ2ÇLÙÝ È5àsÈÈ Ø
Ü ÝTÜ Å)ÇOÈ5Ö]Ý?àsÅ2ÂiÈ5ÂÈ5âhÈ5ÇmÝ e(G, ÅÇOÙX.)ÈÅB× È5ÂÈ5âhÈ5ÇmÝfÁá G Å2Ü°ÅÖ]ÇiØ ÖmÈdØ Ç èÈ5à. Ü5È hß mÈÇSÅáÅ2âXØ ÂÄÃXÁ|ádÈ5ÂÈ5âhÈ5ÇmÝTÜ Á|á G ¿ÅàsÅ2â3ÈÝÈ5à Ø JÈÙ Ã s ∈ R Ø
Ü)×Å2 ÂÈÙbÅFÁÇOÈ5Ô¿ÅàsÅ2â3È5Ý´È5àÜ BÖ ?ÓàsÁÖI¿Áá G Ø áÅÇOÙ Á2ÇiÂÄÃ3Ø á g(s) Ø È ° Ý mÈÇLÈÖ]Ý?àsÅ2Â:È5ÂÈ5âhÈ5ÇmÝ Áá g(0) = e G Ø Ç QáÁ2à¶Å  s, t R g(s).g(t) = g(s + t) Û¡Ö]à Ý È5à âhÁàsÈ Ø áÁ2ÇL+ È 2ÇL?Á 'Ü9m?Á Ý´Á Ù2Ø dÈàsÈ5ÇmÝ?ØÚÅ2ÝÈ3áÖ]ÇL×Ý?ØÚÁ2ÇmÜ èÅÂÄÖmÈÙ[Ø Ç È Ó Ø
ÜÅÒÐØÚÈ ÓàsÁÖI¿ ÅÇOÙØ á g(s) Ø
ܶÙ2Ø ÎÈ5àsÈ5ÇmÝ?ØÚÅ 5ÂÈ&Å2Ý 0 Ý mÈÇ dG (0) Ø
ܶ×Å2 ÂÈÙ Ý È¶Ø Ç ÇmGØ ÝÈ Ü Ø â3Å2 ÓBGÈ5ÇOÈ5àsÅÝ´ÁàXÁá dt Ý ÈÜ BÖ ´ÓàsÁÖI1¿ qC{soJsoIz{~mx /{sko~Êm~{soJzs~nhQBo5oJ{s)¯Smo³´mnho{o5zs}BsBÀBB{~mz4{sko ~]¯±Bsn32{~B }iB]{,{skozs}BsB¡ mJ oJo52{o°~{o5C{~o5x ]® k~
k o¸]
~mz,~µ{z mnXoB¹Qvyo5o ¯±B o¸nho $#è ¡¯±B nXBso]o5{~
z {sk~
z,{~
°~ {skmo5zso¯'ã¡~o"mzJ¹ ÑÌohkmè»o"{koX¯±2® ~soIz|{JÏ{sko¶·m2® ~zÁ2ÇLÈÔ¿mÅ2àsÅâhÈ5ÝÈà¶Ü BÖ ?ÓàsÁÖI¿ ÁáX Ý mÈÓàsÁ2ÖI¿ s) Á|á)Ù2Ø dÈÁâhÁà?/¿ ]Ø
Üâ¶Ü qb{skoJ ®4BzJÏ Φ(., s)Φ(., ¹Qj,k~
z ~nh~oJz ~bms{s~
{km2{4{sko°]o¯±Bsn3{s~mzQ¯:zsm5o~»oJ&2{Q{~nho ◦1Φ(., }yx t)Φ(.,= 1)Φ(.,sso +{® t)~
oÎ{skm{4B}mz|oJs»BoJ3{f{s~nho 0.5 »y~
0.5) ¹Ðã:Bz{}]{,{,oIz|{J C{skmod~]Êm~{soIz|~n3OoJo52{Q¯¡{skmoηm2®É~
zz|~nhx V (x) ¹fj,k~
z ~
z°Φ(., {zss~
zs~ z|~m5oX~{"~zC~{so3oJk2® ~]Êm~{soIz|~n3xSBo5oJ{soJzd{koX·m2®"Ï{k~z~
z ooJ5~zso5x&}yx&~B{o5B{s~){kozzsy5~{soI Vr°(x) ædä êBì ª]©2ª ê ¨ ê © :¦ © î ;3/§ î ,°¥ ê * ©2ª 2§ , î © Zª]2¨ î § !2®{skm{°®o¶kiè»o)oJJoI {kohoJo5/Oo5s{s~oJzd¯4]{sBnhizr°ædäQzJ ¡o5{"mz° }m¼ {sbäQO¹ T ¹ %nº{koho¸]~5~µ{ ¯±Bsn {¼o5b}yx{sko)zs]{~Bmz ¯'{k~zr°æÎä Tz|oJoäQO¹ Ú * O®o5Szso5o"{km2{Î{sko)Bzszs]~
2{oJ·m2® ~
z zs~nhx&{ko¯Únh~x&¯'Ë3o°{smz|¯±n32{s~iz s i® ko5o T s ~z,{ko"2Ë3o{mz¯±Bsn3{s~ o5msoIz|oJB{oJF}Cx exp(s. log(T˜)) ~?¹ o¹'{skmo s O2®(To5 (.)) ¯ T¹ %msBn {sko°oJo5OOo5s{s~oJz4¯¡·m2®zzzsy5~{soIX{sh]{BnXBmz r°æÎäQzJ ]®oμy2®ð{ski2{,{sko ¯Únh~xÀ¯d{smz|¯±n32{~Bmz s(.)) ~
z3 ÁÇOÈ5Ô¿ÅàsÅ2â3È5Ý´È5à ÜBÖ ´ÓàsÁ2ÖI¿À¯°]~ñOoJnhk~
zsnhzJ6 ¹ %msBn {k~
zÎO~C{°¯f»C~o5®" L~{zd~Êm(T ~{soJzs~nh'o5mo52{sB~
z{ko)»BoJ {ÎÊmo5
V (x) = v + L.x ¹ %msBn7{ko »y~o5® O~C{¯¡{sko3ÅÆ[ÇOÈdÓàÁ2ÖI¿ ±~ 5C{sz|{Q{X]~ñLo5nhBskm~zsn3z (T s) ~z,
zs¶Bo³´mnXo5{soJ zs}BsBmz4¯Ð2Ë3o°{siz¯±Bsn32{~BmzJ B® kCz|o°~]Êm~{soIz|~n3¡Bo5oJ{s~
z{sk~
z{s~nho{sko~i~m ê
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
Iå #
C~µ{kn ¯ ¹,qB{o5oJz|{s~x i~µ{°5S}Oo¶zsk2® b® ~{skS{ko)
zzs~J{CBzίfã¡~oBsBmz,{ko5Bsx {km2{¡5C{s~yTmzBo³´mnho5{so5,zs}mmz¯/Ë3o°{smz|¯±n32{s~izso°¯;{sk~
z,¯±Bsn #Jå ?¹ &('
395 1:*2 .K= ? +93;: ? . !,/= ? 7 3G,BCE= 2*3;? 7
