Fundamentos da PESQUISA OPERACIONAL - Unifal-MG

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O termo Pesquisa Operacional (PO) designa uma área do conhecimento que consiste ... A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a ...
Andr´ea Cardoso

Fundamentos da PESQUISA OPERACIONAL

UNIFAL-MG Fevereiro 2011

´ SUMARIO

1 Conhecendo a Pesquisa Operacional

4

1.1

Modelos Matem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Primeiros Exemplos e Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Programa¸c˜ ao Matem´ atica

24

2.1

Modelos de Otimiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Problemas de Programa¸ca˜o Matem´atica

2.3

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Programa¸c˜ ao Linear

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

44

3.1

Estrutura¸ca˜o de Modelos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2

Resolu¸ca˜o Gr´afica de um PPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

3.2.1

Representa¸ca˜o Gr´afica das Restri¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2

Representa¸ca˜o Gr´afica da Fun¸ca˜o Objetivo . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.3

Solu¸c˜oes do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Resolu¸c˜ ao de PPL

64

4.1

Estrutura¸ca˜o de Modelos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2

Fundamenta¸ca˜o Te´orica

4.3

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

5 O M´ etodo Simplex

79

5.1

Fluxograma para solu¸co˜es finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2

An´alise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4

Lista de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

CAP´ITULO

1 CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

O termo Pesquisa Operacional (PO) designa uma a´rea do conhecimento que consiste no desenvolvimento de m´etodos cient´ıficos de sistemas complexos, com a finalidade de prever e comparar estrat´egias ou decis˜oes alternativas, cujo objetivo ´e dar suporte a` defini¸ca˜o de pol´ıticas e determina¸ca˜o de a¸co˜es. O trabalho do matem´atico russo Leonid Kantorovich de 1939 intitulado “M´etodos matem´aticos na organiza¸ca˜o e no planejamento de produ¸ca˜o” ´e considerado um dos precursores da PO, por´em manteve-se desconhecido da comunidade cient´ıfica ocidental at´e 1959. O pr´oprio termo Pesquisa Operacional, do inglˆes Operations Research, foi cunhado pelo matem´atico russo na tentativa de englobar, sob uma u ´nica denomina¸ca˜o, todas as t´ecnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que tinham o mesmo objetivo citado. De fato, o termo PO designa um conjunto de disciplinas isoladas tais como Programa¸ca˜o Linear, Teoria das Filas, Simula¸c˜ao, Programa¸ca˜o Dinˆamica, Teoria dos Jogos, dentre outras. A Pesquisa Operacional tal qual como a conhecemos surgiu durante a Segunda Guerra Mundial tendo como objetivo o desenvolvimento de metodologia para solu¸c˜ao de problemas relacionados com as opera¸co˜es militares quando os Aliados se viram confrontados com problemas complexos de natureza log´ıstica, t´atica e de estrat´egia militar. Para apoiar os comandos operacionais na resolu¸c˜ao desses problemas foram criados grupos multidisciplinares compostos por matem´aticos, f´ısicos, engenheiros e cientistas sociais. O que esses cientistas fizeram foi aplicar o m´etodo cient´ıfico, que t˜ao bem conheciam, aos problemas que lhes foram sendo colocados. Desenvolveram ent˜ao a id´eia de criar modelos 4

5 matem´aticos, apoiados em dados e fatos, que lhes permitissem perceber os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipot´etico de estrat´egias bem como propor decis˜oes alternativas. Em 1941 a Inglaterra inaugura a Se¸c˜ao de Pesquisa Operacional do Comando da For¸ca A´erea de Combate para trabalhar com problemas de opera¸c˜oes de guerra, manuten¸c˜ao e inspe¸ca˜o de avi˜oes, melhoria da probabilidade de destrui¸c˜ao de submarinos, controle de artilharia antia´erea, dimensionamento de comboios de frota, entre outros. O sucesso e credibilidade ganhos durante a guerra foram t˜ao grandes que, terminado o conflito, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia de abordagem dos problemas se transferiram para as empresas que, com o vertiginoso crescimento econˆomico que se seguiu, se viram tamb´em confrontadas com problemas de decis˜ao de grande complexidade. Em 1947 os Estados Unidos implantam o projeto SCOP (Scientific Computation of Optimal Programs) com o objetivo de apoiar decis˜oes de opera¸co˜es da for¸ca a´erea americana, coordenado por um economista e por um matem´atico George Dantzig que desenvolveu e formalizou o M´etodo Simplex para resolver problemas de otimiza¸ca˜o linear. Face ao seu car´ater multidisciplinar, atualmente as contribui¸c˜oes da PO estende-se por praticamente todos os dom´ınios da atividade humana, da Engenharia a` Medicina, passando pela Economia e `a Gest˜ao Empresarial. Os ramos mais importantes desenvolvidos em PO s˜ao: Programa¸c˜ ao Matem´ atica

Outros Ramos

X Programa¸ca˜o Linear

X An´alise Estat´ıstica

X Programa¸ca˜o N˜ao Linear

X Teoria dos Jogos

X Programa¸ca˜o Dinˆamica

X Teoria das Filas

X Programa¸ca˜o Inteira

X Simula¸c˜ao

X Otimiza¸ca˜o Global

X Gest˜ao de estoques

Resumidamente podemos dizer que o objetivo principal da PO ´e determinar a programa¸ca˜o otimizada de atividades ou recursos, fornecendo um conjunto de procedimentos e m´etodos quantitativos para tratar de forma sistematizada problemas que envolvam a utiliza¸ca˜o de recursos escassos. Para apoiar a tomada de decis˜ao, a PO busca a solu¸ca˜o de problemas que podem ser representados por modelos matem´aticos. De modo geral, para a resolu¸ca˜o de um problema, um estudo de PO ´e desenvolvido em fases como indicado no esquema abaixo.

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

6

Figura 1.1: Passos para implementa¸c˜ao de PO

Identificado o problema a ser estudado, a fase de formula¸c˜ ao consiste na estrutura¸ca˜o dos dados e informa¸c˜oes dispon´ıveis, a pr´oxima fase de modelagem concentra-se na constru¸ca˜o do modelo que ´e uma representa¸c˜ao simplificada do sistema, em geral descrito por um conjunto de equa¸co˜es e desigualdades matem´aticas. A solu¸c˜ ao ´e obtida atrav´es de um m´etodo que pode ser um procedimento matem´atico ou algoritmo para alcan¸car o resultado. A avalia¸c˜ ao consiste na valida¸ca˜o do modelo, nesta fase ajustes podem ser feitos. A decis˜ ao ´e a escolha e operacionaliza¸ca˜o da solu¸ca˜o encontrada. As fases de formula¸ca˜o e modelagem do problema devem ser executadas com muita ´ muito dif´ıcil encontrar uma solu¸c˜ao certa para um problema mal responsabilidade pois “E formulado!”.

1.1

Modelos Matem´ aticos

Observar, compreender, reproduzir e aprimorar fenˆomenos, que podem ser naturais, sociais ou econˆomicos, tem sido desde sempre uma preocupa¸ca˜o b´asica da Ciˆencia. Eventualmente tais fenˆomenos podem ser control´aveis e haver´a ent˜ao condi¸c˜oes de realizar previs˜oes com pequeno n´ıvel de incerteza, para tanto ´e necess´aria a constru¸c˜ao de modelos que s˜ao representa¸c˜oes idealizadas para tais fenˆomenos, processos ou sistemas. Um modelo descreve, representa e imita o procedimento que ocorre no mundo real, estabelecendo o relacionamento das vari´aveis com os objetivos, da melhor maneira poss´ıvel, obedecendo `a limita¸ca˜o de tempo e de custo. Os modelos podem ser assim classificados:

´ 1.1. MODELOS MATEMATICOS

7

verbais: quando s˜ao descritos e representados por palavras e senten¸cas. f´ısicos: quando representados por algum tipo de material concreto, alterando-se suas dimens˜oes, formato e custo. Por exemplo: maquetes e prot´otipos. esquem´ aticos: quando descritos por meio de gr´aficos, tabelas ou diagramas. matem´ aticos: quando representados por rela¸co˜es matem´aticas, como equa¸c˜oes, inequa¸co˜es, fun¸c˜oes ou l´ogica simb´olica. Um modelo matem´atico ´e uma representa¸ca˜o simplificada de uma situa¸c˜ao real e deve refletir a essˆencia do problema, representando as grandezas envolvidas por vari´aveis e as rela¸co˜es de interdependˆencia existentes entre elas por express˜oes matem´aticas. Esquematicamente, um modelo matem´atico pode ser visto como uma Caixa Preta, representando as rela¸co˜es que descrevem a dependˆencia das vari´aveis, que recebe a entrada formada pelas vari´aveis do problema que se quer otimizar e processa essas informa¸co˜es para produzir a sa´ıda que ´e a solu¸c˜ao do problema ou resultado da decis˜ao.

Entrada

Modelo Matemático

Saída

O modelo mais adequado depende de v´arios fatores: a natureza das rela¸co˜es entre as vari´aveis, os objetivos almejados, a extens˜ao do controle sobre as vari´aveis e o n´ıvel de incerteza existente tanto nas rela¸co˜es entre as vari´aveis como na pr´opria defini¸ca˜o das vari´aveis. Para cada conjunto de situa¸c˜oes espec´ıficas o modelo matem´atico, doravante denominado somente modelo, dever´a ter uma forma padronizada e a solu¸c˜ao poder´a ser obtida por m´etodos matem´aticos espec´ıficos para cada caso, que ser˜ao estudados posteriormente. De maneira geral, um problema de tomada de decis˜ao requer solu¸ca˜o que responda a trˆes perguntas: 1. Qual ´e a meta a ser atingida?

(objetivo)

2. Quais s˜ao as alternativas para a decis˜ao?

(vari´ aveis de decis˜ ao)

3. Sob quais condi¸co˜es a decis˜ao deve ser tomada? (restri¸c˜ oes)

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

8

1.2

Primeiros Exemplos e Aplica¸ co ˜es

Nesta se¸ca˜o ser˜ao apresentadas os primeiras formula¸co˜es de problemas de otimiza¸ca˜o como aux´ılio na tomada de decis˜ao, para serem analisados, modelados e, exceto o sexto exemplo, resolvidos. Os trˆes primeiros exemplos s˜ao bem simples e podem ser resolvidos intuitivamente ou por enumera¸ca˜o n˜ao necessitando de modelos matem´aticos formais. O quarto problema requer o uso de planilhas eletrˆonicas para realizar simula¸co˜es de maneira mais r´apida e eficaz. O quinto problema necessita de conhecimentos pr´evios de C´alculo Diferencial. O sexto exemplo, ´e um pouco mais complexos e necessita de modelos matem´aticos estruturados de Programa¸c˜ao Matem´atica assunto do cap´ıtulo seguinte cujas t´ecnicas de resolu¸ca˜o ser˜ao estudadas no cap´ıtulo 3. Finalmente, o s´etimo exemplo apresenta um problema cl´assico da Teoria dos Jogos e suas implica¸co˜es. . . . Exemplo 1.1. O problema da dona-de-casa

1

Considere a situa¸ca˜o em que uma dona de casa precisa decidir entre comprar manteiga ou margarina para o consumo da fam´ılia. Ela vai seguir intuitivamente um racioc´ınio l´ogico atrav´es do qual procurar´a alinhar as vantagens e desvantagens de cada alternativa, segundo seus crit´erios de decis˜ao. De in´ıcio, a dona de casa ir´a identificar as diferen¸cas entre os produtos segundo v´arios fatores que poderiam ser tomados para compara¸c˜ao como: o custo, o sabor, a durabilidade, a consistˆencia quando gelado, os efeitos para sa´ ude, dentre outros. Para simplificar, ela se limitar´a a avaliar apenas os itens que considera mais importantes: custo, sabor e efeitos para a sa´ ude. Esses ser˜ao os crit´erios para a tomada de decis˜ao da dona-de-casa. As consequencias de cada alternativa ser˜ao: 1. Comprando manteiga, a dona-de-casa • gasta mais dinheiro; • agrada a fam´ılia; • p˜oe em risco a fam´ılia devido ao teor mais alto de colesterol. 2. Comprando margarina, a dona-de-casa • economiza dinheiro; • desagrada a fam´ılia; • n˜ao coloca em risco a sa´ ude da fam´ılia. 1

Extra´ıdo de Andrade, 2004

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

9

Dependendo do peso que atribuir a cada consequencia, a dona-de-casa poder´a chegar a uma conclus˜ao. Se, por exemplo, a restri¸ca˜o da fam´ılia for dinheiro, a decis˜ao que lhe parecer´a melhor ser´a comprar margarina. . . . Exemplo 1.2. Problema da travessia do rio Imagine que vocˆe esteja a margem leste de um rio juntamente com trˆes amigos Felipe, Jo˜ao e Kelly. Vocˆes querem atravessar para a margem oeste e disp˜oem de um u ´nico meio de locomo¸ca˜o, uma canoa que pode levar no m´aximo duas pessoas por vez e n˜ao pode ir nem voltar vazia. Vocˆe tem constitui¸c˜ao mais atl´etica e pode atravessar o rio a remo em 1 minuto, enquanto Felipe, Jo˜ao e Kelly levam 2, 5 e 10 minutos, respectivamente. Se houver duas pessoas na canoa, o tempo da travessia ser´a a m´edia dos tempos que seriam gastos individualmente. Ap´os duas travessias seguidas a pessoa fica cansada e leva o dobro do tempo para atravessar o rio. Como ´e mais conveniente realizar a travessia de modo que os quatro estejam do outro lado do rio no menor tempo poss´ıvel? As seguintes alternativas podem ser consideradas: 1. Ir vocˆe e Felipe, vocˆe volta pega Jo˜ao, vocˆe volta e pega Kelly. 2. Ir vocˆe e Felipe, Felipe volta pega Jo˜ao, vocˆe volta e pega Kelly. 3. Ir vocˆe e Felipe, vocˆe volta vai Jo˜ao e Kelly, Felipe volta e pega vocˆe. Calculando os tempos gastos em cada uma das alternativas, temos: T1 =

1, 5 + 1 + 3, 5 + 2 + 6

T2 =

1, 5 + 2 + 4, 5 + 1 + 5, 5

= 14 min = 14, 5 min

T3 = 1, 5 + 1 + 7, 5 + 2 + 1, 5 = 13, 5 = 13, 5 min Dentre as trˆes alternativas, a melhor ´e a alternativa 3, onde o tempo total para a travessia ser´a de 13,5 minutos. Vocˆe pode identificar alternativas distintas cujo tempo seja igual a 13,5 minutos? Existe outra alternativa melhor? Vari´ aveis de decis˜ ao: Alternativas 1, 2 e 3

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

10

Objetivo:

Minimizar o tempo de travessia

Restri¸c˜ oes:

Tempo individual para travessia, Duas pessoas por vez na canoa, A canoa n˜ao atravessa o rio sozinha, Penalidade para atravessar mais que duas vezes seguidas.

