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Innite Product Representations for Binomial Coefcient, Pochhammer's Symbol, Newton's Binomial and Exponential Function By Edigles Guedes June 27, 2016 It is the spirit that quickeneth; the esh proteth nothing: the words that I speak unto you, they are spirit, and they are life. - John 6:63.

Abstract. In this paper, I demonstrate one innite product for binomial coecient, Euler's and Weierstrass's innite product for Pochhammer's symbol, limit formula for Pochhammer's symbol, limit formula for exponential function, Euler's and Weierstrass's innite product for Newton's binomial and exponential function.

1. Introduction In 1729, Leonhard Euler (1707-1783) gave the innite product expansion for gamma function [1, p. 33] z 1 1Y 1 z ¡1 ¡(z) = 1+ 1+ (1) z j j j=1

which is valid in C, except for z 2 f0; ¡1; ¡2; :::g. In 1854, Karl Weierstrass (1815-1897) gave the innte product expansion for gamma function [1, p. 34-35] 1 Y z ¡z/j ¡(z) = ze z 1+ e ; (2) j j =1 which is valid for all C. The binomial coecient may be dened by the nite product [2] Y n `+1¡r ` = ; (3) n r r=1

which is valid for ` 2 C ¡ f0; ¡1; ¡2; :::g and n 2 N, and [3] (`)n =

n¡1 Y

(` + r);

(4)

(a ¡ 1)!(b ¡ 1)! ; (a + b ¡ 1)!

(5)

r=0

which is valid for ` 2 C and n 2 N>1.

The beta function may be dened by [4]

when a; b are positive integers.

B(a; b)

In this paper, I prove the innite product representation for binomial coecient given by Y 1 n n ` = 1+ 1¡ ; n j j +` j=1

the Pochhammer's symbol is given by (`)n =

1 Y

j =1

1+

1 j

n

1+

1

n j +`¡1

¡1

2 Infinite Product Representations for Binomial Coefficient, Pochhammer's Symbol, Newton's Binomial and Exponential Function

and

1

Y 1 = e n (`)n

j =1

n e¡n/j ; j +`¡1

1+

the Newton's binomial is given by ¡n 1 Y 1 2n b 1 (a + b)n = 1+ 1+ 1+ j a + jb b+j ¡1 j =1 and n 1 Y b 1 ¡n 2 n (a + b) = e 1+ 1+ e¡2n/j ; a + jb b+j ¡1 j=1

the exponential function is given by e

in tan

¡ ¡1 y x

=

and e

¡y ¡in tan¡1 x

1 Y

j =1

= e n

h in/2 1 n 1 + x2 1 + 1 jx2 + y 2 x2 + j ¡ 1 h in 1+ x 1 j 1 + jx + iy 1 + x + j ¡ 1

1 Y

j =1

among other things.

h

in x 1 1 + jx + iy 1 + x + j ¡ 1 h in/2 e¡n/j ; x2 1 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 2. Preliminary

Lemma 1. If a; b 2 R and b = / 0, then

1

a Y (a + j ¡ 1)(b + j) = : b (a + j)(b + j ¡ 1) j =1

Proof. I well-know the identity a b!(a ¡ 1)! a!(b ¡ 1)! = ; b [b + (a ¡ 1) + 1]! [a + (b ¡ 1) + 1]!

