This paper is devoted to the max-flow algorithm of the author: to its orig- inal version .... its current capacity c6 (9 ) = min@¢A c6 (e) B 0 is computed. Then, the flow ...... algorithm. Following is a brief review, cut before the push-relabel algorithm.
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`abcdefagc` hi jklj km n kokj pq i rp skttl usvr ktwpjix yz{|} oisi r p pq i jr ~rjpwtm ptmpkt kpo ktwpjir} oit nw npi p pq i krr p t kl p pq i qkrr jkss hir jpl
sp lrs
rrr op rrkt
sr p r qpj
i jr r
pjl r p} kl i pij q
jijl r
ntsm} ip
wi sikww kjtm hi ks pq i tk ip p svr ktwpji lkr nks p p
km kr ipo k jrp rjkt sp
tl
s rpiw i qpjj } oi okr ktpr prrnt npi p jkt knjpkl qjp i kl p
ntri knjpkl pj p sp
sk oi i r hir
rp ott stkj
kqj jr sprljw i ks kl nm i kjtm p rsippt pq sp
w kl ktwpjir hi qpttpow kslp rilr rp twi p ipo iwr oj lp i ipjtm kqj i ujp s
jkx qtt } k jsk kl k
rrk} oip ikl npi opjl p i ltp pq okpr} hi jsk krl ui mp
ltpl i pn} ipo oj mp
knt p jqpj r
si k pjp
r kp
pq sp
w oi mp
j ok sp
jrx hi
rrk jrpll u
rl nj ktwpjirx hir okr jkttm rp
rrk ikl k tpw jklp pq stts kiksr kllp} i
r
kt p ipl qpj kksw ikjl jpntr okr p spn jrr
j qjp i k
ipjr oi ptvr i
rkr i kt lsll p ltp i pn} km njwi kikskr} w} jkt tqkl kl m jr ki ksij} tklj jpjpl}
krl ij kikskt r
lr kl ltl ltm p i pt kjk pq sp
w him ik krrntl kr pq ktl pt} kl r
ssll hi kr sp
l p wjpo kl opj p i ipjm kl jkss pq sp
w hi r
jrpj pq m s irr okr pjw ltvrptvrm} p pq i qkijr pq p
j ss pw i r
lr ir wjp
k ik oj jpjpl ~p pq i q
j up
j
rrkrx} i qp
j k
ipjr pq y{} kjkp ~i q
j k
ipj pq @. #7-5 ":"!*/ #7! *!&!*!.,!5 :*! 9-4!. -. ,7*%.%A%9-,:A %*O!*$
i ~¡¢ opj po ktwpji y{ kl pij ktl rsippt
tr pq jpjpl hir okr £¤} tpw kqj i pn jp¥s ikl n sptl hi opj p i qp
lkpr pq i sirr jpwjk ukrrkx} sjkl nm njr pq jpjplvr k
lj i w
lks pq ltvrptvrm} okr ktpr ril¦ ukrrkx op i jr opjtl sikpri z ltvrptvrmvr o krrp nsk lrsj ktwpjir} oisi i qt ikl k wjk q
j hi q
lkkt spjn
p pq ltvrptvrm p sp
j rss okr §jr ¨ ~ kl
w §klr ~§
ntril i kj y{ knp
§jr} oisi sprrr pq ¥
r k qo kwr rlr rptw k pjk jpnt} jrl k njwi kjpksi p lkk rj
s
j kks it ir kjpksi nsk rklkjl i } okr rtt
po i r ©p jksp lktm qpttpol ij
ntskp}
t rjkt mkjr tkj kpij kj} kwr tpw} okr
ntril nm k jrkjsij ~
po p } oip
ljrppl ipo §jr opj kl tkl ir p i rj sp
m} r po tkw
kw s i} §jr kl i lkk rj
s