. . . Exemplo 1.3. Decis˜ao com risco ou incerteza

2

A tabela seguinte apresenta os retornos (ganhos ou perdas m´edias) para um valor fixo de insvetimento associados `as decis˜oes de investir em conta poupan¸ca, em d´olar ou fundos de investimentos. Decis˜ ao A1

Decis˜ ao A2

Decis˜ ao A3

Estados poss´ıveis Probabilidades Investir em Investir em Investir em da economia

poupan¸ca

d´ olar

fundos

S1 : Recess˜ao

0,40

$ 300

$ 400

- $ 100

S2 : Estabilidade

0,40

$ 300

$ 300

$ 200

S3 : Expans˜ao

0,20

$ 300

$ 200

$ 700

Qual ´e o melhor investimento? Se a decis˜ao for baseada nos valores m´edios ou esperados dos ganhos, teremos: GA1 =

0, 40 × 300 + 0, 4 × 300 + 0, 2 × 300

= 300

GA2 =

0, 40 × 400 + 0, 4 × 300 + 0, 2 × 200

= 320

GA3 = 0, 40 × (−100) + 0, 4 × 200 + 0, 2 × 700 = 180 a melhor decis˜ao a ser tomada ´e a alternativa A2 , investir em d´olar. Vari´ aveis de decis˜ ao: Investir em A1 , A2 ou A3 Objetivo:

Maximizar o retorno

Restri¸c˜ oes:

Estados poss´ıveis da economia, probabilidades e retornos.

2

Baseado em Shimizu, 2006

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

11

. . . Exemplo 1.4. O caso da Casa das Esfirras A Casa das Esfirras produz e comercializa esfirras de carne a partir de dois ingredientes b´asicos: massa e recheio. A empresa necessita estabelecer um modelo para simula¸ca˜o de lucros que lhe permita a forma¸c˜ao do melhor pre¸co de venda a ser praticado. Considera-se que o pre¸co unit´ario da esfirra e o pre¸co m´edio praticado pela concorrˆencia s˜ao os u ´nicos fatores relevantes na determina¸c˜ao da demanda. Atualmente a empresa pratica o mesmo pre¸co m´edio do mercado local e comercializa 70.000 unidades de esfirras mensalmente. Um estudo encomendado pela empresa constatou que, a cada 1% a menos cobrado pela unidade de esfirra em rela¸c˜ao ao pre¸co m´edio praticado pela concorrˆencia implica em um aumento nas vendas de 5.000 unidades mensais. Dados relevantes para o estudo s˜ao fornecidos na tabela seguinte: em R$ Pre¸co m´edio praticado pela concorrˆencia (por unidade)

1,00

Custo unit´ario da massa

0,10

Custo unit´ario do recheio

0,30

Custo do processo de fabrica¸c˜ao (por unidade)

0,40

Custo fixo

8.000,00

Vari´ aveis de decis˜ ao: Pre¸co unit´ario da esfirra Objetivo:

Maximizar o lucro

Restri¸c˜ oes:

Demanda de mercado

Para este problema, ´e preciso desenvolver um modelo que permita a simula¸c˜ao do lucro operacional mensal a partir da demanda d e dos custos para estabelecer o pre¸co p a ser praticado. O lucro (L) ´e obtido pela diferen¸ca entre a receita (R) e o custo total (CT),

L = R − CT.

12

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL A receita pode ser calculada pelo produto entre o pre¸co praticado por unidade e a

quantidade vendida, neste caso a quantidade demandada, que por sua vez depende do pre¸co praticado. Assim, R(p) = p · d(p). O custo total ´e a soma do custo fixo com o custo vari´avel, que depende da quantidade a ser produzida, neste caso a demanda.

CT = C + C(d)

Para construir um modelo para forma¸c˜ao de pre¸co, ´e primeiro necess´ario calcular a fun¸ca˜o demanda, isto ´e, encontrar a lei que determina a quantidade de esfirras comercializadas mensalmente em fun¸c˜ao do pre¸co praticado. De acordo com os dados, o pre¸co m´edio praticado ´e de R$ 1,00 e para este valor a quantidade demandada ´e 70.000 unidades. Assim a fun¸ca˜o d(p) a ser determinada satisfaz:

d(1) = 70000.

Levando-se em conta que a cada desconto de 1% no pre¸co corresponde uma demanda extra de 5.000 unidades, temos:

d(0, 99) = 75000.

Admitindo que a fun¸ca˜o demanda seja uma fun¸ca˜o afim do tipo:

d(p) = ap + b

onde o coeficiente angular a pode ser determinado por:

a=

70000 − 75000 ∆d = = −500000 ∆p 1 − 0, 99

Para encontrar o coeficiente linear b e determinar d, basta substituir d(1) = 70000 na

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

13

express˜ao d(p) = −500000p + b, desta forma

70000 = d(1) = −500000(1) + b

Logo, b = 570000. Portanto, a fun¸ca˜o demanda nas condi¸co˜es do problema ´e:

d(p) = −500000p + 570000

Para este caso o modelo ser´a constru´ıdo em planilha eletrˆonica alcan¸cando assim facilidade de intera¸ca˜o com o usu´ario e possibilitando r´apidas altera¸co˜es. Admitindo que o pre¸co praticado seja R$ 1,00 a unidade de esfirras, ´e poss´ıvel calcular a quantidade vendida, a receita e os custos mensais e consequente prever o lucro operacional. O modelo em planilha eletrˆonica ´e apresentado na tabela abaixo, onde as f´ormulas para os respectivos c´alculos est˜ao explicitadas na coluna C.

Na tabela a seguir s˜ao apresentados os resultados do Lucro Operacional para diversos valores simulados para o pre¸co a ser praticado, onde lucro negativo ´e representado por valores entre parˆenteses.

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

14

Uma r´apida inspe¸ca˜o garante que: • Pre¸co acima de 1,00 retorna em lucro menor; • Lucro crescente para valores entre 1,00 e 0,95; • Lucro decrescente para valores entre 0,95 e 0,90. Desta primeira an´alise, conclui-se que o melhor pre¸co est´a entre 1,00 e 0,95. Para decidir qual pre¸co retorna o maior lucro, ´e preciso simular todos os valores neste intervalo. Observando a segunda parte da tabela, conclu´ımos que o melhor pre¸co a ser praticado ´e R$ 0,97 resultando num lucro de R$ 6.450,00 que ´e 7,5% maior do que o lucro mensal atual da empresa. . . . Exemplo 1.5. Gest˜ao do estoque Um posto de combust´ıveis tem uma demanda de gasolina e a´lcool ao longo dos u ´ltimos trˆes anos, conforme a tabela dada em milh˜oes de litros:

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

15

Ano

´ Alcool

Gasolina

2007

2,00

5,00

2008

2,05

5,80

2009

3,00

6,20

Seus custos estimados de coloca¸ca˜o de um pedido s˜ao cerca de R$ 325,00 e os custos de manuten¸c˜ao dos estoques s˜ao de 23% do custo de aquisi¸c˜ao, por ano. A empresa adquire os combust´ıveis a R$ 30,00 o gal˜ao de 50 litros de a´lcool e R$ 78,00 o gal˜ao de gasolina. Atualmente o suprimento de combust´ıvel ´e feito em quantidades constantes a intervalos regulares quinzenalmente, qual a quantidade ideal de cada combust´ıvel que o posto deve pedir por vez? O objetivo do problema ´e determinar o lote de compra que deve ser encomendado por vez, de modo a minimizar o custo total de opera¸ca˜o do estoque dos dois tipos de combust´ıveis. Vari´ aveis de decis˜ ao: Quantidade de ´alcool a ser encomentada por vez Quantidade de gasolina a ser encomendada por vez Objetivo:

Minimizar o custo de opera¸c˜ao de estoque

Restri¸c˜ oes:

Custo do pedido Custo de Manuten¸c˜ao do estoque

O custo total ´e a soma dos custos de manuten¸c˜ao de estoques e de emiss˜ao e coloca¸c˜ao de pedidos, considerando que a demanda e os custos s˜ao relativamente est´aveis durante o ano. minimizar

Custo Total (CT)

= custo de manuten¸c˜ao do ´alcool (CMA) + + custo de manuten¸c˜ao da gasolina (CMG) + + custo do pedido (CP)

O custo de manuten¸c˜ao ´e o produto do n´ıvel m´edio em estoque pelo custo unit´ario de manuten¸c˜ao, onde o n´ıvel m´edio ´e a metade da quantidade encomendada (dados

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

16

emp´ıricos). O custo do pedido ´e o produto do n´ umero de pedidos anuais pelo custo unit´ario de coloca¸ca˜o do pedido. Devemos identificar os elementos conhecidos e desconhecidos do problema que fornecer˜ao os dados e as vari´aveis de decis˜ao. n: total de pedidos anuais qA : quantidade de ´alcool (em milh˜oes de litros) encomendados por vez qG : quantidade de gasolina (em milh˜oes de litros) encomendados por vez aA : quantidade de ´alcool (em milh˜oes de litros) comercializada anualmente aG : quantidade de gasolina (em milh˜oes de litros) comercializada anualmente A partir dos dados fornecidos, podemos calcular a m´edia de vendas da empresa dos u ´ltimos trˆes anos: aA =

2 + 2, 05 + 3 = 2, 35 3

aG =

5 + 5, 8 + 6, 2 ∼ = 5, 67 3

e

´ poss´ıvel obter qA e qG a partir do valor de n. E

qA =

aA n

qG =

aG n

e

Portanto, podemos admitir que a u ´nica vari´avel independente do problema ´e o n´ umero de pedidos anuais n. Sabe-se que o custo de manuten¸ca˜o dos estoques ´e de 23% do custo de aquisi¸ca˜o de cada combust´ıvel. A partir desta informa¸c˜ao ´e poss´ıvel calcular CMA, considerando que a unidade que estamos utilizando ´e um milh˜ao de litros de combust´ıvel que equivale a 20.000 gal˜oes de 50 litros, como cada gal˜ao de a´lcool custa R$ 30,00, o custo da unidade

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

17

de ´alcool ´e R$ 600.000,00. Calculando a porcentagem para manuten¸ca˜o dos estoques, temos que o custo unit´ario para manuten¸ca˜o do a´lcool ´e 138.000 e portanto,

CMA = 138.000

qA = 69.000qA 2

De forma an´aloga calculamos que o custo da unidade de gasolina ´e R$ 1.560.000,00 e obtemos 358.800 como o custo unit´ario para manuten¸ca˜o do estoque de gasolina e consequentemente: CMG = 358.800

qG = 179.400qG 2

Escrevendo o custo total em fun¸c˜ao das vari´aveis e constantes assim definadas e calculadas: CT = 69.000qA + 179.400qG + 325n 2, 35 5, 67 + 179.400 + 325n n n 1 1 = 162.150 + 1.017.198 + 325n n n = 69.000

Portanto, CT (n) = 1.179.348

1 + 325n n

Como o objetivo ´e minimizar uma fun¸ca˜o em uma vari´avel real, devemos encontrar os pontos cr´ıticos da fun¸ca˜o utilizando a primeira derivada.

d 1 CT (n) = −1.179.348 2 + 325 = 0 dn n A equa¸ca˜o diferencial acima ´e satisfeita para n ∼ = 60, 24 ou n ∼ = −60, 24. Entretanto no contexto do problema proposto n deve ser um n´ umero inteiro positivo, sendo assim tomamos, por arredondamento, n = 60. E o teste da segunda derivada nos garante que este ´e um ponto de m´ınimo. d2 1 CT (n) = 2.358.696 3 > 0, 2 dn n

∀n>0

Assim, deve-se encomendar 39.166,67 litros de a´lcool e 94.500 litros de gasolina por

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

18

vez totalizando 60 pedidos anuais com custo total de R$ 39.155,80 contra os custos atuais de R$ 53.809,54 referentes a 26 pedidos anuais, o que representa uma economia para a empresa de aproximadamente 27,21%.

. . . Exemplo 1.6. Problema da dieta ´otima:

3

Em uma dieta, cada 100 g de alimento A e B fornecem os seguintes elementos nutritivos (em unidades): Elemento nutritivo

A

B

Carboidratos

1

3

Vitaminas

3

4

Prote´ınas

3

1

As quantidade m´ınimas necess´arias de elementos nutritivos, por dia, s˜ao 8 unidades de carboidratos, 19 unidades de vitaminas e 7 unidades de prote´ınas. Cada 100 g do alimento A cont´em 300 kcal (kilocalorias) e custa $ 50 u.m. enquanto cada 100 g do alimento B tem 500 kcl e custa $ 25 u.m. Como ´e poss´ıvel minimizar o custo e a quantidade de calorias da dieta formada pelos alimento A e B? Vari´ aveis de decis˜ ao: x1 : quantidade de A (em 100 g) x2 : quantidade de B (em 100 g)

Objetivo:

Restri¸c˜ oes:

min z1 = 50x1 + 25x2

(minimizar o custo)

min z2 = 300x1 + 500x2

(minimizar quantidade de calorias)

    x1 + 3x2 ≥ 8 (quantidade de carboidratos)         3x1 + 4x2 ≥ 19 (quantidade de vitaminas)    3x1 + x2 ≥         x1 , x2 ≥

3

7 (quantidade de prote´ınas) 0 (condi¸ca˜o de n˜ao-negatividade)

Adaptado do exemplo inicialmente formulado por George Dantzig

˜ 1.2. PRIMEIROS EXEMPLOS E APLICAC ¸ OES

19

Representando as inequa¸co˜es e fun¸c˜oes do problema no plano cartesiano obtemos o seguinte gr´afico.

Por simples inspe¸c˜ao visual ´e poss´ıvel identificar o ponto (1,4) do plano cartesiano como sendo o ponto onde a fun¸ca˜o custo ´e minimizada, obtendo um custo m´ınimo de $ 150 u.m. com consumo total de 2.300 kcal, enquanto o ponto (5,1) minimiza a quantidade de calorias, 2.000 kcal, com custo de $ 275 u.m.

. . . Exemplo 1.7. O dilema do prisioneiro

4

Dois prisioneiros acusados de terem cometido um crime em conjunto est˜ao presos em celas separadas e s˜ao interrogados separadamente por um delegado de pol´ıcia. Se os dois prisioneiros confessarem o crime, ambos ser˜ao condenados a` pena de 10 anos de pris˜ao. Se nenhum dos dois prisioneiros confessar, o delegado, usando provas circunstanciais, s´o pode conden´a-los a` pena de 2 anos. Se apenas um dos dois prisioneiros confessar, este prisioneiro receber´a, como prˆemio, um pena leve de 1 ano de pris˜ao, e o outro, que n˜ao confessou, ser´a condenado `a pena maior, de 12 anos de pris˜ao. Qual decis˜ao deve ser tomada? 4

Proposto originalmente por M.Flood e M.Dresher em 1950, posteriormente adaptado por A.W.Tucker.