(6)

using the denition for beta function (4), I obtain a B(a + 1; b) = : b B(a; b + 1)

(7)

On the other hand, the beta function have the following innite product representation [5, p. 899] 1 Y j(a + b + j) (a + b + 1)B(a + 1; b + 1) = ; (8) (a + j)(b + j) j =1

valid for a; b = / ¡1; ¡2; ::: Setting a! a ¡ 1 and b! b ¡ 1, respectively, in both members of (6), I nd 1

B(a; b + 1) =

1 Y j(a + b + j ¡ 1) ; a+b (a + j ¡ 1)(b + j)

(9)

j =1

and B(a + 1; b) =

1

1 Y j(a + b + j ¡ 1) : a+b (a + j)(b + j ¡ 1) j =1

Substituting (8) and (9) into the right hand side of (6), I get 1

a a + b Y j(a + b + j ¡ 1)(a + j ¡ 1)(b + j) = : b a+b (a + j)(b + j ¡ 1)j(a + b + j ¡ 1) j=1

(10)

3

Eliminate the same terms in the numerator and denominator of the above equation, and encounter 1 a Y (a + j ¡ 1)(b + j) = ; b (a + j)(b + j ¡ 1) j =1

which is the desired result.

3. Binomial Coefficient: the Infinite Product 3.1. Innite Product Representation for Binomial Coecient. Theorem 2. If ` 2 C ¡ f¡1; ¡2; :::g and n 2 N, then Y 1 n n ` = 1+ 1¡ ; n j j +` j=1 ` where denotes the binomial coecient. n Proof. Setting a = ` + 1 ¡ r and b = r in both members of the Lemma 1, I obtain 1

`+1¡r Y (` ¡ r + j)(r + j) = : r (` ¡ r + j + 1)(r + j ¡ 1)

(11)

j =1

Substituting (11) into the right hand side of (3), I nd Y n Y 1 (` ¡ r + j)(r + j) ` = n (` ¡ r + j + 1)(r + j ¡ 1) r=1 j =1 1 Y n Y (` ¡ r + j)(r + j) = (` ¡ r + j + 1)(r + j ¡ 1) j=1 r=1 1 1 Y (j + n)(j + ` ¡ n) Y n n = = 1+ 1¡ ; j(j + `) j j +` j =1

j=1


4. Euler's and Weierstrass's Infinite Product Representation for Pochhammer's Symbol 4.1. Euler's Innite Product Representation for Pochhammer's Symbol. Theorem 3. If ` 2 C ¡ f0; ¡1; ¡2; :::g and n 2 N, then n ¡1 1 Y 1 n (`)n = 1+ 1+ ; j j +`¡1 j=1

where (`)n denotes the Pochhammer's symbol.

Proof. Setting a = ` + r and b = 1 in both members of the Lemma 1, I obtain `+r=

1

` + r Y (` + r + j ¡ 1)(j + 1) = : 1 (` + r + j)j j =1

(12)


Substituting (12) into the right hand side of (4), I nd (`)n =

n¡1 1 Y Y

r=0 j =1

(` + r + j ¡ 1)(j + 1) (` + r + j)j

1 n¡1 Y Y (` + r + j ¡ 1)(j + 1) = (` + r + j)j n j =1 r=0 n ¡1 1 1 Y Y 1 j +`¡1 1 n = 1+ = 1+ 1+ ; j j +`+n¡1 j j +`¡1 j =1

j =1

which is the desired result. 4.2. Weierstrass's Innite Product Representation for Pochhammer's Symbol. Theorem 4. If ` 2 C and n 2 N>0 , then

