BANK SOAL DASAR OTOMATISASI

BANK SOAL DASAR OTOMATISASI

2006

iv

DAFTAR ISI

Halaman

Bio Data Singkat Penulis ..…………………………………………………………..

i

Kata Pengantar …………………………………………………………………………

iii

Daftar Isi …………………………………………………………………………………

iv

Pemodelan Blok Diagram Sistem ………………………………...........…………..

1

Analisa Sistem Fisik Menggunakan Persamaan Diferensial ...……….................

5

Analisa Sistem Fisik Menggunakan Fungsi Transfer ………...……….................

28

Representasi Sistem Pada Blok Diagram ……………….…..…….………...........

49

Represenstasi Sistem Pada Signal Flow Graph (Grafik Aliran Sinyal) .............

60

Analisa Sistem Pengaturan Melalui 3 (tiga) Metode Pemodelan .......................

72

Daftar Pustaka …………………………………………………………………………… v

BANK SOAL DASAR OTOMATISASI

PEMODELAN BLOK DIAGRAM SISTEM

Contoh 1. Sistem Kemudi Mobil

a.

Jenis Sistem Pengaturan Umpan Balik.

b.

Parameter-parameter Sistem 1)

Input adalah Arah yang Diinginkan.

2)

Output adalah Arah Sebenarnya.

3)

Lintasan Maju adalah Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Mobil.

4)

Lintasan Balik adalah Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Sensor

Kemudi Roda dan Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Mobil – Pengukuran Visual.

Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

2

c.

Blok Diagram Ekivalen ada 2 (dua) alternatif :

d.

Fungsi Transfer-nya adalah (ssi urutan gambar di atas)

TF ( s ) =

C (s )

R (s)

=

G 1G 2G 3 1+G 1G 2 H 2 +G 1G 2G 3 H1

=

G 1G 2G 3 1+G 1G 2 H1 +G 1G 2G 3 H 2

atau

TF ( s ) =

C (s )

R (s)


3

Contoh 2. Sistem Boiler-Generator untuk Pembangkit Daya Listrik

Actual Generation

Computer

Desired temperature Pressure, O2

a.

Input adalah :

1)

Desired temperature generation, R1 ( s ) .

2)

Desired O2 generation, R2 ( s ) .

3)

Desired pressure generation, R3 ( s ) .

b.

Proses adalah Boiling pada Boiler, G ( s ) .

c.

Output adalah Actual generation (electricity), C ( s ) .

d.

Feedback adalah :

1)

Measured temperature generation, H1 ( s ) .

2)

Measured O2 generation, H 2 ( s ) .

3)

Measured pressure generation, H 3 ( s ) . Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

4

e.

Disturbances diabaikan.

Model Blok Diagram Sistem Boiler-Generator di atas adalah :


5

ANALISA SISTEM FISIK MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Contoh 1. Rangkaian Seri R dan C

Asumsi :

v ( t ) = 10 volt i ( t ) dt ∫−∞ s = 0 0

R =1 C =1

PD untuk sistem di atas adalah :

v (t) = i (t) R + i (t) R +

1 i ( t ) dt C∫

1 i ( t ) dt = 10 C∫

I ( s) =

sC 10 . s sRC + 1

⇓ I ( s) R +

0 i ( t ) dt  10 1  I ( s ) +  = ∫ C  s s  s −∞

I ( s ) 10 = sC s 1 10   I ( s) R + = sC   s I ( s) R +

I ( s) =

10C → sRC + 1

I ( s) =

10 s +1

10 R 1 s+ RC

 sRC + 1  →    sC 

maka i ( t ) = 10e − t , pole adalah s = −1


6

Iterasi ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v(t) 10 1.35335283 0.18315639 0.02478752 0.00335463 0.000454 0.00006144 0.00000832 0.00000113 0.00000015 0.00000002

Bentuk Grafik i ( t ) vs t rangkaian RC seri di atas adalah sebagai berikut :

v(t)

i(t) vs t

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t

Bentuk Grafik zero dan pole rangkaian RC seri di atas adalah sebagai berikut :


7

Contoh 2. Rangkaian Paralel L dan C

Asumsi :

i (t ) = 0 A

1 = −4 LC

( )

v 0+ = v0 = 1 volt v ( t ) dt ∫ s =0 −∞ 0


i (t ) = C C

dv ( t ) dt

dv ( t ) dt

V ( s) =

0

+

1 ∫ v ( t ) dt L −∞

⇓

0

1 + ∫ v ( t ) dt = 0 L −∞

k1 =

{

V s v t dt  ( )} + L1  (s ) + ∫ ( s)  = 0 0

C { sV ( s ) − v0 } +

V ( s) sL



=0

1  V ( s )  sC +  = Cv0 sL   2  s LC + 1  V ( s)   = Cv0  sL  sL V ( s ) = Cv0 . 2 s LC + 1 s s V ( s) = 2 = s − 4 ( s − 2 )( s + 2 )

( s − s1 ) s ( s + 2 )( s − 2 ) s =−2 1

⇓ C sV ( s ) − v 0+

k1 k + 2 s+2 s−2

−∞



=

( s + 2 ) . ( −2 ) ( s + 2 )( −2 − 2 )

−2 −4 1 = 2 =

k2 =

( s − s2 ) s ( s + 2 )( s − 2 ) s =2 1

=

( s − 2) .( 2)

( 2 + 2 )( s − 2 )

2 4 1 = 2 =

Dari persamaan di atas diperoleh zero, s = 0 dan pole, s1 = 2,

s2 = −2


8

Selanjutnya akan diperoleh :

1 1 V ( s) = 2 + 2 s+2 s−2

→ v (t ) =

1 −2 t 1 2 t e + e 2 2

Iterasi ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

v(t) 1 3.76219569 27.30823282 201.7156359 1490.479159 11013.2329 81377.39555 601302.1407 4443055.248 32829984.47

Bentuk Grafik i ( t ) vs t rangkaian LC paralel di atas adalah sebagai berikut :

i(t) vs t 300000000 250000000

v(t)

200000000 150000000 100000000 50000000 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

t


9

Bentuk Grafik zero dan pole rangkaian LC paralel di atas adalah sebagai berikut :


10

Contoh 3. Rangkaian Seri L dan C

Asumsi :

v ( t ) = 5 volt

( )=i

i 0

+

0

L =1 1 = −4 LC

=1 A

i ( t ) dt =0 s −∞ 0

∫


di ( t ) 1 + ∫ i ( t ) dt dt C di ( t ) 1 L + ∫ i ( t ) dt = 5 dt C ⇓ v (t) = L

{

( )}

L sI ( s ) − i 0+

+

1 C

I ( s) = ⇓

 I ( s ) 0 i ( t ) dt  5 +∫  = s  s −∞  s

k1 = =

I ( s) =

−2 −4 1 = 2 k2 =

( s − s2 ) s ( s + 2 )( s − 2 ) s =2 1

=

5 s+ L 1 2 s + LC

→ i (t ) =

( s − 2) .( 2)

( 2 + 2 )( s − 2 )

2 4 1 = 2 =

s+5 s2 − 4

1 1 maka I ( s ) = 2 + 2 s+2 s−2

( s + 2 ) . ( −2 ) ( s + 2 )( −2 − 2 )