j kks kjpksi nsk spjjrpr pq sp
j rss } ltvrptvrmvr r
lr} knrpjnl i oipt kjklw pq i p sp
w rsippt qjp ir ts
jr hir kjklw sprrl pq kwjrr p ltp sppskt ktwp jir nkrl p i l rwkp pq k jpnt kl p i
r pq rkj lkk rj
s
j kks kl kpjl j
w kktmrr kr srrkjm sppr tt ir nsk
k
jkt qpj
r £¤} r mkjr nqpj i jr
ntskp i r p kpj l kktmrr nm hkj¥k yª{ ¨s} okr p r
jjrw ik m opj po ktwpji} l «k
kjm £} jpl i pjl¬
tjrp ktwpji nm
rw kl kkw k tkmjl opj lkk rj
s
j kl tpmw k ltsk kpjl kktmrr pq i j
w ¨poj} k ik } r
si k kjpksi okr jm
r
kt i r ip kl ~ir i i r
l tp k k i hsip ~¨kqk oj jm s
jp
r kl jw
l nm i op o opj po ktwpjir yz { kl ik pq tklj kjkp y{ z okr jm l®s
t qpj i p lsij ir op kjr ~ksi spjrrl p qp
j kwr} p i kw jrjsp pq i jrwp
r ¥p
jkt ptklm ¨poj} ip okr p
rl p ww
qj k ijlkm tpw ¯pj} kl k
ljrppl npi kjr} s qpj i tkmjl opj kks rr
hi wkr oj rkl nm
rw kjkpvr sps pq ntpsw po ~oisi okr ts m kj} kl nm k nk
q
t ktskp pq qpj lw ksi k
ww ki r ott po ik ip okr k stt ts
jj
jw i sp
t pq mkjr} jrl usvr ktwpjix ts
jr} oisi i wk km tklw jrkjsi
jrr pq i r hi jr
t okr pjk} i lk okr qjri} i ktwpji okr jm s} kl i spnkp pq qpj sprj
sw i tkmjl opj kl qpj pjkw okr qkrskw usvr ktwpjix okr k wjk r
ssrr kl wkl k tks i kktr pq i sp
j rss sp
m ¨kjltm kmp okr kokj ik i ktwpji} k
wi km
jrr rs i} r p i pjwkt jrp} kl ik k sprljknt kj pq i nk
m pq r po jrp°spnw kl °okr l
p i spjn
p pq kl k trp} r k okr jljl spjjstm kr yl{ rkl pq ylr{ hi pjwkt kj}
ntril k p ¥p
jkt} okr p
ljrppl ktrp nm pijr i r hir ktwpji kl km pij ksir pq i prspo rsippt pq ktwpjir i opj po kjk oj
ntril kr k npp y{ hir npp okr ott po ktt pj i qpjj } kl r
lr pq tklw p
jrr r
ll r spr kr k klksl sp
jr qj pj ik mkjr} i npp kkjl i r ~
rrk kl okr jol
wtri nm ptlnjw kl
rtl yª{ qo mkjr tkj} kttm tkl i pjwkt jrp pq m ktwpji} kr
ntril yz{} p ip hi jr pq i kj r lpl p i lrsjp pq m ktwpji kl r kjp
r jrpr kl p i ltp pq kpo ktwpjir qpttpow hi jrkp r k n llkss¦ ripor ik rjp
r kl lpl opj pokjlr kkt
ljrklw pq k ipp kl i nr tkp pq ktwpjir km njw pjk}
sl qj
r ± ²³´ µbg¶g`·¸ ¹g`gaº» ¼¸¶cbga³½ ¾¿À ÁÂà ÄÅÆÇÈÉÊË ÌÍÊÎÉÃÏ ÅÐÑ ÒÂà ÈÊÍÑÓÈÔÉÕÃÍÖÊÐ ×ÉØÊÍÙÒÂÏ ÄÅÆÇÈÉÊË ÌÍÊÎÉÃÏ §
r jsktt i kpo jpnt lp skkskl ljsl wjki Ú Û ~ÜÝÞ Ýß } oij ß r k pwk skksm q
sp p lwr} oi jsr à lrw
ril kr i rp
js kl á kr i r r w po r ll kr k q
