Fundamentos da PESQUISA OPERACIONAL - Unifal-MG

Andréa Cardoso

Fundamentos da PESQUISA OPERACIONAL

UNIFAL-MG Fevereiro 2011

´ SUMARIO

1 Conhecendo a Pesquisa Operacional

4

1.1

Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Primeiros Exemplos e Aplica¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Programa¸c˜ ao Matem´ atica

24

2.1

Modelos de Otimiza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Problemas de Programa¸caõ Matemática

2.3


3 Programa¸c˜ ao Linear

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

44

3.1

Estrutura¸caõ de Modelos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2

Resolu¸caõ Gráfica de um PPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

3.2.1

Representa¸caõ Gráfica das Restri¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2

Representa¸caõ Gráfica da Fun¸caõ Objetivo . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.3

Solu¸cões do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


4 Resolu¸c˜ ao de PPL

64

4.1

Estrutura¸caõ de Modelos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2

Fundamenta¸caõ Teórica

4.3


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

5 O M´ etodo Simplex

79

5.1

Fluxograma para solu¸co˜es finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2

Análise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3


5.4


CAPÍTULO

1 CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

O termo Pesquisa Operacional (PO) designa uma a´rea do conhecimento que consiste no desenvolvimento de métodos cient´ıficos de sistemas complexos, com a finalidade de prever e comparar estratégias ou decisões alternativas, cujo objetivo é dar suporte a` defini¸caõ de pol´ıticas e determina¸caõ de a¸co˜es. O trabalho do matemático russo Leonid Kantorovich de 1939 intitulado “Métodos matemáticos na organiza¸caõ e no planejamento de produ¸caõ” é considerado um dos precursores da PO, porém manteve-se desconhecido da comunidade cient´ıfica ocidental até 1959. O próprio termo Pesquisa Operacional, do inglês Operations Research, foi cunhado pelo matemático russo na tentativa de englobar, sob uma u ńica denomina¸caõ, todas as técnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que tinham o mesmo objetivo citado. De fato, o termo PO designa um conjunto de disciplinas isoladas tais como Programa¸caõ Linear, Teoria das Filas, Simula¸cão, Programa¸caõ Dinâmica, Teoria dos Jogos, dentre outras. A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a Segunda Guerra Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de metodologia para solu¸cão de problemas relacionados com as opera¸co˜es militares quando os Aliados se viram confrontados com problemas complexos de natureza log´ıstica, tática e de estratégia militar. Para apoiar os comandos operacionais na resolu¸cão desses problemas foram criados grupos multidisciplinares compostos por matemáticos, f´ısicos, engenheiros e cientistas sociais. O que esses cientistas fizeram foi aplicar o método cient´ıfico, que tão bem conheciam, aos problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram então a idéia de criar modelos 4

5 matemáticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias bem como propor decisões alternativas. Em 1941 a Inglaterra inaugura a Se¸cão de Pesquisa Operacional do Comando da For¸ca Aérea de Combate para trabalhar com problemas de opera¸cões de guerra, manuten¸cão e inspe¸caõ de aviões, melhoria da probabilidade de destrui¸cão de submarinos, controle de artilharia antiaérea, dimensionamento de comboios de frota, entre outros. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram tão grandes que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o vertiginoso crescimento econômico que se seguiu, se viram também confrontadas com problemas de decisão de grande complexidade. Em 1947 os Estados Unidos implantam o projeto SCOP (Scientific Computation of Optimal Programs) com o objetivo de apoiar decisões de opera¸co˜es da for¸ca aérea americana, coordenado por um economista e por um matemático George Dantzig que desenvolveu e formalizou o Método Simplex para resolver problemas de otimiza¸caõ linear. Face ao seu caráter multidisciplinar, atualmente as contribui¸cões da PO estende-se por praticamente todos os dom´ınios da atividade humana, da Engenharia a` Medicina, passando pela Economia e à Gestão Empresarial. Os ramos mais importantes desenvolvidos em PO são: Programa¸c˜ ao Matem´ atica

Outros Ramos

X Programa¸caõ Linear

X Análise Estat´ıstica

X Programa¸caõ Não Linear

X Teoria dos Jogos

X Programa¸caõ Dinâmica

X Teoria das Filas

X Programa¸caõ Inteira

X Simula¸cão

X Otimiza¸caõ Global

X Gestão de estoques

Resumidamente podemos dizer que o objetivo principal da PO é determinar a programa¸caõ otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e métodos quantitativos para tratar de forma sistematizada problemas que envolvam a utiliza¸caõ de recursos escassos. Para apoiar a tomada de decisão, a PO busca a solu¸caõ de problemas que podem ser representados por modelos matemáticos. De modo geral, para a resolu¸caõ de um problema, um estudo de PO é desenvolvido em fases como indicado no esquema abaixo.

CAPÍTULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

6

Figura 1.1: Passos para implementa¸cão de PO

Identificado o problema a ser estudado, a fase de formula¸c˜ ao consiste na estrutura¸caõ dos dados e informa¸cões dispon´ıveis, a próxima fase de modelagem concentra-se na constru¸caõ do modelo que é uma representa¸cão simplificada do sistema, em geral descrito por um conjunto de equa¸co˜es e desigualdades matemáticas. A solu¸c˜ ao é obtida através de um método que pode ser um procedimento matemático ou algoritmo para alcan¸car o resultado. A avalia¸c˜ ao consiste na valida¸caõ do modelo, nesta fase ajustes podem ser feitos. A decis˜ ao é a escolha e operacionaliza¸caõ da solu¸caõ encontrada. As fases de formula¸caõ e modelagem do problema devem ser executadas com muita ´ muito dif´ıcil encontrar uma solu¸cão certa para um problema mal responsabilidade pois “E formulado!”.

1.1

Modelos Matem´ aticos

Observar, compreender, reproduzir e aprimorar fenômenos, que podem ser naturais, sociais ou econômicos, tem sido desde sempre uma preocupa¸caõ básica da Ciência. Eventualmente tais fenômenos podem ser controláveis e haverá então condi¸cões de realizar previsões com pequeno n´ıvel de incerteza, para tanto é necessária a constru¸cão de modelos que são representa¸cões idealizadas para tais fenômenos, processos ou sistemas. Um modelo descreve, representa e imita o procedimento que ocorre no mundo real, estabelecendo o relacionamento das variáveis com os objetivos, da melhor maneira poss´ıvel, obedecendo à limita¸caõ de tempo e de custo. Os modelos podem ser assim classificados:

´ 1.1. MODELOS MATEMATICOS

7

verbais: quando são descritos e representados por palavras e senten¸cas. f´ısicos: quando representados por algum tipo de material concreto, alterando-se suas dimensões, formato e custo. Por exemplo: maquetes e protótipos. esquem´ aticos: quando descritos por meio de gráficos, tabelas ou diagramas. matem´ aticos: quando representados por rela¸co˜es matemáticas, como equa¸cões, inequa¸co˜es, fun¸cões ou lógica simbólica. Um modelo matemático é uma representa¸caõ simplificada de uma situa¸cão real e deve refletir a essência do problema, representando as grandezas envolvidas por variáveis e as rela¸co˜es de interdependência existentes entre elas por expressões matemáticas. Esquematicamente, um modelo matemático pode ser visto como uma Caixa Preta, representando as rela¸co˜es que descrevem a dependência das variáveis, que recebe a entrada formada pelas variáveis do problema que se quer otimizar e processa essas informa¸co˜es para produzir a sa´ıda que é a solu¸cão do problema ou resultado da decisão.

Entrada

Modelo Matemático

Saída

O modelo mais adequado depende de vários fatores: a natureza das rela¸co˜es entre as variáveis, os objetivos almejados, a extensão do controle sobre as variáveis e o n´ıvel de incerteza existente tanto nas rela¸co˜es entre as variáveis como na própria defini¸caõ das variáveis. Para cada conjunto de situa¸cões espec´ıficas o modelo matemático, doravante denominado somente modelo, deverá ter uma forma padronizada e a solu¸cão poderá ser obtida por métodos matemáticos espec´ıficos para cada caso, que serão estudados posteriormente. De maneira geral, um problema de tomada de decisão requer solu¸caõ que responda a três perguntas: 1. Qual é a meta a ser atingida?

(objetivo)

2. Quais são as alternativas para a decisão?

(vari´ aveis de decis˜ ao)

3. Sob quais condi¸co˜es a decisão deve ser tomada? (restri¸c˜ oes)


8

1.2

Primeiros Exemplos e Aplica¸ co ˜es

Nesta se¸caõ serão apresentadas os primeiras formula¸co˜es de problemas de otimiza¸caõ como aux´ılio na tomada de decisão, para serem analisados, modelados e, exceto o sexto exemplo, resolvidos. Os três primeiros exemplos são bem simples e podem ser resolvidos intuitivamente ou por enumera¸caõ não necessitando de modelos matemáticos formais. O quarto problema requer o uso de planilhas eletrônicas para realizar simula¸co˜es de maneira mais rápida e eficaz. O quinto problema necessita de conhecimentos prévios de Cálculo Diferencial. O sexto exemplo, é um pouco mais complexos e necessita de modelos matemáticos estruturados de Programa¸cão Matemática assunto do cap´ıtulo seguinte cujas técnicas de resolu¸caõ serão estudadas no cap´ıtulo 3. Finalmente, o sétimo exemplo apresenta um problema clássico da Teoria dos Jogos e suas implica¸co˜es. . . . Exemplo 1.1. O problema da dona-de-casa

1

Considere a situa¸caõ em que uma dona de casa precisa decidir entre comprar manteiga ou margarina para o consumo da fam´ılia. Ela vai seguir intuitivamente um racioc´ınio lógico através do qual procurará alinhar as vantagens e desvantagens de cada alternativa, segundo seus critérios de decisão. De in´ıcio, a dona de casa irá identificar as diferen¸cas entre os produtos segundo vários fatores que poderiam ser tomados para compara¸cão como: o custo, o sabor, a durabilidade, a consistência quando gelado, os efeitos para sa´ ude, dentre outros. Para simplificar, ela se limitará a avaliar apenas os itens que considera mais importantes: custo, sabor e efeitos para a sa´ ude. Esses serão os critérios para a tomada de decisão da dona-de-casa. As consequencias de cada alternativa serão: 1. Comprando manteiga, a dona-de-casa • gasta mais dinheiro; • agrada a fam´ılia; • põe em risco a fam´ılia devido ao teor mais alto de colesterol. 2. Comprando margarina, a dona-de-casa • economiza dinheiro; • desagrada a fam´ılia; • não coloca em risco a sa´ ude da fam´ılia. 1

Extra´ıdo de Andrade, 2004

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

9

Dependendo do peso que atribuir a cada consequencia, a dona-de-casa poderá chegar a uma conclusão. Se, por exemplo, a restri¸caõ da fam´ılia for dinheiro, a decisão que lhe parecerá melhor será comprar margarina. . . . Exemplo 1.2. Problema da travessia do rio Imagine que você esteja a margem leste de um rio juntamente com três amigos Felipe, João e Kelly. Vocês querem atravessar para a margem oeste e dispõem de um u ńico meio de locomo¸caõ, uma canoa que pode levar no máximo duas pessoas por vez e não pode ir nem voltar vazia. Você tem constitui¸cão mais atlética e pode atravessar o rio a remo em 1 minuto, enquanto Felipe, João e Kelly levam 2, 5 e 10 minutos, respectivamente. Se houver duas pessoas na canoa, o tempo da travessia será a média dos tempos que seriam gastos individualmente. Após duas travessias seguidas a pessoa fica cansada e leva o dobro do tempo para atravessar o rio. Como é mais conveniente realizar a travessia de modo que os quatro estejam do outro lado do rio no menor tempo poss´ıvel? As seguintes alternativas podem ser consideradas: 1. Ir você e Felipe, você volta pega João, você volta e pega Kelly. 2. Ir você e Felipe, Felipe volta pega João, você volta e pega Kelly. 3. Ir você e Felipe, você volta vai João e Kelly, Felipe volta e pega você. Calculando os tempos gastos em cada uma das alternativas, temos: T1 =

1, 5 + 1 + 3, 5 + 2 + 6

T2 =

1, 5 + 2 + 4, 5 + 1 + 5, 5

= 14 min = 14, 5 min

T3 = 1, 5 + 1 + 7, 5 + 2 + 1, 5 = 13, 5 = 13, 5 min Dentre as três alternativas, a melhor é a alternativa 3, onde o tempo total para a travessia será de 13,5 minutos. Você pode identificar alternativas distintas cujo tempo seja igual a 13,5 minutos? Existe outra alternativa melhor? Vari´ aveis de decis˜ ao: Alternativas 1, 2 e 3


10

Objetivo:

Minimizar o tempo de travessia

Restri¸c˜ oes:

Tempo individual para travessia, Duas pessoas por vez na canoa, A canoa não atravessa o rio sozinha, Penalidade para atravessar mais que duas vezes seguidas.