=

 s 2 LC + 1  5 + sL I ( s)  = sL  sLC  C I ( s ) = 5 + sL. 2 s LC + 1 →

( s − s1 ) s ( s + 2 )( s − 2 ) s =−2 1

1  5  I ( s )  sL +  = + Li0 sC  s  1  5  I ( s) s + +1 = sLC  sL 

C ( sL + 5 ) I ( s) = 2 s LC + 1

k1 k + 2 s+2 s−2

1 −2 t 1 2 t e + e , 2 2

zero adalah s = −5 dan pole adalah s1 = −2;

s2 = 2 Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

11

Iterasi ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

i(t) 1 3.76219569 27.30823282 201.7156359 1490.479159 11013.2329 81377.39555 601302.1407 4443055.248 32829984.47

Bentuk Grafik i ( t ) vs t rangkaian LC seri di atas adalah sebagai berikut :

i(t) vs t 300000000 250000000

i(t)

200000000 150000000 100000000 50000000 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

t

Bentuk Grafik zero dan pole rangkaian LC seri di atas adalah sebagai berikut :


12

Contoh 4. Rangkaian Paralel R dan C

Asumsi :

i (t ) = 2 A

( )

v 0+ = v0 = 1 volt

R = C =1

v ( t ) dt ∫ s =0 −∞ 0


i (t ) =

v (t )

+C

dv ( t )

1  V ( s )  + sC  = Cv0 R   sRC + 1  V ( s)   = Cv0  R  RCv0 v0 → V ( s) = sRC + 1 s + 1 / RC 1 V ( s) = s +1

R dt v (t ) dv ( t ) +C =2 R dt ⇓ V ( s) R V ( s) R

{

( )} = 0

+ C sV ( s ) − v 0+

+ sCV ( s ) − Cv0 = 0

maka V ( s ) =

1 → v ( t ) = e − t dan pole adalah s = −1 , tanpa zero. s +1 Iterasi ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i(t) 1 0.36787944 0.13533528 0.04978707 0.01831564 0.00673795 0.00247875 0.00091188 0.00033546 0.00012341 0.0000454 Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

13

Bentuk Grafik v ( t ) vs t rangkaian RC paralel di atas adalah sebagai berikut :

v(t) vs t 1.2 1 v(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

t

Bentuk Grafik zero dan pole rangkaian RC paralel di atas adalah sebagai berikut :


14

Contoh 5. Rangkaian Seri R, L dan C

Analisa KVL

Vtotal = V R + V L + VC I …………………………………… C di (t ) 1 = R.i (t ) + L. + ∫ i (t ) dt dt C

= I .R + I .L + v (t )

(1)

Tentukan Persamaan Diferensial Orde 2 dari (1)

dv (t ) di (t ) d 2 i (t ) i (t ) = R. + L. + dt dt C dt 2 2 d i (t ) di (t ) i (t ) = L. + R. + 2 dt C dt Tranformasikan ke bentuk Laplace.

………………………………….

(2)

Untuk Persamaan Diferensial Homogen disyaratkan

v (t ) = 0 , maka :

( )

 di 0 +  I ( s) + =0 L s 2 I ( s ) − si 0 + −  + R sI (s ) − i 0 + dt  C  di (0 + ) I ( s) + RsI ( s ) − Ri (0 + ) + =0 Ls 2 I ( s ) − Lsi (0 + ) − L C dt 1 di (0 + )  =0 I ( s )  Ls 2 + Rs +  − i (0 + )[Ls + R] − L C dt 

( )

Bila i (0 + ) = i 0 dan

di (0 + ) dt

{

( )}

= 0 maka : t =0


15

1  I ( s )  Ls 2 + Rs +  − i 0 [Ls + R] − 0 = 0 C  1  I ( s )  Ls 2 + Rs +  = i 0 [Ls + R] C  dan

I ( s) =

i 0 [Ls + R ] p(s ) zero Ls + R = = = ………………. 1 q (s ) pole 1 Ls 2 + Rs + Ls 2 + Rs + C C

Bila R = 3, L = 1, C =

(3)

1 , i0 = 0 V , maka zero dan pole Rangkaian RLC di atas adalah 2

sebagai berikut : Substitusi besar R, L dan C dengan angka di atas sehingga (3) menjadi :

I ( s) =

s+3 1 (1) s 2 + ( 3) s + 1 2

=

s+3 s+3 = s + 3s + 2 ( s + 2 )( s + 1) 2

zero ⇒ s = −3 dan pole ⇒ s1 = −2, s 2 = −1 Bentuk Grafik zero dan pole rangkaian RLC seri di atas adalah sebagai berikut :


16

Aplikasikan Pecahan Parsial untuk mendapatkan nilai residu k1 dan k 2 sebagai berikut :

I (s ) =

k1 =

k1 k2 + (s + 2) (s + 1)

…………………………………………..

(s − s1 ) p( s) q( s)

k2 = s1 = −2

(s + 2)(s + 3) (s + 2)( s + 1) (s + 3) = (− 2 + 3) = 1 = 1 = (s + 1) s =−2 (− 2 + 1) − 1

=

(4)

(s − s 2 ) p( s ) q( s)

s 2 = −1

=

(s + 1)(s + 3) (s + 2)( s + 1)

=

(− 1 + 3) = 2 = 2 ( s + 3) = (s + 2) s =−1 (− 1 + 2) 1

Persamaan i (t ) diperoleh dengan melakukan Inverse Transformasi Laplace (4) sebagai berikut :

i (t ) =

−1

 −1   + s + 2

−1

 2    maka persamaan i (t ) adalah :  s + 1

i (t ) = − e −2 t + 2e − t t

0

1

2

3

- e −2 t

-1

-0,135

-0,018

-0,0025

4 3,35.10-

e −t

2

0,736

0,271

0,099

0,0366

0,0134

i (t )

1

0,6

0,253

0,097

0,0363

0,0134

4

5 -4,5.10

-

5

6 6,14.106

4,95.103

4,95.103


17

Bentuk Grafik i (t ) vs t rangkaian RLC di atas adalah sebagai berikut :

i(t) vs t

i(t)

1.5 1

i(t)

0.5 0 1

2

3

4

5

6

7

t


18

Contoh 6. Rangkaian Paralel RLC

v (t ) R

+C

dv ( t ) dt

+

1 t v ( t ) dt = r ( t ) L ∫0

1.

Cari zero-pole dan buat petanya pada bidang-s.

2.

Gambarkan grafik respon sistem terhadap waktu.

Tahapan

1.

v (t )

Ubah persamaan integro-diferensial di atas ke bentuk Laplace. Asumsi r ( t ) = 0

dv ( t )

1 t v ( t ) dt = 0 R dt L ∫0 0   f dt   ∫ V ( s) 1 V ( s ) −∞  + C sV ( s ) − v 0+ +  + =0 R L s s    +C

+

{

( )}

0

( )=v ;

Asumsi : v 0

+

0

∫

f dt

−∞

s

= 0 , maka persamaan di atas menjadi :


19

V ( s) R V ( s) R

+ C { sV ( s ) − v0 } + + sCV ( s ) − Cv0 +

V ( s)

sL V ( s) sL

=0

=0

1 1  V ( s )  sC + +  = Cv0 → eliminasi s R sL   s 1  V ( s )  s 2C + +  = sCv0 → eliminasi C R L 

s 1   V ( s ) s2 + +  = sv0 RC LC  

Asumsi :

V ( s) =

→ V ( s) =

p ( s ) zero sv0 = = s 1 q s pole 2 ( ) s + + RC LC

1 1 = 5; = 6; v0 = 1 V , maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut : RC LC

s s maka zero adalah s = 0 dan pole adalah = s + 5 s + 6 ( s + 2 )( s + 3 ) 2

s1 = −2; s2 = −3 Peta pole-zero pada bidang-s


20

2.