sp p i ~ljsl lwr} â } rkrqmw i qpttpow op tkor ð ò ß~ð} kl ã äåæ åçèéê çëìíéîåèìé ïø ïðññÜÞù úà Ýòáûâ~üýþÿ â ~ø Ý üý ÿþ â ~ Ý ø Û ã óôëõ çëìíöî÷åéèëì hi
km üýþÿ â ~ø Ý üý ÿþ â ~ Ý ø r skttl i po qjp ø hi kt
pq k po â r ll kr i po qjp à ~oisi r
kt p i wkl po qjp á hi kr r p l k po pq i kkt kt
} skttl uk
pox ~r w
j k qpj tt
rjkp kttm} rp qkrnt po q
sp} â } r w} oisi r nm lqk
t i jp q
sp
a
b
1
1
1 0
s 1
1
t 1
0 1
s 0
G
c
0
1
t 1
0
s
t
Gf
G
M M : X Q%R .!#R%*T :.O : (:P-()( Q%R -. -#/ %& 4:A)! #7! .)(E!*5 O!.%#! Q%R5 -. !O9!5Y :AA !O9! ,:":,-#-!5 :*! = $ E X.%#7!* Q%R/ / -. 5:(! .!#R%*T/ %& 4:A)! =$ @. #!*(5 %& +!,#-%.5 :.O ?/ -5 Z(:P-(:A\ :.O ZEA%,T-.9\/ *!5"$ N7! O:57!O A-.! 57%R5 #7! ).- )! :)9(!.#-.9 ":#7/ / R7-,7 #7! Q%R %. #7! O-:9%.:A !O9!$ N7! *!5-O):A ,:":,-#6 -5 =/ :.O ")57-.9 #7! Q%R :A%.9 *!5)A#5 -. #7! :E%4! (:P-()( Q%R$ , N7! *!5-O):A .!#R%*T / R7!*! #7! *!5-O):A ,:":,-#6 %& :AA !O9!5 -5 =$ N7! ":#7 :5 -. E -5 #7! ).- )! ":#7 &*%( #% -. $
pij
kt r qpjl nm sprljw k po kr k öõ íê öéîèç q
sp p i kjr pq jsr spsl nm k tkr p lw i wí wjki pj r
si k kj ø Ý } q p pq i lwr no i r knr} Þ } o kll p Þ oi skksm kl po jp ~stkjtm} i jpnt jkr
kt km qkrnt po q
sp} â } o l i o q
sp â nm rw â ~ø Ý Û â ~ø Ý â ~ Ý ø qpj km lw ~ø Ý i ~ll Þ hir jjrr i pkt po qjp ø p p i kj pq lwr ~ø Ý kl ~ Ý ø pwij r krm p r ik â rkrr i qpttpow ij sprjkr
ï ~ø Ý ñ Þ â ~ø Ý ò ß~ø Ý } äåæ åçèéê çëìíéîåèìé ~ ï ø Û â ~ø Ý } kl öõ íê öéîê ïøÝ ñ ñÜ Þù úàâ Ý~áûÝ ø üýþÿ â ~ø Ý Û óôëõ çëìíöî÷åéèëì hi po qjp ø r ll i kr üýþÿ â ~ø Ý hp jj â qjp â
r i qpj
tk â ~ø Ý Û k ~ Ý â ~ø Ý ¦ jr
tr k qkrnt po q
sp ksspjlw p i pjwkt lp pi jkrqpjkpr i po kt
¨s}
rw km p pq i km n sprljl twkt rkm ik k lw ~ø Ý r } q â ~ø Ý r
kt p ß~ø Ý sktt i l¯js ß~ø Ý â ~ø Ý i ç îîöìé pj îöíèíåé îåéö skksm pq i lw ~ø Ý } kl lp nm ß ~ø Ý i pjwkt po lp jr}åôi jpjm pq nw rk
jkl r
kt p i spnl jpjm â ~ø Ý Û ß~ø Ý ¬ â ~ Ý ø Û } oit i jrl
kt skksm r
kt p ß~ø Ý â ~ø Ý â ~ Ý ø hi kw pq jrl
kt skksm r uipo
si km n klll p i po qjp ø p p lwr ~ø Ý kl ~ Ý ø pwijx¦ i qpj
tk
r i rrkt
kts no sjkrw i po ~ø Ý kl lsjkrw ~ Ý ø pi po jjrkpr kj oltm po¦ oit pjl kl
tjrp jpl
sl i jr p yª{} rp pq i p
tkj nppr} w yª{}
r i rspl p oik qpttpor} o
r i rormjs qpj pq por} oij i spsr pq rk
jkl lw kl jrl
kt skksm kj krj p iklt ©jitrr} qpj rtsm} o lp por nm jw
tkj §k tjr} w â } p â } kl tkkpr} o jqj â ~ø Ý kr i po p lw ~ø Ý ã ã ã
!