1

Y 1 = e n (`)n

j =1

n 1+ e¡n/j ; j +`¡1

where (`)n denotes the Pochhammer's symbol, ex denotes the exponential function and denotes the Euler-Mascheroni constant. Proof. The inverse of the Theorem 3, give me 1 Y 1 1 ¡n n = 1+ 1+ (`)n j j +`¡1 j =1 n m Y 1 1 ¡n n = lim 1 + lim 1+ 1+ m m!1 j j +`¡1 m!1 j =1 2 3 n Y m ¡n 1 1 n 5 = lim 4 1 + 1+ 1+ m j j +`¡1 m!1 j=1 2 3 ¡n Y m¡1 m Y 1 n 5 = lim 4 1+ 1+ j j +`¡1 m!1 j =1 j =1 2 3 m Y n 5 = lim 4 m¡n 1+ j +`¡1 m!1 j =1 2 3 Y m 1 1 1 1 n 5 = lim 4 exp 1 ¡ 1 + ¡ + ::: + ¡ ¡ ln m n 1+ 2 2 m m j +`¡1 m!1 j =1 2 3 m Y 1 1 ¡n ¡n ¡n n 5 = lim 4 exp 1 + + ::: + ¡ ln m n exp + + ::: + 1+ 2 m 1 2 m j +`¡1 m!1 j =1 2 3 Y m 1 1 n = lim 4 exp 1 + + ::: + ¡ ln m n 1+ e¡n/j 5 2 m j +`¡1 m!1 j =1 0 1 m Y 1 1 n = lim exp 1 + + ::: + ¡ ln m n lim @ 1+ e¡n/j A 2 m j +`¡1 m!1 m!1 j=1 1 Y n =e n 1+ e¡n/j ; j +`¡1 j=1


5

5. Limit Formula for Pochhammer's Symbol and Exponential Function 5.1. Limit Formula for Pochhammer's symbol. Lemma 5. If ` 2 R>0 and n is a non-negative integer, then mn(`)m ; m!1 (` + n)m

(`)n = lim where (`)n denotes the Pochhammer's symbol.

Proof. Consider the Euler's innite product representation for Pochhammer's symbol and let as follows n ¡1 m Y 1 n (`)n = lim 1+ 1+ j j +`¡1 m!1 j =1

(m + 1)n(`)m mn(`)m = lim = lim ; (` + n)m m!1 m!1 (` + n)m

which is the desired result. Theorem 6. If jzj < 1, then

a b

a a; b + m F z = lim F 1 1 2 1 b b m!1

z m ;

z denotes the conuent hypergeometrid function of the rst kind and

where 1F1 a; b F z denotes the Gaussian (or ordinary) hypergeometric function. 2 1 c Proof. The denition of hypergeometric series 1F1 is given by X 1 (a)n z n a F z = ; 1 1 b (b)n n!

(13)

n=0

valid for jz j < 1. Put ` = b in Lemma 5, and substitute in (13) 1 1 X (a)n(b + n)m z n a z = lim 1F1 b mn n! m!1 (b)m n=0 1 a; b + m z = lim (b)m 2F1 m b m!1 (b)m a; b + m z = lim 2F1 m : b m!1 which is desired result.

Corollary 7. If z 2 C, then

ez = lim

m!1

where ez denotes the exponential function. Proof. I know [6] that

e = 1F1 z

1 1

1¡

z m

z ;

¡m

(14)

;

Using the Theorem 6 in the right hand side of (15), it follows that z ¡(m+1) z ¡m 1; 1 + m z ez = lim 2F1 = lim 1 ¡ = lim 1 ¡ ; 1 m m m m!1 m!1 m!1

(15)



6. The Pochhammer's Symbol, Gamma, Sine and Cosine at Rational Argument as Finite Product of Gamma Functions 6.1. Pochhammer's Symbol at Rational Argument. Theorem 8. If p and q are positive integers and p 6 q, then 0 1n0 1 s p n+s¡1 q ¡ ¡ + Y p q q2 q B CB C = @ s + 1 A @ p s ¡ 1 A; q n ¡ q ¡ q2 + q s=1

where (`)n denotes the Pochhammer's symbol and ¡(`) denotes the gamma function. Proof. Consider the Euler's innite product representation for Pochhammer's symbol, let ` = p / q, with p 2 Z and q 2 N, and encounter n ¡1 1 Y p 1 nq = 1+ 1+ q n j jq + p ¡ q j =1 ¡1 1 n Y 1 nq = 1+ 1+ k+1 (k + 1)q + p ¡ q k=0 n ¡1 1 Y 1 nq = 1+ 1+ : k+1 kq + p k=0

Now, notice that for any a 2 Z and b 2 N; there exists unique c; d 2 Z; such that a = bc + d and 0 6 d < b (division law in Z, see [7, Lemma 7, p. 4]). Hither, this means that any (k 2 N0; q 2 N) uniquely determine the integer r and s, such that k = qr + s, where r = 0; 1; 2; ::: and s = 1; 2; :::; q ¡ 1. Thereupon, it follows (by uniform convergence) that n ¡1 1 qY ¡1 Y p 1 nq = 1+ 1+ 2 q n qr + s + 1 q r + qs + p r=0 s=0 n ¡1 qY ¡1 Y 1 1 nq = 1+ 1+ 2 qr + s + 1 q r + qs + p s=0 r=0 0 1n0 1 p + q(n + s) n ¡ 1 + s + 1 qY ¡1 ¡ 1 q q2 B CB C A@ A = 1+ @ s + 2 p + qs s+1 ¡ 1+ q ¡ q2 s=0 0 1n0 1 s p + q(n + s ¡ 1) q n ¡ 1 + ¡ Y 1 B q q2 B C C = 1+ @ A @ p + q (s ¡ 1) A; s + 1 s ¡ 1+ q ¡ s=1 q2

using the identity ¡(1 + z) = z ¡(z) in previous equation, I have 0 1n0 1 s s p + q(n + s ¡ 1) q n ¡ ¡ Y s+1 B p q q q2 CB C = @ s + 1 s + 1 A @ p + q (s ¡ 1) A q n s ¡ q ¡ s=1 q q2 0 1n0 1 s p n+s¡1 q Y q B ¡ q C B ¡ q2 + C = @ s + 1 A @ p s ¡ 1 A; ¡ q ¡ q2 + q s=1

7


Example 9. Put p = 1, q = 2 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus 1 2n 1 n 3 n = p ¡ + ¡ + 2 n 2 4 2 4 2 or 1 2n 1 n 3 n ¡ +n = p ¡ + ¡ + 2 4 2 4 2 2 or (2n)! 2n 1 n 3 n = p ¡ + ¡ + : 22nn! 2 4 2 4 2 Example 10. Put p = 1, q = 3 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus ¡1 n ¡4 n ¡7 n ¡ 9+3 ¡ 9+3 ¡ 9+3 1 n =3 : ¡1 ¡4 ¡7 3 n ¡ 9 ¡ 9 ¡ 9 Example 11. Put p = 2, q = 3 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus ¡2 n ¡5 n ¡8 n ¡ 9+3 ¡ 9+3 ¡ 9+3 2 n =3 : ¡2 ¡5 ¡8 3 n ¡ 9 ¡ 9 ¡ 9 Example 12. Put p = 1, q = 4 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus ¡1 n ¡ 5 n ¡ 9 n ¡ 13 n ¡ 16 + 4 ¡ 16 + 4 ¡ 16 + 4 ¡ 16 + 4 1 n =4 : ¡ 1 ¡ 5 ¡ 9 ¡ 13 4 n ¡ ¡ ¡ ¡ 16

16

16

16

Example 13. Put p = 2, q = 4 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus ¡1 n ¡3 n ¡5 n ¡7 n ¡ 8+4 ¡ 8+4 ¡ 8+4 ¡ 8+4 1 n =4 ¡1 ¡3 ¡5 ¡7 2 n ¡ ¡ ¡ ¡ 8

8

8

8

or, using the Euler's reexion formula: ¡(z)¡(1 ¡ z) = /sin(z), I have 1 4n 1 n 3 n 5 n 7 n p ¡ = + ¡ + ¡ + ¡ + 2 n 2 2 2 8 4 8 4 8 4 8 4

Example 14. Put p = 3, q = 4 in previous Theorem, and let n to be a non-negative integer, thus ¡3 n ¡ 7 n ¡ 11 n ¡ 15 n ¡ 16 + 4 ¡ 16 + 4 ¡ 16 + 4 ¡ 16 + 4 3 n =4 : ¡ 3 ¡ 7 ¡ 11 ¡ 15 4 n ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 6.2. Gamma Function at Rational Argument.