Mencari persamaan respon waktu sistem.

Inverskan Transformasi Laplace di atas

kembali ke kawasan waktu menggunakan metode Pecahan-Bagian (residu).

V ( s) = k1 =

k1 k2 + ( s + 2) ( s + 3)

( s − s1 ) p ( s ) q ( s) s=s

k2 =

1

=

( s + 2) s ( s + 2 )( s + 3) s =−2

=

−2 −2 + 3 = −2

( s − s2 ) p ( s ) q ( s) s=s

2

( s + 3) s ( s + 2 )( s + 3) s =−3

−3 −3 + 2 =3

=

=

Maka :

−2 3 + ( s + 2) ( s + 3)

→ v ( t ) = 3e −3 t − 2e −2 t

v(t) vs t 1.2 1 0.8 0.6 v(t)

V ( s) =

0.4 0.2 0 -0.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-0.4 t


21

Contoh 7. Rangkaian Seri dengan 2R dan C

Analisa KVL

V1 = VR1 + VR 2 + VC = I .R1 + I .R2 +

1 i dt C∫

⇓ I ( s) Cs 1   = I ( s )  R1 + R2 +  Cs    R Cs + R2Cs + 1  = I ( s)  1  Cs  

V2 = VC =

1 i dt C∫

⇓

V1 ( s ) = I ( s ) R1 + I ( s ) R2 +

V2 ( s ) =

I ( s) → I ( s ) = CsV2 ( s ) Cs

Lakukan substitusi I ( s ) menjadi

 R Cs + R2Cs + 1  V1 ( s ) = I ( s )  1  Cs   V2 ( s ) 1  R Cs + R2Cs + 1  = CsV2 ( s )  1 atau =  maka Cs V1 ( s ) ( R1Cs + R2Cs + 1)   = V2 ( s ) ( R1Cs + R2Cs + 1)

V2 ( s ) 1 = V1 ( s ) s ( R1C + R2C ) + 1 1 R1C + R2C = 1 s+ R1C + R2C Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

22

Dari Fungsi Transfer di atas dapat disimpulkan bahwa rangkaian RC seri di atas tidak mempunyai zero dan hanya mempunyai single dominant pole, s = −

1 . R1C + R2C

Analisa secara Transformasi Laplace Misal : RS = R1 + R2

1 i dt C∫ dV1 di i = RS + dt dt C ⇓

V1 = IRS +

{

( )} + IC( s) = 0

RS sI ( s ) − i 0+

( )

RS sI ( s ) − RS i 0+ +

dV1 I ( s) = 0 dengan asumsi C dt

( )

= 0 dan i 0+ = i0 maka t =0

1  I ( s )  RS s +  = RS i 0+ C 

( )

I ( s) =

RS i0 1   RS s +  C 

→

RS 1 RS s + C

=

R1 + R2

1 s ( R1 + R2 ) + C

⇒

sehingga hanya ada single dominant pole, s = −

zero atau pole s+

1 1 C ( R1 + R2 )

1 . R1C + R1C

Dari hasil di atas tampak bahwa hasil Analisa Fungsi Transfer dan Transformasi Laplace diperoleh hasil yang sama untuk Rangkaian Seri 2 R dan C yakni single dominant pole,

s=−

1 pada bidang-s. R1C + R1C


23

Dengan demikian i ( t ) diperoleh dari Invers Transformasi Laplace I ( s ) sebagai berikut :

i (t ) =

=e

  1 −1   1 s + RC1 + RC 2 

   1  Bila diasumsikan a = maka i ( t ) = e − at RC1 + RC 2 

  1 − t  RC1 + RC 2 

Dengan demikian bentuk time response-nya adalah :

t a e − at i (t )

0 0 1

1 0.36788

2 0.13534

1 3 0.04979

4 0.01832

5 0.00674

1

0.36788

0.13534

0.04979

0.01832

0.00674


24

i(t) vs t 1.2 1 i(t)

0.8 0.6

i(t)

0.4 0.2 0 t t


25

Contoh 8. Rangkaian Seri dengan 2C dan R

Analisa KVL

V1 = VC 1 + VC 2 + VR =

1 1 i dt + i dt +I .R ∫ C1 C2 ∫ ⇓

I ( s) I ( s) + + I ( s) R V1 ( s ) = C1 s C 2 s  1  1 = I ( s)  + + R  C1 s C 2 s   C s + C 2 s + RC1 sC 2 s  = I ( s)  1  C1 sC 2 s  

V2 = VR = IR ⇓ V2 ( s ) = I ( s ) R → I ( s ) =

V2 ( s ) R

Lakukan substitusi I ( s ) menjadi

V1 ( s ) =

 V2 ( s )  1 1 + + R  R  C1 s C 2 s 

= V2 ( s )

 1  C 2 s + C1 s + R  R  C1 sC 2 s 

= V2 ( s )

1  C 2 s + C1 s + RC1 sC 2 s    maka R C1 sC 2 s 

 C s + C1 s + RC1 sC 2 s  = V2 ( s )  2  RC1 sC 2 s    C + C1 + RsC1C 2  = V2 ( s )  2  RsC1C 2  

 V2 ( s )  RsC1C 2 =  V1 ( s )  C 2 + C1 + RsC1C 2    sRC1C 2 1 = Χ  sRC1C 2 + C1 + C 2  RC1C 2 s = C1 + C 2 s+ RC1C 2


26

Bila τ =

C1 + C 2 V ( s) s maka 2 = V1 ( s ) s + τ RC1C 2

Analisa Transformasi Laplace

V1 =

1 1 i dt + i dt + IR ∫ C1 C2 ∫

dV1 i i di = + +R dt C1 C 2 dt ⇓

{

( )} = 0

I ( s) I ( s) + + R sI ( s ) − i 0+ C1 C2

dV1 I ( s) I ( s) + + RsI ( s ) − Ri 0+ = 0 dengan asumsi C1 C2 dt

( )

( )

= 0 dan i 0+ = i0 maka t =0

 1  1 + Rs  = Ri 0+ I ( s)  +  C1 C 2 

( )

  R R I ( s) = → = C + C1 1 1  1  1 + + Rs  Rs + 2 + Rs   + C1 C 2 C1C 2   C1 C 2  1 zero = ⇒ C + C1 pole s+ 2 RC1C 2 Ri0

sehingga hanya ada single dominant pole, s = −

  1 Χ  R  

C1 + C 2 . RC1C 2

Dari hasil di atas tampak bahwa hasil Analisa Fungsi Transfer dan Transformasi Laplace diperoleh hasil yang sama untuk Rangkaian RC Seri (dua C dan satu R) yakni single dominant pole, s = −

C1 + C 2 pada bidang-s. RC1C 2


27

i (t ) =

=e

    1 −1    s + C1 + C 2  Bila diasumsikan a = C1 + C 2 maka i ( t ) = e − at RC1C 2   RC1C 2  C +C 2  − 1 t  RC1C 2 

Dengan demikian bentuk time response-nya adalah :

t a e − at i (t )

0 0 1

1 0.36788

2 0.13534

1 3 0.04979

4 0.01832

5 0.00674

1

0.36788

0.13534

0.04979

0.01832

0.00674

i(t) vs t 1.2 1 i(t)

0.8 0.6

i(t)

0.4 0.2 0 t t


28

ANALISA SISTEM FISIK MENGGUNAKAN FUNGSI TRANSFER

Contoh 1. Rangkaian Paralel C diseri dengan R

Fungsi Transfer adalah perbandingan antara output dan input suatu sistem.