20

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL A tabela seguinte resume as penalidades atribuidas a cada prisioneiro Prisioneiro B

C Prisioneiro A NC

C

NC

(10, 10)

(1,12)

(12,1)

(2,2)

onde a primeira entrada do par ordenado corresponde a` decis˜ao do prisioneiro A e a segunda entrada `a decis˜ao do prisioneiro B. Examinemos o problema do ponto de vista de um dos prisioneiros, objetivando determinar a melhor estrat´egia assumindo que o c´ umplice tamb´em ´e racional. Se seu companheiro confessar, o prisioneiro A, por exemplo, ser´a condenado a 10 anos de pris˜ao se confessar e a 12 anos se permanecer calado. Neste caso a melhor decis˜ao ´e confessar. Agora, se B permanecer calado, A ser´a condenado a 1 ano se confessar e a 2 anos se n˜ao confessar. O melhor estrat´egia nesta situa¸ca˜o ´e confessar. Aparentemente a melhor estrat´egia ´e portanto confessar! Entretanto se ambos seguirem o mesmo racioc´ınio, os dois prisioneiros ser˜ao condenados a 10 anos de pris˜ao. Se optarem por cooperar e permanecerem calados, receber˜ao pena menor de 2 anos. E a´ı est´a o dilema, buscando individualmente a melhor estrat´egia para si acabam ambos por serem punidos rigorosamente. O fato ´e que pode haver dois vencedores neste jogo, se o problema for analisado em conjunto buscando a melhor solu¸c˜ao para o grupo e consequentemente a coopera¸ca˜o resultar´a na melhor solu¸ca˜o para ambos.

“A teoria dos jogos sugere que, embora a coopera¸ca˜o n˜ao seja nada f´acil de ser alcan¸cada, ´e poss´ıvel demonstrar que muitas vezes ela ´e prefer´ıvel ao conflito.” David P. Barash

1.3. LISTA DE PROBLEMAS

1.3

21

Lista de Problemas

Resolva cada um dos seguintes problemas, identificando as vari´aveis de decis˜ao, objetivo e restri¸co˜es:

1. Durante a constru¸c˜ao de uma casa, seis vigas de 8m cada devem ser recortadas para atingir o comprimento correto de 7, 5m. As opera¸co˜es para cortar uma viga obedecem a seguinte sequencia: Opera¸c˜ ao

Tempo [s]

1. Colocar vigas nos cavaletes

15

2. Marcar o comprimento

10

3. Cortar a viga

20

4. Armazenar a viga cortada

20

H´a trˆes pessoas envolvidas: dois carregadores devem trabalhar simultaneamente nas opera¸co˜es 1,2 e 4, e um cortador se encarregar´a da opera¸c˜ao 3. H´a dois pares de cavaletes nos quais as vigas a recortar s˜ao colocadas na prepara¸c˜ao para o corte, e cada par pode suportar at´e trˆes vigas lado a lado. Sugira um boa programa¸c˜ao para recortar as seis vigas. 2. Como deve ser montado um retˆangulo a partir de uma corda de comprimento 10m para que a a´rea seja m´axima. 3. Em um jogo de beisebol, Jim ´e o lan¸cador e Joe o rebatedor. Suponha que Jim possa atirar uma bola com velocidade ou um bola curva de maneira aleat´oria. Se Joe previr corretamente que ser´a uma bola curva, poder´a manter uma m´edia de rebates de 0,5. Ao contr´ario, se Jim atirar uma bola curva e Joe se preparar para uma bola com velocidade, sua m´edia de rebates ficar´a em 0,2. Por outro lado, se Joe previr corretamente que ser´a uma bola com velocidade, conseguir´a uma m´edia de rebates de 0,3; caso contr´ario, sua m´edia ser´a de apenas 0,1. Defina as alternativas para essa situa¸c˜ao.

CAP´ITULO 1. CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL

22

4. A Past´eis e Pastel˜oes Ltda. fabrica past´eis de forno a partir de dois ingredientes b´asicos: massa semipronta e recheio congelado. A empresa pretende estabelecer um modelo para previs˜ao de seu lucro operacional mensal que lhe permita estabelecer o pre¸co dos past´eis que deve ser praticado pela empresa. Desconsiderando a hip´otese de altera¸c˜ao do tamanho e da qualidade dos past´eis, a diretoria considera que o pre¸co unit´ario do pastel e o pre¸co m´edio praticado pela concorrˆencia s˜ao os u ´nicos fatores relevantes na determina¸c˜ao da demanda, a qual se comporta segundo a seguinte equa¸ca˜o: Z = 15000 − 5000x + 5000y onde x ´e o pre¸co do pastel da Past´eis e Pastel˜oes e y ´e o pre¸co m´edio dos past´eis vendidos pelos concorrentes. Dados adicionais s˜ao fornecidos pela tabela:

em R$ Pre¸co m´edio praticado pela concorrˆencia (por pastel)

7,00

Custo unit´ario da massa

1,30

Custo unit´ario do recheio

2,00

Custo do processo de fabrica¸ca˜o (por pastel)

0,40

Custo fixo

6.000,00

5. Refa¸ca o exemplo 1.5, considerando que o posto est´a interessado em resolver o problema do estoque separadamente para cada combust´ıvel, isto ´e, determine o n´ umero de pedidos anuais para o a´lcool que minimize o custo total e, ap´os calcule o n´ umero de pedidos a ser realizados para a gasolina. Qual a rela¸ca˜o entre estes dois valores encontrados e o n´ umero o´timo de pedidos determinado para o problema original? 6. Um atacadista de materiais de constru¸c˜ao obt´em seu cimento de um fornecedor u ´nico. A demanda de cimento ´e razoavelmente constante ao longo do ano. No

1.3. LISTA DE PROBLEMAS

23

u ´ltimo ano, a empresa vendeu 2000 toneladas de cimento. Seus custos estimados de coloca¸ca˜o de um pedido s˜ao cerca de $25, e os custos de manuten¸c˜ao dos estoques s˜ao de 20% do custo de aquisi¸c˜ao, por ano. A empresa adquire cimento a $60 por tonelada. Quanto cimento a empresa deveria pedir por vez? 7. Uma empresa comercializa queijos deseja estudar sua pol´ıtica de estocagem de modo a otimizar sua opera¸ca˜o, reduzindo os custos. Ap´os um cuidadoso levantamento, o gerente estimou que o custo anual de manter um item em estoque ´e de $50,00. Tal custo foi obtido considerando-se o custo do capital investido, o custo das instala¸co˜es, refrigera¸ca˜o, limpeza e seguros, durante um ano, e dividindo-se pelo n´ umero estimado de itens que ir˜ao compor o estoque no mesmo per´ıodo. Consideremos que este n´ umero seja constante e igual a 1.000 por ano. O suprimento do produto ´e feito em quantidades constantes e intervalos regulares, a coloca¸c˜ao de cada encomenda tem um custo fixo de $ 1.000,00, incluindo documenta¸ca˜o, despesas de pedido e transporte. Qual a quantidade de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez?

CAP´ITULO

2 ˜ MATEMATICA ´ PROGRAMAC ¸ AO

Desde a antiguidade v´arios cientistas tais como Euclides, Newton, Lagrange, Leontief, Von Neumann, dentre outros, tem dedicado seus estudos `a pesquisa do ´otimo. A ´area que estuda Problemas de Otimiza¸c˜ao ´e denominada Programa¸c˜ao Matem´atica que engloba uma ampla classe de problemas. O termo programa¸ca˜o significa que existe um planejamento das atividades. A Programa¸ca˜o Matem´atica vem se constituindo como uma das mais poderosas ferramentas matem´aticas para diversos segmentos, propiciando melhorias mensur´aveis nos processos e automatiza¸ca˜o dos mesmos, an´alises operacionais, de projetos, reengenharia e identifica¸c˜ao de gargalos. Seus benef´ıcios s˜ao exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminui¸ca˜o dos custos e aumento dos lucros. Em algumas organiza¸c˜oes ela est´a, inclusive, embutida em suas rotinas informatizadas de planejamento di´ario dos processos de opera¸c˜ao. Segundo pesquisas efetuadas em empresas que tem utilizado esta ferramenta, a redu¸ca˜o de custos se enquadra facilmente na faixa entre 1% e 5%, existindo casos que chegam at´e a 15%. A magnitude do benef´ıcio da Programa¸c˜ao Matem´atica na performance das empresas pode ser avaliada nos casos listados a seguir referentes a diferentes a´reas de atividade econˆomica: 24

25 1. A companhia de o´leos TEXACO utilizou a Programa¸c˜ao Linear para obter condi¸c˜oes ideais de processamento do grude bruto para produzir quantidades proporcionais `as necessidades do mercado aos diversos derivados do grude: gasolina, o´leos com diversas gradua¸co˜es ou asfalto. A aplica¸c˜ao da metodologia em sete das suas refinarias permitiu obter uma melhoria de 30% nos lucros, atingindo 30 milh˜oes de d´olares. 2. A rede de fast food McDonald’s nos Estados Unidos aplicou a Programa¸ca˜o Matem´atica para otimiza¸c˜ao dos hor´arios de trabalho em quatro de seus estabelecimentos, pertencentes a Al Boxley. Este tipo de atividade recorre freq¨ uentemente a` m˜ao-de-obra em part-time, tendo como resultado uma grande aleatoriedade na disponibilidade dos recursos humanos. A Programa¸c˜ao Linear proporcionou um melhor aproveitamento dos recursos dispon´ıveis, com a exigˆencia de cobertura durante todo per´ıodo de funcionamento das unidades, obtendo-se uma programa¸c˜ao de hor´arios mais conveniente de acordo com as preferˆencias de hor´ario de cada funcion´ario. 3. O ex´ercito norte-americano desenvolveu um sistema designado de MLRPS “Manpower Long-Range Planning System” que permite estimar as necessidades de recursos humanos num horizonte que vai dos 7 aos 20 anos. O modelo de otimiza¸ca˜o analisa a forma com que as for¸cas armadas podem obter no futuro a estrutura militar desejada. Para tal, aspectos como as admiss˜oes, abandonos, promo¸co˜es e transferˆencias s˜ao tidos em conta no modelo que determina o n´ umero de recursos necess´ario. Uma das caracter´ısticas principais de Programa¸c˜ao Matem´atica ´e sua extensibilidade, pode ser aplicada a diverso n´ umero de organiza¸c˜oes e sistemas: ind´ ustrias, governos, agˆencias, hospitais, economia, sociologia, biologia, dentre outros. Algumas de suas aplica¸co˜es se tornaram cl´assicas: Problema de transporte; Administra¸ca˜o da produ¸ca˜o;

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

26 An´alise de investimentos;

Problemas de distribui¸c˜ao de recursos, pessoal e tarefas;

Problemas de corte materiais, etc.

Em um Problema de Otimiza¸c˜ao pretende-se maximizar ou minimizar uma quantidade espec´ıfica, designada objetivo, que depende de um n´ umero finito de vari´aveis independentes ou interrelacionadas por limita¸c˜oes ou restri¸c˜oes t´ecnicas do sistema. Resolver o problema significa aplicar uma sequencia de opera¸co˜es matem´aticas para distribuir recursos limitados sobre opera¸co˜es que exigem a sua utiliza¸c˜ao simultˆanea, de forma o´tima para o objetivo espec´ıfico. Um Problema de Programa¸c˜ao Matem´atica (PPM) ´e um problema de otimiza¸ca˜o satisfazendo dois fatos principais:

• A existˆencia de um objetivo que pode ser explicitado em termos das vari´aveis de decis˜ao do problema;

• A existˆencia de restri¸co˜es `a aplica¸ca˜o dos recursos, tanto com rela¸ca˜o a`s quantidades dispon´ıveis quanto com rela¸ca˜o `a forma de emprego.

2.1

Modelos de Otimiza¸ c˜ ao

Especificamente, o objetivo primordial de um PPM ´e encontrar a melhor solu¸c˜ao para problemas que podem ser representados por modelos matem´aticos onde o objetivo pode ser expresso em fun¸c˜ao das vari´aveis e as restri¸c˜oes expressas como equa¸co˜es ou inequa¸c˜oes. Os modelos matem´aticos utilizados em PPM seguem, em geral, uma estrutura padr˜ao composta por uma fun¸c˜ao-objetivo, um crit´erio de otimiza¸c˜ao e um conjunto de restri¸c˜oes. A forma geral de um modelo para um PPM com n vari´aveis e m restri¸co˜es ´e apresentada a seguir:

˜ 2.1. MODELOS DE OTIMIZAC ¸ AO

27

otimizar: z = f (x1 , x2 , . . . , xn )     g1 (x1 , x2 , . . . , xn )         g2 (x1 , x2 , . . . , xn ) sujeito a:  ..   .         gm (x1 , x2 , . . . , xn )

        b1         ≤         b2 =   ..     .           ≥       bm

(2.1)

onde as vari´aveis do problema est˜ao representadas por xj com j = 1, . . . , n e bi , para i = 1, . . . , m, representa a quantidade dispon´ıvel de determinado recurso. Utilizaremos a nota¸ca˜o vetorial para representar as vari´aveis de decis˜ao, assim define-se:  x=

 x1 x2 . . . xn

(2.2)

f (x) ´e denominada fun¸ca˜o-objetivo e gi (x) s˜ao as fun¸c˜oes restri¸co˜es do problema. A solu¸ca˜o do modelo pode ser obtida por t´ecnicas matem´aticas e algoritmos espec´ıficos, e a constru¸c˜ao do modelo deve levar em considera¸c˜ao a disponibilidade de uma t´ecnica para o c´alculo da solu¸ca˜o. Para melhor estudar as t´ecnicas dispon´ıveis para resolu¸c˜ao de PPM, a ´area pode ser subdividida em duas sub´areas determinadas pelas propriedades das fun¸co˜es envolvidas no problema:

Programa¸c˜ ao Linear: Todas as fun¸co˜es do modelo s˜ao lineares em rela¸ca˜o `as vari´aveis. Programa¸c˜ ao N˜ ao-Linear: Pelo menos uma das fun¸co˜es envolvidas n˜ao ´e linear.

A solu¸ca˜o de um PPM inicia-se pela modelagem, esta etapa ´e t˜ao importante tanto quanto o desenvolvimento de m´etodos de solu¸c˜ao, visto que a qualidade de todo o processo ´e consequencia direta do grau de representatividade do modelo. O exemplo 1.6 apresentado no cap´ıtulo anterior foi modelado seguindo certa sistematiza¸ca˜o e agora iremos nos concentrar na estrutura¸ca˜o de modelos espec´ıficos para PPM. A tarefa de constru¸ca˜o do modelo a partir do enunciado do problema deve seguir uma metodologia b´asica, apresentada a seguir:

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

28

Identifica¸c˜ ao das vari´ aveis de decis˜ ao Todas as grandezas envolvidas devem ser determinadas, explicitando as decis˜oes que devem ser tomadas, nomeando-as xj , j = 1, . . . , n. Defini¸c˜ ao do crit´ erio de otimiza¸c˜ ao Crit´erios de avalia¸c˜ao capazes de indicar que uma decis˜ao ´e prefer´ıvel a outras devem ser definidos. Deve-se identificar as metas que se pretendem alcan¸car com a resolu¸ca˜o do problema, expressando-as como fun¸c˜oes matem´aticas. Em geral, o objetivo aparece na forma de maximiza¸c˜ao ou minimiza¸ca˜o de quantidades. Formula¸c˜ ao das restri¸c˜ oes Todos os requisitos, condicionalismos e limita¸c˜oes do problema, tanto expl´ıcitas como impl´ıcitas, devem ser identificados. Cada limita¸c˜ao imposta na descri¸ca˜o do problema deve ser expressa como uma equa¸ca˜o ou inequa¸ca˜o em fun¸ca˜o das vari´aveis de decis˜ao.

