A Table of Primitive Binary Polynomials - Poincare

A Table of Primitive Binary Polynomials ˇ Miodrag Zivkovi´ c∗†‡

Abstract For those n < 5000, for which the factorization of 2n − 1 is known, the first primitive trinomial (if such exists) and a randomly generated primitive 5– and 7–nomial of degree n in GF(2) are given.

A primitive polynomial of degree n over GF(2) is useful for generating a pseudo–random sequence of n–tuples of zeros and ones, see [8]. If the polynomial has a small number k of terms, then the sequence is easily computed. But for cryptological applications (correlation attack, see [5]) it is often necessary to have the primitive polynomials with k larger than one can find in the existing tables. For example, Zierler and Brillhart [10, 11] have calculated all irreducible trinomials of degree n ≤ 1000, with the period for some for which the factorization of 2n − 1 is known; Stahnke [7] has listed one example of a trinomial or pentanomial of degree n ≤ 168; Zierler [12] has listed all primitive trinomials whose degree is a Mersenne exponent ≤ 11213 = M23 (here Mj denotes the jth Mersenne exponent); Rodemich and Rumsey [6] have listed all primitive trinomials of degree Mj , 12 ≤ j ≤ 17; Kurita and Matsumoto [2] have listed all primitive trinomials of degree Mj , 24 ≤ j ≤ 28, and one example of primitive pentanomials of degree Mj , 8 ≤ j ≤ 27.

∗

1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision). Primary 11T06, 11T71. Key words and phrases. Primitive polynomials, finite field. ‡ This research was supported by Science Fund of Serbia, grant number 0401A, through Matematiˇcki institut †

1

Here we give (see Table 1) one primitive binary k–nomial (k–term polynomial) of degree n (if such exists and the factorization of 2n − 1 is known) for 2 ≤ n ≤ 5000, k ∈ {3, 5, 7}. For chosen n and k, we have the polynomial P 1 + xn + xa , where a takes the values from the entry at the intersection of the row n and the column k. The 5– and 7–nomials listed in Table 1 were obtained using a random number generator. Randomly chosen k–nomials of degree n are checked for primitivity (see [9] for example) and rejected, until a primitive polynomial is found. The trinomials were tested in the natural order. The primitivity check is carried out using the factorizations of 2n − 1 from [1], and also from [3] (2512 + 1), [4] (2484 + 1). These factorizations are known for all n ≤ 352, and for some n ≤ 2460, where 2n −1 is not a Mersenne prime. Asterisk in front of n in Table 1 means that 2n − 1 contains ”probably prime” factor [1], i.e. the factor without the complete primality proof.

2

k

3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

1 1 1 2 1 1

5

7

n

4 3 2

1 3 7 3 2 1 5 3

3 2 3 13 2 11

4 3

5 9

1 1 2 1 3 2 1 1 3 1 3 10 4 4 3 2 3 3 4 2 7 13 17 5 2 9 8 2 11 8 9 7 2 5 16 23 27 30 5 18 4 18 11 1 16 17 15

2 4 3 2 5 3 8 2 5 11 4 12 12 11 9 7 4 7 8 5 12 15 22 8 6 10 23 7 16 12 17 12 14 6 23 27 31 31 22 35 28 31 24 9 18 31 24

3 5 4 7 6 8 10 10 8 12 12 15 16 16 10 13 9 12 15 11 13 23 23 24 16 27 25 16 26 17 27 33 22 27 35 29 32 34 27 39 39 40 32 19 24 34 46

1 2 2 1 1 2 1 1 5 2 2 1 6 1 6 2 5 3 7 1 6 5 3 11 1 1 1 4 2 6 3 6 2 6 11 1 8 5 14 21 5 5 8 5 12

2 4 3 2 2 6 2 3 6 9 5 4 12 10 8 4 11 6 10 6 11 11 11 12 8 3 8 7 21 17 21 9 13 7 12 8 25 16 15 23 17 12 39 6 15

3 5 6 5 5 8 5 4 7 12 6 7 13 14 14 9 12 7 13 15 17 21 15 24 10 12 17 14 23 25 30 11 15 18 20 14 30 25 23 24 19 27 41 16 22

4 6 7 6 7 9 10 5 8 13 8 8 16 16 18 14 13 16 15 17 18 24 16 28 14 17 19 20 31 26 31 20 36 28 32 24 32 40 27 40 32 29 42 21 24

5 7 8 7 9 10 12 11 13 14 13 10 18 18 19 21 17 23 23 24 19 27 22 29 16 30 32 31 32 28 33 36 38 36 40 27 35 43 33 44 42 43 45 36 25

Table 1: Primitive binary polynomials 3

k

3

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

3

5

7

n

24 7 19 1

1 18

9

6 25

9 4

13

13 38

2 21 11 6 11 37

17 20 29 19 29 1 4 26 27 15 3 20 9 10 39 3 29 20 3 48 2 11 7 14 14 2 16 24 17 9 27 16 45 11 7 21 15 34 10 29 13 67 18 11 15 17 26 11 36 26

18 41 49 38 39 16 37 46 28 19 26 44 34 18 48 33 47 27 57 53 14 50 43 18 29 36 20 28 27 34 41 33 51 36 10 53 53 67 58 31 24 77 29 77 17 44 85 38 60 74

22 50 53 50 41 42 52 54 34 44 57 54 61 38 55 61 62 63 69 59 23 58 68 33 52 52 47 44 75 43 68 55 59 50 80 56 86 77 71 50 32 88 80 83 81 93 87 68 81 83

1 4 9 16 5 4 23 21 12 33 2 5 23 8 4 25 14 21 30 21 6 2 4 2 1 13 5 28 10 1 43 25 15 17 32 24 33 18 45 1 42 12 2 5 4 5 5 4 16 33

