Decomposing CVaR minimization in two-stage ...

«1°z¾f¨ªÅf«¾g°z«§l½×¯‡½a­k«j®k«X°i­z¯ª½˜¿¡[« pa©˜¯ªÅC§l¨ª«j½a­1Ê˾f®k»©˜¨‰§C­k¯‡¾g½Ú¾lÊ ­z¼%«rɦ+§f³|¬»y¯‡½˜¯ª»y¯‡À«j¨ª¾f½˜¿g¯‡½˜¿¤­ké¾ £ ¸ Ú¤Ñ|¼˜«¡¹j©)­Á>«j¨ª¾f½˜¿g¯‡½˜¿¤­k¾¤­z¼˜«¸«j»yº)­`·Æ°i«j­ ¥ ë`©%°i­º˜®k«X°k¹®k¯‡Á>«X°(­z¼%«:½%¾f½)¬½˜«j¿a§C­k¯‡ÅI¯‡­`·Ú¾lÊ ÂÚ²~⸩˜ã ½˜ÀX¯–¬Zä|§·Ú§l½%¶å0§·f«X®(¾gÁ%°z«j®kÅf«r­z¼%§l­1­k¼˜«:Ê˾f®k»©˜¨‰§C­k¯‡¾g½Í ²  g´(¯ª° ­z¼%«rɦ+§f³|¬Z§l½%§f¨‡¾g¿f©˜«1¾lÊH§:ºp¾g¨‡·I¼˜«­z¼˜«|º˜®k¾fÁ˜¨ª«j»² (Z ‰¥ • ” ¥ Á ´ ?

­ÍA@.@IU«ÔÊ˾f©˜½p¶6¯ª½­z¼˜«°zº>«X¹¯‰§l¨OÊ˾g®z»DZ «j¯‡­z¼˜«X® Á › ¥Øß § ¾f° ® Á › ¥ç° Ð ²iß5±‰£,± § ´ Ž Ñ|¼˜« ½I©˜»rÁp«X®’¾lÊ-­z¼˜« º>¾g°z¯–­k¯‡Åg« ¹¾f»yº>¾f½˜«X½a° ­k°|¯‰° § ²`ß ] `-´Â+àæ° ¯‡­z¼­z¼˜¯‰°’¾gº)­z¯ª».§l¨°z¾f¨ª©)­z¯ª¾f½Ç)¨‡«j­ Á Z:¥u¹ä£ 5 T ß ±‰£,± §a” Á › ¥Øß § » Ž ° Ñ|¼˜«¹j¾f®k®z«¾f½%¶˜¯‡½˜¿:¹©)­ ¯‰°’ÅC§l¨ª¯‰¶¸¯ª½F²`ßf߁´ AY

1

]

iÍ

AY

S

̲Í`_ba Ð"Ò(há7wee–w?ãUmxêÓÔiwegÝ[Òih8yÕ%d?eÕ%hèÔ/Ոhn@h@xikèdkmwxMm¾g°z«X¶ÄÁI·Žâ6©˜ã ½%Àj¯‡¬ä|§·Ž§f½%¶Èå0§·f«X®XÂæÝZ½È¾f®Q¶)«X® ­z¾§f¶˜§fº)­r¯‡­­k¾0­k¼˜«6°z©˜º˜º>¾g°z«X¶A¹X§f°z«¡¾lʧfº˜º˜®k¾è)¯‡».§C­k«¸¶)¯‰°`­k®z¯ªÁ˜©)­k¯‡¾g½*Ç?¨ª«­r©p°r°z©˜Á%°i­z¯‡­z©)­k«®˜ › ¥ • ’ ²¤£G¥3ß ” Ž[Ž@Ž ”ˆ§ ´ åÚ¾g®z«X¾CÅf«j®¾g°z«X¶6ÁI·¸â¸©˜ã ½˜ÀX¯–¬Zä|§·¡§l½%¶å0§·f«X®’¹j§l½Á>« «X§f°z¯ª¨‡·¸§g¶˜§lº˜­z«X¶¸­z¾y­k¼˜«§lÁ>¾CÅf«1º˜®k¾fÁ˜¨ª«j»DZ å—æximkmdeÞm–ò[hå ÞI«­’­k¼˜«°`­k¾fº˜º%¯‡½˜¿:­k¾f¨ª«j®Q§l½%¹j« «j¨ª¾f½˜¿g¯‡½˜¿:­k¾r­k¼˜«°z«­ Zg¥ì¹aß ” Ž@Ž@Ž ”%§ »a ÞI«­’­k¼˜« ¯–­k«j®Q§C­k¯‡¾g½6¹¾g©˜½a­z«X® UZg¥éßg å "weÞàhÓ×dnk h@ÕÔ/Õ%wÖ7e¤h7×_å ó*«­² ” ´Á>«§l½¾fº)­k¯‡».§l¨*°z¾f¨ª©)­k¯‡¾g½¾fÊ­k¼˜«¹©˜®k®k«j½a­ ¹©)­z­z¯ª½˜¿l¬º˜¨‰§l½˜«Ô»y¾)¶)«j¨*º%®z¾gÁ˜¨‡«X»¤ÂHó«­ UZg¥ ®£ W X ] ‘ › “ Ð Ž ] « ˜ › W\Xé] … › 0~ /



‘› “

]




•

±



.1

-

™

›š

vœ










v1




,–

%

ž


 Ÿ

-

Ÿ

1 ¡

{¢

£ £ £






•

Ÿ

¥¤

!