. . . Exemplo 1.3. Decisão com risco ou incerteza

2

A tabela seguinte apresenta os retornos (ganhos ou perdas médias) para um valor fixo de insvetimento associados às decisões de investir em conta poupan¸ca, em dólar ou fundos de investimentos. Decis˜ ao A1

Decis˜ ao A2

Decis˜ ao A3

Estados poss´ıveis Probabilidades Investir em Investir em Investir em da economia

poupan¸ca

d´ olar

fundos

S1 : Recessão

0,40

$ 300

$ 400

- $ 100

S2 : Estabilidade

0,40

$ 300

$ 300

$ 200

S3 : Expansão

0,20

$ 300

$ 200

$ 700

Qual é o melhor investimento? Se a decisão for baseada nos valores médios ou esperados dos ganhos, teremos: GA1 =

0, 40 × 300 + 0, 4 × 300 + 0, 2 × 300

= 300

GA2 =

0, 40 × 400 + 0, 4 × 300 + 0, 2 × 200

= 320

GA3 = 0, 40 × (−100) + 0, 4 × 200 + 0, 2 × 700 = 180 a melhor decisão a ser tomada é a alternativa A2 , investir em dólar. Vari´ aveis de decis˜ ao: Investir em A1 , A2 ou A3 Objetivo:

Maximizar o retorno

Restri¸c˜ oes:

Estados poss´ıveis da economia, probabilidades e retornos.

2

Baseado em Shimizu, 2006


11

. . . Exemplo 1.4. O caso da Casa das Esfirras A Casa das Esfirras produz e comercializa esfirras de carne a partir de dois ingredientes básicos: massa e recheio. A empresa necessita estabelecer um modelo para simula¸caõ de lucros que lhe permita a forma¸cão do melhor pre¸co de venda a ser praticado. Considera-se que o pre¸co unitário da esfirra e o pre¸co médio praticado pela concorrência são os u ńicos fatores relevantes na determina¸cão da demanda. Atualmente a empresa pratica o mesmo pre¸co médio do mercado local e comercializa 70.000 unidades de esfirras mensalmente. Um estudo encomendado pela empresa constatou que, a cada 1% a menos cobrado pela unidade de esfirra em rela¸cão ao pre¸co médio praticado pela concorrência implica em um aumento nas vendas de 5.000 unidades mensais. Dados relevantes para o estudo são fornecidos na tabela seguinte: em R$ Pre¸co médio praticado pela concorrência (por unidade)

1,00

Custo unitário da massa

0,10

Custo unitário do recheio

0,30

Custo do processo de fabrica¸cão (por unidade)

0,40

Custo fixo

8.000,00

Vari´ aveis de decis˜ ao: Pre¸co unitário da esfirra Objetivo:

Maximizar o lucro

Restri¸c˜ oes:

Demanda de mercado

Para este problema, é preciso desenvolver um modelo que permita a simula¸cão do lucro operacional mensal a partir da demanda d e dos custos para estabelecer o pre¸co p a ser praticado. O lucro (L) é obtido pela diferen¸ca entre a receita (R) e o custo total (CT),

L = R − CT.

12

CAPÍTULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL A receita pode ser calculada pelo produto entre o pre¸co praticado por unidade e a

quantidade vendida, neste caso a quantidade demandada, que por sua vez depende do pre¸co praticado. Assim, R(p) = p · d(p). O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável, que depende da quantidade a ser produzida, neste caso a demanda.

CT = C + C(d)

Para construir um modelo para forma¸cão de pre¸co, é primeiro necessário calcular a fun¸caõ demanda, isto é, encontrar a lei que determina a quantidade de esfirras comercializadas mensalmente em fun¸cão do pre¸co praticado. De acordo com os dados, o pre¸co médio praticado é de R$ 1,00 e para este valor a quantidade demandada é 70.000 unidades. Assim a fun¸caõ d(p) a ser determinada satisfaz:

d(1) = 70000.

Levando-se em conta que a cada desconto de 1% no pre¸co corresponde uma demanda extra de 5.000 unidades, temos:

d(0, 99) = 75000.

Admitindo que a fun¸caõ demanda seja uma fun¸caõ afim do tipo:

d(p) = ap + b

onde o coeficiente angular a pode ser determinado por:

a=

70000 − 75000 ∆d = = −500000 ∆p 1 − 0, 99

Para encontrar o coeficiente linear b e determinar d, basta substituir d(1) = 70000 na


13

expressão d(p) = −500000p + b, desta forma

70000 = d(1) = −500000(1) + b

Logo, b = 570000. Portanto, a fun¸caõ demanda nas condi¸co˜es do problema é:

d(p) = −500000p + 570000

Para este caso o modelo será constru´ıdo em planilha eletrônica alcan¸cando assim facilidade de intera¸caõ com o usuário e possibilitando rápidas altera¸co˜es. Admitindo que o pre¸co praticado seja R$ 1,00 a unidade de esfirras, é poss´ıvel calcular a quantidade vendida, a receita e os custos mensais e consequente prever o lucro operacional. O modelo em planilha eletrônica é apresentado na tabela abaixo, onde as fórmulas para os respectivos cálculos estão explicitadas na coluna C.

Na tabela a seguir são apresentados os resultados do Lucro Operacional para diversos valores simulados para o pre¸co a ser praticado, onde lucro negativo é representado por valores entre parênteses.


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Uma rápida inspe¸caõ garante que: • Pre¸co acima de 1,00 retorna em lucro menor; • Lucro crescente para valores entre 1,00 e 0,95; • Lucro decrescente para valores entre 0,95 e 0,90. Desta primeira análise, conclui-se que o melhor pre¸co está entre 1,00 e 0,95. Para decidir qual pre¸co retorna o maior lucro, é preciso simular todos os valores neste intervalo. Observando a segunda parte da tabela, conclu´ımos que o melhor pre¸co a ser praticado é R$ 0,97 resultando num lucro de R$ 6.450,00 que é 7,5% maior do que o lucro mensal atual da empresa. . . . Exemplo 1.5. Gestão do estoque Um posto de combust´ıveis tem uma demanda de gasolina e a´lcool ao longo dos u ´ltimos três anos, conforme a tabela dada em milhões de litros:


15

Ano

´ Alcool

Gasolina

2007

2,00

5,00

2008

2,05

5,80

2009

3,00

6,20

Seus custos estimados de coloca¸caõ de um pedido são cerca de R$ 325,00 e os custos de manuten¸cão dos estoques são de 23% do custo de aquisi¸cão, por ano. A empresa adquire os combust´ıveis a R$ 30,00 o galão de 50 litros de a´lcool e R$ 78,00 o galão de gasolina. Atualmente o suprimento de combust´ıvel é feito em quantidades constantes a intervalos regulares quinzenalmente, qual a quantidade ideal de cada combust´ıvel que o posto deve pedir por vez? O objetivo do problema é determinar o lote de compra que deve ser encomendado por vez, de modo a minimizar o custo total de opera¸caõ do estoque dos dois tipos de combust´ıveis. Vari´ aveis de decis˜ ao: Quantidade de álcool a ser encomentada por vez Quantidade de gasolina a ser encomendada por vez Objetivo:

Minimizar o custo de opera¸cão de estoque

Restri¸c˜ oes:

Custo do pedido Custo de Manuten¸cão do estoque

O custo total é a soma dos custos de manuten¸cão de estoques e de emissão e coloca¸cão de pedidos, considerando que a demanda e os custos são relativamente estáveis durante o ano. minimizar

Custo Total (CT)

= custo de manuten¸cão do álcool (CMA) + + custo de manuten¸cão da gasolina (CMG) + + custo do pedido (CP)

O custo de manuten¸cão é o produto do n´ıvel médio em estoque pelo custo unitário de manuten¸cão, onde o n´ıvel médio é a metade da quantidade encomendada (dados


16

emp´ıricos). O custo do pedido é o produto do n´ umero de pedidos anuais pelo custo unitário de coloca¸caõ do pedido. Devemos identificar os elementos conhecidos e desconhecidos do problema que fornecerão os dados e as variáveis de decisão. n: total de pedidos anuais qA : quantidade de álcool (em milhões de litros) encomendados por vez qG : quantidade de gasolina (em milhões de litros) encomendados por vez aA : quantidade de álcool (em milhões de litros) comercializada anualmente aG : quantidade de gasolina (em milhões de litros) comercializada anualmente A partir dos dados fornecidos, podemos calcular a média de vendas da empresa dos u ´ltimos três anos: aA =

2 + 2, 05 + 3 = 2, 35 3

aG =

5 + 5, 8 + 6, 2 ∼ = 5, 67 3

e

´ poss´ıvel obter qA e qG a partir do valor de n. E

qA =

aA n

qG =

aG n

e

Portanto, podemos admitir que a u ńica variável independente do problema é o n´ umero de pedidos anuais n. Sabe-se que o custo de manuten¸caõ dos estoques é de 23% do custo de aquisi¸caõ de cada combust´ıvel. A partir desta informa¸cão é poss´ıvel calcular CMA, considerando que a unidade que estamos utilizando é um milhão de litros de combust´ıvel que equivale a 20.000 galões de 50 litros, como cada galão de a´lcool custa R$ 30,00, o custo da unidade


17

de álcool é R$ 600.000,00. Calculando a porcentagem para manuten¸caõ dos estoques, temos que o custo unitário para manuten¸caõ do a´lcool é 138.000 e portanto,

CMA = 138.000

qA = 69.000qA 2

De forma análoga calculamos que o custo da unidade de gasolina é R$ 1.560.000,00 e obtemos 358.800 como o custo unitário para manuten¸caõ do estoque de gasolina e consequentemente: CMG = 358.800

qG = 179.400qG 2

Escrevendo o custo total em fun¸cão das variáveis e constantes assim definadas e calculadas: CT = 69.000qA + 179.400qG + 325n 2, 35 5, 67 + 179.400 + 325n n n 1 1 = 162.150 + 1.017.198 + 325n n n = 69.000

Portanto, CT (n) = 1.179.348

1 + 325n n

Como o objetivo é minimizar uma fun¸caõ em uma variável real, devemos encontrar os pontos cr´ıticos da fun¸caõ utilizando a primeira derivada.

d 1 CT (n) = −1.179.348 2 + 325 = 0 dn n A equa¸caõ diferencial acima é satisfeita para n ∼ = 60, 24 ou n ∼ = −60, 24. Entretanto no contexto do problema proposto n deve ser um n´ umero inteiro positivo, sendo assim tomamos, por arredondamento, n = 60. E o teste da segunda derivada nos garante que este é um ponto de m´ınimo. d2 1 CT (n) = 2.358.696 3 > 0, 2 dn n

∀n>0

Assim, deve-se encomendar 39.166,67 litros de a´lcool e 94.500 litros de gasolina por


18

vez totalizando 60 pedidos anuais com custo total de R$ 39.155,80 contra os custos atuais de R$ 53.809,54 referentes a 26 pedidos anuais, o que representa uma economia para a empresa de aproximadamente 27,21%.

. . . Exemplo 1.6. Problema da dieta ótima:

3

Em uma dieta, cada 100 g de alimento A e B fornecem os seguintes elementos nutritivos (em unidades): Elemento nutritivo

A

B

Carboidratos

1

3

Vitaminas

3

4

Prote´ınas

3

1

As quantidade m´ınimas necessárias de elementos nutritivos, por dia, são 8 unidades de carboidratos, 19 unidades de vitaminas e 7 unidades de prote´ınas. Cada 100 g do alimento A contém 300 kcal (kilocalorias) e custa $ 50 u.m. enquanto cada 100 g do alimento B tem 500 kcl e custa $ 25 u.m. Como é poss´ıvel minimizar o custo e a quantidade de calorias da dieta formada pelos alimento A e B? Vari´ aveis de decis˜ ao: x1 : quantidade de A (em 100 g) x2 : quantidade de B (em 100 g)

Objetivo:

Restri¸c˜ oes:

min z1 = 50x1 + 25x2

(minimizar o custo)

min z2 = 300x1 + 500x2

(minimizar quantidade de calorias)

    x1 + 3x2 ≥ 8 (quantidade de carboidratos)         3x1 + 4x2 ≥ 19 (quantidade de vitaminas)    3x1 + x2 ≥         x1 , x2 ≥

3

7 (quantidade de prote´ınas) 0 (condi¸caõ de não-negatividade)

Adaptado do exemplo inicialmente formulado por George Dantzig


19

Representando as inequa¸co˜es e fun¸cões do problema no plano cartesiano obtemos o seguinte gráfico.

Por simples inspe¸cão visual é poss´ıvel identificar o ponto (1,4) do plano cartesiano como sendo o ponto onde a fun¸caõ custo é minimizada, obtendo um custo m´ınimo de $ 150 u.m. com consumo total de 2.300 kcal, enquanto o ponto (5,1) minimiza a quantidade de calorias, 2.000 kcal, com custo de $ 275 u.m.

. . . Exemplo 1.7. O dilema do prisioneiro

4

Dois prisioneiros acusados de terem cometido um crime em conjunto estão presos em celas separadas e são interrogados separadamente por um delegado de pol´ıcia. Se os dois prisioneiros confessarem o crime, ambos serão condenados a` pena de 10 anos de prisão. Se nenhum dos dois prisioneiros confessar, o delegado, usando provas circunstanciais, só pode condená-los a` pena de 2 anos. Se apenas um dos dois prisioneiros confessar, este prisioneiro receberá, como prêmio, um pena leve de 1 ano de prisão, e o outro, que não confessou, será condenado à pena maior, de 12 anos de prisão. Qual decisão deve ser tomada? 4

Proposto originalmente por M.Flood e M.Dresher em 1950, posteriormente adaptado por A.W.Tucker.