2 18 10 23 20 5 32 22 13 38 9 8 28 10 7 26 29 22 34 30 10 12 17 21 17 25 29 33 37 27 44 27 30 22 47 52 46 21 62 44 47 66 14 17 10 6 34 9 22 45

16 29 23 44 28 31 37 34 19 47 16 18 31 15 8 28 39 39 43 34 11 35 23 29 27 62 40 39 50 28 53 42 49 27 56 65 51 31 64 58 65 73 18 40 11 28 35 28 34 57

25 37 24 45 38 40 54 45 31 52 18 22 56 43 23 44 41 44 58 45 14 48 28 60 28 68 53 56 51 48 66 47 62 44 65 68 54 68 74 78 74 80 28 90 14 53 41 43 77 86

50 51 34 51 45 50 55 53 48 59 48 60 61 60 50 64 63 50 63 49 22 66 69 72 34 74 73 57 70 63 79 67 82 78 78 85 86 81 82 83 76 83 43 92 57 82 75 84 83 92

Table 1: (continued) 4

k n 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

3

9 16 15 31

10 9

33 8 18 2 37

1 5 3 29 57 11 21

29 21

52

27 53 3

5 15 60 6 70 19 39 3 25 21 5 2 25 54 8 24 64 50 36 9 33 35 23 15 65 10 13 11 2 19 17 22 28 34 10 109 42 26 23 63 7 67 110 54 23 78 43 27 27 17 25

19 80 49 87 86 54 24 58 55 67 19 80 72 20 27 73 106 52 46 42 39 51 31 90 70 45 35 5 70 28 43 44 40 93 114 56 47 60 97 67 96 118 65 133 101 89 57 60 62 27

7 27 83 89 96 96 59 59 102 97 77 68 96 103 30 95 74 117 82 88 43 54 113 43 103 117 54 77 10 97 85 70 50 71 109 134 98 103 85 112 125 137 142 129 138 115 110 124 132 136 117

38 22 33 7 12 23 36 3 7 19 63 13 2 17 4 4 29 20 70 8 93 4 48 9 51 31 36 41 20 32 5 14 12 13 9 1 19 35 3 57 80 10 51 19 22 50 55 33 69 7

50 35 43 15 17 29 43 69 17 54 71 38 38 21 11 53 37 43 71 25 98 14 60 24 64 38 38 43 46 85 9 21 18 17 18 24 24 77 6 64 85 13 53 55 38 118 98 34 83 11

52 43 80 21 34 40 46 74 30 71 87 48 62 47 12 70 45 92 77 105 100 18 72 39 70 67 45 100 84 87 83 69 25 80 39 44 105 91 39 68 90 17 56 111 46 122 121 53 87 33

65 67 81 40 78 84 62 95 70 101 109 92 74 58 43 74 59 111 82 115 109 21 74 57 78 68 57 110 110 89 91 101 69 88 67 51 109 112 42 81 104 112 66 124 105 141 129 71 89 53

88 69 102 101 86 89 68 100 72 102 111 109 79 98 105 104 109 116 87 116 119 121 107 108 81 97 95 114 123 104 93 120 74 134 106 99 117 118 69 115 118 136 71 139 116 142 145 148 94 64

Table 1: (continued) 5

k n 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201

3

1

31 18

6 34 23 7 13 6 8 87

56 24

9 15 87

65 34 14

5 35 12 119 77 10 42 19 7 30 25 123 64 8 12 26 4 29 29 92 70 22 10 41 37 57 122 34 39 14 63 59 11 11 9 62 17 81 86 109 3 17 19 51 28 69 11 97 48 69 133

120 72 128 129 50 47 35 20 56 109 127 115 111 75 77 9 32 100 105 106 27 13 56 146 119 151 159 129 98 133 111 73 148 33 63 65 87 120 145 78 103 39 56 41 152 44 144 84 134 164

7 145 137 151 152 143 110 151 100 101 134 150 133 140 137 157 103 127 131 145 114 95 123 78 173 129 170 160 152 149 164 155 148 174 120 146 88 170 171 187 188 142 61 182 68 191 114 154 106 135 200

36 8 35 19 46 27 48 87 28 33 2 4 8 32 8 51 13 21 29 25 80 32 12 57 35 14 84 26 68 9 26 19 1 14 47 56 67 36 32 30 59 22 20 84 28 17 82 27 13 64

89 40 51 29 52 69 52 92 58 35 14 40 48 55 18 72 21 65 44 105 97 44 30 85 103 24 87 53 73 22 48 24 81 39 52 100 69 45 58 66 94 65 21 105 65 26 103 38 17 119

90 54 96 42 63 79 75 98 87 52 116 59 72 70 32 84 102 93 54 109 103 102 46 90 105 50 88 123 148 38 115 96 109 121 65 105 113 65 125 99 113 113 47 106 72 77 107 44 57 125

101 74 102 116 65 84 107 107 88 67 133 88 75 110 93 102 104 103 98 142 136 151 67 135 128 72 117 154 155 47 120 113 152 130 124 160 141 147 159 119 143 159 64 108 133 79 108 104 106 147

143 91 122 151 116 85 108 137 136 69 155 153 117 152 118 125 106 129 121 150 156 169 90 143 137 170 165 157 178 58 175 181 182 134 128 178 142 180 163 166 181 173 161 154 148 124 143 184 132 156

Table 1: (continued) 6

k n 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

3 55

43 6

105

23 45 11

33 32

26 74 31 5

36 70

82 86 103

5 22 121 59 147 125 114 63 78 38 52 29 55 88 41 98 31 11 55 23 142 45 30 2 57 107 11 20 4 195 99 35 41 37 22 110 54 7 10 226 28 83 97 157 193 25 40 53 40 28 61

63 123 95 169 129 126 77 143 47 153 36 84 100 96 103 51 95 58 121 156 46 64 39 103 128 43 100 66 212 137 71 149 80 37 117 64 44 56 235 32 91 181 190 206 147 96 189 116 107 75