÷cå®v2Òih8܈o\á7wÕ®w8Ô/km×d?egmkÝ

ݐÊ

š › ~0/ˆ¦

˜ › W X ]



‘› “


Ÿ

]

• 

]

-

Ÿ

­z¼˜«X½ ¯‰° §f½ z¬¾fº)­k¯‡».§l¨*°z¾f¨ª©)­k¯‡¾g½  °`­k¾fº* å )ԟÔih@x/y¯Ü@f²k à º˜º>«j½%¶6­k¼˜«¹©)­ Á>«j¨ª¾f½%¿f¯ª½˜¿:­z¾y­z¼%«°i«j­ i ÝZ½%¹®k«j»y«j½a­ iÇ%§l½p¶¸®k«jº>«X§l­’ÊË®z¾g» nk hèÔ Â Ã ¨‡­z«X®z½p§C­z¯ªÅf«X¨‡·gÇI­z¼˜« º%®z¾gÁ˜¨‡«X» ¹j§f½6Á>«°z¾f¨ªÅf«X¶6ÁI·¸§:Á˜©˜½%¶˜¨‡«j¬w­`·Iº>« »:«j­z¼˜¾)¶2Â


eš

Ÿ

§ T¨

f1 ¡

vœ





±

²iß ] `H´

š

”

ɯÊcËGÌ(ÍΪ©ìæ7x kâÒ(héwÕmÞêŸmx/de×_h7kâÒ(wyçT«bf²¬ x²ò@mj ñ\d?ÝMdx/y®­Mdݟh@Õ,fcn@hˆy|dRÕ%h@e–d?k màh¯n8kèwˆÔÔ/mxcêMkèwe¤h7Õ%d?x/Ü8hå°¯wÕ_kâÒ(h¾yŸh@j Ü8w×\Ô(wnmk mw?x|×_h7kâÒ(wy¯ãäh®d?Õ%hYêwmxcê,kèw¯yhn@Ü@ÕmÖ8hÓmx±ž"h8Ü@k mw?x § å¤÷ŸçäãähÓx/h8h8y¯dx¡dŸÖ7n@wegf²kèh5nkèwˆÔÔ/mxêékèwe–h@Õ%d?x/Ü8h[å õÓw?ãäh7àh@Õ8çwf²Õ­mx/hˆßcdŸÜ@k j#Ü@f²kd8ԟÔ"Õ%w[d܈ÒMãUmeex/h@àh@Õ5Õ%ch K7f²mՈh5n@weÞf²k mw?x(nÓwá­mÕÕ%d?k mw?x/d?eegÝÒ²mÞêÒ|dŸÜ8Ü@f²Õ%dŸÜ@ݟå

ÞI©˜º%ºp¾a°i«1­z¼p§C­§CÊê­k«j® ¤¯‡­z«X®k§l­z¯ª¾f½%°XÇI­z¼%«¹©)­z­z¯ª½˜¿l¬º˜¨‰§l½˜«Ô»y¾)¶)«j¨*º%®z¾gÁ˜¨‡«X» ¨ª¾a¾g±)°¨ª¯ª±f«Ô­z¼%¯ª°[Z p² ” f´—Zg¥ »y¯ª½ ƒ ’8¨ª’ © °z©%¹Q¼­z¼p§C­ ¸ ” ¸¤Ý ³ ” ²

—g³ ˜–

•

,)


²ißÈg´

e




-

Ï




¥,– ”