20

CAPÍTULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL A tabela seguinte resume as penalidades atribuidas a cada prisioneiro Prisioneiro B

C Prisioneiro A NC

C

NC

(10, 10)

(1,12)

(12,1)

(2,2)

onde a primeira entrada do par ordenado corresponde a` decisão do prisioneiro A e a segunda entrada à decisão do prisioneiro B. Examinemos o problema do ponto de vista de um dos prisioneiros, objetivando determinar a melhor estratégia assumindo que o c´ umplice também é racional. Se seu companheiro confessar, o prisioneiro A, por exemplo, será condenado a 10 anos de prisão se confessar e a 12 anos se permanecer calado. Neste caso a melhor decisão é confessar. Agora, se B permanecer calado, A será condenado a 1 ano se confessar e a 2 anos se não confessar. O melhor estratégia nesta situa¸caõ é confessar. Aparentemente a melhor estratégia é portanto confessar! Entretanto se ambos seguirem o mesmo racioc´ınio, os dois prisioneiros serão condenados a 10 anos de prisão. Se optarem por cooperar e permanecerem calados, receberão pena menor de 2 anos. E a´ı está o dilema, buscando individualmente a melhor estratégia para si acabam ambos por serem punidos rigorosamente. O fato é que pode haver dois vencedores neste jogo, se o problema for analisado em conjunto buscando a melhor solu¸cão para o grupo e consequentemente a coopera¸caõ resultará na melhor solu¸caõ para ambos.

“A teoria dos jogos sugere que, embora a coopera¸caõ não seja nada fácil de ser alcan¸cada, é poss´ıvel demonstrar que muitas vezes ela é prefer´ıvel ao conflito.” David P. Barash

1.3. LISTA DE PROBLEMAS

1.3

21

Lista de Problemas

Resolva cada um dos seguintes problemas, identificando as variáveis de decisão, objetivo e restri¸co˜es:

1. Durante a constru¸cão de uma casa, seis vigas de 8m cada devem ser recortadas para atingir o comprimento correto de 7, 5m. As opera¸co˜es para cortar uma viga obedecem a seguinte sequencia: Opera¸c˜ ao

Tempo [s]

1. Colocar vigas nos cavaletes

15

2. Marcar o comprimento

10

3. Cortar a viga

20

4. Armazenar a viga cortada

20

Há três pessoas envolvidas: dois carregadores devem trabalhar simultaneamente nas opera¸co˜es 1,2 e 4, e um cortador se encarregará da opera¸cão 3. Há dois pares de cavaletes nos quais as vigas a recortar são colocadas na prepara¸cão para o corte, e cada par pode suportar até três vigas lado a lado. Sugira um boa programa¸cão para recortar as seis vigas. 2. Como deve ser montado um retângulo a partir de uma corda de comprimento 10m para que a a´rea seja máxima. 3. Em um jogo de beisebol, Jim é o lan¸cador e Joe o rebatedor. Suponha que Jim possa atirar uma bola com velocidade ou um bola curva de maneira aleatória. Se Joe previr corretamente que será uma bola curva, poderá manter uma média de rebates de 0,5. Ao contrário, se Jim atirar uma bola curva e Joe se preparar para uma bola com velocidade, sua média de rebates ficará em 0,2. Por outro lado, se Joe previr corretamente que será uma bola com velocidade, conseguirá uma média de rebates de 0,3; caso contrário, sua média será de apenas 0,1. Defina as alternativas para essa situa¸cão.


22

4. A Pastéis e Pastelões Ltda. fabrica pastéis de forno a partir de dois ingredientes básicos: massa semipronta e recheio congelado. A empresa pretende estabelecer um modelo para previsão de seu lucro operacional mensal que lhe permita estabelecer o pre¸co dos pastéis que deve ser praticado pela empresa. Desconsiderando a hipótese de altera¸cão do tamanho e da qualidade dos pastéis, a diretoria considera que o pre¸co unitário do pastel e o pre¸co médio praticado pela concorrência são os u ńicos fatores relevantes na determina¸cão da demanda, a qual se comporta segundo a seguinte equa¸caõ: Z = 15000 − 5000x + 5000y onde x é o pre¸co do pastel da Pastéis e Pastelões e y é o pre¸co médio dos pastéis vendidos pelos concorrentes. Dados adicionais são fornecidos pela tabela:

em R$ Pre¸co médio praticado pela concorrência (por pastel)

7,00

Custo unitário da massa

1,30

Custo unitário do recheio

2,00

Custo do processo de fabrica¸caõ (por pastel)

0,40

Custo fixo

6.000,00

5. Refa¸ca o exemplo 1.5, considerando que o posto está interessado em resolver o problema do estoque separadamente para cada combust´ıvel, isto é, determine o n´ umero de pedidos anuais para o a´lcool que minimize o custo total e, após calcule o n´ umero de pedidos a ser realizados para a gasolina. Qual a rela¸caõ entre estes dois valores encontrados e o n´ umero o´timo de pedidos determinado para o problema original? 6. Um atacadista de materiais de constru¸cão obtém seu cimento de um fornecedor u ńico. A demanda de cimento é razoavelmente constante ao longo do ano. No


23

u ´ltimo ano, a empresa vendeu 2000 toneladas de cimento. Seus custos estimados de coloca¸caõ de um pedido são cerca de $25, e os custos de manuten¸cão dos estoques são de 20% do custo de aquisi¸cão, por ano. A empresa adquire cimento a $60 por tonelada. Quanto cimento a empresa deveria pedir por vez? 7. Uma empresa comercializa queijos deseja estudar sua pol´ıtica de estocagem de modo a otimizar sua opera¸caõ, reduzindo os custos. Após um cuidadoso levantamento, o gerente estimou que o custo anual de manter um item em estoque é de $50,00. Tal custo foi obtido considerando-se o custo do capital investido, o custo das instala¸co˜es, refrigera¸caõ, limpeza e seguros, durante um ano, e dividindo-se pelo n´ umero estimado de itens que irão compor o estoque no mesmo per´ıodo. Consideremos que este n´ umero seja constante e igual a 1.000 por ano. O suprimento do produto é feito em quantidades constantes e intervalos regulares, a coloca¸cão de cada encomenda tem um custo fixo de $ 1.000,00, incluindo documenta¸caõ, despesas de pedido e transporte. Qual a quantidade de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez?

CAPÍTULO

2 ˜ MATEMATICA ´ PROGRAMAC ¸ AO

Desde a antiguidade vários cientistas tais como Euclides, Newton, Lagrange, Leontief, Von Neumann, dentre outros, tem dedicado seus estudos à pesquisa do ótimo. A área que estuda Problemas de Otimiza¸cão é denominada Programa¸cão Matemática que engloba uma ampla classe de problemas. O termo programa¸caõ significa que existe um planejamento das atividades. A Programa¸caõ Matemática vem se constituindo como uma das mais poderosas ferramentas matemáticas para diversos segmentos, propiciando melhorias mensuráveis nos processos e automatiza¸caõ dos mesmos, análises operacionais, de projetos, reengenharia e identifica¸cão de gargalos. Seus benef´ıcios são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminui¸caõ dos custos e aumento dos lucros. Em algumas organiza¸cões ela está, inclusive, embutida em suas rotinas informatizadas de planejamento diário dos processos de opera¸cão. Segundo pesquisas efetuadas em empresas que tem utilizado esta ferramenta, a redu¸caõ de custos se enquadra facilmente na faixa entre 1% e 5%, existindo casos que chegam até a 15%. A magnitude do benef´ıcio da Programa¸cão Matemática na performance das empresas pode ser avaliada nos casos listados a seguir referentes a diferentes a´reas de atividade econômica: 24

25 1. A companhia de o´leos TEXACO utilizou a Programa¸cão Linear para obter condi¸cões ideais de processamento do grude bruto para produzir quantidades proporcionais às necessidades do mercado aos diversos derivados do grude: gasolina, o´leos com diversas gradua¸co˜es ou asfalto. A aplica¸cão da metodologia em sete das suas refinarias permitiu obter uma melhoria de 30% nos lucros, atingindo 30 milhões de dólares. 2. A rede de fast food McDonald’s nos Estados Unidos aplicou a Programa¸caõ Matemática para otimiza¸cão dos horários de trabalho em quatro de seus estabelecimentos, pertencentes a Al Boxley. Este tipo de atividade recorre freq¨ uentemente a` mão-de-obra em part-time, tendo como resultado uma grande aleatoriedade na disponibilidade dos recursos humanos. A Programa¸cão Linear proporcionou um melhor aproveitamento dos recursos dispon´ıveis, com a exigência de cobertura durante todo per´ıodo de funcionamento das unidades, obtendo-se uma programa¸cão de horários mais conveniente de acordo com as preferências de horário de cada funcionário. 3. O exército norte-americano desenvolveu um sistema designado de MLRPS “Manpower Long-Range Planning System” que permite estimar as necessidades de recursos humanos num horizonte que vai dos 7 aos 20 anos. O modelo de otimiza¸caõ analisa a forma com que as for¸cas armadas podem obter no futuro a estrutura militar desejada. Para tal, aspectos como as admissões, abandonos, promo¸co˜es e transferências são tidos em conta no modelo que determina o n´ umero de recursos necessário. Uma das caracter´ısticas principais de Programa¸cão Matemática é sua extensibilidade, pode ser aplicada a diverso n´ umero de organiza¸cões e sistemas: ind´ ustrias, governos, agências, hospitais, economia, sociologia, biologia, dentre outros. Algumas de suas aplica¸co˜es se tornaram clássicas: Problema de transporte; Administra¸caõ da produ¸caõ;

˜ MATEMATICA ´ CAPÍTULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

26 Análise de investimentos;

Problemas de distribui¸cão de recursos, pessoal e tarefas;

Problemas de corte materiais, etc.

Em um Problema de Otimiza¸cão pretende-se maximizar ou minimizar uma quantidade espec´ıfica, designada objetivo, que depende de um n´ umero finito de variáveis independentes ou interrelacionadas por limita¸cões ou restri¸cões técnicas do sistema. Resolver o problema significa aplicar uma sequencia de opera¸co˜es matemáticas para distribuir recursos limitados sobre opera¸co˜es que exigem a sua utiliza¸cão simultânea, de forma o´tima para o objetivo espec´ıfico. Um Problema de Programa¸cão Matemática (PPM) é um problema de otimiza¸caõ satisfazendo dois fatos principais:

• A existência de um objetivo que pode ser explicitado em termos das variáveis de decisão do problema;

• A existência de restri¸co˜es à aplica¸caõ dos recursos, tanto com rela¸caõ a`s quantidades dispon´ıveis quanto com rela¸caõ à forma de emprego.

2.1

Modelos de Otimiza¸ c˜ ao

Especificamente, o objetivo primordial de um PPM é encontrar a melhor solu¸cão para problemas que podem ser representados por modelos matemáticos onde o objetivo pode ser expresso em fun¸cão das variáveis e as restri¸cões expressas como equa¸co˜es ou inequa¸cões. Os modelos matemáticos utilizados em PPM seguem, em geral, uma estrutura padrão composta por uma fun¸cão-objetivo, um critério de otimiza¸cão e um conjunto de restri¸cões. A forma geral de um modelo para um PPM com n variáveis e m restri¸co˜es é apresentada a seguir:

˜ 2.1. MODELOS DE OTIMIZAC ¸ AO

27

otimizar: z = f (x1 , x2 , . . . , xn )     g1 (x1 , x2 , . . . , xn )         g2 (x1 , x2 , . . . , xn ) sujeito a:  ..   .         gm (x1 , x2 , . . . , xn )

        b1         ≤         b2 =   ..     .           ≥       bm

(2.1)

onde as variáveis do problema estão representadas por xj com j = 1, . . . , n e bi , para i = 1, . . . , m, representa a quantidade dispon´ıvel de determinado recurso. Utilizaremos a nota¸caõ vetorial para representar as variáveis de decisão, assim define-se: x=

x1 x2 . . . xn

(2.2)

f (x) é denominada fun¸caõ-objetivo e gi (x) são as fun¸cões restri¸co˜es do problema. A solu¸caõ do modelo pode ser obtida por técnicas matemáticas e algoritmos espec´ıficos, e a constru¸cão do modelo deve levar em considera¸cão a disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solu¸caõ. Para melhor estudar as técnicas dispon´ıveis para resolu¸cão de PPM, a área pode ser subdividida em duas subáreas determinadas pelas propriedades das fun¸co˜es envolvidas no problema:

Programa¸c˜ ao Linear: Todas as fun¸co˜es do modelo são lineares em rela¸caõ às variáveis. Programa¸c˜ ao N˜ ao-Linear: Pelo menos uma das fun¸co˜es envolvidas não é linear.

A solu¸caõ de um PPM inicia-se pela modelagem, esta etapa é tão importante tanto quanto o desenvolvimento de métodos de solu¸cão, visto que a qualidade de todo o processo é consequencia direta do grau de representatividade do modelo. O exemplo 1.6 apresentado no cap´ıtulo anterior foi modelado seguindo certa sistematiza¸caõ e agora iremos nos concentrar na estrutura¸caõ de modelos espec´ıficos para PPM. A tarefa de constru¸caõ do modelo a partir do enunciado do problema deve seguir uma metodologia básica, apresentada a seguir:


28

Identifica¸c˜ ao das vari´ aveis de decis˜ ao Todas as grandezas envolvidas devem ser determinadas, explicitando as decisões que devem ser tomadas, nomeando-as xj , j = 1, . . . , n. Defini¸c˜ ao do crit´ erio de otimiza¸c˜ ao Critérios de avalia¸cão capazes de indicar que uma decisão é prefer´ıvel a outras devem ser definidos. Deve-se identificar as metas que se pretendem alcan¸car com a resolu¸caõ do problema, expressando-as como fun¸cões matemáticas. Em geral, o objetivo aparece na forma de maximiza¸cão ou minimiza¸caõ de quantidades. Formula¸c˜ ao das restri¸c˜ oes Todos os requisitos, condicionalismos e limita¸cões do problema, tanto expl´ıcitas como impl´ıcitas, devem ser identificados. Cada limita¸cão imposta na descri¸caõ do problema deve ser expressa como uma equa¸caõ ou inequa¸caõ em fun¸caõ das variáveis de decisão.