FT →

voutput vinput

=

V2 VI

Analisa KCL

I = I C2 + I C 1 = I R ⇒ C1

d (V1 − V2 ) d (V1 − V2 ) V2 + C2 = dt dt R

V2 ( s ) R V ( s) C1 sV1 ( s ) − C 2 sV2 ( s ) + C 2 sV1 ( s ) − C 2 sV2 ( s ) = 2 R 1   V1 ( s ) ( C1 s + C 2 s ) = V2 ( s )  C1 s + C 2 s +  R  

⇒ C1 s (V1 ( s ) − V2 ( s ) ) + C 2 s (V1 ( s ) − V2 ( s ) ) =

   s (C1 + C 2 )  V2 ( s ) C1 s + C 2 s 1 = = Χ 1 1 V1 ( s ) C s + C s +  s (C1 + C 2 ) +  C1 + C 2 1 2 R  R s = 1 s+ R(C1 + C 2 ) Bila τ =

V ( s) s 1 maka 2 = V1 ( s ) s + τ R(C1 + C 2 ) Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

29

Contoh 2. Rangkaian Paralel RC diseri dengan C


FT →

voutput vinput

=

V2 VI

Analisa KCL

I = I R + I C1 = I C2 d (V1 − V2 ) d (V2 ) (V1 − V2 ) + C1 = C2 R dt dt V1 ( s ) V2 ( s ) ⇒ − + C1 s (V1 ( s ) − V2 ( s ) = C 2 sV2 ( s ) ) R R 1 1   V1 ( s )  C1 s +  = V2 ( s )  C 1 s + C 2 s +  R R   1 C1 s +   1 V2 ( s ) RC1 s + 1 R = = Χ  V1 ( s ) C s + C s + 1  RC1 s + RC 2 s + 1  RC1 1 2 R 1 s+ RC1 = 1 C s+ 2 s+ C1 RC1 ⇒

Bila a =

V2 ( s ) C2 s+b 1 = dan b = maka RC1 C1 V1 ( s ) s + as + b


30

Contoh 3. Rangkaian Paralel R diseri dengan C


FT →

voutput vinput

=

V2 VI

Analisa KCL

V1 = VRP + VC

RP =

R1.R2 R1 + R2

 R .R  1 = I  1 2  + ∫ i dt  R1 + R2  C  R .R  I ( s )  R .R 1  = I ( s)  1 2 + V1 ( s ) = I ( s )  1 2  +   R1 + R2  Cs  R 1 + R2 Cs  I ( s) V2 ( s ) = Cs  R R Cs + R1 + R2  I ( s ) = CsV2 ( s ) → V1 ( s ) = V2 ( s )Cs  1 2   ( R1 + R2 )Cs   V2 ( s )  R1 + R2 1 = Χ V1 ( s)  R1 R2Cs + R1 + R2  R1.R2C R1 + R2 R1 R2C =  R + R2  s+ 1   R1 R2C  Bila τ =

R1 + R2 V ( s) τ maka 2 = R1 R2C V1 ( s ) s + τ


31

Contoh 4. Rangkaian Paralel RC diseri dengan C


FT →

voutput v input

=

V2 VI

Analisa KCL

I = IR1 + IR2 IC1 = IC 2 ⇒

d (V1 − V2 ) dV (V1 − V2 ) (V1 − V2 ) + + C1 = C2 2 R1 R2 dt dt

⇒

V1 ( s ) − V2 ( s ) V1 ( s ) − V2 ( s ) + + C1 s (V1 ( s ) − V2 ( s ) ) = C 2 sV2 ( s ) R1 R2  1   1  1 1 + C1 s  = V2 ( s )  + + C1 s + C 2 s  V1 ( s )  +  R1 R2   R1 R2  1 1 + + C1 s V2 ( s ) R1 R2 = 1 1 V1 ( s ) + + C1 s + C 2 s R1 R2 R1 + R2 R1 R2 = R + R2 C1 s + C 2 s + 1 R1 R2 C1 s +

R1 R2 C1 s + R1 + R2 R1 R2 = R1 R2C1 s + R1 R2C 2 s + R1 + R2 R1 R2 =

R1 R2C1 s + R1 + R2 R1 R2C1 s + R1 R2C 2 s + R1 R2

=

R1 R2C1 s + R1 + R2 s ( R1 R2C1 + R1 R2C 2 ) + R1 + R2 Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

32

Contoh 5. Rangkaian Seri R dengan Paralel RC


FT →

voutput vinput

=

V2 VI

Analisa KCL

I = I R1 = I C + I R 2 =

V1 − V2 dV V =C 2 + 2 R1 dt R2

⇓ V1 ( s ) − V2 ( s ) V ( s) = CsV2 ( s ) + 2 R1 R2  V1 ( s ) 1  = V2 ( s )  Cs +  R1 R2    R  = V2 ( s )  R1Cs + 1  R2    R R Cs + R1  = V2 ( s )  1 2  R2   Maka :

 V2 ( s ))  R2 =  V1 ( s  R1 R2Cs + R1  R2 1 R1 R2C R1C = = R1 1 s+ s+ R2C R1 R2C

Bila a =

1 1 V ( s) a ,b= maka 2 = R1C R2C V1 ( s ) s + b


33

Contoh 6. Rangkaian Seri R dengan Paralel RC


FT →

voutput vinput

=

V2 VI

Analisa KVL

V1 = VR + VC 1 + V C 2 = IR +

1 1 i dt + i dt ∫ C1 C2 ∫

⇓ I ( s) I ( s) V1 ( s ) = I ( s ) R + + C 1s C 2 s  1 1  = I ( s)  R + +  C 1s C 2 s  

V2 = VC 1 + V C 2 =

1 1 i dt + i dt ∫ C1 C2 ∫ ⇓

V2 ( s ) =

I ( s) I ( s) + C 1s C 2 s

 1 1  = I ( s)  +   C 1s C 2 s 

maka :

1 1 + V2 ( s ) C 1s C 2 s = V1 ( s ) R + 1 + 1 C 1s C 2 s

Bila τ =

C1 + C 2 V2 ( s ) τ → = RC1C 2 V1 ( s ) s + τ


34

Contoh 7. Rangkaian Seri R, L dan C dengan VR


FT →

voutput vinput

=

vR vI

Analisa KVL

v I = v L + vC + v R =L

di ( t ) dt

+

1 i ( t ) dt + i ( t ) R C∫

⇓ VI ( s ) = sLI ( s ) +

I ( s) sC

VR ( s )