¥ ¥ ;¨ î î î ;§ , î © î ( ë ª ê * ©2ª 2§ , î © Àª]2¨ î § ÑÉ~{sk {ko"z|Oo5oI»BoJ{sz]o³ ÊioJS}yxbäQO¹ T LoX5]oÊioXF2»oJ¡{xyOo)¯4iBxC2Ë3o"{mz¯±Bsn3{s~mz iz|~&{kohz{o5mz ¢m¾åS¯ {sko'xB2Ë3oh¯±nhoJ®4Bs¼L¹bq¾{skmozsoJCo5? '®4oF® ~Qo¯±oJ{s{skoIz|oFo5® OxBËhmo {mz|¯±nh{s~mzzÒ;ÁsÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙÈÅÇ&¿mÁ2ÂÄÃÅ|ÆZÇLȶÝTàsÅÇܱáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇmÜ ±Bã¡äf4j;z ¹Qj,km~z,mnho5nhoJz ¯±n B,®4Bs¼3B]~ñLmz|~{soJmzsz $] #I ? m® ko5od®o°kmè»osoI]xhmzsoJ~i~mLBs~{skmnhz {hs]5oJzz{sk~
z,{ko5,{xyOo"¯Ð2{¹ SBsoQsoI~
z|oJxB èo5{ }io 2Ë3oQ{smz|¯±n32{~Bmz5 Imo5{ }io4{skmo5~;oJzsioI {~»Bo ms~m~mBBs~{skn3zJ¹_(Mj,kmi,o5tÉi )moN5ð¯±iz|oS{ko5n B5B~Ì{¾{sko(L®4i,oJv~Bi )kB{z wi (x) ® ~{skç{sko ¯±B2® ~ðr°ædä ® k~
k~
z {sk~
z{s~nhoÉÅÖ]Ý´ÁÇOÁâhÁÖyÜ °~?¹ oB¹® ~µ{k{SyxÉ~]·io5m5o½¯){ko{~nho inho{o5 s ~{kozsoJBmnXoJn)}Oo5 ¯;{ko"oJCm{s~¡Ï x˙ =
X i
wi (x) (vi + Li .x) .
$
äf¸]B {xhzÐ~h{skmoÎ5Bz|o ¯O{koB]³]{BnXBmz'OxB2Ë3odr°ædä¾}mBz|oIhhäQO¹(Úå Czs]{~Bmz'{s {k~
z4m2»o5r°æÎä oήo5µ³]o5ÊmoJ3¯± m{~nho s ±~?¹ oB¹'o5»Bo5)~]Êmm~µ{o5xh¯Ú~ "Êm~{so°{~nho ]] m&{ . }2®u isoJB]oJzz¯/{sko"~~{s~
:5m]~{s~:¹Qj,ko"y¯'~z o5¸y{so5nho5xFzs~nh~Ú{skmBk zs~nXmoJJ ]~ ¯Ú { 4{sX{ski2{~»oJ~# ¤ ¡¯±,{ko"o5»y~BmziBxC2Ë3o°¯±nho5®¼L¹ !Î2®" i®o)¼y2®_¯±n7{sko¶o5mo5:msBioJ|{~oIz ¯Qz|{{s~msxSr°æÎäQ!z ±® km~k® kmo5o)oJzso5C{soI }i2»Bo ¡{skm{Ð{sko,·i2® T (s, .) ¯O{sk~
z4r°ædä̯±nhz'3Á2ÇLÈÔ¿mÅ2àÅ2â3ÈÝÈàÜBÖ ´ÓàsÁ2ÖI¿¯L]~ñLo5nhBskm~zsn3z5Ï ~
z{sko"~
]o5C{~µ{x m T (r, .) ◦ T (s, .) = T (r + s, .) ¹ T (0, .) êBì ª]©2ª ê ¨ ê © ;¦ © î ;3'§ î , * § äи {x~¼o"~ {skoË3o5Bz|oB ]{sko¶r°ædäÉ~»oJ }y8 x $ ÎoÊmoIzÎm{dBxbmo³´mnho{o5Îzs}BsBS¯dÙØ ÎÈÁ2â3Á2à?B¿ yØ
Ü â)Ü ;~µ{"
z|FxC~o5
z&Bo³ inho{o5z|}m¯ Ò;ÁsÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙÈÅÇb¿ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈFÝ?àsÅ2ÇmÜ áÁà âhÅÝTØÚÁÇÜ hSBsoXoJ~
zso5x ¡ z|~nho kiBod¯;»2~}o s ,zsk2®z4{skm{ {sko·m2®u2{ {s~nho 1 ]® ~{|{soJbko5o 1 m5soIz|Ommz {&hiBxC2Ë3o{mzs¯±B7→sn32{s~F® kmBzso"mnho{o5z,o{sko2 znho"®o5~kC{z BTz,({s2k,o).)~B~moIz5 }m]{/® kmo5of{skmoËhmoQ{mz¯±Bsn3{s~mz:kmè»of}Oo5oJ{mz¯±BsnhoI"~C{{skmo5~'zCmofy{z ±~?¹ o¹;{skoJ~ C~µ{kn3zkmè»o}Oo5o5Sn¶{s~~oJ }yx 1 ¹,vy~nX~
xB ]{sko·i2®_{ {s~nXo s T (s, .) oJzsiBmz4{s bOxBË3oX{smz|¯±n32{s~iz® ~µ{kÌ~
]2oJB{~J4®4oJ~BkB{z}]{)® ~{sk{ko s i2®o5)¯{sko&Bs~~m Ë3o°{smz|¯±n32{s~iz5¹ dz BmzsoJCo5io T (s, .) Ju}ioÌ~C{o5so5{soIzF{skmo s O2®4oJ¯{skoã¡B³´äfm5~
]oJ OxBË3o){mz|¯±nh{s~oÊmoIÌ}Cx T (1, .) ¹)qÌms{s~
mJ L{ko3~y»Bo5z|o¶¯ T (1, .) ±oJzs¡¹X~µ{z zCmoy{ Î~
zdB~»Bo5zs~nXmxS}yx ±oJzs¡¹ O® k~
k~
zd{skoXiBxC2Ë3o¶{smz|¯±s³ n3{s~¾® ~{skÀ~
]o5C{~J®4oJ~BkB{z"}T]{h(−1, ® kC.)z|oFË3o3T{s(1/2, iz¯±B.)sn32{~Bmz"kmè»Bo3}ioJo5À~y»oJ|{oJ ±oJzs¡¹ kiè»o°}ioJo5 {smz|¯±nhoJF~C{sh{ko5~zBio°y{z ¹ rdozskB {sob{km2{&B3o5»y~BmzhOxB2Ë3o {mz¯±Bsn3{s~mzh]~
ÇOÁÝ kmè»o {skmozsnho o5n3s¼2}moÐoJ}~
'sBioJ|{~oIz¡z:㡳?äQm~oJOxBËhmo'{smz|¯±n32{s~iz5¹qB¡o5»y~mz