2.2

Problemas de Programa¸ c˜ ao Matem´ atica

Para melhor ilustrar os conceitos discutidos, serão apresentadas algumas situa¸co˜es que podem ser descritas com o aux´ılio de um modelo de Programa¸caõ Matemática. A seguir são propostos alguns PPM onde espera-se exemplificar e detalhar o processo de modelagem, entretanto será a experiência individual responsável pelo desenvolvimento de habilidades para a cria¸cão de bons modelos matemáticos, eficientes e realistas. Salientamos que, ainda não há a preocupa¸cão com a solu¸cão de problemas que poderá ser obtida posteriormente.

. . . Exemplo 2.1. Produ¸cão de balas Considere que uma doceira deseja abrir um pequeno negócio para produ¸caõ de balas. A princ´ıpio ela está considerando produzir dois tipos de balas: caramelo e nozes. Na produ¸caõ são utilizados três ingredientes: leite, a¸cu ćar e nozes. A doceira tem em estoque 10kg de a¸cu ćar, 1kg de nozes e 6l de leite. A composi¸caõ da bala de caramelo é: 40% de leite e 60% de a¸cu ćar, e para as balas de nozes os ingredientes devem ser misturados

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

29

na seguinte propor¸cão: 40% de leite, 50% de a¸cu ćar e 10% de nozes. Cada quilo de bala de caramelo pode ser vendido a R$10,00 enquanto um quilo de bala de nozes pode ser vendido por R$13,00. Qual deve ser a produ¸caõ de cada tipo de bala para obter a maior receita? De acordo com a sistemática estabelecida anteriormente para a constru¸caõ de modelos de PPM, vamos elaborar o modelo para este problema em etapas. Etapa 1: Identifica¸cão das variáveis de decisão O objetivo do problema é determinar as quantidades de cada tipo de bala a ser produzida de forma a resultar na máxima receita. Portanto, este problema tem duas variáveis de decisão: x1 : a quantidade (em kg) a ser produzida de bala de caramenlo x2 : a quantidade (em kg) a ser produzida de bala de nozes

Etapa 2: Formula¸caõ da fun¸caõ objetivo O critério para a sele¸caõ do melhor combina¸caõ poss´ıvel é a receita máxima. Cada tipo de bala gera uma receita que é o produto do pre¸co de venda pela quantidade vendida e a fun¸cão receita é obtida pela soma das contribui¸co˜es de cada tipo de bala produzido. Matematicamente, temos:

max z = f (x1 , x2 ) = 10x1 + 13x2

Etapa 3: Formula¸caõ das restri¸co˜es O problema impõe restri¸co˜es na quantidade de matéria prima para fabrica¸caõ dos doces: 0, 6x1 + 0, 5x2 ≤ 10 (quantidade utilizada de a¸cu ćar) 0, 4x1 + 0, 4x2 ≤ 0, 1x2 ≤

6 (quantidade utilizada de leite) 1 (quantidade utilizada de nozes)


30

Ainda há uma condi¸cão impl´ıcita ao problema que devemos considerar, quais os valores que as variáveis de decisão podem assumir?

Nesta situa¸cão estamos

interessados em valores não-negativos que satisfa¸cam as limita¸co˜es de matéria-prima. Devemos também considerar o tipo de variável, neste problema podemos admitir que a variável xj pode receber qualquer valor real. Assim temos definido o dom´ınio da fun¸caõ objetivo e o critério de não-negatividade: xj ≥ 0,

xj ∈ R

O modelo completo para o problema da produ¸caõ de balas representado no formato (2.1) é:

max

s.a. :

z = 10x1 + 13x2     0, 6x1 + 0, 5x2 ≤ 10 (quantidade utilizada de a¸cu ćar)         0, 4x1 + 0, 4x2 ≤ 6 (quantidade utilizada de leite)           

0, 1x2 ≤ 1

(quantidade utilizada de nozes)

x1 , x2 ≥ 0

(condi¸caõ de não-negatividade)

Observe que a condi¸cão xj ∈ R foi omitida do modelo final, isto deve-se ao fato que em modelos de Programa¸caõ Matemática, por conven¸cão, esta condi¸cão é considerada impl´ıcita ao modelo. A informa¸cão sobre o dom´ınio da fun¸caõ constará no modelo caso o dom´ınio seja outro conjunto numérico.

. . . Exemplo 2.2. Localiza¸cão da antena de transmissão O Gerente de Projetos da LCL Telecom deve localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Maranhense: Viana, Penalva e Cajari. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localiza¸co˜es relativas indicadas no mapa, determine o melhor posicionamento para a torre. Sejam (xi , yi ) as coordenadas no plano cartesiano da localiza¸cão das cidades. Etapa 1: Identifica¸cão das variáveis de decisão


31

O objetivo do problema é determinar a localiza¸caõ (x, y) da antena que minimize a soma das distâncias até as três localidades, as variáveis de decisão já estão definidas: x: abscissa no plano cartesiano da localiza¸caõ da torre de transmissão y: ordenada no plano cartesiano da localiza¸cão da torre de transmissão Etapa 2: Formula¸caõ da fun¸caõ objetivo Admitamos que a localidade 1 seja Viana, a localidade 2 seja Cajari e a localidade 3 seja Penalva, as coordenadas cartesianas das localidades serão (xi , yi ), com i = 1, 2, 3. Fixado uma localidade i, a distância entre esta e a antena de p transmissão pode ser calculada por (xi − x)2 + (yi − y)2 . A fun¸caõ distância é obtida pela soma três distâncias entre a antena e as localidades.

min z =

3 X p

(xi − x)2 + (yi − y)2

i=1

Etapa 3: Formula¸caõ das restri¸co˜es As restri¸cões técnicas são as u ńicas limita¸co˜es do problema:

p

(xi − x)2 + (yi − y)2 ≤ 10,

∀i ∈ {1, 2, 3}

As condi¸co˜es práticas do problema não requer restri¸co˜es de não-negatividade e as variáveis de decisão podem assumir valores reais.


32

O modelo completo é apresentado a seguir:

min

3 X p z= (xi − x)2 + (yi − y)2

i=1  p    (x1 − x)2 + (y1 − y)2 ≤ 10 (distância a Viana)     p s.a. : (x2 − x)2 + (y2 − y)2 ≤ 10 (distância a Cajari)      p   (x3 − x)2 + (y3 − y)2 ≤ 10 (distância a Penalva)

. . . Exemplo 2.3. O problema da dieta Um indiv´ıduo deve seguir uma dieta balanceada por recomenda¸caõ médica baseada no consumo de diversos tipos de alimentos de forma a suprir suas necessidades diárias de energia, que pode variar de 3100 a 3300 kcal, e nutrientes essenciais para a boa sa´ ude. Uma por¸caõ de cada alimento fornece uma porcentagem da Quantidade Diária Recomentada (QDR) de diferentes nutrientes de acordo com a tabela. Pre¸co e quantidade calórica de cada por¸caõ também são informados na tabela. Deseja-se saber qual a combina¸caõ ideal de alimentos com custo m´ınimo e que satisfa¸ca às necessidades nutricionais. Alimentos 1

2

3

unidade QDR carne arroz feijão Valor energético Prote´ına

kcal

4

5

6

7

pão

ovos laranja leite

225

170

76

300

146

45

160

g

37

35

3

4,8

8

13

0,6

8

Vitamina A

mg

900

7

-

2

-

87

21

99

Vitamina C

mg

300

-

-

3

-

12

59

2

Ferro

mg

10

2,9

1,3

1,6

1

1,3

0,2

0,9

Cálcio

mg

500

5

12

27

16

49

45

285

0,50

0,14

0,19

0,15

0,20

0,10

0,30

Custo (R$)


33

Etapa 1: Identifica¸cão das variáveis de decisão O objetivo do problema é determinar uma composi¸cão ideal de alimentos com custo m´ınimo, para calcular o custo de destas combina¸cões é necessário saber o n´ umero de por¸cões diárias de cada alimento, que é um elemento desconhecido do problema. Portanto as quantidades de por¸cões diárias de cada alimento definirão as variáveis de decisão deste problema. Sejam xj : n´ umero de por¸co˜es consumidas do alimento j, j = 1, . . . , 7 Etapa 2: Formula¸caõ da fun¸caõ objetivo O critério para a sele¸cão do melhor combina¸cão poss´ıvel é o custo m´ınimo. Cada tipo de alimento gera um custo que é o produto do pre¸co da por¸caõ pelo n´ umero de por¸co˜es consumidas e a fun¸caõ custo é obtida pela soma das contribui¸cões de cada alimento consumido. Matematicamente, temos:

z = f (x1 , . . . , x7 ) = 0, 5x1 + 0, 14x2 + 0, 19x3 + 0, 15x4 + 0, 2x5 + 0, 1x6 + 0, 3x7

Utilizando a nota¸cão vetorial para simplificar: z = f (x) =

7 X

cj x j

j=1

onde cj são os componentes do vetor c = 0, 50 0, 14 0, 19 0, 15 0, 20 0, 10 0, 30 Etapa 3: Formula¸caõ das restri¸co˜es O menor custo é obviamente zero, entretanto esta solu¸caõ não atende a recomenda¸cão médica. O problema impõe algumas condi¸co˜es explicitas que devem ser satisfeitas: (a) A dieta deve suprir a necessidade diária de energia

225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≥ 3100 (m´ınimo kcal) 225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≤ 3300 (máximo kcal) (b) A dieta deve fornecer as quantidades m´ınimas recomendadas de nutrientes


34

35x1 + 3x2 + 4, 8x3 + 8x4 + 13x5 + 0, 6x6 + 8x7

≥

7x1 + 2x3 + 87x5 + 21x6 + 99x7

≥ 900 (Vitamina A)

3x3 + 12x5 + 59x6 + 2x7

≥ 300 (Vitamina C)

2, 9x1 + 1, 3x2 + 1, 6x3 + x4 + 1, 3x5 + 0, 2x6 + 0, 9x7 ≥ 5x1 + 12x2 + 27x3 + 16x4 + 49x5 + 45x6 + 285x7

37 (Prote´ına)

10 (Ferro)

≥ 500 (Cálcio)

(c) Ainda há uma condi¸cão impl´ıcita ao problema que devemos considerar, quais os valores que as variáveis de decisão podem assumir? Nesta situa¸caõ estamos interessados em valores não-negativos que satisfa¸cam os n´ıveis m´ınimos de nutrientes. Devemos também considerar o tipo de variável, neste problema podemos admitir que a variável xj pode receber qualquer valor real. Assim temos definido o dom´ınio da fun¸caõ objetivo e o critério de não-negatividade: xj ≥ 0,

xj ∈ R.

O modelo completo para o problema da dieta representado no formato padrão conforme (2.1) é:

min

s.a. :

z = 0, 5x1 + 0, 14x2 + 0, 19x3 + 0, 15x4 + 0, 2x5 + 0, 1x6 + 0, 3x7

                            

225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≥ 3100 225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≤ 3300 35x1 + 3x2 + 4, 8x3 + 8x4 + 13x5 + 0, 6x6 + 8x7

≥

37

7x1 + 2x3 + 87x5 + 21x6 + 99x7

≥

900

≥

300

≥

10

≥

500

≥

0

   3x3 + 12x5 + 59x6 + 2x7          2, 9x1 + 1, 3x2 + 1, 6x3 + x4 + 1, 3x5 + 0, 2x6 + 0, 9x7         5x1 + 12x2 + 27x3 + 16x4 + 49x5 + 45x6 + 285x7         xj


35

. . . Exemplo 2.4. Distribui¸cão da produ¸cão Uma empresa montadora de eletrônicos produz rádio, toca-CD e aparelhos de DVD em três fábricas localizadas em Diadema, Ribeirão Preto e Campinas. As quantidades despendidas na produ¸caõ de cada produto, em pe¸cas por hora, em cada uma das fábricas são as seguintes: R´ adio

