2006 IEEE PES Transmission and Distribution Conference and Exposition Latin America, Venezuela
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Calculation of Frequency–Dependent Parameters of Pipe–Type Cables: Comparison of Methods Daniel da Silva, Gan´ımedes Fern´andez, Student Member, IEEE, and Richard A. Rivas, Member, IEEE
radius of conductor i interaxial distance between conductor i and the pipe interaxial distance between conductors i and k inner radius of the pipe outer radius of the pipe modified Bessel function first kind order n first derivative of modified Bessel function first kind order n Kn modified Bessel function second kind order n Kn first derivative of modified Bessel function second kind order n mi reciprocal of the complex penetration depth of conductor i mg reciprocal of the complex penetration depth of the pipe P number of conductors inside the pipe Z(i, i) self impedance of the loop “conductor i/return through pipe” Z(j, i)mutual impedance between the loops “conductor j/return through pipe” and “conductor i/return through pipe” μ0 magnetic permeability in free space μri relative magnetic permeability of conductor i μrg relative magnetic permeability of the pipe φj,i angle between the centers of conductors j and i with respect to the center of the pipe σi conductivity of conductor i σg conductivity of the pipe ω frequency in radians per second (rad/s)
II. I NTRODUCTION Although there are different analytical methodologies for the calculation of the frequency–dependent parameters of pipe– type cables, the available techniques mainly differ on how the power conductors and the enclosing pipe are modeled. Some of the methods neglect proximity effects among conductors, while others assume that the penetration depth is lower than the pipe thickness. In the 30’s, the first efforts to calculate frequency–dependent parameters of coaxial cables were conducted by Schelkunoff [1]. Specifically, his model considers the skin effect and allows the calculation of the self and mutual impedances of layers of concentric tubular conductors. In the 70’s, Brown and Rocamora [2] formulated the equations for the self and mutual impedances of loops of conductors inside a hollow pipe. In this case the conductors are represented as filaments and the enclosing pipe as a tube with infinite thickness. From the theoretical work of Brown and Rocamora, in the 80’s Ametani [3] developed the ATP/EMTP [4] support routines CABLE PARAMETERS and CABLE CONSTANTS, which are widely used for the calculation of pipe-type cable parameters. Unfortunately, his routines neglect proximity effect among conductors. In the 90’s, Kane [5], [6] presented a more general method that takes the skin effect and the proximity effects into consideration, and that models the pipe as a tube of finite thickness. To obtain the self and mutual impedances, Kane uses a formulation based on the magnetic vector potential A. Such a formulation comes from the work of Tegopoulos and Kriezis [7], who developed methods for the calculation of current densities in non–hollow (solid) conductors enclosed by a cylinder of finite thickness. According to the above points, the two main differences between the methods proposed by Ametani and Kane are: 1) the fact of neglecting or taking proximity effects into consideration and 2) the fact of representing the pipe as a tubular conductor of infinite or finite thickness. To quantify the influence of each one of the above aspects on the frequencydependent impedances of pipe-type cables, this paper proposes two auxiliary methods [8], one that takes proximity effects among conductors into account and assumes that the pipe has infinite thickness, and another that neglects proximity effects among conductors and assumes that the pipe has finite thickness.
Daniel da Silva (dd@fis.usb.ve), Gan´ımedes Fern´andez (
[email protected]) and Richard A. Rivas (
[email protected]) are with the Departamento de Conversi´on y Transporte de Energ´ıa at Universidad Sim´on Bol´ıvar.
III. P ROPOSED M ETHODS As mentioned, the representation of the conductors and the pipe in Ametani’s method (method 1) is different from that
Abstract— In this paper the results of four analytical methods for the calculation of frequency–dependent parameters of pipe– type cables are compared. Method 1 is Ametani’s method, which neglects proximity effects among conductors and assumes that the pipe has infinite thickness. Method 2 is a proposed method that takes proximity effects into account and assumes that the pipe has infinite thickness. Method 3 is also a proposed method, but neglects proximity effects among conductors and assumes that the pipe has finite thickness. Method 4 is Kane’s method, which takes proximity effects into consideration and assumes that the pipe has finite thickness. With respect to Kane’s method, the results obtained from the three first methods yield relative errors as high as 95 %, particularly at low frequencies. Index Terms— ATP/EMTP, Frequency-dependent cable parameters, pipe-type cables, proximity effect, skin effect.
I. N OMENCLATURE ai bi bik c1 c2 In In
1-4244-0288-3/06/$20.00 ©2006 IEEE
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of Kane’s method (method 4). To determine if for a given frequency the values of the self and mutual impedances are more affected by proximity among conductors than by pipe modeling, or vice versa, this work employs the proposed auxiliary methods 2 and 3. Method 2 is the one that takes proximity effects into consideration and assumes that the pipe has infinite thickness, whereas method 3 is the one that neglects proximity effects among conductors and assumes that the pipe has finite thickness. The proposed auxiliary methods were developed from a magnetic vector potential formulation based on the theoretical investigations of Tegopoulos and Kriezis [7], Brown and Rocamora [2], and Kane [5]. With the help of methods 2 and 3, therefore, it is possible to conclude about the cause of differences between the results of methods 1 and 4. A. Method 2 This method calculates the self and mutual impedances by (1) and (2), respectively 2 c − b2i mi I0 (mi ai ) jωμ0 ln 1 + Z(i, i) = 2π c1 a i 2πai σi I1 (mi ai ) 2n P −1 ∞ jωμ0 ak Dn (k) + π n=1 bik k=1, k=i 2n ∞ 1 bi mg K0 (mg c1 ) + + Cn (1) 2πc1 σg K1 (mg c1 ) σg n=1 c1 c41 + (bi bj )2 − 2(bi bj )c21 cos(φj,i ) jωμ0 ln Z(j, i) = 4π c21 (b2i + b2j − 2bi bj cos(φj,i )) 2n ∞ jωμ0 aj + Dn (j) π n=1 bij mg K0 (mg c1 ) 2πc1 σg K1 (mg c1 ) n ∞ 1 bj bi + Cn cos(nφj,i ) σg n=1 c21 +
=
Dn (k) = mi
=
mg
=
m2g Kn (mg c1 ) π [nμrg Kn (mg c1 ) − mg c1 Kn (mg c1 )] (ak )−1 In (mk ak ) mk n a In (mk ak ) + μrk In (mk ak ) k jωμ0 μri σi jωμ0 μrg σg
with A0
=
B0
=
Hn
=
An
=
Bn
=
Δn
=
K1 (mg c2 ) (9) I1 (mg c1 )K1 (mg c2 ) − I1 (mg c2 )K1 (mg c1 ) I1 (mg c2 ) (10) I1 (mg c1 )K1 (mg c2 ) − I1 (mg c2 )K1 (mg c1 ) An In (mg c1 ) + Bn Kn (mg c1 ) (11) nμrg mg Kn (mg c2 ) + Kn (mg c2 ) (12) πc1 Δn mg c2 nμrg mg − In (mg c2 ) + In (mg c2 ) (13) πc1 Δn mg c2 nμrg In (mg c1 ) − In (mg c1 ) · m g c1 nμrg Kn (mg c2 ) + Kn (mg c2 ) · m g c2 nμrg − In (mg c2 ) + In (mg c2 ) · m c g 2 nμrg Kn (mg c1 ) − Kn (mg c1 ) (14) · m g c1
IV. C ASE S TUDIES Four cases are studied: a single–phase cable with a solid conductor inside a non–magnetic pipe, a two–phase cable with solid conductors inside a non–magnetic pipe, and a three– phase pipe–type cable with solid conductors, first with the cradle arrangement and later on with the triangle arrangement. The relative errors are calculated with respect to the results of the most general method (Kane’s method).
