Closed-Loop Dynamic Parameter Identification of ... - SAGE Journals

ARTICLE International Journal of Advanced Robotic Systems

Closed-loop Dynamic Parameter Identification of Robot Manipulators Using Modified Fourier Series Regular Paper

Wenxiang Wu1,*, Shiqiang Zhu1, Xuanyin Wang1 and Huashan Liu2   1 State Key Laboratory of Fluid Power Transmission and Control, Zhejiang University, Hangzhou, China 2 College of Information Science and Technology, Donghua University, Shanghai, China * Corresponding author E-mail: [email protected]   Received 09 Jan 2012; Accepted 01 Apr 2012 DOI: 10.5772/45818 © 2012 Wu et al.; licensee InTech. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract  This  paper  concerns  the  problem  of  dynamic  parameter  identification  of  robot  manipulators  and  proposes  a  closed‐loop  identification  procedure  using  modified Fourier series (MFS) as exciting trajectories. First,  a static continuous friction model is involved to model joint  friction  for  realizable  friction  compensation  in  controller  design.  Second,  MFS  satisfying  the  boundary  conditions  are  firstly  designed  as  periodic  exciting  trajectories.  To  minimize  the  sensitivity  to  measurement  noise,  the  coefficients  of  MFS  are  optimized  according  to  the  condition  number  criterion.  Moreover,  to  obtain  accurate  parameter  estimates,  the  maximum  likelihood  estimation  (MLE)  method  considering  the  influence  of  measurement  noise  is  adopted.  The  proposed  identification  procedure  has  been  implemented  on  the  first  three  axes  of  the  QIANJIANG‐I  6‐DOF  robot  manipulator.  Experiment  results  verify  the  effectiveness  of  the  proposed  approach,  and comparison between identification using MFS and that  using  finite  Fourier  series  (FFS)  reveals  that  the  proposed  method achieves better identification accuracy.   

Keywords  closed‐loop  identification,  robot  dynamics,  friction, exciting trajectories  www.intechopen.com

1. Introduction     Recently,  robot  manufacturers  have  increased  development  efforts  towards  new  applications,  e.g.,  machining,  laser  welding,  laser  cutting  and  multi‐robot  collaboration  [1],  which  puts  forward  new  performance  requirements  on  robots.  The  requirements,  which  mean  high  speed  and  high  precision,  can  be  satisfied  by  involving  advanced  model‐based  control  schemes  [2,  3].  Design  of  an  advanced  model‐based  controller  needs  an  accurate  knowledge  of  the  dynamic  model.  While  the  model structure of robot manipulators is well known, the  involved parameter values are not always available, since  dynamic  parameters  are  rarely  provided  by  the  robot  manufacturers  and  often  not  directly  measurable.  Therefore,  dynamic  parameter  identification  of  robot  manipulators  has  aroused  increasing  interest  from  researchers [4‐6].   

A  robot  manipulator  is  a  multi‐input  multi‐output  (MIMO)  system  with  coupling  effects  and  nonlinearities,  which  makes  the  identification  problem  particularly  complex.  Since  the  robot  manipulator  is  always  open‐

Int J Adv 2012,and Vol. 9, 29:2012 Wenxiang Wu, Shiqiang Zhu,Robotic XuanyinSy, Wang Huashan Liu: Closed-loop Dynamic Parameter Identification of Robot Manipulators Using Modified Fourier Series

1

loop  unstable,  a  closed‐loop  identification  procedure  is  needed,  in  which  the  robot  executes  specific  exciting  trajectories  through  closed‐loop  feedback  control.  An  identification  procedure  generally  consists  of  modelling,  exciting  trajectory  design,  data  measurement,  signal  processing,  parameter  estimation,  and  model  validation  [7],  where  exciting  trajectory  design,  measurement  accuracy, and parameter estimation method mainly affect  the identification accuracy [8]. With a review of previous  studies,  several  identification  approaches  have  been  proposed. Atkeson, et al. [9] developed a procedure using  a  fifth‐order  polynomial  trajectory  in  joint  space  as  exciting trajectory, and standard least squares estimation  (LSE)  was  adopted  as  the  parameter  estimation  method.  Armstrong  [10]  firstly  studied  the  optimization  of  the  exciting trajectories. He introduced the condition number  of  the  observation  matrix  as  a  measure  of  the  noise  immunity,  and  the  optimization  was  regard  as  a  nonlinear  optimization  problem.  Swevers,  et  al.  [11]  proposed a periodic exciting trajectory, parameterized as  finite Fourier series (FFS). The periodicity of FFS enables  continuous repetition of the identification experiment and  allows  time  domain  averaging  of  the  measured  data,  which improves the signal to noise ratio. This procedure  has an important effect on subsequent research. However,  the  boundary  conditions  are  not  satisfied  for  FFS,  which  makes  it  difficult  for  robots  to  track.  Considering  the  influence of measurement  noise, Olsen and Petersen [12]  proposed  the  maximum  likelihood  estimation  (MLE)  method  based  on  a  statistical  framework  for  parameter  estimation.  To  improve  the  measurement  accuracy,  Bingul  and  Karahan  [8]  used  a  motion  analysis  system  with  three  cameras  to  measure  the  robot  velocity  and  acceleration,  and  load‐cell  sensors  to  measure  the  joint  torques.  Different  from  the  identification  procedures  mentioned  above,  Qin,  et  al.  [5]  suggested  a  sequential  identification procedure. The friction, gravity, and inertial  parameters  were  identified  step  by  step,  while  an  accumulation  of  errors  may  occur  since  identification  errors were propagated from one step to the next.    In this paper, a closed‐loop identification procedure using  modified  Fourier  series  (MFS)  as  exciting  trajectories  is  developed. First, instead of the basic friction model that is  the combination of viscous and Coulomb friction, a static  continuous  friction  model  is  involved  to  model  joint  friction  for  realizable  friction  compensation  in  controller  design.  The  robot  dynamic  model  is  then  expressed  linearly  with  respect  to the  dynamic  parameter  vector  to  be  identified  (Section  II).  Second,  motivated  by  FFS  in  [11],  MFS  are  designed,  and  the  coefficients  of  MFS  are  optimized  using  genetic  algorithm  (GA)  (Section  III).  Moreover,  to  estimate  the  dynamic  parameters  accurately,  MLE  is  adopted  as  parameter  estimation  method  (Section  IV).  The  identification  experiment  and  model  verification  process  have  been  carried  on  the  first 