:;:=A@CBCDC@
J¤
dàÜ
#
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
¯±nhoJ®4Bs¼L O{skoh~y»o5zso)¯,FOxBË3o){mz|¯±nh{s~®,z°{"o5»oJ~½Bo5oJ/ OxBËhmo {mz|¯±nh{s~¡¹ã¡äQQj;zhkiè»oF»Bo5x~C{sm~µ{~»Bo mZz2{~z|¯Ú{sxÌsBioJ|{~oIz5 Ð}OoJJmzso{skoJxÀo }izsoJ&B)¯±mzs~BF¯'z|Oo5oI&»BoJ {zQn¶mk }io5{|{soJ ]{soI3{sX{ko"o5}m~ msBioJ|{~oIz4¯;2Ë3o {mz|¯±nh{s~mzQ{ski {skozsOo5oJ »BoJ {z®4oo5»y~mzsx3iz|oI¹ qS{ko)mo¸y{°vyoI {s~: i®o® ~/z|oJok2®_{sk~
z°z|OoJ5~µÊiÅ2 ÓCÈ 5àsÅØÚ×°sBioJ|{x¯ÐmÎ2»Bo5¯±nho³ ®¼FJb}io)mz|oI{s&o5»y~{so]z|{s~
5x3{ko)Bnh]{{s~m¡Cz{¯fvy{so5åh¯;{koOxBËhmo ¯±nhoJ®4Bs¼ ±~?¹ o¹Ð{ko"Bz|{¯;{sko"~C{soJ2{s~¯/{sko"OxBË3o"r°æd6ä ¹ ¥ êBì 4ª]?© Úª « êî , * § 4BB{sxX{¶{koo5»y~BmziBxC2Ë3od¯±nho5®¼O Cmm2»o5 ã:³?äfi~]oId¯±nho5®¼kmz;{skoJ¡z|Bmn32{ko5n3{s~
5sBioJ|{xLÏfÅÆ[ÇOÈ5ÔØ BÇ 2Å2à ØÚÅÇO×È5¹'j,km~z nhoImz'{koã¡B³´äfm5~
]oJhiBxC2Ë3o¯±mzs~BX¯¡2Ë3o,{siz¯±Bsn32{~Bmz/~zf~y»2~C{'® ~{sk3oJzsOoJ { {¶Cx3Ëhmodkmod¯:yB]~m{sodzsx]z{o5nb¹'j,k~z4{xyOod¯¯±mz|~~zQ{skmo5o¯±o)Ø ÇiÝTà Ø ÇmÜ ØÚ×Ï'~{4{sx ~
z'¯±iz|~¶}io5{®4oJo5XÓCÈÁ2â3ÈÝ?à ØÚ×ÎÝTàsÅÇܱáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇmÜ;zs~m5o4~{f]yoJz/{']oJioJmX2{ÐCB{ko }~µ{sx km~
o°¯Ðy]~m2{o°zsx]z{o5n7kmBzso5&{3soJoJzso5C{4{ko5nb¹ j;z|oJo ® kyx{skm~zQ~zfzsm Bo5{fmzQzso5o km2®À{skmo»2~Bmz'~moJ]~o5C{z'¯'¯±nho5®¼)so 2ñLoJ{soI }yxS&kmo)¯QyB]~m{so)zsx]z{o5nº~i]moIS}yxSËhmo{siz¯±Bsn32{~B A ¹°qknhBo5mo5iz 5y]~i2{soIz5 C{koJzso"kmBoJz sod{sko¯±B2® ~mÏ XiB~C{ x˜ }ioIBnXoIz A.˜ ˜x X®4oJ~BkB{,¯±i {s~ x˜ 7→ wi (˜x) }ioIBnXoIz y˜ 7→ wi (A˜−1 .˜y) S2Ë3o°{mz¯±Bsn3{s~ T˜i }OoJ5nhoJz A. ˜ T˜i .A˜−1 ¹ qZmo5®yB]~m{so&zsxyz|{soJnb ;{koã:³?äfi~]oI¾OxBËhmo r°æÎä-® s~{soIz~ÀknhBo5mo5iz 5y]~i2{soIz5Ï X #I£ ˜ T˜i .A˜−1 .˜ y˜˙ = wi (A˜−1 .˜ y ) log A. y. i
j,kmo5¡ imz|~h{koOo5s{x log A.˜ T˜i.A˜−1 = A.˜ log T˜i .A˜−1 {ko)zs~nhokmmo"¯'»2~}o ~
z,¶zs]{~BF¯;{sko"ã:³´äfm5~
]oIFOxBË3or°ædä ˜ z|k2®z4{km2{ Xnh~ s 7→ x y˜ 7→ A.˜ ˜(s) $~¯Îxi¾xÌ~µ¯
~ ) z s z ] { ~ B ¾¯ #I£ ¹½j,k~z)nhoJiz"{ski2{){koFzs]{s~iz¯ {ko ã:³?äfi~]oI&OxBs7→ Ë3A.˜ o"˜ r°xæd(s)äð~{skmo°mo5®u5y]~i2{sozsxyz|{soJnodo5¸ {xh{ko"zsnho°Bz,~{sko Bs~~mQy]~m2{o&z|x]z|{soJn ÏhB)2»Bo54iBxC2Ë3o3¯±nho5®¼~
z{ko5o¯±Bso3m{¶~]·mmo5m5oJ¾}yx {koFkB~5o3¯ yB]~m{so3z|x]z|{soJn ¹rdmsoJ»C~iz"iBxC2Ë3oX¯±nho5®¼]yoJz{)kiè»oh{skm~z msBioJ|{xB B}OoJJmzsod~{]yoJz{4{¼ozs]Ë&~o5C{sx3~C{XB5BC{Q{ko"o5}m~ÎsBioJ|{~oIzQ¯;2Ë3o {mz|¯±nh{s~mzJ¹ ¥ î ¨ ê © ê ªm§ î ëî ;© î 4 ê ( î ( ë ª ê ©2ª êCí)î © ! § 1 ª ( ( ê ï î mì ;« (Úï ê ª qç{skoÌz|OoJ5~d5Bz|o® ko5o½Î{sko½®4oJ~BkB{F¯±m {~Bmz wi (x) Z{b]o5Oo5iÉ x {skmo½ã¡B³ äQm~oJ OxB2Ë3o°¯±mzs~ ¯:{ko2Ë3o°{mz¯±Bsn3{s~mz Ti zs~nXmxxC~o5
z Ëhmod{mz|¯±s³ n3{s~mz T ]® km~k ~z~»o5}yx&{skmod¯±B2® ~FÒ:ÁÓÔTÕ,Öm×ÂÄØÚÙBÈÅ2ÇÌâhÈÅ2ÇiÏ T = exp(
X
wi log(Ti )).
