Completeness in differential approximation classes - Archive ouverte

0 downloads 0 Views 337KB Size Report
Feb 7, 2005 - Completeness in differential approximation classes. Giorgio Ausiello, Cristina Bazgan, Marc Demange, Vangelis Paschos. To cite this version:.
              !"# $%&'(!& # 1*+;-* *2#34-)5 ")#*+,#!0./69:02#  ?@AA66BCD? 7!.88 .GBH =F E &  Q K./0L(OM") (!* L!S&T4"-" 4*% O ;D.N@ DNN δΠ0 (f (x), y) δ > 0 Π0 Π0 Π

Π

          '    *! ,# 

        ' 4 ϕ —

 Ÿ * !  ,!  & — !™ !     n 0 *m !' %  !ϕ ,    ! m  &# , — &!&! , !    

*   0 ' Ÿ › , , &    +  &&!    &! &&!#) * # , 'œ  ;+  ! # .› , œ       ; ' , &       &0 &0, &  .%&&&* !#)# , %&&*! ,'&# . 

   '   !#);' ' . 

 —  ˜™š*˜™š.&!, #P#  66 *   ; ; . .]] .›  ž *##˜™š)—#. )!0;'     0

n `1 ∨ . . . ∨ `t ϕ `¯1 ∨ . . . ∨ `¯t `¯i = x ¯ j ` i = xj `¯i = xj `i = x ¯j yP ϕ y P opt(ϕ0 ) = ni=1 w(xi ) − opt(ϕ) ω(ϕ0 ) = ni=1 w(xi ) − ω(ϕ) y0 ϕ0 y Pn 0 0 0 m(ϕ, y) = i=1 w(xi ) − m(ϕ , y ) δ(ϕ, y) = δ(ϕ , y)

ϕ0

$



ϕ0

m(ϕ0 , y 0 )

ϕ



                 '    '  ≤         ≤          &  , , 

 ™P   R, &!#)  . #& %&#7'6 ]]. —*)   ,  ) ˜™!#) )   — &* , ! ) 6       D

D

 # ) #   M 8 . '  ž & &  &               ;! ))P    *     ! # )!  # #*  M œ ,     

  ' %&   **     .,* *    0 M  R&# .M!#) ]] › —  & ˜™š    ! )0* P!; #›;'R ;. &  , %&#6'    , ›   +!#)    # #*    & &    ;+   ;  % #6!)0    0!,   M › . "#$%&  '(')*) " & () (* #$%  '(')*)+() (' " & " & , -

 



 #$%  '(')*)+() (  #$%  '(')*)+() (       / ' ≤      —& , & & &  ˜™šM!#),   * %&#7'7            Ÿ . ]]  ž 69 6  &   )0* , —  3  5          !     ! !       *  ; . N › & &   — ™  + ,  &      &!    * *!)     *** *  !  ) #  ; ; M ›  '  ! .    ,       

   * *)*        -   ! **     ' ]] . , ,   &   —              !  P!   *  !  !    ;      #P # #*    0 ; ' › ,; , , &   & —              

 * › M0    ) #  ) #  ,  !   & & *ž !   *!, %&#7'7]]   M'R ;.      , "#%&  '(')*)+() (!!* &&  0    *   , %&# › 7› M   &*) —  *)]]*&-!$ 6  & *!

 .

D

M . ' ]] ' ,   &  & ™               !  *       #0;  *!))P # !  Ÿ › . › › . ,*  ))P#›&&&**!'   0  ™  &!,˜™š)—# , ›&!&))P#›&;   — — ™ ˜ ™ &**        ))P     ))P     *   )    *    ™M #  # › ' , , &                         ; ! *   ))P     #    ) #  ; 0 . › › #); ))P#, ;&  ™ )—#›& !; )0))P#* ' O 

  



 

  

Π

δ>0

Π

=

  



Π

  

