An iterated random function with Lipschitz number one


  
  

"!#$
&% '(
 )#)+*-,+.)#/0*1)#235476189.:*)#.#?-)1@4BAB8DCD6E=F)+.#?-)1@47G)#2803C0,+2H28D*#3618DIJ2K4 )+.:?8D*1IMLAB)N3O=P,0Q R#S7TVU7WYXBZU>[\L0]_^`badc7egf>hji7e9`bekh½À_ºt¾oË5¹rÌ  ÂB¹r Í £PÈrÂ5¹z͌¾ož ¹ ¢>½OÀºt¾oË5¹z'Ì ¤ÂB¹z Í ¥KÞ¥½"ÂB¹rÂBÒoÖFìO½ ä ½ÁP¿†ËYÙ5½ºt¼z¾őºt¼P½OË5¿†½ŽÎ ¾ož ΟË5¿†½ŒÀŽÂB¿†½ÓJÕzÒwÒoÖÚºt¼z½E̒ÁD½OÀŽ¾oÂ5ҜÀŽÂÊ̒½ªËB…Ó  ÌtÕPÁPÁDË5¿tºt½ÍÜËʦ ¹ *gÕzÌgººgÞ¥Ë|ÁrËʾw¹FºmÌ ® ¸k¹ïºt¼P¾ÝÌ(ÀOÂ5Ìt½ Þ¥½Áz¿tËYÙ>¾ÝÍ Ö  Ø ô  ó  ó ¸5¸¸ º†¼P½‹¾o¹¾o¹zÀ( ½  ¾oÌ ¾o¹>Ù7Â5¿t¾ÝÂB¹FºNÕP¹zÍP½Ž¿žº†¼P½œÂÊÀ_ºt¾oË5¹ŸË5ÓDòr¹P¾ßº†½‹ÁD½Ž¿†Î"Õ¾Ý̒º† Ì Üê gíÌtÕzÀm¼ º†¼z ÂY º  Ø ê  õ ó:±þ  ±  í ­   ® ð ÁPÁPÒoÖ>¾w¹PÐñë1½ŽÎŸÎ P®w­ ºtËïºt¼P½ÚÌt½º õ ô õ ± ± ޾ߺ†¼ +û ù ô Üê gí  ­  úrBÈ ú ô ­ öOüŽüOü!ö Ô"ê gí_È+ފ½̒½O½ºt¼zÂBº"º†¼P½Ο½OÂÊ̒Õz¿t½(Ë5Ó\ºt¼P½ªÌ’½Ž$ º # ± ±% ô [° ª Í
=?F¦QuãMO@=bãIMOG¦@=F?G,L,AåäH?F?æIãIQ3LBF¦TÍQuãPUE[QuK Cæ P?QuãS•F?HBAN> MO@ULBF?M `

Û ¼P½òz¿mÌgºÀÒÝÂB¾oÎ ÓJË5ÒoÒwËYދÌÏ>ÖÔÂBÁPÁPÒoÖ>¾w¹zÐ ÿSR-®ÚÛ ¼P½ŒÌ’½ÀËʹzÍ|ÓJË5ÒoÒoËYދÌ"Ï>ÖÔÂBÁzÁPÒwÖ>¾o¹PÐ ÿP ¾wÓ

´,éa3 †øŸÎŸË>Í!ê #éÈBËÊ¿:Ï>Öòz¿m̒º+Â5ÁPÁPÒoÖF¾o¹PÐ ÿQP ÂB¹zͺt¼P½O¹KÂ5ÁPÁPÒoÖF¾o¹PÐ ÿSR ¾wÓ´,éa3 †øŸÎKË! Í ê·$ ô  êIÜø(Ο˾o¹zÀŽ… ½ µ`-Šê °ö’øDí û n < ÈP¾wºÓJË5ÒoÒwËYދ̥º†¼zÂYº µ`-wê °–ö "ÕPÎÏr½O¿†Ì¹éïÂ5¹zÍ êÚÂB¿†½ s3v1v–p+mwszy+{?p+€3€È“(v–k€Âp+m~k¡r ¾wÓéed+êç¾Ý̾o¿t¿mÂYº†¾wËʹzÂBÒ ®  _dd|¾ÜeJgrlg!jlkm  n k\p ‰ v–y n p n s3€Ès3m“Yr+sut1mwv1s nx mwszy+{Üt x‰‰ y+v1m~k}rUy[{#p n y x {r&k¡ržs3{Im~k5v19p[€ ˆ  ‚ è#ó Ó x‰&‰ y+tk'm3‡Ip+m  sutˆ{y[m?t x‰‰ y+v1m~k¡r y+{qp³€Œp+mwmwszŽ¡kÍ‘?‡Ik{”y[vNp[{I“³s3{Im~kv1+p+€ F ‚ è+ó p[{ržp[{I“ É õ „ m‡ k5v–k\k–Ô&sut1m  ô Ôê FzCö _í p+{?r s3{Im~k5v19p[€ètts þ öOüŽüOüŽö s  † s3m‡ žê s ± íÍ&õ „ t x Ž}‡\m3‡Ip+m?”y+vÍp[€3€ zê  þ öŽüOüŽüŽ–ö   í¥ú s þ ó ¸5¸¸ ós  „  ÿ
vu ¶¹¸¸5¸¶ ÿ
• "ê F>5í Â w žêFFíR