7 83 167 108 197 155 206 97 204 155 155 176 112 133 124 109 144 128 143 168 211 106 72 116 205 162 142 125 189 222 224 169 189 113 124 224 211 155 66 238 170 216 191 220 243 231 214 199 146 180 178

90 59 97 12 3 28 58 50 13 51 83 15 103 46 31 12 27 3 39 32 44 44 9 72 65 65 44 17 24 13 80 58 19 20 73 26 72 12 25 26 29 51 18 17 55 12 102 9 127 110

105 85 121 103 4 65 64 63 51 63 92 26 176 74 96 25 163 37 100 69 140 57 132 93 81 100 74 55 49 21 150 65 113 122 78 31 84 61 31 100 46 94 75 107 109 107 107 65 139 124

117 124 140 124 88 129 124 66 62 89 127 64 189 106 133 81 165 134 134 114 157 85 135 147 96 104 127 62 96 118 155 148 124 160 86 89 93 207 138 214 66 199 119 126 184 151 152 82 170 199

189 133 143 174 104 136 159 98 110 114 158 134 191 125 190 87 180 190 160 154 171 124 203 178 108 189 181 112 170 138 180 185 146 189 127 144 140 216 150 217 143 203 127 137 214 193 178 113 175 235

195 142 162 190 199 167 201 155 190 136 181 135 207 141 207 144 212 201 190 202 180 169 217 180 137 224 220 157 201 174 222 230 155 234 141 186 178 226 160 219 170 236 210 197 226 220 221 163 216 249

Table 1: (continued) 7

k n 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301

3 67

52 12 83

93 42 47 25 53 58 23 67

5 5 93 35 119 69 71 21

97 61 48 5

7

5 58 19 16 4 121 61 115 17 63 6 22 30 76 43 44 100 23 116 10 9 150 96 40 1 15 108 71 90 175 104 16 2 114 73 99 121 74 176 69 218 156 93 139 98 10 43 114 80 89 181

67 50 131 107 178 181 119 40 211 37 117 34 175 148 133 150 109 133 196 161 197 187 201 234 37 207 153 220 234 129 80 82 211 127 141 155 101 228 149 253 195 106 159 122 198 160 196 113 122 209

7 167 222 189 184 241 195 170 221 218 150 247 181 217 243 198 165 207 166 205 187 221 220 237 250 61 216 242 265 238 134 199 255 247 146 189 157 159 250 266 287 255 205 187 283 235 292 251 149 220 215

11 5 14 50 12 59 28 66 69 23 81 110 59 18 21 75 17 49 41 97 88 9 16 6 18 12 90 150 19 51 40 60 29 129 3 36 13 14 11 48 35 74 84 65 31 4 74 35 49 33

48 27 41 82 48 110 46 134 86 61 123 122 159 36 24 80 24 114 142 109 115 65 52 42 130 56 163 160 49 103 122 130 71 188 115 70 127 72 20 54 87 114 186 102 76 14 100 69 107 196

145 82 133 116 115 151 58 190 91 191 171 137 168 89 36 90 39 149 198 111 137 105 149 106 145 89 217 187 163 105 138 161 147 222 152 108 166 169 81 116 143 205 191 150 80 19 167 133 158 210

169 100 164 153 133 199 146 191 163 203 172 145 206 129 136 154 69 164 215 136 141 130 199 148 149 130 236 228 246 264 161 186 230 255 165 222 175 197 146 228 147 231 241 182 195 134 168 254 163 222

236 158 186 166 213 227 167 223 179 223 182 154 241 239 146 250 187 259 235 231 150 193 267 188 195 139 247 238 274 280 270 234 265 269 171 259 285 279 195 270 160 268 244 210 222 260 255 280 295 277

Table 1: (continued) 8

k n 302 303 304 305 306 307 308 309 310 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 350 351 352 354

3 41

102

79 15 135

36 31 67

34 50

123 2

55

125 75 22

53 34

5 186 43 114 33 119 229 51 241 84 181 103 48 21 42 60 35 44 169 27 31 7 58 20 66 100 10 219 92 50 227 40 287 193 193 54 203 212 222 22 148 28 29 241 7 37 12 13 100 134 156

189 217 145 63 133 237 163 286 171 238 133 64 166 232 227 98 50 293 70 234 32 169 178 107 154 214 232 247 219 258 43 325 266 235 137 250 237 290 49 152 68 153 252 40 267 122 238 147 153 183

7 281 274 198 209 244 273 229 289 211 265 180 251 259 267 232 201 144 319 198 309 106 279 245 289 208 289 301 292 298 281 110 332 307 330 229 303 246 317 179 253 303 211 279 274 334 161 248 183 313 188

61 17 56 140 20 33 65 6 7 171 66 39 64 18 76 44 36 9 78 48 101 56 56 88 9 119 66 52 3 103 13 132 130 2 21 44 69 94 103 240 29 57 113 27 31 72 103 49 152 11

114 77 59 161 52 62 126 22 113 186 86 60 113 20 139 101 135 57 126 213 202 155 71 225 33 134 151 63 25 120 21 232 166 4 102 97 125 183 109 273 32 92 129 76 64 109 184 159 168 142

182 119 74 230 71 81 237 146 147 195 119 116 145 86 166 188 152 233 149 233 234 158 75 258 243 166 173 195 76 185 154 269 177 19 112 120 219 194 234 281 228 131 161 138 162 123 237 221 241 222

206 215 228 245 86 119 282 220 251 225 187 169 185 174 174 303 233 280 246 251 247 281 239 260 244 213 175 258 130 205 255 296 213 149 118 126 234 267 299 310 305 145 230 247 209 169 265 283 285 231

277 244 235 300 254 306 286 300 262 283 262 207 263 265 227 315 283 295 299 321 313 321 322 301 301 270 293 267 292 263 257 331 231 274 258 171 236 338 333 316 340 160 333 325 236 298 278 308 326 308