+ I ( s) R

1   = I ( s )  R + sL +  sC   2  s LC + sRC + 1  = I ( s)   sC   vR = i ( t ) R

VI ( s )

=

I ( s) R

 s LC + sRC + 1  I (s)   sC   sRC = 2 s LC + sRC + 1 R s L = R 1 s2 + s + L LC 2

⇓ VR ( s ) = I ( s ) R

Bila

VR ( s ) V ( s) R 1 2s 2s = = 2; = 1 maka R dan sehingga hanya ada = 2 VI ( s ) s + 2 s + 1 L LC VI ( s ) ( s + 1)2

pole tunggal pada s = −1


35

Contoh 8. Rangkaian Seri R, L dan C dengan VC


FT →

voutput vinput

=

vC vI

Analisa KVL

v I = v L + vC + v R =L

di ( t ) dt

+

1 i ( t ) dt + i ( t ) R C∫

⇓ VI ( s ) = sLI ( s ) +

I ( s) sC

+ I ( s) R

1   = I ( s )  R + sL +  sC    s 2 LC + sRC + 1  = I ( s)   sC   1 vC = ∫ i ( t ) dt C ⇓ VC ( s ) =

Bila

I (s) sC

I (s) sC = VI ( s )  s 2 LC + sRC + 1  I ( s)   sC  

VC ( s )

1 s LC + sRC + 1 1 = 1 R s2 + s + L LC =

2

V ( s) VR ( s ) R 1 1 1 = dan sehingga hanya ada = 2; = 1 maka R = 2 L LC VI ( s ) s + 2 s + 1 VI ( s ) ( s + 1)2

pole tunggal pada s = −1 Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

36

Contoh 9. Rangkaian Seri R, L dan C dengan VO


FT →

voutput vinput

=

vO vI

Analisa KVL

v I = v L + vC + v R =L

di ( t ) dt

+

1 i ( t ) dt + i ( t ) R C∫

vO =

1 i ( t ) dt + i ( t ) R C∫

⇓

⇓ VI ( s ) = sLI ( s ) +

I ( s) sC

+ I ( s) R

1   = I ( s )  R + sL +  sC    s 2 LC + sRC + 1  = I ( s)   sC  

VO ( s ) =

I ( s) sC

+ I ( s) R

1   = I ( s) R +  sC    sRC + 1  = I ( s)    sC 

 sRC + 1  I ( s)   VO ( s )  sC  = VI ( s )  s 2 LC + sRC + 1  I ( s)   sC   sRC + 1 s LC + sRC + 1 R 1 s + L LC = R 1 s2 + s + L LC =

2


37

2

− Maka pole sistem di atas adalah s1, 2 = dimana a = 1; b =

R  R  1  ±   − 4 (1)   L  L  LC  2

R 1 ; c= L LC


38

Contoh 10. (Tabel 2.6). Rangkaian Diferensiasi


FT →

voutput vinput

=

v2 V2 ( s ) = v1 V1 ( s )

Analisa KVL dan KCL

v1 = i ( t ) Z1 + i ( t ) R2 V2 ( s ) = I ( s ) R2

⇓ i ( t ) = C1

dva va + dt R1

8

V2 ( s )

⇓

{

V s ( )} + R( )

I ( s ) = C1 sVa ( s ) − va 0+

 1 = Va ( s )  sC1 +  R1    sR C + 1  = Va ( s )  1 1   R1  ⇓  R1  Va ( s ) = I ( s )    sR1C1 + 1 

V1 ( s )

=

a

1

= =

I ( s ) R2

 R + R2 ( sR1C1 + 1)  I ( s)  1  sR1C1 + 1   R2 ( sR1C1 + 1)

R1 + R2 ( sR1C1 + 1) sR1 R2C1 + R2 sR1 R2C1 + R1 + R2 s+

=

1 R1C1

 R + R2  s+ 1   R1 R2C1 


39

V1 ( s ) = Va ( s ) + I ( s ) R2  R1  = I (s)   + I ( s ) R2  sR1C1 + 1   R1  = I (s)  + R2   sR1C1 + 1   R + R2 ( sR1C1 + 1)  = I (s)  1  sR1C1 + 1  


40

Contoh 11. (Tabel 2.6). Rangkaian Lead-lag (pimpin-ketinggalan)


FT →

voutput vinput

=

v2 V2 ( s ) = v1 V1 ( s )

Proses awal sama dengan cara pada Contoh 4.

v1 = i ( t ) Z1 + i ( t ) R2

V2 ( s ) = I ( s ) R2 +

⇓ i ( t ) = C1

I ( s) C2 s

 R C s + 1 = I ( s)  2 2   C2 s 

dva va + dt R1

⇓

8

{

V s ( )} + R( )

I ( s ) = C1 sVa ( s ) − va 0+  1 = Va ( s )  sC1 +  R1    sR C + 1  = Va ( s )  1 1   R1 

a

1

 sR C + 1  I ( s)  2 2  V2 ( s )  C2 s  = V1 ( s )  sR C + ( sR2C 2 + 1)( sR1C1 + 1)  I ( s)  1 2  C 2 s ( sR1C1 + 1)  

( sR1C1 + 1)( sR2C2 + 1) sR1C 2 + ( sR2C 2 + 1)( sR1C1 + 1) ( sR1C1 + 1)( sR2C 2 + 1) = =

⇓

s 2 R1C1 R2C 2 + sR1C1 + sR2C 2 + sR1C 2 + 1

 R1  Va ( s ) = I ( s )    sR1C1 + 1 

=

s

2

( sR1C1 + 1)( sR2C2 + 1) R1C1 R2C 2 + ( R1C1 + R2C 2 + R1C 2 ) s + 1

Bila τ a = R1C1 , τ b = R2C 2 , τ ab = R1C 2 maka :

V2 ( s )

(1 + τ a s )(1 + τ b s ) V1 (1) τ aτ b s 2 + (τ a + τ b + τ ab ) s + 1 =


41

V1 ( s ) = Va ( s ) + I ( s ) R2 I ( s)  R1  = I (s)   + I ( s ) R2 + C2 s  sR1C1 + 1   R1 1  = I (s)  + R2 +  C2 s   sR1C1 + 1

Bila τ 1 + τ 2 = τ a + τ b + τ ab , τ 1 = τ a , τ 2 = τ b

V2 ( s )

(1 + τ a s )(1 + τ b s ) V1 (1) (1 + τ 1 s )(1 + τ 2 s ) =

 R1 sR C + 1  = I (s)  + 2 2  C2 s   sR1C1 + 1  sR C + ( sR2C 2 + 1)( sR1C1 + 1)  = I (s)  1 2  C 2 s ( sR1C1 + 1)  


42

Contoh 12. (Experiment – not really complicated) Rangkaian Kombinasi


FT →

voutput vinput

=

v2 V2 ( s ) = v1 V1 ( s )

Gunakan KCL sebagai berikut :

I1 = I 2 + I 3

Loop I

V1 − I1 R1 − I 2 R2 = 0

V1 − ( I 2 + I 3 ) R1 − I 2 R2 = 0

……………………….. (1)

V1 − I 2 ( R1 + R2 ) − I 3 R1 = 0 Loop II

I 2 R2 − I 3 sL − I 3 R3 = 0

I 2 R2 − I 3 ( sL + R3 ) = 0

……………………….. (2)