…c+a,aü¡g ä ½ªòz¿m̒ºŸÂÊÌtÌt½Ž¿tºº†¼zÂYºŸÓJËÊ¿ŸÂ5¹>ÖÚ¾w¹Fºt½O¿tÙYÂ5ÒpxÜȊÂ5¹zÍÔÓJËÊ¿ÂB¹>Ö yÜ õPȺt¼P½O¿t½Œ½Žã>¾Ý̒º ¾o¹Fºt½Ž¿†ÙYÂBÒÝÌ s þ öOüŽüOü s ޾ߺ†¼\žê s ±VíNïõŸÌtÕzÀm¼ªºt¼zÂBºÓJË5¿‹ÂBÒoҞê þ öŽüŽüOüŽö–9Pí¥ú s þ ó ¸¸5¸ ó/s 9È Â ÿ
º ¶¹¸¸5¸¶ ÿ
• ê FFí Œz ê ­  yB5í  xÜ¡ü  Û ¼P½¿†½OÌtÕPÒwººt¼P½O¹ÓJËÊÒwÒoËYދ̥Ï>Ö¿†½ŽÁD½OÂYº†¾w¹zÐ"º†¼P¾o̜̒¼P¿†¾o¹PØ>¾w¹PПÁP¿†Ëí¥¼PË5ÒÝÍPÌ ® ä ½‹¼zÂ7Ù5½¹zËY޻ͽŽº s ± º†ËÏD½œÂB¹Ÿ¾o¹Êº†½Ž¿†ÙYÂBÒzÞ¾wºt¼Ο¾ÝÍÖ
n þ —õPÈPÂ5¹zÍ n < ô yOÂ xÜÂ ®
^]`_baIc+_bd

e,g3hBgqjJk5m  n kUpr+sut1mwv1s nx mwszy+{ y+{ p n y x {?rk}r‹s3{Im~k5v19p[€ˆ ‚ è+ó „!† s3m3‡  {?y+m¹t x‰&‰ y[v1mŠk}r¦y+{¨p€Âp+mwmszŽ}k®‘?‡ k5{  sutqm‡ k x {Isz’ x k«t}m~p+mwszy+{?p+v1“Ur[sut1mv1s n5x mszy[{ ”y+vqm‡ k ‰ v–yŽ}kt}t(—™˜}šq›y[v–k}y++kv „ s ” øzù sut•Ž}‡ y9t5k5{pŽ}Ž}y+v–r[s3{œmŠy p[{Ys3{Is3mwszp+€/r+sut1mwv1s nx mwszy+{ rù m‡ k5{ m‡ k!r+sut1mwv1s nx mwszy+{It  y™” ø Ž}y+{I+k5vœ&k m~y  s3{žm3‡Ik † k}pŸ[  V mŠy ‰ y[€Œy¡œ[“