i
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
è #
j,km~z)~zX{skoJoJzs® kyxÌ®4o&o¯±oJ{¶2»oJfOxB2Ë3o&¯±nXoJ®4Bs¼½z)ã:³?äfi~]oI¡¹ q i]o5oI {ko mzso¯L°Bo5oJ~²J{s~{2Ë3o{siz¯±Bsn32{~Bmz/¯Ofã:³´äfm5~
]oI¶¯±nXoJ®4Bs¼ ¯±B){o5mzsz~
zX~nh~
~{X~À{k~zX2»Bo5Q¯±nXoJ®4Bs¼L¹ÌSoF]o5{~
z¶B¾{skmo Ëhmoã¡B³´äfm5~
]oJ ¯±nhoJ®4Bs¼3ooJzso5C{soIF~ {skoÎioJm]~¸¯;{k~z |{~5oB¹ ë ¨ ê 2¨ T« ¡ª 3 ( ê § äf¸]nhoIz°¯,¢æ ã¡äf4j;z"sohz|km2® ~ %/~BzJ¹)¤m /Fm½m¹)q½{skoIz|o o5¸nhoJzJ OBo¶JÌz|oJo)k2®B{B~
z{~)2Ë3o¶{smz|¯±n32{s~iz ±~?¹ o¹{siz¯±Bsn32{~Bmz® kmBzso ~oJ{Q¯±mzs~B&oJzsµ{zQ~&]5Lzs~B
~µ{~oIz ÐJ&}OoÎBB}mx)¯±mzsoJF~C{¶"o5B4m3~C»Bo5s{s~}o OxBË3o°{smz|¯±n32{s~:¹ ª ê ©2ª êCí)î "© ! qB{o5oJz|{s~x ®oXkmè»oX}]³ ¨5© ê ê 1 ( î § ê ê §J§F¨ î © ê 4 î ;§ î ( ë zso5»oI~½B"o¸]Oo5~nhoJB{zd{skm{"{sko3ã¡B³´äfm5~
]oJ½m{ko3o5»y~mz°OxB2Ë3o¶¯±nho5®¼]z ms2»y~
]oo5¸y{so5nho5xZzs~nh~XoJzs{zJ¹ %;~m¹ ~mz|{s2{soIz¶{skoz|{s~¼y~Bzso5oIzszX}Oo{®o5o5ð}O{k ¯±nhoJ®4Bs¼]zJ¹ !{}o~µñLo5o5m5oJz,BxOoJ ® ko5 »oJsx&
o]o5¯±nh{s~mz,so°¯±mzsoJ¹ j,koJso5¯±o {ko&»èC{Bo¶¯B"ã¡B³´äfm~
]oJ½OxBËhmo¶¯±nhoJ®4Bs¼b2»oJ°{sko3o5»y~mz BoÎ]yoIzQ{4oJzs~o~&{sko°Bi~µ{xh¯~{z4soIz|mµ{z5 C® k~
kFo»oJsxhBzso {{skmBzso¯{koÎo5»y~mz Bo¹'{skoJJ ~{QoJzs~oJz'~X~{zfn)mkh}Oo{|{o5QmXnho~C{s~{s~»oÎnh{skoJn32{s~
5]Oo5s{s~oJzJ ® k~
k 2®¯±Bn)ik½¯ÚBz{o5)5nh]{2{~Bmz5 /z"® ~f}ioz|k2® ~Ì{sko&mo¸y{XvyoI {s~:¹j,k~
zzs~µ{m2{~B ~
zFzsnhoJk2® nhm}ob{sÀ{ko½5Cz|oJoJzz&}Oo{®o5oJð{skoÌ2Ë3o5³?~y»ès~
C{Fmçã¡B³´äfm5~
]oJ ~oJnh~
¯±nXoJ®4Bs¼]z iz|oIS{s ]oJzz°]~µñLmzs~B{o5mzsz $ ´¹)j,koJx
z|xy~oJ»o5xSz|~nh~
oJzs{zJ ]}]{~SXzs~nXmoJm¯Úz|{soJ ®èx3~ {skoã:³?äfi~]oI 5zso¹ Ú¨Jª] ¨ î î ,Ψ Ú§7¥ 3 3;© î ª« j,km~zÎ2»oJ:msCkb~zÎ}mzsoJbBb{sko¶{~BS¯Ð~i~m C~µ{kn¯' Ëhmo{smz|¯±n32{s~:¹fÎz O~C{soJ B]{}io5¯±o ]{k~
zBs~{skmn ~z ®o5³´]o5ÊmoI ~¯Ðmx&~¯'{sko"~m~mC~µ{kn ¯/{skmo"~oJ,ms{ ¯/{sk~
z2Ë3o°{mz¯±Bsn3{s~F~
z ®o5µ³ oÊmoI¹'Îz'd5mzsoJCoJmoB è/o5®[BBk"kmz/o5¸]B {x°{skmo,znho4~nh~µ{2{s~Xz;{skmo4o5»y~mz BoÏQ{s&zs~nh~¯±x i{sko)nhC{¯Ð{2{s~ ~b{sko)Ë3o"{siz¯±Bsn32{~B 5mzs~
]o5oJbzsk
{ }Oo {C¶Bzso,{s7 #I£"]oJo5oJzJ;¹ %mfnhBsomsoI~
z|~mz'Bh{sk~
zQ{sm~ oJBz|oo¯±oJÐ{sXvy}mzsoJ{s~F¢]¹ #¹
F ¡ ç "!# Ì%/) ;02"%'( dz ® ~"}io¾zsk2® ç~{k~
z zsoJ{s~¡ d{skmozsOoJ~ÊiðÅ2 ÓCÈ àsÅØÚ×SOo5s{s~oJz¯){sko¾ã¡B³´äfm5~
]oJ OxBË3oX¯±nXoJ®4Bs¼S2®¯±B¯Úz|{)nh{2{~Bmz¯,ã¡äf4j;zJ¹&qms{s~
mJ ¡®ohOBzsoX o5Ë&~o5C{B~µ{kn-{)oJ»èi2{so°ã¡B³´äfm5~
]oJ3iBxC2Ë3oÎ{smz|¯±n32{s~izÐFsoJ
4~¹ q´¯ N ~
z¶{skobyn)}Oo5h¯d~B{o5nhoJ]~
2{oO~C{zhkBzso5À{s¾]~
zs5so5{s~²5o{skobBB{~yBmz¶{s2oI {sBsx ¯oIkÌiB~C{I :®oXmsoIz|oJB{kmo5ohÌB~µ{kn BxsoIBm~~m log (N ) z|{so5iz°{sS~B{o5B{soh ]{sBnhBmzOxBËhmoXr°æÎäÎ Oms2»y~
]oJ {km2{°{sko){s2oI {sBs~oJzίQ2;{skoXO~B{zίÐ{skoXo5m Bs~
o°5nh]{oJbz|~n)mµ{oJmzsxB¹Ðj,k~z Bz{~]~SBnho5¸]~µ{x&~
z zsnho5k2®_BnXi}o {X{skm{Îk~o5»BoJ&}yxF{sk/o . %mBz{ %B~oJj:mz|¯±n y~b~{z ]Bnh~:¹ vyms~
z|~x y{ko¼oJx3{sX{skm~z Bk~oJz,~{sko"Bo5oJ~²J{s~3{¶{ko"B]³?~oJ,Jzsod¯ F
zz|~
5:nho{k]SmzsoJS~S{skmo)~oI°5zso Omo"{skm{d~
zή ~
]oJxbmzsoJ {Bnh]{so¶ynho5~Jx {ko"o¸]OoJC{s~
¯'hzsCmson32{s~¸¹