(2)
with Cn
Z(j, i) =
c41 + (bi bj )2 − 2(bi bj )c21 cos(φj,i ) jωμ0 ln 4π c21 (b2i + b2j − 2bi bj cos(φj,i )) mg + [A0 I0 (mg c1 ) + B0 K0 (mg c1 )] 2πc1 σg n ∞ 1 bi bj + Hn cos(nφj,i ) (8) σg n=1 c21
(3)
A. Single–Phase Cable Fig. 1 depicts the geometry of the single–phase cable under study.
(4) (5) (6)
B. Method 3 This method obtains the self and mutual impedances from (7) and (8), respectively 2 jωμ0 c1 − b2i mi I0 (mi ai ) Z(i, i) = + ln 2π c1 a i 2πai σi I1 (mi ai ) mg [A0 I0 (mg c1 ) + B0 K0 (mg c1 )] + 2πc1 σg 2n ∞ 1 bi + Hn (7) σg n=1 c1
Fig. 1.
Geometry of single–phase cable.
Single–Phase Cable Data: μr1 = 1; σ1 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; αc = 0.0043 K −1 ;
3
Tc = 80◦ C ; a1 = 2.3e − 2 m; b1 = 7.6e − 2 m; μrg = 1; σg = 3.57e + 7 S/m @ 20◦ C; αg = 0.0042 K −1 ; Tg = 60◦ C ; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m. Tables I and II in Appendix summarize the results obtained for the loop parameters of the single–phase cable. As indicated in the tables, when the methods use the same pipe model (finite or infinite thickness) the results are equal at any frequency. Therefore, in this case it is unnecessary to take proximity effects into consideration since there is only one conductor inside the pipe. The differences among the methods decrease as the frequency increases and the penetration depth decreases. Consequently, for this geometry the results of the methods are similar at those frequencies where the penetration depth is lower than the pipe thickness. Specifically, as of 1 kHz the differences between methods 1 and 4 are lower than 1.33 % for the loop resistance and 0.02 % for the loop inductance.
Fig. 3.
Self resistance as a function of frequency for two–phase cable.
Fig. 4.
Self inductance as a function of frequency for two–phase cable.
Fig. 5.
Mutual resistance as a function of frequency for two–phase cable.
B. Two–Phase Cable Fig. 2 illustrates the geometry of the two–phase cable studied with the four methods.
Fig. 2.
Geometry of two–phase cable.
Two–Phase Cable Data: μr1 = μr2 = 1; σ1 = σ2 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; αc = 0.0043 K −1 ; Tc = 80◦ C ; a1 = a2 = 1.35e − 2 m; φ1,2 = 1.096 rad; b1 = b2 = 8.15e − 2 m; μrg = 1; σg = 3.57e + 7 S/m @ 20◦ C; αg = 0.0042 K −1 ; Tg = 60◦ C ; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m. Figures 3, 4, 5 and 6 show the results obtained for the self resistance R(1, 1), self inductance L(1, 1), mutual resistance R(1, 2) and mutual inductance L(1, 2), respectively, using frequencies up to 100 kHz. As shown in the plots, when the geometry has more than one conductor inside the pipe, there are differences between the results of the methods that neglect proximity effects among conductors and those that take them into consideration. As indicated in Tables IV, VI, VIII and X, the differences between the results of methods 1 and 4 can be as high as 15.01 % for the self resistance, 4.81 % for the self inductance, 94.5 % for the mutual resistance and 50.97 % for the mutual inductance. Is is also observed that the results of the methods that take proximity effects into account (methods 2 and 4) become very
4
Results of method 2:
Z = (1e − 4)
1.637 + j3.174 1.099 + j1.350 1.081 + j1.156
Results of method 3:
Z = (1e − 4)
1.632 + j3.156 1.129 + j1.418 1.024 + j0.922
Results of method 4:
Z = (1e − 4)
Fig. 6. Mutual inductance L(1, 2) as a function of frequency for two–phase cable.
similar at those frequencies where the penetration depth is lower than the pipe thickness. C. Three–Phase Pipe–Type Cable 1) Cradle Arrangement: Fig. 7 shows the geometry of the three–phase pipe–type cable with the cradle arrangement.
Fig. 7.
1.641 + j3.176 1.135 + j1.433 1.026 + j0.927
1.099 + j1.350 1.641 + j3.184 1.099 + j1.350
1.081 + j1.156 1.099 + j1.350 1.637 + j3.174
1.129 + j1.418 1.632 + j3.156 1.129 + j1.418
1.024 + j0.922 1.129 + j1.418 1.632 + j3.156
1.135 + j1.433 1.645 + j3.186 1.135 + j1.433
1.026 + j0.927 1.135 + j1.433 1.641 + j3.176
As can be seen, methods 1 and 3 yield matrices with three equal self impedances Z(i, i), whereas methods 2 and 4 yield matrices with only two equal self impedances. With methods 1 and 3 the self impedances are equal since the distances between the center of the pipe and the centers of the conductors are also equal. However, with methods 2 and 4 the self impedances Z(2, 2) is different from Z(1, 1) and Z(3, 3) since the conductor model that takes proximity effects into consideration depends on the distance between centers of conductors bik . The results obtained from the four methods are in good agreement. Since the pipe is magnetic, the model of infinite pipe thickness offers good results at low frequencies. In addition, at low frequencies the proximity among conductors do not have a strong influence. For example, the differences between the results of methods 1 and 4 do not exceed 1.03 % for the resistance and 1.2 % for the reactance. 2) Triangle Arrangement: Fig. 8 shows the geometry of the three–phase pipe–type cable with the triangle arrangement.
Geometry of three–phase pipe–type cable with cradle arrangement.
Data of three–phase pipe–type cable with cradle arrangement: μr1 = μr2 = μr3 = 1; αc = 0.0043 K −1 ; σ1 = σ2 = σ3 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; a1 = a2 = a3 = 1.35e − 2 m; b1 = b2 = b3 = 8.15e − 2 m; φ1,2 = φ2,3 = 1.096 rad; φ1,3 = 2.192 rad; Tc = 80◦ C; μrg = 200; σg = 8.2e + 6 S/m @ 20◦ C; αg = 0.0064 K −1 ; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m; Tg = 70◦ C. In this case the matrix of self and mutual impedances Z (Ω/m) is calculated by the four methods at the frequency of 60 Hz. Results of method 1:
Z = (1e − 4)
1.628 + j3.154 1.125 + j1.416 1.020 + j0.920
1.125 + j1.416 1.628 + j3.154 1.125 + j1.416
1.020 + j0.920 1.125 + j1.416 1.628 + j3.154
Fig. 8. Geometry of three–phase pipe–type cable with triangle arrangement.
Data of three–phase pipe–type cable with triangle arrangement: μr1 = μr2 = μr3 = 1; b1 = b2 = 8.15e − 2 m; b3 = 5.78e − 3 m; αc = 0.0043 K −1 ; Tc = 80◦ C; φ1,2 = 1.096 rad; φ1,3 = φ2,3 = 2.592 rad; a1 = a2 = a3 = 1.35e − 2 m; σ1 = σ2 = σ3 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; μrg = 200; σg = 8.2e + 6 S/m @ 20◦ C; αg = 0.0064 K −1 ; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m; Tg = 70◦ C.