%
"
"
#
#"
$
ÈÊÍÑÓÈÔÉÕÃÍÖÊÐ Ö ×ÉØÊÍÙÒÂÏ hi stkrrs pjl¬
tjrp ktwpji yª{ lr k k
po
rw i qpttpow k
jkt lk k
ww i s
jj po jktm} nm
riw k kllpkt kp
pq po p k rwt rp
jsr ki k ksi jkp} kr tpw kr prrnt § â lp i s
jj po ki qjp à p á r rp
wi} r
si ik p pq r lwr r rk
jkl nm â ¦ r
si k ki r skttl uk
wwx i k k
ww ki} } r qp
l} r s
jj skksm ß ~ Û ß ~ð r sp
l hi} i po p jm lw pq r sjkrl nm ß ~ ~pq sp
jr} i spjjrplw
lk pq i rormjs po kt
r k i ppr lwr°lsjkrw i nm ß ~ °r kl kr ott¦ o ott p p ir} oik qpttpor r k jr
t pq ir jkp} i po kt
wjpor nm ß ~ kl k tkr p lw pq nspr rk
jkl pj tt
rjkp r w
j n pj sps rk} t
r l i îöíè åô ìöéõëî Ú Û ~ÜÝÞ } oij Þ sprrr pq ktt
rk
jkl lwr Þ ©po} k k
ww ki r rtm km ki Ú qjp à p á ~r w
j s tkjtm} r krm p l k k
ww ki} q rr} w Ú kl â ¥
r j
km rkjsi ktwpji ~w pj p Ú } qjp à r krm p r ik} kqj ksi jkp}
rw k k
wl ki } i sikw pq i jrl
kt opj r kr qpttpor tprr ktt i lwr pq oisi nsk rk
jkl kl ks
jr ktt i lwr ëææ ëíèéö p i lwr pq ik oj rk
jkl nqpj i jkp hi qkp
r ipj pq pjl kl
tjrp rkr ik oi p k
ww ki rr ~ á r lrspsl qjp à Ú } i s
jj po r k
tkjtm} q i kt lkk° skksr kl i kt po°r wj} i s
jj po jkr wj kl
kttm nspr k
hik r} i pjl¬
tjrp ktwpji ~isqpji} óó r kl r
lpptmpkt i wj skr pj i wjkt skr} pjl kl
tjrp jpll k kt pq k opj oi k s
p pq oisi j
r tm¦ pjpj} i po kt
spjwr k k åîéöî pq i kkt prrnt p p} i
rp pq i rs &
'
$ '
$ '
( )
$
*
'
$ '
$ '
'
#"
$
'
'
'
$
+
"
$
$
$
$
pq k ptmpkt} pj pq k pj spjww ktwpji} qpj i wjkt skr} jkl p hir okr rtl k®jktm nm « lplr kl kj y{ kl nm yz{} lltm hi ktwpjir r
wwrl ir kjr kj plskpr pq ¾¿¾ Å ÃÍÃÑ ÃÒËÊÍÕ ÅÒÅ ÒÍÔ ÒÔÍà ÊÍ × ÃÉÃÍÅÒÙÐØ ÒÃÍÅÒÙÊÐÖ Å ÃÍÃÑ ÃÒËÊÍÕ hi kt p pq i k
ipj pq yz{ okr ¥
r p ksstjk jkpr pq nm kr pq k rkj lkk rj
s
j sktt ik ktt i kjr pq k jkp pq } s qpj lw k k
ww ki} } spr jppjpkt p i twi pq } ik r ~ Û ~ Ü ll} ktt sp
kpr kl
lkr kj kl ktpw } oit i jklj pq i lkk r p p
sil ¨poj} i rkjsi j
w p Ú sprr ~ Þ ¦ p km rkm ~ Þ } ksspjlw p i rkjsi ktwpjir ©ps ik ~ Þ r} wjkt} r
nrkkttm pj ik ~ pj ~ Ü } kl r ~ Ü i wjkt skr p} lw k k