Table 1: (continued) 9

k n 355 356 357 358 359 360 362 363 364 365 366 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 384 385 386 387 388 389 390 392 393 394 395 396 398 399 400 402 403 404 405 406 408 409 410 411

3

68 63 67 29 91 139

16 41 43 47 81 6 83

89 7 135 25 86

189 157 87

5 58 71 197 115 66 38 9 183 148 111 8 121 41 12 287 126 7 105 122 23 7 36 10 37 190 88 23 215 79 13 92 250 5 207 68 18 106 83 90 337 8 87 12 110 124 25 127 127 166 3

59 144 302 120 201 171 37 255 241 220 183 293 218 350 310 141 106 181 200 24 159 63 186 70 259 193 51 218 175 106 97 326 176 222 204 142 154 147 305 357 293 320 75 114 272 255 174 157 227 202

7 80 303 354 283 249 290 290 262 349 253 299 355 344 359 343 248 147 266 304 85 209 352 303 80 327 375 381 352 299 156 278 381 291 365 254 219 237 348 331 375 295 336 298 315 307 397 345 207 372 228

34 125 14 20 91 35 41 44 28 24 32 103 33 16 30 41 33 40 1 19 53 25 99 103 10 6 4 144 119 115 66 6 150 44 88 76 29 105 15 46 13 77 28 16 9 84 129 80 67 31

143 144 79 77 99 61 191 188 181 93 188 124 59 52 161 211 160 49 29 99 66 123 132 151 71 79 18 175 128 190 138 12 164 61 201 129 83 142 134 196 88 150 252 116 15 130 176 99 70 60

185 215 181 80 155 76 288 201 233 138 270 162 71 173 293 212 201 96 77 254 108 149 173 281 161 110 222 222 232 203 261 33 171 82 251 151 109 237 221 226 118 217 301 160 181 229 206 148 107 190

212 230 247 235 226 125 324 219 247 283 349 187 204 174 322 227 233 194 185 309 155 243 249 282 190 192 274 238 288 303 293 211 247 144 309 174 148 277 264 345 156 243 306 330 246 292 235 247 165 195

248 311 262 299 296 197 353 335 255 313 357 247 340 263 338 359 318 253 242 365 312 323 323 376 351 194 375 379 346 365 314 284 269 373 373 234 177 345 308 364 233 383 346 337 369 366 243 401 244 245

Table 1: (continued) 10

k n 412 414 415 416 417 418 420 421 422 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 446 447 448 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 464 465 466 468

3 147 102 107

149 12

105

120 33

165 65 49 31

105 73 79

38 16 203 61 73 59

5 183 106 90 77 339 120 165 296 94 173 3 107 259 104 282 155 39 111 125 87 78 90 29 310 93 193 49 30 34 168 53 193 49 320 106 101 130 12 54 208 34 11 2 128 135 43 10 13 16 173

360 254 207 196 404 239 278 310 164 211 109 384 264 178 362 187 47 358 129 257 255 231 130 324 162 219 196 199 398 313 59 299 137 327 215 148 152 132 389 209 124 223 110 291 257 92 190 215 76 188

7 387 281 351 399 408 259 354 329 253 290 299 407 381 373 383 287 392 430 263 393 307 249 276 393 328 292 404 320 420 318 131 308 143 435 377 237 302 429 433 355 256 292 281 404 352 173 285 370 187 440

130 111 224 94 82 35 66 92 55 133 66 159 18 162 87 26 11 110 37 75 170 32 157 81 1 63 172 120 145 119 62 21 55 13 69 22 213 177 35 123 3 12 338 92 67 28 83 155 48 57

248 117 295 237 130 181 142 138 101 143 195 186 239 172 96 43 168 120 82 162 175 125 218 103 141 75 195 178 147 280 108 122 73 50 81 118 335 281 108 204 168 23 341 184 142 186 234 327 93 66

325 204 352 282 235 338 239 252 326 292 223 254 323 180 160 69 179 160 389 177 240 140 252 184 392 93 209 182 313 339 204 259 94 70 207 167 370 326 375 231 193 47 378 338 314 214 337 402 126 152

394 261 394 310 370 348 279 280 404 320 264 351 329 217 220 145 230 170 392 185 369 172 256 197 406 215 225 276 366 374 271 291 202 128 295 396 422 355 402 319 201 157 387 364 329 259 426 442 185 246

404 328 413 365 378 361 341 306 415 360 269 368 364 410 385 416 247 195 400 377 418 188 398 231 427 310 259 423 414 376 400 293 364 167 364 448 451 441 403 370 303 161 424 381 332 393 438 443 460 348

Table 1: (continued) 11

k n 469 470 471 472 474 476 477 478 480 482 483 484 486 487 488 489 490 492 493 494 495 496 497 498 500 502 503 504 505 506 507 508 509 510 512 513 514 516 518 519 520 521 522 524 525 526 528 530 531 532

3

149 1 191 15 121

105 94 83 219

137 76 78

3 156 95 109

85

33 79 32 167

1

5 95 38 122 81 107 22 14 72 275 281 319 281 203 54 2 75 63 171 266 111 7 83 99 204 357 94 301 45 43 111 197 74 143 53 125 228 137 243 95 136 10 350 9 329 174 209 169 143 224 173

118 178 186 275 242 189 264 389 398 423 445 421 278 67 57 417 109 246 333 133 178 237 275 248 396 329 425 159 225 242 254 408 214 165 321 230 144 379 122 163 165 437 433 449 216 283 283 222 402 248

7 288 217 470 308 326 260 428 403 406 453 470 440 333 131 143 469 319 374 422 296 183 463 339 299 431 371 427 451 308 279 437 457 358 477 419 491 221 469 311 356 512 455 474 462 301 285 401 374 521 348

4 68 13 30 159 90 55 150 23 30 101 22 40 102 111 117 305 74 39 170 84 96 6 38 13 34 66 31 176 259 8 67 62 83 121 4 53 3 150 27 117 66 13 24 149 13 126 188 270 6