Theorem 15. If p and q are positive integers and p 6 q, then 0 1 0 1 p/q s s p Y q ¡ ¡ + p p q q2 B q C B C ¡ = @ A @ A; s + 1 s q q ¡ q ¡ q s=1 where ¡(`) denotes the gamma function.


Proof. Consider the Euler's innite product representation for gamma function, let z = p / q in (1), with p 2 Z and q 2 N, and encounter p 1 p qY 1 q p ¡1 ¡ = 1+ 1+ q p j jq j =1 ¡1 1 p qY 1 p q = 1+ 1+ : p k+1 q(k + 1) k=0

Now, notice that for any a 2 Z and b 2 N; there exists unique c; d 2 Z; such that a = bc + d and 0 6 d < b (division law in Z, see [7, Lemma 7, p. 4]). Hither, this means that any (k 2 N0; q 2 N) uniquely determine the integer r and s, such that k = qr + s, where r = 0; 1; 2; ::: and s = 1; 2; :::; q ¡ 1. Thereupon, it follows (by uniform convergence) that p ¡1 1 q ¡1 p qY Y 1 p q ¡ = 1+ 1+ q p qr + s + 1 q(qr + s + 1) r=0 s=0 p ¡1 qY ¡1 Y 1 q 1 p q = 1+ 1+ 2 p qr + s + 1 q r + qs + q s=0 r=0 0 1p/q0 1 s+1 p p/q ¡ 1 + s + 1 qY ¡1 q 1 q B C B ¡ q + q2 C A @ A = 1+ @ s + 2 s+1 p s+1 ¡ 1+ q ¡ q s=0 0 1p/q0 1 s s p q qY 1 p/qB ¡ 1 + q C B ¡ q + q2 C A @ A; = 1+ @ s + 1 s p s ¡ 1+ q ¡ q s=1

using the identity ¡(1 + z) = z ¡(z) in previous equation, I obtain 0 1 0 1 p/q s s s p p/q q ¡ ¡ + Y p q s+1 q q q q2 C B C B A ¡ = @ s+1 s+1 A @ s q p s ¡ q ¡ q s=1 q 0 1 0 1 p/q s s p q qYB ¡ q q2 C C B ¡ q+ = @ A @ A s+1 s p ¡ q ¡ q s=1 0 1 0 1 p/q s s p Y q ¡ ¡ + p p q q q2 C B C B A ) ¡ = @ s+1 A @ s q q ¡ q ¡ q s=1 which is the desired result.

Example 16. Put p = 1, q = 3 in previous Theorem, thus ¡1 ¡4 ¡7 p ¡ 9 ¡ 9 ¡ 9 6 2 3 = : ¡1 ¡ 3 Example 17. Put p = 1, q = 4 in previous Theorem, thus ¡ 5 ¡ 8 ¡ 11 ¡ 9 ¡ 9 ¡ 9 4 p = ¡2 96 3 ¡ 3 or, using the identity ¡(z + 1) = z ¡(z), I have ¡2 ¡5 ¡8 2 ¡ 9 ¡ 9 ¡ 9 = : p ¡2 6 3 ¡ 3

9

Example 18. Put p = 1, q = 4 in previous Theorem, thus ¡ 5 ¡ 9 ¡ 13 ¡ 17 p ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 = ¡1 4 ¡ 4

or, using the identity ¡(z + 1) = z ¡(z), I have

¡ 1 ¡ 5 ¡ 9 ¡ 13 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 p 4 = : ¡1 ¡ 4

Example 19. Put p = 3, q = 4 in previous Theorem, thus

¡ 7 ¡ 11 ¡ 15 ¡ 19 p 3 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 = ¡3 8 ¡ 4