5
In this case the matrix of self and mutual impedances Z (Ω/m) is also calculated by the four methods at the frequency of 60 Hz. Results of method 1:
Z = (1e − 4)
1.628 + j3.154 1.125 + j1.416 1.080 + j1.377
Results of method 2:
Z = (1e − 4)
1.641 + j3.184 1.099 + j1.350 1.092 + j1.414
1.632 + j3.156 1.129 + j1.418 1.084 + j1.379
Results of method 4:
Z = (1e − 4)
1.080 + j1.377 1.080 + j1.377 1.498 + j2.969
1.099 + j1.350 1.641 + j3.184 1.092 + j1.414
1.092 + j1.414 1.092 + j1.414 1.511 + j2.998
TABLE I L OOP RESISTANCE OF SINGLE – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4
Method 1 (Ω/m) 1.3518E-5 1.5643E-5 3.2809E-5 9.7947E-5 3.0441E-4
Method 2 (Ω/m) 1.3518E-5 1.5643E-5 3.2809E-5 9.7947E-5 3.0441E-4
Method 3 (Ω/m) 1.9776E-5 2.2657E-5 3.8281E-5 9.6657E-5 3.0441E-4
Method 4 (Ω/m) 1.9776E-5 2.2657E-5 3.8281E-5 9.6657E-5 3.0441E-4
TABLE II
Results of method 3:
Z = (1e − 4)
1.125 + j1.416 1.628 + j3.154 1.080 + j1.377
A PPENDIX
1.645 + j3.186 1.135 + j1.433 1.090 + j1.394
1.129 + j1.418 1.632 + j3.156 1.084 + j1.379
1.084 + j1.379 1.084 + j1.379 1.502 + j2.972
1.135 + j1.433 1.645 + j3.186 1.090 + j1.394
1.090 + j1.394 1.090 + j1.394 1.515 + j3.001
As shown, regardless of the method employed the self impedances Z(1, 1) and Z(2, 2) are always equal but different from the self impedance Z(3, 3). This is caused by the fact that b1 is equal to b2 but different from b3 , and the four methods have dependence on bi . In this case the results obtained from the four methods are also in good agreement for the same reasons mentioned above in the cradle configuration.
L OOP INDUCTANCE OF SINGLE – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4
Method 1 (H/m) 4.2383E-7 3.4457E-7 2.9432E-7 2.6221E-7 2.5184E-7
Method 2 (H/m) 4.2383E-7 3.4457E-7 2.9432E-7 2.6221E-7 2.5184E-7
Methods 3 (H/m) 3.9423E-7 3.5800E-7 2.8741E-7 2.6225E-7 2.5184E-7
Method 4 (H/m) 3.9423E-7 3.5800E-7 2.8741E-7 2.6225E-7 2.5184E-7
TABLE III S ELF RESISTANCE R(1, 1) OF TWO – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (Ω/m) 3.8645E-5 4.0736E-5 5.5212E-5 1.5269E-4 4.6296E-4 1.4453E-3
Method 2 (Ω/m) 3.8645E-5 4.0762E-5 5.6410E-5 1.5780E-4 4.8026E-4 1.5011E-3
Method 3 (Ω/m) 4.4893E-5 4.7903E-5 6.1135E-5 1.5130E-4 4.6296E-4 1.4453E-3
Method 4 (Ω/m) 4.4893E-5 4.7929E-5 6.2333E-5 1.5641E-4 4.8026E-4 1.5011E-3
V. C ONCLUSIONS Four methodologies for the calculation of the frequency– dependent parameters of pipe–type cables have been applied to single–phase, two–phase, and three–phase cases with solid conductors. The results of the methods have been compared taking as a point of reference those of the most general method (Kane’s method), which models the pipe as a tubular conductor of finite thickness and takes proximity effects into consideration. It is shown that the methods that assume a pipe with infinite thickness yield significant errors in non-magnetic pipes at frequencies close to 50–60 Hz, whereas the methods that neglect proximity effects produce significant errors at high frequencies, particularly for the mutual resistances of cables. However, since the penetration depth decreases as the frequency increases, at high frequencies the methods that assume a pipe of infinite thickness give diminishing errors, in particular for the self loop resistance, the self loop inductance, and the mutual loop inductance. It is also shown that the self impedances of multi–phase pipe–type cables are not equal when the distances between the center of the pipe and the centers of the conductors are k), regardless of different, i.e., bi = bk ⇒ Z(i, i) = Z(k, P which method is used. Also, the condition k=1 φi,k = 0, implies that the self impedance Z(i, i) is different from the self impedance Z(k, k) when the methods 2 and 4 are used.
TABLE IV R ELATIVE ERRORS WITH RESPECT TO K ANE ’ S METHOD FOR SELF RESISTANCE R(1, 1) OF TWO – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (%) 13.92 15.01 11.43 2.38 3.60 3.72
Method 2 (%) 13.92 14.95 9.50 0.89 0.00 0.00
Method 3 (%) 0.00 0.05 1.92 3.27 3.60 3.72
TABLE V S ELF I NDUCTANCE L(1, 1) OF TWO – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (H/m) 5.2758E-7 4.4466E-7 4.0527E-7 3.6564E-7 3.5013E-7 3.4518E-7
Method 2 (H/m) 5.3266E-7 4.4969E-7 4.0836E-7 3.6654E-7 3.5041E-7 3.4527E-7
Method 3 (H/m) 5.0147E-7 4.6208E-7 3.9802E-7 3.6569E-7 3.5013E-7 3.4518E-7
Method 4 (H/m) 5.0655E-7 4.6711E-7 4.0111E-7 3.6658E-7 3.5041E-7 3.4527E-7
6
TABLE VI R ELATIVE ERRORS WITH RESPECT TO K ANE ’ S METHOD FOR SELF INDUCTANCE L(1, 1) OF TWO – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (%) 4.15 4.81 1.04 0.26 0.08 0.03
Method 2 (%) 5.15 3.73 1.81 0.01 0.00 0.00
Method 3 (%) 1.00 1.08 0.77 0.25 0.08 0.03
TABLE VII M UTUAL RESISTANCE R(1, 2) OF TWO – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (Ω/m) 3.6817E-7 1.4209E-6 4.6619E-6 1.4865E-5 4.7114E-5 1.4909E-4
Method 2 (Ω/m) 3.3415E-7 1.3475E-6 5.7256E-6 1.9804E-5 6.4157E-5 2.0440E-4
Method 3 (Ω/m) 6.6934E-6 7.5263E-6 7.2482E-6 1.4226E-5 4.7114E-5 1.4909E-4
Method 4 (Ω/m) 6.6936E-6 7.5520E-6 8.4467E-6 1.9336E-5 6.4416E-5 2.0493E-4
TABLE VIII R ELATIVE ERRORS WITH RESPECT TO K ANE ’ S METHOD FOR MUTUAL
R EFERENCES [1] S. A. Schelkunoff, The Electromagnetic Theory of Coaxial Transmission Lines and Cylindrical Shields, Bell Syst. Tech. J., vol 13, pp. 532-579, 1934. [2] G. W. Brown, and R. G. Rocamora, Surge Propagation in Three-Phase Pipe-Type Cables, Part I - Unsaturated Pipe, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-95, No. 1, pp. 89-95, 1976. [3] A. Ametani, A General Formulation of Impedance and Admittance of Cables, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-99, No. 3, pp. 902-910, 1980. [4] H. W. Dommel, EMTP Theory Book, Microtran Power Systems Analysis Corporation, Vancouver, BC, second edition, 1992. [5] M. Kane, Mod`eles analytiques originaux pour la d´etermination des param`etres lin´eiques des lignes et cables multifilaires parcourus par des signaux large bande, Rapport de Th`ese, Ecole Centrale de Lyon, Juillet 1994. [6] M. Kane, A. Ahmad and P. Auriol, Multiwire Shielded Cable Parameter Computation, IEEE Trans. on Magnetics, vol 31, N 3, pp. 1646-1649, 1995. [7] J. A. Tegopoulos and E. E. Kriezis, Eddy current distribution in cylindrical shells of infinite lenght due to axial currents. Part I, Part II, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. 90, No. 3, 1971. [8] D. da–Silva and G. Fern´andez, C´alculo anal´ıtico de par´ametros el´ectricos en funci´on de la frecuencia de cables en tuber´ıas, Proyecto de Grado, Universidad Sim´on Bol´ıvar, Marzo 2005.
