man nun im Fall Hl(X,@q)+O die Konstanz von dim HI(Zs, ~ ),seS, voraus, so lassen die Methoden von. [2] ebenfallsSden SchluB zu, dab ~(bei reduziertem S) ...
manuscripta math. 14, 91 - 99 (1974) 9 by Springer-Verlag 1974
BEMERKUNGEN
ZUR D E F O R M A T I O N S T H E O R I E
NICHTRATIONALER
SINGULARIT~TEN
Oswald R i e m e n s c h n e i d e r
Let ~:Z--~ S be a l-convex h o l o m o r p h i c m a p p i n g b e t w e e n c o m p l e x spaces Z resp. S, and let ~ = ~ o ~ be the b l o w i n g down f a c t o r i z a t i o n of ~ o v e r S. We prove in part I of the p r e s e n t note: The fiber n-1(s~ over a point soeS is the R e m m e r t q u o t i e n t of ~-1 (so )if and only if every h o l o m o r p h i c f u n c t i o n on ~-i (so)(defined in a n e i g h b o r h o o d of the e x c e p t i o n a l s u b v a r i e t y of that fiber) can be e x t e n d e d h o l o m o r p h i c a l l y to Z. This is true, for instance, in the ~ -I case:~ flat, S r e d u c e d at Soand d l. m H I (~ (s), ~ ( ~~ - I (s)) =const for all s ~ S. In part 2, we use this r e s u l t to obtain the following: For any R i e m a n n surface R w i t h genus g>~2 there exists a 2 - d i m e n s i o n a l normal complex a n a l y t i c s i n g u l a r i t y X such that the m i n i m a l r e s o l u t i o n X of X c o n t a i n s R as e x c e p t i o n a l subvariety, and X has a d e f o r m a t i o n over the unit disc S={ Is IO. BEWEIS. Es bezeichne K das kanonische BUndel von R. Es gibt dann Punkte ~ s
und abelsche Differentiale h e F(R, O(K))
mit der Nullstellenordnung o K (h)=2. Ist n~mlich R hyperelliptisch, so w~hle man einen hyperelliptischen WeierstraB = punkt ~ e R .
Es gibt dann eine kanonische Basis hl,...,hg von
F(R, ~(K)) mit o K (hj)=2(j-1) , j=1 ,. ..,g, so dab h2 die Bedingung erfGllt. Ist R nicht hyperelliptisch, so ist g~3 und man w~hle einen Nicht-WeierstraBpunkt ~ R . eine kanonische Basis hj, j=1 .... ,g, mit o
Es gibt dann
(hj)=j-1, und h 3
erfGllt die Behauptung. Es sei L das zu dem Divisor yQ gehSrende GeradenbGndel. L hat einen holomorphen Schnitt s, d e r n u r und zwar v o n d e r h| I
in yo verschwindet,
Ordnung I. Die meromorphen Schnitte
in K ~ L -i, i=I,2, sind wegen
s-~ nichttrivial. Da die Paarungen
H I (R, O ( L i ) ) • F(R, (9(K|
~ o
(h)=2 holomorph und
G
r(R,O(L t)).
t=o Umgekehrt gibt jeder Schnitt aus F(R, ~(Lt)),t ~O, Anlab zu einer holomorphen Funktion auf ~. Insbesondere liefert ss O(L)) die durch
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RIEMENSCHNEIDER
flp -I (Ui)=f i(y)U i definierte holomorphe Funktion. Wir zeigen jetzt: f i s t nicht zu einer holomor~hen Funktion F ~ F (Z, ~ ) for tsetzbar. W~re dies n~mlich der Fall, so g~be es Funktionen Fi=Fi(Y,Ui,S)~F(Zi, ~Zi~) mit fji(Y)U i Fi(Y'Ui'S)=Fj(y'~-gij(y)ui s' s) und Fi(Y,Ui,O)=fi(Y)U i. Wir entwickeln dann F i in eine Potenzreihe F i(y,ui,s)=ZFk(~)ui k s ~ mit holomorphen Funktionen Fk(i~)EF~Ui, ~ R ) . Es folgt dann K,A
(J)s1 + ~ fT+K'IhF(J)-< T K+T I+T =~---~ FOI ~ K-I j