,  — — &  4  — ˜™ ˜™š      !#)  *!      % *  *   ) #* ) #  ; M ' ,     ™ .,#!, .!!!, !    )0     , —   &         ,& &0;!›*         !   * )0  ;*   ))P  M   # 0 M , &—         +        * *     )   !*   !      0 0 .  ™ )—#.›&P !,›&!&.  ' . ;) 0;..;,;   &  & &                ))P     !#)    ›' # # #  #!   &  2%&#       !    ™  &0 &)0))P#'     #  ! 8M))P#—;) &› !—;0, — ˜™š ) #&*  ))!&' &  M. -   '*'' +  ( ' ž + 9   )0*& , . ,;*!        +  ( '

   ' *'  ' 



   *     .0! ,  ›& 0— —        ))P     * #  ) # # ; ' , !  & ›! &     + 

 '*''    ( ' )  ! !   . &                 !   ;)   0 P * ;   0P '  0 0 › ›     * * ;!  ** 0 P **   ›&0›P!)*' R !›* 'R;.›*** —R› —*! ) &  ' *)*, ! #     !#) 0*         !,! !# 0 *# P# * P# #!0 &          * *)*   !   0 !)*      œ* ' œ &,  —     —            *0 P!)*  !   #   , , œ — &    +,              ,;             ;! &#  › ' , , &               ! !)*            # 0 &0&P& & *#,* —;0 *)*          *#   ! P!)*        , , œ — &                     * #  # #    ž  *#'¡ , &!*. ;& .  '  !. , ' -))P . ;#*)* ,  & &  &                           !     !#) ,  #! #   0))P ; 8. ' ' . ,   — & & &                        !        !#) )        #   ; › & .  œ›—.›&,  ,  &!!!;**!  ž.&!!! ;!!*&  œ—' .   —  & ,;     ; *!.#)0*  ** ) #  ; ;  ] . ,                 ›  & # ™ ' # *#P# 0 M )#M Π0

Π

Π0 δ > 0

Π

  

Π0

Π



δ

Π0 P = NP

  

  







P 6= NP 

δ : N → (0, 1)

ϕ

C1 , . . . , Cm

n

δ m

x1 , . . . , xn

G

xi

i = 1, . . . , n wj

ui

ui vi

Cj

x ¯i wj

G

vi

Cj

w1 , . . . , wm

G n+1 ui

G

w1 , . . . , wm

vi

i = 1, . . . , n

G

n+1

ϕ

opt(G) = n ϕ

wj

Cj

ϕ

G

opt(G) = n + 1 n+1

n

G

n n+1

ϕ ϕ

 

B

k>3

k

  

    ≤ /    =     ⊆   ™,; 

 Ÿœ )0NPOM!#)⊆ ™'RP)—#Π ∈ NPOM!#)' %&. ,  &   , #& *

k  B  *  Π ' % . # ] * ,Π!∈NPO —;& &  ™     k. Π ≤ BΠ≤' Π .›!!  Π ∈  ) ' —# ˜™š!#) )0 !#)  ™!#)   

D

0

0

0

P M!#) M ™ ' M M Ÿ › ' R , —  — & &   ;)      ! # ; R  ™ ' -!  ™. '. &.,;)—#  ™ . *. œ —   )&—#  ™ M&™*' +&&*  !    ™ M!#)'R;   # P) .      ' -!    ˜™šM !   )    . ,  &     ' %&. !#)    ; * ! ;.   . . . &'   ™   ™     , œ  O ˜™šM!#)    ,#M!#) 0   ##* #" ;. !   R & —   ' 

 ™ % !*& ,!&  ™  & &* *  )M  )P#—;! ˜™š.#&  & ˜™šM!#)  ™ . — * Q D

D

 NPO = 00 00 Π ∈ NPO Π ≤D Π       ⊆ NPO

Π∈

Π

     00 00  Π ∈ Π ≤D Π 

Π0 ∈ NPO Π0 ≤D   



  