B IOGRAPHIES
RESISTANCE R(1, 2) OF TWO – PHASE CABLE
Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (%) 94.50 81.18 44.81 23.12 26.86 27.25
Method 2 (%) 95.01 82.16 32.22 2.42 0.40 0.26
Method 3 (%) 0.00 0.34 14.19 26.43 26.86 27.25
TABLE IX M UTUAL INDUCTANCE L(1, 2) OF TWO – PHASE CABLE Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (H/m) 1.3353E-7 8.1314E-8 6.4831E-8 5.9688E-8 5.8065E-8 5.7552E-8
Method 2 (H/m) 1.3287E-7 8.5814E-8 6.7877E-8 6.0580E-8 5.8346E-8 5.7641E-8
Method 3 (H/m) 8.3366E-8 6.8742E-8 6.0229E-8 5.9713E-8 5.8065E-8 5.7552E-8
Method 4 (H/m) 8.8447E-8 7.3779E-8 6.3314E-8 6.0612E-8 5.8349E-8 5.7641E-8
TABLE X R ELATIVE ERRORS WITH RESPECT TO K ANE ’ S METHOD FOR MUTUAL INDUCTANCE L(1, 2) OF TWO – PHASE CABLE
Frequency (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
Method 1 (%) 50.97 10.21 2.40 1.52 0.49 0.16
Method 2 (%) 50.22 16.31 7.21 0.05 0.00 0.00
Method 3 (%) 5.74 6.83 4.87 1.48 0.49 0.16
ACKNOWLEDGMENTS The authors would like to thank Philippe Auriol, Donald Knuth, Mar´ıa Scala and Silvia Tomˇcalov´a for their invaluable contributions to this paper.
Daniel da Silva was born in Vila do Conde, Portugal. He is still studying at Universidad Sim´on Bol´ıvar to get his degree in electrical engineering. Currently, he is a network administrator of Relativity and Fields Laboratory at Universidad Sim´on Bol´ıvar. Also, he is a *NIX, TEX and LATEX enthusiastic.
Gan´ımedes Fern´andez (S’06) was born in Maracay, Venezuela. He received a degree of electrical engineering from Universidad Sim´on Bol´ıvar, Caracas, in 2005. Currently, he is a Teaching Assistant at the Departamento de Conversi´on y Transporte de Energ´ıa of Universidad Sim´on Bol´ıvar and he is working toward the M.Sc. degree at the same university. His research interests include electromagnetic theory, power transmission lines, high voltage systems and power systems analysis.
Richard A. Rivas (M’01) was born in Caracas, Venezuela, in 1965. He received the electrical engineer degree and the M.Sc. degree in electrical engineering from Universidad Sim´on Bol´ıvar, Caracas, in 1988 and 1993, respectively, and the Ph.D. degree in electrical engineering from The University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada, in 2001. Currently, he is an Associate Professor at the Departmento de Conversi´on y Transporte de Energ´ıa of Universidad Sim´on Bol´ıvar, where he has taught since 1991. From 1988 to 1991, he worked for La Electricidad de Caracas in the areas of power systems protection and substation design. His areas of interest include power systems analysis, electromagnetic (EM) transients, and power systems protection.
2006 IEEE PES Transmission and Distribution Conference and Exposition Latin America, Venezuela
1
C´alculo de Par´ametros de Cables en Tuber´ıas en Funci´on de la Frecuencia: Comparaci´on de Metodolog´ıas Daniel Da Silva, Gan´ımedes Fern´andez, Miembro Estudiantil, IEEE, y Richard A. Rivas, Miembro, IEEE
Resumen— En esta publicaci´on son comparados los resultados del c´alculo de par´ametros de cables encerrados en tuber´ıas en funci´on de la frecuencia, obtenidos utilizando cuatro m´etodolog´ıas anal´ıticas. La primera metodolog´ıa es la propuesta por Ametani, la cual ignora el efecto proximidad entre los conductores y supone que la tuber´ıa posee espesor infinito. La segunda es una metodolog´ıa propuesta, que considera el efecto proximidad entre conductores y asume el modelo de tuber´ıa de espesor infinito. La tercera metodolog´ıa es tambi´en propuesta, sin embargo en este caso se utiliza el modelo de tuber´ıa de espesor finito y se desprecia el efecto proximidad entre los conductores. La cuarta metodolog´ıa es la propuesta por Kane, la cual considera el efecto proximidad entre los conductores y adem´as utiliza el modelo de tuber´ıa de espesor finito. Con respecto a la metodolog´ıa de Kane, los resultados obtenidos a trav´es de las otras metodolog´ıas reportan errores hasta de 95%, particularmente a bajas frecuencias. Palabras Clave— ATP/EMTP, Cables encerrados en tuber´ıas, Efecto pelicular, Efecto proximidad, Par´ametros de cables en funci´on de la frecuencia.
I. N OMENCLATURA ai bi bik c1 c2 In In Kn Kn mi mg P μ0 μri μrg
Radio del conductor i Distancia interaxial entre el conductor i y la tuber´ıa Distancia interaxial entre los conductores i y k Radio interno de la tuber´ıa Radio externo de la tuber´ıa Funci´on de Bessel modificado de primer tipo y orden en´esimo Derivada de la funci´on de Bessel modificado de primer tipo de orden en´esimo Funci´on de Bessel modificado de segundo tipo y orden en´esimo Derivada de la funci´on de Bessel modificado de segundo tipo de orden en´esimo Rec´ıproco de la profundidad compleja de penetraci´on del conductor i Rec´ıproco de la profundidad compleja de penetraci´on de la tuber´ıa N´umero de conductores ubicados dentro de la tuber´ıa Permeabilidad magn´etica del vac´ıo Permeabilidad magn´etica relativa del conductor i Permeabilidad magn´etica relativa de la tuber´ıa
Daniel da Silva (dd@fis.usb.ve), Gan´ımedes Fern´andez (
[email protected]) y Richard A. Rivas (
[email protected]) pertenecen al Departamento de Conversi´on y Transporte de Energ´ıa en la Universidad Sim´on Bol´ıvar.
