Cours de THERMIQUE

COURS DE THERMIQUE

Ecole d‘Ingénieurs de Genève Séance N°5

Jean-Bernard Michel [email protected]

HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

© HES-SO - 2004

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7 séances

• • • • • • •

1 - Introduction et Généralités 2 - La conduction thermique 3 - L'équation de la chaleur 4 - Le rayonnement thermique 5 - La convection thermique 6 - Les échangeurs de chaleur 7 - Petite Classe d'application


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Transfert par conduction


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Transfert radiatif


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Transfert convectif


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Chauffage par convection


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Coefficient d'échange de chaleur par convection

d2Q : Quantité de chaleur qui traverse dS pendant le temps dt, en Joules dd (dQ ) (dQ ) Flux de chaleur, en Watt dt dt

d Q = h (T p − T∞ )dS dt 2

en W/(m2.K)


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Détermination du coefficient h

h dépend: • de la conduction entre les particules de fluide • du mélange de ces particules par suite du mouvement d'ensemble du fluide • l'échange de chaleur peut être accompagné d'un changement de phase


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Différents échanges convectifs

• • • •

échange thermique monophasique en convection forcée échange thermique monophasique en convection naturelle échange thermique accompagné d'ébullition échange thermique accompagné de condensation


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Convection forcée sans changement d'état

Le problème consiste à préciser l'expression du flux thermique Φ échangé entre le fluide extérieur à la température T∞ et une longueur unité de la surface du tuyau à la température Tp


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Flux thermique transféré par l'écoulement autour d'un tube

Flux transféré, en Watt

(

)

Φ = h Tp - T∞ π D

en W/(m2.K)


Ecart de température entre paroi extérieure et fluide à l'infini, en K

Surface d'échange par m de tuyau, en m2 11/ 64

Analyse dimensionnelle

8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ


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Analyse dimensionnelle

Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet de prévoir que la forme la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira:

F( π 1 , π 2 , π 3 , π 4 ) = 0 où les πi sont des groupements sans dimension de la forme:

π = D λ U ρ µ C h a


b

c ∞

d

e

f

g

(T

p

− T∞

)

i

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Equations aux dimensions des 8 grandeurs

D

U∞ ρ

µ

L, Longueur

1

1

-3

-1

1

2

0

0

M, Masse

0

0

1

1

1

0

1

0

T, Temps

0

-1

0

-1

-3

-2

-3

0

0

0

0

0

-1

-1

-1

1

θ, température


λ

C

Tp-T∞

h

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Dimension d'un groupement p

Définition d'un groupement π


b

c ∞

d

e

f

g

(T

p

− T∞

)

i

où a, b, c, d, e, f, g, i sont 8 paramètres inconnus HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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contribution de la Masse à la dimension du groupement π

b

rien

soit:


c ∞

d

rien

d

e

e

f

b

g

(T

p

rien

− T∞

g

)

i

rien

b+d+e+g=0 16/ 64


contribution de la Longueur à la dimension du groupement π

b

a

soit:


c ∞

c

d

-3d

e

-e

f

b

g

(T

p

2f

rien

− T∞

)

i

rien

a + b + c - 3d - e + 2f = 0 17/ 64


contribution du Temps à la dimension du groupement π

b

rien

soit:


c ∞

-c

d

rien

e

-e

f

-3b

g

(T

p

-2f

− T∞

g

)

i

rien

- 3b - c - e - 2f - 3g = 0 18/ 64


contribution de la Température à la dimension du groupement π

b

rien

soit:


c ∞

rien

d

rien

e

rien

f

-b

g

(T

p

-f

-g

− T∞

)

i

i

-b-f-g+i=0 19/ 64

Dimension d'un groupement p

[π ] = [ M ]

b+d +e+g

[ L]

a + b +c-3d -e+2f

[ T]

-3b-c-e-2f -3g

[θ ]

-b-f -g+i

Chacun de ces termes en exposant doit être nul HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Groupements p sans dimension

b+d+e+g=0 a + b + c- 3d - e + 2f = 0 - 3b - c - e - 2f - 3g = 0 -b-f -g +i = 0

4 conditions pour que qu'un π soit adimensionnel mais 8 paramètres inconnus ! HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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(