2.2

Problemas de Programa¸ c˜ ao Matem´ atica

Para melhor ilustrar os conceitos discutidos, ser˜ao apresentadas algumas situa¸co˜es que podem ser descritas com o aux´ılio de um modelo de Programa¸ca˜o Matem´atica. A seguir s˜ao propostos alguns PPM onde espera-se exemplificar e detalhar o processo de modelagem, entretanto ser´a a experiˆencia individual respons´avel pelo desenvolvimento de habilidades para a cria¸c˜ao de bons modelos matem´aticos, eficientes e realistas. Salientamos que, ainda n˜ao h´a a preocupa¸c˜ao com a solu¸c˜ao de problemas que poder´a ser obtida posteriormente.

. . . Exemplo 2.1. Produ¸c˜ao de balas Considere que uma doceira deseja abrir um pequeno neg´ocio para produ¸ca˜o de balas. A princ´ıpio ela est´a considerando produzir dois tipos de balas: caramelo e nozes. Na produ¸ca˜o s˜ao utilizados trˆes ingredientes: leite, a¸cu ´car e nozes. A doceira tem em estoque 10kg de a¸cu ´car, 1kg de nozes e 6l de leite. A composi¸ca˜o da bala de caramelo ´e: 40% de leite e 60% de a¸cu ´car, e para as balas de nozes os ingredientes devem ser misturados

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

29

na seguinte propor¸c˜ao: 40% de leite, 50% de a¸cu ´car e 10% de nozes. Cada quilo de bala de caramelo pode ser vendido a R$10,00 enquanto um quilo de bala de nozes pode ser vendido por R$13,00. Qual deve ser a produ¸ca˜o de cada tipo de bala para obter a maior receita? De acordo com a sistem´atica estabelecida anteriormente para a constru¸ca˜o de modelos de PPM, vamos elaborar o modelo para este problema em etapas. Etapa 1: Identifica¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao O objetivo do problema ´e determinar as quantidades de cada tipo de bala a ser produzida de forma a resultar na m´axima receita. Portanto, este problema tem duas vari´aveis de decis˜ao: x1 : a quantidade (em kg) a ser produzida de bala de caramenlo x2 : a quantidade (em kg) a ser produzida de bala de nozes

Etapa 2: Formula¸ca˜o da fun¸ca˜o objetivo O crit´erio para a sele¸ca˜o do melhor combina¸ca˜o poss´ıvel ´e a receita m´axima. Cada tipo de bala gera uma receita que ´e o produto do pre¸co de venda pela quantidade vendida e a fun¸c˜ao receita ´e obtida pela soma das contribui¸co˜es de cada tipo de bala produzido. Matematicamente, temos:

max z = f (x1 , x2 ) = 10x1 + 13x2

Etapa 3: Formula¸ca˜o das restri¸co˜es O problema imp˜oe restri¸co˜es na quantidade de mat´eria prima para fabrica¸ca˜o dos doces: 0, 6x1 + 0, 5x2 ≤ 10 (quantidade utilizada de a¸cu ´car) 0, 4x1 + 0, 4x2 ≤ 0, 1x2 ≤

6 (quantidade utilizada de leite) 1 (quantidade utilizada de nozes)

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

30

Ainda h´a uma condi¸c˜ao impl´ıcita ao problema que devemos considerar, quais os valores que as vari´aveis de decis˜ao podem assumir?

Nesta situa¸c˜ao estamos

interessados em valores n˜ao-negativos que satisfa¸cam as limita¸co˜es de mat´eria-prima. Devemos tamb´em considerar o tipo de vari´avel, neste problema podemos admitir que a vari´avel xj pode receber qualquer valor real. Assim temos definido o dom´ınio da fun¸ca˜o objetivo e o crit´erio de n˜ao-negatividade: xj ≥ 0,

xj ∈ R

O modelo completo para o problema da produ¸ca˜o de balas representado no formato (2.1) ´e:

max

s.a. :

z = 10x1 + 13x2     0, 6x1 + 0, 5x2 ≤ 10 (quantidade utilizada de a¸cu ´car)         0, 4x1 + 0, 4x2 ≤ 6 (quantidade utilizada de leite)           

0, 1x2 ≤ 1

(quantidade utilizada de nozes)

x1 , x2 ≥ 0

(condi¸ca˜o de n˜ao-negatividade)

Observe que a condi¸c˜ao xj ∈ R foi omitida do modelo final, isto deve-se ao fato que em modelos de Programa¸ca˜o Matem´atica, por conven¸c˜ao, esta condi¸c˜ao ´e considerada impl´ıcita ao modelo. A informa¸c˜ao sobre o dom´ınio da fun¸ca˜o constar´a no modelo caso o dom´ınio seja outro conjunto num´erico.

. . . Exemplo 2.2. Localiza¸c˜ao da antena de transmiss˜ao O Gerente de Projetos da LCL Telecom deve localizar uma antena de retransmiss˜ao para atender a trˆes localidades na Baixada Maranhense: Viana, Penalva e Cajari. Por problemas t´ecnicos a antena n˜ao pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localiza¸co˜es relativas indicadas no mapa, determine o melhor posicionamento para a torre. Sejam (xi , yi ) as coordenadas no plano cartesiano da localiza¸c˜ao das cidades. Etapa 1: Identifica¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

31

O objetivo do problema ´e determinar a localiza¸ca˜o (x, y) da antena que minimize a soma das distˆancias at´e as trˆes localidades, as vari´aveis de decis˜ao j´a est˜ao definidas: x: abscissa no plano cartesiano da localiza¸ca˜o da torre de transmiss˜ao y: ordenada no plano cartesiano da localiza¸c˜ao da torre de transmiss˜ao Etapa 2: Formula¸ca˜o da fun¸ca˜o objetivo Admitamos que a localidade 1 seja Viana, a localidade 2 seja Cajari e a localidade 3 seja Penalva, as coordenadas cartesianas das localidades ser˜ao (xi , yi ), com i = 1, 2, 3. Fixado uma localidade i, a distˆancia entre esta e a antena de p transmiss˜ao pode ser calculada por (xi − x)2 + (yi − y)2 . A fun¸ca˜o distˆancia ´e obtida pela soma trˆes distˆancias entre a antena e as localidades.

min z =

3 X p

(xi − x)2 + (yi − y)2

i=1

Etapa 3: Formula¸ca˜o das restri¸co˜es As restri¸c˜oes t´ecnicas s˜ao as u ´nicas limita¸co˜es do problema:

p

(xi − x)2 + (yi − y)2 ≤ 10,

∀i ∈ {1, 2, 3}

As condi¸co˜es pr´aticas do problema n˜ao requer restri¸co˜es de n˜ao-negatividade e as vari´aveis de decis˜ao podem assumir valores reais.

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

32

O modelo completo ´e apresentado a seguir:

min

3 X p z= (xi − x)2 + (yi − y)2

i=1  p    (x1 − x)2 + (y1 − y)2 ≤ 10 (distˆancia a Viana)     p s.a. : (x2 − x)2 + (y2 − y)2 ≤ 10 (distˆancia a Cajari)      p   (x3 − x)2 + (y3 − y)2 ≤ 10 (distˆancia a Penalva)

. . . Exemplo 2.3. O problema da dieta Um indiv´ıduo deve seguir uma dieta balanceada por recomenda¸ca˜o m´edica baseada no consumo de diversos tipos de alimentos de forma a suprir suas necessidades di´arias de energia, que pode variar de 3100 a 3300 kcal, e nutrientes essenciais para a boa sa´ ude. Uma por¸ca˜o de cada alimento fornece uma porcentagem da Quantidade Di´aria Recomentada (QDR) de diferentes nutrientes de acordo com a tabela. Pre¸co e quantidade cal´orica de cada por¸ca˜o tamb´em s˜ao informados na tabela. Deseja-se saber qual a combina¸ca˜o ideal de alimentos com custo m´ınimo e que satisfa¸ca `as necessidades nutricionais. Alimentos 1

2

3

unidade QDR carne arroz feij˜ao Valor energ´etico Prote´ına

kcal

4

5

6

7

p˜ao

ovos laranja leite

225

170

76

300

146

45

160

g

37

35

3

4,8

8

13

0,6

8

Vitamina A

mg

900

7

-

2

-

87

21

99

Vitamina C

mg

300

-

-

3

-

12

59

2

Ferro

mg

10

2,9

1,3

1,6

1

1,3

0,2

0,9

C´alcio

mg

500

5

12

27

16

49

45

285

0,50

0,14

0,19

0,15

0,20

0,10

0,30

Custo (R$)

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

33

Etapa 1: Identifica¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao O objetivo do problema ´e determinar uma composi¸c˜ao ideal de alimentos com custo m´ınimo, para calcular o custo de destas combina¸c˜oes ´e necess´ario saber o n´ umero de por¸c˜oes di´arias de cada alimento, que ´e um elemento desconhecido do problema. Portanto as quantidades de por¸c˜oes di´arias de cada alimento definir˜ao as vari´aveis de decis˜ao deste problema. Sejam xj : n´ umero de por¸co˜es consumidas do alimento j, j = 1, . . . , 7 Etapa 2: Formula¸ca˜o da fun¸ca˜o objetivo O crit´erio para a sele¸c˜ao do melhor combina¸c˜ao poss´ıvel ´e o custo m´ınimo. Cada tipo de alimento gera um custo que ´e o produto do pre¸co da por¸ca˜o pelo n´ umero de por¸co˜es consumidas e a fun¸ca˜o custo ´e obtida pela soma das contribui¸c˜oes de cada alimento consumido. Matematicamente, temos:

z = f (x1 , . . . , x7 ) = 0, 5x1 + 0, 14x2 + 0, 19x3 + 0, 15x4 + 0, 2x5 + 0, 1x6 + 0, 3x7

Utilizando a nota¸c˜ao vetorial para simplificar: z = f (x) =

7 X

cj x j

j=1

onde cj s˜ao os componentes do vetor   c = 0, 50 0, 14 0, 19 0, 15 0, 20 0, 10 0, 30 Etapa 3: Formula¸ca˜o das restri¸co˜es O menor custo ´e obviamente zero, entretanto esta solu¸ca˜o n˜ao atende a recomenda¸c˜ao m´edica. O problema imp˜oe algumas condi¸co˜es explicitas que devem ser satisfeitas: (a) A dieta deve suprir a necessidade di´aria de energia

225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≥ 3100 (m´ınimo kcal) 225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≤ 3300 (m´aximo kcal) (b) A dieta deve fornecer as quantidades m´ınimas recomendadas de nutrientes

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

34

35x1 + 3x2 + 4, 8x3 + 8x4 + 13x5 + 0, 6x6 + 8x7



7x1 + 2x3 + 87x5 + 21x6 + 99x7

≥ 900 (Vitamina A)

3x3 + 12x5 + 59x6 + 2x7

≥ 300 (Vitamina C)

2, 9x1 + 1, 3x2 + 1, 6x3 + x4 + 1, 3x5 + 0, 2x6 + 0, 9x7 ≥ 5x1 + 12x2 + 27x3 + 16x4 + 49x5 + 45x6 + 285x7

37 (Prote´ına)

10 (Ferro)

≥ 500 (C´alcio)

(c) Ainda h´a uma condi¸c˜ao impl´ıcita ao problema que devemos considerar, quais os valores que as vari´aveis de decis˜ao podem assumir? Nesta situa¸ca˜o estamos interessados em valores n˜ao-negativos que satisfa¸cam os n´ıveis m´ınimos de nutrientes. Devemos tamb´em considerar o tipo de vari´avel, neste problema podemos admitir que a vari´avel xj pode receber qualquer valor real. Assim temos definido o dom´ınio da fun¸ca˜o objetivo e o crit´erio de n˜ao-negatividade: xj ≥ 0,

xj ∈ R.

O modelo completo para o problema da dieta representado no formato padr˜ao conforme (2.1) ´e:

min

s.a. :

z = 0, 5x1 + 0, 14x2 + 0, 19x3 + 0, 15x4 + 0, 2x5 + 0, 1x6 + 0, 3x7

                            

225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≥ 3100 225x1 + 170x2 + 76x3 + 300x4 + 146x5 + 45x6 + 160x7 ≤ 3300 35x1 + 3x2 + 4, 8x3 + 8x4 + 13x5 + 0, 6x6 + 8x7



37

7x1 + 2x3 + 87x5 + 21x6 + 99x7



900



300



10



500



0

   3x3 + 12x5 + 59x6 + 2x7          2, 9x1 + 1, 3x2 + 1, 6x3 + x4 + 1, 3x5 + 0, 2x6 + 0, 9x7         5x1 + 12x2 + 27x3 + 16x4 + 49x5 + 45x6 + 285x7         xj

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

35

. . . Exemplo 2.4. Distribui¸c˜ao da produ¸c˜ao Uma empresa montadora de eletrˆonicos produz r´adio, toca-CD e aparelhos de DVD em trˆes f´abricas localizadas em Diadema, Ribeir˜ao Preto e Campinas. As quantidades despendidas na produ¸ca˜o de cada produto, em pe¸cas por hora, em cada uma das f´abricas s˜ao as seguintes: R´ adio

Toca-CD

DVD

Diadema

10

20

20

Ribeir˜ao

20

10

20

Campinas

20

20

10

Os custos de opera¸ca˜o por hora das f´abricas s˜ao R$ 10.000,00, R$ 8.000,00 e R$ 11.000,00 para Diadema, Ribeir˜ao Preto e Campinas, respectivamente. A empresa recebeu um pedido de 300 unidades de r´adio, 500 unidades de toca-CD e 600 unidades de aparelho de DVD, como deve distribuir a produ¸c˜ao entre suas trˆes f´abricas para cumprir o pedido ao menor custo poss´ıvel? Etapa 1: Identifica¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao O objetivo ´e distribuir a produ¸ca˜o ao menor custo poss´ıvel, sendo assim deve-se decidir quanto produzir de cada produto em cada uma das f´abricas, o que define as vari´aveis de decis˜ao do problema. Sejam: x1d :

n´ umero de

r´adios

a produzir na f´abrica de Diadema

x2d :

n´ umero de

toca-CD

a produzir na f´abrica de Diadema

x3d :

n´ umero de

DVD

a produzir na f´abrica de Diadema

x1r :

n´ umero de

r´adios

a produzir na f´abrica de Ribeir˜ao

x2r :

n´ umero de

toca-CD

a produzir na f´abrica de Ribeir˜ao

x3r :

n´ umero de

DVD

a produzir na f´abrica de Ribeir˜ao

x1c :

n´ umero de

r´adios

a produzir na f´abrica de Campinas

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

36

x2c :

n´ umero de

toca-CD

a produzir na f´abrica de Campinas

x3c :

n´ umero de

DVD

a produzir na f´abrica de Campinas

Etapa 2: Formula¸ca˜o da fun¸ca˜o objetivo O objetivo ´e primordial ´e determinar quantas horas cada uma das f´abricas deve dispor para o pedido com o menor custo poss´ıvel. O custo ´e dado por

z = f (x, y, z) = 10.000x + 8.000y + 11000z

onde x ´e o n´ umero total de horas que f´abrica de Diadema funciona para atender o pedido, y ´e o n´ umero total de horas da f´abrica de Ribeir˜ao e z corresponde ao total de horas da f´abrica de Campinas. De acordo com a tabela fornecida podemos determinar x em fun¸ca˜o das vari´aveis de decis˜ao x1d , x2d e x3d , y em fun¸ca˜o de x1r , x2r e x3r e z em fun¸ca˜o de x1c , x2c e x3c : x1d x2d x3d + + = 0, 10x1d + 0, 05x2d + 0, 05x3d 10 20 20 x1r x2r x3r + + = 0, 05x1r + 0, 10x2r + 0, 05x3r y = 20 10 20 x1c x2c x3c z = + + = 0, 05x1c + 0, 05x2c + 0, 10x3c 20 20 10

x =

Etapa 3: Formula¸ca˜o das restri¸co˜es A limita¸c˜oes explic´ıtas do problema s˜ao o atendimento da quantidade demandada no pedido, isto ´e a soma das produ¸c˜oes das trˆes f´abricas de um determinado produto n˜ao deve ser inferior `a quantidade encomendada:

x1d + x1r + x1c ≥ 300 (encomenda de r´adios) x2d + x2r + x2c ≥ 500 (encomenda de toca-CD) x3d + x3r + x3c ≥ 600 (encomenda de DVD)