2

Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 29:2012

three  axes  of  the  QIANJIANG‐I  6‐DOF  robot  manipulator.  Experiment  results  verify  the  effectiveness  of  the  proposed  identification  procedure.  In  addition,  comparison  between  identification  using  MFS  and  that  using FFS reveals that the proposed approach can achieve  better identification accuracy (Section V).    2. Robot Dynamics    The  dynamics  of  a  rigid  serial  n‐link  robot  manipulator  with revolute joints can be written as   

M (q )q  C (q , q )q  G (q )  τ f  τ ,                     (1) 

 

where  qRn  denotes  the  joint  angle  vector,  M(q)Rn×n  represents the inertia matrix, C(q, q )Rn×n  represents the  centripetal‐Coriolis  matrix,  G(q)Rn  is  the  vector  of  gravity  effect,  τf  Rn  represents  the  friction  effect  and  τRn is the vector of input torque.    

Robot  manipulators  are  usually  actuated  by  motors  with  harmonic  drive  reducer  or  RV  reducer,  and  for  most  applications, it is sufficient to regard the robot joint friction  as  a  static  nonlinear  function  of  the  joint  velocity  with  Stribeck effect. Thus, the friction of joint i (i = 1,2 … n) is   

τ fi  [ f ci  ( f si  f ci )e

 qi / qsi



]  sign(qi )  f vi qi ,            (2) 

 

where fci is the level of Coulomb friction, fsi is the level of  stiction force,  qsi is the Stribeck velocity,   is an empirical  parameter which is dependent on the specific situation. ξ  can be equal to 2, but not necessarily, and fvi is the viscous  friction  coefficient.  As  shown  in  Fig.1,  this  model  is  discontinuous  at  zero  velocity.  Therefore,  we  cannot  use  this  model  for friction compensation  in  controller  design  since  it  would  be  sensitive  to  quantization  errors  and  measurement  noise  at  zero  velocity  and  may  excite  high  frequency  dynamics.  In  addition,  when  the  velocity  changes  direction,  the  sudden  jump  of  friction  compensation  can  never  be  delivered  by  the  motor.  To  solve this problem, the discontinuous friction model (2) is  approximated  by  a  continuous  function  (as  shown  in  Fig.1)  which  can  capture  the  essential  characteristics  of  friction and can be realized by the motor. Thus the static  continuous friction model can be obtained as   

f 20 10 0

q

-10 -20 -100

-50

0 � �

50

100

 

Figure 1. Joint friction model  www.intechopen.com

τ fi  Afi Ffi ( qi )  f vi qi ,                              (3) 

  where  Ffi( qi )  is  a  known  nonlinear  continuous  function,  Afi  is the unknown amplitude to be identified.     Dynamic  model  (1)  contains  kinematic  parameters,  inertial  parameters  and  friction  coefficients.  Kinematic  parameters,  i.e.,  link  lengths,  twist  angles,  and  link  offsets, are either provided by the robot manufacturer or  can be measured directly on the robot. Inertial parameters  are  rarely  provided,  but  can  be  identified  by  proper  procedures.  Inertial  parameters  of  the  ith  link,  including  link  masses,  first‐order  mass  moment,  and  link  moment  of inertia, can be defined by the following vector:    pi  [mi mi rxi mi ryi mi rzi I xxi I xyi I xzi I yyi I yzi I zzi ]T ,       (4)    where  mi  is  the  mass  of  the  link,  mirxi  ,  miryi  and  mirzi  are  the components of the first‐order mass moment, Ixxi , Ixyi ,  Ixzi , Iyyi , Iyzi , Ixzi are the components of the inertial tensor.  Friction  coefficients  are  also  unknown  and  need  to  be  identified.  Dynamic  model  (1),  excluding  friction,  can  be  formulated linearly with the inertial parameters [9]:    τ   (q , q , q) P  τ f ,                               (5)    where P=[p1T p2T … pnT]TR10n×1 is inertial parameter vector  with pi (i=1,2, … ,n) defined by Eq. (4). κ(q, q , q )Rn×10n  is  so‐called  regress  matrix,  and  elements  of  which  are  nonlinear  functions  of  joint  position,  velocity,  and  acceleration.  In  fact,  not  all  the  inertial  parameters  in  P  have an effect on the dynamic model, which means only a  part of them can be identified. The inertial parameters can  be  categorized  into  three  classes  [13]:  uniquely  identifiable,  identifiable  in  linear  combination,  and  unidentifiable. By eliminating those that have no effect on  the dynamic model and regrouping some others, we can  obtain  a  base  parameter  set  (BPS)  which  is  a  set  of  minimum number of identifiable inertial parameters [14].  It is proved that the dynamic model excluding friction is  linear with respect to BPS [15], thus we have    τ   (q , q , q) Pb  τ f ,                            (6)    where Pb Rp×1(p