5 180 124 75 213 193 102 155 123 172 135 77 43 350 155 156 381 132 58 283 237 118 39 236 16 132 79 79 246 280 109 254 71 173 149 97 154 70 306 358 124 248 152 127 167 31 400 263 292 110

31 326 191 113 299 321 117 262 135 220 280 98 255 363 188 174 388 373 192 339 465 131 206 305 133 180 266 115 393 294 283 275 136 260 224 284 170 100 359 413 224 293 184 410 478 63 413 274 319 200

64 433 331 199 325 371 149 295 330 384 327 235 434 404 234 444 430 416 285 453 468 394 256 344 149 193 301 261 411 301 384 279 207 410 267 408 338 369 385 446 232 351 289 418 509 151 442 345 439 221

438 457 409 459 364 466 316 457 336 465 412 420 479 468 279 487 476 445 446 475 469 484 472 449 427 240 501 403 479 355 503 365 389 455 374 446 429 444 513 510 287 473 515 474 520 201 518 377 454 431

Table 1: (continued) 12

k n 533 534 536 537 538 540 542 544 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 558 560 561 562 564 566 567 568 570 572 573 574 575 576 577 578 579 580 582 583 584 585 586 588 590 591 592 594 595 596 597

3

94 179

193 135 39

153

71 163 153 143 67

13 146 25

85 130 121 151 93

19

5 181 302 119 82 91 3 222 164 35 209 354 51 152 262 5 88 90 7 47 213 357 182 142 288 96 155 35 81 3 130 185 13 263 1 171 174 36 57 79 103 307 80 302 75 31 1 212 140 142 256

410 326 279 153 168 431 275 175 384 422 380 222 186 326 51 420 203 442 136 256 455 306 196 337 257 255 279 174 71 449 268 101 330 57 218 212 155 58 523 155 432 157 476 211 109 159 335 413 485 452

7 457 377 302 222 246 495 487 437 486 481 445 512 509 454 305 506 259 553 446 463 465 479 219 354 316 365 430 347 337 496 557 466 473 152 282 482 239 313 567 433 568 377 513 313 491 499 506 526 568 551

286 22 108 34 305 72 107 75 203 152 12 38 3 27 227 5 25 1 100 56 28 87 10 10 14 113 74 66 61 444 32 32 354 162 33 25 96 148 26 39 252 40 292 148 242 98 2 107 73 29

307 29 140 51 343 73 193 85 256 204 76 270 77 28 232 144 197 25 124 169 52 260 69 12 162 164 238 188 158 449 145 153 366 197 68 107 130 221 92 89 293 143 306 294 369 355 125 302 293 188

361 411 175 201 384 152 282 173 432 244 276 369 101 84 243 256 316 48 467 365 158 341 73 127 173 204 267 247 337 458 197 210 391 289 72 154 186 383 226 99 295 221 374 336 405 424 261 418 394 214

492 462 474 224 428 337 302 358 446 383 300 489 329 197 280 296 321 413 488 439 432 381 89 483 336 225 388 341 360 467 512 376 505 437 217 265 283 388 420 223 348 285 408 437 426 513 469 436 480 317

512 503 484 403 461 429 332 394 528 413 337 539 521 388 398 427 497 416 543 499 477 406 317 545 557 498 404 451 562 554 564 435 529 495 294 338 522 562 452 445 523 460 505 532 554 532 574 493 482 569

Table 1: (continued) 13

k n 598 600 602 604 605 606 607 608 610 612 614 615 616 618 620 621 624 626 628 630 632 634 636 638 640 642 644 646 648 650 652 654 656 657 658 660 662 665 666 668 670 672 674 676 678 680 682 684 686 688

3

105 127

211

223

315

119 249 3 93

38 55 297 33

153

241

197

5 135 8 371 315 258 288 344 18 85 131 159 104 97 36 14 392 119 141 9 422 7 164 234 53 123 95 78 240 157 175 6 168 161 388 56 50 290 141 128 447 5 112 84 164 9 143 216 100 278 18

261 130 409 442 374 397 521 195 156 208 538 500 345 83 259 587 410 491 538 457 23 566 235 350 457 296 309 291 179 488 365 435 598 584 481 125 494 407 559 526 107 285 537 193 643 281 395 583 470 122

7 283 521 550 523 495 418 525 329 487 293 575 605 402 143 477 595 573 571 578 593 310 603 274 557 540 622 560 577 200 508 454 652 648 623 555 251 593 437 646 532 625 595 672 315 667 357 476 593 645 311

73 82 36 74 56 72 113 17 149 73 25 47 66 8 60 289 149 238 254 184 54 21 111 1 7 171 100 105 102 135 115 175 210 112 141 7 35 118 24 28 60 88 71 99 93 289 34 54 216 163

209 160 154 190 85 227 195 33 222 79 68 79 82 108 61 466 158 248 356 308 100 26 136 184 73 235 291 261 122 170 166 183 273 201 341 45 238 134 185 290 68 114 164 203 139 378 201 205 259 380

316 163 466 230 105 330 237 194 275 368 111 104 109 132 82 507 274 259 374 380 233 226 195 350 401 516 454 274 270 235 193 260 407 203 475 118 276 431 326 348 252 136 184 236 214 473 395 264 293 593

334 443 503 316 120 427 253 217 429 460 259 143 198 447 410 539 383 348 415 432 463 435 282 427 575 517 561 389 442 422 426 374 545 493 555 124 559 654 658 400 370 329 444 340 335 505 416 506 315 617

530 580 530 495 306 536 537 605 603 535 285 199 405 515 472 600 551 430 501 489 537 489 436 529 630 578 567 552 647 637 580 606 642 558 615 462 569 662 663 541 449 341 517 352 624 559 680 611 681 644