As condi¸co˜es implic´ıtas do problema s˜ao a n˜ao-negatividade e o dom´ınio da fun¸c˜ao

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

37

objetivo restrito ao conjunto dos n´ umeros inteiros Z. O modelo completo ´e:

min

z = 10.000(x1d + x2d + x3d ) + 8.000(x1r + x2r + x3r ) + 11.000(x1c + x2c + x3c )      x1d + x1r + x1c ≥ 300 (encomenda de r´adios)         x2d + x2r + x2c ≥ 500 (encomenda de toca-CD)     s.a. : x2d + x2r + x2c ≥ 600 (encomenda de DVD)        xia ≥ 0 para i = 1, 2, 3 e a = d, r, c          xia ∈ Z

. . . Exemplo 2.5. O caso da Loja dos queijos:

1

A Loja dos Queijos produz e comercializa dois tipos de queijos (Delux e Standard), muito procurados na ´epoca do Natal. Estes queijos s˜ao produzidos a partir de uma mistura de frutas da ´epoca e de um queijo especial muito caro. A Loja dos Queijos pode dispor de 20 kg de mistura de frutas e 60 kg do queijo especial utilizado. Cada kg de Delux consiste em 0,2 kg da mistura de frutas e 0,8 kg do queijo especial, enquanto que 1 kg de Standard consiste em 0,2 kg da mistura de frutas, 0,3 kg do queijo especial e 0,5 kg de um queijo comum, dispon´ıvel em grande quantidade. De acordo com a experiˆencia da Loja dos Queijos, foi poss´ıvel descobrir que a procura de cada um dos dois queijos depende do pre¸co adotado: d1 = 190 − 25p1 d2 = 250 − 50p2 onde d representa a procura (em kg), p denota o pre¸co (em u.m./kg), e os ´ındices 1 e 2 designam os tipos Delux e Standard, respectivamente. Que quantidade de cada tipo de queijo dever´a a Loja dos Queijos preparar, e que 1

Baseado em Bronson & Naadimuthu, 2001.

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

38

pre¸cos dever˜ao ser adotados para maximizar a receita e garantir que, ap´os a ´epoca do Natal, nada reste dos dois queijos em estoque? Vari´ aveis de decis˜ ao: x1 : quantidade (em kg) a produzir de queijo tipo Delux x2 : quantidade (em kg) a produzir de queijo tipo Standard

Objetivo:

Restri¸c˜ oes:

max z = p1 x1 + p2 x2

(maximizar a receita)

    0, 2x1 + 0, 2x2 ≤ 20 (disponibilidade de frutas)     0, 8x1 + 0, 3x2 ≤ 60 (disponibilidade de queijo especial)        x1 , x2 ≥ 0 (condi¸ca˜o de n˜ao-negatividade)

O modelo ainda n˜ao est´a completo pois ´e necess´ario garantir que toda a produ¸ca˜o seja vendida, para tanto a produ¸ca˜o xi n˜ao deve ultrapassar a demanda di , isto ´e,

xi ≤ d i ,

i = 1, 2

Considerando as equa¸c˜oes de demanda, temos:

x1 ≤ 190 − 25p1

e x2 ≤ 250 − 50p2

Reescrevendo as inequa¸co˜es, obtemos as seguintes restri¸c˜oes de demanda:

x1 + 25p1 ≤ 190

x2 + 50p2 ≤ 250 Para simplificar o problema, o objetivo tamb´em deve ser reescrito somente em fun¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao. Observe que para quaisquer valores fixos de x1 e x2 a fun¸ca˜o z = p1 x1 + p2 x2 aumenta conforme aumentarem os pre¸cos p1 e p2 , assim para maximizar z, p1 e p2 devem assumir valores m´aximos, isto ´e assumir valores tais que as inequa¸c˜oes

˜ MATEMATICA ´ 2.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAC ¸ AO

39

referente a`s restri¸co˜es de demanda se tornem equa¸co˜es. Desta forma, os pre¸cos podem ser assumidos como: p1 =

190 − x1 = 7, 6 − 0, 04x1 25

p2 =

250 − x2 = 5 − 0, 02x2 50

Substituindo os valores dos pre¸cos na fun¸ca˜o objetivo temos:

z = (7, 6 − 0, 04x1 )x1 + (5 − 0, 02x2 )x2 = 7, 6x1 + 5x2 − 0, 04x21 − 0, 02x22 O modelo completo ´e apresentado a seguir e deve-se notar que as restri¸co˜es de demanda foram incorporadas na constru¸ca˜o da fun¸ca˜o objetivo e n˜ao ser˜ao incorporadas `as restri¸co˜es do problema.

z = 7, 6x1 + 5x2 − 0, 04x21 − 0, 02x22

max

s.a. :

    0, 2x1 + 0, 2x2 ≤ 20 (disponibilidade de frutas)     0, 8x1 + 0, 3x2 ≤ 60 (disponibilidade de queijo especial)        x1 , x2 ≥ 0 (condi¸ca˜o de n˜ao-negatividade)

. . . Exemplo 2.6. Um problema de transporte: Uma companhia de panifica¸ca˜o pode produzir p˜ao de forma em duas f´abricas, de acordo com a tabela: Capacidade de produ¸c˜ ao

Custo de Produ¸c˜ ao

F´ abrica

(p˜aes de forma)

(u.m./p˜ao de forma)

A

2500

2,3

B

2100

2,5

Quatro redes de restaurantes pretendem comprar p˜aes de forma, suas necessidades e os pre¸cos que est˜ao dispostos a pagar s˜ao os seguintes:

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

40

Rede de

Necessidade m´ axima

Pre¸co m´ aximo

Restaurantes

(p˜aes de forma)

(u.m./p˜ao de forma)

1

1800

3,9

2

2300

3,7

3

550

4,0

4

1750

3,6

O custo (em u.m.) de transporte de uma unidade de p˜ao de forma de cada padaria para cada rede de restaurantes ´e dado na tabela seguinte.

Restaurantes Padaria

1

2

3

4

A

0,6

0,8

1,1

0,9

B

1,2

0,6

0,8

0,5

Determine o plano o´timo de fornecimento de p˜aes de forma a maximizar o lucro total da empresa de panifica¸ca˜o.

Vari´ aveis de decis˜ ao: xij : quantidade a ser transportada (em unidades) da origem i = A, B para o destino j = 1, 2, 3, 4 De acordo com tabela de pre¸cos, a fun¸ca˜o receita ser´a:

r = 3, 9xi1 + 3, 7xi2 + 4xi3 + 3, 6xi4

para i = A, B

A seguir ´e apresentado o modelo para maximiza¸c˜ao da fun¸ca˜o lucro obtida subtraindose dos pre¸cos unit´arios os custos de produ¸c˜ao e de transporte.

Objetivo:

max z = xA1 + 0, 2xB1 + 0, 6xA2 + 0, 6xB2 + . . . . . . + 0, 6xA3 + 0, 7xB3 + 0, 4xA4 + 0, 6xB4

2.3. LISTA DE PROBLEMAS   P4    j=1 xAj      P4    j=1 xBj         xA1 + xB1     Restri¸c˜ oes: xA2 + xB2        xA3 + xB3          xA4 + xB4         xij

2.3

41

≤ 2500 (capacidade de produ¸ca˜o da f´abrica A) ≤ 2100 (capacidade de produ¸ca˜o da f´abrica B) ≤ 1800 (necessidade do restaurante 1) ≤ 2300 (necessidade do restaurante 2) ≤

550 (necessidade do restaurante 3)

≤ 1750 (necessidade do restaurante 4) ≥

0 (condi¸ca˜o de n˜ao-negatividade)

Lista de Problemas

Para cada PPM abaixo, elabore um modelo do sistema descrito de acordo com (2.1): 1. Sol Ltda. faz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado ´e vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de mat´eria prima. Cada soldado produzido aumenta os custos de Sol Ltda. em R$ 14,00. Um trem ´e vendido por R$ 21,00 e usa R$ 9,00 de mat´eria prima. O custo adicional para constru´ı-lo ´e de R$ 10,00. Para construir os soldados e os trens de madeira ´e necess´ario dois tipos de trabalho: carpintaria e acabamento. Um soldado precisa de duas horas de acabamento e um hora de carpintaria. Um trem necessita de uma hora de cada. Cada semana Sol Ltda. pode obter toda mat´eria-prima necess´aria, mas somente 100 horas de acabamento e 80 horas na se¸ca˜o de carpintaria. A demanda de trem ´e ilimitada mas somente 40 soldados s˜ao comprados por semana. Sol Ltda. deseja maximizar o seu lucro. 2. Uma importante companhia petrol´ıfera pretende construir uma refinaria que ser´a abastecida por trˆes cidades portu´arias A,B e C. O porto A est´a situado a 300 km a leste e a 400 km a norte do porto B; o porto C est´a situado a 100 km a sul do porto B. Determine a localiza¸c˜ao da refinaria que minimiza o comprimento total das vias necess´arias para interligar a refinaria aos trˆes portos.

˜ MATEMATICA ´ CAP´ITULO 2. PROGRAMAC ¸ AO

42

3. Uma empresa produz trˆes tipos de portas a partir de um determinado material. Sabendo que diariamente a empresa disp˜oe de 500 kg de material e 600 horas de trabalho, determinar um plano o´timo de produ¸c˜ao que corresponda ao maior lucro. A tabela seguinte indica a quantidade de material e horas de trabalho necess´arias para a produ¸c˜ao de uma porta de cada tipo, assim como o lucro unit´ario de cada uma delas: Recursos Quantidade material

Porta 1

Porta 2

Porta 3

8 kg

4 kg

3 kg

7

6

8

R$ 50,00

R$ 40,00

R$ 55,00

Horas de trabalho Lucro unit´ario

4. A tabela de alimenta¸ca˜o utilizada numa determinada loja de animais de estima¸c˜ao especifica as seguintes necessidades m´ınimas para um hamster: 70 unidades de prote´ına, 100 unidades de hidratos de carbono, 20 unidades de gordura. H´a seis tipos de ra¸co˜es dispon´ıveis na loja cujas caracter´ısticas s˜ao dadas no quadro seguinte:

Prote´ınas

H.Carbono

Gordura

(unidades/kg) (unidades/kg)

Custo

Ra¸c˜ ao

(unidades/kg)

(u.m./kg)

A

20

50

4

2

B

30

30

9

3

C

40

20

11

5

D

40

25

10

6

E

45

50

9

8

F

30

20

10

8

Como deve ser feita uma mistura que satisfa¸ca os requisitos da alimenta¸ca˜o di´aria de um hamster a um custo m´ınimo?

2.3. LISTA DE PROBLEMAS

43

5. Uma rede de dep´ositos de material de constru¸c˜ao tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distˆancias a`s lojas est˜ao no quadro (em km): O caminh˜ao pode transportar 10 m3 por viagem. L1

L2

L3 L4

P1

30

20

24

18

P2

12

36

30

24

P3

8

15

25

20

Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distˆancia total percorrida entre os portos e as lojas e que supra as necessidades das lojas. 6. O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econˆomica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas s˜ao: a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento m´ınimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos. b) Investir diretamente na divulga¸ca˜o dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno ´e de 10%. A empresa disp˜oe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever´a destinar a cada atividade?

CAP´ITULO

3 ˜ LINEAR PROGRAMAC ¸ AO

O objetivo da Programa¸c˜ao Linear (PL) ´e encontrar a melhor solu¸ca˜o para problemas que admitam modelos representados por fun¸co˜es e inequa¸co˜es lineares, neste sentido o termo programa¸c˜ao significa que existe um planejamento das atividades e o termo linear refere-se `a linearidade nas equa¸co˜es envolvidas na modelagem do problema. Conforme j´a visto no cap´ıtulo anterior, um Problema de Programa¸c˜ao Linear (PPL) ´e um Problema de Programa¸c˜ao Matem´atica cuja fun¸c˜ao objetivo e todas as restri¸c˜oes s˜ao lineares relativamente `as vari´aveis de decis˜ao. Especificamente, as hip´oteses seguintes caracterizam um PPL: Certeza: Assume que o modelo seja determin´ıstico, isto ´e, todos os parˆametros s˜ao constantes conhecidas. Proporcionalidade: Admite que a contribui¸ca˜o individual de cada vari´avel de decis˜ao, tanto na fun¸ca˜o objetivo quanto nas restri¸c˜oes, seja diretamente proporcional ao valor da vari´avel. Aditividade: Exige que a contribui¸c˜ao total na fun¸c˜ao objetivo e nas restri¸c˜oes seja soma direta da contribui¸co˜es individuais de cada vari´avel de decis˜ao, n˜ao podendo haver interdependˆencia entre as mesmas. Divisibilidade: As vari´aveis de decis˜ao podem assumir valores fracion´arios. 44

˜ DE MODELOS LINEARES 3.1. ESTRUTURAC ¸ AO

3.1

45

Estrutura¸c˜ ao de Modelos Lineares

De acordo com as hip´oteses de proporcionalidade e aditividade, a fun¸c˜ao objetivo e as restri¸co˜es de um PPL podem ser apresentadas da seguinte forma:

f (x1 , x2 , . . . , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn gi (x1 , x2 , . . . , xn ) ∼ ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn onde os coeficientes aij e cj s˜ao constantes para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n, e o sinal ∼ pode ser substituido pelos sinais de = ou ≤ ou ≥, indistintamente. De acordo com o formato (2.1), um modelo de PPL apresenta a seguinte estrutura:

min ou max

s.a. :

z = c1 x 1 + c2 x 2 + . . . + cn x n                 

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ∼ b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ∼ b2 .. .

(3.1)

       am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ∼ bm          x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0

Apesar da aparente limita¸c˜ao do modelo, existem aplica¸co˜es de PL nas mais diversas a´reas. De fato, ´e uma das t´ecnicas mais utilizadas em PO justamente pela simplicidade do modelo envolvido e facilidade para resolu¸c˜ao de problemas utilizando t´ecnicas gr´aficas, alg´ebricas ou algoritm´ıcas. Como exemplos de PPL citamos os exemplos 1.6, 2.1, 2.3, 2.4 e 2.6 apresentados nos cap´ıtulos anteriores, utilizaremos o problema da produ¸ca˜o de balas exposto no exemplo 2.1 para ilustrar as hip´oteses de linearidade.