Toca-CD

DVD

Diadema

10

20

20

Ribeirão

20

10

20

Campinas

20

20

10

Os custos de opera¸caõ por hora das fábricas são R$ 10.000,00, R$ 8.000,00 e R$ 11.000,00 para Diadema, Ribeirão Preto e Campinas, respectivamente. A empresa recebeu um pedido de 300 unidades de rádio, 500 unidades de toca-CD e 600 unidades de aparelho de DVD, como deve distribuir a produ¸cão entre suas três fábricas para cumprir o pedido ao menor custo poss´ıvel? Etapa 1: Identifica¸cão das variáveis de decisão O objetivo é distribuir a produ¸caõ ao menor custo poss´ıvel, sendo assim deve-se decidir quanto produzir de cada produto em cada uma das fábricas, o que define as variáveis de decisão do problema. Sejam: x1d :

n´ umero de

rádios

a produzir na fábrica de Diadema

x2d :

n´ umero de

toca-CD


x3d :

n´ umero de

DVD


x1r :

n´ umero de

rádios

a produzir na fábrica de Ribeirão

x2r :

n´ umero de

toca-CD


x3r :

n´ umero de

DVD


x1c :

n´ umero de

rádios

a produzir na fábrica de Campinas


36

x2c :

n´ umero de

toca-CD


x3c :

n´ umero de

DVD


Etapa 2: Formula¸caõ da fun¸caõ objetivo O objetivo é primordial é determinar quantas horas cada uma das fábricas deve dispor para o pedido com o menor custo poss´ıvel. O custo é dado por

z = f (x, y, z) = 10.000x + 8.000y + 11000z

onde x é o n´ umero total de horas que fábrica de Diadema funciona para atender o pedido, y é o n´ umero total de horas da fábrica de Ribeirão e z corresponde ao total de horas da fábrica de Campinas. De acordo com a tabela fornecida podemos determinar x em fun¸caõ das variáveis de decisão x1d , x2d e x3d , y em fun¸caõ de x1r , x2r e x3r e z em fun¸caõ de x1c , x2c e x3c : x1d x2d x3d + + = 0, 10x1d + 0, 05x2d + 0, 05x3d 10 20 20 x1r x2r x3r + + = 0, 05x1r + 0, 10x2r + 0, 05x3r y = 20 10 20 x1c x2c x3c z = + + = 0, 05x1c + 0, 05x2c + 0, 10x3c 20 20 10

x =

Etapa 3: Formula¸caõ das restri¸co˜es A limita¸cões explic´ıtas do problema são o atendimento da quantidade demandada no pedido, isto é a soma das produ¸cões das três fábricas de um determinado produto não deve ser inferior à quantidade encomendada:

x1d + x1r + x1c ≥ 300 (encomenda de rádios) x2d + x2r + x2c ≥ 500 (encomenda de toca-CD) x3d + x3r + x3c ≥ 600 (encomenda de DVD)

As condi¸co˜es implic´ıtas do problema são a não-negatividade e o dom´ınio da fun¸cão


37

objetivo restrito ao conjunto dos n´ umeros inteiros Z. O modelo completo é:

min

z = 10.000(x1d + x2d + x3d ) + 8.000(x1r + x2r + x3r ) + 11.000(x1c + x2c + x3c )      x1d + x1r + x1c ≥ 300 (encomenda de rádios)         x2d + x2r + x2c ≥ 500 (encomenda de toca-CD)     s.a. : x2d + x2r + x2c ≥ 600 (encomenda de DVD)        xia ≥ 0 para i = 1, 2, 3 e a = d, r, c          xia ∈ Z

. . . Exemplo 2.5. O caso da Loja dos queijos:

1

A Loja dos Queijos produz e comercializa dois tipos de queijos (Delux e Standard), muito procurados na época do Natal. Estes queijos são produzidos a partir de uma mistura de frutas da época e de um queijo especial muito caro. A Loja dos Queijos pode dispor de 20 kg de mistura de frutas e 60 kg do queijo especial utilizado. Cada kg de Delux consiste em 0,2 kg da mistura de frutas e 0,8 kg do queijo especial, enquanto que 1 kg de Standard consiste em 0,2 kg da mistura de frutas, 0,3 kg do queijo especial e 0,5 kg de um queijo comum, dispon´ıvel em grande quantidade. De acordo com a experiência da Loja dos Queijos, foi poss´ıvel descobrir que a procura de cada um dos dois queijos depende do pre¸co adotado: d1 = 190 − 25p1 d2 = 250 − 50p2 onde d representa a procura (em kg), p denota o pre¸co (em u.m./kg), e os ´ındices 1 e 2 designam os tipos Delux e Standard, respectivamente. Que quantidade de cada tipo de queijo deverá a Loja dos Queijos preparar, e que 1

Baseado em Bronson & Naadimuthu, 2001.


38

pre¸cos deverão ser adotados para maximizar a receita e garantir que, após a época do Natal, nada reste dos dois queijos em estoque? Vari´ aveis de decis˜ ao: x1 : quantidade (em kg) a produzir de queijo tipo Delux x2 : quantidade (em kg) a produzir de queijo tipo Standard

Objetivo:

Restri¸c˜ oes:

max z = p1 x1 + p2 x2

(maximizar a receita)

    0, 2x1 + 0, 2x2 ≤ 20 (disponibilidade de frutas)     0, 8x1 + 0, 3x2 ≤ 60 (disponibilidade de queijo especial)        x1 , x2 ≥ 0 (condi¸caõ de não-negatividade)

O modelo ainda não está completo pois é necessário garantir que toda a produ¸caõ seja vendida, para tanto a produ¸caõ xi não deve ultrapassar a demanda di , isto é,

xi ≤ d i ,

i = 1, 2

Considerando as equa¸cões de demanda, temos:

x1 ≤ 190 − 25p1

e x2 ≤ 250 − 50p2

Reescrevendo as inequa¸co˜es, obtemos as seguintes restri¸cões de demanda:

x1 + 25p1 ≤ 190

x2 + 50p2 ≤ 250 Para simplificar o problema, o objetivo também deve ser reescrito somente em fun¸cão das variáveis de decisão. Observe que para quaisquer valores fixos de x1 e x2 a fun¸caõ z = p1 x1 + p2 x2 aumenta conforme aumentarem os pre¸cos p1 e p2 , assim para maximizar z, p1 e p2 devem assumir valores máximos, isto é assumir valores tais que as inequa¸cões


39

referente a`s restri¸co˜es de demanda se tornem equa¸co˜es. Desta forma, os pre¸cos podem ser assumidos como: p1 =

190 − x1 = 7, 6 − 0, 04x1 25

p2 =

250 − x2 = 5 − 0, 02x2 50

Substituindo os valores dos pre¸cos na fun¸caõ objetivo temos:

z = (7, 6 − 0, 04x1 )x1 + (5 − 0, 02x2 )x2 = 7, 6x1 + 5x2 − 0, 04x21 − 0, 02x22 O modelo completo é apresentado a seguir e deve-se notar que as restri¸co˜es de demanda foram incorporadas na constru¸caõ da fun¸caõ objetivo e não serão incorporadas às restri¸co˜es do problema.

z = 7, 6x1 + 5x2 − 0, 04x21 − 0, 02x22

max

s.a. :

    0, 2x1 + 0, 2x2 ≤ 20 (disponibilidade de frutas)     0, 8x1 + 0, 3x2 ≤ 60 (disponibilidade de queijo especial)        x1 , x2 ≥ 0 (condi¸caõ de não-negatividade)

. . . Exemplo 2.6. Um problema de transporte: Uma companhia de panifica¸caõ pode produzir pão de forma em duas fábricas, de acordo com a tabela: Capacidade de produ¸c˜ ao

Custo de Produ¸c˜ ao

F´ abrica

(pães de forma)

(u.m./pão de forma)

A

2500

2,3

B

2100

2,5

Quatro redes de restaurantes pretendem comprar pães de forma, suas necessidades e os pre¸cos que estão dispostos a pagar são os seguintes:


40

Rede de

Necessidade m´ axima

Pre¸co m´ aximo

Restaurantes

(pães de forma)

(u.m./pão de forma)

1

1800

3,9

2

2300

3,7

3

550

4,0

4

1750

3,6

O custo (em u.m.) de transporte de uma unidade de pão de forma de cada padaria para cada rede de restaurantes é dado na tabela seguinte.

Restaurantes Padaria

1

2

3

4

A

0,6

0,8

1,1

0,9

B

1,2

0,6

0,8

0,5

Determine o plano o´timo de fornecimento de pães de forma a maximizar o lucro total da empresa de panifica¸caõ.

Vari´ aveis de decis˜ ao: xij : quantidade a ser transportada (em unidades) da origem i = A, B para o destino j = 1, 2, 3, 4 De acordo com tabela de pre¸cos, a fun¸caõ receita será:

r = 3, 9xi1 + 3, 7xi2 + 4xi3 + 3, 6xi4

para i = A, B

A seguir é apresentado o modelo para maximiza¸cão da fun¸caõ lucro obtida subtraindose dos pre¸cos unitários os custos de produ¸cão e de transporte.

Objetivo:

max z = xA1 + 0, 2xB1 + 0, 6xA2 + 0, 6xB2 + . . . . . . + 0, 6xA3 + 0, 7xB3 + 0, 4xA4 + 0, 6xB4

2.3. LISTA DE PROBLEMAS   P4    j=1 xAj      P4    j=1 xBj         xA1 + xB1     Restri¸c˜ oes: xA2 + xB2        xA3 + xB3          xA4 + xB4         xij

2.3

41

≤ 2500 (capacidade de produ¸caõ da fábrica A) ≤ 2100 (capacidade de produ¸caõ da fábrica B) ≤ 1800 (necessidade do restaurante 1) ≤ 2300 (necessidade do restaurante 2) ≤

550 (necessidade do restaurante 3)

≤ 1750 (necessidade do restaurante 4) ≥

0 (condi¸caõ de não-negatividade)

Lista de Problemas

Para cada PPM abaixo, elabore um modelo do sistema descrito de acordo com (2.1): 1. Sol Ltda. faz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matéria prima. Cada soldado produzido aumenta os custos de Sol Ltda. em R$ 14,00. Um trem é vendido por R$ 21,00 e usa R$ 9,00 de matéria prima. O custo adicional para constru´ı-lo é de R$ 10,00. Para construir os soldados e os trens de madeira é necessário dois tipos de trabalho: carpintaria e acabamento. Um soldado precisa de duas horas de acabamento e um hora de carpintaria. Um trem necessita de uma hora de cada. Cada semana Sol Ltda. pode obter toda matéria-prima necessária, mas somente 100 horas de acabamento e 80 horas na se¸caõ de carpintaria. A demanda de trem é ilimitada mas somente 40 soldados são comprados por semana. Sol Ltda. deseja maximizar o seu lucro. 2. Uma importante companhia petrol´ıfera pretende construir uma refinaria que será abastecida por três cidades portuárias A,B e C. O porto A está situado a 300 km a leste e a 400 km a norte do porto B; o porto C está situado a 100 km a sul do porto B. Determine a localiza¸cão da refinaria que minimiza o comprimento total das vias necessárias para interligar a refinaria aos três portos.


42

3. Uma empresa produz três tipos de portas a partir de um determinado material. Sabendo que diariamente a empresa dispõe de 500 kg de material e 600 horas de trabalho, determinar um plano o´timo de produ¸cão que corresponda ao maior lucro. A tabela seguinte indica a quantidade de material e horas de trabalho necessárias para a produ¸cão de uma porta de cada tipo, assim como o lucro unitário de cada uma delas: Recursos Quantidade material

Porta 1

Porta 2

Porta 3

8 kg

4 kg

3 kg

7

6

8

R$ 50,00

R$ 40,00

R$ 55,00

Horas de trabalho Lucro unitário

4. A tabela de alimenta¸caõ utilizada numa determinada loja de animais de estima¸cão especifica as seguintes necessidades m´ınimas para um hamster: 70 unidades de prote´ına, 100 unidades de hidratos de carbono, 20 unidades de gordura. Há seis tipos de ra¸co˜es dispon´ıveis na loja cujas caracter´ısticas são dadas no quadro seguinte:

Prote´ınas

H.Carbono

Gordura

(unidades/kg) (unidades/kg)

Custo

Ra¸c˜ ao

(unidades/kg)

(u.m./kg)

A

20

50

4

2

B

30

30

9

3

C

40

20

11

5

D

40

25

10

6

E

45

50

9

8

F

30

20

10

8

Como deve ser feita uma mistura que satisfa¸ca os requisitos da alimenta¸caõ diária de um hamster a um custo m´ınimo?


43

5. Uma rede de depósitos de material de constru¸cão tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias a`s lojas estão no quadro (em km): O caminhão pode transportar 10 m3 por viagem. L1

L2

L3 L4

P1

30

20

24

18

P2

12

36

30

24

P3

8

15

25

20

Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e que supra as necessidades das lojas. 6. O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são: a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento m´ınimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos. b) Investir diretamente na divulga¸caõ dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade?

CAPÍTULO

3 ˜ LINEAR PROGRAMAC ¸ AO

O objetivo da Programa¸cão Linear (PL) é encontrar a melhor solu¸caõ para problemas que admitam modelos representados por fun¸co˜es e inequa¸co˜es lineares, neste sentido o termo programa¸cão significa que existe um planejamento das atividades e o termo linear refere-se à linearidade nas equa¸co˜es envolvidas na modelagem do problema. Conforme já visto no cap´ıtulo anterior, um Problema de Programa¸cão Linear (PPL) é um Problema de Programa¸cão Matemática cuja fun¸cão objetivo e todas as restri¸cões são lineares relativamente às variáveis de decisão. Especificamente, as hipóteses seguintes caracterizam um PPL: Certeza: Assume que o modelo seja determin´ıstico, isto é, todos os parâmetros são constantes conhecidas. Proporcionalidade: Admite que a contribui¸caõ individual de cada variável de decisão, tanto na fun¸caõ objetivo quanto nas restri¸cões, seja diretamente proporcional ao valor da variável. Aditividade: Exige que a contribui¸cão total na fun¸cão objetivo e nas restri¸cões seja soma direta da contribui¸co˜es individuais de cada variável de decisão, não podendo haver interdependência entre as mesmas. Divisibilidade: As variáveis de decisão podem assumir valores fracionários. 44

˜ DE MODELOS LINEARES 3.1. ESTRUTURAC ¸ AO

3.1

45

Estrutura¸c˜ ao de Modelos Lineares

De acordo com as hipóteses de proporcionalidade e aditividade, a fun¸cão objetivo e as restri¸co˜es de um PPL podem ser apresentadas da seguinte forma:

f (x1 , x2 , . . . , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn gi (x1 , x2 , . . . , xn ) ∼ ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn onde os coeficientes aij e cj são constantes para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n, e o sinal ∼ pode ser substituido pelos sinais de = ou ≤ ou ≥, indistintamente. De acordo com o formato (2.1), um modelo de PPL apresenta a seguinte estrutura:

min ou max

s.a. :

z = c1 x 1 + c2 x 2 + . . . + cn x n                 

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ∼ b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ∼ b2 .. .