ä ½Þ¾oÒwÒ0Ìt¼PËYÞ»ºt¼zÂB¹º  ÿ Ÿú  $ÊÈ Õ ô à õPöEB ÷ ÇbÈzB ÷ wB̆ÂYºt¾Ý̒ÓJÖ(ÀË5¹rÍ5í  w ÓJËÊ¿œÂBÒoҊzê  þ öŽüOüŽ–ü   íœú s þ ó ¸¸5¸ ó/s  ® ð ̋º†¼P½ ÿ
Z ̍;o¹zÀ½½OÂ5ÀmY ¼ žê s ±VÉí õPÈ:ºt¼P¾ÝÌË>ÀOÀÕP¿mÌÞ¾wºt¼ÚÁz¿tËÊÏzÂBÏP¾oÒo¾ßºgÖ ­5® ¢>¾o¹zÀŽ| ½ "Þ\Â5Ì Â5¿tÏP¾wºt¿mÂB¿†Ö5È>ÀËʹzÍËBÓ9ËBÓ Û ¼P½OË5¿†½ŽÎ £ ® ¥ ¿t½OÒw¾o½OÌNËʹ(ÂÍËBÓÕPÎ"ÏD½Ž¿mÌp”´,éa3 †øŠ•#ÂB¿†½\ͺt¼P½ Ë5¿†ÏP¾wºŠË5Ó ­ d  Èʺt¼P½ Ë5¿†ÏP¾wº Ë5'Ó éNd  È+Ë5¿Hº†¼P½ËÊ¿tÏP¾wº"Ë5Ó þgó < ®Û ¼P½̒½(ÓJË5ÕP¿Ë5¿†ÏP¾ßºmÌÞ¥½ÀŽÂ5ÒwÒ t1s3{œ x €Œp+v âË5ºt¼P½O¿"ËÊ¿tÏP¾wº†Ì"ÂB¿†½ œk{?kv1szŽ ® Û ËKÙ>¾Ý̒ÕrÂBÒo¾wìO½º†¼P½HË5¿†ÏP¾wº U  ÈPÞ¥½HÂ5̆̒Ëí"êJºt¼P½KÒo¾wΟ¾wº½ŽãíŠÞ¼P½O¿t½ À ¾Ý̊ºt¼P½ ¹>ÕPÎÏr½O¿ËBÓ:ÒÝÂB¿†Ð5½ÙʽŽ¿tºt¾ÝÀ½OÌ\Â5ÎKËʹPJ Ð ”zée•_öOüŽüŽüOqö ”z´,é=•ü ˜ ½ÀŽÂBÒoÒ9ºt¼rÂYº Âd+´Ë ­ éŠü ä ½¹PËYÞ ÀÒÝÂB¾oÎẆ¼zÂYºKºt¼z½Ž¿†½¾ÝÌ"ËʹPÒoÖÚË5¹P½ÁrËFÌtÌt¾wÏzÒw½ªÙYÂBÒoÕP½Ë5Ó À T ®ÚÛ ËçÌt½Ž½ ºt¼P¾ÝÌOÈÀm¼PË>ËÊÌt½ Â5¹Ü¾o¹zÀ¿†½OÂÊ̒¾o¹PÐ|̒½îÊÕz½Ž¹zÀŽ½ªË5ӍÁDËÊÌt¾ßº†¾wÙʽ¾o¹Fºt½OÐ5½Ž¿m( Ì ´,±™$ÌtÕzÀm¼ïºt¼zÂB; º ”´,±wé=•\Ë õ ®»ä ½ªÎÂ7Ö ÂÊÌtÌtÕPΟ½œº†¼Pt½ ”´,±wé=•¥Â5¿t½̒ÎÂ5ÒwÒ ® ¢>¾w¹rÀ…½ žêMõFí ô õŸÂB¹rqÍ ¾ÝÌ\¿†¾wÐʼʺÀËʹFºt¾o¹FÕzË5ÕzÌOÈ>ފ½¼zÂ7QÙÊà ½õ ô à Òo¾wÉÎ ±u×^Ø# žvê ”z´,±ée•’í ô Òo¾wÉÎ ±u×^ØÃoê  ´,± aÀ ÃgÁí T  ê  ´,±   À ÃVíkÇÊÞ¼P½O¹zÀĽ T ô Òo¾wÉÎ ±u×^Ø < <  à   @=BA'CDE=F?G=IHJD9E=F?G=IHJD9K LJA'ANMO@C5PMOQ3ARD5=?F?G(S9=BCELT