:;:=A@CBCDC@
I
dàÜ
#
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6 −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
4
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
6
/~oΤiÏ /2§ § 3 êCê ï 4 ê «¨ î ©2§ î ,¨ í)î ¨5©2ª § (Úª]¨ î § ê ï ª ï © êyê ¬ ã¡B³´äfm5~
]oJ OxBË3ozsioJoJð»oI {z ±® ~{skÉ{kom2»o5ί±nho5®¼ ¶¯"{®4ÀËhmo{siz¯±Bsn32{~BmzX{s[}io ¯±iz|oI¹ ¦ ( ê ¬ B"{sko4o5¯ {J 2¯±iz|oI)zsioJoJ"»BoJ {z5 2m"{skos~kC{I Io5B
:Bs~
"]o5¯±nXoI2¯ {o5 ~C{soJ2{s~¶¯O{sko]{sBnhBmzQr°æÎäι !{so k2®Z{skoB{B~
z|n }Oo{®o5oJX{sko,{®°{smzs{s~mz oJzs{z~b¶BsoIzszs~»BoÎBnhsoIzszs~B¶{sko}Ommx3}io5{®4oJo5{sko{®X5nhOoJB{z5¹Ðj,ko ¯±iz|~ ®Bz 5s~oI&B]{® ~µ{k {®4¶¯±m{s~mz ¯;{koÊmz{5CB~m{soz,®o5~kC{zJ z,~ %/~i¹ #B¹ −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
6
%
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6 −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
#
4
6
/~oF]Ï /2§ § 3 êyê ï 4 ê «¨ î ©2§ î ,)¨ í)î © î ¨Iª]2¨ î § Fê ïª ï © êCê ¬ ã¡B³´äfm5~
]oJ OxBË3oQzsioJoJ»BoJ{szGÚ® ~µ{k{skmo42»Bo5¯±nXoJ®4Bs¼/L¯]{®4d2Ë3o4{smz|¯±n32{s~izL{sd}io4¯±mzsoJ¹ ¦ ( ê ¬ Z{skobo¯ {J Q¯±mzsoJZzsOo5oJZ»oI {sBzJ fiÀZ{sko ~BkB{I fo5m)~
Z]o5¯±nXoIÀ2¯ {o5 ~C{soJ2{s~½¯4{sko&]{sBnhizr°ædä¹ !Î{so3km2®soJ
"m~y»oJ|{~}o¶{skoh¯±mzsoJÌOxBËhmo {mz|¯±nh{s~¡ /k2®o5»Bo5)B{B~
z{~X{ko&{®¯±iz|oI¾s{{s~mzsoF]5x¹Ìj,ko&¯±iz|~À®,z Js~oJF]{ ® ~{skb{®¶~L¯±m {~Bmz ¯:{skmoÊmz|{y]~m2{o"z,®o5~kC{zJ ]z,~ %/~m¹ #B¹ −6
%
:;:=A@CBCDC@
−4
−2
0
2
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
6
I
dàÜ
#
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
−6 −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−4
−2
0
2
4
6
−6
ï 4 ê «¨ î ©2§ î ,Ϊ̨5©2ª § (Úª]¨ î ª ïçª ª Ú§ î ¨5© î 3 Ú«b§ í)ê ( ( Fê ï /~oÏ /2§ 2§ 3 êyê 6 ª ï © êyê ¬ 㡳?äQm~oJ OxB2Ë3oSzsioJoJ »oI {z ±® ~{skð{skmoS2»oJ,¯±nXoJ®4Bs¼/¶¯°{® Ë3oX{smz|¯±n32{s~izÎ{S}ioh¯±iz|oI¹ ¦ ( ê ¬ BÌ{sko3o¯ {I :¯±mzsoJzsioJoJÌ»oI {z5 ¡mÌÌ{sko ~kC{J fo5B
X~[]o¯±BsnhoJ 2¯ {o53~C{so5B{s~À¯Î{koS]{BnXBmz&r°æÎäιfB~: Q{sobk2® ]5xXC{B~
z|{s~
]~
z|
5o5nho5C{zQoÎ~y»oJ|{~}x¶¯±mz|oI ysoIz|mµ{~¶~nhoJzzs~BmzÐ,zs®4oJ~m {{skmo)}OmmxF}Oo{®o5o5{sko"{®F5nhiBo5C{z5¹ j,ko)¯±mz|~S®,zÎ5~oIB]{d® ~{sk{®43]~
¯±mm {~Bmz ¯;{skoÊiz|{y]~m2{oBz,®4oJ~BkC{zJ yBz,~ %/~m¹ #¹ −6
−4
−2
0
2
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
6
%
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ #
$
6
4
2
0
−2
−4
−6 −6
−4
−2
0
2
4
6
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
%/~ o ]Ï ¨5© ê ê « ( î § ê ê §I§,¦ ê ¨ í)êyê ¨ ê î9mì ;« (Tï ê ª 3 î ( ë ª ê ,?©2ª êCí)î "© ! ª ï ¨ ê 3/© ê 4 î ;§/3 î ( ë ª ê ,T©2ª êBí¶î ©"! vyOo5~nhOBzsoJb]o¯±BsnhoIFBs~
z,~}O{kbJzsoJzJ¹ *4î 34¬ ® kmo°Bs~
Fm ¦ î ¨5¨ î ɬ 5Cz|o5³?m¡¹Ðj,ko}mo"~oJzsiBmz4{s3ã¡B³´äfm5~
]oJFoJzs{z i {ko"o5oJFBo{sX{skmo"soJ»y~Bmz4¯±nXoJ®4Bs¼ Ú {sB¯;{ko"}o"~
B ]~ {skoJzsod¯;{ko¯±mzs~B ¯:{®hs{2{~BmzoJzso5C{soIF~ %;~m¹Q¹ :;:=A@CBCDC@
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
¢£
dàÜ
('*)
= ,B2
. =D: 2*?
3;? . ? /24= : = ?
= ?
5 =D,B2*?
