Le vecteur Gradient permet de traduire les variations de f x,y pour un
accroissement. ),(y ... vecteur gradient: elle consiste à calculer la valeur de la
dérivée ...
DERIVATION DU SIGNAL IMAGE
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L’analyse des images a souvent pour base l'étude des variations locales du niveau de gris. La dérivation de la fonction image est l'outil le plus utilisé pour mettre en évidence ces variations locales. Elle s’appuie sur la définition classique de la dérivée d'une fonction monodimensionnelle : Soit f u une fonction de la variable u , f u est dérivable par rapport à u en u0 si pour tout accroissement h, il existe un nombre A tel que : f u 0 h = f u 0 A h h ε h avec lim ε h = 0 h 0
la dérivée de f par rapport à u est : A=
f u 0h − f u0 df ∣u = lim du 0 h 0 h
L'étude porte donc sur l'extension de la définition de base au cas bidimensionnel. Dérivée première La fonction image f x , y étant définie dans un espace bidimensionnel, nous pouvons définir des dérivées partielles par rapport aux variables de définition de f : f x hx , y − f x , y ∂ f x , y = lim ∂ x hx hx 0 f x , y hy − f x , y ∂ f x , y = lim ∂ y hy hy 0 Pour un accroissement h quelconque , caractérisé par des projections h x et h y , nous pouvons écrire grâce au développement de Taylor : f x 0 h x , y 0 h y = f x 0 , y 0 h x
Y
hx
y0 hy
O
∂ f ∂ f ∣x0 , y0 h y ∣x0 , y0 O h 2x , h 2y ∂ x ∂ y
α
x0 Fig1 - Composantes du vecteur gradient
X
Considérons maintenant un accroissement h dans la direction α , caractérisé par des projections h cos α ; h sin α , nous aurons :
f x 0 h cos α , y 0h sin α = f x 0 , y0 h cos α
P. BONNET
∂ f x , y ∂ f x , y ∣x0 , y0 h sin α ∣x0 , y0 O 2 h ∂x ∂y
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La dérivée directionnelle de f dans la direction α sera donnée par : df ∂ f ∂ f ∣ = cos α ∣ sin α ∣ dα x0 , y0 ∂ x x0 , y0 ∂ y x0 , y0
La dérivée directionnelle s'exprime donc à partir des dérivées calculées dans les directions principales du maillage. Cette propriété montre l'importance des dérivées principales dans le traitement d'images. Vecteur Gradient f de la fonction f(x,y) par : Nous définissons le Vecteur Gradient ∇ f ∇
{
∂ f x ,y ∂ x ∂ f x, y ∂ y
Le vecteur Gradient permet de traduire les variations de f x , y pour un accroissement h (h x , h y ) , en utilisant le produit scalaire: f O h 2 , h2 f x h , y h = f x , y h. ∇ 0
x
0
y
0
0
x
y
f est caractérisé par son module et sa direction. Les expressions usuelles Le Gradient ∇ de ces grandeurs en norme euclidienne sont: f∣ = ∣∇
2 1 /2
[ ] ∂ f ∂ x
2
∂ f ∂ y
et
f = tan −1 ∂ f / ∂ f θ = Arg ∇ ∂ y ∂ x
L'évaluation de ces expressions exige des calculs longs en type réel, avec choix de la détermination pour la fonction tan-1 ; elles sont souvent remplacées par un calcul simplifié, justifié mathématiquement par l'usage d'une norme différente: f∣ = ∣ ∣∇
∂ f ∂ f ∣∣ ∣ en norme L1 ∂ x ∂x
[
f ∣ = max ∣ ∣∇
∂ f ∂ f ∣ ,∣ ∣ ∂x ∂x
]
en norme L∞
La détermination de la direction est souvent réduite aux directions principales du maillage (0°, 45°, 90° ... pour la maille carrée); elle fait appel à des règles sur le signe des composantes et une comparaison entre leurs valeurs respectives. Propriété fondamentale du vecteur Gradient Le module du vecteur Gradient représente la pente de la surface image au point de calcul. La présence locale d'un module élevé traduit une forte variation du niveau de gris autour de ce point. La direction du vecteur gradient donne la direction de cette pente dans le sens croissant En effet, exprimons la dérivée directionnelle à partir du vecteur gradient: df ∂ f ∂ f = cos α sin α dα ∂ x ∂ y f avec α = α . ∇ vecteur unitaire dans la direction α f sont colinéaires . Le vecteur La dérivée directionnelle est donc maximale lorsque α et ∇ gradient est donc dans la direction de plus forte pente de la surface image.
P. BONNET
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Cette propriété est mise à profit par la méthode du compas pour déterminer la direction du vecteur gradient: elle consiste à calculer la valeur de la dérivée directionnelle pour un certain nombre f est donnée par la direction donnant le de directions principales discrètes; la direction de ∇ maximum d'amplitude à la dérivée directionnelle. La procédure est donc la suivante: ∂ f ∂ f et selon les directions du repère de l'image ∂x ∂ y df ∂ f ∂ f • pour i = 1 à n calculer dα = cos α i ∂ x sin α i ∂ y i df • rechercher le maximum de dα i α • la direction est i max • calcul des dérivées
Pour accélérer les calculs, les cosinus directeurs des directions d'analyse αi sont tabulés. Relation entre contour et Gradient Lorsqu'il y a un contour, c'est à dire une forte variation locale du niveau de gris, le vecteur gradient est perpendiculaire au contour. Etant donné que la dérivée directionnelle est nulle dans la direction perpendiculaire au contour, la variation de niveau de gris est nulle le long du contour. La figure ci-dessous illustre le cas d'un contour circulaire séparant une zone grise d'une zone blanche.
A
∂f > 0 ∂x
∂f