43

Loop III

V2 − I 3 R3 = 0 I3 =

……………………….. (3)

V2 R3

Substitusi (3) ke (2)

I 2 R2 −

V2 ( sL + R3 ) = 0 R3

I 2 R2 =

V2 ( sL + R3 ) R3

I2 =

……………………….. (4)

V2 ( sL + R3 ) R2 R3

Substitusi (3) (4) ke (1)

V1 −

V2 V ( sL + R3 )( R1 + R2 ) − 2 R1 = 0 R2 R3 R3

 ( sL + R3 )( R1 + R2 ) R1  V1 − V2  + =0 R2 R3 R3    ( sL + R3 )( R1 + R2 ) + R1 R2  V1 − V2  =0 R2 R3    ( sL + R3 )( R1 + R2 ) + R1 R2  V1 = V2   R2 R3   ⇓ R2 R3 V2 = V1 ( sL + R3 )( R1 + R2 ) + R1 R2 =

R2 R3 sLR1 + sLR2 + R1 R3 + R2 R3 + R1 R2

=

R2 R3 sL ( R1 + R2 ) + R1 R3 + R2 R3 + R1 R2

=

R2 R3 R1 ( sL + R2 + R3 ) + R2 ( sL + R3 ) Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

44

Contoh 13. (Experiment – less complicated) Rangkaian Kombinasi


FT →

voutput vinput

=

v2 V2 ( s ) = v1 V1 ( s )


I1 = I 2 + I 3

Loop I

V1 − I1 R1 −

I2 =0 sC

V1 − ( I 2 + I 3 ) R1 −

I2 =0 sC

1   − I 3 R1 = 0 V1 − I 2  R1 + sC    sR C + 1  V1 − I 2  1  − I 3 R1 = 0  sC 

………………………..

(1)

………………………..

(2)

Loop II

I2 − I 3 sL − I 3 R2 = 0 sC I2 − I 3 ( sL + R2 ) = 0 sC


45

Loop III

V2 − I 3 R2 = 0 I3 =

V2 R2

………………………..

(3)

………………………..

(4)


I2 − I 3 ( sL + R2 ) = 0 sC I 2 V2 = ( sL + R2 ) sC R2 I2 =

sC ( sL + R2 ) R2

V2

Substitusi (3) (4) ke (1)

 sR C + 1  V1 − I 2  1  − I 3 R1 = 0  sCR2  sC ( sL + R2 )  sR1C + 1  V2 V1 − V2  sC  − R R1 = 0 R2   2  ( sL + R2 )( sR1C + 1) R1  + =0 V1 − V2  R2 R2    ( sL + R2 )( sR1C + 1) + R1  V1 − V2  =0 R2    s 2 R1 LC + sL + sR1 R2C + R2 + R1  V1 = V2   R2   ⇓ V2 R2 = 2 V1 s R1 LC + sL + sR1 R2C + R2 + R1 =

R2 s R1 LC + s ( L + R1 R2C ) + R2 + R1 2


46

Contoh 14. (Experiment – a bit complicated) Rangkaian Kombinasi


FT →

voutput vinput

=

v2 V2 ( s ) = v1 V1 ( s )


I1 = I 2 + I 3

Loop I

V1 − I1 R1 −

I1 − I 2 sL1 − I 2 R2 = 0 sC1

 1  V1 − I1  R1 +  − I 2 ( sL1 + R2 ) = 0 sC1    sR C + 1  V1 − ( I 2 + I 3 )  1 1  − I 2 ( sL1 + R2 ) = 0  sC1 

………………………..

(1)

 sR C + 1   sR C + 1  + sL1 + R2  − I 3  1 1  = 0 V1 − I 2  1 1  sC1   sC1   s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1   sR1C1 + 1  V1 − I 2   − I3  =0 sC1    sC1  Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

47

Loop II

I 2 sL1 + I 2 R2 − I 3 sL2 −

I3 =0 sC 2

 1  I 2 ( sL1 + R2 ) − I 3  sL2 + =0 sC 2  

………………………..

(2)

………………………..

(3)

………………………..

(4)

 s 2 L2C 2 + 1  I 2 ( sL1 + R2 ) − I 3  =0 sC 2   Loop III

V2 −

I3 =0 sC 2

I 3 = V2 sC 2


 s 2 L2C 2 + 1  I 2 ( sL1 + R2 ) − V2 sC 2  =0 sC 2  

(

)

I 2 ( sL1 + R2 ) = V2 s 2 L2C 2 + 1  s 2 L2C 2 + 1  I 2 = V2    sL1 + R2  Substitusi (3) (4) ke (1)

 s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1   sR1C1 + 1  V1 − I 2   − I3  =0 sC1    sC1   s 2 L2C 2 + 1   s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1   sR1C1 + 1  V1 − V2    − V2 sC 2  =0 sC1  sL1 + R2     sC1   s 2 L2C 2 + 1   s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1   sR1C1 + 1   V1 − V2   = 0   + sC 2  sC1  sL1 + R2    sC1     s 2 L2C 2 + 1 s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1 sC ( sR C + 1)  1 1 + 2 V1 − V2  =0 sC1 ( sL1 + R2 ) sC1    s 2 L2C 2 + 1 s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1 + sC 2 ( sR1C1 + 1)( sL1 + R2 )  V1 − V2  =0 sC1 ( sL1 + R2 )  

(

)(

)

(

)(

)


48

(

)(

)

 s 2 L2C 2 + 1 s 2 L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1 + sC 2 ( sR1C1 + 1)( sL1 + R2 )  V1 = V2   sC1 ( sL1 + R2 )   ⇓ sC1 ( sL1 + R2 ) V2 = 2 2 V1 s L2C 2 + 1 s L1C1 + sR1C1 + sR2C1 + 1 + sC 2 ( sR1C1 + 1)( sL1 + R2 )

(

=

)(

(s LC 2

1

1

)

s 2 L1C1 + sR2C1

)(

) (

+ sR1C1 + sR2C1 + 1 s 2 L2C 2 + 1 + s 2 R1C1C 2 + sC 2

) ( sL + R ) 1

2


49

REPRESENTASI SISTEM PADA BLOK DIAGRAM

Konsep Dasar

E ( s ) = R( s ) - B ( s ) B ( s) = C ( s ) H ( s ) → E ( s ) = R( s) - C ( s ) H ( s ) C ( s ) = E ( s )G ( s ) = [ R( s ) - C ( s ) H ( s )]G ( s ) = G ( s )[ R( s ) - C ( s ) H ( s )] = G ( s ) R( s ) - G ( s )C ( s ) H ( s ) C ( s ) + G ( s )C ( s ) H ( s ) = G ( s ) R( s ) C ( s )[1 + G ( s ) H ( s )] = G ( s ) R( s ) maka :

C ( s) G ( s) = R( s ) 1 + G ( s ) H ( s )


50

Contoh 1. Sederhanakan Blok Diagram Sistem Kontrol di bawah ini !