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
. 3
j,kmodn32{s~¸Fo5¸yOmo5C{s~
L¯/XzCmoÎn3{s~µ¸FJF}Oo"BnXm]{soIFynho5~
5x3~b)
odyn)}Oo5 ¯O®,èx]z5 2® ~{sk3nhBso,ÐoJzzÐo5Ë35~oJmx $# ´¹frdmo¯i{konhBz|{fO
Яi{koJzso ynho5~J]oJ5~OoJz ~
z35oJ[{ko . v5~¾mÉv]Cms~$'nho{k] ,® k~
k ~
zh¯±B3o¸nhobmz|oI }Cx[2{} {s 5nh]{o¶n3{s~µ¸o5¸yOmo5C{s~
!z $#I ?¹ %mmnho5C{x L{k~
znXo5{sk]½~z°»Bo5x o5Ë&~o5C{"}ioI5iz|oX~µ{ {¼BoJzQB]»2C{o¯¡{skmod»Bo5xXzsioI~Êi°o5}m~ msBioJ|{~oIzf¯;nh{s~µ¸3o5¸yOmo5C{s~
? y® k~koÎ~ ¯ÚB {C~{sozs~nho mBz,®4o"zskm¡zso5o2®"¹ %Byx&zBio°n3{s~µ¸ M ]®okmè»oBÏ exp(M ) = exp
M 2
. exp
M 2
M 2N
2N
= exp
M 2
2
.
# #
j,km~z4nhoIz'¯±sBn-{ko ¯ÚB {f{km2{ 5nhn)]{oJzQ® ~µ{k&~µ{z|oJµ¯~h{sko°z|oJmzso ¯n32{s~¸Xn¶µ{~m~
5{s~¡¹ q´{o52{~X{k~z,oICm~µ{xB ]®4o"Bo{,M ¯±yx&iCz|~{s~»o~C{so5Bo5 N Ï exp(M ) = exp
#I¢
,
j,koJ¡ y{skmo°¼Bo5x3~
]oJX~
z4{shsoI~²JoÎ{km2{,{konh{s~µ¸&o5¸]iBo5C{s~
L~
z,n)mk z|~nho5{s3Bnh]{so ¯±B,nh{s~5oJz×ÂÁèÜ5ÈÝÁ IÈàÁ2¹Ðq{sk~
z,z|~{sm{s~¡ ]Bo5F¯±o¸nho°mz|omz|{¯±oJ®É{soJsn3z¯;{sko ~]Êmm~µ{o)z|oJs~oJz¯Ðo¸]OoJB{~T Oz|~m5o"k~Bk]³´]o5,{o5nhzή ~:}Oo)5nho{soJx oJ~B~}o¹,SoJ»oJ }Oo{s{soJQ~
]oJ~
z'{s"iz|o Ð è¸]~n3B{z5 ® k~kh2»y~oo5¸o5o5C{Qmsè¸]~nh{s~mz/}yx)2{~Bm ¯±{s~mz4¯:{sko°o¸]OoJB{~OsBm3²Jo5)® ~{sk»o5xX¯±o5®É{o5n3z5¹ %B,nXBs!o Úm&oJ5o5C{ Q]o{~z BF{k~
z,{sB~ z|oJo $#I ´¹ j,k+ o . v]J~mbm¾v]Cm~$ :o{skmy½¯±B)BnXm]{s~b{skmo&n32{s~¸o¸]OoJB{~f¯ SzBio n3{s~µ¸ M 5}Ooz|¼Bo{koJ z¯±B2®z5Ï ª ( §5¨ ê 3 Ï']~»C~
]o }Cx3¯ÚB { 2N yzs{ski2{ M ~zBzsoo5mBk3{s¶²5o5 T55]~ #¹ «B {s&zsnho"~µ{o5~BF}mBz|oIM FB {skoo5»oJ¡¯'J5x&]2 oJzs~oJ¡Ï'zso5o #J :¯± nho"]o{~z ¹ ¢]¹ 3 î ê 2¨ Úª2¨ î §5¨ ê 3 Ï exp M ~zQnh{soJX® ~{sk3k~khoJ5~zs~B¶iz|~°¯±Ðo5¸]nho 2 X'B msè¸]~n3C{J¹ å¹ /ª]?© §J¨ ê 3 Ïfmzs~m&äQO¹ #I¢ exp M ~zÎzsCmsoI N {~nhoJz ±Bx N n32{s~¸n)mµ{~µ³ ~J2{s~iz o°oJC~oJ¹ "{h}]{~bX»Bo52x&552{so°oJz|{s~n32{~B ¯ exp(M ) ¹ q½{skoXoJz|{d¯Q{sk~
zvyoJ{s~¡ ®o)® ~fz|oJo)k2®Bo¶J½o5mo5~²Jo"{sk~
znho{k]S{sbBnh]{so ® ~{skSo5¸]5o5oJC{ B55Bx3OxBËhmod{mz|¯±nh{s~mz4}mBz|oIFBb]{sBnhBmzr°æÎäQzJ¹
N
N
N
(' &
= : 2*?
= ?
5 =D,B2*?
3G,
. 3
9+
7
î ª ( î ,f¨ ê 'ê ¨ î ï ÑÌo®
X~¼o{s¶nh{so oË&5~oJB{xXmX® ~{sk&BC]XJ5x"{sko »2oIz:¯mÎã:³´äfm5~
]oIOxBËhmoÐ{smz|¯±n32{~B2{:{ko»o5s{s~
oIz:¯mo5B:]³]~nho5mzs~Bm Ú®4oJ? /¢æ åBæ ~¾B {~5o d~¡¹Fj,ko3nho{k]ÌoJz~}OoJÌ}Oo52® ® ~Q}io3o¯±oJsoJ{sBz{sko . %mBz{ 'xBË3o"j:mz|¯±n 1± %/Q j ~{sko"oJz|{ ¯/{sk~
z mioJJ¹ IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
¢ #
¥ã:o( { Oê ¦;©2ª T« }O ob© î{sk3 o ê ©è·m¨2 ® ê § zî z|, ] ~
2î{oJìZ {s /Ì« ({sÚkmï oê ª ]{ îBnX( ë Bª m zX iê BxC* 2©2Ë3ª o§2, îr°© æd Àä ª]¨2 $î ,§ BzX~çê 4 vyÚ§±}i¨ z|ê oIï ³ {~BbT¢¹ (s, åm¹ÐÎ.) z nho5C{~BoJ }Oo¯±o y{k~
z,·m2®~
z Xo5³?inho{o5,z|}m ¯'ã¡äfQj/zJÏ mF¯± r, s Ï T (r, .) ◦ T (s, .) = T (r + s, .) . T (0, .) = Id dz ¶5mzsoJCoJmoB yäи {x&Bz,äQO ¹ # # f¯±{skon32{s~¸&o¸]OoJC{s~
? ]®4o°}]{~F¯±B r = s = 1 Ï 2
T (1, .) = T
2 1 1 1 ,. ◦T ,. = T ,. . 2 2 2
q´{o52{~X{k~z,oICm~µ{xB ]®4o"Bo{,¯±yx&iCz|~{s~»o~C{so5Bo5 N Ï T (1, .) = T
1 ,. 2N
2N
#Jå
.