Π





 NPO ⊆   0 0  Π ∈ Π ≤D Π    Π ≤D Π Π0 ≤D Π Π

         & 

           ≡

œ —  &  —        O )0        *   !  "  ! *  *!  #   ; › ' R . , ,         **!—;#    *!  P#)  ! *  * %      *! *! M ' R .  ,  — —  — &          #  #;# P   *! 0) MM*!'›&) M .  ž , & —   —     % ! )      #   ;** ; . M*  ))P . #. &#, . )# ,  .&,,#;  !  —#— ,›&!&™&P ™š  , #)—'#%&!.&&™ &!,˜  ) P!˜™žM!#) & 0 )    * # M . ' . —  ;)   ™ M*!  '  œ ; & M*!! — #  ,— &! & &        *!, ]]' / & !    ! )  *! * M .  ,   ˜ ™š ™ ™  +         ! MM*! !#) &), ,M!#)    !  !   )0   *!  M ' . &    ˜ ™š ™ %&)          !#)    !#)      ; M M .&&&*.*)0 ™ M!#)  ™ .  7 #  ;   › › '¡  *)0 !œP  ™  ##*' R  ™ M!#)  ™ .  ™™ M)!#) —  ™ M!#))—# M*! › ' 4 —& ˜™M#!#))—#&&; & *&! , , ™ '      & & & ˜™ 2#          # #›0! 7 &0 ) #˜™M&** **!˜™M!#) 0**  ) ;M M * &    # —;& &. * .&)!0ž;' %&+˜™M!#) , * #) & —'¡&   **  . ž *  ; .› › .› 0)M*!',#  &         - *!  M ' . . ž  ™ M!#)  ™ ' , &! M!* —0* &           ##;  !* 6 0 ' R — — &          *    '*'  ' '    ) +#   * #P#˜™š *#  # 0    . . & —  ™ .'        + (  )

  ! #*    ;     . '. . . M . ' '. 



Π0 Π ≤TO Π0

Π

Π0

   

δ

Π0

Π0

Π0 ≤TO Π

  

*

  

=

Π



 

=

  

  

⊆ Π

  

     

Π00

Π0O

  

Π0

Π0D

Π00





Π0

≤TO Π

  

Π0D

=

Π0O

P

  

≤TO

=



     

Π δ>0 Π

  



Π00 Π0D Π0D ≤K Π00 0 ≡ ΠD ≤K P ≤TO Π ≤K ≡ ◦ ≤K ◦ ≤TO ≤D

≤D

*

NPO \ 0

 ˜™šM!#) ™ M!#)   



 =    ⊇ Π0    Π 0 Π

  

™

 

˜™š R6 !*!#)* *!'         , &) —#, !#)  &!, ™ ' œ & ! 4   ** › , , , & & — & ™      ** * ›)) &, ) * ›&!&› —M!#) ›& , ›'  0  6]      ™           / / N #



 Π ∈

   *



B





 

'  f g c '   ∀x ∈ I Π

/

∀z ∈ solΠ (x) ∀ρ ∈]0, 1[  f (x, z, ρ) = (ϕx,z,ρ , Wx,z,ρ , wx,z,ρ )  '& 



(ϕ



x,z,ρ , wx,z,ρ )

∈ I

   f

 %

%

 ∀y ∈ sol  (f (x, z, ρ)) / g(x, z, ρ, y) ∈ sol (x)  g % % '&   c :]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q  

 / ∀y ∈ sol 

  γ (x, z) > ρ /  f (x, z, ρ) ∈ I   (f (x, z, ρ)) /  B B     B (f (x, z, ρ), y) > 1 − c () /  γ (x, g(x, z, ρ, y)) > 1 −   γ 

Π

ρ

Π

, , , & & & &                  *   *  *!  !#)   *M !     ž , , & ) !#) —   &     ))P    !#)     %  !    ) # # ; ' ž  &  ™           !      ! *   !  # *     ; . . . › , &   !            

!&# * ! *    ))P   )0) # # # ;  œ'  *œ ,    &             *   ))P   # )0 ) # # # !  ; Ÿ *!—;. ! * M*!›&, ›' , & &        * ›˜™š)—# * ' %&. P   ,! . * . !#)—);# #. !&& )—;#0* . . . . . .  #0.*. ''. . . ,# );# . &. & ,  ,#  —     !   !# . # )  . ' . & & !   %&, ›))!—;&›' ™        /  /   M))P#&#, .›& ' 4%&P)* —!*      & &   # , )# . '   ! !—›;# ρ

*

f

g

Π



f

g



Π

B

z ρ f (x, z, ρ)



g







f g

Π

Π0

Π ≤DPTAS Π0

c

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q f (x, ) ∈ IΠ0  f



• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 (f (x, )) g(x, y, ) ∈ solΠ (x)  • c :]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q 

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 (f (x, )) δΠ0 (f (x, ), y) > 1 − c() ⇒ δΠ (x, g(x, y, )) > 1 −  f f = (f1 , . . . , fi ) i |x| ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 ((f1 , . . . , fi )(x, )) ∃j 6 i δΠ0 (fj (x, ), y) > 1 − c() ⇒ δΠ (x, g(x, y, )) > 1 −  Π Π0 Π ≤ & Π0 ∈ 0  DPTAS Π

  

 

Π∈

Π ∈ DAPX



 p

ρ ∀x ∈ IΠ |ω(x) − opt(x)| 6 2p(|x|)

x:



opt v(y) y ∈ Cx

›—;& &!M , 'R; , #P#)—#.& Cx



x

i ∈ {0, . . . , p(|x|)}

xi,l :

max

h j k i vi,l (y) = v(y) − l 2i y ∈ Cx

:

ρ ∈]0, 1[ x ∈ IΠ

*,; .›*œ

Π

(

Π

l∈N

xi,l

, ##)—#.&



Π

xi,l :

(

min

h

vi,l (y) = l −

j

v(y) 2i

ki

; !—!**!, ˜™š)—#**—; ' ™        y ∈ Cx

xi,l

Πi,l



'

 < min{ρ, 1/2} x ∈ I

(i, l) ∈ {1, . . . , p(|x|)}×N '   Π  

  %y ∈ sol (x) = sol (x ) 2i 6 | opt(x) − ω(x)| 6 2i+1   l = bω(x)/2i c Π Πi,l i,l

 /

 δ (x , y) > (1 − ) =⇒ δ (x, y) > 1 − 3    δ (x, y) > ρ =⇒ δ (x , y) > (ρ − )/(1 + )  ™

 2#&,;(i, l) *œ*&#,&))*∀y ∈ sol 

Πi,l

Π

i,l

. & &              #P   * #    # !   #    . & . 'R›.›#. #P# &   #  # 'R . &!, #&##ž' #&) )—+* )0,#6 .   6ž ]ž , —      6 *     0 ›& ]ž—! ' .# ]  ž  ž , , & '    * )  #6  !#) , , & &     R )  #]#  7ž ž , , — &  &  !&0  7      *!#   *  !#)   )    ž  ž    ,%#&)   ]*, ,,&&)) ',  ™ M!#))—#& , ›%&#.›   P  ! , , œ —)  &  & & — ™       #*     ! #   ;      )0 ) #  M › ' Ÿ , , —  — ™ ™            



*!    #        ;*!    ' P.›!*)! ™ M!#))—# . ; , '*'›* —     ; ' '  '   —&&™™ M™*!— '*'' '  '  '*' '     *  *.#0  *** . , &                    *M*! ))P    ! ! *    ! ! * !*   * #     *! ! 0 › ,     &                   #*    ))P   #    ) # # # !  0 ; ; ,   & & & &              œ**)  ))P   # % !#)   )! # # # !  *! ; M ' , , & &          



  '*'   ' *      # #   *  '. &  M*!ž   *! . ,#        ' '*    ) # #M ; , &                  ' *'  ' ' ))P   #  *    ))P # !  ) # # ;  '*'' '  , #!&!&#    . ' ' .  ™ M!#)'R]*)!& — 0'     '*'' '    9 Π

vi,l (y) =

Πi,l

bv(y)/2i c − l

i,l



vi,l (y) = δΠ (x, y) = δΠ0,l (x0,l , y)



   v(y) ω(x) − 6 2i 2i     opt(x) ω(x) − > 2i 2i

Π (x)

l − bv(y)/2i c

Π

v(y) − ω(x) +1 2i opt(x) − ω(x) opt(x) − ω(x) −1 > (1 − ) i 2 2i

(opt(x) − ω(x))/2i > 1/ (1 − )2 − 2i /(opt(x) − ω(x)) > (1 − )2 −  > 1 − 3

δΠ (x, y) >





   v(y) ω(x) − > 2i 2i     ω(x) opt(x) − 6 2i 2i

v(y) − ω(x) −1 2i opt(x) − ω(x) opt(x) − ω(x) +1 6 (1 + ) i 2 2i δΠi,l (xi,l , y) > (ρ − )/(1 + )

  

B * ≤D S

Π



B

B

B

B





Π



B



$

Π

B 

Π0



B   B∈    

Π

 

B

  

B

B



    

   

  

™

™

  







 

 B

≤D S

Π

≤PTAS

(%-

"(%-

™ M!#)

≤DPTAS

™



 '*'

 ' B

(%-

  

 '*'

 ' B

≤ID

"(%-

R] %&!&#, &), , %&#'  — ™—

 Ÿ œ &,›& ;0 ™    *)  P

 # *!  & &            #  ** *   ))P   #      # !  ;*!  ,         !2# œ0& 0 ž' 0—M & ;# *!  ##*,# .  ›  ' -!   ™ .  .— ,         !*! *     ) # # ;   ' 4 —   & &                   *    );# #  '  , , —  &         . !#) ; *  !   ;  !   ;  R .› . !,!— &# *!

   &&&   ' Ÿ   !  !      ž *  ))P# , * &   & —   ))P             * ! )  &! ) #  # # ; ; › › .  #!&#ž. );#' , , , &        %& M*!!& #*—,*) !   #   ! !   ;   & &         *!  ) ! ) #   ;  .› & . * .  . * '   R ! &› 0  8 &!,&****   !!*' +&›*. . , ,— '    R . ' œ &&&!&,  !—!!*);#, #&' R! & -)) )œ6,ž   ! ' Ÿ. ›!*   !  . * (** . . &› 4 'R; .› ,&   !,    › 68 Π∈





ϕ (ϕ, B, w) ~ ∈I

x



Oζ (x) ∈ sol













B 

 < min{ρ, 1/2} B B (x, Oζ ) > 1 − ζ

Π

F (io , lo )

F

i0 = 0 | opt(x) − ω(x)| 6 2



  





i0 6= 0 2i0 6 | opt(x) − ω(x)| 6 2i0 +1





1−



≤D S {xi,l : (i, l) ∈ F }



γ

B



B

w ~ Π

B ρ ∈]0, 1[



ζ>0

  

xi,l F =

l0 = bω(x)/2i0 c

l0 = ω(x)



 xi0 ,l0 δΠi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z) = γΠi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z)

z

i0 = 0 δΠ (x, z) = δΠ0,ω(x) (x0,ω(x) , z) = γΠ0,ω(x) (x0,ω(x) , z) F

gi,l fi,l ci,l 0  = min{(ci,l )ρ (), (ci,l )(ρ−)/(1+) (/3) : (i, l) ∈ F }  ρ i=0 η= ρ−

(i, l) ∈ F xi,l

(i, l) ∈ F

1+

z = T(x) (i, l) ∈ F  gi,l (xi,l , z, η, O0 (fi,l (xi,l , z, η))) zi,l = z

fi,l (xi,l , z, η)

B

, , & —   2 #               * !   ;. , ' + .   .

           ' ,  &      2 &       !&0*   ))P    #  , #  Ÿ›)0 ' ,  —             ***    # ; . ]  ž  , & — &    7, 2          #     ; #     ! )  ) 6) ; . .› &0] › ž'  (  '  ! —;M , —  *  )(*œ*,) #   . ! & & & & , .     *  ' ¡ *&›! 'Ÿ    , . &—;# , (* 6* )2# .› &0 ] #)! , .&—;#,()*—6* .›&0' ; #6,!()7›&0 &—*;!#) &  & &           -!œ;.* *   ;   !!       ' & — &           !#) *  ##*;!!* ;  %&,# .› &   & œ;)0  *         ' . ' —   &.›!* › &           ! ! *    !  ) # # ; Ÿ ' R ! !, && &! .&&  & ,  !&&   . & &   !  &! * ' ;. !—*œ* 

zi,l (i, l) ∈ F

xi,l

x

x





zi,l



(i, l) = (i0 , l0 ) z = T(x)

 i0 6= 0 Πi0 ,l0 ρ=η fi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η) ∈ I 0 zi,l zi0 ,l0 = gi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η, O (fi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η))) 0 B (O0 (fi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η))) > 1 − 

γ



i0 = 0 γΠ0,ω(x) (x0,ω(x) , z0,ω(x) ) > 1 − 



i0 6= 0 γΠi0 ,l0 (xi0 ,l0 , zi0 ,l0 ) > 1 − (/3) (i0 , l0 ) ∈ F



1− η xi0 ,l0

B

1 − 0 > 1 − (c0,ω(x) )ρ () δΠ (x, z0,ω(x) ) > 1 −  



1−0 > 1−(ci0 ,l0 )(ρ−)/(1+) (/3) δΠ (x, zi0 ,l0 ) > 1 − 



zi0 ,l0



zi0 ,l0



1−

F

• •

|ω(x) − opt(x)| 6 2 |ω(x) − opt(x)| 6 b2/c   ω(x) = k + v(z) i0 = 0 l0 = k + v(z) 

∃k ∈ {−b2/c, . . . , b2/c}

∃i ∈ {1, . . . p(x)} 2i 6 | opt(x)−ω(x)| 6 2i+1 |bopt(x)/2i c−bω(x)/2i c| 6  b2/ + 1c ∃k ∈ {−d2/ + 1e, . . . , d2/ + 1e} ω(xi,0 ) = bω(x)/2i c = vi,0 (z) + k  i0 = i l0 = vi,0 (z) + k F

F



=

     2 2 (0, v(z) + k) : k ∈ − ,...,        [ 2 2 {1, . . . p(x)} × vi,0 (z) − + 1 , . . . , vi,0 (z) + +1 .  

!*;.!&#—, !!*  ) *! ' 2-#   !P;,));;#   # ; & P&—&*!#) &        ›&0&# ›&'R #) ™;.›. #);     Ož ,#,™ ,    ™ ,;)—# &  *  !#)  ' '*'' '  ™ M!#) ;)—# ™ ,   !     '*'' '   .  .

  . *!   . ' '.     '*'' '  Qž , ,   &&*    '*'' ' .  ! ;  !   ** &    ¡** . . . ))P#!!* &!.  '*'' '   '*'' '  Nž 66 

$

F

)



∀Π ∈

Π ≤D S

B

 

B

B



 

Π ∈ DAPX



B





B

B ≤PTAS





  

B

G

ω(G) = 0

B ≤ID

B



, œ œ       O Q    Q     %&&!#)   *  !   "   *!     ; . N . ' ' .  ž  ž  ž , . &&!#)&& M*!     ' ™ +  '*'' '  ' R&M  0      . .› › . '*'' '    ™ . !;&#!#)#P# , &&.!          #        *)*   *   ))P      #  ! ž  ,   ™   , , &;  &) &#ž'!#) ' ;.  '*'' '   M!#)* 

≤D S ◦ ≤PTAS ◦ ≤ID

∀Π ∈ B

ω(G) = 0

   Π≤   DPTAS  

B

1/(B + 1)

G

B

  

  0   ') ' + ')B / ' * (B /  ' + ')B /     '  ™—   *™œ&, ' * (B .   ') ' + ')B *  ' + ')B   '*' ' ' B . ;))P#&#!#)   ' ,  &   &                !    !&0* ))P#    #P #    )!   ž 1/B !  , '  *') '  (B+')&#);  . ****  &› M0!   ))P    '*' ' '  &0*    !,*ž&'—$!0 ,!*   ,&#   ))P     #  0—#,! , , & & — &          +

 ' ) ') ' #  !   ))P    ; .&), , &! #+ ')›  B ,    

 ' *  ))P #  . B') 1/B 'R & ™ ,  ,#6 6Q &6Q )0*& & 

 ' +    › . › › . |C| 6 |S| ].›&  6   )0*& , — › &+')  ))P#  '      *))P  ))P    6 #   — &            *    #   ›  |C| > |S| .  B 1/B ' , & & & & & ™         +  '

 ') ' ' ) %  *       * # #*     M ' ¡ . ,   — &               * (.  ))P#0    ****   ))P# * ,  &                !  ))P         *)*  * *! )0  #   ›  &%&)&M* '*'' ' ' )&ž,  ' + ')B , ™! —)0* —; &# &    ' + ')B  &!,   ' + ')B  ;# ›&;# , &')*  —P!  ,&,# !*)& ;#       ' 

;›*! * ;  &       ;0 P   !    › ' ž  '*'' '  ') ' + ') C

  +')   ' / 

  





M

S

$

 ' * (/   ' /) /)  + +   (      '    '   * /    '   `

  '  ™&* 

 %& &*, & œ ,)—#  ##* ,#%&#O' %& ™M ,    '!# ,# ,!& '*'' ' &  *  '  , — &    ))P#     ****   ))P# **!

0 #   *)*&*, &)M    !  ))P )0  › )&ž' & &*,  ++)'   ' ()* !*)&  R ..  , , , ;      '*'' ' *!*)& !   !)   !   , —                 +)&' *  ! !)     *!#)    *      +#      ;  › ' — — 

' ()*  ** ; 0PM'¡0;. &  , !&&*.* — & &       * ;## *)* ,  &!!,  !); *)*  . '¡    #P  0 ,—  ++)' '&  ,— ()* , !&. , & !)#,—P) , —&  0**!   !! .)—#›M0' 8. !!*&&*!  —     *    M' , , &  &  — & — 4 ™                  !   !        ) # › *—; 0 . &&), , &P!›, !#)  );# #. * M!#)  6] `

G` (V` , E` ) B`



V`0

V`0

G` V0

G

m(G, V 0 ) > m(G` , V`0 )/` 

G

` opt(G` ) > ` opt(G)

G

G`

`

 

DAPXp

` `

G(V, E) G



 $ 

ω(x) DAPXp

œ , , — &  & —   +     #!  * ! ! *   !  ! ) #, )—# )&—#! # )   ' . ,   & —              #P    *  !     # ) #  ;  ››&!& *!  . ''. —&)—#*œ*ž&# )*&0 *#! , —' * œ,;&  , ! !;-&!* ; &0&#        #     ™  *   &,&—!0 ,!. , ' ™.&& * 0  ; ' —& . ™ * ™ ' —     › & 0   —  '*'' '&  .› &  &        *  *   Ÿ — ))P#0M*!  )  # M!#) * ! ›*&   ! '*' '  ' #  ,    !! — ,' .›  , , ,   & &       %&&**  !#)  )  %   ) # P ; &    —        !      !#)      ) # ; ; › › '        +, !#) .››! &!!*&! ™ *›› **&)—# &! ' )0,;);# #*  ))P# , &      *     *!   › !&#. **—; M*!›& , ›' #!&›&˜™š)—# * ' %&. ., &P& ,!  . * * "œ]     — &            !#)  0 )   #  #  P ;* ; * . . '. ™        / /  ,  ››,›&));&&#)œ™!* & . * *; +!#)    * -!  &,   › , , — —  &          !    !   !       . › , , — &  & & —   ™                  !  !#)     #P #! ) #   ) # # 0 ; M › ›   — &   & &       2 œ&)        !*. ™) M!!#) #› › 0 8ž') !   .6  .#P #*  ) — *!    '      #)0* ]ž' *! žP)*. #,   —   * )  #  )# —# *! ›& M)## * ) › ,#   x

Π

x0

Π



P0

Π



mΠ0 (x0 , y) = mΠ (x, y) − ω(x)   $ Π ∈  δΠ (x, y) = δΠ0 (x0 , y) = γΠ0 (x0 , y)  Π ≡D Π0 ≤ Π Π0  ◦≤



Π0 ∈  Π0 B



  

≡D

B









≡D

DAPXp DAPXp

#

  







Π0

Π

f g

• f

Π ≤DFPTAS Π0

c



g

• c : (]0, 1[∩Q) × IΠ →]0, 1[∩Q  1/ 

|x|

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 (f (x, )) δΠ0 (f (x, ), y) > 1 − c(, x) ⇒ δΠ (x, g(x, y, )) > 1−  Π Π0 Π ≤ & Π0 ∈ 0  DFPTAS Π

   

  Π∈

 

 

DPTASp

 

B

Π ∈ DPTASp

x ∈ IΠ

x:

Π0

¡—0.;.

x0 ∈ IΠ0

;. .ž! *.