Langkah 1 – Pindahkan simpul Umpan Balik H 2 setelah Blok Sistem G4

Langkah 2 – Gabungkan Blok Sistem G3 dengan G4


51

Langkah 3 – Sederhanakan Blok Sistem G3G4 dengan Umpan Balik H1 berdasarkan rumus Langkah 4 – Gabungkan Blok Sistem G2 dengan Blok Sistem hasil dari Langkah 3

Langkah 5 – Sederhanakan Blok Sistem hasil Langkah 4 dengan Umpan Balik

H2 G4

menjadi


52

Langkah 6 – Gabungkan Blok Sistem G1 dengan Blok Sistem hasil dari Langkah 5

G1G2G3G4 = G6 Misalkan 1- G3G4 H1 + G2G3 H 2 maka ⇓ ⇒

G6 C ( s) = R( s ) 1 + G6 H 3

C ( s) R ( s)

=

G1G2G3G4 1- G3G4 H1 + G2G3 H 2   G1G2G3G4 1+   H3  1- G3G4 H1 + G2G3 H 2 

=

G1G2G3G4 1- G3G4 H1 + G2G3 H 2 + G1G2G3G4 H 3

dan akhirnya

Fungsi Transfer Sistem Kontrol di atas adalah :

C ( s) R ( s)

=

G1G2G3G4 1- G3G4 H1 + G2G3 H 2 + G1G2G3G4 H 3 Bank Soal Dasar Otomatisasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

53


Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3


54


Langkah 1

Langkah 2


55


Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3


56


Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3


57


Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3


58


Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3


59


Langkah 1

Langkah 2


60

Langkah 3

Langkah 4

Maka fungsi transfernya adalah :

C (s )

R (s)

=

s3 + 1 2s4 + s 2 + 2s


61

Contoh 7. Rangkaian RC sederhana Tahap-tahap 1.

Tulis persamaan dinamisnya (Gunakan KVL, KCL dan Hukum Ohm)

2.

Transformasi Laplace-kan persamaan dinamis tersebut dengan kondisi awal = 0.

3.

Representasikan tiap-tiap persamaan ke bentuk blok diagramnya.

4.

Gabungkan blok-blok diagram tersebut menjadi satu kesatuan.

5.

Lakukan penyederhanaan bila diperlukan.

Persamaan Dinamis

V1 = VR + VC = IR +

V2 =

1 i dt C∫

1 i dt C∫

Bentuk Laplace

V1 ( s ) = I ( s ) R +

I ( s)

Cs 1   = I (s) R +  Cs  

I ( s) =

V1 ( s ) V1 ( s ) Cs = 1 RCs + 1 R+ Cs I ( s) V2 ( s ) = Cs V1 ( s ) Cs = RCs + 1 Cs V ( s) 1 = 1 = V1 ( s ) RCs + 1 RCs + 1


62

Representasi Blok Diagram

Gabungkan Blok-blok di atas menjadi satu kesatuan

Sederhanakan !


63


64

Contoh 5. Rangkaian Paralel RC diseri dengan R

Persamaan Dinamis

I = I R1 + I C 1

d (V1 − V2 ) V −V = 1 2 + C1 R1 dt

V2 = IR2

Bentuk Laplace

I1 ( s ) = =

V1 ( s ) − V2 ( s ) V1 ( s ) R1

R1

+ C1 s (V1 ( s ) − V2 ( s ) )

+ C1 sV1 ( s ) −

V2 ( s ) R1

+ CsV2 ( s )

 1   1  = V1 ( s )  + C1 s  − V2 ( s )  + C1 s   R1   R1   1 + R1C1 S   1 + R1C1 S  = V1 ( s )   − V2 ( s )   R1 R1     V2 ( s ) = I ( s ) R2 → I ( s ) =

V2 ( s ) R2

Representasi Blok Diagram


65

Gabungkan Blok-blok di atas menjadi satu kesatuan

Sederhanakan !


66

REPRESENTASI SISTEM PADA SIGNAL FLOW GRAPH (GRAFIK ALIRAN SINYAL)

Contoh 1. Blok Diagram ke Signal Flow Graph Penyederhanaan Blok Diagram dan Signal Flow Graph suatu Sistem Pengaturan.

Cari

Fungsi Transfer sistem berikut ini !


67

Tahapan

a.

Geser umpan balik H 2 ke titik lepas landas sebelum G1 atau Va ( s )

b.

Gabungkan jalur maju G1 dan G2 menjadi G1G2 .


68

c.

Sederhanakan umpan balik H1 sesuai rumus yang berlaku.

d.

Dengan cara yang sama lakukan untuk umpan balik

H2 untuk mendapatkan fungsi G1

transfer sistem tersebut.


69

e.

Maka fungsi transfernya adalah

C(s) G 1G 2 = R(s) 1-G 2 (H 2 -G 1H1 )


70

Contoh 2. Cari Fungsi Transfer Blok Diagram melalui Signal Flow Graph ala Mason

Fungsi Transfernya adalah :

Signal Flow Graph ala Mason Tahap 1 – Konversikan Blok Diagram ke bentuk SFG sebagai berikut :


71

Tahap 2 – Eliminasi simpul pada lintasan bernilai 1 yang tidak mempengaruhi perhitungan. Sebagai contoh adalah eliminasi simpul V3 ( s )

Tahap 3 – Cari lintasan maju Pi sebagai berikut :

1 1 1 1 1 P1 = 1.s.s.1. .1 = s ; P2 = 1.s.s.1. .1 = s ; P3 = 1. .1. .1 = 2 s s s s s Tahap 4 – Cari Loop Gain ( L j ) sebagai berikut :

L1 = s.s.1. ( −1) = − s 2

L2 = s.s.1. ( −1) = − s 2

1 1 L3 = .1. ( −1) = − s s 1 L5 = s.s.1. .1. ( − s ) = − s 2 s

1 L4 = s.s.1. .1. ( − s ) = − s 2 s 1 1 1 L6 = .1. ( − s ) = − s s s

Tahap 5 – Cari kombinasi 2-Non Touching Loop ( NTL2 j ).

Untuk SFG di atas tidak ada

atau bernilai 0.


72

Tahap 6 – Cari ∆ menggunakan rumus sebagai berikut : j

j

0

0

∆ = 1 − ∑ L j + ∑ NTL2 j − ......

∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 ) + 0 1 1  = 1 −  −s2 − s2 − − s2 − s2 −  s s  2 = 1 + 4s 2 + s 3 4s + s + 2 = s Tahap 6 – Cari ∆ i , yakni ∆ dikurangi semua L j yang menyentuh lintasan maju Pi . Dalam kasus ini ∆1 = ∆ 2 = ∆ 3 = 1 − 0 = 1 Tahap 7 – Cari Fungsi Transfer dengan memasukkan nilai-nilai diatas ke persamaan Mason.

T ( s) =

C ( s) R ( s)

i

=∑ 0

Pi ∆ i ∆

maka

C ( s)

R ( s)

=

P1∆1 + P2 ∆ 2 + P3∆ 3 ∆

1 2 s3 + 1 C (s) s2 = s2 = 3 3 4s + s + 2 4s + s + 2 R(s) s s 3 2s + 1 = 4 2 4s + s + 2s

s.1 + s.1 +


73





74

Tahap 2 – Eliminasi simpul pada lintasan bernilai 1 yang tidak mempengaruhi perhitungan. Sebagai contoh adalah eliminasi simpul V2 ( s ) dan V3 ( s ) .


