BILANGAN DAN PERBANDINGAN KEEMASAN. (Al. Krismanto, M.Sc.)
Pengertian. Untuk mengenal persegipanjang keemasan, marilah kita bahas
masalah ...
BILANGAN DAN PERBANDINGAN KEEMASAN (Al. Krismanto, M.Sc.)
Pengertian Untuk mengenal persegipanjang keemasan, marilah kita bahas masalah berikut. Gambar 1 (i) adalah sebuah ruas garis AB, yang oleh adanya sebuah titik P1 di antara A dan B panjang ruas garis itu terpotong menjadi dua bagian tidak sama panjang AP1 dan PB, AP1 > P1B, sedemikian sehingga:
AB : AP1 = AP1 : P1B A
P1
B
P1
B
(i) P3
A
P2
(ii)
Gambar 1
Kemudian jika pada bagian yang panjang dilakukan hal yang sama, yaitu ditentukan titik P2 sedemikian sehingga AP1 : AP2 = AP2 : P2P1, ditentukan titik P3 sedemikian sehingga AP2 : AP3 = AP3 : P3P2, dan seterusnya, maka diperoleh: AB : AP1 = AP1 : P1B = AP1 : AP2 = AP2 : P2P1 = AP2 : AP3 = AP3 : P3P2 dan seterusnya. Perbandingan yang demikian dinamakan perbandingan keemasan atau golden ratio. Nilai yang menyatakan hasil pembagian kedua panjang ruas garis dinamakan bilangan keemasan (golden ratio), Berapakah nilainya? Misalkan AP : PB = x : 1, maka AB : AP = (x +1) : x x : 1 = (x + 1) : x ⇔ x2 = x + 1 ⇔
x2 – x – `1 = 0
⇔
x = 1± 1+ 4 2
Karena x > 0 maka x = 1+ 5 2
Dalam bentuk desimal 1+ 5 = 1 (1 + 2,23606797749979…) =1,61803398874989… 2
2
Untuk nilai pendekatan sampai 9 tempat desimal φ = 1,618033989, nilai yang dapat Anda peroleh dengan menggunakan 10 angka (digit) dengan kalkulator 10 digit. Bilangan keemasan (golden number) dan dilambangkan dengan φ (phi), huruf pertama pematung terkenal zaman kejayaan Yunani kuno Phidias. Jadi AB : AP = AP : PB = 1+ 5 : 1 atau (1 + √5) : 2, suatu perbandingan dalam bentuk bukan 2
bilangan bulat.
Sebaliknya, AP : AB = 1 : 1+ 5 . Nilai perbandingan tersebut = 1 : 1+ 5 = 2
2 1+ 5
=
2 5 +1
=
2 5 +1
5 −1
×
5 −1
=
2
1 1+ 5 2
=
5 −1 = 1 (2,23606797749979 – 1) = 2 2
1 (1,23606797749979) = 0,61803398874989…. Dibulatkan sampai 9 tempat desimal menjadi 2
0,618033989 Jika nilai kebalikan φ yaitu 1 = φ
5 −1 dilambangkan dengan φ′, maka φ′ ≈ 0,618033989. Dari 2
nilai-nilai tersebut dapat dinyatakan bahwa: φ = 1 + 1 atau φ = 1 + φ′ φ Perhatikanlah nilai-nilai berikut: φ = 1+ 5 2
φ2 = 1+ 5 × 1+ 5 = 1 (6 + 2√5) 2
2
4
= 1 (3 + √5) 2
= 1 (2 + 1 + √5) 2
= 1 + φ ………………. (*) 3
2
φ = φ × φ = (1 + φ) × φ
= φ + φ2 = φ + 1 + φ (berdasar (*)) = 1 + 2φ ……………….(**)
φ4 = φ3 × φ = (1 + 2φ) × φ
= φ + 2φ2 = φ + 2(1 + φ) (berdasar (*)) = 2 + 3φ
5
4
φ = φ × φ = (2 + 3φ) × φ
= 2φ + 3φ2 = 2φ + 3(1 + φ) (berdasar (*)) = 3 + 5φ
Secara singkat dapat ditulis: 1 =1 φ
=φ
2
=1+φ
3
φ
= 1 + 2φ
φ4
= 2 + 3φ
φ5
= 3 + 5φ
φ
Ruas kiri merupakan barisan geometri dengan suku awal 1 dan rasio φ, sedang ruas kanan merupakan barisan dua langkah (bentuk umum dari barisan Fibonacci), dengan suku pertama 1 dan suku kedua φ. Keduanya menunjuk pada nilai-nilai yang secara berpasangan senantiasa sama. Jadi barisan di atas merupakan barisan khusus, yaitu barisan geometri yang sekaligus merupakan barisan dua langkah (Fibonacci).
Tips: Tahukah Anda bahwa
AB AC AD = = = φ? BC AB AC
Pentagram keemasan yang digunakan dalam lambang A KETUHANAN YANG MAHAESA (digunakan juga sebagai bagian dari banyak bendera negara) dulunya dikenal sebagai lambang kedewaan. Perbandingan keemasan dulu juga dikenal sebagai perbandingan kedewaan.
B
C
D