Table 1: (continued) 14

k n 690 692 693 694 696 697 700 701 702 704 708 709 710 712 714 715 716 718 720 721 724 726 728 730 732 735 738 740 742 744 745 747 748 750 752 753 754 755 756 759 762 764 768 770 771 772 774 775 776 778

3

299

267

37 287

23 183

9 5 147 44 347 153

258

158 19 349 98 83

7 185 367 375

5 205 54 2 442 271 238 342 58 401 87 16 407 50 139 257 105 144 264 362 229 91 469 215 239 425 119 62 16 152 93 10 91 309 246 15 47 176 125 367 4 386 48 59 179 42 179 164 33 166 206

211 263 237 477 373 365 458 505 423 143 335 600 257 195 413 242 465 589 531 700 230 579 693 349 452 409 116 45 371 537 29 425 595 321 192 117 370 535 474 246 503 263 504 249 597 639 254 697 209 323

7 253 409 327 568 498 677 535 693 446 522 368 637 615 490 440 440 471 625 537 714 317 619 698 356 688 629 573 563 499 635 368 556 683 566 749 296 395 669 682 493 755 670 693 550 730 737 269 759 447 601

106 8 21 163 116 62 68 134 77 39 58 339 3 58 85 183 323 105 250 109 218 11 18 164 51 71 151 223 19 296 118 295 48 43 122 54 6 90 31 147 14 14 61 87 34 111 8 2 45 82

236 224 297 188 191 240 78 152 171 106 74 407 169 280 508 248 330 271 326 151 387 345 367 453 88 250 326 279 89 312 159 313 55 54 217 131 171 140 196 213 26 172 106 179 323 116 99 82 246 307

483 239 323 460 471 408 405 202 188 303 79 415 348 493 539 292 402 280 403 451 479 410 422 492 131 397 343 348 181 377 196 395 104 157 289 466 294 409 205 465 309 562 494 202 649 165 117 410 293 393

572 473 398 610 526 503 416 289 381 405 200 638 513 548 663 350 508 338 445 513 507 444 494 533 281 454 405 393 399 720 198 410 287 399 432 550 354 489 525 597 432 693 723 505 662 318 213 480 457 514

663 557 515 645 577 546 663 408 620 440 232 700 643 563 678 554 534 565 493 659 634 590 608 702 675 577 512 617 635 723 339 468 444 648 681 743 394 567 573 608 587 753 758 682 702 634 534 529 649 734

Table 1: (continued) 15

k n 780 784 786 788 790 792 795 796 798 800 804 806 807 810 812 816 820 822 824 828 830 831 832 834 836 837 840 842 843 844 848 850 852 858 860 862 864 865 866 867 868 870 873 876 881 882 884 888 889 892

3

295 141 7 299 167

205 49

47

111

349 1 75 145

78 173 169 31

5 91 16 529 319 94 14 41 60 427 46 188 50 107 395 142 142 174 303 369 405 753 322 311 261 150 36 66 203 49 95 104 7 496 435 342 495 10 68 246 146 16 178 133 578 306 231 446 10 204 199

261 627 677 746 546 292 404 271 547 308 730 595 278 578 767 605 381 585 463 467 761 499 482 770 249 240 293 247 119 236 313 432 521 672 373 602 551 179 763 233 113 363 555 820 794 322 524 516 232 710

7 472 721 719 756 653 751 788 423 550 777 799 621 769 702 807 625 729 724 821 611 814 769 769 771 351 286 671 598 578 570 747 759 565 698 410 731 593 751 856 777 539 649 783 869 796 450 581 619 684 836

104 175 43 364 144 317 88 75 11 132 194 51 28 250 16 76 106 21 87 20 328 333 80 19 78 149 23 216 185 6 151 199 3 121 394 195 86 62 55 230 89 93 30 149 26 2 77 415 99 198

308 179 267 487 365 382 233 209 213 579 195 182 206 294 85 633 120 132 391 34 338 497 367 250 180 210 150 266 498 9 217 252 300 390 556 355 99 280 398 354 147 141 174 300 264 483 279 537 377 386

596 393 315 527 700 438 278 434 302 651 413 357 267 477 146 702 593 175 426 178 389 509 490 258 271 410 301 403 543 605 281 281 533 578 560 370 146 316 459 548 330 514 657 642 742 651 516 568 566 610

654 463 691 629 727 519 359 618 405 686 470 622 510 595 480 722 676 623 644 623 625 517 541 391 659 530 328 690 827 639 388 447 648 644 572 639 439 595 646 682 772 788 716 672 770 843 713 767 745 641

687 725 701 683 739 610 724 667 497 697 624 696 763 629 526 745 698 757 817 689 719 579 621 688 732 701 756 808 833 835 826 599 764 751 627 700 456 683 809 825 822 808 779 678 784 864 825 770 871 745

Table 1: (continued) 16

k n 894 896 897 900 902 903 904 906 908 909 910 912 916 918 924 930 931 932 936 940 942 948 952 954 956 960 964 968 972 978 979 980 984 988 990 996 1000 1004 1008 1010 1011 1012 1014 1015 1020 1024 1026 1028 1032 1036

3 173 113 1 160 187 143

77

275

305 103 0 115

121

385 186 461 35 203 411

5 17 417 11 111 27 489 351 60 287 110 69 277 129 25 63 49 325 119 391 83 152 269 10 26 342 11 60 377 90 679 569 171 75 258 283 343 157 678 209 23 446 37 93 172 146 73 401 136 451 705

94 726 425 771 647 737 431 421 384 563 489 721 508 481 158 52 480 302 639 481 842 487 275 363 501 221 697 610 252 746 713 353 686 351 315 478 302 741 530 272 761 256 484 561 605 135 916 784 721 769

7 623 767 798 856 874 809 637 705 667 654 859 731 853 881 753 869 921 864 910 654 873 569 776 888 582 534 901 762 443 808 736 732 789 372 610 581 395 923 807 626 934 996 555 817 900 333 929 1001 832 856