1-4244-0288-3/06/$20.00 ©2006 IEEE
Z(i, i) Impedancia propia del lazo “conductor i/retorno a trav´es de la tuber´ıa” Z(j, i)Impedancia mutua entre los lazos “conductor j/retorno a trav´es de la tuber´ıa” y “conductor i/retorno a trav´es de la tuber´ıa” σg Conductividad el´ectrica de la tuber´ıa σi Conductividad el´ectrica del conductor i ω Frecuencia en radianes por segundo (rad/s) ´ II. I NTRODUCCI ON Existen diferentes metodolog´ıas anal´ıticas para el c´alculo de par´ametros de cables en tuber´ıas, en funci´on de la frecuencia. La diferencia entre estas metodolog´ıas radica principalmente en c´omo se modelan los conductores y la tuber´ıa. Algunas de ellas, desprecian el efecto proximidad entre conductores, otras asumen que la profundidad de penetraci´on de los campos electromagn´eticos es menor al espesor de la tuber´ıa y por ello utiliza el modelo de tuber´ıa de espesor infinito. En la d´ecada de los 30, Schelkunoff [1] hizo los primeros estudios que permitieron calcular los par´ametros de cables coaxiales. Espec´ıficamente, su modelo considera el efecto pelicular y permite calcular las impedancias propias y mutuas de capas de conductores tubulares conc´entricos. En la dec´ada de los 70, Brown y Rocamora [2] formularon las ecuaciones para las impedancias propias y mutuas de conductores dentro de una tuber´ıa. En este caso los conductores son representados como filamentos, es decir, se desprecia su impedancia. A partir del trabajo de Brown y Rocamora, Ametani [3] desarroll´o las rutinas CABLE PARAMETER y CABLE CONSTANTS del ETP/EMTP [4], las cuales son ampliamente utilizadas para el c´alculo de par´ametros de cables en funci´on de la frecuencia. En la d´ecada de los 90, Kane [5], [6] present´o una metodolog´ıa m´as general que considera los efectos pelicular y proximidad, y adem´as considera la tuber´ıa de espesor finito. Para obtener las impedancias propias y mutuas, Kane utiliza una formulaci´on basada en el vector potencial magn´etico Dicha formulaci´on parte de los trabajos de Tegopoulos A. y Kriezis [7], quienes desarrollaron diversos m´etodos para el c´alculo de densidad de corriente de conductores macizos dentro de un cilindro hueco de espesor finito. De acuerdo a lo expuesto anteriormente, las dos diferencias principales entre las metodolog´ıas propuestas por Ametani y Kane son: 1) la consideraci´on del efecto proximidad y 2)
2
la utilizaci´on de los modelos de tuber´ıa de espesor finito o infinito. Para cuantificar la influencia de cada uno de estos aspectos en el c´alculo de las impedancias propias y mutuas de cables en tuber´ıas, en funci´on de la frecuencia, en esta publicaci´on se proponen dos m´etodos alternativos de c´alculo, el primero considera el efecto proximidad entre conductores y asume que la tuber´ıa tiene espesor infinito; y el segundo m´etodo que desprecia el efecto proximidad y considera la tuber´ıa de espesor finito.
B. M´etodo 3 Este m´etodo permite obtener las impedancias propias y mutuas de (7) y (8) respectivamente 2 mi I0 (mi ai ) c − b2i jωμ0 + ln 1 Z(i, i) = 2π c1 a i 2πai σi I1 (mi ai ) mg [A0 I0 (mg c1 ) + B0 K0 (mg c1 )] + 2πc1 σg 2n ∞ 1 bi + Hn (7) σg n=1 c1
III. M E´ TODOS PROPUESTOS Como fue expuesto anteriormente, la representaci´on de los conductores y la tuber´ıa en las metodolog´ıas de Ametani (m´etodo 1) y Kane (m´etodo 4) difieren. Para determinar qu´e afecta m´as el c´alculo de las impedancias propias y mutuas a una frecuencia dada, entre el modelo de los conductores o el modelo de la tuber´ıa, se proponen dos m´etodolog´ıas alternativas, a saber, m´etodo 2 y m´etodo 3. El m´etodo 2 toma en consideraci´on el efecto proximidad entre conductores y utiliza el modelo de tuber´ıa de espesor infinito, mientras que el m´etodo 3 no considera el efecto proximidad y asume la tuber´ıa de espesor finito. Con la ayuda de estos m´etodos propuestos es posible concluir acerca de cu´al es la causa de las diferencias entre los m´etodos 1 y 4. A. M´etodo 2 Este m´etodo calcula las impedancias propias y mutuas, las cuales se obtienen a partir de (1) y (2) respectivamente 2 c − b2i mi I0 (mi ai ) jωμ0 ln 1 + Z(i, i) = 2π c1 a i 2πai σi I1 (mi ai ) 2n P −1 ∞ jωμ0 ak Dn (k) + π n=1 bik k=1, k=i 2n ∞ 1 bi mg K0 (mg c1 ) + + Cn (1) 2πc1 σg K1 (mg c1 ) σg n=1 c1 c41 + (bi bj )2 − 2(bi bj )c21 cos(φj,i ) jωμ0 ln Z(j, i) = 4π c21 (b2i + b2j − 2bi bj cos(φj,i )) 2n ∞ jωμ0 aj + Dn (j) π n=1 bij mg K0 (mg c1 ) 2πc1 σg K1 (mg c1 ) n ∞ 1 bj bi + Cn cos(nφj,i ) σg n=1 c21 +
(2)
donde Cn
=
Dn (k) = mi
=
mg
=
m2g Kn (mg c1 ) π [nμrg Kn (mg c1 ) − mg c1 Kn (mg c1 )] (ak )−1 In (mk ak ) mk n a In (mk ak ) + μrk In (mk ak ) k jωμ0 μri σi jωμ0 μrg σg
Z(j, i) =
c41 + (bi bj )2 − 2(bi bj )c21 cos(φj,i ) jωμ0 ln 4π c21 (b2i + b2j − 2bi bj cos(φj,i )) mg + [A0 I0 (mg c1 ) + B0 K0 (mg c1 )] 2πc1 σg n ∞ 1 bi bj + Hn cos(nφj,i ) (8) σg n=1 c21
con A0
=
B0
=
Hn
=
An
=
Bn
=
Δn
=
K1 (mg c2 ) (9) I1 (mg c1 )K1 (mg c2 ) − I1 (mg c2 )K1 (mg c1 ) I1 (mg c2 ) (10) I1 (mg c1 )K1 (mg c2 ) − I1 (mg c2 )K1 (mg c1 ) An In (mg c1 ) + Bn Kn (mg c1 ) (11) nμrg mg Kn (mg c2 ) + Kn (mg c2 ) (12) πc1 Δn mg c2 nμrg mg − In (mg c2 ) + In (mg c2 ) (13) πc Δ mg c2 1 n nμrg In (mg c1 ) − In (mg c1 ) · m g c1 nμrg Kn (mg c2 ) + Kn (mg c2 ) · m g c2 nμrg − In (mg c2 ) + In (mg c2 ) · m c g 2 nμrg Kn (mg c1 ) − Kn (mg c1 ) (14) · m g c1 IV. C ASOS E STUDIADOS
Se estudian cuatro casos: cable monof´asico dentro de tuber´ıa no magn´etica, disposici´on bif´asica de conductores macizos dentro de tuber´ıa no magn´etica, y dos arreglos de conductores macizos trif´asicos dentro de tuber´ıas magn´eticas: un arreglo en disposici´on cuna y otro en disposici´on triangular. Los errores relativos son calculados respecto a los resultados del m´etodo m´as general (m´etodo de Kane). A. Cable monof´asico
(3) (4) (5) (6)
En la Fig. 1 se muestra la geometr´ıa del cable monof´asico en estudio. Datos del cable monof´asico y la tuber´ıa: μr1 = 1; σ1 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; αc = 0.0043 K −1 ; Tc = 80◦ C ; a1 = 2.3e − 2 m; b1 = 7.6e − 2 m; μrg = 1; σg = 3.57e + 7 S/m @ 20◦ C; αg = 0.0042 K −1 ;
3
Las Figuras 3, 4, 5 y 6 muestran los resultados obtenidos para la resistencia e inductancia propia, y la resistencia e inductancia mutua, respectivamente, para frecuencias hasta 100kHz. -3
1.6
x 10
1.4
Método 1 Método 2 Método 3 Método 4
Fig. 1.