π = D a λ b U c∞ ρ d µ e C f h g Tp − T∞

)

i

4 des 8 paramètres peuvent être choisis de manière arbitraire

g=1

Pour obtenir une loi de la forme h = f ( . . .)

c=d=0

Le groupement π trouvé ne dépendra pas de l'énergie cinétique du fluide ρU2

i=0

Le groupement π trouvé ne dépendra pas de l'écart de température Tp - T∞


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Résolution du système déterminant le premier groupement adimensionnel p

Avec g = 1 et c = d = i = 0 b+d+e+g=0

b + e = -1

a + b + c- 3d - e + 2f = 0

a + b + 2f - e = 0

- 3b - c - e - 2f - 3g = 0

- 3b - e - 2f = 3

-b-f -g +i = 0

-b-f = 1

a=1 HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

b=-1

e= 0

f=0 23/ 64

Nombre de Nusselt Nu

(

π = D a λ b U c∞ ρ d µ e C f h g Tp − T∞ Avec : a=1

g = 1 et : b=-1

c=d=i=0 e= 0

f=0

π1 = N u = HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

)

i

hD

λ 24/ 64

Signification du Nombre de Nusselt Nu

Nu = Coefficient de convection h mis sous forme adimensionnelle Fconvecté = h ( Tp - T∞ ) ( DL ) Flux de référence = flux de conduction = λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]

Nu =

Fconvecté Flux de référence

=

= HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

h ( Tp - T∞ ) ( DL ) λ ( DL ) [(Tp - T∞) / D]

hD λ 25/ 64


b

c ∞

d

e

f

g

(T

p

− T∞

)

i


b=0 f= 0 g=0 i= 0


de manière à ne conserver que les caractéristiques de l'interaction fluide-obstacle créant le transfert de chaleur: ω celles du fluide: ρ , µ

ω celles de l'écoulement: U∞ , D 26/ 64

Nombre de Reynolds Re

(


)

i

Avec : b=f=g=i =0

ρU ∞ D π2 = Re = µ HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Signification du Nombre de Reynolds Re

Re =

Forces d'inertie Forces de viscosité

=

ρ U∞ D µ

Re caractérise la forme du profil de vitesse de l'écoulement fluide


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b

c ∞

d

e

f

g

(T

p

− T∞

)

i


a=0 c= 0 g=0

de manière à ne conserver que les caractéristiques du fluide:

ρ, µ, λ, C

i= 0


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Nombre de Prandtl Pr

(


)

i

Avec :

a=c=g=i =0

π HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

3

µ C = Pr = λ 30/ 64

Signification du Nombre de Prandtl Pr

Viscosité dynamique

Pr =

Diffusivité thermique

=

µ/ρ λ /ρC

=

µC λ

Pr compare les influences respectives: •

du profil de vitesse du fluide (viscosité)

•

du profil de température (diffusivité)

Pour les gaz usuels, Pr est voisin de 0.75 HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Influence de la diffusivité thermique a ∂ 2T 1 ∂ T = 2 a ∂ t ∂x


avec

λ a= ρc

dT proportionnel à a

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Conclusion de l'analyse dimensionnelle Le transfert de chaleur convectif implique une relation entre 4 nombres sans dimension

F( π1 , π2 , π3 , π4 ) = 0

F (Nu , Re , Pr , Ec ) = 0

Nu = h D

λ

Le quatrième groupement adimensionnel possible est le Nombre d'Eckert.

ρU∞D Re = µ HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

µC Pr = λ

Il n'intervient que dans la description d'écoulements proches de la vitesse du son. 33/ 64

Nombres dérivés • Nombre de Peclet: papport des flux thermiques par convection et par conduction

ρ .U .D µ .C p Pe = Re . Pr = . λ µ U .D Pe = a avec a, diffusivité thermique =

λ ρ .C p

• Il existe aussi les nombres de Stanton , Grashof, Froude, Weber, Rayleigh


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Loi de la convection forcée

F (Nu , Re , Pr) = 0 ou Nu = f (Re , Pr)

hD = f  ρ U ∞ D , µ C  λ µ λ  


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Écoulement dans un tube • •

Régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de diamètre intérieur D. Flux de chaleur dΦ échangé à travers l’aire latérale de paroi dS comprise entre les abscisses x et x + dx:

(

)

dΦ = h Tm - Tp π D dx


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Coefficient d’échange en régime turbulent

• •

Pour les nombres de Reynolds : 104 < Re < 1,2.105 Formule de Colburn – corrélation expérimentale:

1

N u = 0.023 Pr 3 R e

0,8

•

Conditions d’application: Le régime d’écoulement doit être parfaitement établi  x/D > 60

•

0,7 < Pr < 100.