183 109 50 156 187 339 62 32 22 57 96 199 17 280 118 275 298 7 16 176 255 114 283 280 199 103 268 160 345 135 129 286 260 536 32 36 189 106 134 181 312 216 308 29 237 24 148 130 27 1

241 145 383 268 255 393 171 152 198 439 295 330 409 357 154 467 647 162 64 255 467 174 364 303 337 130 342 161 556 381 230 579 326 555 170 47 270 384 292 194 569 260 320 217 304 421 331 586 159 255

276 338 546 348 443 430 242 626 575 459 304 729 525 378 416 664 688 713 134 403 609 408 510 554 456 136 413 330 641 638 346 694 425 616 269 336 652 707 501 537 817 573 550 314 405 476 501 735 465 707

386 705 684 439 542 659 251 759 606 554 676 779 891 561 463 678 830 802 299 453 648 625 763 586 639 340 756 430 760 671 605 712 655 781 298 444 912 930 581 635 895 938 628 655 485 545 705 899 496 762

685 884 792 739 725 806 754 887 867 575 799 809 900 790 896 823 843 884 627 807 876 799 765 864 749 802 800 879 957 896 832 907 950 850 767 639 957 957 730 725 998 1009 877 766 503 923 713 924 775 831

Table 1: (continued) 17

k n 1044 1049 1050 1052 1056 1060 1063 1064 1066 1068 1075 1076 1077 1080 1084 1085 1088 1092 1098 1100 1102 1104 1106 1108 1110 1116 1119 1121 1122 1124 1132 1134 1140 1146 1148 1152 1155 1156 1158 1160 1164 1169 1170 1172 1180 1188 1192 1196 1200 1204

3 41 141 291

168

189

23 83 117 195 327 479 283 62

539 131 23

307 245 19 114

413 519

5 184 349 579 47 793 570 153 43 865 93 247 104 56 43 12 123 62 150 115 95 186 123 368 600 801 522 220 310 289 31 226 262 180 95 290 174 368 13 819 699 189 107 271 59 237 385 331 367 153 248

735 530 685 333 854 607 314 226 954 932 650 286 82 557 940 522 190 518 331 826 760 127 431 633 813 607 605 534 758 121 801 425 337 345 516 783 605 766 930 1013 221 361 988 1050 445 778 440 436 319 381

7 738 670 735 431 955 803 862 311 981 992 813 423 935 1030 1063 573 1029 843 371 930 901 1018 605 1068 1088 996 650 683 884 479 1114 662 1032 740 767 1093 612 777 1147 1015 438 576 1088 1075 764 1152 545 674 663 808

289 83 259 125 286 179 23 50 43 30 373 108 306 161 147 77 34 317 150 153 50 166 75 635 17 718 144 25 53 80 114 31 234 186 42 121 131 9 281 455 187 73 61 361 212 385 16 174 48 42

477 631 626 142 429 208 84 178 470 163 396 179 577 879 714 174 104 448 468 448 77 330 159 676 595 728 238 88 213 84 214 74 365 380 84 201 300 32 583 790 908 126 295 434 364 660 194 374 603 309

540 739 722 590 433 291 248 383 673 357 439 336 812 912 732 321 178 463 598 626 387 436 236 738 651 785 378 543 249 203 483 264 520 494 387 422 315 192 644 833 1083 556 752 671 861 865 581 381 782 545

799 898 1015 623 865 351 1035 441 762 476 575 714 991 965 754 789 379 744 723 905 865 633 366 788 839 997 583 548 383 263 499 441 1065 796 644 881 702 616 700 858 1084 936 777 1037 1048 894 1005 646 821 736

Table 1: (continued) 18

882 972 1035 885 994 692 1051 695 1042 623 1049 741 1065 970 808 938 982 809 991 1048 1037 929 1002 1003 909 1026 591 654 505 356 907 637 1085 879 826 1047 864 771 1075 1024 1155 1076 875 1137 1091 1068 1104 912 952 972

k n 1208 1212 1220 1224 1228 1230 1232 1236 1242 1248 1252 1260 1268 1272 1276 1279 1284 1292 1300 1304 1308 1316 1320 1324 1332 1340 1352 1356 1364 1372 1380 1384 1386 1400 1402 1404 1420 1428 1436 1452 1456 1460 1464 1470 1476 1480 1484 1500 1506 1508

3

203 413 27

151 395

427 216 223 217

337 95 189 275 181

127 661 557

569 265

599

5 329 249 820 287 36 195 193 938 337 385 299 7 50 161 291 552 125 411 212 255 238 708 83 48 939 84 573 32 394 672 673 623 69 182 23 149 469 79 201 306 170 371 301 129 44 367 417 301 75 897

474 397 1003 290 950 469 426 989 449 511 397 283 77 669 414 1080 853 879 502 345 925 972 523 488 982 484 1199 571 609 957 936 642 881 515 50 513 725 415 440 816 362 939 575 458 836 390 914 841 668 1322

7 1011 600 1136 1099 959 973 725 1144 1106 1031 456 692 480 1202 988 1242 1096 896 1031 578 1184 1235 865 1241 1008 1039 1223 670 734 1144 943 1343 999 1109 1371 1169 965 439 711 1345 447 1303 620 1421 1001 845 1385 1291 1157 1409

11 133 15 253 167 305 67 26 39 161 420 518 307 35 360 9 203 149 47 35 480 381 1 97 12 69 182 420 123 114 636 188 125 347 64 255 567 30 241 307 138 543 827 123 96 475 338 76 175 207

109 292 281 728 208 448 322 894 63 310 775 884 517 275 438 1013 212 367 332 108 536 558 352 354 61 596 322 503 213 178 668 350 370 555 548 344 635 55 347 858 624 943 911 168 270 842 992 169 375 364