Geometr´ıa del cable monof´asico
Resistencia (Ohm/m)
1.2 1 0.8 0.6 0.4
◦
Tg = 60 C ; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m.
0 0 10
1
10
2
3
10 10 Frecuencia (Hz)
4
5
10
10
Fig. 3. Resistencia propia R(1, 1) en funci´on de la frecuencia para la configuraci´on bif´asica
-7
6
x 10
Método 1 Método 2 Método 3 Método 4
5.5
Inductancia (H/m)
Las Tablas I, II y en el Ap´endice muestran los resultados obtenidos para el c´alculo de par´ametros de lazo del cable monof´asico. Como indican las tablas, cuando las metodolog´ıas usan el mismo modelo para la tuber´ıa, los resultados son similares para cualquier frecuencia. Esto implica que la consideraci´on del efecto proximidad es despreciable, lo cual es razonable debido a que existe un u´ nico conductor dentro de la tuber´ıa. Las diferencias entre las metodolog´ıas decrecen a medida que la frecuencia aumenta. Se concluye que para esta geometr´ıa, los resultados obtenidos a trav´es de las metodolog´ıas son similares a las frecuencias en las cuales la profundidad de penetraci´on es menor al espesor de la tuber´ıa. Espec´ıficamente, a 1kHz los errores entre los m´etodos 1 y 4 son menores a 1,33% y a 0.02% en el c´alculo de la resistencia e inductancia de lazo, respectivamente.
0.2
5
4.5
4
3.5
B. Cables bif´asicos La Fig. 2 muestra la geometr´ıa de cables bif´asicos estudiados a trav´es de los cuatro m´etodos.
3 0 10
1
10
2
3
10 10 Frecuencia (Hz)
4
5
10
10
Fig. 4. Inductancia propia L(1, 1) en funci´on de la frecuencia para la configuraci´on bif´asica
-4
x 10
Resistencia (Ohm/m)
Método 1 Método 2 Método 3 Método 4
Fig. 2.
2
1
Geometr´ıa de cables bif´asicos
Datos de los cables bif´asicos y la tuber´ıa: μr1 = μr2 = 1; σ1 = σ2 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; αc = 0.0043 K −1 ; Tc = 80◦ C ; a1 = a2 = 1.35e − 2 m; φ1,2 = 1.096 rad; b1 = b2 = 8.15e − 2 m; μrg = 1; σg = 3.57e + 7 S/m @ 20◦ C; αg = 0.0042 K −1 ; Tg = 60◦ C ; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m.
0 0 10
1
10
2
3
10 10 Frecuencia (Hz)
4
10
5
10
Fig. 5. Resistencia mutua R(1, 2) en funci´on de la frecuencia para la configuraci´on bif´asica
4
μrg = 200; αg = 0.0064 K −1 ; Tg = 70◦ C; σg = 8.2e + 6 S/m @ 20◦ C; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m. En este caso la matriz de impedancias propias y mutuas Z (Ω/m) es calculada a trav´es de los cuatro m´etodos para una frecuencia de 60 Hz. Resultados del m´etodo 1:
-8
14
x 10
Método 1 Método 2 Método 3 Método 4
13
Inductancia (H/m)
12 11 10 9 8
Z = (1e − 4)
7 6 5 0 10
1
10
2
3
10 10 Frecuencia (Hz)
4
10
5
10
Fig. 6. Inductancia mutua L(1, 2) en funci´on de la frecuencia para la configuraci´on bif´asica
Como se observa en las gr´aficas, cuando la geometr´ıa tiene m´as de un conductor dentro de la tuber´ıa, existen diferencias en los resultados obtenidos a trav´es de las metodolog´ıas que consideran el efecto proximidad con aquellas que lo desprecian. Como se indica en las Tablas IV, VI, VIII y X, las diferencias entre los resultados de los m´etodos 1 y 4 pueden ser de hasta 15.01% para la resistencia propia, 4.81% para la inductancia propia, 94.5% para la resistencia mutua y 50.97% para la inductancia mutua. Tambi´en se observa que los resultados de las metodolog´ıas que consideran el efecto proximidad (m´etodos 2 y 4) son equivalentes para aquellas frecuencias donde la profundidad de penetraci´on es menor al espesor de la tuber´ıa. C. Cables trif´asicos dentro de una tuber´ıa 1) Configuraci´on cuna: La Fig. 7 muestra la geometr´ıa de los cables trif´asicos en la tuber´ıa, en disposici´on cuna.
Fig. 7.