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Régime turbulent non établi

• x/D < 60

0.7   1 D 0.8 N u = 0.023 Pr 3 R e 1 +      x  


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Régime laminaire • Re < 2000, • corrélations expérimentales de Lévêque, avec:

1

x V .D = A= R e Pr D α avec α =

λ ρ .C p

N u = 3.66

pour A > 0.05

N u = 1.06 A - 0.4 pour A < 0.05 HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Exemple d’application • Tuyau de diamètre D = 20 mm • Débit Q = 0,5 l/s d’eau à 50°C. • Déterminer le flux thermique transmis par convection du fluide vers la paroi, par mètre linéaire de conduite, dans le cadre des hypothèses suivantes: – – – –

Température d’entrée de l’eau constante; Paroi du tube assez mince - on néglige la conduction; Température extérieure = 15°C; Ecoulement parfaitement établi

• Propriétés physiques de l’eau: – – – –

Masse volumique à 50°C: Viscosité dynamique à 50°C: Conductivité thermique à 50°C: Capacité thermique massique à 50°C:


ρ = 988 kg/m3 µ = 0.55.10-3 Pa.s λ = 0.639 W/(m.°C) Cp = 4’184 J/(kg.°C)

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Résolution d'un problème de convection forcée

1 une géométrie 2

une dimension caractéristique L

3

L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide

4

La vitesse U∞ du fluide

5 HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

ρ , µ, C et λ du fluide 41/ 64

1 une géométrie

Exemple: Un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude.


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2

une dimension caractéristique L

Exemple: un tuyau de diamètre D = 20 mm


43/ 64

3

L'écart Tp - T∞ entre paroi et fluide

Exemple: Le tuyau transporte de l'eau à la température moyenne: Flux de chaleur Ecoulement

Tm = 50 °C alors que la paroi est à la température: Tp = 15 °C


44/ 64

4

La vitesse U∞ du fluide

Exemple: Le tuyau transporte un débit: Q = 0,5 l/s La vitesse moyenne de l'écoulement est alors:

1,6 m/s


Um = Q/S = 1,6 m/s

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5

ρ , µ, C et λ du fluide

Pour de l'eau: Masse volumique à 50°C:

ρ = 988 kg/m3

Viscosité dynamique à 50°C:

µ = 0.55.10-3 Pa.s

Conductivité thermique à 50°C:

λ = 0.639 W/(m.°C)

Capacité thermique massique à 50°C:

C = 4184 J/(kg.°C)


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Calcul du coefficient de transfert convectif h

hD = f  ρ U ∞ D , µ C  λ µ λ  

4

h HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

3

2

1 47/ 64

1 - Calcul du Nombre de Prandtl du fluide

-3

µ C 0.55.10 × 4184 Pr = = = 3.60 0.639 λ


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2 - Calcul du Nombre de Reynolds du fluide

ρ U m D 988 × 1.59 × 0.02 Re = = = 57124 -3 µ 0.55.10


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3 - Choix de la corrélation expérimentale Nu = f(Re, Pr)

Pour: et:

104 < Re < 1.2 x105 0,7 < Pr < 100

on applique la corrélation de COLBURN:

1

N u = 0.023 Pr 3 R e


0,8

50/ 64

Calcul du Nombre de Nusselt (Formule de Colburn)

N u = 0,023 Pr

1

3

Re

0,8

Pr = 10 Pr = 3,6 Nu = 224 Pr = 1 NR = 57124


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4 - Calcul de h

N u = 224 =

h=

λ Nu D


hD

λ

0.639 × 224 2 = = 7156 W/(m .°C) 0.02

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Calcul du Flux thermique transmis par convection

dΦ = h (Tp - T∞ ) π Ddx

(

)

dΦ W= = h Tm - Tp π D = 15.7 kW/m dx HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Ecoulement autour d’un tube