ww ki r i sp
kpkt npts pq k jkp pq ott
r qjp à kr i opj rskw kl ki rkjsi ktwpji sktt ik krrwr p ksi j jksiknt qjp à r lrks ~i
nj pq lwr i ripjr ki qjp à} kl n
tlr k j jppl k à} oij i rwt lw spw ksi j} s qpj à rtq} spr qjp k j k i lrks trr nm p ripjr ki qjp à p á r jrpjl kr i sik pq r
si spw lwr} nww qjp á §
r jm p rk i qpjkp ksil k k j
qpj i qpttpow jkpr ©ps ik k tkr p lw pq i j} tmw p i ki qjp à p á} r rk
jkl k i jkp} rp
r n jkrl qjp i j hi
r} à kl á nsp lrspsl ir j} kl ij kj p krm kr p sps i kwk
rw
rk
jkl lwr pj tt
rjkp r w
j ªk}n §
r jm p jsi i lkk rj
s
j oit n
tlw ©ps ik kjjkwr jsr p tkmjr} ksspjlw p ij lrks qjp à hi j st
lr ptm i îíé ö ö ë ì } tklw p ksi j qjp i jp
r tkmj¦ wpjr ktt pij lwr spw p qjp ik tkmj} ip
wi im km n p trr
rq
t ik ik jr lw hi lk r p åôô é ëíö ö öí p
j lkk rj
s
j nw oi rp lpr qpj k kjnjkjm lwjki pj k lw ~ø Ý } i j ø r skttl r éåèô kl r öå § k rp
js j à n w § àá ~ø Ý lp i lrks p k j qjp j ø¦ o lp àá ~ø Û àá ~à Ý ø § i é ÷öîéö ôåêöî Ü Þ n i r n i r pq jsr oi àá ~ø Û ~oij Ü Û úàû} kl i é ö ö ôåêöî pq ktt i lwr pq wpw qjp Ü | p Ü l ~à kr i lwjki ~ Ü Ý Þ ©ps ik k rjkwiqpjokjl rp pq n
tlr ~à} oi i rk j
w ~ Þ kr ik pq i jw
tkj ¦ oik qpttpor o sktt ui ll x r krm p r} nm i jpjr pq } ik ~à èí é ö ìèëì ë åôô é ö ÷öîéèçöí åì ö öí ë åôô í ëîéöíé æ åé í îë à èì pj tt
rjkp r w
j ªs s o kj jrl ptm i kir qjp à p kpij w j} á} t
r j
~à p ~à Ý á} kr yz { hi opj ~à Ý á spkr tkmjr} oij Û àá ~à Ý á r skttl r ôöì é hi jsr pq r i tkmj} Ü } kj sikjksjl nm k lp
nt jpjm im kj k lrks qjp à} oit á r k lrks qjp i hi i tkmj pq r lwr} Þ } sprrr pq ktt i lwr pq wpw qjp Ü p Ü hi j
w pq ~à p ~à Ý á r krm o ¥
r j
i ll ps pj} n
ëì| ~à îë á íèì é ö ëææ ëíèéö ö ö èîöçéèëì pj tt
rjkp r w
j ªl hi tkmjl r
nwjki ~à Ý á r i
p pq ktt i jsr kl lwr jrlw p ktt äôåèripjr i kir qjp à p á , -
, -
.
/
0
1
2
11
3
.
'
4' 4
5 4
4
'
4
' 4 4
4
5 4
4' 4
4
4
4
46
4
7
:
#8 9 " #
#8
;
:
#
4
4% 4
4
4
x
4
AC
3
4
4
4
' f g h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