(3.1)

       am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ∼ bm          x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0

Apesar da aparente limita¸cão do modelo, existem aplica¸co˜es de PL nas mais diversas a´reas. De fato, é uma das técnicas mais utilizadas em PO justamente pela simplicidade do modelo envolvido e facilidade para resolu¸cão de problemas utilizando técnicas gráficas, algébricas ou algoritm´ıcas. Como exemplos de PPL citamos os exemplos 1.6, 2.1, 2.3, 2.4 e 2.6 apresentados nos cap´ıtulos anteriores, utilizaremos o problema da produ¸caõ de balas exposto no exemplo 2.1 para ilustrar as hipóteses de linearidade.

. . . Exemplo 3.1. Considere que doceira deseja abrir um pequeno negócio para produ¸caõ de balas. A

˜ LINEAR CAPÍTULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

46

princ´ıpio ela está considerando produzir dois tipos de balas: caramelo e nozes. Na produ¸caõ são utilizados três ingredientes: leite, a¸cu ćar e nozes. A doceira tem em estoque 10kg de a¸cu ćar, 1kg de nozes e 6l de leite. A composi¸caõ da bala de caramelo é: 40% de leite e 60% de a¸cu ćar, e para as balas de nozes os ingredientes devem ser misturados na seguinte propor¸cão: 40% de leite, 50% de a¸cu ćar e 10% de nozes. Cada quilo de bala de caramelo pode ser vendido a R$10,00 enquanto um quilo de bala de nozes pode ser vendido por R$13,00. Qual deve ser a produ¸caõ de cada tipo de bala para obter a maior receita? O modelo completo é:

max

s.a. :

z = 10x1 + 13x2     0, 6x1 + 0, 5x2 ≤ 10 (qtde.utilizada de a¸cu ćar)         0, 4x1 + 0, 4x2 ≤ 6 (qtde. utilizada de leite)           

0, 1x2 ≤ 1

(qtde. utilizada de nozes)

x1 , x2 ≥ 0

(não-negatividade)

1. Certeza: No contexto do Exemplo 2.1, tanto pre¸cos de venda dos produtos, como a quantidade a ser utilizada de cada ingrediente para fabrica¸caõ dos doces são constantes conhecidas. Entretanto este é um fato rara na maioria das aplica¸co˜es práticas, em geral utiliza-se como coeficientes para o modelo de textitPPL aproxima¸co˜es do valor médio das distribui¸cões de probabilidade quando os respectivos desvios-padrões forem suficientemente pequenos, caso contrário, o problema não poderá ser modelado como PPL. 2. Proporcionalidade: Se a doceira vender 1kg de bala de caramelado ela receberá R$10, 00, se vender 2kg obterá R$20, 00, se vender x1 kg obterá 10x1 . O valor obtido na venda de balas de caramelo é proporcional a` quantidade vendida e pre¸co de venda do produto é a constante de proporcionalidade. A receita referente à produ¸cão de bala de nozes é 13x2 , sendo o produto da constante de proporcionalidade 13 pela quantidade vendida. Portanto, a receita referente a` determinado produto é proporcional a quantidade vendida, se a doceira conceder algum tipo de desconto


47

quando a quantidade adquirida ultrapassar certo patamar, a receita não será mais proporcional a`s quantidades vendidas e a fun¸caõ receita se tornará não-linear. De maneira análoga, para produzir 1kg de bala de caramelo utiliza-se 0, 6kg de a¸cu ćar, para produzir o dobro necessita-se do dobro de a¸cu ćar, sendo assim a quantidade utilizada do ingrediente é proporcional a quantidade produzida. Similarmente para os outros ingredientes, constatamos a proporcionalidade em todas as restri¸cões do problema. 3. Aditividade: Para a fun¸caõ objetivo, a receita total é a soma das receitas referentes a cada um dos produtos. Também para as restri¸cões o todo é igual a soma das partes, o total consumido de a¸cu ćar é a soma do a¸cu ćar utilizado para produ¸cão da bala de caramelo e do a¸cu ćar gasto na produ¸caõ da bala de nozes. Analogamente para os demais ingredientes. O comportamento aditivo é bastante comum, entretanto há situa¸co˜es onde não é poss´ıvel assumir o princ´ıpio da aditividade, por exemplo, se os produtos competirem entre si de forma que o aumento nas vendas de um provoque diminui¸caõ na procura do outro, a hipótese de aditividade não será satisfeita. Outro exemplo ocorre com rea¸co˜es qu´ımicas, se adicionarmos a um litro de a´gua o equivalente a 0,1 litro de a¸cu ćar o volume resultante não será 1,1 litro de a´gua doce. 4. Divisibilidade: Neste problema é poss´ıvel vender 1kg de bala como 0, 5kg. Dependendo do problema, as variáveis de decisão deverão assumir valores inteiros, neste caso é ainda poss´ıvel modelar o problema como linear utilizando arredondamento, entretanto este procedimento pode resultar em valores distorcidos, requerendo a utiliza¸caõ de algoritmos espec´ıficos de programa¸caõ inteira. ` etapas estabelecidas anteriormente para modelar um PPM, é necessário acrescentar As a verifica¸caõ das hipóteses de linearidade. Portanto, para proceder a análise do problema e formular um modelo de PPL o analista seguir as seguintes fases: X Identifica¸cão das variáveis de decisão X Identifica¸cão da fun¸cão objetivo


48 X Identifica¸cão das restri¸cões

X Verifica¸caõ dos axiomas de linearidade

X Formula¸caõ matemática no formato padronizado de acordo com (4.1)

3.2

Resolu¸c˜ ao Gr´ afica de um PPL

Após a obten¸caõ da formula¸cão matemática é preciso se preocupar com a resolu¸caõ do problema de otimiza¸cão. Em particular, PPL´s com duas variáveis permitem visualiza¸caõ geométrica, sendo assim, a princ´ıpio recorreremos ao método gráfico para resolver problemas mais simples. O método gráfico consiste em, primeiramente determinar o conjunto de todas as poss´ıveis solu¸cões para o problema, determinado pelo sistema de restri¸cões, e dentre estas identificar aquela onde ocorre o valor o´timo, avaliado pela fun¸cão objetivo.

3.2.1

Representa¸ c˜ ao Gr´ afica das Restri¸c˜ oes

O espa¸co das solu¸co˜es de problemas com duas variáveis é o plano R2 . Dois pontos distintos A = (xa , ya ) e B = (xb , yb ) do plano determinam um reta, e pelas condi¸cões de alinhamento, um ponto qualquer P = (x, y) ∈ R2 pertence a` reta AB que passa por A e B, se e somente se, a inclina¸cão da reta AB for a mesma inclina¸caõ da reta AP . Assim, temos: y − ya yb − ya = x b − xa x − xa

⇐⇒

(yb − ya )(x − xa ) = (y − ya )(xb − xa )

⇐⇒

(yb − ya )x − (yb − ya )xa = (xb − xa )y − (xb − xa )ya

⇐⇒

(yb − ya )x − (xb − xa )y = xa yb − xa ya − xb ya + xa ya ⇐⇒ (y − y ) x + (xa − xb ) y = xa yb − xb ya {z } | | b {z a} | {z } a

b

c

˜ GRAFICA ´ 3.2. RESOLUC ¸ AO DE UM PPL

49

Sendo assim, toda reta no plano tem equa¸caõ geral da forma:

ax + by = c

(3.2)

onde a,b e c são constantes que podem assumir qualquer valor real. E, reciprocamente, toda equa¸cão deste tipo representa uma reta no plano R2 . Uma reta divide o plano em duas regiões denominadas semiplanos, e as inequa¸co˜es

ax + by > c e ax + by < c

representam semiplanos abertos distintos, enquanto as inequa¸co˜es

ax + by ≥ c e ax + by ≤ c

determinam semiplanos fechados cuja interse¸cão é a reta ax + by = c. . . . Exemplo 3.2. Considere a equa¸caõ da reta r : −2x + y = 1, representada graficamente abaixo em linhas pontilhadas. A região hachurada é a representa¸cão gráfica do semiplano aberto −2x + y < 1

Se um semiplano é a representa¸cão gráfica de uma inequa¸cão em duas variáveis, então a representa¸cão gráfica de um sistema de inequa¸co˜es lineares em duas variáveis será a interseçcão dos semiplanos correspondentes a cada inequa¸caõ. As restri¸co˜es de um PPL


50

juntamente com as condi¸cões de não-negatividade é um conjunto de semiplanos cuja interseçcão determina um conjunto de pontos do R2 denominado Regi˜ ao das Solu¸c˜ oes Vi´ aveis ou simplesmente Regi˜ ao Vi´ avel (RV).

. . . Exemplo 3.3. A empresa TécniBOLA S.A. tem como u ńica atividade a fabrica¸caõ de bolas, sendo todas elas em couro e fabricadas segundo os processos primordiais. Atualmente fabrica dois produtos, a bola de futebol Catechumbo e a bola de vólei Voleitok. Ambos os produtos são feitos do mesmo material, variando apenas na dimensão, tipo de costuras e rotulagem. Os recursos que definem a fabrica¸cão das bolas são: o corte do couro, o trabalho de costura, a pintura de inscri¸co˜es na bola e prepara¸caõ final. Esta u ´ltima é composta pelas atividades de enchimento, controle de qualidade (inspe¸caõ visual, calibra¸caõ e pesagem) e embalagem. Os dados fornecidos pela empresa referentes a` quantidade de recursos necessários para a produ¸cão de cada tipo de bola e as quantidades dispon´ıveis para o dia de amanhã são os indicados na tabela: Recursos

unid. Voleitok

Catechumbo

Disponibilidade

Couro

m2

0,25

0,3

ilimitada

Linha

m

2,5

4

ilimitada

Câmera de Ar

un

1

1

25

Embalagens

un

1

1

ilimitada

Opera¸caõ de Corte

min

2

8

ilimitada

Opera¸caõ de Costura

min

9

25

480

Opera¸caõ de Logotipagem

min

1,5

1

ilimitada

Opera¸co˜es de Finaliza¸caõ

min

11

6

240

Para a tomada de decisão, a empresa disponibilizou informa¸cões a respeito dos valores monetários envolvidos (em u.m.) nos seus produtos, apresentados a seguir:


Bola

51

Custo de Produ¸c˜ ao Pre¸co de Venda

Catechumbo

26,00

32,50

Voleitok

15,00

25,00

Como deve ser distribu´ıda a produ¸cão amanhã de forma a maximizar o lucro, tendo em conta os recursos existentes?

De acordo com o objetivo do problema, as variáveis de decisão podem ser assim definidas:

x1 : n´ umero de bolas Catechumbo a ser produzido amanhã. x2 : n´ umero de bolas Voleitok a ser produzido amanhã.

Utilizando as hipóteses de linearidade, obtemos o seguinte modelo:

max

s.a. :

z = 6, 5x1 + 10x2 (Lucro Total)     x1 + x2 ≤ 25 (restri¸caõ de câmera de ar)         25x1 + 9x2 ≤ 480 (restri¸caõ de opera¸caõ de costura)    6x1 + 11x2 ≤ 240 (restri¸caõ de opera¸co˜es de finaliza¸caõ)         x1 , x2 ≥ 0 (restri¸cão de não-negatividade)

Neste caso, estamos admitindo a hipótese de divisibilidade, entretando o problema requer variáveis inteiras, na próxima se¸cão este PPL será resolvido com as técnicas usuais, mas a resposta final deverá respeitar a imposi¸cão prática de quantidades inteiras, utilizando arredondamento, se necessário.

. . . Exemplo 3.4. Construir a região viável do problema da TécniBOLA S.A., apresentado no exemplo 3.3, cujo modelo é:


52

max

s.a. :

z = 6, 5x1 + 10x2 (Lucro Total)     x1 + x2 ≤ 25 (restri¸caõ de câmera de ar)         25x1 + 9x2 ≤ 480 (restri¸caõ de opera¸caõ de costura)

(1) (2)

   6x1 + 11x2 ≤ 240 (restri¸caõ de opera¸co˜es de finaliza¸caõ) (3)         x1 , x2 ≥ 0 (restri¸cão de não-negatividade) (4) e (5) Somente as restri¸co˜es do problema são consideradas para determinar a região viável, sendo assim as restri¸cões foram identificadas e numeradas. A seguir é apresentada a representa¸cão gráfica de cada semiplano fechado correspondente a`s restri¸co˜es do problema. (1) x1 + x2 ≤ 25

A reta r1 : x1 + x2 = 25 determina o semiplano correspondente a` primeira restri¸caõ, e pode ser determinada por dois de seus pontos, da seguinte maneira: se x1 = 0 então x2 = 25

∴ (0; 25) ∈ r1

se x2 = 0 então x1 = 25

∴ (25; 0) ∈ r1

(2) 25x1 + 9x2 ≤ 480 (3) 6x1 + 11x2 ≤ 240 (4) x1 ≥ 0 (5) x2 ≥ 0 A interseçcão dos cinco semiplanos definidos pelas restri¸co˜es (1), (2), (3), (4) e (5), determina a região das poss´ıveis solu¸co˜es do problema e está representada pela região hachurada abaixo:


53

O pol´ıgono ABCDE é o conjunto de todos os pontos X = (x1 , x2 ) que satisfazem todas as restri¸cões simultaneamente. Sendo assim, toda combina¸cão poss´ıvel da produ¸caõ de x1 unidades de bolas Catechumbo e de x2 unidades de bolas Voleitok será um ponto


54

do pol´ıgono ABCDE, do seu interior ou ponto de fronteira.