qC{~µ{~»Bo5x fä4i ¹ #Jå nhoImz¶{ski2{h® km2{X{skoS]o5¯±n32{s~Z}mzso5»oI¾2{X{s~nXo soIz|mµ{z)¯ {~nhoIz,{sko"o5Oo{~µ{~BS¯/{skozsn3:]o5¯±nh{s~mz,B}mzso5»oJ2{ {~nho 1 ¹4j,ko{s{1;]o¯±Bsn32{~2BN ~
z°o5C{s~o5x]o{o5nX~oI}yxS{koh~~{s~
( TmÌz|n3 °]o¯±Bsn32{~BmzdyJ2~)mz|{)2{°{skoh}Oo5~]³ m~b¯Q{skmoX~C{soJ2{s~½¯)r°ædE ä Ú® k~kÌ~
z"®o5³?¼y2® m½o5mo5'koJnho5m® ~{sk ]{sBnhBmzr°æÎäQz ¹ ª§J¨ î ( ë ª + ê * ©2ª 2§ , î © ÑÌo)Jb2®Bo5oJ~²5o°{k/o . v5~&mSv]Cms~ So{k] {&{ko¶ã:³´äfm5~
]oISOxB2Ë3o¶5zso¹°j,k~
zÎnho{k] 5oJb{k7o . %mBz{°'xB2Ë3o¶j:mz|¯±n ¯±B2®z4{sko"iz|mL{sko5oz|{soJmzJÏ ª ( §J¨ ê 3 Ï'~»y~
]o V (x) {skmoÊmo5
F¯;zsioJoJ »oI {sBz Ð}yxF)¯Ú{sB 2N z|¶{skm{ V (x) ~z #¹ «B 2 Bzsoo5Bk{sh²5oJs T55]~){X{sko"o5»Bo5¯ÐJ5x&]oJzs~soIB ¹ ¢]¹ 3 î ê 2¨ Úª2¨ î §5¨ ê 3 Ï T 1 , . ~
z nh{soJ mzs~3b]oIBi2{soynho5~
5¡zkoJnXoB¹ 2 å¹ /ª]?© §J¨ ê 3 Ï3iz|~ä4i ¹ #Iå T 1 , . ~
zXzCmoJ N {s~nXoI9 z ±~À{skmozso5mzsoF¯{sko BnXOBzs~{s~ç¯{smz|¯±n32{~Bmz °mx 2N 5nhiCz|~{s~izFooJC~oJ¹ {Z}{~ J2{o°oIz{~n3{s~ ¯ T (1, .) ~?¹ o¹Ð¯;{sko"OxBË3o°{smz|¯±n32{s~F{sh}Oonh{soJ¡¹ %msBn F{s~
5 Ú°ynho5~J O~C{¯Q»y~oJ®" {®FO~B{z°soJnh~{sb}OoX5s~ÊmoJ¡¹ %/~z{ ® ki2{ynho5~J:zkoJnXoJb}Oo"mz|oI {s&5nh]{o T 1 , . ® ~µ{kShy]msoI~
z|~S]~h{sko . o¸]OoJC{s~
2{s~ z{o5 vyoJ5m 4k2®7zskBÀ{sko5nh2 OBzs~µ{~B ±® km~k ~zX{kobn){s~~J2{~B BioJ{sB4¯±B,{smz|¯±n32{~Bmz f}io"Oo5s¯±nhoJ ]~m¶{k/o . zsCms~hz{o5 3 î ê ¨ Úª]¨ î ¨ ê 3 äи{sx½Bz~Ì{skmo&n32{s~¸½o¸]OoJC{s~
f5Bz|oB :~C{so5B{s~SÀr°æÎä s~)»o5x¶zskB|{Q~C{soJs»2i¯{~nho Tz|kms{Q® ~µ{k&oJzsioI {f{{skmodzsnXy{skoIzszf¯{skmodzs]{s~ Ð~z C~{so"oIzsx¹'ÑÌo5bmzso"yx&¯;{ko"nho{skmymz
zz|~
5x3mzsoJ{s3~C{soJ2{sor°ædäQz]~&z|kms{ Oo5~ymzQ¯{s~nXoIz5 y~¼BoÎo5¸ym~
~{,zkoJnXoIzfB mo5³ ]{s{)nXo5{sk]zJ y® k~
kFo}mBz|oI3&»2s~mz N
N
N
N
N
:;:=A@CBCDC@
¢B¢
dàÜ
صÓÇiÃFÈÝ Å2Â
iz|oIz ¯'{skmo)j;èxy]oJ»oJBnho5C{ {sF5nh]{oz|B{s~mz ¯4r°æÎäQz Úzso5o # $ :¯±ÎnXBsoo{~
z B {koJzsonho{skmymz ¹ j,kozs~nXmoIz{ЯO{skmoJzso,zkoJnXoIz/~zÐmm]m}]{soI]x{sko,Êmz|{|³´]o5/o¸]~5~µ{QzkoJnXoB¹;qXmf5zso ~{Îzs~nhxFBmzs~z|{z,~Snh{s~X{sko¯±B2® ~mX»2oBÏ ! !#"$%& ('!*)!+,.-/ 0 '2143
1 ,x 2N
def
1
576 8 6 = x + 2N .V (x). 9 oJo5~²5~Î{ko,~oJzÐoJB]x]oJ»o5OoJ)~9 ¤ ¯±B;{ko o5»y~mz/OxB2Ë3o4¯±nho5®¼L 2®4o,5 T
zsmzsoÎ"z|oIBmy³´]o5Ðzko5nho ® k~
kh{¼oJz'~C{s)B55C{'{skod2Ë3om{so ¯i5nhOoJB{z5 m½® k~kÌ~
z&È yÅ×5ÝÐ~{ko35zsoX¯bzs~moh5nhOoJB{I¹)ÑÌo3® ~Ðo¯±o5°{{k~
zzskmo5nhoXBz°{sko Å|ÆZÇLÈ¶È ¿ÁÇOÈ5ÇmÝ?ØÚÅ2Ý?ØÚÁ2ÇÜ× È5â3È,~ {ko¯±2® ~i¹/q´{® ~{soJzJÏ ':4; < ( =?>?@A !BCD %E"=E F G'!*)+,,-/>H0 '21 3 T
1 ,x 2N
I 6 846
def
=
N X
1
wi (x).Ti2N (x),
i=1
® kmo5o ~
zf{ko N y{Q¯{sko2Ë3oÎ{smz|¯±n32{s~ ¹/ÑÌo°® ~z|oJoÎ
2{soJ4~3{k~z vyoI {~B {km2{ {kToi J5x&2¯;{sk~
zynhoJs~
5¡zskoJnhoB{soJ{h{sTkioËhmo"m2{so¯;{ko)BnhiBo5C{z ~
z zs~kC{sx&}Oo{s{so5{skm{km2{¯:{ko"o¸]~5~µ{ÎzkoJnXoB¹ § (Ú§I«© ê ¨ ê * ©2ª 2§ , î © Zª]2¨ î § q{sk~