. . . Exemplo 3.1. Considere que doceira deseja abrir um pequeno neg´ocio para produ¸ca˜o de balas. A

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

46

princ´ıpio ela est´a considerando produzir dois tipos de balas: caramelo e nozes. Na produ¸ca˜o s˜ao utilizados trˆes ingredientes: leite, a¸cu ´car e nozes. A doceira tem em estoque 10kg de a¸cu ´car, 1kg de nozes e 6l de leite. A composi¸ca˜o da bala de caramelo ´e: 40% de leite e 60% de a¸cu ´car, e para as balas de nozes os ingredientes devem ser misturados na seguinte propor¸c˜ao: 40% de leite, 50% de a¸cu ´car e 10% de nozes. Cada quilo de bala de caramelo pode ser vendido a R$10,00 enquanto um quilo de bala de nozes pode ser vendido por R$13,00. Qual deve ser a produ¸ca˜o de cada tipo de bala para obter a maior receita? O modelo completo ´e:

max

s.a. :

z = 10x1 + 13x2     0, 6x1 + 0, 5x2 ≤ 10 (qtde.utilizada de a¸cu ´car)         0, 4x1 + 0, 4x2 ≤ 6 (qtde. utilizada de leite)           

0, 1x2 ≤ 1

(qtde. utilizada de nozes)

x1 , x2 ≥ 0

(n˜ao-negatividade)

1. Certeza: No contexto do Exemplo 2.1, tanto pre¸cos de venda dos produtos, como a quantidade a ser utilizada de cada ingrediente para fabrica¸ca˜o dos doces s˜ao constantes conhecidas. Entretanto este ´e um fato rara na maioria das aplica¸co˜es pr´aticas, em geral utiliza-se como coeficientes para o modelo de textitPPL aproxima¸co˜es do valor m´edio das distribui¸c˜oes de probabilidade quando os respectivos desvios-padr˜oes forem suficientemente pequenos, caso contr´ario, o problema n˜ao poder´a ser modelado como PPL. 2. Proporcionalidade: Se a doceira vender 1kg de bala de caramelado ela receber´a R$10, 00, se vender 2kg obter´a R$20, 00, se vender x1 kg obter´a 10x1 . O valor obtido na venda de balas de caramelo ´e proporcional a` quantidade vendida e pre¸co de venda do produto ´e a constante de proporcionalidade. A receita referente `a produ¸c˜ao de bala de nozes ´e 13x2 , sendo o produto da constante de proporcionalidade 13 pela quantidade vendida. Portanto, a receita referente a` determinado produto ´e proporcional a quantidade vendida, se a doceira conceder algum tipo de desconto

˜ DE MODELOS LINEARES 3.1. ESTRUTURAC ¸ AO

47

quando a quantidade adquirida ultrapassar certo patamar, a receita n˜ao ser´a mais proporcional a`s quantidades vendidas e a fun¸ca˜o receita se tornar´a n˜ao-linear. De maneira an´aloga, para produzir 1kg de bala de caramelo utiliza-se 0, 6kg de a¸cu ´car, para produzir o dobro necessita-se do dobro de a¸cu ´car, sendo assim a quantidade utilizada do ingrediente ´e proporcional a quantidade produzida. Similarmente para os outros ingredientes, constatamos a proporcionalidade em todas as restri¸c˜oes do problema. 3. Aditividade: Para a fun¸ca˜o objetivo, a receita total ´e a soma das receitas referentes a cada um dos produtos. Tamb´em para as restri¸c˜oes o todo ´e igual a soma das partes, o total consumido de a¸cu ´car ´e a soma do a¸cu ´car utilizado para produ¸c˜ao da bala de caramelo e do a¸cu ´car gasto na produ¸ca˜o da bala de nozes. Analogamente para os demais ingredientes. O comportamento aditivo ´e bastante comum, entretanto h´a situa¸co˜es onde n˜ao ´e poss´ıvel assumir o princ´ıpio da aditividade, por exemplo, se os produtos competirem entre si de forma que o aumento nas vendas de um provoque diminui¸ca˜o na procura do outro, a hip´otese de aditividade n˜ao ser´a satisfeita. Outro exemplo ocorre com rea¸co˜es qu´ımicas, se adicionarmos a um litro de a´gua o equivalente a 0,1 litro de a¸cu ´car o volume resultante n˜ao ser´a 1,1 litro de a´gua doce. 4. Divisibilidade: Neste problema ´e poss´ıvel vender 1kg de bala como 0, 5kg. Dependendo do problema, as vari´aveis de decis˜ao dever˜ao assumir valores inteiros, neste caso ´e ainda poss´ıvel modelar o problema como linear utilizando arredondamento, entretanto este procedimento pode resultar em valores distorcidos, requerendo a utiliza¸ca˜o de algoritmos espec´ıficos de programa¸ca˜o inteira. ` etapas estabelecidas anteriormente para modelar um PPM, ´e necess´ario acrescentar As a verifica¸ca˜o das hip´oteses de linearidade. Portanto, para proceder a an´alise do problema e formular um modelo de PPL o analista seguir as seguintes fases: X Identifica¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao X Identifica¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

48 X Identifica¸c˜ao das restri¸c˜oes

X Verifica¸ca˜o dos axiomas de linearidade

X Formula¸ca˜o matem´atica no formato padronizado de acordo com (4.1)

3.2

Resolu¸c˜ ao Gr´ afica de um PPL

Ap´os a obten¸ca˜o da formula¸c˜ao matem´atica ´e preciso se preocupar com a resolu¸ca˜o do problema de otimiza¸c˜ao. Em particular, PPL´s com duas vari´aveis permitem visualiza¸ca˜o geom´etrica, sendo assim, a princ´ıpio recorreremos ao m´etodo gr´afico para resolver problemas mais simples. O m´etodo gr´afico consiste em, primeiramente determinar o conjunto de todas as poss´ıveis solu¸c˜oes para o problema, determinado pelo sistema de restri¸c˜oes, e dentre estas identificar aquela onde ocorre o valor o´timo, avaliado pela fun¸c˜ao objetivo.

3.2.1

Representa¸ c˜ ao Gr´ afica das Restri¸c˜ oes

O espa¸co das solu¸co˜es de problemas com duas vari´aveis ´e o plano R2 . Dois pontos distintos A = (xa , ya ) e B = (xb , yb ) do plano determinam um reta, e pelas condi¸c˜oes de alinhamento, um ponto qualquer P = (x, y) ∈ R2 pertence a` reta AB que passa por A e B, se e somente se, a inclina¸c˜ao da reta AB for a mesma inclina¸ca˜o da reta AP . Assim, temos: y − ya yb − ya = x b − xa x − xa

⇐⇒

(yb − ya )(x − xa ) = (y − ya )(xb − xa )

⇐⇒

(yb − ya )x − (yb − ya )xa = (xb − xa )y − (xb − xa )ya

⇐⇒

(yb − ya )x − (xb − xa )y = xa yb − xa ya − xb ya + xa ya ⇐⇒ (y − y ) x + (xa − xb ) y = xa yb − xb ya {z } | | b {z a} | {z } a

b

c

˜ GRAFICA ´ 3.2. RESOLUC ¸ AO DE UM PPL

49

Sendo assim, toda reta no plano tem equa¸ca˜o geral da forma:

ax + by = c

(3.2)

onde a,b e c s˜ao constantes que podem assumir qualquer valor real. E, reciprocamente, toda equa¸c˜ao deste tipo representa uma reta no plano R2 . Uma reta divide o plano em duas regi˜oes denominadas semiplanos, e as inequa¸co˜es

ax + by > c e ax + by < c

representam semiplanos abertos distintos, enquanto as inequa¸co˜es

ax + by ≥ c e ax + by ≤ c

determinam semiplanos fechados cuja interse¸c˜ao ´e a reta ax + by = c. . . . Exemplo 3.2. Considere a equa¸ca˜o da reta r : −2x + y = 1, representada graficamente abaixo em linhas pontilhadas. A regi˜ao hachurada ´e a representa¸c˜ao gr´afica do semiplano aberto −2x + y < 1

Se um semiplano ´e a representa¸c˜ao gr´afica de uma inequa¸c˜ao em duas vari´aveis, ent˜ao a representa¸c˜ao gr´afica de um sistema de inequa¸co˜es lineares em duas vari´aveis ser´a a intersec¸c˜ao dos semiplanos correspondentes a cada inequa¸ca˜o. As restri¸co˜es de um PPL

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

50

juntamente com as condi¸c˜oes de n˜ao-negatividade ´e um conjunto de semiplanos cuja intersec¸c˜ao determina um conjunto de pontos do R2 denominado Regi˜ ao das Solu¸c˜ oes Vi´ aveis ou simplesmente Regi˜ ao Vi´ avel (RV).

. . . Exemplo 3.3. A empresa T´ecniBOLA S.A. tem como u ´nica atividade a fabrica¸ca˜o de bolas, sendo todas elas em couro e fabricadas segundo os processos primordiais. Atualmente fabrica dois produtos, a bola de futebol Catechumbo e a bola de v´olei Voleitok. Ambos os produtos s˜ao feitos do mesmo material, variando apenas na dimens˜ao, tipo de costuras e rotulagem. Os recursos que definem a fabrica¸c˜ao das bolas s˜ao: o corte do couro, o trabalho de costura, a pintura de inscri¸co˜es na bola e prepara¸ca˜o final. Esta u ´ltima ´e composta pelas atividades de enchimento, controle de qualidade (inspe¸ca˜o visual, calibra¸ca˜o e pesagem) e embalagem. Os dados fornecidos pela empresa referentes a` quantidade de recursos necess´arios para a produ¸c˜ao de cada tipo de bola e as quantidades dispon´ıveis para o dia de amanh˜a s˜ao os indicados na tabela: Recursos

unid. Voleitok

Catechumbo

Disponibilidade

Couro

m2

0,25

0,3

ilimitada

Linha

m

2,5

4

ilimitada

Cˆamera de Ar

un

1

1

25

Embalagens

un

1

1

ilimitada

Opera¸ca˜o de Corte

min

2

8

ilimitada

Opera¸ca˜o de Costura

min

9

25

480

Opera¸ca˜o de Logotipagem

min

1,5

1

ilimitada

Opera¸co˜es de Finaliza¸ca˜o

min

11

6

240

Para a tomada de decis˜ao, a empresa disponibilizou informa¸c˜oes a respeito dos valores monet´arios envolvidos (em u.m.) nos seus produtos, apresentados a seguir:

˜ GRAFICA ´ 3.2. RESOLUC ¸ AO DE UM PPL

Bola

51

Custo de Produ¸c˜ ao Pre¸co de Venda

Catechumbo

26,00

32,50

Voleitok

15,00

25,00

Como deve ser distribu´ıda a produ¸c˜ao amanh˜a de forma a maximizar o lucro, tendo em conta os recursos existentes?

De acordo com o objetivo do problema, as vari´aveis de decis˜ao podem ser assim definidas:

x1 : n´ umero de bolas Catechumbo a ser produzido amanh˜a. x2 : n´ umero de bolas Voleitok a ser produzido amanh˜a.

Utilizando as hip´oteses de linearidade, obtemos o seguinte modelo:

max

s.a. :

z = 6, 5x1 + 10x2 (Lucro Total)     x1 + x2 ≤ 25 (restri¸ca˜o de cˆamera de ar)         25x1 + 9x2 ≤ 480 (restri¸ca˜o de opera¸ca˜o de costura)    6x1 + 11x2 ≤ 240 (restri¸ca˜o de opera¸co˜es de finaliza¸ca˜o)         x1 , x2 ≥ 0 (restri¸c˜ao de n˜ao-negatividade)

Neste caso, estamos admitindo a hip´otese de divisibilidade, entretando o problema requer vari´aveis inteiras, na pr´oxima se¸c˜ao este PPL ser´a resolvido com as t´ecnicas usuais, mas a resposta final dever´a respeitar a imposi¸c˜ao pr´atica de quantidades inteiras, utilizando arredondamento, se necess´ario.

. . . Exemplo 3.4. Construir a regi˜ao vi´avel do problema da T´ecniBOLA S.A., apresentado no exemplo 3.3, cujo modelo ´e:

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

52

max

s.a. :

z = 6, 5x1 + 10x2 (Lucro Total)     x1 + x2 ≤ 25 (restri¸ca˜o de cˆamera de ar)         25x1 + 9x2 ≤ 480 (restri¸ca˜o de opera¸ca˜o de costura)

(1) (2)

   6x1 + 11x2 ≤ 240 (restri¸ca˜o de opera¸co˜es de finaliza¸ca˜o) (3)         x1 , x2 ≥ 0 (restri¸c˜ao de n˜ao-negatividade) (4) e (5) Somente as restri¸co˜es do problema s˜ao consideradas para determinar a regi˜ao vi´avel, sendo assim as restri¸c˜oes foram identificadas e numeradas. A seguir ´e apresentada a representa¸c˜ao gr´afica de cada semiplano fechado correspondente a`s restri¸co˜es do problema. (1) x1 + x2 ≤ 25

A reta r1 : x1 + x2 = 25 determina o semiplano correspondente a` primeira restri¸ca˜o, e pode ser determinada por dois de seus pontos, da seguinte maneira: se x1 = 0 ent˜ao x2 = 25

∴ (0; 25) ∈ r1

se x2 = 0 ent˜ao x1 = 25

∴ (25; 0) ∈ r1

(2) 25x1 + 9x2 ≤ 480 (3) 6x1 + 11x2 ≤ 240 (4) x1 ≥ 0 (5) x2 ≥ 0 A intersec¸c˜ao dos cinco semiplanos definidos pelas restri¸co˜es (1), (2), (3), (4) e (5), determina a regi˜ao das poss´ıveis solu¸co˜es do problema e est´a representada pela regi˜ao hachurada abaixo:

˜ GRAFICA ´ 3.2. RESOLUC ¸ AO DE UM PPL

53

O pol´ıgono ABCDE ´e o conjunto de todos os pontos X = (x1 , x2 ) que satisfazem todas as restri¸c˜oes simultaneamente. Sendo assim, toda combina¸c˜ao poss´ıvel da produ¸ca˜o de x1 unidades de bolas Catechumbo e de x2 unidades de bolas Voleitok ser´a um ponto

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

54

do pol´ıgono ABCDE, do seu interior ou ponto de fronteira.

3.2.2

Representa¸ c˜ ao Gr´ afica da Fun¸c˜ ao Objetivo

Fun¸c˜oes lineares com duas vari´aveis do tipo z = f (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 s˜ao geometricamente planos em R3 , e somente admitem m´aximo e/ou m´ınimo se estiverem sujeitas a restri¸co˜es, como no caso de um PPL. As curvas de n´ıvel desse tipo de fun¸c˜ao s˜ao retas paralelas que crescem monotonamente na dire¸ca˜o do gradiente  ∇f (x1 , x2 ) =

∂f ∂f , ∂x1 ∂x2



A cada ponto do conjunto de solu¸c˜oes vi´aveis est´a associada uma, e somente uma, reta da fam´ılia de retas paralelas correspondente a` fun¸c˜ao objetivo. E solucionar graficamente um PPL ´e determinar quais pontos da RV retornam o melhor valor para a fun¸ca˜o objetivo. A origem do sistema de coordenadas ´e o u ´nico ponto cr´ıtico de fun¸co˜es lineares, para o caso espec´ıfico de PPL com duas vari´aveis o ponto cr´ıtico ´e (0, 0), que ´e um dos v´ertices da RV e qualquer outro ponto extremo da fun¸c˜ao objetivo deve necessariamente estar na fronteira da regi˜ao delimitada pelas restri¸c˜oes. Para encontrar tais pontos deve-se percorrer a fam´ılia de retas paralelas no sentido do gradiente.