Geometr´ıa trif´asica de cables en disposici´on cuna en una tuber´ıa
Datos de los cables trif´asicos en disposici´on cuna en una tuber´ıa: μr1 = μr2 = μr3 = 1; αc = 0.0043 K −1 ; Tc = 80◦ C; σ1 = σ2 = σ3 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; a1 = a2 = a3 = 1.35e − 2 m; b1 = b2 = b3 = 8.15e − 2 m; φ1,2 = φ2,3 = 1.096 rad; φ1,3 = 2.192 rad;
1.628 + j3.154 1.125 + j1.416 1.020 + j0.920
Resultados del m´etodo 2:
Z = (1e − 4)
1.637 + j3.174 1.099 + j1.350 1.081 + j1.156
Resultados del m´etodo 3:
Z = (1e − 4)
1.632 + j3.156 1.129 + j1.418 1.024 + j0.922
Resultados del m´etodo 4:
Z = (1e − 4)
1.641 + j3.176 1.135 + j1.433 1.026 + j0.927
1.125 + j1.416 1.628 + j3.154 1.125 + j1.416
1.020 + j0.920 1.125 + j1.416 1.628 + j3.154
1.099 + j1.350 1.641 + j3.184 1.099 + j1.350
1.081 + j1.156 1.099 + j1.350 1.637 + j3.174
1.129 + j1.418 1.632 + j3.156 1.129 + j1.418
1.024 + j0.922 1.129 + j1.418 1.632 + j3.156
1.135 + j1.433 1.645 + j3.186 1.135 + j1.433
1.026 + j0.927 1.135 + j1.433 1.641 + j3.176
Como se observa, los m´etodos 1 y 3 proporcionan matrices con tres impedancias propias Z(i, i) iguales, mientras que con los m´etodos 2 y 4 solamente dos impedancias propias son iguales. Con los m´etodos 1 y 3, las impedancias propias son id´enticas debido a que la distancia al centro de la tuber´ıa de los conductores son iguales. Sin embargo, con los m´etodos 2 y 4 la impedancia propia Z(2, 2) difiere de las impedancias Z(1, 1) y Z(3, 3) debido a que el modelo de conductor considera el efecto proximidad, el cual depende de la distancia entre los centros de los conductores bik . Los resultados obtenidos a trav´es de los cuatro m´etodos son aproximados entre s´ı. Debido a que la tuber´ıa es magn´etica, el modelo de tuber´ıa de espesor infinito proporciona resultados aproximados a bajas frecuencias. Adicionalmente, a baja frecuencia el efecto proximidad entre conductores no tiene una influencia significativa en el c´alculo de las impedancias propias y mutuas. Por ejemplo, las diferencias entre los m´etodos 1 y 4 no excede el 1.03% para la resistencia y 1.2% para la reactancia. 2) Configuraci´on triangular: En la Fig. 8 se muestra la geometr´ıa de los cables trif´asicos en configuraci´on triangular dentro de la tuber´ıa. Datos de los cables en disposici´on triangular dentro de una tuber´ıa: μr1 = μr2 = μr3 = 1; αc = 0.0043 K −1 ; Tc = 80◦ C; σ1 = σ2 = σ3 = 5.80e + 7 S/m @ 20◦ C; a1 = a2 = a3 = 1.35e − 2 m; b1 = b2 = 8.15e − 2 m; b3 = 5.78e − 3 m; φ1,2 = 1.096 rad; φ1,3 = φ2,3 = 2.592 rad; μrg = 200; αg = 0.0064 K −1 ; Tg = 70◦ C; σg = 8.2e + 6 S/m @ 20◦ C; c1 = 0.127 m; c2 = 0.133 m. En este caso tambi´en se calcula la matriz de impedancias propias y mutuas Z (Ω/m) a trav´es de los cuatro m´etodos, para una frecuencia de 60 Hz. Resultados del m´etodo 1:
5
particularmente en la resistencia mutua entre lazos. Por otro lado, debido a que la profundidad de penetraci´on disminuye con el aumento de la frecuencia, los m´etodos que asumen tuber´ıa de espesor infinito presentan menores errores a altas frecuencias, en particular para las resistencias propias de los lazos y las inductancias propias y mutuas. Las impedancias propias de cables trif´asicos en tuber´ıas no son iguales cuando las distancias al centro de la tuber´ıa difieren, i.e., bi = bk ⇒ Z(i, i) = Z(k, k), independientemente del m´etodo de c´alculo utilizado. Adem´as para los m´etodos 2 y 4, otro motivo por el cual pueden diferir las impedancias propias Z(i, i) y Z(k, k) es la condici´on P k=1 φi,k = 0. Fig. 8. Geometr´ıa trif´asica de cables en disposici´on triangular en una tuber´ıa
Z = (1e − 4)
1.628 + j3.154 1.125 + j1.416 1.080 + j1.377
Resultados del m´etodo 2:
Z = (1e − 4)
1.641 + j3.184 1.099 + j1.350 1.092 + j1.414
Resultados del m´etodo 3:
Z = (1e − 4)
1.632 + j3.156 1.129 + j1.418 1.084 + j1.379
Resultados del m´etodo 4:
Z = (1e − 4)
1.645 + j3.186 1.135 + j1.433 1.090 + j1.394
1.125 + j1.416 1.628 + j3.154 1.080 + j1.377
1.080 + j1.377 1.080 + j1.377 1.498 + j2.969
1.099 + j1.350 1.641 + j3.184 1.092 + j1.414
1.092 + j1.414 1.092 + j1.414 1.511 + j2.998
1.129 + j1.418 1.632 + j3.156 1.084 + j1.379
1.084 + j1.379 1.084 + j1.379 1.502 + j2.972
1.135 + j1.433 1.645 + j3.186 1.090 + j1.394
1.090 + j1.394 1.090 + j1.394 1.515 + j3.001
A P E´ NDICE TABLA I ´ R ESISTENCIA DE LAZO DE CABLE MONOF ASICO EN UNA TUBER´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4
M´etodo 1 (Ω/m) 1.3518E-5 1.5643E-5 3.2809E-5 9.7947E-5 3.0441E-4
M´etodo 2 (Ω/m) 1.3518E-5 1.5643E-5 3.2809E-5 9.7947E-5 3.0441E-4
M´etodo 3 (Ω/m) 1.9776E-5 2.2657E-5 3.8281E-5 9.6657E-5 3.0441E-4
M´etodo 4 (Ω/m) 1.9776E-5 2.2657E-5 3.8281E-5 9.6657E-5 3.0441E-4
TABLA II ´ I NDUCTANCIA DE LAZO DE CABLE MONOF ASICO EN UNA TUBER´I A
Como se muestra, independientemente del m´etodo empleado, las impedancias propias Z(1, 1) y Z(2, 2) son iguales entre s´ı pero diferentes de Z(3, 3). Esto es consecuencia de que b1 es igual a b2 pero diferente de b3 , y los cuatro m´etodos son dependientes de bi . En este caso los resultados obtenidos a trav´es de los distintos m´etodos son aproximadamente iguales debido a las razones expuestas anteriormente en el caso de la configuraci´on cuna. V. C ONCLUSIONES Se han utilizado cuatro metodolog´ıas para el c´alculo de par´ametros de cables en tuber´ıas, en funci´on de la frecuencia. Dichas metodolog´ıas se han utilizado para estudiar los casos de configuraciones monof´asica, bif´asica y trif´asica de conductores macizos dentro de tuber´ıas. Los resultados de los m´etodos se han comparado tomando como referencia el m´etodo m´as general (m´etodo de Kane), el cual modela la tuber´ıa como un conductor cil´ındrico hueco (espesor finito) y toma en consideraci´on el efecto proximidad entre conductores. Se muestra que los m´etodos que utilizan el modelo de tuber´ıa infinita reportan errores significativos en tuber´ıas no magn´eticas a frecuencias cercanas a 50–60 Hz, mientras que los m´etodos que ignoran el efecto proximidad entre conductores producen errores significativos a altas frecuencias,
Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4
M´etodo 1 (H/m) 4.2383E-7 3.4457E-7 2.9432E-7 2.6221E-7 2.5184E-7
M´etodo 2 (H/m) 4.2383E-7 3.4457E-7 2.9432E-7 2.6221E-7 2.5184E-7