¡ 3 ¡ 7 ¡ 11 ¡ 15 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 ¡ 16 6 = : ¡3 ¡ 4 p

Example 20. Put p = 1, q = 5 in previous Theorem, thus

¡ 6 ¡ 11 ¡ 16 ¡ 21 ¡ 26 ¡ 25 ¡ 25 ¡ 25 ¡ 25 ¡ 25 4 2 = p ¡1 10 ¡ 5 5 57


¡ 1 ¡ 6 ¡ 11 ¡ 16 ¡ 21 20 2 ¡ 25 ¡ 25 ¡ 25 ¡ 25 ¡ 25 : p = ¡1 10 7 ¡ 5 5

6.3. Sine Function at Rational Argument.

Theorem 21. If p and q are positive integers and p 6 q, then p s q sin q ¡2 q Y ; = s p s p pq¡2(q) s=1 ¡ q ¡ q 2 ¡ q + q 2

where ¡(`) denotes the gamma function and sin(z) denotes the sine function. Proof. Consider the Euler's innite product representation for sine function [8, p. 321] 1 sin(z) Y z2 = 1¡ 2 : z j j =1

Let z = p/ q in (16), with p 2 Z and q 2 N, and encounter p 1 q sin q Y p2 = 1¡ 2 2 p j q j =1 1 2 Y p = 1¡ (k + 1)2 q 2 k=0

(16)


Now, notice that for any a 2 Z and b 2 N; there exists unique c; d 2 Z; such that a = bc + d and 0 6 d < b (division law in Z, see [7, Lemma 7, p. 4]). Hither, this means that any (k 2 N0; q 2 N) uniquely determine the integer r and s, such that k = qr + s, where r = 0; 1; 2; ::: and s = 1; 2; :::; q ¡ 1. Thereupon, it follows (by uniform convergence) that p 1 qY ¡1 q sin q Y p2 = 1¡ p (qr + s + 1)2 q 2 r=0 s=0 qY ¡1 Y 1 p2 = 1¡ (qr + s + 1)2 q 2 s=0 r=0 s+1 qY ¡1 ¡2 1 + q =q 2 q(s + 1) ¡ p q(s + 1) + p ¡ s=0 ¡ q2 q2 p s+1 qY ¡1 sin q ¡2 1 + q ) = s+1 p s+1 p pq ¡ ¡ + s=0 ¡ 2 2 q q q q s 2 q ¡ 1+ q Y ; = s p s p s=1 ¡ q ¡ q 2 ¡ q + q 2 using the identity ¡(1 + z) = z ¡(z) in previous equation, I get p 2 2 s q sin q s ¡ Y 1 q = 2 s p s p pq q s=1 ¡ q ¡ q2 ¡ q + q 2 2 s q ¡ 2 Y p p¡ (q + 1) q )sin = s p s p q q ¡ ¡ ¡ + s=1 2 q q q2 q p s 2 q sin q ¡ q Y ; ) = s p s p pq¡2(q) s=1 ¡ q ¡ q 2 ¡ q + q2 which is the desired result.

6.4. Cosine Function at Rational Argument. Theorem 22. If p and q are positive integers and p 6 q, then 2s ¡ 1 Y q ¡2 2q p ; cos = 2s ¡ 1 p 2s ¡ 1 p q + ¡ ¡ s=1 ¡ 2 2 2q q 2q q

where ¡(`) denotes the gamma function and sin(z) denotes the sine function. Proof. Consider the Euler's innite product representation for cosine function [8, p. 321] 1 Y 4z 2 cos(z) = 1¡ : (2j ¡ 1)2 j=1

Let z = p/ q in (17), with p 2 Z and q 2 N, and encounter Y 1 p 4 p2 cos = 1¡ q (2j ¡ 1)2 q 2 j =1 1 Y 4p2 = 1¡ (2k + 1)2 q 2 k=0

(17)