V¸ ӋõL éÆ ­ d  Þ¥½ÁP¿tËÖ(½îÊÕrÂYºt¾oË5¹|ê  í_È 0êzé+í ô  éedPê ­ é#í ®  ]`_baIc+_bdÈrJg3ÏBgNjJk5m |n k x {Is ”y[v1­ y[{qm‡ kNt5k5m éŠö ­ $ „,† s3m‡ õ3 Üé ­ p[{r é s3v1v–p+mwszy+{?p+€Œ ^ jlkm n kÍpÉt}m~p+mwszy+{?p+v1“«r[sut}mwv1s n5x mszy[{!”y[v^m3‡Ik¯s3m~kv¡p+m~k¡r«v–p[{ry[­å” x {?Žmwszy+{?É‘‡Ik{ ô   …c+a,aü¡g X ½O¾w¹PП¿†¾wÐʼFºœÀË5¹Fº†¾w¹>ÕPËÊÕz̎OÈ Ñ¾Ý̋ÍÕzÌ єÍ΍ée•  ÁdQg   ô єÍ΍ée•  ”’ÍÎ f  dhg  •5 ô  ÍÎwé  ÍÎ f  dQg   ­ ü  g ¹ ”Í΍ée•*vdhgŸÓJË5¿‹Â5ÒwGÒ  ô õzö ­ öOüŽüOü_!ö g5  ­ âíˆû*×9êJø9í ®
ä ½Ìt¼zÂ5ÒwÒD¹P½Ž½Íº†¼P½ ÓJË5ÒoÒwËYÞ¾o¹PÐzâʺt¼z½Ìt¾oÎKÁzÒw½ ÁP¿†ËFË5Ó1ÁP¿†ËYÙ>¾oÍÕPΟ½O¿tËÊÕzÌ ¼P½ŽÒoÁÙ5½O¿†Ì†ÂYº†¾wËʹzÌ ®ä ½KÂBÒÝ̒˟º†¼zÂB¹P Ø ©ÊÕPÒw¾o½"ë:ÂB¹zÍPÂ5Õ-ÈzÞ¾wºt¼zË5Õ2K€ÊQ"fbad§_ih’4$ ù õ ù+0 ö"úv÷ ýSþ–0 ÿú¤ù(0 ú^0 9%2 &2Ëú¤ö $ú')(Nýqû*w2vö 8†hjiKegcF€d4 L9 ¡‚mfbeg^7c7]_^CDfbeg`j`t47,:˜Olw]_fbcF4& ; #€ Š€F=Feghb‚mp_4+-, ú¤ù+0 öz. þ–%0 ÿ%ú¤ùAöºÿÑùQþ!ÿ !  2 'Áú¤ö , !2 ö~0u. ÿÑù%.^. ö0/¤ú 1 , . ÿÑù
'.¤ùQ÷ õ 20 "!#!  ÿþŠ.10 ÿú¤ù
 L9]_^Žhjeg– €Y2H‚†hjiF€43
5uz ;  6 xk4 €+ 6  7 #6 7€ G7€F2H‚†hMhjad… ^7§_  £48, ú¤ù+0 öz. þ–0 ÿ1CÿÖ0 ¹. …ùQ… ÷:9€ö2;ìúv÷ ÿþ!ÿÖ0 &ú0'ˆ0 9(2 øB. ùQ÷ ú¤û=? { v~}Y{ 4 … fje … fbad^h uu61:1:t; xV€

þ+

=?> @=BA'CDE=F?G=IHJD9E=F?G=IHJD9K LJA'ANMO@C5PMOQ3ARD5=?F?G(S9=BCELT

XBWU

U

XOU 9XŽU ¡Z7T

WBT dU

BW dX BRrUL AE T)UžRZY[\F[]

@BAC
D AFE HG4IKJ L A D NM OP E M Q A RM FSTGIKU A G
VWM XO 9"^û. ÿO. ÷ ÷¤ö2 R}4`_ba#c#_edfbgedN_hi+j2k#l#_jnmok pørqI4i#h hs+tvu u w w w+jxdN_hi+j2k#l#_jnmokFu#yB_ba#c#_ dfu 9"^û. ÿO. ÷ ÷¤ö2 R}4$iz#{gc#mfbm _cF| i+jn_h hXj}|~ d

XOU 9XŽU ¡ZX 7Z Z T

T XBWYZ

TVU dU BU A O:‡[[F[‰ˆ AE U AFEE MdX @
W M Q A O‹Š A
W Œ A  A Sˆ0R

J L A D NM € M AFE A ƒ‚ A A L…„ E NM N† Ž F] [ 9"^û. ÿO  . ÷ ÷¤ö 2 R}4‘{_b’#o#_bkgedN_hi+j2amc“m#{m”Xjnm#ok

XBWU

U

XŽU 9XŽU ¡Z7T

XBWU

U

XOU 9XŽU ¡Z7T BWU

X

¥[

R

mXBW A D‘G E U™ˆ0R

@BAC
D AFE G4I%J NL A D NM OX•–GWD‘G E —ˆ"G A V A O–\‡b[>˜ $ˆ‘G4 A V A Q A O`ˆ` Ž ‡  F‡ ‡ 9"^û. ÿO. ÷ ÷¤ö2 R}4`zbsF~ d dNm cFf imšdNgbsF~ d
~ ’_jnmo#k

TVU W

WBT dU

W YX E ‚"GYXXO#Ÿ$QX E TVUNG E

@BAC
D AFE ‹GI›J L A D NM O ˜BG NL
œ A A E P E M Q A RM S+O]F[YYB€L A
Mž „ ™\[]F[¡ 9"^û. ÿO. ÷ ÷¤ö2 R}4–¢#_f{ ~ wgedN_hi+j2’ w k+jnmok pørqI4i#h hs+tvu u w w w+jxdN_hi+j2’F~bc hi wmfbh#mc ’+jnmo kFu y¢#_Ff{ ~wFu