Pour un gaz : m

Nu = A ⋅ Re Pour un liquide : Nu = 1.11 ⋅ A ⋅ Re m ⋅ Pr 0.31 Re

A

1 < Re < 4

0.891

0.330

4 < R e < 40

0.821

0.385

40 < R e < 4.10 3

0.615

0.466

4.10 3 < R e < 4.10 4 0.174

0.618

4.10 4 < R e < 4.10 5 0.024

0.805


m

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Cas des échangeurs à tubes

N u = B ⋅ (R e )

0 .6

⋅ (Pr )

0 .33

Faisceau aligné : B = 0.26 Faisceau en quinconce : B = 0.33 HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Exercice d’application

• Calculer la longueur de tube nécessaire à un échangeur aireau • Températures • Air in = 800 °C • Air out = 40°C • Eau in = 15°C • Eau out = 40°C • Puissance moyenne fournie = 10 kW • Diametre du tube= 10 mm


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Ecoulement le long d’une plaque

Dans la sous - couche laminaire : dΦ d 2Q ∂ T  = = - λ ⋅  dS dS dt  ∂ n  n=0

(

)

d 2Q = h Tp - Tm dS dt

λ

∂ T h=[W / m 2 .° K ]   Tp - Tm  ∂ n  n = 0 HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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Cas d’une paroi plane – Régime laminaire

ρ Um L Re L = µ hL Nu L = λ

Régime laminaire Re < 2000 : 2 0 .5 0.33 Nu L = (Re L ) (Pr ) 3 Régime turbulent : Nu L = 0,036 (Re L )

0 .8


(Pr )

0.33 58/ 64

Convection naturelle: nombres de Grashof et de Froude Gr =

α .g.D.3 ∆T γ2

avec α = coefficient de dilatation volumique isobare du fluide

α =

1 ∂ v   v  ∂ T  p = cte

1 Pour un fluide parfait α = T ∆T g .D 3 Gr = ⋅ T γ2 Rapport entre forces de poussée ascensionnelle dues à une différence de température et forces de viscosité


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Nombre de Froude

2

U Fr = g .L • Rapport entre forces de viscosité, de gravité et d’inertie.


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Couche limite de convection naturelle

Gr =

α g ∆T ρ 2 L3 µ

2

Forces de gravité Par unité de volume

Gr =


α g ∆T  µ    ρ

2

1 L3

Forces de frottement visqueux par unité de volume 61/ 64

Convection naturelle laminaire et turbulente

N u = C (G r . Pr )n calculés à la température moyenne, fluide - paroi Laminaire : n = 1/4 Turbulent : n = 1/3


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Facteur de forme C Géométrie et orientation de la paroi Plaque verticale

Dimension caractéristique L Hauteur

C en convection laminaire

C en convection turbulente

0,59

0,13

(104 < Gr.Pr < 109)

(109 < Gr.Pr < 1013)

Cylindre horizontal Diamètre extérieur

0,53 (103 < Gr.Pr < 109)

0,10 (109 < Gr.Pr < 1013)

Plaque horizontale Largeur chauffant vers le haut Plaque horizontale Largeur chauffant vers

0,54 (105 < Gr.Pr < 2.107)

0,14 (2.107 < Gr.Pr < 3.1010)

0,27 (3.105 < Gr.Pr < 3.1010)

0,07 (3.1010 < Gr.Pr < 1013)

le bas


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Exemple d’application: mur ensoleillé

H=6 m L=10 m

Pr = 0.72 Gr = 5.61.1011

Tp = 313°K Ta = 293°K Tm = 303°K ρ = 1,149 kg/m3 λ = 0.0258 W/(m.K) µ = 18.4 10-6 Pa.s Cp = 1006 J/(kg.K)

Ra = 4.02.1011 Nu = 0.13.Ra 0.333 = 960 Nu.λ = 4.13 W/m 2 °K h= L HES-SO - Energétique ::: | convection | :::

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