3.2.2

Representa¸ c˜ ao Gr´ afica da Fun¸c˜ ao Objetivo

Fun¸cões lineares com duas variáveis do tipo z = f (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 são geometricamente planos em R3 , e somente admitem máximo e/ou m´ınimo se estiverem sujeitas a restri¸co˜es, como no caso de um PPL. As curvas de n´ıvel desse tipo de fun¸cão são retas paralelas que crescem monotonamente na dire¸caõ do gradiente ∇f (x1 , x2 ) =

∂f ∂f , ∂x1 ∂x2

A cada ponto do conjunto de solu¸cões viáveis está associada uma, e somente uma, reta da fam´ılia de retas paralelas correspondente a` fun¸cão objetivo. E solucionar graficamente um PPL é determinar quais pontos da RV retornam o melhor valor para a fun¸caõ objetivo. A origem do sistema de coordenadas é o u ńico ponto cr´ıtico de fun¸co˜es lineares, para o caso espec´ıfico de PPL com duas variáveis o ponto cr´ıtico é (0, 0), que é um dos vértices da RV e qualquer outro ponto extremo da fun¸cão objetivo deve necessariamente estar na fronteira da região delimitada pelas restri¸cões. Para encontrar tais pontos deve-se percorrer a fam´ılia de retas paralelas no sentido do gradiente.

Considere um ponto arbitrário P ∈ RV e a reta z = c passando por P . Se P for um ponto interior do pol´ıgono, será poss´ıvel melhorar o valor da fun¸cão objetivo porque existem pontos de RV no semiplano determinado por z = c e pelo gradiente. Para


55

melhorar este valor basta tomar outro ponto de RV localizado à direita de P e tra¸car o representante da fam´ılia de retas paralelas que passa por este ponto retornando maior valor para a fun¸caõ objetivo. Se, por outro lado, P for tomado de maneira que não exista nenhuma outra solu¸cão viável situada no semiplano a` direita então não será mais poss´ıvel melhorar o valor da fun¸caõ objetivo e a solu¸cão o´tima foi determinada. A solu¸cão do problema foi obtida tangenciando-se a` direita o pol´ıgono das solu¸co˜es viáveis e este fato implica que a solu¸caõ ótima, quando existe, localiza-se em ao menos um dos vértices de RV. O procedimento de busca pelo vértice ótimo é análogo para problemas de minimiza¸caõ, entretanto o sentido da busca pela solu¸caõ do problema deve seguir a dire¸caõ contrária ao crescimento indicado pelo vetor gradiente. . . . Exemplo 3.5. Resolver graficamente o problema da TécniBOLA S.A., apresentado no exemplo 3.2 Na figura abaixo estão representadas algumas retas paralelas correspondentes a` fun¸caõ objetivo z = 6, 5x1 + 10x2 para z = 0, z = −100, z = 100 e z = c.

A reta z = c pode ser deslocada até atingir o vértice C, onde não será mais poss´ıvel aumentar o valor da fun¸cão objetivo respeitando todas as restri¸cões do problema. Portanto, o ponto C é o ponto onde o valor de z é máximo nas condi¸co˜es do PPL.


56

A solu¸caõ o´tima do problema pode ser obtida calculando-se as coordenadas do vértice C, que é o resultado da interseçcão das retas correspondentes às restri¸cões (1) e (3). Sendo assim, as coordenadas de C é a solu¸caõ do seguinte sistema linear de ordem 2. (

x1 + x2

=

25

6x1 + 11x2 = 240

cuja solu¸caõ é: x1 = 7 e x2 = 18.

Portanto a solu¸cão o´tima do PPL é: deverão ser produzidas amanhã 7 bolas Catechumbo e 18 bolas Voleitok para obter um lucro máximo de $ 225,50.

3.2.3

Solu¸ co ˜es do Modelo

As condi¸co˜es para existência de solu¸cão para um PPL é garantida pelo seguinte teorema: TEOREMA 3.1. (Teorema do Valor Extremo) Se f (x1 , x2 , . . . , xn ) é cont´ınua em um subconjunto fechado e limitado do Rn , então f atinge valores globais de máximo e m´ınimo. Como fun¸co˜es lineares são cont´ınuas, se o conjunto das solu¸cões viáveis, para o caso espec´ıfico do R2 , formar um pol´ıgono fechado então o problema admite solu¸caõ. Ao resolver graficamente um PPL em duas variáveis, três situa¸cões podem ocorrer: 1. RV é um conjunto vazio Neste caso, as restri¸co˜es são conflitantes e o PPL não admite solu¸cão.

2. RV é não vazio e limitado O PPL tem solu¸caõ o´tima, u ńica ou não.


57

(a) O problema tem uma u ńica solu¸caõ ótima. (b) O problema tem m´ ultiplas solu¸co˜es o´timas, isto é, todos os infinitos pontos de um segmento de reta são solu¸cões o´timas, e dão o mesmo valor para a fun¸cão objetivo.

(a)

(b)

3. RV é não vazio e ilimitado Duas situa¸co˜es podem ocorrer: (a) O PPL tem solu¸cão o´tima, u ńica ou não. (b) O PPL não tem o´timo finito, o valor a fun¸caõ objetivo cresce indefinidamente no sentido favorável.

(a)

(b)

Roteiro


58

De acordo com o que foi estudado até aqui, a resolu¸cão gráfica de um modelo de PPL com apenas duas variáveis segue os seguintes passos: 1. Construir o plano cartesiano, tomando como eixos as variáveis de decisão; 2. Determinar os semiplanos correspondentes a`s restri¸co˜es para delimitar a região viável; 3. Tra¸car uma reta referência qualquer com a inclina¸caõ da fun¸caõ objetivo; 4. Tra¸car retas paralelas a` referência no sentido de crescimento da fun¸caõ (maximiza¸cão da fun¸cão) até tangenciar a região viável. O ponto o´timo, se existir, será um vértice ou um lado da região viável. Ainda um PPL com três variáveis é poss´ıvel de ser resolvido graficamente, embora exija habilidade em desenho e boa visão espacial. Problemas com mais que três variáveis necessitam de métodos algébricos para serem resolvidos. O interesse maior em estudar o método gráfico está em, através da representa¸caõ gráfica, intuir propriedades teóricas e delinear um método de resolu¸caõ algébrica que possa ser utilizado em problemas com um n´ umero qualquer de variáveis.

3.3

Lista de Problemas

Para cada item abaixo, modele o problema de acordo com as hipóteses de linearidade e resolva graficamente os PPL com duas variáveis. 1. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal dispon´ıvel para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2


59

não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Qual deve ser o sistema de produ¸cão mensal para maximizar o lucro da empresa? 2. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total dispon´ıvel de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 u.m. e o do cinto é de 2 u.m. Qual deve ser o sistema de produ¸cão do sapateiro, se o objetivo é maximizar o seu lucro por hora? 3. Um pizzaiolo trabalha 8h por dia e faz 16 pizzas por hora, caso fa¸ca somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40gr de queijo para preparar uma pizza e 60gr de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total dispon´ıvel de queijo é de 5kg por dia, e que a pizza é vendida a R$18,00 e o calzone a R$22,00, pergunta-se: quantas unidade de pizzas e calzones uma pizzaria com três pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita? 4. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 5. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de m´ usica e 1 minuto de propaganda chama a aten¸cão de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de m´ usica e 1 minuto de propaganda chama a aten¸cão de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no m´ınimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de m´ usica. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o n´ umero máximo de telespectadores? 6. Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabrica¸cão em rela¸caõ ao modelo M2. Se


60

todos os cintos fosse do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produ¸caõ que maximiza o lucro total diário da empresa? 7. Um empresa, após um processo de racionaliza¸cão de produ¸cão, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o pre¸co de coloca¸cão no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produ¸caõ forneceu a seguinte tabela de uso de recursos: Produto P1 P2 Disponibilidade de recursos por mês

R1 p.u. 2 4

R2 p.u. 3 2

R3 p.u. 5 3

100

90

120

Que produ¸cão mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para empresa? 8. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: - A (Arrendamento): Destinar certa quantidade de sua propriedade para a planta¸cão de cana-de-a¸cu ćar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano. - P (Pecuária): Usar outra parte para a cria¸cão de gado de corte. A recupera¸cão das pastagens requer aduba¸cão (100 kg/Alq) e irriga¸caõ (100.000 litros/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $400,00 por alqueire por ano. - S (Plantio de Soja): Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de água por alqueire para irriga¸caõ por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $500,00 por alqueire por ano.


61

Sabendo que há disponibilidade de 12.750.000 litros de a´gua, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra por ano, quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? 9. Um indiv´ıduo quer investir $ 5.000,00 no próximo ano em dois tipos de investimento: o investimento A rende 5% e o investimento B rende 8%. Pesquisas de mercado, recomendam uma aloca¸cão de no m´ınimo 25% em A e no máximo 50% em B. Além do mais o investimento em A deve ser no m´ınimo metade do investimento em B. Como o fundo deveria ser alocado aos dois investimentos? 10. Uma liga especial constitu´ıda de ferro, carvão, sil´ıcio e n´ıquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 (MR1) - Composi¸caõ:    ferro - 60%    carvão - 20% custo por kg $0,20 Material Recuperado 2 (MR2)      sil´ıcio - 20%    ferro - 70%       carvão - 20% Composi¸caõ:   sil´ıcio - 5%       n´ıquel - 5%

custo por kg $0,25

A liga deve ter a seguinte composi¸cão final Mat´ eria-prima % m´ınima % m´ axima ferro

60

65

carvão

15

20

sil´ıcio

15

20

n´ıquel

5

8

O custo dos materiais puros (por kg) são: ferro $0,30; carvão $0,20; sil´ıcio $0,28; n´ıquel $0,50. Qual deverá ser a composi¸caõ da mistura em termos dos materiais dispon´ıveis, com menor custo por kilo?


62

11. A ind´ ustria Alumilâminas S/A iniciou suas opera¸cões em janeiro de 2006 e já vem conquistando espa¸co no mercado de laminados brasileiros, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alum´ınio que fabrica: espessuras fina, média ou grossa. Toda a produ¸caõ da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido a` qualidade dos produtos de Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produ¸cão diária de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias, 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produ¸caõ diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produ¸cão de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias, 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo poss´ıvel? 12. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo “A”tem 2m3 de espa¸co refrigerado e 3m3 de espa¸co não refrigerado; tipo “B”tem 2m3 de espa¸co refrigerado e 1m3 de espa¸co não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará 16m3 de espa¸co refrigerado e 12m3 de espa¸co não refrigerado. A companhia calcula em 1.100 litros o consumo de combust´ıvel para a viagem com o caminhão “A”e 750 litros para o caminhão “B”. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combust´ıvel? 13. A empresa Have Fun S/A. produz uma bebida energética muito consumida pelos freq¨ uentadores de danceterias noturnas. Dois componentes utilizados na prepara¸cão da bebida são solu¸cões compradas de laboratórios terceirizados - solu¸cão Red e a solu¸caõ Blue - e que proveem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafe´ına. A companhia quer saber quantas doses de 10ml. de cada solu¸caõ deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer a`s exigências m´ınimas padronizadas de 48gr. de extrato de guaraná e 12gr. de cafe´ına e, ao mesmo tempo,


63

minimizar o custo da produ¸caõ. Por acelerar o batimento card´ıaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafe´ına seja no máximo 20gr. por lata. Uma dose da solu¸cão Red contribui com 8gr de extrato de guaraná e 1gr de cafe´ına, enquanto uma dose da solu¸cão Blue contribui com 6gr. de extrato de guaraná e 2gr. de cafe´ına. Uma dose de Red custa R$0,06 e uma dose de Blue custa R$0,08. 14. Um fabricante de carros produz duas versões de seu modelo popular de tamanho médio: um utilitário direcionado ao mercado de fam´ılias e um esportivo projetado para atrair clientes ricos e solteiros. Ambos são montados sobre os mesmos chassis e diferem somente na carroceria. Ambos são também produzidos na mesma fábrica. Existem 10.000 horas de for¸ca de trabalho e 1.325 unidades de chassis básicos dispon´ıveis a cada semana. O modelo utilitário leva seis horas para ser montado, enquanto o modelo esportivo leva 9 horas. Pelo menos 400 unidades do modelo utilitário devem ser produzidas por semana. A produ¸caõ também é restringida pelo fato de que, devido a problemas com um fornecedor, somente 6.000 ma¸canetas estão dispon´ıveis por semana. Um utilitário utiliza cinco dessas ma¸canetas, enquanto um esportivo utiliza três. O lucro da fábrica sobre um modelo utilitário é estimado em $ 1.500,00, enquanto o lucro sobre um modelo esportivo é de $ 2.000,00. A demanda do mercado pelos carros é alta. Sabe-se que a demanda excederá a produ¸caõ em algum momento; então, a fábrica deve ser capaz de vender qualquer mix de carros que for produzido. (a) Quantas ma¸canetas em excesso seriam recebidas pela fábrica a cada semana se o mix de carros de produ¸caõ recomendado for seguido. (b) Se a fábrica pudesse obter somente uma das coisas a seguir, o que a permitiria produzir mais carros? i. Mais unidades de chassis. ii. Mais ma¸canetas. iii. Maior margem de lucro sobre cada carro. iv. Remo¸cão da restri¸caõ sobre a produ¸cão do modelo utilitário.

