Himpunan

I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan

1.6 Aljabar Himpunan Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Pengertian Himpunan 1. 2. 3.

Apa yang dimaksud dengan himpunan ? Berikan contoh himpunan Berikan contoh yang bukan himpunan

Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Definisi 

Himpunan adalah Kumpulan objek-objek (benda-benda real atau abstrak) yang didefinisikan dengan jelas.


Contoh Himpunan 

 

Kumpulan mahasiswa Jurusan Pendidikan Biologi FPMIPA UPI Kumpulan anak-anak SD Isola Kumpulan mahasiswa UPI yang berumur kurang dari 10 tahun


Contoh bukan himpunan 

 

Kumpulan anak-anak yang berambut gondrong Kumpulan makanan yang lezat-lezat Kumpulan anak-anak yang pandai


Notasi Himpunan 

  

Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital ; A, B, C, … atau ditandai oleh dua kurung kurawal, { … } Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kecil ; a, b, c, … Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x A Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis y B Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A)


Macam-macam Himpunan 

Coba anda sebutkan macam-macam himpunan


Macam-macam Himpunan   

Himpunan kosong Himpunan semesta Himpunan Bilangan



Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga (infinite)



Himpunan Terhitung (countable) dan Tak Terhitung (uncountable) Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Macam-macam Himpunan 





Himpunan kosong Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis dengan simbol ø atau { }. Himpunan semesta Yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S. Himpunan Bilangan, terdiri dari ; Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Bulat : Z = { … , -1, 0, 1, … } Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0} Himpunan Bilangan Real : R Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Macam-macam Himpunan (lanjutan) 



Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga (infinite) Himpunan terhingga (finite) adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga, yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyai n elemen. Contoh A = {a, b, c, d} , B = = { } Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI




Himpunan tak terhingga (infinite atau denumerable) adalah himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga. Contoh Himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dsb. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI


Himpunan Terhitung (countable) dan Tak Terhitung (uncountable) Himpunan Terhitung adalah himpunan terhingga atau denumerable. Jadi Himpunan terhingga Himpunan Terhitung Himpunan denumerable

Contoh ; A = {1, 2, 3, 4} B = himpunan bilangan ganjil Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI


Himpunan tak Terhitung (uncountable) adalah adalah himpunan yang tidak terhitung. Contoh : R = Himpunan bilangan real


Relasi Antar Himpunan 







Himpunan sama Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya. Himpunan equivalen Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota yang sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A termasuk anggota B, ditulis A B Himpunan Kuasa Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunanhimpunan bagian dari suatu himpunan Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Contoh Himpunan Kuasa 



Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari A adalah : 2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A} Jika m adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A adalah 2m


Diagram Himpunan

  

Terdiri dari : Diagram Venn Diagram Garis Diagram Cartess


Diagram Venn Cara penulisan diagram Venn

A

C


B

Diagram Garis Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis sbb; D

C A

B


Diagram Cartess Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan. Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess. Jika A = {x : 0 x < 3}, maka digambarkan dalam garis bilangan sbb;

0

1

2


3

Operasi pada Himpunan     

Irisan A ∩ B = {x : x A dan x B} Gabungan A B = {x : x A atau x B} Penjumlahan A + B = {x : x A, x B, x (A∩B)} Pengurangan A – B = A \ B = {x : x A, x B} Komplemen Ac = {x : x A, x S} Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Penjumlahan dan Pengurangan dalam Diagram Venn 

A + B = {x : x A, x B, x (A∩B)}



A – B = {x : x A, x B}

A

A


B

B

Sifat-sifat Operasi Himpunan  





Sifat komutatif A B = B A dan A B = B A Sifat asosiatif A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Sifat distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Sifat Komplemen A Ac = ø, A Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø, øc = S (A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac Bc


Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan) 

  

Sifat pengurangan A - A = ø, A – ø = A, A – B = A Bc A - (B C) = (A - B) (A - C) A - (B C) = (A - B) (A - C) Sifat identitas A ø = ø, A S = A, A ø = A, A S = S Sifat idempoten A A = A, A A = A Sifat himpunan bagian (A B) A, (A B) B, (A - B) A Jika A B, maka A B = A, A B = B, Bc Ac dan A (B – A) = B Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)  



Sifat refleksif A = A, A A, A ~ A Sifat simetrik Jika A = B, maka B = A Jika A ~ B, maka B ~ A Sifat transitif Jika A = B dan B = C, maka A = C Jika A B dan B C, maka A C Jika A ~ B dan B ~ C, maka A ~ C


Aljabar Himpunan     

Sifat-sifat aljabar himpunan Prinsip dualitas Himpunan Berindeks Partisi Himpunan bersarang


Sifat-sifat aljabar himpunan 







Hukum idempoten A A = A, A A = A Hukum asosiatif A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Hukum komutatif A B = B A dan A B = B A Hukum distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)


Sifat-sifat aljabar himpunan (lanjutan)



Hukum identitas A



ø = ø, A

ø = A, A

S=S

Hukum komplemen A Ac = ø, A øc = S



S = A, A

Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø,

Hukum De Morgan (A

B)c = Ac

Bc dan (A

B)c = Ac


Bc

Prinsip dualitas 



Jika kita menukar dengan dan S dengan ø dalam setiap pernyataan tentang himpunan, maka pernyataan baru tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya. Contoh Dual dari (S B) (A ø) = A adalah (ø B) (A S) = A Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Himpunan Berindeks  





J = {1, 2, 3, 4} disebut himpunan indeks {A1, A2, A3, A4} disebut himpunan berindeks dan ditulis; {Ai : i J} = {A1, A2, A3, A4} Jika K = {1, 2, 3, … n}, maka { i Ai : i K} = {A1 A2 … An} Jika K = {1, 2, 3, … }, maka { i Ai : i K} = {A1 A2 … } Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Contoh himpunan berindeks Jika A1 = {1 } A2 = {1, 2} … An = {1, 2, … , n} Tentukan { i Ai : 1 { {

i Ai :

1 i Ai : 1

i i

i

n} = {A1 n} = {A1

n} dan { A2 A2

… …


i Ai :

1

i

An}= An An}= A1

n}

Partisi

1) 2)

β = {B1, B2, … , Bn} disebut partisi dari A, jika memenuhi kedua sifat berikut ; A = B1 B2 … Bn Bi Bj = ø, untuk setiap i ≠ j, 1 i n, 1

j

n


Contoh partisi P = {1, 2, 3, …}, Q = {1, 3, 5, …} dan R {2, 4, 6, …}, maka Q dan R adalah partisi dari P, sebab Q R = P dan Q R=ø


Himpunan Bersarang 



A1, A2, … , An, … disebut himpunan bersarang jika memenuhi ; A1 A2 … An … Contoh A1 = [0,1] , A2 = [0, 1/2] … , An = [0, 1/n], … A1, A2, … , An, … merupakan himpunan bersarang, sebab A1 A2 … An … Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Soal latihan 1.

2.

3.

4.

5.

Jika A dan B suatu himpunan buktikan bahwa A (A B) = A Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli}, tentukan A4 A6 Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan A3 A4 dan A3 A4 Misalkan Dn = (0, 1/n), n {bil asli}, tentukan D3 D7 dan D3 D7 Cari semua partisi dari W = {1, 2, 3}


Soal-soal 1.

2.

3.

4.

Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli}, tentukan i P Ai , P = bil prima Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan i Ai Misalkan Dn = [0, 1/n], n A={bil asli}, tentukan i A Di Misalkan Dn = (-1/n, 1/n), n A={bil asli}, tentukan i A Di Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI