Completeness in differential approximation classes - Archive ouverte

!"# $%&'(!& # 1*+;-* *2#34-)5 ")#*+,#!0./69:02# ?@AA66BCD? 7!.88 .GBH =F E & Q K./0L(OM") (!* L!S&T4"-" 4*% O ;D.N@ DNN δΠ0 (f (x), y) δ > 0 Π0 Π0 Π

Π

' *! ,#

' 4 ϕ

* ! ,! & ! ! n 0 *m !' % !ϕ , ! m &# , &!&! , !

* 0 ' , , & + &&! &! &&!#) * # , ' ;+ ! # . , ; ' , & &0 &0, & .%&&&* !#)# , %&&*! ,'&# .

' !#);' ' .

*.&!, #P# 66 * ; ; . .]] . *##)#. )!0;' 0

n `1 ∨ . . . ∨ `t ϕ `¯1 ∨ . . . ∨ `¯t `¯i = x ¯ j ` i = xj `¯i = xj `i = x ¯j yP ϕ y P opt(ϕ0 ) = ni=1 w(xi ) − opt(ϕ) ω(ϕ0 ) = ni=1 w(xi ) − ω(ϕ) y0 ϕ0 y Pn 0 0 0 m(ϕ, y) = i=1 w(xi ) − m(ϕ , y ) δ(ϕ, y) = δ(ϕ , y)

ϕ0

$

ϕ0

m(ϕ0 , y 0 )

ϕ

' ' ≤ ≤ & , ,

P R, &!#) . #& %&#7'6 ]]. *) , ) !#) ) &* , ! ) 6 D

D

# ) # M 8 . ' & & & ;! ))P * ! # )! # #* M ,

' %& ** .,* * 0 M R&# .M!#) ]] & ! )0* P!; #;'R ;. & , %&#6' , +!#) # #* & & ;+ ; % #6!)0 0!, M . "#$%& '(')*) " & () (* #$% '(')*)+() (' " & " & , -

#$% '(')*)+() ( #$% '(')*)+() ( / ' ≤ & , & & & M!#), * %&#7'7 . ]] 69 6 & )0* , 3 5 ! ! ! * ; . N & & + , & &! **!) *** * ! ) # ; ; M ' ! . ,

* *)* - ! ** ' ]] . , , & ! P! * ! ! ; #P # #* 0 ; ' ,; , , & &

* M0 ) # ) # , ! & & * ! *!, %&#7'7]] M'R ;. , "#%& '(')*)+() (!!* && 0 * , %&# 7 M &*) *)]]*&-!$ 6 & *!

.

D

M . ' ]] ' , & & ! * #0; *!))P # ! . . ,* ))P#&&&**!' 0 &!,)# , &!&))P#&; &** ))P ))P * ) * M # # ' , , & ; ! * ))P # ) # ; 0 . #); ))P#, ;& )#& !; )0))P#* ' O

Π

δ>0

Π

=

Π

, & 4 !#) *! % * * ) #* ) # ; M ' , .,#!, .!!!, ! )0 , & ,& &0;!* ! * )0 ;* ))P M # 0 M , & + * * ) !* ! 0 0 . )#.&P !,&!&. ' . ;) 0;..;,; & & & ))P !#) ' # # # #! & 2%&# ! &0 &)0))P#' # ! 8M))P#;) & !;0, ) #&* ))!&' & M. - '*'' + (' + 9 )0*& , . ,;*! + ('

' *' '

* .0! , & 0 ))P * # ) # # ; ' , ! & ! & +

'*'' (' ) ! ! . & ! ;) 0 P * ; 0P ' 0 0 * * ;! ** 0 P ** &0P!)*' R !* 'R;.*** R *! ) & ' *)*, ! # !#) 0* !,! !# 0 *# P# * P# #!0 & * *)* ! 0 !)* * ' &, *0 P!)* ! # , , & +, ,; ;! &# ' , , & ! !)* # 0 &0&P& & *#,* ;0 *)* *# ! P!)* , , & * # # # *#'¡ , &!*. ;& . ' !. , ' -))P . ;#*)* , & & & ! !#) , #! # 0))P ; 8. ' ' . , & & & ! !#) ) # ; & . .&, , &!!!;**! .&!!! ;!!*& ' . & ,; ; *!.#)0* ** ) # ; ; ] . , & # ' # *#P# 0 M )#M Π0

Π

Π0 δ > 0

Π

Π0

Π

δ

Π0 P = NP

P 6= NP

δ : N → (0, 1)

ϕ

C1 , . . . , Cm

n

δ m

x1 , . . . , xn

G

xi

i = 1, . . . , n wj

ui

ui vi

Cj

x ¯i wj

G

vi

Cj

w1 , . . . , wm

G n+1 ui

G

w1 , . . . , wm

vi

i = 1, . . . , n

G

n+1

ϕ

opt(G) = n ϕ

wj

Cj

ϕ

G

opt(G) = n + 1 n+1

n

G

n n+1

ϕ ϕ

B

k>3

k

≤ / = ⊆ ,;

)0NPOM!#)⊆ 'RP)#Π ∈ NPOM!#)' %&. , & , #& *

k B * Π ' % . # ] * ,Π!∈NPO ;& & k. Π≤ BΠ≤' Π .!! Π ∈ ) ' # !#) )0 !#) !#)

D

0

0

0

P M!#) M ' M M ' R , & & ;) ! # ; R ' -! . '. &.,;)# . *. )&# M&*' +&&* ! M!#)'R; # P) . ' -! M ! ) . , & ' %&. !#) ; * ! ;. . . . &' , O M!#) ,#M!#) 0 ##* #" ;. ! R & '

% !*& ,!& & &* * )M )P#;! .#& & M!#) . * Q D

D

NPO = 00 00 Π ∈ NPO Π ≤D Π ⊆ NPO

Π∈

Π

00 00 Π ∈ Π ≤D Π

Π0 ∈ NPO Π0 ≤D

⊆

Π

NPO ⊆ 0 0 Π ∈ Π ≤D Π Π ≤D Π Π0 ≤D Π Π

&

≡

& O )0 * ! " ! * *! # ; ' R . , , **!;# *! P#) ! * * % *! *! M ' R . , & # #;# P *! 0) MM*!'&) M . , & % ! ) # ;** ; . M* ))P . #. &#, . )# , .&,,#; ! # ,&!&&P , #)'#%&!.&& &!, ) P!M!#) & 0 ) * # M . ' . ;) M*! ' ; & M*!! # , &! & & *!, ]]' / & ! ! ) *! * M . , + ! MM*! !#) &), ,M!#) ! ! )0 *! M ' . & %&) !#) !#) ; M M .&&&*.*)0 M!#) . 7 # ; '¡ *)0 !P ##*' R M!#) . M)!#) M!#))# M*! ' 4 & M#!#))#&&; & *&! , , ' & & & 2# # #0! 7 &0 ) #M&** **!M!#) 0** ) ;M M * & # ;& &. * .&)!0;' %&+M!#) , * #) & '¡& ** . * ; . . 0)M*!',# & - *! M ' . . M!#) ' , &! M!* 0* & ##; !* 6 0 ' R & * '*' ' ' ) +# * #P# *# # 0 . . & .' + ( )

! #* ; . '. . . M . ' '.

Π0 Π ≤TO Π0

Π

Π0

δ

Π0

Π0

Π0 ≤TO Π

*

=

Π

=

⊆ Π

Π00

Π0O

Π0

Π0D

Π00

⊇

Π0

≤TO Π

Π0D

=

Π0O

P

≤TO

=

Π δ>0 Π

Π00 Π0D Π0D ≤K Π00 0 ≡ ΠD ≤K P ≤TO Π ≤K ≡ ◦ ≤K ◦ ≤TO ≤D

≤D

*

NPO \ 0

M!#) M!#)

= ⊇ Π0 Π 0 Π

R6 !*!#)* *!' , &) #, !#) &!, ' & ! 4 ** , , , & & & ** * )) &, ) * &!& M!#) & , ' 0 6] / / N #

Π ∈

*

B

' f g c ' ∀x ∈ I Π

/

∀z ∈ solΠ (x) ∀ρ ∈]0, 1[ f (x, z, ρ) = (ϕx,z,ρ , Wx,z,ρ , wx,z,ρ ) '&

(ϕ

x,z,ρ , wx,z,ρ )

∈ I

f

%

%

∀y ∈ sol (f (x, z, ρ)) / g(x, z, ρ, y) ∈ sol (x) g % %'& c :]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q

/ ∀y ∈ sol

γ (x, z) > ρ / f (x, z, ρ) ∈ I (f (x, z, ρ)) / B B B (f (x, z, ρ), y) > 1 − c () / γ (x, g(x, z, ρ, y)) > 1 − γ

Π

ρ

Π

, , , & & & & * * *! !#) *M ! , , & ) !#) & ))P !#) % ! ) # # ; ' & ! ! * ! # * ; . . . , & !

!&# * ! * ))P )0) # # # ; ' * , & * ))P # )0 ) # # # ! ; *!;. ! * M*!&, ' , & & * )# * ' %&. P ,! . * . !#));# #. !&& );#0* . . . . . . #0.*. ''. . . ,# );# . &. & , ,# ! !# . # ) . ' . & & ! %&, ))!;&' / / M))P#&#, .& ' 4%&P)* !* & & # , )# . ' ! !;# ρ

*

f

g

Π

f

g

Π

B

z ρ f (x, z, ρ)

g

f g

Π

Π0

Π ≤DPTAS Π0

c

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q f (x, ) ∈ IΠ0 f

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 (f (x, )) g(x, y, ) ∈ solΠ (x) • c :]0, 1[∩Q →]0, 1[∩Q

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 (f (x, )) δΠ0 (f (x, ), y) > 1 − c() ⇒ δΠ (x, g(x, y, )) > 1 − f f = (f1 , . . . , fi ) i |x| ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 ((f1 , . . . , fi )(x, )) ∃j 6 i δΠ0 (fj (x, ), y) > 1 − c() ⇒ δΠ (x, g(x, y, )) > 1 − Π Π0 Π ≤ & Π0 ∈ 0 DPTAS Π

Π∈

Π ∈ DAPX

p

ρ ∀x ∈ IΠ |ω(x) − opt(x)| 6 2p(|x|)

x:

opt v(y) y ∈ Cx

;& &!M , 'R; , #P#)#.& Cx

•

x

i ∈ {0, . . . , p(|x|)}

xi,l :

max

h j k i vi,l (y) = v(y) − l 2i y ∈ Cx

:

ρ ∈]0, 1[ x ∈ IΠ

*,; .*

Π

(

Π

l∈N

xi,l

, ##)#.&

•

Π

xi,l :

(

min

h

vi,l (y) = l −

j

v(y) 2i

ki

; !!**!, )#**; ' y ∈ Cx

xi,l

Πi,l

'

< min{ρ, 1/2} x ∈ I

(i, l) ∈ {1, . . . , p(|x|)}×N ' Π

%y ∈ sol (x) = sol (x ) 2i 6 | opt(x) − ω(x)| 6 2i+1 l = bω(x)/2i c Π Πi,l i,l

/

δ (x , y) > (1 − ) =⇒ δ (x, y) > 1 − 3 δ (x, y) > ρ =⇒ δ (x , y) > (ρ − )/(1 + )

2#&,;(i, l) **&#,&))*∀y ∈ sol

Πi,l

Π

i,l

. & & #P * # # ! # . & . 'R.#. #P# & # # 'R . &!, #&##' #&) )+* )0,#6 . 6 ] , 6 * 0 & ]! ' .# ] , , & ' * ) #6 !#) , , & & R ) #]# 7 , , & & !&0 7 *!# * !#) ) ,%#&) ]*, ,,&&)) ', M!#))#& , %&#. P ! , , ) & & & #* ! # ; )0 ) # M ' , ,

*! # ;*! ' P.!*)! M!#))# . ; , '*'* ; ' ' ' && M*! '*'' ' ' '*' ' * *.#0 *** . , & *M*! ))P ! ! * ! ! * !* * # *! ! 0 , & #* ))P # ) # # # ! 0 ; ; , & & & & **) ))P # % !#) )! # # # ! *! ; M ' , , & &

'*' ' * # # * '. & M*! *! . ,# ' '* ) # #M ; , & ' *' ' ' ))P # * ))P # ! ) # # ; '*'' ' , #!&!&# . ' ' . M!#)'R]*)!& 0' '*'' ' 9 Π

vi,l (y) =

Πi,l

bv(y)/2i c − l

i,l

vi,l (y) = δΠ (x, y) = δΠ0,l (x0,l , y)

v(y) ω(x) − 6 2i 2i opt(x) ω(x) − > 2i 2i

Π (x)

l − bv(y)/2i c

Π

v(y) − ω(x) +1 2i opt(x) − ω(x) opt(x) − ω(x) −1 > (1 − ) i 2 2i

(opt(x) − ω(x))/2i > 1/ (1 − )2 − 2i /(opt(x) − ω(x)) > (1 − )2 − > 1 − 3

δΠ (x, y) >

v(y) ω(x) − > 2i 2i ω(x) opt(x) − 6 2i 2i

v(y) − ω(x) −1 2i opt(x) − ω(x) opt(x) − ω(x) +1 6 (1 + ) i 2 2i δΠi,l (xi,l , y) > (ρ − )/(1 + )

B * ≤D S

Π

B

B

B

B

Π

B

$

Π

B

Π0

B B∈

Π

B

B

B

B

≤D S

Π

≤PTAS

(%-

"(%-

M!#)

≤DPTAS

'*'

' B

(%-

'*'

' B

≤ID

"(%-

R] %&!&#, &), , %&#'

&,& ;0 *) P

# *! & & # ** * ))P # # ! ;*! , !2# 0& 0 ' 0M & ;# *! ##*,# . ' -! . . , !*! * ) # # ; ' 4 & & * );# # ' , , & . !#) ; * ! ; ! ; R . . !,! &# *!

&&& ' ! ! * ))P# , * & & ))P * ! ) &! ) # # # ; ; . #!&#. );#' , , , & %& M*!!& #*,*) ! # ! ! ; & & *! ) ! ) # ; . & . * . . * ' R ! & 0 8 &!,&**** !!*' +&*. . , , ' R . ' &&&!&, !!!*);#, #&' R! & -)) )6, ! ' . !* ! . * (** . . & 4 'R; . ,& !, 68 Π∈

ϕ (ϕ, B, w) ~ ∈I

x

Oζ

Oζ (x) ∈ sol

•

•

B

< min{ρ, 1/2} B B (x, Oζ ) > 1 − ζ

Π

F (io , lo )

F

i0 = 0 | opt(x) − ω(x)| 6 2

Oζ

i0 6= 0 2i0 6 | opt(x) − ω(x)| 6 2i0 +1

•

1−

Oζ

≤D S {xi,l : (i, l) ∈ F }

•

γ

B

B

w ~ Π

B ρ ∈]0, 1[

ζ>0

xi,l F =

l0 = bω(x)/2i0 c

l0 = ω(x)

xi0 ,l0 δΠi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z) = γΠi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z)

z

i0 = 0 δΠ (x, z) = δΠ0,ω(x) (x0,ω(x) , z) = γΠ0,ω(x) (x0,ω(x) , z) F

gi,l fi,l ci,l 0 = min{(ci,l )ρ (), (ci,l )(ρ−)/(1+) (/3) : (i, l) ∈ F } ρ i=0 η= ρ−

(i, l) ∈ F xi,l

(i, l) ∈ F

1+

z = T(x) (i, l) ∈ F gi,l (xi,l , z, η, O0 (fi,l (xi,l , z, η))) zi,l = z

fi,l (xi,l , z, η)

B

, , & 2 # * ! ;. , ' + . .

' , & 2 & !&0* ))P # , # )0 ' , *** # ; . ] , & & 7, 2 # ; # ! ) ) 6) ; . . &0] ' ( ' ! ;M , * )(**,) # . ! & & & & , . * ' ¡ *&! ' , . &;# , (* 6* )2# . &0 ] #)! , .&;#,()*6* .&0' ; #6,!()7&0 &*;!#) & & & -!;.* * ; !! ' & & !#) * ##*;!!* ; %&,# . & & ;)0 * ' . ' &.!* & ! ! * ! ) # # ; ' R ! !, && &! .&& & , !&& . & & ! &! * ' ;. !**

zi,l (i, l) ∈ F

xi,l

x

x

zi,l

(i, l) = (i0 , l0 ) z = T(x)

i0 6= 0 Πi0 ,l0 ρ=η fi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η) ∈ I 0 zi,l zi0 ,l0 = gi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η, O (fi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η))) 0 B (O0 (fi0 ,l0 (xi0 ,l0 , z, η))) > 1 −

γ

•

i0 = 0 γΠ0,ω(x) (x0,ω(x) , z0,ω(x) ) > 1 −

•

i0 6= 0 γΠi0 ,l0 (xi0 ,l0 , zi0 ,l0 ) > 1 − (/3) (i0 , l0 ) ∈ F

1− η xi0 ,l0

B

1 − 0 > 1 − (c0,ω(x) )ρ () δΠ (x, z0,ω(x) ) > 1 −

1−0 > 1−(ci0 ,l0 )(ρ−)/(1+) (/3) δΠ (x, zi0 ,l0 ) > 1 −

zi0 ,l0

zi0 ,l0

1−

F

• •

|ω(x) − opt(x)| 6 2 |ω(x) − opt(x)| 6 b2/c ω(x) = k + v(z) i0 = 0 l0 = k + v(z)

∃k ∈ {−b2/c, . . . , b2/c}

∃i ∈ {1, . . . p(x)} 2i 6 | opt(x)−ω(x)| 6 2i+1 |bopt(x)/2i c−bω(x)/2i c| 6 b2/ + 1c ∃k ∈ {−d2/ + 1e, . . . , d2/ + 1e} ω(xi,0 ) = bω(x)/2i c = vi,0 (z) + k i0 = i l0 = vi,0 (z) + k F

F

=

2 2 (0, v(z) + k) : k ∈ − ,..., [ 2 2 {1, . . . p(x)} × vi,0 (z) − + 1 , . . . , vi,0 (z) + +1 .

!*;.!&#, !!* ) *! ' 2-# !P;,));;# # ; & P&&*!#) & &0&# &'R #) ;.. #); O ,#, , ,;)# & * !#) ' '*'' ' M!#) ;)# , ! '*'' ' . .

. *! . ' '. '*'' ' Q , , &&* '*'' ' . ! ; ! ** & ¡** . . . ))P#!!* &!. '*'' ' '*'' ' N 66

$

F

)

∀Π ∈

Π ≤D S

B

B

B

Π ∈ DAPX

B

B

B ≤PTAS

≤

B

G

ω(G) = 0

B ≤ID

B

, O Q Q %&&!#) * ! " *! ; . N . ' ' . , . &&!#)&& M*! ' + '*'' ' ' R&M 0 . . . '*'' ' . !;&#!#)#P# , &&.! # *)* * ))P # ! , , , &; &) &#'!#) ' ;. '*'' ' M!#)*

≤D S ◦ ≤PTAS ◦ ≤ID

∀Π ∈ B

ω(G) = 0

Π≤ DPTAS

B

1/(B + 1)

G

B

0 ') ' + ')B / ' * (B / ' + ')B / ' *&, ' * (B . ') ' + ')B * ' + ')B '*' ' ' B . ;))P#&#!#) ' , & & ! !&0* ))P# #P # )! 1/B ! , ' *') ' (B+')&#); . **** & M0! ))P '*' ' ' &0* !,*&'$!0 ,!* ,&# ))P # 0#,! , , & & & +

' ) ') ' # ! ))P ; .&), , &! #+ ') B ,

' * ))P # . B') 1/B 'R & , ,#6 6Q &6Q )0*& &

' + . . |C| 6 |S| ].& 6 )0*& , &+') ))P# ' *))P ))P 6 # & * # |C| > |S| . B 1/B ' , & & & & & + '

') ' ' ) % * * # #* M ' ¡ . , & * (. ))P#0 **** ))P# * , & ! ))P *)* * *! )0 # &%&)&M* '*'' ' ' )&, ' + ')B , ! )0* ; &# & ' + ')B &!, ' + ')B ;# &;# , &')* P! ,&,# !*)& ;# '

;*! * ; & ;0 P ! ' '*'' ' ') ' + ') C

+') ' /

M

S

$

' * (/ ' /) /) + + ( ' ' * / ' `

' &*

%& &*, & ,)# ##* ,#%&#O' %& M , '!# ,# ,!& '*'' ' & * ' , & ))P# **** ))P# **!

0 # *)*&*, &)M ! ))P )0 )&' & &*, ++)' ' ()* !*)& R .. , , , ; '*'' ' *!*)& ! !) ! , +)&' * ! !) *!#) * +# ; '

'()* ** ; 0PM'¡0;. & , !&&*.* & & * ;## *)* , &!!, !); *)* . '¡ #P 0 , ++)' '& , ()* , !&. , & !)#,P) , & 0**! !! .)#M0' 8. !!*&&*! * M' , , & & & 4 ! ! ) # *; 0 . &&), , &P!, !#) );# #. * M!#) 6] `

G` (V` , E` ) B`

V`0

V`0

G` V0

G

m(G, V 0 ) > m(G` , V`0 )/`

G

` opt(G` ) > ` opt(G)

G

G`

`

DAPXp

` `

G(V, E) G

$

ω(x) DAPXp

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x

Π

x0

Π

P0

Π

mΠ0 (x0 , y) = mΠ (x, y) − ω(x) $ Π ∈ δΠ (x, y) = δΠ0 (x0 , y) = γΠ0 (x0 , y) Π ≡D Π0 ≤ Π Π0 ◦≤

Π0 ∈ Π0 B

≡D

B

≡D

DAPXp DAPXp

#

Π0

Π

f g

• f

Π ≤DFPTAS Π0

c

g

• c : (]0, 1[∩Q) × IΠ →]0, 1[∩Q 1/

|x|

• ∀x ∈ IΠ ∀ ∈]0, 1[∩Q ∀y ∈ solΠ0 (f (x, )) δΠ0 (f (x, ), y) > 1 − c(, x) ⇒ δΠ (x, g(x, y, )) > 1− Π Π0 Π ≤ & Π0 ∈ 0 DFPTAS Π

Π∈

DPTASp

B

Π ∈ DPTASp

x ∈ IΠ

x:

Π0

¡0.;.

x0 ∈ IΠ0

;. .! *.

y = y0 ω(x0 ) = 0

opt v(y) y ∈ Cx

x0 ∈ IΠ0

  opt v (y 0 ) − ω(x) 0 y 0 ∈ Cx0 x :  Cx = Cx0

.

solΠ (x) = solΠ0 (x0 ) Π0 ∈ DPTASp

δΠ (x, y) = δΠ0 x0 , y 0 = γΠ0 x0 , y 0

67

#)!;. ,; :

M & ! * * &# * R,# . . , , & & & & & : ! ! * ! 0 ; '¡ . . , + ') . ') ' . ; & . & * 0* * )0 * ))P * ; ! * '¡0;. *!. . M*!#'0M , ,#, !0,!, & * ! * )# & & 4' + ' * ! ! * ' ,&. ))&. & *&0 0 8. ** . &'*' ! 4 ') ' + '))) 3 ' &. 5 % ; ') **! 0# ' & *! ; . . , & & M. )) *' / 0 ')

,))P &;, )#) # *) &, **))P &&; # #!M & & & +* 0 * 0 *; ; ,))P#&&, !&& !!!&0' +) & : ! . .N . !&* & * **! ;**) #;0M )&;# ##) & #)&0 !) ) )! )! ; ,! ' . !#). & & * # . , & & * ! ; - )!;# # . . ' , , , & ) 0; # # # .&* *! !&'( , & ;! )' ' ' .,,&P & & ; **))P # # # 0 '# * , , , & M ** & , . &&* * # # ;! , & & & ! *&M ** P ! &!. ! ; 0!!) ' M** , & *) ' **, ' , & 4 );# ;**)#' %&. , , !!#) * 0; * P ) # # ; . & & & & & )#&)!* ** * ! * ! M ' , , & & * ! ) ! * ! * * ¡, ! . . . & & + + ('

'*' ' ; * . ( . ++) (.. ' + ') ' . ' ')]8 ' + ') . ' + ') . '''('' . '' ') ' ' * ' '+) ' (. !** 'R&# ]6 )0*& & *) +* *)& &);# ;***M*!!** '' ') ' +&)) & ]8.,; , & & ' ' &.)! M** * ; *; . & & & ** * )! M * 6

Π0

Π ∈ DPTASp $

B

Π ∈ DPTASp

Π0

Π0 ∈ PTAS Π ≡D Π0 ≤FPTAS

≡D

Π0

Π

≡D ◦ ≤FPTAS

$

DPTASp

DPTASp

AF

DPTASp

AF

: ∃Π0 ∈ DPTASp , Π0 ≤AF Π = Π∈ DPTASp

DPTASp

Π00 ∈ DPTASp

Π0

AF

DPTASp

AF

DPTASp Π00 ≤AF Π ≡D ≤AF ◦ ≡D ◦ ≤FPTAS

Π

B

≤FPTAS

Π0 ≤FPTAS B

AF B DPTASp ' ≤DFPTAS

#

N : IΠ × sol(IΠ ) → 2sol(IΠ ) x ∈ IΠ y ∈ sol(x) N (x, y) ⊆ sol(x) y y 0 ∈ N (x, y) m(x, y) m(x, y 0 ) Π N r x r y y0 y y h h h y

Π

x

N

'

x ∈ IΠ sol(x) y 0

y

h

N

y 0 ∈ N (x, y)

h

Π y ∈ sol(x) h∈N

h

Π ∈ GLO x ∈ IΠ Π

N

N

B

B

B

K

k

B

B

B

h

h

h>0

k

B

h