627 438 587 783 526 535 416 902 638 407 966 1075 553 591 532 1101 643 577 441 195 549 948 523 702 898 709 555 916 253 874 946 377 657 821 868 536 872 408 353 1138 827 966 1138 505 280 949 1144 242 383 562

834 711 629 830 749 866 857 1159 770 700 977 1104 588 682 591 1170 781 991 679 531 1085 1195 817 751 1200 922 1063 986 316 1038 1327 509 736 852 931 1112 876 683 834 1323 1010 1160 1234 972 575 965 1415 347 983 653

Table 1: (continued) 19

918 851 1059 1069 1185 933 1151 1188 1093 973 1239 1251 1148 847 1154 1252 1246 1171 1027 998 1268 1237 1011 1228 1215 1176 1231 1098 659 1371 1356 904 1128 1139 1112 1340 1063 1387 848 1409 1317 1200 1378 1351 838 1273 1432 1105 1011 1326

References [1] J. Brillhart, D. H. Lehmer, J. L. Selfridge, B. Tuckerman, S. S. Wagstaf, Jr, Factorization of bn ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 up to high powers 2nd ed., Contemp. Math., vol. 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988. [2] Y. Kurita, M. Matsumoto, Primitive t–nomials (t = 3, 5) over GF(2) hose degree is a Mersenne exponent ≤ 44497, Math. Comp. 56 (1991), 817–821. [3] A. K. Lenstra, et. al, A note in Editor’s corner, IACR Newsletter 7 no. 2 (June 1990), 1–2. [4] A. K. Lenstra, M. S. Manasse, Factoring with two large primes, in Advances in Cryptology – EUROCRYPT’90, Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 473, Springer–Verlag, 1991, 77–82. [5] W. Meier and O. Staffelbach, Fast correlation attacks on certain stream ciphers, J. Cryptology 1 (1989), 159–176. [6] E. R. Rodemich, H. Rumsey, Jr., Primitive trinomials of high degree, Math. Comp. 22 (1968), 863–865. [7] W. Stahnke, Primitive binary polynomials, Math. Comp. 27 (1973), 977– 980. [8] R. C. Tausworthe, Random numbers generated by linear recurrence modulo two, Math. Comp. 19 (1965), 201-209. [9] E. J. Watson, Primitive polynomials (mod 2), Math. Comp. 16 (1962), 368–369. [10] N. Zierler, J. Brillhart, On Primitive trinomials (mod 2), Inform. Control 13 (1968), 541–554. [11] N. Zierler, J. Brillhart, On primitive trinomials (mod 2), II, Inform. Control 14 (1969), 566–569. 20

k n 1510 1512 1524 1540 1548 1556 1572 1584 1590 1596 1600 1612 1620 1644 1656 1668 1680 ∗ 1688 1700 1716 1732 1734 1740 1764 1784 1812 1820 1836 1848 1860 1884 1896 1904 1908 1920 1980 2008 2100 2203 2212 2220 ∗ 2232 2244 2268 2281 2340 2460 3217 4253 4423

3

293 505

169 697 771 227

311

359

761

1009 423

415 895 715 1169 67 271

5 174 415 185 251 19 403 434 369 258 363 347 402 335 540 1464 227 146 101 100 523 731 131 87 162 3 116 63 1443 290 23 119 101 283 1008 49 89 118 328 370 530 1278 549 624 337 605 113 462 1608 1906 313

587 1100 1143 583 1052 434 586 931 481 618 725 524 1279 772 1511 575 427 406 891 571 1274 365 288 1170 25 482 470 1570 1821 103 942 875 1108 1112 371 885 1333 1106 1241 1590 1479 1006 1270 340 1358 419 555 2097 2737 1506

7 1351 1417 1247 1412 1102 1270 1321 1101 1552 1490 1345 1157 1331 1587 1617 1062 1349 1119 1597 894 1716 837 374 1751 335 1059 965 1827 1833 950 1362 1798 1845 1773 1636 1152 1797 1921 1865 1955 2104 1957 1611 1110 2274 2082 1513 2674 3392 1998

207 419 250 104 94 50 815 539 40 39 73 106 517 806 170 206 405 109 157 145 186 226 229 352 10 350 631 76 125 434 13 585 224 763 47 7 630 488 89 660 23 362 47 38 851 227 188 568 71 2286

305 494 315 157 480 923 916 692 361 355 281 214 738 1318 1038 501 922 216 204 259 196 423 794 793 395 507 739 1316 443 726 119 634 635 946 719 214 793 1712 217 712 132 419 522 183 1420 611 1233 578 1891 2493

856 615 707 215 811 1110 969 748 508 527 545 811 1161 1406 1131 1136 930 942 276 479 1028 514 933 832 838 583 1023 1348 906 736 761 1219 943 1256 757 689 813 1763 781 1308 1334 655 1674 938 1802 740 1677 2074 2023 2877

884 927 862 346 864 1230 972 1106 750 1069 1133 1215 1309 1407 1408 1192 1513 1159 644 582 1304 1147 995 1129 1387 1086 1026 1613 1012 1509 828 1473 1108 1567 1079 1167 1695 1964 903 1701 1532 908 1751 1688 1902 1913 2200 2366 3375 3116

Table 1: (continued) 21

909 1503 972 1344 926 1365 1334 1241 859 1073 1578 1425 1599 1450 1465 1653 1579 1328 741 1499 1327 1281 1369 1425 1740 1507 1694 1779 1522 1520 1056 1524 1542 1769 1384 1521 1794 2014 1961 1904 1691 1241 2023 2070 2151 2323 2419 2880 3519 4267

[12] N. Zierler, Primitive trinomials whose degree is a Mersenne exponent, Inform. Control 15 (1969), 67–69. Institute for applied mathematics and electronics, Beograd, Yugoslavia; ˇ mailing address is: Miodrag Zivkovi´ c, 11000 Beograd, Paunova 61/16, Yugoslavia.

22