Considere um ponto arbitr´ario P ∈ RV e a reta z = c passando por P . Se P for um ponto interior do pol´ıgono, ser´a poss´ıvel melhorar o valor da fun¸c˜ao objetivo porque existem pontos de RV no semiplano determinado por z = c e pelo gradiente. Para

˜ GRAFICA ´ 3.2. RESOLUC ¸ AO DE UM PPL

55

melhorar este valor basta tomar outro ponto de RV localizado `a direita de P e tra¸car o representante da fam´ılia de retas paralelas que passa por este ponto retornando maior valor para a fun¸ca˜o objetivo. Se, por outro lado, P for tomado de maneira que n˜ao exista nenhuma outra solu¸c˜ao vi´avel situada no semiplano a` direita ent˜ao n˜ao ser´a mais poss´ıvel melhorar o valor da fun¸ca˜o objetivo e a solu¸c˜ao o´tima foi determinada. A solu¸c˜ao do problema foi obtida tangenciando-se a` direita o pol´ıgono das solu¸co˜es vi´aveis e este fato implica que a solu¸ca˜o ´otima, quando existe, localiza-se em ao menos um dos v´ertices de RV. O procedimento de busca pelo v´ertice ´otimo ´e an´alogo para problemas de minimiza¸ca˜o, entretanto o sentido da busca pela solu¸ca˜o do problema deve seguir a dire¸ca˜o contr´aria ao crescimento indicado pelo vetor gradiente. . . . Exemplo 3.5. Resolver graficamente o problema da T´ecniBOLA S.A., apresentado no exemplo 3.2 Na figura abaixo est˜ao representadas algumas retas paralelas correspondentes a` fun¸ca˜o objetivo z = 6, 5x1 + 10x2 para z = 0, z = −100, z = 100 e z = c.

A reta z = c pode ser deslocada at´e atingir o v´ertice C, onde n˜ao ser´a mais poss´ıvel aumentar o valor da fun¸c˜ao objetivo respeitando todas as restri¸c˜oes do problema. Portanto, o ponto C ´e o ponto onde o valor de z ´e m´aximo nas condi¸co˜es do PPL.

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

56

A solu¸ca˜o o´tima do problema pode ser obtida calculando-se as coordenadas do v´ertice C, que ´e o resultado da intersec¸c˜ao das retas correspondentes `as restri¸c˜oes (1) e (3). Sendo assim, as coordenadas de C ´e a solu¸ca˜o do seguinte sistema linear de ordem 2. (

x1 + x2

=

25

6x1 + 11x2 = 240

cuja solu¸ca˜o ´e: x1 = 7 e x2 = 18.

Portanto a solu¸c˜ao o´tima do PPL ´e: dever˜ao ser produzidas amanh˜a 7 bolas Catechumbo e 18 bolas Voleitok para obter um lucro m´aximo de $ 225,50.

3.2.3

Solu¸ co ˜es do Modelo

As condi¸co˜es para existˆencia de solu¸c˜ao para um PPL ´e garantida pelo seguinte teorema: TEOREMA 3.1. (Teorema do Valor Extremo) Se f (x1 , x2 , . . . , xn ) ´e cont´ınua em um subconjunto fechado e limitado do Rn , ent˜ao f atinge valores globais de m´aximo e m´ınimo. Como fun¸co˜es lineares s˜ao cont´ınuas, se o conjunto das solu¸c˜oes vi´aveis, para o caso espec´ıfico do R2 , formar um pol´ıgono fechado ent˜ao o problema admite solu¸ca˜o. Ao resolver graficamente um PPL em duas vari´aveis, trˆes situa¸c˜oes podem ocorrer: 1. RV ´e um conjunto vazio Neste caso, as restri¸co˜es s˜ao conflitantes e o PPL n˜ao admite solu¸c˜ao.

2. RV ´e n˜ao vazio e limitado O PPL tem solu¸ca˜o o´tima, u ´nica ou n˜ao.

˜ GRAFICA ´ 3.2. RESOLUC ¸ AO DE UM PPL

57

(a) O problema tem uma u ´nica solu¸ca˜o ´otima. (b) O problema tem m´ ultiplas solu¸co˜es o´timas, isto ´e, todos os infinitos pontos de um segmento de reta s˜ao solu¸c˜oes o´timas, e d˜ao o mesmo valor para a fun¸c˜ao objetivo.

(a)

(b)

3. RV ´e n˜ao vazio e ilimitado Duas situa¸co˜es podem ocorrer: (a) O PPL tem solu¸c˜ao o´tima, u ´nica ou n˜ao. (b) O PPL n˜ao tem o´timo finito, o valor a fun¸ca˜o objetivo cresce indefinidamente no sentido favor´avel.

(a)

(b)

 Roteiro 

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

58

De acordo com o que foi estudado at´e aqui, a resolu¸c˜ao gr´afica de um modelo de PPL com apenas duas vari´aveis segue os seguintes passos: 1. Construir o plano cartesiano, tomando como eixos as vari´aveis de decis˜ao; 2. Determinar os semiplanos correspondentes a`s restri¸co˜es para delimitar a regi˜ao vi´avel; 3. Tra¸car uma reta referˆencia qualquer com a inclina¸ca˜o da fun¸ca˜o objetivo; 4. Tra¸car retas paralelas a` referˆencia no sentido de crescimento da fun¸ca˜o (maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao) at´e tangenciar a regi˜ao vi´avel. O ponto o´timo, se existir, ser´a um v´ertice ou um lado da regi˜ao vi´avel.   Ainda um PPL com trˆes vari´aveis ´e poss´ıvel de ser resolvido graficamente, embora exija habilidade em desenho e boa vis˜ao espacial. Problemas com mais que trˆes vari´aveis necessitam de m´etodos alg´ebricos para serem resolvidos. O interesse maior em estudar o m´etodo gr´afico est´a em, atrav´es da representa¸ca˜o gr´afica, intuir propriedades te´oricas e delinear um m´etodo de resolu¸ca˜o alg´ebrica que possa ser utilizado em problemas com um n´ umero qualquer de vari´aveis.

3.3

Lista de Problemas

Para cada item abaixo, modele o problema de acordo com as hip´oteses de linearidade e resolva graficamente os PPL com duas vari´aveis. 1. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 ´e de 100 u.m. e o lucro unit´ario de P2 ´e de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal dispon´ıvel para essas atividades ´e de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2

3.3. LISTA DE PROBLEMAS

59

n˜ao devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mˆes. Qual deve ser o sistema de produ¸c˜ao mensal para maximizar o lucro da empresa? 2. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total dispon´ıvel de couro ´e de 6 unidades e que o lucro unit´ario por sapato ´e de 5 u.m. e o do cinto ´e de 2 u.m. Qual deve ser o sistema de produ¸c˜ao do sapateiro, se o objetivo ´e maximizar o seu lucro por hora? 3. Um pizzaiolo trabalha 8h por dia e faz 16 pizzas por hora, caso fa¸ca somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40gr de queijo para preparar uma pizza e 60gr de queijo para fazer um calzone. Sabendo-se que o total dispon´ıvel de queijo ´e de 5kg por dia, e que a pizza ´e vendida a R$18,00 e o calzone a R$22,00, pergunta-se: quantas unidade de pizzas e calzones uma pizzaria com trˆes pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita? 4. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regi˜ao de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pˆessegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no m´aximo 200 caixas de tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever´a ele carregar o caminh˜ao para obter o lucro m´aximo? 5. Uma rede de televis˜ao local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de m´ usica e 1 minuto de propaganda chama a aten¸c˜ao de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de m´ usica e 1 minuto de propaganda chama a aten¸c˜ao de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no m´ınimo, 5 minutos para sua propaganda e que n˜ao h´a verba para mais de 80 minutos de m´ usica. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o n´ umero m´aximo de telespectadores? 6. Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabrica¸c˜ao em rela¸ca˜o ao modelo M2. Se

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

60

todos os cintos fosse do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade di´aria ´e de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unit´arios s˜ao de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ´otimo de produ¸ca˜o que maximiza o lucro total di´ario da empresa? 7. Um empresa, ap´os um processo de racionaliza¸c˜ao de produ¸c˜ao, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o pre¸co de coloca¸c˜ao no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produ¸ca˜o forneceu a seguinte tabela de uso de recursos: Produto P1 P2 Disponibilidade de recursos por mˆes

R1 p.u. 2 4

R2 p.u. 3 2

R3 p.u. 5 3

100

90

120

Que produ¸c˜ao mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para empresa? 8. Um fazendeiro est´a estudando a divis˜ao de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: - A (Arrendamento): Destinar certa quantidade de sua propriedade para a planta¸c˜ao de cana-de-a¸cu ´car, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano. - P (Pecu´aria): Usar outra parte para a cria¸c˜ao de gado de corte. A recupera¸c˜ao das pastagens requer aduba¸c˜ao (100 kg/Alq) e irriga¸ca˜o (100.000 litros/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade ´e de $400,00 por alqueire por ano. - S (Plantio de Soja): Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de ´agua por alqueire para irriga¸ca˜o por ano. O lucro estimado nessa atividade ´e de $500,00 por alqueire por ano.

3.3. LISTA DE PROBLEMAS

61

Sabendo que h´a disponibilidade de 12.750.000 litros de a´gua, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra por ano, quantos alqueires dever´a destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? 9. Um indiv´ıduo quer investir $ 5.000,00 no pr´oximo ano em dois tipos de investimento: o investimento A rende 5% e o investimento B rende 8%. Pesquisas de mercado, recomendam uma aloca¸c˜ao de no m´ınimo 25% em A e no m´aximo 50% em B. Al´em do mais o investimento em A deve ser no m´ınimo metade do investimento em B. Como o fundo deveria ser alocado aos dois investimentos? 10. Uma liga especial constitu´ıda de ferro, carv˜ao, sil´ıcio e n´ıquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros al´em de 2 tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 (MR1) - Composi¸ca˜o:    ferro - 60%    carv˜ao - 20% custo por kg $0,20 Material Recuperado 2 (MR2)      sil´ıcio - 20%    ferro - 70%       carv˜ao - 20% Composi¸ca˜o:   sil´ıcio - 5%       n´ıquel - 5%

custo por kg $0,25

A liga deve ter a seguinte composi¸c˜ao final Mat´ eria-prima % m´ınima % m´ axima ferro

60

65

carv˜ao

15

20

sil´ıcio

15

20

n´ıquel

5

8

O custo dos materiais puros (por kg) s˜ao: ferro $0,30; carv˜ao $0,20; sil´ıcio $0,28; n´ıquel $0,50. Qual dever´a ser a composi¸ca˜o da mistura em termos dos materiais dispon´ıveis, com menor custo por kilo?

˜ LINEAR CAP´ITULO 3. PROGRAMAC ¸ AO

62

11. A ind´ ustria Alumilˆaminas S/A iniciou suas opera¸c˜oes em janeiro de 2006 e j´a vem conquistando espa¸co no mercado de laminados brasileiros, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lˆaminas de alum´ınio que fabrica: espessuras fina, m´edia ou grossa. Toda a produ¸ca˜o da companhia ´e realizada em duas f´abricas, uma localizada em S˜ao Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lˆaminas finas, 6 toneladas de lˆaminas m´edias e 28 toneladas de lˆaminas grossas. Devido a` qualidade dos produtos de Alumilˆaminas S/A, h´a uma demanda extra para cada tipo de lˆaminas. A f´abrica de S˜ao Paulo tem um custo de produ¸c˜ao di´aria de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lˆaminas finas, 1 tonelada de lˆaminas m´edias, 2 toneladas de lˆaminas grossas por dia. O custo de produ¸ca˜o di´ario da f´abrica do Rio de Janeiro ´e de R$ 200.000,00 para uma produ¸c˜ao de 2 toneladas de lˆaminas finas, 1 tonelada de lˆaminas m´edias, 7 toneladas de lˆaminas grossas. Quantos dias cada uma das f´abricas dever´a operar para atender aos pedidos ao menor custo poss´ıvel? 12. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminh˜oes: O tipo “A”tem 2m3 de espa¸co refrigerado e 3m3 de espa¸co n˜ao refrigerado; tipo “B”tem 2m3 de espa¸co refrigerado e 1m3 de espa¸co n˜ao refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitar´a 16m3 de espa¸co refrigerado e 12m3 de espa¸co n˜ao refrigerado. A companhia calcula em 1.100 litros o consumo de combust´ıvel para a viagem com o caminh˜ao “A”e 750 litros para o caminh˜ao “B”. Quantos caminh˜oes de cada tipo dever˜ao ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combust´ıvel? 13. A empresa Have Fun S/A. produz uma bebida energ´etica muito consumida pelos freq¨ uentadores de danceterias noturnas. Dois componentes utilizados na prepara¸c˜ao da bebida s˜ao solu¸c˜oes compradas de laborat´orios terceirizados - solu¸c˜ao Red e a solu¸ca˜o Blue - e que proveem os principais ingredientes ativos do energ´etico: extrato de guaran´a e cafe´ına. A companhia quer saber quantas doses de 10ml. de cada solu¸ca˜o deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer a`s exigˆencias m´ınimas padronizadas de 48gr. de extrato de guaran´a e 12gr. de cafe´ına e, ao mesmo tempo,

3.3. LISTA DE PROBLEMAS

63

minimizar o custo da produ¸ca˜o. Por acelerar o batimento card´ıaco, a norma padr˜ao tamb´em prescreve que a quantidade de cafe´ına seja no m´aximo 20gr. por lata. Uma dose da solu¸c˜ao Red contribui com 8gr de extrato de guaran´a e 1gr de cafe´ına, enquanto uma dose da solu¸c˜ao Blue contribui com 6gr. de extrato de guaran´a e 2gr. de cafe´ına. Uma dose de Red custa R$0,06 e uma dose de Blue custa R$0,08. 14. Um fabricante de carros produz duas vers˜oes de seu modelo popular de tamanho m´edio: um utilit´ario direcionado ao mercado de fam´ılias e um esportivo projetado para atrair clientes ricos e solteiros. Ambos s˜ao montados sobre os mesmos chassis e diferem somente na carroceria. Ambos s˜ao tamb´em produzidos na mesma f´abrica. Existem 10.000 horas de for¸ca de trabalho e 1.325 unidades de chassis b´asicos dispon´ıveis a cada semana. O modelo utilit´ario leva seis horas para ser montado, enquanto o modelo esportivo leva 9 horas. Pelo menos 400 unidades do modelo utilit´ario devem ser produzidas por semana. A produ¸ca˜o tamb´em ´e restringida pelo fato de que, devido a problemas com um fornecedor, somente 6.000 ma¸canetas est˜ao dispon´ıveis por semana. Um utilit´ario utiliza cinco dessas ma¸canetas, enquanto um esportivo utiliza trˆes. O lucro da f´abrica sobre um modelo utilit´ario ´e estimado em $ 1.500,00, enquanto o lucro sobre um modelo esportivo ´e de $ 2.000,00. A demanda do mercado pelos carros ´e alta. Sabe-se que a demanda exceder´a a produ¸ca˜o em algum momento; ent˜ao, a f´abrica deve ser capaz de vender qualquer mix de carros que for produzido. (a) Quantas ma¸canetas em excesso seriam recebidas pela f´abrica a cada semana se o mix de carros de produ¸ca˜o recomendado for seguido. (b) Se a f´abrica pudesse obter somente uma das coisas a seguir, o que a permitiria produzir mais carros? i. Mais unidades de chassis. ii. Mais ma¸canetas. iii. Maior margem de lucro sobre cada carro. iv. Remo¸c˜ao da restri¸ca˜o sobre a produ¸c˜ao do modelo utilit´ario.