11

Now, notice that for any a 2 Z and b 2 N; there exists unique c; d 2 Z; such that a = bc + d and 0 6 d < b (division law in Z, see [7, Lemma 7, p. 4]). Hither, this means that any (k 2 N0; q 2 N) uniquely determine the integer r and s, such that k = qr + s, where r = 0; 1; 2; ::: and s = 1; 2; :::; q ¡ 1. Thereupon, it follows (by uniform convergence) that Y 1 qY ¡1 p 4p2 cos = 1¡ q (2qr + 2s + 1)2 q 2 r=0 s=0 qY ¡1 Y 1 4p2 = 1¡ (2qr + 2s + 1)2 q 2 s=0 r=0 4p2 2s + 1 qY ¡1 1 ¡ (2s + 1)2 q2 ¡2 1 + 2q = 2s + 1 p 2s + 1 p s=0 ¡ 1 + 2q + q 2 ¡ 1 + 2q ¡ q 2 4p2 2s ¡ 1 q 1 ¡ (2s ¡ 1)2 q2 ¡2 1 + 2q Y ; = 2s ¡ 1 p 2s ¡ 1 p s=1 ¡ 1 + 2q + q 2 ¡ 1 + 2q ¡ q 2

using the identity ¡(1 + z) = z ¡(z) in previous equation, I get 4p2 2s ¡ 1 2 2 2s ¡ 1 Y q 1 ¡ ¡ p (2s ¡ 1)2 q 2 2q 2q cos = 2s ¡ 1 p 2s ¡ 1 p 2s ¡ 1 p 2s ¡ 1 p q + ¡ ¡ + ¡ ¡ s=1 2 2q q2 2q q2 2q q2 q 2q 2s ¡ 1 2 q ¡ Y 2q ; = 2s ¡ 1 p 2s ¡ 1 p ¡ + ¡ ¡ s=1 2q q2 2q q2 which is the desired result.

7. Euler's and Weierstrass's Infinite Product Representation for Newton's Binomial 7.1. Euler's Innite Product Representation for Newton's Binomial. Theorem 23. If a; b 2 C ¡ f0; ¡1; ¡2; :::g and n 2 N, then ¡n 1 Y 1 2n b 1 n (a + b) = 1+ 1+ 1+ : j a + jb b+ j ¡1 j=1

Proof. Consider the Newton's binomial (1 + x)n =

1+x 1

n :

Set a = 1 + x and b = 1 in both members of the Lemma 1 ¡1 1 1+x Y 1 1 = 1+ 1+ : 1 j x+ j

(18)

(19)

j =1

Substitute the right hand side of (19) into the right hand side of (18) n ¡n 1 Y 1 1 n (1 + x) = 1+ 1+ : j x+j j =1

(20)


Put x = a/b in both members of (20) n ¡n 1 Y 1 b (a + b)n = bn 1+ 1+ : j a + jb

(21)

j =1

On the other hand, I get x = b ¡ 1 in both members of (20) bn =

1 Y

1+

j =1

1 j

n

1+

1 b+j ¡1

¡n

(22)

:

From (21) and (22), it follows that ¡n 1 Y 1 2n b 1 n (a + b) = 1+ 1+ 1+ ; j a + jb b+j ¡1

(23)

j=1


7.2. Weierstrass's Innite Product Representation for Newton's Binomial. Theorem 24. If a; b 2 C and n 2 N, then 1 Y ¡n 2 n (a + b) = e 1+ j=1

b a + jb

1 1+ b+j ¡1

n

e¡2n/j ;

where e denotes the exponential function and denotes the Euler-Mascheroni constant. x