y = y0 ω(x0 ) = 0

 



opt v(y) y ∈ Cx

x0 ∈ IΠ0

  opt v (y 0 ) − ω(x) 0 y 0 ∈ Cx0 x :  Cx = Cx0

.

solΠ (x) = solΠ0 (x0 ) Π0 ∈ DPTASp

  δΠ (x, y) = δΠ0 x0 , y 0 = γΠ0 x0 , y 0

67

#)!;. ,; :ž

M &  —           ! * *        &#   * R,# . .  , , & — & & & — &    :       !   !     *  !   0 ; '¡ . . ž  ž ,  +   ')   .  ')   '  . ; &  . œ  &  —         * 0* *  )0  *   ))P *  ; ›!—› * '¡—0;. *!. .  M*!#'0M , ,#, —!0,!, &     *  !   *  › )—# ™ & & 4 '      +      ' * ! ! *     › ' ,&. ))&. —™ & *&0› 0 8. **  .  &'*' !  4 ') ' + ')))    3  '  &. 5  %  ;   ')  **! —0#  '  &        *!    ;  . .   ,  &  &       M.    ›)) *'  / ™    0   ')      

    ,))P —&;—, )—#) —# —*) &, **))P   &&;    # #!M  — & — &  &     +*       0   *    0       *;   ; ,œ))P#&&, !&& !—!!&0' +)  &   :   !      . .N . !&* š — &     * **! ;**) #›;0M )&;# ##)  &  —  #)&0    !˜)™š    ) )! )! ; › ,! ' . !#).— — &— &      * # . ,  & &          *    !  ; -  )!;# #   . . ' , , , — & —        ) 0;        # # # .&* *! !&'( , & ;! )›' ' ' .,,&P &— &           ;           **))P     # # #  0 '# * , , , — — & —M ** &— , . &—&*              *       #  # ;! ,  — & & &            ! *&—M  ** P  !  &!. ! š; —0!!) '   M—** , &  *)  ' *œ*, ›' , &ž      4 —);# ;—**˜™š)—#' %&. , , —  —           !!#) *   0; * P   ) # # ; .  ž — — &— & & & &       )#&)!*   **   * !   *  ! M  ' › , , œ &  š  š &  —        *   ! )  !  *     ! *  * ¡, ! . . › › .   & & +        +  ( '  

 



   '*'   '         ;  * .  ( .   ++) (..   ' + ') '  .  ' ')]8 ' + ')› .  '  + ') .  '''(' ' .  '' ') ' '  *    ' ' +)  ' (.  !** š'R&#  ]6   )0*& —&  *) š+* *)& ›&);# ;—***M*!!**    '' ') '   +&)) &  ]8.,; , &— &  '  ' š›&.)! ›M—**   * ; *; . š & — &— &               **   *   )! M ›   *     6 

Π0

Π ∈ DPTASp $

B

Π ∈ DPTASp

Π0

Π0 ∈ PTAS  Π ≡D Π0 ≤FPTAS 

≡D

Π0

Π

≡D ◦ ≤FPTAS

$

DPTASp

DPTASp

AF

DPTASp

AF

   : ∃Π0 ∈ DPTASp , Π0 ≤AF Π = Π∈ DPTASp

 

DPTASp

Π00 ∈ DPTASp

Π0

AF

DPTASp 

AF

DPTASp Π00 ≤AF Π ≡D ≤AF ◦ ≡D ◦ ≤FPTAS

Π

B

≤FPTAS

Π0 ≤FPTAS B

 

AF B DPTASp   ' ≤DFPTAS

#

  





 

N : IΠ × sol(IΠ ) → 2sol(IΠ ) x ∈ IΠ y ∈ sol(x) N (x, y) ⊆ sol(x) y y 0 ∈ N (x, y) m(x, y) m(x, y 0 ) Π N r x r y y0 y y h h h   y

Π

x

N

'

  

x ∈ IΠ sol(x) y 0

y

h

N

y 0 ∈ N (x, y) 

h

Π y ∈ sol(x) h∈N

h

Π ∈ GLO x ∈ IΠ Π

N

N

  

 

B

B

B

K

  

k

B

B

B

 

  

 

     

  

h

h

h>0





k

B

h