CAP´ITULO

4 ˜ DE PPL RESOLUC ¸ AO

A importˆancia do m´etodo gr´afico visto no cap´ıtulo anterior, reside no fato de permitir a visualiza¸ca˜o de um m´etodo alg´ebrico mais geral, que consiste em procurar o v´ertice do pol´ıgono que otimize a fun¸c˜ao objetivo.

4.1

Estrutura¸c˜ ao de Modelos Lineares

˜ o 4.1. Em problemas de minimiza¸c˜ao, uma solu¸c˜ao vi´avel x∗ = (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ) Definic ¸a ´e dita ´ otima se f (x∗ ) ≤ f (x), para toda solu¸c˜ao vi´avel x. ˜ o 4.2. Um modelo de PPL est´a na forma padr˜ Definic ¸a ao quando for formulado da seguinte maneira: min

s.a. :

z = c1 x 1 + c2 x 2 + . . . + cn x n            

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. .

(4.1)

     am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm       x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0 Observe que, na forma padr˜ao, a fun¸c˜ao objetivo deve ser minimizada, as restri¸c˜oes 64

˜ DE MODELOS LINEARES 4.1. ESTRUTURAC ¸ AO

65

s˜ao definidas como um sistema de equa¸c˜oes lineares e todas as vari´aveis devem satisfazer as condi¸co˜es de n˜ao-negatividade. A forma padr˜ao n˜ao ´e restritiva pois todo PPL pode ser posto como em (4.1), de fato:

1. Para PPL de minimiza¸ca˜o, encontrar uma solu¸c˜ao vi´avel x∗ que minimize f (x) ´e equivalente a encontrar uma solu¸ca˜o que maximiza¸ca˜o −f (x). Suponha que x∗ ´e um ponto o´timo de f (x), ent˜ao

×(−1)

⇐⇒

f (x∗ ) ≤ f (x),

∀x vi´avel

−f (x∗ ) ≥ −f (x),

∀x vi´avel

⇐⇒ (−f )(x∗ ) ≥ (−f )(x), ∀x vi´avel

2. Para ocorrˆencia de desigualdades Toda inequa¸ca˜o pode ser convertida em equa¸c˜ao adicionando ou subtraindo-se vari´aveis adicionais positivas denominadas vari´ aveis de folga ou de excesso para o caso de ocorrˆencia de desigualdades do tipo ≤ ou ≥, respectivamente.

3. Para ocorrˆencia de vari´aveis livres S˜ao consideradas livres, as vari´aveis que n˜ao apresentam qualquer tipo de restri¸ca˜o 0

de sinal. Uma vari´avel livre xj pode ser substitu´ıda por outras duas vari´aveis xj e 0

x00 j n˜ao-negativas, bastando para isto tomar xj = xj − x00 j

Na forma padr˜ao um PPL pode ser escrito equivalentemente em nota¸c˜ao matricial como: max f (x) = cT x Ax = b x≥ 0 onde:

(4.2)

˜ DE PPL CAP´ITULO 4. RESOLUC ¸ AO

66 



 a11 . . . a1n  .. A =  .   am1 . . . amn

c

T

x

T

 =

´e o vetor dos custos;

c1 c2 . . . cn

=

 ´e o vetor das vari´aveis de decis˜ao;

x1 x2 . . . xn



 ´e o vetor dos recursos;

b1 b2 . . . bm

 =

´e a matriz dos coeficientes;





bT =

0

    

 ´e o vetor nulo.

0 0 ... 0

. . . Exemplo 4.1. Problema ilustrativo Uma f´abrica tem trˆes tipos de m´aquinas (M1 , M2 , M3 ) cada uma das quais dever ser usada na manufatura de seus produtos P1 e P2 . Sabendo que o lucro por unidade de P1 ´e 40 u.m. e o lucro por unidade de P2 ´e 60 u.m., decida quanto fabricar de cada produto por semana a fim de maximizar os lucros de acordo com a seguinte tabela: M´ aquinas Horas P1

Horas P2

Horas dispon´ıveis

M1

2

1

70

M2

1

1

40

M3

1

3

90

O modelo para este PPL ´e: x1 : produ¸ca˜o semanal de P1 x2 : produ¸ca˜o semanal de P2

max

z = 40x1 + 60x2    2x1 + x2 ≤ 70       x1 + x2 ≤ 40 s.a. :   x1 + 3x2 ≤ 90       x1 , x2 ≥ 0

Para que o sistema de restri¸c˜oes do problema seja posto na forma (Ax = b, x ≥ 0)

˜ TEORICA ´ 4.2. FUNDAMENTAC ¸ AO

67

vari´aveis de folga devem ser definidas: x3 = 70 − 2x1 − x2 ≥ 0 x4 = 40 − x1 − x2

≥0

x5 = 90 − x1 − 3x2 ≥ 0 Inserido as vari´aveis de folga, obtemos o modelo do PPL na forma padr˜ao: max

z = 40x1 + 60x2    2x1 + x2 + x3 =       x1 + x2 + x4 = s.a. :   x1 + 3x2 + x5 =       xj ≥

4.2

70 40 90 0

j = 1, . . . , 5

Fundamenta¸c˜ ao Te´ orica

O m´etodo alg´ebrico Simplex para solucionar PPL est´a fundamentado nas t´ecnicas e con´ ceitos da Algebra Linear. Para generalizar as ideias discutidas no m´etodo geom´etrico algumas defini¸co˜es e reformula¸c˜oes se far˜ao necess´arias. A defini¸ca˜o seguinte generaliza o conceito de semiplano definido na cap´ıtulo anterior. ˜ o 4.3. A equa¸c˜ao a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b, com a1 , . . . , an , b ∈ R deDefinic ¸a fine um Hiperplano em Rn , que divide o espa¸co Rn em dois semi-espa¸ cos disjuntos: a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + an x n < b

e

a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn > b.

Analogamente ao que foi visto para PPL em duas vari´aveis, para problemas com trˆes ou mais vari´aveis a fun¸c˜ao objetivo representa uma fam´ılia de hiperplanos paralelos entre si. ˜ o 4.4. A intersec¸c˜ao de um n´ Definic ¸a umero finito de semi-espa¸cos fechados ´e denominado politopo. Isto ´e, um politopo ´e definido por ( P =

x ∈ Rn :

n X j=1

) aij xj ≤ bi , para i = 1, 2, . . . , m

˜ DE PPL CAP´ITULO 4. RESOLUC ¸ AO

68

O conjunto das solu¸c˜oes vi´aveis de um PPL ´e um politopo pois ´e obtida pela intersec¸c˜ao de um n´ umero finito de restri¸co˜es. Mesmo as inequa¸c˜oes do tipo ≥ que possivelmente comp˜oem o sistema de restri¸c˜oes facilmente s˜ao transformadas em inequa¸co˜es do tipo ≤ pela simples multiplica¸c˜ao da express˜ao por -1.

˜ o 4.5. Sejam x1 , x2 , . . . , xk vetores do Rn e α1 , α2 , . . . , αk n´ Definic ¸a umeros reais. k X x= αi xi ´e uma Combina¸ c˜ ao Linear Convexa se αi ≥ 0 para todo i = 1, 2 . . . , k e se

i=1 k X

αi = 1. Se αi > 0 para todo i = 1, 2 . . . , k, dizemos que ´e uma Combina¸ c˜ ao

i=1

Linear Convexa Leg´ıtima. . . . Exemplo 4.2. Dados os vetores x1 = (1, 0) e x2 = (0, 1) de R2 . O vetor x1 + x2 ´e uma combina¸ca˜o linear dos vetores x1 e x2 , mas n˜ao ´e uma combina¸c˜ao linear convexa pois α1 + α2 = 2 6= 1. O vetor 2x1 − x2 n˜ao ´e uma combina¸ca˜o linear convexa dos vetores x1 e x2 , apesar de α1 + α2 = 1, n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de n˜ao-negatividade dos escalares pois α2 = −1 < 0.

˜ TEORICA ´ 4.2. FUNDAMENTAC ¸ AO

69

Os vetores 0, 5x1 + 0, 5x2 , 0, 6x1 + 0, 4x2 , 0, 4x1 + 0, 6x2 , 0, 7x1 + 0, 3x2 e 0, 3x1 + 0, 7x2 s˜ao exemplo de combina¸co˜es lineares convexas leg´ıtimas pois satisfazem α1 +α2 = 1, com α1 , α2 > 0. Geometricamente pode-se interpretar uma combina¸c˜ao linear convexa de dois pontos como um ponto do segmento de reta que une os dois pontos originais. ˜ o 4.6. Um conjunto M ´e convexo se toda combina¸c˜ao linear convexa de qualDefinic ¸a quer par de pontos do conjunto tamb´em for elemento de M . Em outras palavras, M ´e convexo se todo segmento de reta definido por dois quaisquer de seus pontos estiver contido no conjunto. . . . Exemplo 4.3. Os conjuntos representados nas figuras (a) e (b) s˜ao exemplos de conjuntos convexos, enquanto as figuras (c) e (d) s˜ao conjuntos n˜ao convexos.

TEOREMA 4.1. A regi˜ao vi´avel de um PPL ´e um politopo convexo. Dem.: J´a vimos que a regi˜ao vi´avel de um PPL ´e um politopo e para mostrar que ´e uma regi˜ao convexa, sejam y, z ∈ RV . Para ser uma solu¸ca˜o vi´avel y e z devem satisfazer todas as restri¸co˜es e as condi¸c˜oes de n˜ao-negatividade, assim tem-se que Ay = b, Az = b e que y, z ≥ 0. Seja αy + βz uma combina¸ca˜o linear convexa, isto ´e, α, β ≥ 0 e α + β = 1 . Ent˜ao a) αy + βz ≥ 0 pois α, β, y, z ≥ 0 b) A(αy + βz) = αAy + βAz = αbβb = (α + β)b = b O que demonstra αy + βz ∈ RV e portanto RV ´e um politopo convexo.



˜ DE PPL CAP´ITULO 4. RESOLUC ¸ AO

70

˜ o 4.7. Um ponto x de um politopo convexo, denomina-se v´ertice quando ele n˜ Definic ¸a ao puder ser obtido como uma combina¸c˜ao linear convexa leg´ıtima de nenhum par de pontos distintos do politopo. . . . Exemplo 4.4. Problema ilustrativo (continua¸c˜ao) Retornando ao exemplo 4.1, utilizando a nota¸ca˜o matricial o sistema de equa¸co˜es lineares correspondente `as restri¸co˜es expl´ıcitas do problema ´e da forma Ax = b,   x    1   2 1 1 0 0  x2   70    1 1 0 1 0 x3  = 40        1 3 0 0 1  90 x4  x5 Apesar do problema passar a ter cinco vari´aveis, qualquer par ordenado (x1 , x2 ) ∈ R2 determina unicamente todas as vari´aveis, pois as vari´aveis de folga s˜ao dependentes das duas vari´aveis de decis˜ao do modelo original. Observe que posto(A) = 3, sendo assim o sistema Ax = b com m = 3 equa¸co˜es e m + n = 5 vari´aveis ´e um Sistema Poss´ıvel e Indeterminado. Portanto, o sistema tem duas vari´aveis livres, para as quais podemos atribuir quaisquer valores. Vamos admitir que atribuiremos apenas valores nulos para as vari´aveis livres, como s˜ao cinco vari´aveis agrupadas em conjunto de dois elementos, teremos 10 combina¸c˜oes poss´ıveis: 1. Fixar x1 = x2 = 0 resulta em x3 = 70, x4 = 40, x5 = 90        x1 = 35 2x1 = 70       x2 = 0   resulta em 2. Fixar x = 5 x + x4 = 40 cuja solu¸ca˜o ´e  1  4   x3 = 0        x1 + x5 = 90  x5 = 55        2x1 + x2 = 70 x1 = 30       x3 = 0   3. Fixar resulta em x1 + x2 = 40 cuja solu¸c˜ao ´e x2 = 10     x4 = 0        x1 + 3x2 + x5 = 90  x5 = 30

˜ TEORICA ´ 4.2. FUNDAMENTAC ¸ AO

71

       2x1 + x2 + x3 = 70 x1 = 15        x4 = 0  4. Fixar resulta em x1 + x2 = 40 cuja solu¸c˜ao ´e x2 = 25      x5 = 0       x3 = 15  x1 + 3x2 = 90

5. Fixar

   x3 = 0   x5 = 0

resulta em

     

2x1 + x2 x1 + x2 + x4

    

x1 + 3x2

   = 70 x1 = 24    = 40 cuja solu¸c˜ao ´e x2 = 22      x4 = −6 = 90

       x2 = 70 x2 = 70       x1 = 0   6. Fixar resulta em x2 + x4 = 40 cuja solu¸ca˜o ´e x4 = −30     x3 = 0        3x2 + x5 = 90  x5 = −120        x2 = 40 x2 + x3 = 70         x1 = 0 7. Fixar resulta em x4 = 30 x2 = 40 cuja solu¸c˜ao ´e       x4 = 0      x5 = −30  3x2 + x5 = 90        x2 + x3 = 70 x2 = 30       x1 = 0   8. Fixar resulta em x + x4 = 40 cuja solu¸ca˜o ´e x = 40  x = 0  2  3      5     x4 = 10 3x2 = 90

9. Fixar

      2x1 + x3 = 70 x1 = 40       resulta em x1 = 40 cuja solu¸c˜ao ´e x3 = −10     = 0      x1 + x5 = 90  x5 = 50

   x2 = 0   x4

       2x1 + x3 = 70 x1 = 90       x2 = 0   10. Fixar resulta em x1 + x4 = 40 cuja solu¸ca˜o ´e x3 = −110  x = 0        5     x4 = −50 x1 = 90

A solu¸c˜ao gr´afica do problema pode ser visualizada na figura seguinte. As solu¸co˜es encontradas nas alternativas 5, 6, 7, 9 e 10 s˜ao invi´aveis, isto ´e, apesar de ser solu¸ca˜o do sistema Ax = b est˜ao fora da regi˜ao vi´avel. Enquanto a solu¸c˜ao encontrada na alternativa 1 corresponde ao v´ertice A do pol´ıgono que representa a regi˜ao vi´avel do

˜ DE PPL CAP´ITULO 4. RESOLUC ¸ AO

72

problema, a solu¸ca˜o 2 ´e o v´ertice B, a solu¸c˜ao 3 ´e o v´ertice C, a solu¸ca˜o 4 ´e o v´ertice D e a solu¸c˜ao 8 ´e o v´ertice E.

Para encontrar a solu¸ca˜o o´tima de um PPL ´e necess´ario encontrar solu¸c˜oes para o sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b, com m equa¸co˜es e n + m inc´ognitas. ´ comum, em problema reais, m