Proof. The inverse of the Theorem 23 give me n 1 Y 1 ¡2n b 1 ¡n (a + b) = 1+ 1+ 1+ j a + jb b+j ¡1 j=1 2n ¡2n n m Y 1 1 b 1 = lim 1 + lim 1+ 1+ 1+ m j a + jb b+j ¡1 m!1 m!1 j=1 8 9 2n Y ¡2n n= m > n Y ¡n m x 1 m j m!1> : ; 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j =1 8 h in 9 x 1 > > m x 1 j m!1> : j=1 ; 1 + j x2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j=1 8 h in 9 x 1 > > m < = 1 + jx + iy 1 + x + j ¡ 1 Y ¡n h i = lim m 2 n/2 > x 1 m!1> : ; 1 + j x2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j =1 8 h in 9 x 1 > > Y m < = 1 + 1 + 1 1 1 1 jx + iy x+j ¡1 h i = lim exp 1 ¡ 1 + ¡ + ::: + ¡ ¡ ln m n 2 n/2 > x 1 2 2 m m m!1> : ; 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j =1 1 1 ¡n ¡n ¡n = lim exp 1 + + ::: + ¡ ln m n exp + + ::: + 2 m 1 2 m m!1 h in 9 x 1 > m = 1 + jx + iy 1 + x + j ¡ 1 Y h i n/2 > x2 1 ; 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j =1 8 9 h in x 1 > > Y m < = 1 + 1 + 1 1 jx + iy x+j ¡1 ¡n/j h i = lim exp 1 + + ::: + ¡ ln m n e n/2 x2 1 > 2 m m!1> : ; 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j =1 8 9 h in x 1 > > m 2 m m!1 m!1> :j =1 ; 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 h in x 1 1 1 + jx + iy 1 + x + j ¡ 1 Y h in/2 e¡n/j ; =e n x2 1 1 + jx2 + y2 1 + x2 + j ¡ 1 j =1 ¡ ¡1 y

1 Y


8.3. A Simple Innite Product Representation for Exponential Function. Theorem 27. If x 2 C, then

ex =

1 Y

2

ex/(j + j );

j =1

where ex denotes the exponential function.

Proof. Leonhard Euler (1707-1783) gave rstly the limit denition for exponential function as follows x n ex = lim 1 + : n n!1 In Theorem 23, I put a = x and b = n in both members and encounter n ¡n 1 x n Y 1 n 1+ = 1+ 1+ : n j x + jn j =1

(30)

15

The letting n tends to innity in both members of (30), give me n ¡n 1 x n Y 1 n lim 1 + = lim 1+ 1+ n j x + jn n!1 n!1 j =1 1 Y 2 )ex = ex/(j + j ); j =1


9. Infinite Product Representation for Kronecker Delta 9.1. A Simple Innite Product Representation for Kronecker Delta. I leave as easy exercise Exercise 1. Prove that i j = where

1 Y

k=1

1¡

1 k

i j = denotes the Kronecker delta function.

1¡

1 k + (i ¡ j)2

¡1 ;

0; if i = / j; 1; if i = j ;

References [1] Remmert, Reinhold, Classical Topics in Complex Function, Graduate Texts in Mathematics, 172, Springer-Verlag, New York, 1998. [2] en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coecient, available in June 27, 2016. [3] Blagouchine, Iaroslav V., Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in ¡2 and into the formal enveloping series with rational coecients only, arXiv:1501.00740v3 [math.NT], 7 Sep 2015. [4] en.wikipedia.org/wiki/Beta_function, available in June 27, 2016. [5] Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M., Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, San Diego, 2000. [6] en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_continued_fraction, availabe in June 27, 2016. [7] Remmert, Reinhold, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 1990. [8] Spiegel, Murray R., Lipschutz, Seymour and Schiller, John J., Complex Variables with an Introduction to Conformal Mapping and its Applications, Schaum's Outline Series, Second Edition, McGrawHill, New York, 2009. [9] Weisstein, Eric W., Complex Exponentiation. From MathWorld A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html. [10] Weisstein, Eric W., Complex Argument. From MathWorld A Wolfram Web Resource. http//mathworld.wolfram.com/ComplexArgument.html.