1 1 1 1 P1 = 1.s 2 . .1 = s ; P2 = 1. . .1 = 2 s s s s Tahap 4 – Cari Loop Gain ( L j ) sebagai berikut :

L1 = s 2 . ( −1) = − s 2 1 L3 = s 2 . . ( − s ) = − s 2 s

1 1 L2 = . ( −1) = − s s 1 1 1 L4 = . . ( − s ) = − s s s

Tahap 5 – Cari kombinasi 2-Non Touching Loop ( NTL2 j ).

Untuk SFG di atas tidak ada

atau bernilai 0.


75


j

0

0

∆ = 1 − ∑ L j + ∑ NTL2 j − ......

∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 ) + 0 1 1  = 1 −  −s2 − s2 − −  s s  2 = 1 + 2s 2 + s 3 2s + s + 2 = s Tahap 6 – Cari ∆ i , yakni ∆ dikurangi semua L j yang menyentuh lintasan maju Pi . Dalam kasus ini ∆1 = ∆ 2 = ∆ 3 = 1 − 0 = 1 Tahap 7 – Cari Fungsi Transfer dengan memasukkan nilai-nilai diatas ke persamaan Mason.

T ( s) =

C ( s) R ( s)

i

=∑ 0

Pi ∆ i ∆

maka

C ( s)

R ( s)

=

P1∆1 + P2 ∆ 2 ∆

s3 + 1 1 2 2 C ( s) = 3 s = 3s R ( s ) 2s + s + 2 2s + s + 2 s s s+

=

s3 + 1 2s4 + s2 + 2s


76



C ( s) R ( s)

=

G1G2G3 + G1G3 1 + G2 H 2 + G3 H 3 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 H 3 + G1G2G3 H1 H 3



77

Tahap 2 – Eliminasi simpul pada lintasan bernilai 1 yang tidak mempengaruhi perhitungan. Sebagai contoh adalah eliminasi simpul V2 ( s ) dan V3 ( s ) .


P1 = 1.G1.G2 .G3 .1 = G1G2G3 ; P2 = 1.G1.1.G3 .1 = G1G3 Tahap 4 – Cari Loop Gain ( L j ) sebagai berikut :

L1 = G1.G2 . ( − H1 ) = −G1G2 H1 L2 = G2 .1. ( − H 2 ) = −G2 H 2 L3 = G3 . ( − H 3 ) = −G3 H 3 Tahap 5 – Cari kombinasi 2-Non Touching Loop ( NTL2 j ).

NTL1 = ( −G1G2 H1 )( −G3 H 3 ) = G1G2G3 H1 H 3 NTL2 = ( −G2 H 2 )( −G3 H 3 ) = G2G3 H 2 H 3


78


j

0

0

∆ = 1 − ∑ L j + ∑ NTL2 j − ...... ∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) + ( NTL1 + NTL2 ) = 1 − ( −G1G2 H1 − G2 H 2 − G3 H 3 ) + ( G1G2G3 H1 H 3 + G2G3 H 2 H 3 ) = 1 + G1G2 H1 + G2 H 2 + G3 H 3 + G1G2G3 H1 H 3 + G2G3 H 2 H 3 = 1 + G2 H 2 + G3 H 3 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 H 3 + G1G2G3 H1 H 3

Tahap 6 – Cari ∆ i , yakni ∆ dikurangi semua L j yang menyentuh lintasan maju Pi . Dalam kasus ini ∆1 = ∆ 2 = 1- 0 = 1 Tahap 7 – Cari Fungsi Transfer dengan memasukkan nilai-nilai di atas ke persamaan Mason.

T ( s) =

C ( s)

R ( s)

=

C ( s) R ( s)

i

=∑ 0

Pi ∆ i ∆

maka

C ( s)

R ( s)

=

P1∆1 + P2 ∆ 2 ∆

G1G2G3 + G1G3 1 + G2 H 2 + G3 H 3 + G1G2 H1 + G2G3 H 2 H 3 + G1G2G3 H1 H 3


79

ANALISA SISTEM PENGATURAN MELALUI 3 (TIGA) METODE PEMODELAN

Contoh 1. Rangkaian RC seri.

Analisa Persamaan Diferensial

V = VR + VC 1 i dt C∫ ⇓ dV dI I I ( s) =R + → R sI ( s ) − i 0+ + =0 dt dt C C 1  I ( s )  Rs +  = Rio C  Rio RCio I ( s) = = 1 RCs + 1 Rs + C 1 I ( s) = i dV 1 o dimana s+ dt RC = IR +

{

( )}

( )

= 0, i 0+ = io t =0


80

I=

V1 − V2 dV =C 2 R dt ⇓

d 2V dI 1 d (V1 − V2 ) dI = = C 22 → dt R dt dt dt

=0 t =0

⇓ 1 R

{( sV ( s ) − v (0 ) ) − ( sV ( s ) − v +

1

1

2

2

(0+ )



+



)} = C  s V ( s) − sv (0 ) − dv dt(0 )  

+

2

2

Dengan asumsi initial condition v 1 (0+ ) = v 2 (0+ ) = 0 dan

2

2



dv 2 (0+ ) = 0 maka : dt t =0

sV1 ( s ) − sV2 ( s )

= Cs 2V2 ( s ) 1 R V s V s 2 ( ) ( ) 1 2 2 sV1 ( s ) − sV2 ( s ) = RCs V2 ( s ) maka = atau = RC V1 ( s ) RCs + 1 V1 ( s ) s + 1 V1 ( s ) − V2 ( s ) = RCsV2 ( s ) RC V1 ( s ) = V2 ( s )( RCs + 1)

Analisa Blok Diagram

I=

V1 − V2 R ⇓

I ( s) =

V2 =

V1 ( s ) − V2 ( s ) R

1 i dt C∫ ⇓

V2 ( s ) =

I ( s) Cs


81

Langkah 1 – Representasikan masing-masing persamaan di atas ke bentuk Blok Diagram.

Langkah 2 – Gabungkan kedua Blok Diagram di atas.

Langkah 3 – Sederhanakan !


82

Analisa Signal Flow Graph Langkah 1 – Representasikan masing-masing persamaan di atas ke bentuk Signal Flow Graph.

Langkah 2 – Gabungkan kedua Signal Flow Graph di atas.

Langkah 3 – Sederhanakan !


v

DAFTAR PUSTAKA

1.

____________, “Dasar Otomatisasi”, Diktat Kuliah Karbol AAU, Skep Gubernur

AAU No.Skep/250/XII/1994 tanggal 23 Desember 2004, AAU, Yogyakarta, 2004. 2.

Dorf, Richard C. dan Robert H. Bishop, “Modern Control System”, 9th Ed.,

Prentice-Hall, USA, 2004. 3.

Kuo, Benjamin C., “Automatic Control Engineering”, 7th Ed., Prentice-Hall, USA,

1997. 4.

Morris, S. Brian, “Automated Manufacturing System: Actuators, Controls,

Sensors and Robotics”, Glencoe McGraw-Hill, USA, 1995. 5.

Ogata, Katsuhiko, “Modern Control Engineering”, 2nd Ed., Prentice-Hall, USA,

1990. 6.

Stubberud, Allen J.; Ivan J. Williams dan Joseph J. DiStefano, “Schaum’s Outline

of Feedback and Control System”, 2nd Ed., McGraw-Hill, USA, 1994.