² {¥çÐ ” Ž@Ž@Ž ” >´ Ž ^1¯ªÅf«j½×­z¼%«:ºp§l®Q§l»y«­k«j®ÔÅC§l¨ª©˜«X° Á §f½%¶ )Ǩª«­ ©%° °z¾f¨ªÅf«r­z¼%«:¨ª¯ª½˜«X§f®1º%®z¾g¿f®Q§l»y»y¯‡½˜¿6º˜®k¾fÁ˜¨ª«j» ²ißȲZ µ¥ Á ” D¥ fÁ ´ à ¨ª¯‡½˜«² f´(§C­.² a´(¹j§l½×Áp«y¹¾g½%°i­z®k©%¹­k«X¶0©p°i¯ª½˜¿6­z¼˜«:¾fº)­k¯‡».§f¨H¶˜©%§l¨HÅC§l®k¯ª§fÁ˜¨ª«X°X Ñ|¼˜«(ÊË©˜½%¹­z¯ª¾f½ ² ” f´¯ª°¾fÁIÅI¯ª¾f©%°z¨‡·.§ºp¾g¨‡·I¼˜«¹j¾f½IÅf«jè:¨ª¾Cµ«j®|§lº˜º˜®k¾è)¯‡».§l­z¯ª¾f½y¾lÊ*­k¼˜«Ô¹¾f½IÅg«èyÊË©˜½%¹­z¯ª¾f½ ² ” g´Â í «X½%¹« µ«Ô¼%§Åf« Á ² ” f´—± ² ” f´í± 6² ” g´ Ž Á §f½%¶ ˜Ç|°i©%º˜ºp¾a°i«­k¼˜«0°i¾g¨‡©˜­z¯ª¾f½È§f¹­k©%§l¨ª¨ª·F­z«X®z»y¯ª½%§C­k«X¶Íµ’¯–­k¼Í­k¼˜«0¹©˜­i­z¯ª½˜¿f¬º˜¨‰§l½%«»y¾)¶)«X¨ º˜®k¾fÁ˜¨ª«j» ²iß È(Z ^1¯ªÅf«j½  ¥ Á ” †¥ fÁ ´ÂFݐ­:»y«¾CÅf«r¶˜¯ª°k¹©%°k°z¯‡¾g2½ Z­^1¯ªÅf«X½ Á ” )Á ǧf½%¶×§¸­z¾g¨‡«X®k§f½%¹« ¾f®z­ÊË©˜½p¹­z¯ª¾fÁ½Æ¾fÊ 6² ” f´Ô§l­ ² Á ” f´|¹X§l½Áp«¹j¾f½%°i­z®k©%¹­k«X¶6­z¼%®z¾g©˜¿f¼¸­z¼˜«§fº˜º˜®k¾èI¯ª».§C­k«1°z¾f¨ª©)­z¯ª¾f½¾lÊ-­z¼%« º˜®z¾gÁ˜¨ª«j» ²ißjiì Z ¥ Á ” Ó¥ a´  ñ­Ÿ IJ
 C5û®H ¤ž?Ÿ-Ÿ  ‰H P Ÿ¡R  H\E ÞI©˜º%ºp¾a°i«Ô­k¼%§C­ µ«Ôµ’¯ª°z¼­z¾.º˜¨‰§l½¯‡½IÅg«X°i­z»y«j½a­k°Ê˾g®|­`µ¾:­k¯‡»y«º>«j®k¯‡¾)¶˜°XÂ+Ñ|¼˜«Ô¯ª½aÅg«X°i­z»y«j½a­¹X§l½Áp« ®k«X°i­z®k©%¹­k©˜®k«X¶§C­’­z¼%« Á>«j¿f¯ª½˜½˜¯ª½˜¿.¾fÊ!«X§g¹Q¼6º>«j®k¯ª¾I¶*Â?à׫§f®z«1¿f¾g¯‡½˜¿:­k¾:©p°i«Ô­k¼˜«ÔÊ˾f¨ª¨‡¾Cµ’¯ª½˜¿:½˜¾l­Q§C­k¯‡¾g2½ Z ®k«jº%®z««j¿g¯‡½˜½%¯‡½˜¿r¾lÊ2­k¼˜« î%®Q°i­Š­z¯ª»y«º>«j®k¯‡¾)¶2 ’ Ñ|¼˜¯ª°|¯‰’ˆ° ’ §y Ž@¶)Ž[Ž««×°z¾f¨ªÅf««X¹¯‰§l¨ ­z¼%®z«X«¬Z°`­Q§l¿f«Ô°i­z¾)¹Q¼%§f°i­z¯‰¹1º˜®k¾f¿f®Q§l»y»y¯ª½˜¿º˜®k¾fÁ%¨‡«X»Â?à« º˜®k¾fº>¾g°z«1§f½§f¨–­k«j®k½%§C­k¯‡Åg«Ô»:«j­z¼˜¾)¶2 Ñ|¼˜«:°i«¾f¨ª·a¼%«X¶)®Q§l¨!®z«Xº˜®z«¾f¨ª·I¼˜«X¶˜®k§f¨ ‡ ‹ ÊË©%. ½%f¹­k/g¯‡M¾g/h½%5 °j a d?kÒih7×_dkmÜ8de(Õ%wˆê?Ոdצ׮mxcê *Ç%ÜfÐ C¬ZÜfÜgܘ fß ß a ;Y >6;j;>6 . kP ²ÏlÐgÐlìa´ à °i­z¾)¹Q¼%§g°`­k¯ª¹yº˜®k¾f¿g®k§f»y»:¯ª½˜¿ÊË®Q§l»y«jµ¾f®k±ÚÊ˾f®r¯‡½a­k«j®k½%§C­k¯‡¾g½%§l¨+º>¾f®z­iÊ˾g¨‡¯ª¾0».§l½p§l¿f«j¬ ‡ ‹ »y «X½g­