z®4Bs¼L O®4ohoXo5»2m2{~mFmd{mz|¯±s³ 1 î 3 î 2 n3{s~&2{Q ÇmØ ÝÈÐyn¶}ioJf¯»Bo5s{s~
oJzf¯¡"o5mÐ~¹/f{s~
5x BokmBz'{s)soIz|B|{Ð{)z|Bnho ¼y~m¶¯i~C{soJsO
2{~B! Jèo5¸C{iB{s~{oJk~
Co{s"55
2{so4{skmo »èmo4¯OzsmkXd{mz¯±Bsn3{s~ {°Å2Çià z|m{s~
iiCz|~{s~¡¹ !mnXoJsBmzÐOBzz|~}~~{s~oJzQo¸]~
z{Q~h{skm~z]n3~¡ Cz|ik&oJsoIz{s³?oJ~Bky}iB ~C{soJsO
2{~B¡ }~³:'{s~³´~oJÐ~C{o5iB{s~¡ 5C{s~yiz'soJsoIz|oJC{2{~Bmz/»y~°{ko mzso ¯}mzs~z ¯Qz|nhy{kb¯±m{s~mzd~¼o¶®è»Bo5o{z5 iB]~:}mBz|~
z ¯±mm {~Bmz5¹¹¹ÎqS{ko)¯±B2® ~m i®4o¶mz|o)}~µ³ i {s~³´~oJd~C{soJsO
2{~Bmz5 L® k~
k½sohzs~nho){y
zdBmC{o5o5~F BC{s~Cmmz°~B{o5iB{s~¯ Bd{smz|¯±n32{s~:¹j,kmo¶}OoJz|{{xCOoX¯Q~C{so5O
2{s~{soJkm~Co¶¯±°{ko¶msOBzsoJz°¯Q %mBz{ 'BxC2Ë3oj:mz|¯±n o5n3~mz{s3}Oo]o5{so5nh~moJ m ® ~}Oo{skozs}]oI {¯:¯±]{so"®¼L¹ ¥%/Q( Ojî Q?© {sÚ¨k oS ®Úo5« ~1kC{3î ¯±i3 ( {sê ~i±¨ z3ë o5oI! {so{sxZkm}O{¶o{o5Ì»25mnh{soI] {oÁOÇO×ÈhxBOË3o5&»Bo&è{¸]o5?m 4z~¯±mBz|s{sn3oJB {s~m¯z)o5m»2z|~m½2{{s~mko {ko5n${ È 2È5à ÃSÜ Ý´È¿Ì¯{koF~C{soJ2{s~¯{ko r°ædä 'z®,z)]oF~ ¤ ´¹Sq¾{skmoF5Bz|o&® kmo5o ®o5~kC{¯±mm {~Bmz¶soz{oJ~À{skmoBnh]{soJ¶nhoJnXBsxz¶åæ zsJ
~n3BoJzJ ;{k~
z)ñOoJz){sko BOs{s~{xX¯¡o5nh2»y~{skoJn ¯±sBn-{ko°5nh]{o5,Î 2¯ {soJQ{koÎo5¸]iBo5C{s~
2{~BFz|{so5:¹'j,km~z 5
}Oo&ms{s~
msxmzso¯±m4® koJÀS
o3yn)}Oo5)¯Î2Ë3onhOoJC{zso3mzsoJB¾k~k]³ oJzs]{~BF~nhoIz5¹ %m|{ko5nho :{sko3oIBm~»2o5C{¯ N ~C{o5nXoI]~
xSiB~C{z~zBk~o5»oI~¾mx z|{soJmz5 /~ 5C{sz|{® ~{sk{ko 2N z|{soJmzdsoIBm~oJb2 }yxS3{B]~µ{~Bm;nho{skmy¡¹°ã;z|{d}]{°{°oIz|N{J 2¯ {o5d{sko 1 2N
IJ K: I L
Ò;ÁÓÔTÕÖm×5ÂÄØÚÙBÈÅÇbÞ ÁÂÄÃÅÆ[ÇOÈÛ¡àsÅâhÈQÁ2àÎáÁ2à°Ò;ÁI×Å ÂÄÃdصÓØÚÙÁàÐÆ[ÇOÈ XÈTáÁ2à â3Å2Ý?ØÚÁ2ÇÜ
¢å
C{¶kmBzX}ioJo5[5nh]{oJ Qx 5nhiCz|~{s~iz)}Oo{®o5oJÀ{siz¯±Bsn32{~Bmzmo5oJÀ{sÌ}io 5 nh]{oJ L® k~
k~
z°BioJ{s~S}mBz|oINS~C{soJsO
2{~BS{soIk~
BmoJz°mb{ko5o¯±Bso¶{°»oJsx 5nh]{2{~Bmx o¸]Oo5mzs~»o¹°ã¡o5{ }Oo{ko¶yn¶}ioJd¯f»è¸]o5
zÎmSo{ }io¶{sko¶yn)}Oo5 ¯Ð~C{soJsnhoI]~sx O~B{zÎkCz|oJb{s&N~C{soJ2{so{sko¶iBxC2Ë3oXr°ædä¹Lj,ko¶5nhN o¸]~µ{x¯fBÎoJ® B~µ{kn ~
z3{kymz ή ko5oJBzh{sko½nho¸]~{x[¯{s]~{s~mÎnho{k]z&¯ log2 (N )) ¹ ~C{soJ2{s~¯;{sk~
zdO(N r°ædä ~
z .O(N .N ) ¨ ¨ ê 4 ê ©2§ êuî ,ª î ( ë ª ê * ©2ª 2§ , î © Àª]2¨ î ÎzhO~B{oJ {h~Évy}]³ 1 î 3 : zsoJ{s~¢]¹ å ~ÌBo5®-¯±nho5®¼{koh~y»Bo5z|o¶¯ OxBËhmo){mz¯±Bsn3{s~~
z"z|~nhxS{sko OxBË3o {siz¯±Bsn32{~B3zz|]~
2{oJh® ~{sk3{koÎBOBzs~µ{oλoI {ÐÊmoJ ±~?¹ oB¹'{skodiBxC2Ë3o {mz³ ¯±Bsn3{s~Ì® ~µ{k½{koFznhoh®4oJ~BkC{z}]{~y»oJ|{oJÌ2Ë3o&BnhiBo5C{z ¹ÎzbBmzsoJCo5io :{sko ~y»oJzso,¯:OxB2Ë3o{smz|¯±n32{s~h53}iod
z|5nh]{oJ3mzs~"{skm o %mBz{Q'BxC2Ë3oj;mz³ ¯±Bsnb¹f {smx myx&i2®o5 TzsCmsoy{J ]o5{¹ hhOxBËhmod{mz|¯±nh{s~ 5 }Oo)BnXm]{soI {k~
z ®èxB¹
2N
('
&
![Simple and Fast Fluids - HAL-Inria [PDF]](https://m.moam.info/img/260x300/simple-and-fast-fluids-hal-inria-pdf_647d5f86098a9ee73b8b4685.jpg)