M´etodos 3 (H/m) 3.9423E-7 3.5800E-7 2.8741E-7 2.6225E-7 2.5184E-7
M´etodo 4 (H/m) 3.9423E-7 3.5800E-7 2.8741E-7 2.6225E-7 2.5184E-7
TABLA III ´ R ESISTENCIA PROPIA R(1, 1) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER ´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (Ω/m) 3.8645E-5 4.0736E-5 5.5212E-5 1.5269E-4 4.6296E-4 1.4453E-3
M´etodo 2 (Ω/m) 3.8645E-5 4.0762E-5 5.6410E-5 1.5780E-4 4.8026E-4 1.5011E-3
M´etodo 3 (Ω/m) 4.4893E-5 4.7903E-5 6.1135E-5 1.5130E-4 4.6296E-4 1.4453E-3
M´etodo 4 (Ω/m) 4.4893E-5 4.7929E-5 6.2333E-5 1.5641E-4 4.8026E-4 1.5011E-3
TABLA IV E RROR RELATIVO RESPECTO AL M E´ TODO DE K ANE DE LA RESISTENCIA ´ PROPIA R(1, 1) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER ´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (%) 13.92 15.01 11.43 2.38 3.60 3.72
M´etodo 2 (%) 13.92 14.95 9.50 0.89 0.00 0.00
M´etodo 3 (%) 0.00 0.05 1.92 3.27 3.60 3.72
6
TABLA V
TABLA X
´ I NDUCTANCIA PROPIA L(1, 1) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER ´I A
E RROR RELATIVO RESPECTO AL M E´ TODO DE K ANE DE LA INDUCTANCIA ´ MUTUA L(1, 2) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER´I A
Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (H/m) 5.2758E-7 4.4466E-7 4.0527E-7 3.6564E-7 3.5013E-7 3.4518E-7
M´etodo 2 (H/m) 5.3266E-7 4.4969E-7 4.0836E-7 3.6654E-7 3.5041E-7 3.4527E-7
M´etodo 3 (H/m) 5.0147E-7 4.6208E-7 3.9802E-7 3.6569E-7 3.5013E-7 3.4518E-7
M´etodo 4 (H/m) 5.0655E-7 4.6711E-7 4.0111E-7 3.6658E-7 3.5041E-7 3.4527E-7
TABLA VI E RROR RELATIVO RESPECTO AL M E´ TODO DE K ANE DE LA INDUCTANCIA ´ PROPIA L(1, 1) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER ´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (%) 4.15 4.81 1.04 0.26 0.08 0.03
M´etodo 2 (%) 5.15 3.73 1.81 0.01 0.00 0.00
M´etodo 3 (%) 1.00 1.08 0.77 0.25 0.08 0.03
TABLA VII ´ R ESISTENCIA MUTUA R(1, 2) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER ´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (Ω/m) 3.6817E-7 1.4209E-6 4.6619E-6 1.4865E-5 4.7114E-5 1.4909E-4
M´etodo 2 (Ω/m) 3.3415E-7 1.3475E-6 5.7256E-6 1.9804E-5 6.4157E-5 2.0440E-4
M´etodo 3 (Ω/m) 6.6934E-6 7.5263E-6 7.2482E-6 1.4226E-5 4.7114E-5 1.4909E-4
M´etodo 4 (Ω/m) 6.6936E-6 7.5520E-6 8.4467E-6 1.9336E-5 6.4416E-5 2.0493E-4
TABLA VIII E RROR RELATIVO RESPECTO AL M E´ TODO DE K ANE DE LA RESISTENCIA ´ MUTUA R(1, 2) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER ´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (%) 94.50 81.18 44.81 23.12 26.86 27.25
M´etodo 2 (%) 95.01 82.16 32.22 2.42 0.40 0.26
M´etodo 3 (%) 0.00 0.34 14.19 26.43 26.86 27.25
TABLA IX ´ I NDUCTANCIA MUTUA L(1, 2) DE CABLES BIF ASICOS EN UNA TUBER´I A Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (H/m) 1.3353E-7 8.1314E-8 6.4831E-8 5.9688E-8 5.8065E-8 5.7552E-8
M´etodo 2 (H/m) 1.3287E-7 8.5814E-8 6.7877E-8 6.0580E-8 5.8346E-8 5.7641E-8
M´etodo 3 (H/m) 8.3366E-8 6.8742E-8 6.0229E-8 5.9713E-8 5.8065E-8 5.7552E-8
M´etodo 4 (H/m) 8.8447E-8 7.3779E-8 6.3314E-8 6.0612E-8 5.8349E-8 5.7641E-8
Frecuencia (Hz) 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5
M´etodo 1 (%) 50.97 10.21 2.40 1.52 0.49 0.16
M´etodo 2 (%) 50.22 16.31 7.21 0.05 0.00 0.00
M´etodo 3 (%) 5.74 6.83 4.87 1.48 0.49 0.16
AGRADECIMIENTOS Los autores quisieran agradecer a Philippe Auriol, Donald Knuth, Mar´ıa Scala y Silvia Tomˇcalov´a por su invaluable contribuci´on a esta publicaci´on. R EFERENCIAS [1] S. A. Schelkunoff, The Electromagnetic Theory of Coaxial Transmission Lines and Cylindrical Shields, Bell Syst. Tech. J., vol 13, pp. 532-579, 1934. [2] G. W. Brown, and R. G. Rocamora, Surge Propagation in Three-Phase Pipe-Type Cables, Part I - Unsaturated Pipe, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-95, No. 1, pp. 89-95, 1976. [3] A. Ametani, A General Formulation of Impedance and Admittance of Cables, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-99, No. 3, pp. 902-910, 1980. [4] H. W. Dommel, EMTP Theory Book, Microtran Power Systems Analysis Corporation, Vancouver, BC, second edition, 1992. [5] M. Kane, Mod`eles analytiques originaux pour la d´etermination des param`etres lin´eiques des lignes et cables multifilaires parcourus par des signaux large bande, Rapport de Th`ese, Ecole Centrale de Lyon, Juillet 1994. [6] M. Kane, A. Ahmad and P. Auriol, Multiwire Shielded Cable Parameter Computation, IEEE Trans. on Magnetics, vol 31, N 3, pp. 1646-1649, 1995. [7] J. A. Tegopoulos and E. E. Kriezis, Eddy current distribution in cylindrical shells of infinite lenght due to axial currents. Part I, Part II, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. 90, No. 3, 1971. [8] D. da–Silva and G. Fern´andez, C´alculo anal´ıtico de par´ametros el´ectricos en funci´on de la frecuencia de cables en tuber´ıas, Proyecto de Grado, Universidad Sim´on Bol´ıvar, Marzo 2005.
B IOGRAF´I AS Daniel da Silva naci´o en Vila do Conde, Portugal. Actualmente estudia en la Universidad Sim´on Bol´ıvar para obtener el grado de Ingeniero Electricista. Se desempe˜na como administrador de red en el Laboratorio de Relatividad y Campos en la Universidad Sim´on Bol´ıvar. Adicionalmente, e´ l es un simpatizante de los sistemas Unix y LATEX. Gan´ımedes Fern´andez (S’06) naci´o en Maracay, Venezuela. Recibi´o en el a˜no 2005 su grado de Ingeniero Electricista en la Universidad Sim´on Bol´ıvar, Caracas. Actualmente se desempe˜na como Ayudante Docente del Departamento de Conversi´on y Transporte de Energ´ıa de la Universidad Sim´on Bol´ıvar y cursa estudios de Maestr´ıa en Ingenier´ıa El´ectrica en la misma instituci´on. Sus a´ reas de inter´es incluyen teor´ıa electromagn´etica, l´ıneas de transmisi´on, sistemas de alta tensi´on y an´alisis de sistemas de potencia. Richard A. Rivas (M’01) naci´o en 1965 en Caracas, Venezuela. Recibi´o sus grados de Ingeniero Electricista y M.Sc. en Ingenier´ıa El´ectrica en la Universidad Sim´on Bol´ıvar y el grado de Ph.D. en Ingenier´ıa El´ectrica en The University of British Columbia, Canad´a, en el a˜no 2001. Actualmente se desempe˜na como Profesor Asociado en el Departamento de Conversi´on y Transporte de Energ´ıa de la Universidad Sim´on Bol´ıvar. Sus a´ reas de inter´es incluyen an´alisis de sistemas de potencia, transitorios electromagn´eticos y sistemas de protecci´on.