CAPÍTULO

4 ˜ DE PPL RESOLUC ¸ AO

A importância do método gráfico visto no cap´ıtulo anterior, reside no fato de permitir a visualiza¸caõ de um método algébrico mais geral, que consiste em procurar o vértice do pol´ıgono que otimize a fun¸cão objetivo.

4.1

Estrutura¸c˜ ao de Modelos Lineares

˜ o 4.1. Em problemas de minimiza¸cão, uma solu¸cão viável x∗ = (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ) Definic ¸a é dita ´ otima se f (x∗ ) ≤ f (x), para toda solu¸cão viável x. ˜ o 4.2. Um modelo de PPL está na forma padr˜ Definic ¸a ao quando for formulado da seguinte maneira: min

s.a. :

z = c1 x 1 + c2 x 2 + . . . + cn x n            

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. .

(4.1)

     am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm       x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0 Observe que, na forma padrão, a fun¸cão objetivo deve ser minimizada, as restri¸cões 64


65

são definidas como um sistema de equa¸cões lineares e todas as variáveis devem satisfazer as condi¸co˜es de não-negatividade. A forma padrão não é restritiva pois todo PPL pode ser posto como em (4.1), de fato:

1. Para PPL de minimiza¸caõ, encontrar uma solu¸cão viável x∗ que minimize f (x) é equivalente a encontrar uma solu¸caõ que maximiza¸caõ −f (x). Suponha que x∗ é um ponto o´timo de f (x), então

×(−1)

⇐⇒

f (x∗ ) ≤ f (x),

∀x viável

−f (x∗ ) ≥ −f (x),

∀x viável

⇐⇒ (−f )(x∗ ) ≥ (−f )(x), ∀x viável

2. Para ocorrência de desigualdades Toda inequa¸caõ pode ser convertida em equa¸cão adicionando ou subtraindo-se variáveis adicionais positivas denominadas vari´ aveis de folga ou de excesso para o caso de ocorrência de desigualdades do tipo ≤ ou ≥, respectivamente.

3. Para ocorrência de variáveis livres São consideradas livres, as variáveis que não apresentam qualquer tipo de restri¸caõ 0

de sinal. Uma variável livre xj pode ser substitu´ıda por outras duas variáveis xj e 0

x00 j não-negativas, bastando para isto tomar xj = xj − x00 j

Na forma padrão um PPL pode ser escrito equivalentemente em nota¸cão matricial como: max f (x) = cT x Ax = b x≥ 0 onde:

(4.2)

˜ DE PPL CAPÍTULO 4. RESOLUC ¸ AO

66 



 a11 . . . a1n  .. A =  .   am1 . . . amn

c

T

x

T

=

é o vetor dos custos;

c1 c2 . . . cn

=

é o vetor das variáveis de decisão;

x1 x2 . . . xn

é o vetor dos recursos;

b1 b2 . . . bm

=

é a matriz dos coeficientes;

bT =

0

    

é o vetor nulo.

0 0 ... 0

. . . Exemplo 4.1. Problema ilustrativo Uma fábrica tem três tipos de máquinas (M1 , M2 , M3 ) cada uma das quais dever ser usada na manufatura de seus produtos P1 e P2 . Sabendo que o lucro por unidade de P1 é 40 u.m. e o lucro por unidade de P2 é 60 u.m., decida quanto fabricar de cada produto por semana a fim de maximizar os lucros de acordo com a seguinte tabela: M´ aquinas Horas P1

Horas P2

Horas dispon´ıveis

M1

2

1

70

M2

1

1

40

M3

1

3

90

O modelo para este PPL é: x1 : produ¸caõ semanal de P1 x2 : produ¸caõ semanal de P2

max

z = 40x1 + 60x2    2x1 + x2 ≤ 70       x1 + x2 ≤ 40 s.a. :   x1 + 3x2 ≤ 90       x1 , x2 ≥ 0

Para que o sistema de restri¸cões do problema seja posto na forma (Ax = b, x ≥ 0)

˜ TEORICA ´ 4.2. FUNDAMENTAC ¸ AO

67

variáveis de folga devem ser definidas: x3 = 70 − 2x1 − x2 ≥ 0 x4 = 40 − x1 − x2

≥0

x5 = 90 − x1 − 3x2 ≥ 0 Inserido as variáveis de folga, obtemos o modelo do PPL na forma padrão: max

z = 40x1 + 60x2    2x1 + x2 + x3 =       x1 + x2 + x4 = s.a. :   x1 + 3x2 + x5 =       xj ≥

4.2

70 40 90 0

j = 1, . . . , 5

Fundamenta¸c˜ ao Te´ orica

O método algébrico Simplex para solucionar PPL está fundamentado nas técnicas e con´ ceitos da Algebra Linear. Para generalizar as ideias discutidas no método geométrico algumas defini¸co˜es e reformula¸cões se farão necessárias. A defini¸caõ seguinte generaliza o conceito de semiplano definido na cap´ıtulo anterior. ˜ o 4.3. A equa¸cão a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b, com a1 , . . . , an , b ∈ R deDefinic ¸a fine um Hiperplano em Rn , que divide o espa¸co Rn em dois semi-espa¸ cos disjuntos: a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n < b

e

a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn > b.

Analogamente ao que foi visto para PPL em duas variáveis, para problemas com três ou mais variáveis a fun¸cão objetivo representa uma fam´ılia de hiperplanos paralelos entre si. ˜ o 4.4. A interseçcão de um n´ Definic ¸a umero finito de semi-espa¸cos fechados é denominado politopo. Isto é, um politopo é definido por ( P =

x ∈ Rn :

n X j=1

) aij xj ≤ bi , para i = 1, 2, . . . , m


68

O conjunto das solu¸cões viáveis de um PPL é um politopo pois é obtida pela interseçcão de um n´ umero finito de restri¸co˜es. Mesmo as inequa¸cões do tipo ≥ que possivelmente compõem o sistema de restri¸cões facilmente são transformadas em inequa¸co˜es do tipo ≤ pela simples multiplica¸cão da expressão por -1.

˜ o 4.5. Sejam x1 , x2 , . . . , xk vetores do Rn e α1 , α2 , . . . , αk n´ Definic ¸a umeros reais. k X x= αi xi é uma Combina¸ c˜ ao Linear Convexa se αi ≥ 0 para todo i = 1, 2 . . . , k e se

i=1 k X

αi = 1. Se αi > 0 para todo i = 1, 2 . . . , k, dizemos que é uma Combina¸ c˜ ao

i=1

Linear Convexa Leg´ıtima. . . . Exemplo 4.2. Dados os vetores x1 = (1, 0) e x2 = (0, 1) de R2 . O vetor x1 + x2 é uma combina¸caõ linear dos vetores x1 e x2 , mas não é uma combina¸cão linear convexa pois α1 + α2 = 2 6= 1. O vetor 2x1 − x2 não é uma combina¸caõ linear convexa dos vetores x1 e x2 , apesar de α1 + α2 = 1, não satisfaz a condi¸cão de não-negatividade dos escalares pois α2 = −1 < 0.


69

Os vetores 0, 5x1 + 0, 5x2 , 0, 6x1 + 0, 4x2 , 0, 4x1 + 0, 6x2 , 0, 7x1 + 0, 3x2 e 0, 3x1 + 0, 7x2 são exemplo de combina¸co˜es lineares convexas leg´ıtimas pois satisfazem α1 +α2 = 1, com α1 , α2 > 0. Geometricamente pode-se interpretar uma combina¸cão linear convexa de dois pontos como um ponto do segmento de reta que une os dois pontos originais. ˜ o 4.6. Um conjunto M é convexo se toda combina¸cão linear convexa de qualDefinic ¸a quer par de pontos do conjunto também for elemento de M . Em outras palavras, M é convexo se todo segmento de reta definido por dois quaisquer de seus pontos estiver contido no conjunto. . . . Exemplo 4.3. Os conjuntos representados nas figuras (a) e (b) são exemplos de conjuntos convexos, enquanto as figuras (c) e (d) são conjuntos não convexos.

TEOREMA 4.1. A região viável de um PPL é um politopo convexo. Dem.: Já vimos que a região viável de um PPL é um politopo e para mostrar que é uma região convexa, sejam y, z ∈ RV . Para ser uma solu¸caõ viável y e z devem satisfazer todas as restri¸co˜es e as condi¸cões de não-negatividade, assim tem-se que Ay = b, Az = b e que y, z ≥ 0. Seja αy + βz uma combina¸caõ linear convexa, isto é, α, β ≥ 0 e α + β = 1 . Então a) αy + βz ≥ 0 pois α, β, y, z ≥ 0 b) A(αy + βz) = αAy + βAz = αbβb = (α + β)b = b O que demonstra αy + βz ∈ RV e portanto RV é um politopo convexo.


70

˜ o 4.7. Um ponto x de um politopo convexo, denomina-se vértice quando ele n˜ Definic ¸a ao puder ser obtido como uma combina¸cão linear convexa leg´ıtima de nenhum par de pontos distintos do politopo. . . . Exemplo 4.4. Problema ilustrativo (continua¸cão) Retornando ao exemplo 4.1, utilizando a nota¸caõ matricial o sistema de equa¸co˜es lineares correspondente às restri¸co˜es expl´ıcitas do problema é da forma Ax = b,   x    1   2 1 1 0 0  x2   70    1 1 0 1 0 x3  = 40        1 3 0 0 1  90 x4  x5 Apesar do problema passar a ter cinco variáveis, qualquer par ordenado (x1 , x2 ) ∈ R2 determina unicamente todas as variáveis, pois as variáveis de folga são dependentes das duas variáveis de decisão do modelo original. Observe que posto(A) = 3, sendo assim o sistema Ax = b com m = 3 equa¸co˜es e m + n = 5 variáveis é um Sistema Poss´ıvel e Indeterminado. Portanto, o sistema tem duas variáveis livres, para as quais podemos atribuir quaisquer valores. Vamos admitir que atribuiremos apenas valores nulos para as variáveis livres, como são cinco variáveis agrupadas em conjunto de dois elementos, teremos 10 combina¸cões poss´ıveis: 1. Fixar x1 = x2 = 0 resulta em x3 = 70, x4 = 40, x5 = 90        x1 = 35 2x1 = 70       x2 = 0   resulta em 2. Fixar x = 5 x + x4 = 40 cuja solu¸caõ é  1  4   x3 = 0        x1 + x5 = 90  x5 = 55        2x1 + x2 = 70 x1 = 30       x3 = 0   3. Fixar resulta em x1 + x2 = 40 cuja solu¸cão é x2 = 10     x4 = 0        x1 + 3x2 + x5 = 90  x5 = 30


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       2x1 + x2 + x3 = 70 x1 = 15        x4 = 0  4. Fixar resulta em x1 + x2 = 40 cuja solu¸cão é x2 = 25      x5 = 0       x3 = 15  x1 + 3x2 = 90

5. Fixar

   x3 = 0   x5 = 0

resulta em

     

2x1 + x2 x1 + x2 + x4

    

x1 + 3x2

   = 70 x1 = 24    = 40 cuja solu¸cão é x2 = 22      x4 = −6 = 90

       x2 = 70 x2 = 70       x1 = 0   6. Fixar resulta em x2 + x4 = 40 cuja solu¸caõ é x4 = −30     x3 = 0        3x2 + x5 = 90  x5 = −120        x2 = 40 x2 + x3 = 70         x1 = 0 7. Fixar resulta em x4 = 30 x2 = 40 cuja solu¸cão é       x4 = 0      x5 = −30  3x2 + x5 = 90        x2 + x3 = 70 x2 = 30       x1 = 0   8. Fixar resulta em x + x4 = 40 cuja solu¸caõ é x = 40  x = 0  2  3      5     x4 = 10 3x2 = 90

9. Fixar

      2x1 + x3 = 70 x1 = 40       resulta em x1 = 40 cuja solu¸cão é x3 = −10     = 0      x1 + x5 = 90  x5 = 50

   x2 = 0   x4

       2x1 + x3 = 70 x1 = 90       x2 = 0   10. Fixar resulta em x1 + x4 = 40 cuja solu¸caõ é x3 = −110  x = 0        5     x4 = −50 x1 = 90

A solu¸cão gráfica do problema pode ser visualizada na figura seguinte. As solu¸co˜es encontradas nas alternativas 5, 6, 7, 9 e 10 são inviáveis, isto é, apesar de ser solu¸caõ do sistema Ax = b estão fora da região viável. Enquanto a solu¸cão encontrada na alternativa 1 corresponde ao vértice A do pol´ıgono que representa a região viável do


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problema, a solu¸caõ 2 é o vértice B, a solu¸cão 3 é o vértice C, a solu¸caõ 4 é o vértice D e a solu¸cão 8 é o vértice E.

Para encontrar a solu¸caõ o´tima de um PPL é necessário encontrar solu¸cões para o sistema de equa¸cões lineares Ax = b, com m equa¸co˜es e n + m incógnitas. ´ comum, em problema reais, m