Calculation of tunneling rates across a barrier with continuous ... - arXiv

Calculation of tunneling rates across a barrier with continuous potential     Sina Khorasani  School of Electrical Engineering, Sharif University of Technology  April 9, 2011    Here,  approximate,  but  accurate  expressions  for  calculation  of  wavefunctions  and  tunneling  rates  are  obtained using the method of uniform asymptotic expansion [1‐3].    Suppose that a classically forbidden potential barrier exists across  , where the wavenumber  0 with Im 0. If the governing equation is given as   is pure imaginary, or    0    then an approximate forward (left‐to‐right) tunneling rate from the region   to   may be found  using the approximate solutions of the Schrödinger’s equation based on Airy’s functions of the first and  second kind. The un‐normalized forward‐propagating Schrödinger’s wavefunction   is     1   3 2

 

  Here,  ·  is the Airy’s function of the first kind. This solution tends to decay for  , but blows up to  infinity  while  approaching  .  To  resolve  the  problem,  we  select  a  mid‐point    such  as  ,  and for the region   write down    1   3 2

 

  Here,  ·  is the Airy’s function of the second kind. This solution similarly tends to decay for  blows up to infinity while approaching  .    Now, for the particular choice of     3 2   we can write down   

3 2

 

, but 

    in which    1

1

lim

 

√9Γ 1

lim

1 1 1

  where we have made use of the facts [4] that    0 0   and    lim

lim

√3Γ √

 

√

 

1 √9Γ 1 √3Γ

 

1

 

  1

 

√ lim

 

 

1

lim 1

√

 

  This helps us to simplify the tunneling rate as    3

 

  It  is  here  furthermore  possible  to  simplify  the  tunneling  rates  using  the  appropriate  asymptotic  expansions of Airy functions as    1 2 exp , 0  3 2 √

1 √

exp

2 3

,

0 

  Noting the fact that Im 0 within the classically forbidden region  forward tunneling rate given as    3 4

exp 2

, this results in the 

 

  This  equation  may  be  considered  to  be  sufficient  for  most  practical  purposes.  Comparing  to  the  usual  expression obtained from WKB expansions, we have    |WKB

exp 2

 

  It is also noteworthy to mention that the approximate solution for the classically allowed region where  0 is simply given by    1     so that a uniform solution can be written down as    1

sgn

 

  with sgn ·  being the Sign function. Therefore, a general approximate solution to the wave equation is       1 sgn   1

sgn

 

  where are   constants determined by boundary or initial conditions.    References:  [1]  C. Chester, B. Friedmann, and F. Ursell, An extension of the method of steepest descents, Proc.  Camb. Philos. Soc. 53, 599‐611 (1957).   [2]  N.  Bleistein  and  R.  A.  Handelsmann,  Asymptotic  expansions  of  integrals,  Holt,  Rinehard,  and  Winston, New York, 1975.  [3]  W. P. Schleich, Quantum Optics in Phase Space, Wiley‐VCH, Berlin, 2001.   [4]  M.  Abramowitz  and  I.  A.  Stegun,  eds.,  Handbook  of  Mathematical  Functions  with  Formulas,  Graphs, and Mathematical Tables, Dover, New York, 1965.